不等式证明——分析法讲课教案
人教版高中数学教案：第6章：不等式,教案,课时第 (8)
第八教时教材：不等式证明三（分析法）目的：要求学生学会用分析法证明不等式。
过程：一、介绍“分析法”：从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题。
二、 例一、求证：5273<+证： ∵052,073>>+ 综合法： 只需证明：22)52()73(<+ ∵21 < 25 展开得： 2021210<+ ∴521<即： 10212< ∴10212< ∴521< ∴2021210<+即： 21 < 25（显然成立） ∴22)52()73(<+ ∴5273<+ ∴5273<+例二、设x > 0，y > 0，证明不等式：31332122)()(y x y x +>+ 证一：（分析法）所证不等式即：233322)()(y x y x +>+ 即：33662222662)(3y x y x y x y x y x ++>+++ 即：3322222)(3y x y x y x >+只需证：xy y x 3222>+ ∵xy xy y x 32222>≥+成立∴ 31332122)()(y x y x +>+证二：（综合法）∵33662222663226)(3)(y x y x y x y x y x y x ++≥+++=+ 2333366)(2y x y x y x +=++> ∵x > 0，y > 0， ∴31332122)()(y x y x +>+ 例三、已知：a + b + c = 0，求证：ab + bc + ca ≤ 0证一：（综合法）∵a + b + c = 0 ∴(a + b + c )2 = 0展开得：2222c b a ca bc ab ++-=++∴ab + bc + ca ≤ 0 证二：（分析法）要证ab + bc + ca ≤ 0 ∵a + b + c = 0 故只需证 ab + bc + ca ≤ (a + b + c )2 即证：0222≥+++++ca bc ab c b a即：0])()()[(21222≥+++++a c c b b a （显然）∴原式成立证三：∵a + b + c = 0 ∴- c = a + b∴ab + bc + ca = ab + (a + b )c = ab - (a + b )2 = -a 2 -b 2 -ab= 0]43)2[(22≤++-b b a 例四、（课本例）证明：通过水管放水，当流速相等时，如果水管截面（指横截面）的周长相等，那么截面的圆的水管比截面是正方形的水管流量大。
高中高一数学上册《不等式的证明》教案、教学设计
4.培养学生团队协作精神，提高沟通与交流能力；
5.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，增强社会责任感。
二、学情分析
高中一年级的学生在数学学习上已具备了一定的基础，掌握了基本的代数知识，具备了一定的逻辑推理能力。但在不等式的证明方面，大部分学生仍存在以下问题：对不等式的性质理解不够深入，证明方法掌握不够熟练；在解决实际问题时，难以将不等式知识与问题有效结合。因此，在本章节的教学中，应关注以下几个方面：
3.设计不同难度的例题和练习题，让学生在解决问题的过程中，掌握证明方法，提高解题能力；
4.引导学生通过小组合作、交流讨论，培养团队协作能力和表达能力；
5.通过课堂小结，帮助学生梳理所学知识，形成知识体系。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学的兴趣和热爱，激发学生探索数学问题的热情；
2.培养学生严谨、求实的科学态度，使学生认识到数学在生活中的重要性；
（2）尝试编写一道不等式的证明题，要求至少运用两种不同的证明方法。
3.拓展作业：
（1）查阅资料，了解不等式在其他学科领域的应用，如物理、经济学等，并撰写一篇短文，分享你的发现。
（2）与同学组成小组，探讨以下问题：如何运用不等式解决最优化问题？请举例说明。
4.个性化作业：
针对不同学生的学习情况，教师可根据学生的实际水平，给予个性化作业指导，以提高学生的自信心和兴趣。
注意事项：
1.请同学们认真完成作业，注意书写规范，保持卷面整洁。
2.在完成作业过程中，如遇到问题，可随时与同学或老师交流，共同解决问题。
3.作业完成后，认真检查，确保解题过程正确，避免低级错误。
4.教师将根据作业完成情况，给予评价和反馈，帮助学生提高。
不等式的证明：综合法与分析法讲义
不等式的证明：综合法与分析法一、引入：综合法和分析法是数学中常用的两种直接证明方法，也是不等式证明中的基本方法。
由于两者在证明思路上存在着明显的互逆性，这里将其放在一起加以认识、学习，以便于对比研究两种思路方法的特点。
所谓综合法，即从已知条件出发，根据不等式的性质或已知的不等式，逐步推导出要证的不等式。
而分析法，则是由结果开始，倒过来寻找原因，直至原因成为明显的或者在已知中。
前一种是“由因及果”，后一种是“执果索因”。
打一个比方：张三在山里迷了路，救援人员从驻地出发，逐步寻找，直至找到他，这是“综合法”；而张三自己找路，直至回到驻地，这是“分析法”。
以前得到的结论，可以作为证明的根据。
特别的，AB B A 222≥+是常常要用到的一个重要不等式。
二、典型例题：例1、b a ,都是正数。
求证：.2≥+ab b a例2、已知d c b a ,,,都是正数。
求证： （1）;2cd ab d c b a +≥+++ （2）.44abcd d c b a ≥+++ （3）33a b c abc ++≥例3、证明：ca bc ab c b a ++≥++222。
证法一 因为 ab b a 222≥+ （2）bc c b 222≥+ （3）ca a c 222≥+ （4）所以三式相加得)(2)(2222ca bc ab c b a ++≥++ （5）两边同时除以2即得（1）。
证法二 因为,0)(21)(21)(21)(222222≥-+-+-=++-++a c c b b a ca bc ab c b a 所以（1）成立。
例4、已知c b a ,,都是正数，求证.3333abc c b a ≥++并指出等号在什么时候成立？探究：如果将不等式abc c b a 3333≥++中的333,,c b a 分别用c b a ,,来代替，并在两边同除以3，会得到怎样的不等式？并利用得到的结果证明不等式：27)1)(1)(1(>++++++a c c b b a ，其中c b a ,,是互不相等的正数，且1=abc . 例5、已知a ，b ，m 都是正数，并且.b a <求证：.ba mb m a >++ （1） 证法一 要证（1），只需证)()(m b a m a b +>+ （2）要证（2），只需证am bm > （3）要证（3），只需证a b > （4）已知（4）成立，所以（1）成立。
不等式证明题的解题思路与方法备课教案
不等式证明题的解题思路与方法备课教案【教案】一、教学目标：1.了解不等式证明题的基本概念和解题思路。
2.掌握常见的不等式证明方法。
3.培养学生分析问题、归纳总结的能力。
二、教学内容：1.不等式证明题的定义和基本性质。
2.不等式证明的常用方法。
3.具体例题解析和讲解。
三、教学过程：【导入】通过举例引入不等式证明题，让学生对不等式证明题有初步的认识。
【讲解】1.不等式证明题的基本概念与性质：不等式证明题是指用已知条件和基本不等式推导出所要证明的不等式的过程。
