忽视二次根式运算的隐含条件致错例析
八年级数学下册12.3二次根式的加减二次根式错解分类辨析素材苏科版
二次根式错解分类辨析二次根式是初中数学中的重要内容，其中的概念和性质都有条件限制，同学们在运用这些概念和性质解题时，往往会忽视这些条件而导致错解．现列举六种常见的解题错误进行分析，希望能引起同学们的注意． 一、忽视二次根式a 中0≥a 这一隐含条件而造成错解例1、化简11)1(---a a 错解:)11()1(11)1(2--•-=---a a a a =a a -=--1)1( 辨析：错解中忽视了11--a ＞0这一隐含条件，即a ＜1，此式的值应为负值． 正解：)11()1(11)1(2--•--=---a a a a =a a --=---1)1( 二、运用a a =2时忽视a ＜0这种情形，没有把22)(a a 和区别开来．例2、化简2)21(- 错解：2)21(-=1－2 辨析：错解中没有把22)(a a 和区别开来,忽视了1－2是一个负数这种情况．平时应养成先判断a 的符号，再脱去2a 中的根号这一好的习惯．正解：因为1－2＜0 所以2)21(-=21-=2－1三、运用二次根式性质时出错例3、5253• 错解：565)23(5253=⨯=• 辨析：上面错在不明确5253和的意义，也不明确二次根式乘法的运算步骤．正解：3056)55)(23(5253=⨯=⨯⨯=•四、忽视同类二次根式的定义例4、已知b a b b a ++34与是同类二次根式，则a 、b 的值是（ ）A 、 0a =，2b =B 、1a =，1b =C 、1b ,1a 2b ,0a ====或D 、 0b ,2a ==错解：由⎩⎨⎧+==+b a 3b 42b a 解得⎩⎨⎧==1b 1a 故选B ．辨析：两个根式是同类二次根式，必须满足以下两个条件:①是最简二次根式，②被开方数相同。
而b a b 4+不是最简二次根式，故需先将其化简．正解：依题意：⎩⎨⎧+==+b a 3b 2b a 解得⎩⎨⎧==2b 0a 故选A ．五、违背运算规律例5 计算：231)23(2-⨯-÷． 错解：原式=212=÷．分析:对于同一级运算，要按从左到右的顺序进行，错解中违反了这一规律．正解：原式=2)23(2231232-=-⨯- =34256252+=-六、忽视将二次根式的计算结果化为最简二次根式例6、 计算：)3225)(65(-+。
鲁教版7年级下册数学二次根式误中悟
二次根式误中悟
山东房延华
一、忽视二次根式的非负性
例1 （a<0）的结果是．
错解：原式
a时，需注意a的正负号.
正解：.
二、忽视二次根式运算性质成立的条件
例2 如果a+b<0，ab>0=其
中正确的是（）
A. ①②
B. ②③
C. ①③
D. ①②③
错解：选A.
剖析：由a+b<0，ab>0，得a＜0，b＜0.成立的条件是
a≥0，b＞0.
正解：.
三、违背运算顺序与法则
例3
错解：原式1
剖析：二次根式的运算顺序与实数的运算顺序相同，同级运算应按从左到右的顺序进行. 正解：
例4 计算：
+.
错解：原式=
+
剖析：乘法分配律的结构形式为（a+b）c=ac+bc，本题不能使用乘法分配律.
正解：
四、结果不是最简
例5
错解：原式=
后再合并同类二次根式.
2
正解：
参考答案：
例1 -4a
例2 B
例3 .
例4 4.
例5。
“二次根式”易错题辨析
Ａ ．ａ ＝６
） ．
的逆 用 。 当ｎ ≥０ 时， 、 ／ ； 当ａ ＜ Ｏ 时， 一 、 ／ ．
答案 ： Ｂ ． ．
Ｂ．ａ ＝２
Ｃ． ａ ＝３ 或ａ ＝ ２
Ｄ． ａ ＝ｌ
【 解析 】 本 题 考 查 同类 二 次 根 式 和 最 简
第１ ０ 题 ： 已知 ｍ是 、 ／ 的小数部分 ， 求 、 ／ ＜、 ／ ， 即 １ ＜、 ／ ＜ ２， 所 以、 ／ 的 整
、 ／ ＋ － ２ 的 值 ． 【 分 析 】 求 二 次 根 式 、 ／ ｍ ２ ＋ － ２ 的 值 ， 首
先 必 须 求 ｍ的值 ． 、 ／ 是无理数 ， 即它 是 无
、
概 念 理 解 不 清 晰
— ．
例 １ 仔 细辨 析 下 列 式 子 ， 指 出其 中是
二 次根 式 的 是 —
、 ／ 了 ，
、／ ．
，
， 、 ／ ＿ ＿ ，
， 的值 ．
【 解析 】 本 题 的解 题 突 破 口 在 、 ／ 一 ≥０ 【 解析 】 本题 考 查 二 次根 式 的概 念 ， 形 如 （ ０ ≥Ｏ ） ， 即二 次 根 式 的双 重 非 负 性 ，ห้องสมุดไป่ตู้从 而顺
—
．
同学 把 、 ／ ７ 化简 了 ， 就不选、 ／ ７ 了．
【 解析 】 在 计 算 过 程 中要 正 确 应 用 公 式
答案 ： 、 ／ 了， 、 ／ ， 啊
，
， 、 儒
ｎ １
．
＝
Ｉ 。 Ｉ ＝
又要 注意利 用二 次
ｒ—一
例２ 若等式（ 、 、 Ｖ ／ ３ 一 ２ １ ／ ： １ 成立，则
二次根式运算错误识别与矫正
龙源期刊网
二次根式运算错误识别与矫正
作者：谢高峰
来源：《第二课堂(初中版)》2013年第09期
在二次根式的有关运算中，若对于二次根式的概念、基本法则掌握不牢，或对有关的运算理解不透，则常会出现一些解题上的错误. 现就有关二次根式运算容易出现的错误，归纳如下，希望对同学们的学习有所帮助.
