数学归纳法证明不等式
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20.假设当时命题成立，证明当n=k＋1时命题(归纳递推）.
30.由10、20知，对于一切n≥ 的自然数n命题！(结论）
要诀: 递推基础, 归纳假设, 结论写明.
☆数学归纳法的应用：
例1.求证： ，其中 ，且 ．
例2已知数列 的各项为正，且 .
（1）证明 ; （2）求数列 的通项公式 .
例3(06）已知函数 , 数列 满足:
30.由10、20知，对于一切n≥ 的自然数n命题都成立！(结论）
要诀: 递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉.
例1.求证： ，其中 ，且 ．
分析：此题是2004年高考数学试卷第21题的适当变形，有两种证法
证法一：用数学归纳法证明．
（1）当m=2时， ，不等式成立．
（2）假设 时，有 ，则 ，
1当 时,左边= ,右边= ,因为 ,所以不等式成立.
2假设当 时不等式成立,即 成立.则当 时,左边=
所以当 时,不等式也成立.
由①、②可得不等式恒成立.
【命题立意】:本题主要考查了等比数列的定义,通项公式,以及已知 求 的基本题型,
并运用数学归纳法证明与自然数有关的命题,以及放缩法证明不等式.
练习:
对数列进行了考查，和数学归纳法一起，成为压轴题。
解：（1）方法一 用数学归纳法证明：
1°当n=1时， ∴ ，命题正确.
2°假设n=k时有 则
而
又 ∴ 时命题也正确.
由1°、2°知，对一切n∈N时有
方法二：用数学归纳法证明：
1°当n=1时， ∴ ；
2°假设n=k时有 成立， 令 ， 在[0，2]上单调递增，
证明:
6、(09）已知曲线 ．从点 向曲线 引斜率
的切线 ，切点为 ．
（1）求数列 的通项公式；（2）证明： .
参考答案:
1.关于正整数n的命题(相当于多米诺骨牌),我们可以采用下面方法来证明其正确性：
10.验证n取第一个值时命题成立( 即n＝ 时命题成立)(归纳奠基）；
20.假设当n=k时命题成立，证明当n=k＋1时命题也成立(归纳递推）.
已知函数 ,数列{ }满足:
证明:(ⅰ) ;(ⅱ) .
证明: （I）．先用数学归纳法证明 ，ｎ＝1,2,3,…
( ).当n=1时,由已知显然结论成立.
( ).假设当n=k时结论成立,即 .因为0<x<1时
,所以f(x)在(0,1)上是增函数. 又f(x)在[0,1]上连续,
从而 .故n=k+1时,结论成立.
2、正数a、b、c成等比数列，当n＞1,n∈N*且a、b、c互不相等时，Leabharlann Baidu证明：an+cn＞2bn.
3、若n为大于1的自然数，求证： .
4、（05）已知函数 , 设数列 满足 ，
满足
（Ⅰ）用数学归纳法证明 ； （Ⅱ）证明 .
5、（05）已知不等式 为大于2的整数， 表
示不超过 的最大整数.设数列 的各项为正，且满足
②设n=k时成立，即
则当n=k+1时， (ak+1+ck+1+ak+1+ck+1) ＞ (ak+1+ck+1+ak·c+ck·a)=
(ak+ck)(a+c)＞( )k·( )=( )k+1
由( )、( )可知， 对一切正整数都成立.
又因为 时， ，
所以 ，综上所述 ．
（II）．设函数 ， ．由（I）知，当 时， ，
从而
所以g (x)在(0,1)上是增函数. 又g (x)在[0,1]上连续,且g (0)=0,
所以当 时，g (x)>0成立.于是 ．
故 ．
点评：不等式的问题常与函数、三角、数列、导数、几何等数学分支交汇，综合考查运用不
4.1 数学归纳法证明不等式（2）
☆学习目标：1.理解数学归纳法的定义、数学归纳法证明基本步骤;
2.会运用数学归纳法证明不等式
重点：应用数学归纳法证明不等式.
☻知识情景：
关于正整数n的命题(相当于多米诺骨牌),我们可以采用下面方法来证明其正确性：
10.验证n取时命题( 即n＝ 时命题成立)(归纳奠基）；
∵ ，∴ ，即 ．
从而 ， 即 时，亦有 ．
由（1）和（2）知，对 都成立．
证法二：作差、放缩，然后利用二项展开式和放缩法证明．
∴当 ，且 时， ．
例2（2005年第21题第（1）小题，本小题满分12分）
已知数列
（1）证明 （2）求数列 的通项公式an.