不等式证明题的性质有以下几个方面：a)反证法：假设不等式不成立，推出矛盾结论，证明原不等式成立。
b)数学归纳法：将不等式成立的情况逐个验证，推出结论。
c)举反例法：举出一个特殊的例子，使条件成立但结论不成立，反驳原不等式。
2.不等式证明的常用方法：a)基本不等式：根据基本不等式的性质进行推导，常用的基本不等式有：算术平均-几何平均不等式、柯西-施瓦茨不等式等。
b)代入法：将不等式中的变量用已知条件代入，化简后得出结论。
c)加减变形：对不等式两边同时加减某一式子，变形后得出结论。
d)递推法：通过递推关系，将不等式逐步推导成需要证明的形式。
【实例讲解】通过具体的例题，对不等式证明题的解题方法进行示范讲解，并带着学生一起进行分析和讨论。
【练习与运用】1.布置若干不等式证明题，让学生进行个人或小组练习。
2.选择一些学生上台讲解解题思路和方法，进行答疑和讨论。
【总结】对本节课的学习内容进行总结，让学生从整体上把握不等式证明题的解题思路和方法。
四、教学反思：本节课通过引入例子，详细讲解了不等式证明题的基本概念、解题思路和方法。
通过实例讲解和练习运用，帮助学生掌握了不等式证明题的解题技巧，并激发了他们分析问题、归纳总结的能力。
但在教学过程中，可以适当增加一些趣味性的小练习，让学生更加主动积极地学习与思考。
同时，在设计教案时，应考虑到学生的实际情况，选择合适难度的例题，以帮助他们逐步提升解题能力。
教学设计2：第2讲 证明不等式的基本方法
第二节 证明不等式的基本方法1．基本不等式定理1：如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．定理2：(基本不等式)如果a ，b >0，那么a ＋b2≥a ＝b 时，等号成立，即两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均．定理3：如果a ，b ，c ∈R ＋，那么a ＋b ＋c 3≥a ＝b ＝c 时，等号成立．2．比较法(1)比差法的依据是：a －b ＞0⇔a ＞b ．步骤是：“作差→变形→判断差的符号”．变形是手段，变形的目的是判断差的符号．(2)比商法：若B ＞0，欲证A ≥B ，只需证AB ≥1.3．综合法与分析法(1)综合法：一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立．(2)分析法：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义，公理或已证明的定理，性质等)，从而得出要证的命题成立．1．(教材改编题)已知a ＋b ＋c ＞0，ab ＋bc ＋ac ＞0，abc ＞0，用反证法求证a ＞0，b ＞0，c ＞0时的反设为( )A ．a ＜0，b ＜0，c ＜0B ．a ≤0，b ＞0，c ＞0C ．a 、b 、c 不全是正数D ．abc ＜0【解析】 a ＞0，b ＞0，c ＞0的否定是：a ，b ，c 不全是正数． 【答案】 C2．四个不相等的正数a 、b 、c 、d 成等差数列，则( ) A.a ＋d 2>bcB.a ＋d 2<bcC.a ＋d 2＝bcD.a ＋d 2与bc 的大小不确定【解析】 ∵a ＋d ＝b ＋c ，且正数a ，b ，c ，d 不相等． ∴a ＋d 2＝b ＋c2＞bc . 【答案】 A3．设a ＝2，b ＝7－3，c ＝6－2，则a 、b 、c 间的大小关系是( ) A ．a >b >c B ．b >a >c C ．b >c >a D ．a >c >b 【解析】 由42＋2>46＋2>47＋3，得a >c >b . 【答案】 D 4．已知|a |≠|b |，m ＝|a |－|b ||a －b |，n ＝|a |＋|b ||a ＋b |，则m ，n 之间的大小关系是( ) A ．m ＞n B ．m ＜n C ．m ＝n D ．m ≤n【解析】 ∵|a |＋|b |≥|a ＋b |， ∴n ＝|a |＋|b ||a ＋b |≥1，又|a |－|b |≤|a －b |，∴m ＝|a |－|b ||a －b |≤1，因此n ≥m .【答案】 D5．已知a ＞0，b ＞0且ln(a ＋b )＝0，则1a ＋1b的最小值是________．【解析】 由题意得，a ＋b ＝1，a ＞0，b ＞0， ∴1a ＋1b ＝2＋b a ＋ab≥2＋2b a ·ab＝4， 当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立．【答案】 4已知a ＞0，b ＞0，求证：a b ＋ba≥a ＋b . 【思路点拨】 (1)作差变形，化为因式乘积的形式；(2)注意到a ＋b ＞0也可作商，转化为判定商值与1的大小．【尝试解答】 法一 ∵(a b ＋ba)－(a ＋b ) ＝(a b －b )＋(ba －a )＝a －b b ＋b －a a＝（a －b ）（a －b ）ab ＝（a ＋b ）（a －b ）2ab≥0，∴a b ＋ba ≥a ＋b .法二 由于a b ＋ba a ＋b ＝a a ＋b bab （a ＋b ）＝（a ＋b ）（a －ab ＋b ）ab （a ＋b ）＝a ＋b ab －1≥2abab－1＝1.又a ＞0，b ＞0，ab ＞0. ∴a b ＋ba≥a ＋b .,1．在法一中，采用局部通分，优化了解题过程；在法二中，利用不等式的性质，把证明a ＞b 转化为证明ab＞1(b ＞0)．2．作差(商)证明不等式，关键是对差(商)式进行合理的变形，特别注意作商证明不等式，不等式的两边应同号．设a ，b 是非负实数，求证：a 3＋b 3≥ab (a 2＋b 2)．【证明】 a 3＋b 3－ab (a 2＋b 2) ＝(a 3－a 2ab )＋(b 3－b 2ab ) ＝a 2a (a －b )－b 2b (a －b ) ＝(a －b )(a 5－b 5)． 当a ≥b ≥0时，a ≥b 且a 5≥b 5， 当b ＞a ≥0时，a ＜b 且a 5＜b 5， ∴a 3＋b 3－ab (a 2＋b 2)≥0， ∴a 3＋b 3≥ab (a 2＋b 2).(2013·大连调研)已知a ，b ，c 均为正数，证明：a 2＋b 2＋c 2＋(1a ＋1b ＋1c)2≥63，并确定a ，b ，c 为何值时，等号成立．【思路点拨】 考虑待证不等式的结构特征，a 2＋b 2＋c 2与1a ＋1b ＋1c 分别运用基本不等式；相加后，再用基本不等式，并根据等号成立的条件确定a ，b ，c 的值．【尝试解答】 因为a ，b ，c 均为正数，由均值不等式得 a 2＋b 2＋c 2≥3(abc )23，① 1a ＋1b ＋1c ≥3(abc )－13， 所以(1a ＋1b ＋1c )2≥9(abc )－23.②故a 2＋b 2＋c 2＋(1a ＋1b ＋1c )2≥3(abc )23＋9(abc )－23. 又3(abc )23＋9(abc )－23≥227＝63，③所以原不等式成立．当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立； 当且仅当3(abc )23＝9(abc )－23时，③式等号成立．因此当且仅当a ＝b ＝c ＝314时，原式等号成立．,1．综合法证明的逻辑关系是：A ⇒B 1⇒B 2⇒…⇒B n ⇒B (A 为已知条件或数学定义、定理、公理，B 为要证结论)，它的常见书面表达是“∵，∴”或“⇒”．