分析法证明不等式

分析法证明不等式
山东 林 博
分析法是不等式证明的基本方法，但它不失为不等式证明的重要方法．下面以几道不等式证明题作为分析法的范例加以阐释．
例1 已知：a b c +∈R ，，，
求证：3223a b a b c ab abc +++⎛⎫⎛⎫-3- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
≤． 分析：这道题从考查思维的角度来看，方法基本，只要从分析法入手———步步变形，问题极易解决．
证明：为了证明3223a b a b c ab abc +++⎛⎫⎛⎫-3- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
≤， 只需证明323ab c abc --≤，
即证明332abc c ab c ab ab +=++≤．
而3333c ab ab c
ab ab abc ++=≥成立，且以上各步均可逆， ∴32323a b a b c ab abc +++⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
≤． 点评：分析法是思考问题的一种基本方法，容易找到解决问题的突破口．
例2 已知关于x 的实系数方程2
0x ax b ++=有两个实根αβ，，证明：
（1）如果||2α<，||2β<，那么2||4a b <+，且||4b <；
（2）如果2||4a b <+，且||4b <，那么||2α<，||2β<．
分析：本题涉及参数较多，应注意它们之间的等量关系．
证明：∵αβ，是方程20x ax b ++=的两个实根，
∴a αβ+=-，b αβ=．
（1）欲证2||4a b <+，且||4b <．
只要证2||4αβαβ+<+，且||4αβ<，
而||2α<，||2β<，从而有||4αβ+<，40αβ+>．
故只要证224()(4)αβαβ+<+，只要证22(4)(4)0αβ-->．
又∵||2α<，||2β<，2
4α∴>，24β<．
∴22(4)(4)0αβ-->成立，故原不等式成立．
（2）欲证||2α<，||2β<．
只要证24α<，24β<．
只要证22(4)(4)0αβ-->，且||4αβ<．
只要证224()(4)αβαβ+<+，且||4αβ<．
只要证224(4)a b <+，且||4b <， 只要证2|| |
4|a b <+，且||4b <． 即要证2||4a b <+，且||4b <．
最后一式为已知条件不等式，故原不等式成立．
点评：应用分析法，一方面要注意寻找使结论成立的充分条件，另一方面要有目的性，逐步逼近已知条件或必然结论．
例3 已知a ＞0，b ＞0，2c a b >+，求证：22c c ab a c c ab --<<+-．
分析：观察待证式子是连锁不等式，不易用比较法，又待证式子等价于22c ab a c c ab --<-<-，即2||a c c ab -<-，也不具备使用基本不等式的特点，而用分析法比较合适．
证明：要证22c c ab a c c ab --<<+-，
只需证22c ab a c c ab --<-<-，
只需证2||a c c ab -<-，
即证22
()a c c ab -<-．
即证22a ac ab -<-．
∵a ＞0，只需证2a c b -<-，
即证2a b c +<，这为已知．
故原不等式成立．
点评：分析法的步骤是未知→需知→已知，在操作中“要证”，“只需证”，“即证”等这样的词语是不可缺少的．
要点警示：
1．有些不等式直接运用综合法往往不易得手，我们可以用分析法探索证题途径，注意
挖掘题目中的隐含条件，由结论适当转化．
2．运用分析法证题是初学者的一个难点．分析法的正确书写格式要求学生正确使用连接有关步骤的关键词．如“为了证明”、“只需证明”、“即”以及“假定……成立”等，不能图省事少写或不写，否则就不是分析法了．
3．分析法是证明不等式的一种常用的基本方法．当证明不知从何下手时，有时可以运用分析法而获得解决，特别是对条件简单而结论复杂的题目往往更是行之有效．。