一、基本概念模糊
二、错用分配律
三、忽视附加条件
四、误用运算法则
五、违背运算顺序
通过以上几例可以看出，为避免二次根式的运算出现错误，应准确把握二次根式的运算法则和相关概念.
（编辑孙世奇）。
教学反思挖掘《二次根式》中的隐含条件解题举例
挖掘隐含条件巧求解 我们知道，二次根式a 有意义，a 的取值范围是：0a ≥．某些二次根式的题目中隐含着“0a ≥”这个条件，做题时须善于挖掘隐含条件，巧求解．现举例说明．例1．已知2y =，求yx 2的值． 分析：直接求x y ，的值，显然无法解答，但根据二次根式的意义，本题存在隐含条件20x -≥，20x -≥，求得2x =，问题就容易解决了．解：由二次根式的意义可得2022202x x x x x -⎧⎧=⎨⎨-⎩⎩≥≥ ∴ ∴≥≤，．，2y ∴=，2==． 例2．若m2006a =-53x y +的值．分析：二次根式的被开方数必须是非负数，因而本题存在隐含条件20060a b +-≥，20060a b --≥，由此求出a b +的值，问题也随之解决．解：由二次根式的意义可得2006020062006200602006a b a b a b a b a b +-+⎧⎧+=⎨⎨--+⎩⎩，， ．．≥≥≥≤∴ ∴． 0=，530380x y -=-=∴，． 3853x y ==，∴， 533811x y +=+=∴．例3．已知5y =，求y x +2的值． 分析：已知条件中含有两个未知数x y ，，直接求条件不满足，根据二次根式的意义，本题存在隐含条件24032x x --≥，24023x x --≥，可得24032x x -=-，即24x =，问题则容易解决．解：由二次根式的意义可得2240234032x x x x⎧-⎪⎪-⎨-⎪⎪-⎩，．≥≥ 24032x x-=-∴， 24x =∴．0055y =-+=∴，3==．练习：14y =，求xy 的值．2．若a10x y +-求a 的值．参考答案：1．2 2．703a =． 挖掘《二次根式》隐含条件有些二次根式中没有直接给出条件，解题时需要同学们自己挖掘其隐含条件，再利用这个隐含条件打开解题的突破口.下面就相关问题举例说明如下：一、挖掘化简问题中的隐含条件例1．化简：b a 332（0 b ）。
二次根式非等价变形致误例析
二次根式非等价变形致误例析解答有关二次根式的问题时，由于概念不清，或思维不周等原因，很多同学往往对二次根式实施一些非等价的变形，进而导致解题错误。
下面举例分类加以剖析，望能引起注意。
一、忽视二次根式为正数的前提条件，盲目开方导致等价变形例1 化简aa a 13---。
错解：原式=a a a aa a a --=-⋅--)1(1。
错因剖析：上述解法由于对二次根式概念不清，忽视3a -＞0这一隐含条件，即a ＜0，盲目进行开方，进而导致变形不等价，造成错解。
我们早已知道⎩⎨⎧-≥==时）＜时）0(0(||2a a a a a a 。
事实上由于aa 13--与均为算术平方根，应有0103＞且＞aa --，而01＜与a aa a --。
正解：原式=a a a a a a a --=--⋅---)1()(1。
二、忽视隐含条件，导致非等价变形 例2 已知21,2=-=+ab b a ，求ba ab +的值。
错解：原式=22212-=-=+=+abb a ba ab 。
错因剖析：出错原因在于忽视隐含条件，进而导致在解答过程中实施了非等价变形。
事实上，由于2-=+b a ，21=ab ，可知a ＜0，b ＜0，从而将ba ab +变形成ba ab +是不成立的。
正解：原式=22)(2222=+=-+-=+=+abb a ab bab aab bab aab bab aab 。
三、忽视字母讨论，导致非等价变形 例3 分母有理化：2111a++。
错解：原式=222221111)(11(11aa aa a-+=+-+++-。
错因剖析：错误的原因在于忽视了对字母a 的讨论，从而导致了变形的不等价。