2．综合法证明不等式，利用已证的不等式为基础，例如：a 2＋b 2≥2ab ，a ＋b2≥ab (a ≥0，b ≥0)，|a ＋b |≤|a |＋|b |及其变形等，再运用不等式的性质推导出所要证的不等式．(2013·徐州模拟)设a 、b 、c 为正实数，求证：1a 3＋1b 3＋1c3＋abc ≥2 3.【证明】 因为a ，b ，c 为正实数，由均值不等式可得 1a 3＋1b 3＋1c 3≥3 31a 3·1b 3·1c 3， 所以1a 3＋1b 3＋1c 3≥3abc.所以1a 3＋1b 3＋1c 3＋abc ≥3abc ＋abc .又3abc＋abc ≥2 3abc·abc ＝23， 所以1a 3＋1b 3＋1c 3＋abc ≥2 3.已知a >0，求证：a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2.【思路点拨】 观察待证不等式两边的特征：①左边是无理式，右边是有理式．②两边均非负．可考虑用分析法，通过平方寻找它成立的充分条件．【尝试解答】 要证原不等式，只需证 a 2＋1a 2＋2≥a ＋1a＋2，∵a >0，∴两边均大于零． 因此只需证a 2＋1a 2＋4＋4a 2＋1a 2≥a 2＋1a 2＋2＋2＋22(a ＋1a)，只需证2a 2＋1a 2≥2(a ＋1a)，只需证2(a 2＋1a 2)≥a 2＋1a 2＋2，即证a 2＋1a 2≥2，又a 2＋1a 2≥2显然成立，∴原不等式成立．,,\x(\a\al( 1.(1)分析法是寻找结论成立的充分条件，对于无理不等式去根号，分式不等式去分母，采用分析法是常用方法．(2)此题证明的关键是在两边非负的条件下平方去根号．,2.分析法证明的思路是“执果索因”，其框图表示为：Q ⇐P 1))→P 1⇐P 2)→P 2⇐P 3→…→得到一个明显成立的条件.ＫＫ(2013·盐城调研)已知m ＞0，a ，b ∈R ，求证：(a ＋mb 1＋m )2≤a 2＋mb 21＋m.【证明】 ∵m ＞0，∴1＋m ＞0. 欲证(a ＋mb 1＋m )2≤a 2＋mb 21＋m 成立．只需证明(a ＋mb )2≤(1＋m )(a 2＋mb 2)， 即证m (a 2－2ab ＋b 2)≥0， 只要证明a 2－2ab ＋b 2≥0，又a 2－2ab ＋b 2＝(a －b )2≥0显然成立， 故(a ＋mb 1＋m )2≤a 2＋mb 21＋m.已知a ，b ，c ∈(0，1)，求证：(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不能同时大于14.【思路点拨】 当直接证明命题较困难时，可根据“正难则反”，利用反证法加以证明． 【尝试解答】 假设三式同时大于14，即b －ab ＞14，c －bc ＞14，a －ac ＞14.三式同向相乘，得(1－a )a (1－b )b (1－c )c ＞164.①∵0＜a ＜1，∴(1－a )a ≤(1－a ＋a 2)2＝14.同理(1－b )b ≤14，(1－c )c ≤14.又(1－a )a ，(1－b )b ，(1－c )c 均大于零． ∴(1－a )a (1－b )b (1－c )c ≤164，②因此①式与②式矛盾．故假设不成立，即原命题成立．,1．反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面推理，就不是反证法． 2．凡涉及否定性、惟一性命题或含“至多”“至少”等语句的不等式时，常可考虑反证法．设m 是|a |、|b |和1中最大的一个，当|x |＞m 时，求证：|a x ＋bx2|＜2.【证明】 ∵m 是|a |，|b |和1中的最大的一个． ∴|x |＞m ≥1，|x |＞m ≥|b |， ∴|x 2|＞m 2＞|b |. 又|x |＞m ≥|a |， 因此|a x ＋b x 2|≤|a x |＋|b x 2|＝|a ||x |＋|b ||x 2|＜|x ||x |＋|x 2||x 2|＝2.一种原则“正难则反”原则．当直接证明有困难时，常采用反证法．一个程序反证法证明步骤是：(1)作出否定结论的假设；(2)利用假设进行推理，导出矛盾；(3)否定假设，肯定结论．两种方法1.分析法：B⇐B1⇐B2⇐…⇐B n⇐A(结论)．(步步寻求不等式成立的充分条件)(已知)．2．综合法：A⇒B1⇒B2⇒…⇒B n⇒B(已知)．(逐步推演不等式成立的必要条件)(结论)．从近两年高考命题看，做为新课标选考的重要内容，不等式证明严格按考试说明要求命题，试题难度不超过中等．着重考查比较法、综合法与分析法证明不等式，在证明中要注意放缩法的应用．创新探究之十四新定义型不等式及其证明(2013·常州质检)若实数x、y、m满足|x－m|＞|y－m|，则称x比y远离m.(1) 若x2－1比1远离0，求x的取值范围；(2)对任意两个不相等的正数a，b，证明：a3＋b3比a2b＋ab2远离2ab ab.【规范解答】(1)由题意知|x2－1－0|＞|1－0|，即|x2－1|＞1，所以x2－1＜－1或x2－1＞1，解得x＞2或x＜－2，所以x的取值范围是{x|x＞2或x＜－2}．(2)要证明a3＋b3比a2b＋ab2远离2ab ab，即证|a3＋b3－2ab ab|＞|a2b＋ab2－2ab ab|，因为a ≠b ，故a 2b ＋ab 2＞2a 2bab 2＝2ab ab ， a 3＋b 3＞2a 3b 3＝2ab ab .所以只需证a 3＋b 3－2ab ab ＞a 2b ＋ab 2－2ab ab . 即证明a 3＋b 3－(a 2b ＋ab 2)＞0， 化简得(a －b )2(a ＋b )＞0显然成立， 所以a 3＋b 3比a 2b ＋ab 2远离2ab ab .创新点拨：(1)本题是在题设情境上进行创新，定义新概念“x 比y 远离m ”；(2)注重新知识的接受、迁移能力，是对再学习能力的很好考查，并考查绝对值不等式的解法及不等式的证明．应对措施：(1)认真审题，吃透概念，抓住“x 比y 远离m ”，建立不等式；(2)“万变不离其宗”，增强自信，平时强化迁移能力的培养，善于把“新概念”，“新运算”转化为我们熟悉的“旧概念”、“旧运算”，并严格按照规定进行操作．1．(2013·合肥调研)若a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是________(写出所有正确命题的编号)．①ab ≤1；②a ＋b ≤2；③a 2＋b 2≥2；④a 3＋b 3≥3；⑤1a ＋1b ≥2.【解析】 令a ＝b ＝1，排除②④； 由2＝a ＋b ≥2ab ⇒ab ≤1，命题①正确； a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝4－2ab ≥2，命题③正确； 1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝2ab ≥2，命题⑤正确． 【答案】 ①③⑤2．(2013·济南模拟)已知a >0，b >0，且a ＋b >2，求证：1＋b a ，1＋ab 中至少有一个小于2.【证明】 假设1＋b a ，1＋a b 都不小于2，则1＋b a ≥2，1＋ab ≥2，∵a >0，b >0，∴1＋b ≥2a ，1＋a ≥2b ， 两式相加可得1＋b ＋1＋a ≥2a ＋2b ，即a ＋b ≤2. 这与已知a ＋b >2矛盾，故假设不成立． 因此，1＋b a ，1＋ab 中至少有一个小于2.。