分析：近年来高考对于数学归纳法的考查，加强了数列推理能力的考查。
1、试证明：不论正数a、b、c是等差数列还是等比数列，
当n＞1,n∈N*且a、b、c互不相等时，均有：an+cn＞2bn.
分析：该命题意图：本题主要考查数学归纳法证明不等式，考查的知识包括等差数列、等比
数列的性质及数学归纳法证明不等式的一般步骤.
技巧与方法：本题中使用到结论：(ak－ck)(a－c)＞0恒成立(a、b、c为正数)，从而
ak+1+ck+1＞ak·c+ck·a.
2.证明：(1)设a、b、c为等比数列，a= ,c=bq ＞0且q≠1)
∴an+cn= +bnqn=bn( +qn)＞2bn
(2)设a、b、c为等差数列，则2b=a+c猜想 ＞( )n(n≥2且n∈N*)
下面用数学归纳法证明：
①当n=2时，由2(a2+c2)＞(a+c)2，∴
所以由假设有：
也即当n=k+1时 成立，所以对一切 ．
（2）下面来求数列的通项：
所以
则
又bn=－1，所以 ．
本题也可先求出第（2）问，即数列 的通项公式 ，然后利用函数
的单调性和有界性，来证明第（1）问的不等式．但若这样做，则无
形当中加大了第（1）问的难度， 显然不如用数学归纳法证明来得简捷．
例3（06 年卷. 理 .19本小题满分14分）
等式知识解决问题的能力，在交汇中尤其以各分支中蕴藏的不等式结论的证明为重点.
需要灵活运用各分支的数学知识.
例4解(1) :因为对任意的 ,点 ，均在函数 且 均为常
数的图像上.所以得 ,当 时, ,
当 时, ,
又因为{ }为等比数列,所以 ,公比为 ,
（2）当b=2时， ,
则 , 所以
下面用数学归纳法证明不等式 成立.
证明:(ⅰ) ;(ⅱ) .
例4（09）等比数列{ }的前n项和为 , 已知对任意的 , 点 均在函数
且 均为常数)的图像上.
（1）求r的值；
（11）当b=2时，记
证明：对任意的 ，不等式 成立
选修4-5练习§4.1.2数学归纳法证明不等式（2）
1、正数a、b、c成等差数列，当n＞1,n∈N*且a、b、c互不相等时，试证明：an+cn＞2bn.
30.由10、20知，对于一切n≥ 的自然数n命题！(结论）
要诀: 递推基础, 归纳假设, 结论写明.
☆数学归纳法的应用：
例1.求证： ，其中 ，且 ．
例2已知数列 的各项为正，且 .
（1）证明 ; （2）求数列 的通项公式 .
例3(06）已知函数 , 数列 满足:
30.由10、20知，对于一切n≥ 的自然数n命题都成立！(结论）
要诀: 递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉.
例1.求证： ，其中 ，且 ．
分析：此题是2004年高考数学试卷第21题的适当变形，有两种证法
证法一：用数学归纳法证明．
（1）当m=2时， ，不等式成立．
（2）假设 时，有 ，则 ，
1当 时,左边= ,右边= ,因为 ,所以不等式成立.
2假设当 时不等式成立,即 成立.则当 时,左边=
所以当 时,不等式也成立.
由①、②可得不等式恒成立.
【命题立意】:本题主要考查了等比数列的定义,通项公式,以及已知 求 的基本题型,
并运用数学归纳法证明与自然数有关的命题,以及放缩法证明不等式.
练习:
对数列进行了考查，和数学归纳法一起，成为压轴题。
解：（1）方法一 用数学归纳法证明：
1°当n=1时， ∴ ，命题正确.
2°假设n=k时有 则
而
又 ∴ 时命题也正确.
由1°、2°知，对一切n∈N时有
方法二：用数学归纳法证明：
1°当n=1时， ∴ ；
2°假设n=k时有 成立， 令 ， 在[0，2]上单调递增，
证明:
6、(09）已知曲线 ．从点 向曲线 引斜率
的切线 ，切点为 ．
（1）求数列 的通项公式；（2）证明： .
参考答案:
1.关于正整数n的命题(相当于多米诺骨牌),我们可以采用下面方法来证明其正确性：
10.验证n取第一个值时命题成立( 即n＝ 时命题成立)(归纳奠基）；
20.假设当n=k时命题成立，证明当n=k＋1时命题也成立(归纳递推）.
已知函数 ,数列{ }满足:
证明:(ⅰ) ;(ⅱ) .
证明: （I）．先用数学归纳法证明 ，ｎ＝1,2,3,…
( ).当n=1时,由已知显然结论成立.