事实上，当a =0时，121a +-=0，进而导致分式)11)(11(11222a a a+-+++-的分母为0，并且结果2211aa -+中的分母亦为0，此时分式无意义。
正解：（1）当a =0时，原式=21；（2）当a ≠0时，121a +-≠0，此时原式=2211aa -+。
拨开云雾见晴天——二次根式学习中几个误区的剖析
ａ
１ ＞ Ｏ ） ， 也就是说 原二 次根式 应该 是正值 ， 而这些 同学 作 出
的结果则是负值 ， 因 此答 案错 误． 正确答案应是 ：
特 点不明确 、 忽视 了 限 制 条 件 、 化简 思路 不开 阔 不灵 活、 解
题 思路 不 清 晰 、 循 规蹈 矩 、 墨 守成规 、 缺 乏 综 合 分 析 问 题 和
误 区 二 隐 含 条 件 没 有 得 到 充 分 挖 掘 而 出现 的 错 误
【 关键词 】 二次根式 ； 代数； 误区
误区一 对二次 根式 定义 理解 不够 深透 。 或 忽 视 了 其
例 １ 化简墨
．
ｘ＋ ４ ｙ
有两 名同学的答案如下 ：
特 点 而 造 成 的 误 区
例１ 判断 ｖ ／ ８＋６ 是 不是 二次根式．
●
解 题 技 巧 与 方 法
ｍ 雅 ●
・ ・
●
搂衙 雾 晴灸
二 次根 式 学 习 中 几个 误 区 的剖 析
◎ 盂祥 国 （ 山 东省 淄 博 市 沂 源县 东 里镇 福禄 坪 小 学 ２ ５ ６ １ １ ９ ）
【 摘 要】 二次根 式历 来是教 学 中的一个 难点 ， 新修 订 的
厂
一
例３ 将二次根式 一 （ 口 一 １ ） ＾ Ｖ ／ １
到 根 号 里 面 去 并进 行 化 简．
ａ
中根号外的因式移
此原代数式的结果应该为负 ， 正确答案应是 ：
解 （ 一６ ） √ 一 ａ － ｂ ： 一 √ － 竿 ＝
生 一 答 案 ： ＝ ｑｘ＋４ｙ ＝ 互 鍪 二 ＝ ｑ ｘ＋ ４ ｙ ｑ 。 ｃ ＋ ４ ｙ
二次根式易错点和典型题
二次根式易错点和典型题二次根式是数学中的重要概念，也是高中数学中的重点内容之一。
然而，学生在学习二次根式时常常会遇到一些易错点和典型题。
本文将针对二次根式的易错点和典型题进行详细的讲解，帮助学生更好地理解和掌握这一知识点。
易错点一：二次根式的化简在化简二次根式时，学生常常容易遗漏或错误地进行操作。
化简二次根式的基本原则是尽量将根号内的式子化为最简形式，常用的化简方法有去除平方因子、合并同类项以及有理化等。
需要注意的是，在合并同类项时，要注意系数的合并和符号的运算，容易混淆。
此外，有时候还需要利用公式进行化简，例如平方差、平方和等。
易错点二：二次根式的运算在进行二次根式的运算时，学生常常会将根号外的系数运算错误，或是忽略运算规则。
例如，在计算二次根式乘法时，要注意乘法运算的顺序，同时要注意系数和指数的运算。
另外，对于二次根式的除法和加减法，一般需要先进行有理化处理，然后再进行运算。
典型题一：二次根式的简化题目：将 $\sqrt{12}$ 化简为最简形式。
解析：首先，我们找到根号内的平方因子，发现12可以写成4和3的乘积。
因此，我们可以将 $\sqrt{12}$ 化简为 $\sqrt{4 \cdot 3}$。
接下来，利用乘积的性质，我们可以将其进一步化简为 $\sqrt{4} \cdot \sqrt{3}$。
再利用平方根的性质，我们可以得到最终结果为 2$\sqrt{3}$。
典型题二：二次根式的运算题目：计算 $(\sqrt{2} + 3)(\sqrt{2} - 1)$。
解析：首先，我们利用乘法公式将括号内的乘积展开，得到 $\sqrt{2} \cdot\sqrt{2} + 3 \cdot \sqrt{2} - \sqrt{2} - 3$。
然后，我们化简相同项，得到 $2 +2\sqrt{2} - \sqrt{2} - 3$。
接下来，我们再次合并同类项，得到最终结果为 $-1 +\sqrt{2}$。