高一数学上册《不等式的证明》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解不等式的定义，掌握不等式的性质及其证明方法；
2.学会运用比较法、综合法、分析法等证明不等式；
3.能够解决实际问题中与不等式相关的问题，如最值问题、范围问题等；
4.掌握不等式的变形技巧，提高解题能力；
5.了解不等式与函数、方程之间的关系，为后续学习打下基础。
2.难点：
-理解并掌握不等式证明中的比较法、综合法、分析法等证明方法；
-学会将不等式性质灵活运用到具体问题中，解决最值问题和范围问题；
-对于一些复杂不等式的证明，如何找到合适的证明思路和方法。
（二）教学设想
为了有效突破教学重难点，我设想以下教学策略和方法：
1.创设情境，激发兴趣：
-结合实际生活中的问题，引入不等式的概念，让学生感受到数学与现实生活的紧密联系；
5.通过小组合作、讨论交流等形式，促进学生互动与共享，提高合作学习能力。
（三）情感态度与价值观
在教学过程中，教师应关注以下情感态度与价值观的培养：
1.培养学生严谨的学习态度，使其认识到数学是一门严谨的学科；
2.激发学生对数学美的追求，感受数学的简洁、统一和优美；
3.培养学生面对困难时的坚持和毅力，使其勇于挑战自我，克服困难；
为了巩固本节课所学的不等式证明知识，培养学生的解题能力和创新思维，特布置以下作业：
1.基础巩固题：
-请学生完成课本习题中与本节课相关的基础题目，以巩固不等式的基本性质和证明方法。
-设计一些具有实际背景的不等式问题，让学生将所学知识应用于解决现实问题，提高学生的知识运用能力。
2.提高拓展题：
-选择一些难度较高的不等式证明题目，鼓励学生尝试运用不同的证明方法，培养其逻辑思维和创新能力。
不等式证明——分析法
③分析法的特点是：从“结论”探求“需知”，逐 分析法的特点是： 结论”探求“需知” 步靠拢“已知”，其逐步推理实际上是要寻找结论 步靠拢“已知” 的充分条件． 的充分条件． 综合法的特点是： 已知”推出“可知” 综合法的特点是：从“已知”推出“可知”， 逐步推向“未知” 逐步推向“未知”，其逐步推理实际上是要寻找已 知的必要条件． 知的必要条件． 各有其优缺点： ④各有其优缺点： 从寻求解题思路来看：分析法是执果索因， 从寻求解题思路来看：分析法是执果索因，利 于思考，方向明确，思路自然，有希望成功； 于思考，方向明确，思路自然，有希望成功；综合 法由因导果，往往枝节横生， 法由因导果，往往枝节横生，不容易达到所要证明 的结论． 的结论． 从书写表达过程而论：分析法叙述繁锁，文辞 从书写表达过程而论：分析法叙述繁锁， 冗长；综合法形式简洁，条理清晰． 冗长；综合法形式简洁，条理清晰． 也就是说，分析法利于思考，综合法宜于表达． 也就是说，分析法利于思考，综合法宜于表达．
不等式证明——分析法 分析法 不等式证明
• 教学目标 1．掌握分析法证明不等式； ．掌握分析法证明不等式； 2．理解分析法实质 执果索因； ．理解分析法实质——执果索因； 执果索因 3．提高证明不等式证法灵活性 ．提高证明不等式证法灵活性. • 教学重点 分析法 • 教学难点 分析法实质的理解
导入新课
练习
1.求证 ，当流速相同时，如果水管 证明：通过水管放水，当流速相同时， 证明 截面（指横截面，下同）的周长相等， 截面（指横截面，下同）的周长相等，那么截面是 圆的水管比截面是正方形的水管流量大． 圆的水管比截面是正方形的水管流量大．
1．思考题：若 ．思考题：
证法二
证法二： 证法二：欲证 只需证 即证 即证 因为 所以 成立 成立． 成立． 因为
初中数学不等式公开课教案
初中数学不等式公开课教案1、理解不等式的概念和性质；2、掌握一元一次不等式的解法；3、能够应用不等式解决实际问题；4、培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二、教学重点和难点重点：1、不等式的概念和性质；2、一元一次不等式的解法。
难点：一元一次不等式的解法。
三、教学方法启发式、讲练结合、小组合作。
四、教学过程（一）复习导入1、复习一元一次方程的解法；2、引入不等式概念，让学生举例说明不等式的含义。
（二）新课讲解1、介绍不等式的概念和性质；2、讲解一元一次不等式的解法；3、通过例题讲解不等式的解法应用。
（三）课堂练习1、布置练习题，让学生独立解答；2、选取部分学生的解答进行讲解和评价。
（四）小组讨论1、布置小组讨论题目，让学生分组讨论；2、选取小组代表进行解答和讲解。
（五）总结和拓展1、总结不等式的概念和性质；2、讲解不等式在实际问题中的应用；3、提出拓展问题，引导学生思考。
五、教学评价1、课堂讲解：重点清晰，难点解释到位，语言表达准确；2、课堂练习：学生参与度高，解答正确率较高；3、小组讨论：学生能够积极参与，小组合作良好；4、学生反馈：学生对不等式的理解和应用有较好的掌握。
六、教学反思在课后，教师应反思教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学策略，以提高教学效果。
同时，关注学生的学习反馈，及时解答学生的疑问，提高学生的学习兴趣和自信心。
七、教学资源1、教案；2、PPT；3、练习题；4、小组讨论题目。
八、教学时间1课时。
九、教学内容1、不等式的概念和性质；2、一元一次不等式的解法；3、不等式在实际问题中的应用。
2020文数不等式的证明(1)比较综合分析法教案(蔡卫强)
在线堂课不等式的证明（比较法、综合法、分析法）授课教师：江西师大附中蔡卫强合情推理是发现的方法，演绎推理是数学中严格证明的工具.怎样用演绎推理来证明呢？这是要讲究方法的.今天,我们就来认识一些基本的证明方法……一、作差比较法 1．理论依据：①a ＞b ⇔ ；②a ＝b ⇔a －b ＝0； ③a ＜b ⇔ . 2．定义：要证明a ＞b ，转化为证明 ，这种方法称为作差比较法．3．步骤：① ；②变形；③ ；④下结论．a －b ＞0 a －b ＜0 a －b ＞0 判断符号作差二、 作商比较法 1．理论依据：当b ＞0时，①a ＞b ⇔ ；②a ＜b ⇔ab ＜1；③a ＝b ⇔ab ＝1. 2．定义：证明a ＞b (b ＞0)，只要转化为证明 ，这种方法称为作商比较法．3．步骤：①作商；②变形；③判断商与1大小；④下结论．ab ＞1 ab ＞1【例1】已知a，b∈R，求证：a2＋b2＋1≥ab＋a＋b.[精彩点拨]此不等式作差后是含有两个字母的二次式，既可配成平方和的形式，也可根据二次三项式的判别式确定符号．[自主解答]法一∵a2＋b2－ab－a－b＋1＝12[(a－b)2＋(a－1)2＋(b－1)2]≥0，∴a2＋b2＋1≥ab＋a＋b.作差比较法证明不等式法二a2＋b2－ab－a－b＋1＝a2－(b＋1)a＋b2－b＋1，对于a的二次三项式，Δ＝(b＋1)2－4(b2－b＋1)＝－3(b－1)2≤0.∴a2－(b＋1)a＋b2－b＋1≥0，故a2＋b2＋1≥ab＋a＋b.1．作差比较法中，变形具有承上启下的作用，变形的目的在于判断差的符号，而不用考虑差值的多少．2．因式分解是常用的变形手段，为了便于判断“差式”的符号，常将“差式”变形为一个常数，或几个因式积的形式，当所得的“差式”是某字母的二次三项式时，可利用“Δ”判定符号．【例2】 已知a ＞0，b ＞0且a ≠b ，求证：a a b b ＞.