( ).假设当n=k时结论成立,即 .因为0<x<1时
,所以f(x)在(0,1)上是增函数. 又f(x)在[0,1]上连续,
从而 .故n=k+1时,结论成立.
2、正数a、b、c成等比数列，当n＞1,n∈N*且a、b、c互不相等时，Leabharlann Baidu证明：an+cn＞2bn.
3、若n为大于1的自然数，求证： .
4、（05）已知函数 , 设数列 满足 ，
满足
（Ⅰ）用数学归纳法证明 ； （Ⅱ）证明 .
5、（05）已知不等式 为大于2的整数， 表
示不超过 的最大整数.设数列 的各项为正，且满足
②设n=k时成立，即
则当n=k+1时， (ak+1+ck+1+ak+1+ck+1) ＞ (ak+1+ck+1+ak·c+ck·a)=
(ak+ck)(a+c)＞( )k·( )=( )k+1
由( )、( )可知， 对一切正整数都成立.
又因为 时， ，
所以 ，综上所述 ．
（II）．设函数 ， ．由（I）知，当 时， ，
从而
所以g (x)在(0,1)上是增函数. 又g (x)在[0,1]上连续,且g (0)=0,
所以当 时，g (x)>0成立.于是 ．
故 ．
点评：不等式的问题常与函数、三角、数列、导数、几何等数学分支交汇，综合考查运用不
4.1 数学归纳法证明不等式（2）
☆学习目标：1.理解数学归纳法的定义、数学归纳法证明基本步骤;
2.会运用数学归纳法证明不等式
重点：应用数学归纳法证明不等式.
☻知识情景：
关于正整数n的命题(相当于多米诺骨牌),我们可以采用下面方法来证明其正确性：
10.验证n取时命题( 即n＝ 时命题成立)(归纳奠基）；
∵ ，∴ ，即 ．
从而 ， 即 时，亦有 ．
由（1）和（2）知，对 都成立．
证法二：作差、放缩，然后利用二项展开式和放缩法证明．
∴当 ，且 时， ．
例2（2005年第21题第（1）小题，本小题满分12分）
已知数列
（1）证明 （2）求数列 的通项公式an.
分析：近年来高考对于数学归纳法的考查，加强了数列推理能力的考查。
1、试证明：不论正数a、b、c是等差数列还是等比数列，
当n＞1,n∈N*且a、b、c互不相等时，均有：an+cn＞2bn.
分析：该命题意图：本题主要考查数学归纳法证明不等式，考查的知识包括等差数列、等比
数列的性质及数学归纳法证明不等式的一般步骤.
技巧与方法：本题中使用到结论：(ak－ck)(a－c)＞0恒成立(a、b、c为正数)，从而
ak+1+ck+1＞ak·c+ck·a.
2.证明：(1)设a、b、c为等比数列，a= ,c=bq ＞0且q≠1)
∴an+cn= +bnqn=bn( +qn)＞2bn
(2)设a、b、c为等差数列，则2b=a+c猜想 ＞( )n(n≥2且n∈N*)
下面用数学归纳法证明：
①当n=2时，由2(a2+c2)＞(a+c)2，∴
所以由假设有：
也即当n=k+1时 成立，所以对一切 ．
（2）下面来求数列的通项：
所以
则
又bn=－1，所以 ．
本题也可先求出第（2）问，即数列 的通项公式 ，然后利用函数
的单调性和有界性，来证明第（1）问的不等式．但若这样做，则无
形当中加大了第（1）问的难度， 显然不如用数学归纳法证明来得简捷．
例3（06 年卷. 理 .19本小题满分14分）
等式知识解决问题的能力，在交汇中尤其以各分支中蕴藏的不等式结论的证明为重点.
需要灵活运用各分支的数学知识.
例4解(1) :因为对任意的 ,点 ，均在函数 且 均为常
数的图像上.所以得 ,当 时, ,
当 时, ,
又因为{ }为等比数列,所以 ,公比为 ,
（2）当b=2时， ,
则 , 所以
下面用数学归纳法证明不等式 成立.
证明:(ⅰ) ;(ⅱ) .
例4（09）等比数列{ }的前n项和为 , 已知对任意的 , 点 均在函数
且 均为常数)的图像上.
（1）求r的值；
（11）当b=2时，记
证明：对任意的 ，不等式 成立
选修4-5练习§4.1.2数学归纳法证明不等式（2）
1、正数a、b、c成等差数列，当n＞1,n∈N*且a、b、c互不相等时，试证明：an+cn＞2bn.