个体遗传评定优秀课件

tr aq tr qa qa
✓ 范数 (norm)：矩阵与其转置矩阵乘积的迹的 平方根，即：
0.5
Α trΑΑ 0.5 i j ai2j
范数的性质： • ||A|| > 0，除非A = 0； ||A|| = 0 ⇐⇒ A=0 • ||kA|| = |k| ||A||（k为一纯量）； • ||A+B||≤||A||+||B|| • ||AB||≤||A|| ||B||
✓ 逆矩阵 (inverse matrix)：对于一方阵A，若
个体遗传评定
第一节 有关基础知识
矩阵代数基础
➢ 纯量、矩阵和向量 ✓ 纯量（scalar）
• 只有大小的一个数值，也称为标量、数量 或元向量。 • 用数字或经定义的拉丁字母斜体、小写表 示。 • 如a、r和k。
✓ 矩阵(matrix)
• 由一定行数和一定列数的纯量，按一定顺序排 列的表。 • 一般用大写粗体字母表示。 • 矩阵的阶数 (order) 或维数（dimension）是指 矩阵的行数 (m) 和列数 (n) ，表示为m n。 • 例如：
✓ 乘法 (multiplication) 纯量与矩阵相乘：一个纯量 与一个矩阵 A 的乘积是用 去乘 A 的每个元素，表示为A。
A Aij
对于m n 阶矩阵 A 和 B 以及纯量 和 ,
具有如下性质：
• 闭 合 性： A 仍然是一个 m n 阶矩阵； • 结 合 性：() A = (A)； • 分 配 性： (A+B) =A+B；
00
ann
• 下三角阵：主对角线以 上元素全部为0，即当 j
a11 0 a21 a22
0 0
> i 时， aij = 0 （i < j）
an1 an2
ann
✓ 对角阵 (diagonal matrix)：除 i=j 时的元素
（主对角线元素）外，其它元素均为零的方阵， 即aij = 0 （j i 时）。通常可以用Diag {aj }表示， 其中aj 为该阵的第 i 个对角线元素。
2 1 1 0 1
1 2 2 3 A 0 0 1 0
0 0 0 1
0 0 0
A1 O
A2 I 1
0 0 0 0 1
0 0 1 0 0
2 1
1 2
A1,
1 2
0 2
1 0
A2 ,
0 0
0 O, 0 0 0
1 0
0 I 1
✓ 分块对角阵 (block diagonal matrix)：主对角线 上的子阵都为方阵，其余子阵都是零阵的分块阵。 如：
1 a 2
3
a1 2ix)：行数与列数相等的矩
阵，如An×n。其他矩阵称为直角阵(rectangular
matrices) 。 a b c
A c a b b c a
✓ 对称阵 (symmetric matrix)：元素间满足 aij =
aji 的方阵。
a b c A b a b
c b a
1 0.5 0.8 B 0.5 1 0.2
0.8 0.2 1
✓ 三角阵(triangular matrix)： a11 a12
a1n
• 上三角阵：主对角线以 0 a 22
a2n
下元素全部为0，即当 j <
i 时， aij = 0 （j < i）
A
4 6
5 0
3 2
B
1 3
0 4
2 1
A
B
4 1 6 3
50 04
3 2 2 1
5 9
5 4
5 3
B
A
对于 m n 阶矩阵 A、 B和 C，具有如下性质： • 闭 合 性：A + B 仍然是一个 m n 阶矩阵； • 结 合 性：(A + B) + C = A + (B + C)； • 交 换 性：A + B = B + A； • 加性等同：A + 0 = A； • 加 性 逆： A + (−A) = 0 。
a11 0
0
0 a22
0
0 0
ann
✓ 单位矩阵(identity matrix)：所有对角线元素为1，
其他元素均为0的矩阵。
1 0
0
0 1
0
0 0
1
✓ 分块矩阵(block matrix)：用水平和垂直虚线将
矩阵分为若干小块，此时的矩阵称为分块矩阵。 其中的小块称为子阵(sub-matrix)。
✓ 矩阵的迹 (trace)：一个方阵的迹为其对角线元
素之和，表示为：
tr Α aii i
0.51 0.32 0.19 设： A 0.28 0.46 0.14
则
0.21 0.16 0.33
tr Α 0.51 0.46 0.33 1.30
迹的运算性质：
tr ΑΒ tr ΒΑ tr ABC tr BCA tr CAB
(+) A=A+A；
• 等 同 性：1A = A。
矩阵相乘：当矩阵A的列数与矩阵B的行数相等 时，A与B可乘，即
Arcc Bcl Crl cij
其中， cij aikbkj k
例如：
矩阵乘法具有如下性质： • AB BA • (AB)C = A(BC) • (A + B)C = AC + BC；C(A + B) = CA + CB
✓ 转置(transposition)：矩阵的行与列对调，用A´ 或AT表示，即：
Αmn aij Αnm aji
矩阵的转置有如下性质： • 当A为对称方阵时， A´ = A； • (A´) ´ = A • (AB) ´ = B ´A ´ • (AB ´ C) ´ = C ´BA ´ • (A + B + C) ´= A ´ + B ´ + C ´
Α11 0
Α
0
Α22
0 0
0 0
Αkk
✓ 稀疏矩阵 (sparse matrix)：设矩阵Amn中有 s 个非零元素，若 s 远远小于矩阵元素的总数 (即
s<<m×n)，则称A为稀疏矩阵。
➢ 矩阵的运算
✓ 加法(addition)：当矩阵A和B同阶时，有：
A B aij bij
例如：
✓ 向量 (Vector)
• 仅有一列或一行的矩阵，前者称为列向量 (column vector)，后者称为行向量(row vector)。
• 通常用小写粗体字母表示。
• 为区别行向量和列向量，通常在字母的右上 角加一撇表示行向量，不加撇表示列向量。
• 行向量的阶数为1j，列向量的阶数为j1。
• 例如：