[精彩点拨] →作商变形 →与1比较大小→下结论作商比较法证明不等式1．当不等式的两端为指数式时，可作商证明不等式．2．运用a ＞b ⇔a b ＞1证明不等式时，一定注意b ＞0是前提条件．若符号不能确定，应注意分类讨论．三、 综合法一般地，从 出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫做 ，又叫 或 ．由因导果法 已知条件 综合法 顺推证法 用综合法证明不等式的逻辑关系))()((21结论必要条件逐步推演不等式成立的已知BB B B A n ⇒⇒⇒⇒⇒【例3】 已知a ，b ，c 是正数，求证：b 2c 2＋c 2a 2＋a 2b 2a ＋b ＋c ≥abc .[精彩点拨] 由a ，b ，c 是正数，联想去分母，转化证明b 2c 2＋c 2a 2＋a 2b 2≥abc (a ＋b ＋c )，利用x 2＋y 2≥2xy 可证．或将原不等式变形为bc a ＋ac b ＋abc ≥a ＋b ＋c 后，再进行证明．用综合法证明不等式[自主解答] 法一 ∵a ，b ，c 是正数，∴b 2c 2＋c 2a 2≥2abc 2，b 2c 2＋a 2b 2≥2ab 2c ，c 2a 2＋a 2b 2≥2a 2bc ， ∴2(b 2c 2＋c 2a 2＋a 2b 2)≥2(abc 2＋ab 2c ＋a 2bc )，即b 2c 2＋c 2a 2＋a 2b 2≥abc (a ＋b ＋c )．又a ＋b ＋c ＞0，∴b 2c 2＋c 2a 2＋a 2b2a ＋b ＋c ≥abc .法二 ∵a ，b ，c 是正数，∴bc a ＋acb ≥2bca ·acb ＝2c .同理ac b ＋ab c ≥2a ，ab c ＋bca ≥2b ， ∴2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫bc a ＋ac b ＋ab c ≥2(a ＋b ＋c )．又a ＞0, b ＞0，c ＞0，∴b 2c 2＋a 2c 2＋a 2b 2≥abc (a ＋b ＋c )．故b 2c 2＋c 2a 2＋a 2b 2a ＋b ＋c ≥abc .1．综合法证明不等式，揭示出条件和结论之间的因果联系，为此要着力分析已知与求证之间、不等式的左右两端之间的差异与联系，合理进行转换，恰当选择已知不等式(切入点)，这是证明的关键．2．综合法证明不等式的主要依据：(1)不等式的基本性质；(2)基本不等式及其变形；(3)三个正数的算术-几何平均不等式等．22222222333,,:(1)0;(2)0;(3)2;222(4);1122(5)3;(6)a b a b a a a b ab a b a bab a ba b c abc a b a b a b++⎛⎫≥≥+≥≥ ⎪⎝⎭++≤≤≤+++≥-≤±≤+利用综合法证明不等式时应注意对已证不等式的使用常用的不等式有四、 分析法证明命题时，我们还常常从要证的 出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为 或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做，这是一种执果索因的思考和证明方法． 分析法 结论 已知条件 用分析法证明不等式的逻辑关系知成立的充分条件论已步步寻求不等式结 ) ( 21AB B B B n ⇐⇐⇐⇐⇐用分析法证“若A则B”这个命题的模式是: 为了证明命题B为真,为真,从而有……只需证明命题B1只需证明命题B为真,从而有……2……只需证明命题A为真.而已知A为真,故B必真.【例4】已知a＞b＞0，求证：(a－b)28a＜a＋b2－ab＜(a－b)28b.[精彩点拨]本题要证明的不等式显得较为复杂，不易观察出怎样由a＞b＞0得到要证明的不等式，因而可以用分析法先变形要证明的不等式，从中找到证题的线索．[自主解答] 要证原不等式成立，只需证(a －b )24a ＜a ＋b －2ab ＜(a －b )24b ， 即证⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 2a 2＜(a －b )2＜⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 2b 2.只需证a －b2a ＜a －b ＜a －b2b ，即a ＋b2a ＜1＜a ＋b2b ，即b a ＜1＜ab .只需证b a ＜1＜ab . ∵a ＞b ＞0，∴b a ＜1＜ab 成立．∴原不等式成立．1．解答本题的关键是在不等式两边非负的条件下，利用不等式的开方性质寻找结论成立的充分条件，采用分析法是常用方法．证明过程一要注意格式规范，二要注意逻辑关系严密、准确．2．当所证不等式与重要不等式、基本不等式没有什么直接联系，或条件与结论之间的关系不明显时，可用分析法来寻找证明途径．常常利用移项、去分母、平方、开方等方法进行分析探路．【例5】设x，y∈(0，＋∞)，求证：12(x＋y)2＋14(x＋y)≥x y＋y x.证明：原不等式⇔2(x＋y)2＋(x＋y)≥4x y＋4y x ⇔(x＋y)[2(x＋y)＋1]≥2xy(2x＋2y)．因为x ＋y ≥2xy ＞0， 所以只需证2(x ＋y )＋1≥2x ＋2y .即证⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋14≥x ＋y .而x ＋14≥2x 4＝x ，y ＋14≥2y4＝y ，当且仅当x ＝y ＝14时，等号成立，所以12(x ＋y )2＋14(x ＋y )≥x y ＋y x .1．分析法在思考上优于综合法，易于寻找证明的思路，综合法在证明过程中书写表达条理、简练，故常将两法综合使用，用分析法“探路”，用综合法“书写”，从而解决较复杂的不等式证明问题．2．在证明不等式的过程中，分析法和综合法是不能分离的，如果使用综合法证明不等式难以入手，常用分析法探索证题途径，之后用综合法的形式写出它的证明过程．有时问题证明难度较大，常综合应用分析法和综合法，从两头往中间靠以达到证题目的．当堂达标固双基1．设a，b，m均为正数，且ba＜b＋ma＋m，则a与b的大小关系是________．[解析]b＋ma＋m－ba＝m(a－b)a(a＋m)＞0.又a，b，m为正数，∴a(a＋m)＞0，m＞0，因此a－b＞0.即a＞b.[答案]a＞b3．已知a≥b＞0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b.[证明]2a3－b3－(2ab2－a2b)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b)．因为a≥b＞0，所以a－b≥0，a＋b＞0,2a＋b＞0, 从而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0，即2a3－b3≥2ab2－a2b.2222224.,,0,,()()()6a b c a b c b c a c a b abc >+++++>已知且不全相等求证:abc c b a a bc c b 2)(,0,2 :2222≥+∴>≥+ 证明abc a c b b ac a c 2)(,0,2 2222≥+∴>≥+ abc b a c c ab b a 2)(,0,2 2222≥+∴>≥+ abcb ac a c b c b a c b a 6)()()(,,,,222222>+++++把它们相加得取等号少有一个不所以上述三个式子中至不全相等由于5．已知a ＞0，求证： a 2＋1a 2－2≥a ＋1a －2.[证明] 因为a ＞0，要证原不等式成立，只需证 a 2＋1a 2＋2≥a ＋1a ＋2，即证a 2＋1a 2＋4a 2＋1a 2＋4≥⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋1a 2＋22⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋1a ＋2，只需证2·a 2＋1a 2≥a ＋1a ， 即证2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a 2＋1a 2≥a 2＋1a 2＋2，只需证a 2＋1a 2≥2.由基本不等式知a 2＋1a 2≥2显然成立，所以原不等式成立．1. 比较法(作差比较法与作商比较法)是证明不等式最基本、最重要的方法，其基本步骤是:①作差(或作商);②变形;③判断差的符号(或商与“1”的大小);④下结论.其中“变形”是关键，作差比较法通常将差变形成因式乘积的形式或平方和的形式，再结合不等式的性质判断正负，作商比较法往往运用于不等式是乘积式或幂的形式.2．综合法是从已知条件或基本不等式出发，运用不等式的有关性质推导出所要证明的不等式，证明思路是“由因导果”．综合法证明不等式，要揭示出条件与结论间的因果联系，为此要着力分析已知与求证间，不等式左、右两端的差异与联系，合理变换、恰当选择已知不等式是证明的关键．寻找启动不等式是综合法的难点.22222222333:(1)0;(2)0;(3)2;222(4);1122(5)3;(6)a b a b a a a b ab a b a b ab a ba b c abc a b a b a b++⎛⎫≥≥+≥≥ ⎪⎝⎭++≤≤≤+++≥-≤±≤+常用的不等式有3．分析法就是从求证的不等式出发，执果索因，找出使这个不等式成立需具备的充分条件，直至能肯定所需条件已经具备．证明的关键是推理的每一步都必须可逆．用分析法证明“若A则B”的模式为：欲证命题B成立，只需证命题B1成立……只需证命题B2成立…………只需证明A为真．今已知A为真，故B必真．可以简单写成：B⇐B1⇐B2⇐……⇐B n⇐A.4．证明时省略掉“要证明”和“只需证明”的字样，就会颠倒因果关系而犯逻辑上的根本错误，但可用“⇐”取代那些必要的词语．应予以足够重视．5．分析法和综合法是对立统一的两种方法，分析法的特点是利于思考，因为其方向明确，思路自然，易于掌握．综合法的优点是宜于表述、条理清楚、形式简洁．证明时常用分析法探索证明途径，后用综合法的形式写出证明过程，这是解数学问题的一种重要思想方法．Thank you for watching !。
《不等式证明》教案
《不等式证明》教案不等式证明教案导言不等式是数学中常见的一种关系表达形式，它在数学推理和证明中起着重要作用。
本教案旨在向初学者介绍不等式的证明方法和技巧，帮助他们提升数学证明的能力。
教学目标- 理解不等式的定义和性质- 学会使用基本不等式进行证明- 掌握特殊不等式的证明方法和策略- 培养思维逻辑和推理能力教学内容第一节：基本不等式的证明1. 等式和不等式的区别和联系2. 不等式的基本性质3. 如何使用数学归纳法进行不等式证明4. 常见的基本不等式（如柯西不等式、均值不等式等）的证明方法第二节：特殊不等式的证明1. 倒数不等式的证明方法2. 平方不等式的证明方法3. 绝对值不等式的证明方法4. 求根不等式的证明方法第三节：思维逻辑与推理能力的培养1. 分析和解决实际问题中的不等式2. 探索不等式证明中的启发式和创新方法3. 提供丰富的实例和练，培养学生的推理能力和思考能力教学活动1. 小组讨论：让学生自由讨论不等式的证明方法和技巧，分享自己的经验和想法。
2. 个人练：提供一些典型的不等式题目给学生进行练，培养他们的证明能力。
3. 案例分析：选取一些实际问题，引导学生运用不等式进行分析和解决。
教学评估1. 口头讲解：要求学生用简洁明了的语言讲解某一不等式的证明过程。
2. 书面作业：布置一些不等式证明的作业，包括典型题目和实际应用题。
教学资源- 教材：提供一本适合初学者的不等式教材，既包括基础知识，也包括例题和题。
- 参考资料：提供一些不等式证明的参考资料，让学生拓宽知识面。
教学反思本教案注重培养学生的证明能力和思维逻辑，通过丰富的实例和练习，帮助学生提高不等式证明的技巧和策略。
同时，通过实际问题的分析和解决，培养学生的思考能力和创新能力。
在教学过程中，要根据学生的实际情况进行因材施教，激发学生的学习兴趣和动力。
不等式证明(4)分析法
2 5 0
只需证明： ( 3 7 ) 2 (2 5 ) 2 展开得：
10 2 21 20
即： 2 21 10 ∴
21 5
即：21 < 25（显然成立） ∴ 3 7 2 5 综合法证明：∵21 < 25 ∴ 21 5 例 题 讲 解 ∴ 2 21 10
∴ 10 2 21 20 ∴ ( 3 7 ) 2 (2 5 ) 2 ∴ 3 7 2 5 【例２】已知 a、b、m 均为正数，且 a<b，用分析法证明 证明：
由于 a b 0, 故最后不等式是成立的，
2 a b 所以有
8a
a b . ab ab 2 8b
2
4．已知 a 0 ,求证: 3(1 a 2 a 4 ) (1 a a 2 ) 2 证法一:(比较法)
3(1 a 2 a 4 ) (1 a a 2 ) 2 3 3a 2 3a 4 (1 a 2 a 4 2a 2a 2 2a 3 ) 2a 4 2 2a 2a 3 2(a 1) 2 (a 2 a 1) 0
6 6 2 2 2 2 6 6 3 3
即： 3x y ( x y ) 2 x y
2 2 2 2 3
3
只需证： x y
2 2
2 xy 3 2 2 2 ∵ x y 2 xy xy 成立 3
1 1
∴ (x 2 y 2 ) 2 (x3 y 3 ) 3 证二： （综合法）
3 3 2 2 2．已知 a, b R ，且 a b ，求证： a b a b ab
证法一:： （分析法）要证： a b a b ab b
不等式证明方法的教案设计
不等式证明方法的教案设计。
一、教学目标1.了解不等式的基本概念和性质2.掌握不等式证明的基本方法和技巧3.理解证明的本质，掌握证明的思想方法二、教学重点1.不等式证明方法的基本思想和技巧2.如何运用不等式的基本性质证明三、教学难点1.如何运用证明方法证明不等式2.如何理解证明的本质四、教学方法1.教师讲授2.举例讲解3.归纳总结五、教学步骤1.引入通过举一些经典不等式的例子，引导学生了解不等式的基本概念和性质，明确掌握证明的重要性和必要性。
2.讲解不等式证明方法通过举例讲解，从不等式证明思想方法和技巧两个方面进行讲解。
从思想方法的角度分析，通过构造数列、打开分式等方法，依次进行严格的推导，最终证明出不等式成立。
从技巧的角度进行讲解，介绍如何利用数学运算和不等式的基本性质来辅助证明不等式。
3.举例讲解针对不同难度的不等式举例讲解，引导学生掌握证明方法和技巧。
学生可以通过课后练习，自己掌握不等式证明方法并独立进行练习。
4.归纳总结将不等式证明方法和技巧进行归纳总结，帮助学生掌握不等式证明的一般方法，并对证明思想进行深入理解。
六、教学建议1.学生在学习不等式证明时，可以先进行基本性质的学习，并掌握几种最常用的证明方法。
2.教师要注意根据不同学生的实际情况进行差异化教学，帮助学生快速掌握不等式证明技巧。
3.为鼓励学生学好数学，教师可以通过欣赏数学家们的历史事迹激发学生学习数学的热情，提高学生学习积极性。
七、教学效果学生经过本课程的学习和训练，能够掌握不等式的基本概念和性质，掌握证明的方法和技巧，理解证明的本质，对不等式证明问题具有更深入的认识和理解，为高中数学学习打下坚实的基础。
不等式的证明方法(分析法)
不等式的证明方法（分析法）பைடு நூலகம்
教学目的:
1.理解分析法证明不等式的原理和 思维特点. 2.理解分析法的实质就是执果索因 的方法. 3.掌握分析法证明不等式的方法与 步骤
教学重点与难点:
教学重点 : 掌握分析法证明不等式 的方法与步骤. 教学难点: 理解分析法证明不等式 的原理和思维特点
教学过程
一. 复习导入. 1.证明不等式已经学过了那些方法？ （比较法,综合法,反证法） 2.能否用学过的方法证明下列不等式: 2 2 2 2 2 • （1)求证: a b c d ac bd • 学生首选方法是作差法,综合法就不知从何入手. • （2）求证: 3 7 2 5 • 作差法不易,综合法也比较困难.这时我们可采用 另一种证明方法:分析法（板书课题）.
分析法证明不等式（5篇）
分析法证明不等式（5篇）第一篇：分析法证明不等式主备人：审核：包科领导：年级组长：使用时间：5【教学目标】1.掌握分析法证明不等式的方法和步骤。
2.能够利用分析法证明不等式。
【重点、难点】重点：分析法证明不等式。
难点：分析法证明不等式。
【学法指导】1.据学习目标，自学课本内容，限时独立完成导学案；2.红笔勾出疑难点，提交小组讨论；1，预习p17-p18,【自主探究】i.分析法：从所要证明的结论入手向已知条件反推直至达到已知条件为止，这种证明方法称为。
即“执果索因”的证明方法，即从“未知” 看“”它也是证明不等式的一种重要的基本方法。
证明时一定要注意书写格式。
ii.分析法的本质是从需证的不等式出发寻求使结论成立的充分条件，证明的关键是推理每一步都必须可逆，简言之，步步可逆。
证明的模式(步骤)以论证“若A则B”为例；欲证明B成立，只需证明B1成立，从而又……只需证明B2成立，从而又………………只需证明A为真，今已知A真,故B必真可见分析法就是寻求上一步成立的充分条件，可以简单写成B⇐B1⇐B2⇐......⇐A【合作探究】证明下列不等式（1）求证：分析法证明不等式>2（2）已知ａ＞0, b>0且a>b<【巩固提高】（1），已知a,b,x,y∈R,且a2+b2=1,x2+y2=1,求证: ax+by≤1+（2），已知a,b ∈R,a+b=1,求证:(a+)(b+)≥1a1b25 4【能力提升】已知 a,b ∈R,2c>a+b,求证:c<a<c+本节小结：————————————————————————————————————————————第二篇：分析法证明不等式专题分析法证明不等式已知非零向量a,b,a⊥b，求证|a|+|b|/|a+b|<=√2【1】∵a⊥b∴ab=0又由题设条件可知，a+b≠0(向量)∴|a+b|≠0.具体的，即是|a+b|>0【2】显然，由|a+b|>0可知原不等式等价于不等式：|a|+|b|≤(√2)|a+b|该不等式等价于不等式：(|a|+|b|)²≤².整理即是：a²+2|ab|+b²≤2(a²+2ab+b²)【∵|a|²=a².|b|²=b².|a+b|²=(a+b)²=a²+2ab+b²又ab=0,故接下来就有】】a²+b²≤2a²+2b²0≤a²+b²∵a，b是非零向量，∴|a|≠0,且|b|≠0.∴a²+b²>0.推上去，可知原不等式成立。
用分析法证明不等式
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二十五、梦是心灵的思想，是我们的秘密真情。——杜鲁门·卡波特
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二十六、坚强的信念能赢得强者的心，并使他们变得更坚强。——白哲特
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二十七、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德
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二十八、青少年是一个美好而又是一去不可再得的时期，是将来一切光明和幸福的开端。——加里宁
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七十二、一个人如果已经把自己完全投入于权力和仇恨中，你怎么能期望他还有梦？——古龙
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七十三、一个人有钱没钱不一定，但如果这个人没有了梦想，这个人穷定了。——佚名
•Leabharlann 七十四、平凡朴实的梦想，我们用那唯一的坚持信念去支撑那梦想。——佚名
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七十五、最初所拥有的只是梦想，以及毫无根据的自信而已。但是，所有的一切就从这里出发。——孙正义
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三十七、一块砖没有什么用，一堆砖也没有什么用，如果你心中没有一个造房子的梦想，拥有天下所有的砖头也是一堆废物；但如果只有造房子的梦想，而没有砖头，梦想也没法实现。——俞敏洪
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三十八、如意算盘，不一定符合事实。——奥地利
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三十九、志向不过是记忆的奴隶，生气勃勃地降生，但却很难成长。——莎士比亚
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四十、如果失去梦想，人类将会怎样？——热豆腐
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十一、一个人的理想越崇高，生活越纯洁。——伏尼契
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十二、世之初应该立即抓住第一次的战斗机会。——司汤达
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十三、哪里有天才，我是把别人喝咖啡的工夫都用在工作上的。──鲁迅
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十四、信仰，是人们所必须的。什麽也不信的人不会有幸福。——雨果
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十五、对一个有毅力的人来说，无事不可为。——海伍德
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十六、有梦者事竟成。——沃特
高二数学教案： 分析法证明不等式
求证： + ≥4
课堂练习：书P16T1,2,3P17T4
课堂小结：分析法的格式
布置作业：
课 题
不等式的证明（分析法）
课 型
新授课
教学目标
1、掌握分析法证明不等式的思想方法并能运用分析法证明不等式
2、使学生学会分析问题的方法，提高分析问题的能力
3、激发学生解决问题的兴趣，活跃学生的思维
教学重点
分析法证明不等式
教学难点
分析法的格式
教学过程
教学内容
备课札记
一、引入：
证明不等式的时候，有些不等式如果从已知出发证明，怎么证有时很难把握；这时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判断这些充分条件是否具备的问题。如果能够肯定这些充分条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立。这种证明方法通常叫做分析法。
二、新知讲授：
例1、求证：
注意：讲清分析法证明的步骤和格式
例2、证明：通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面（指横截面，下同）的周长相等，那么截面是圆的水管比截面正方形的水管流量大。
例3、已知ΔABC的三边长是a,b,c，且m为正数，求证：
(书P17T9)
例4、已知a≥4，用分析法证明：
- < -
不等式证明--分析法名师课件
即证
a2 1 a
即证 -1＜0 （成立） 所以原不等式 a 1 a 1 2 a 成立
例4.已知a>b>0,求证
(a b)2 a b
(a b)2 ab
8a
2
8b
证明：由于a>b>0,，要证原不等式成立
只需证
(a b)2
(a b)2
a b 2 ab
要证命题B成立， 只需证命题B1成立，从而有…… 只需证命题B2成立，从而又有…… 这只需证明A成立，
今已知命题A成立，故命题B必成立
例1. 求证. 3 7 2 5
证法二 21 25， 21 5,
2 21 10, 即 10 2 21 20
( 3 7)2 (2 5)2 3 7 2 5
当
a
b
时，a
b
m m
a; b
当a
b 时，a m
bm
a; b
例3：已知a＞1，求证： a 1 a 1 2 a
证明：∵a＞1 要证
只需证
∴a+1＞0 a-1＞0 a1 a1 2 a
2
2
a1 a1 2 a
即证 a 1 2 a2 1 a 1 4a
综合法：“从已知，利用性质、定理等，逐步推出未 知”的过程
A B1 B2 …… Bn B
求证： 3 7 2 5
分析法的定义：
证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发， 分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转 化为判断这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯 定这些充分条件都已具备，那么就可以判定原不等式 成立，这种证明方法通常叫做分析法
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• 教学目标 1．掌握分析法证明不等式； 2．理解分析法实质——执果索因； 3．提高证明不等式证法灵活性.
• 教学重点 分析法 • 教学难点 分析法实质的理解
导入新课
［问题1］我们已经学习了哪几种不等式的证 明方法？什么是比较法？什么是综合法？
［问题 2］能否用比较法或综合法证明不等式 ：
关于分析法ห้องสมุดไป่ตู้
①从求证的不等式出发，逐步寻求使不等式成立的充 分条件，直至所需条件被确认成立，就断定求证的不 等式成立，这种证明方法就是分析法．
有时，我们也可以首先假定所要证明的不等式成 立，逐步推出一个已知成立的不等式，只要这个推出 过程中的每一步都是可以逆推的，那么就可以断定所 给的不等式成立．这也是用分析法，注意应强调“以 上每一步都可逆”，并说出可逆的根据． ②分析法的思路是“执果导因”：从求证的不等式出 发，探索使结论成立的充分条件直至已成立的不等式 ．它与综合法是对立统一的两种方法．
• 分析法论证“若A则B”这个命题的书写格 式是：
• 要证命题B为真， • 只需证明B1 为真，从而有…… • 这只需证明B2 为真，从而又有…… • …… • 这只需证明A为真． • 而已知A为真，故命题B必为真．
练习
1.求证
2.求证：
3.证明：通过水管放水，当流速相同时，如果水管 截面（指横截面，下同）的周长相等，那么截面是 圆的水管比截面是正方形的水管流量大．
1．思考题：若
，求证
2．研究性题：已知函数
，
，若 、
，且
证明
关于分析法与综合法
①分析法与综合法是思维方向相反的两种思考方法． ②在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需 求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的 已知条件．即推理方向是：结论 →已知．
综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步 的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题．即：已 知→结论
…
③用分析法证明不等式的逻辑关系是：
B← B1← B2←… Bn← A （已知B）逐步推演不等式成立的必要条件（结论A） ④分析法的本质是从结论分析出使结论成立的“充分” 条件,要正确使用连接有关（分析推理）步骤的关键 词．如“为了证明”“只需证明”“即”以及“假 定……成立”等． ⑤分析法是证明不等式时一种常用的基本方法．当证明 不知从何入手时，有时可以运用分析法而获得解决．特 别对于条件简单而结论复杂的题目往往更是行之有效．
一般来说，对于较复杂的不等式，直接运用综合 法往往不易入手，用分析法来书写又比较麻烦．因此， 通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明， 所以分析法和综合法经常是结合在一起使用的．
③分析法的特点是：从“结论”探求“需知”，逐 步靠拢“已知”，其逐步推理实际上是要寻找结论 的充分条件．
综合法的特点是：从“已知”推出“可知”， 逐步推向“未知”，其逐步推理实际上是要寻找已 知的必要条件． ④各有其优缺点：
例 已知：
，求证：
（用分析法）请思考下列证法有没有错误？若有错误， 错在何处？
证法一：因为
，所以
去分母，化为
就是
由已知
成立
所以求证的不等式成立．
错误的原因是：虽然是从结论出发，但不是逐步 逆证结论成立的充分条件 。
证法二
证法二：欲证 只需证 即证 即证 因为 所以
因为
成立 成立．
用分析法证明时要注意书写格式．
从寻求解题思路来看：分析法是执果索因，利 于思考，方向明确，思路自然，有希望成功；综合 法由因导果，往往枝节横生，不容易达到所要证明 的结论．
从书写表达过程而论：分析法叙述繁锁，文辞 冗长；综合法形式简洁，条理清晰． 也就是说，分析法利于思考，综合法宜于表达．
例题示范、学会应用
求证 2 〈7 3 6
证明：因为 2 7和 3 6都是正数，所以要证
2 〈7 3 6
只需证
（ 2 7）〈2 （ 3 6）2
展开得
9 2 1〈4 9 2 18
只需证
只需证
1〈4 18
1〈4 18
因为1〈4 18成立，所以 2 〈7 3 6。
从14〈18逐步倒推，有什么发现？