证明比较法(1)

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不等式证明的基本方法

4．放缩法是在证明不等式或变形中，将条件或结论或变换中的式子放大或缩小进行求证的方法．放缩时要看准目标，做到有的放矢，注意放缩适度．放缩法是证明不等式的常用技巧，有些不等式若恰当地运用放缩法可以很快得证，要控制难度．
比较法
(2010 年高考江苏卷试题)设 a、b 是非负实数，求证：a3 ＋b3≥ ab(a2＋b2)．【思路分析】先作差，再用不等式的基本性质解答．
不等式证明的基本方法
1．比较法是证明不等式最常用最基本的方法，有两种： (1)求差法：a＞b⇔a－b＞0； a (2)求商法：a＞b＞0⇔b>1，(b>0)．
2．分析法、综合法是证明数学问题的两大最基本的方法．综合法是以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出问题的结论为止，简而言之，就是“由因导果”．分析法是从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件与已知条件或已知事实吻合为止，简而言之，就是“执果索因”．
分析法与综合法
如果 a＞0，b＞0，求证：a3＋b3≥a2b＋ab2. 【证法一】 (用分析法) 要证 a3＋b3≥a2b＋ab2，只需证(a＋b)(a2－ab＋b2)≥ab(a＋b) ∵a＞0，b＞0，有 a＋b＞0，故只需证 a2－ab＋b2≥ab，只需证(a－b)2≥0 显然(a－b)2≥0 成立，以上各步均可逆， ∴a3＋b3≥a2b＋ab2
1．设 a>0，a≠1,0<x<1.求证：|loga(1－x)|>|loga(1＋x)|.
证明：方法一：(平方后作差)
2 log2 (1 － x ) － log a a(1＋x)
＝[loga(1－x)＋loga(1＋x)]· [loga(1－x)－loga(1＋x)]＝ 1－x loga(1－x )· loga . 1＋x

证明不等式的基本方法—比较法

§4.2.1证明不等式的基本方法—比较法【学习目标】能熟练运用比较法来证明不等式。

【新知探究】1．比较法证明不等式的一般步骤：作差（商）—变形—判断—结论.2．作差法：a －b ＞0⇒a ＞b ，a －b ＜0⇒a ＜b .作差法证明不等式是不等式证明的最基本的方法.作差后需要判断差的符号，作差变形的方向常常是因式分解（分式通分、无理式有理化等）后，把差写成积的形式或配成完全平方式.3．作商法：a ＞0，b ＞0，ba ＞1⇒a ＞b . 比商法要注意使用条件，若b a ＞1不能推出a ＞b .这里要注意a 、b 两数的符号. 【自我检测】1．设0＜x ＜1，则a =2x ，b =1+x ，c =x-11中最大的一个是 A. a B. b C. c D.不能确定2．已知x 、y ∈R ，M =x 2+y 2+1，N =x +y +xy ，则M 与N 的大小关系是A.M ≥NB.M ≤NC.M =ND.不能确定 3．若a 1＜b1＜0，则下列结论不正确．．．的是 A.a 2＜b 2B.ab ＜b 2C.a b +ba ＞2 D.|a |+|b |＞|a +b | 4．已知|a +b |＜－c （a 、b 、c ∈R ），给出下列不等式：①a ＜－b －c ；②a ＞－b +c ；③a ＜b －c ；④|a |＜|b |－c ；⑤|a |＜－|b |－c .其中一定成立的是____________.（把成立的不等式的序号都填上）5．若a 、b ∈R ，有下列不等式：①a 2+3＞2a ；②a 2+b 2≥2（a －b －1）；③a 5+b 5＞a 3b 2+a 2b 3；④a +a1≥2.其中一定成立的是__________.（把成立的不等式的序号都填上）【典型例题】例1、已知,a b 都是正数，并且a b ≠，求证：.2233ab b a b a +>+变式训练：当m ＞n 时，求证：m 3－m 2n －3mn 2＞2m 2n －6mn 2＋n 3．例2、已知,a b 都是正数，求证：,ab b a b a b a ≥ 当且仅当b a =时，等号成立。

2.1《证明不等式的基本方法-比较法》课件(新人教选修4-5)[1].

5.设P a 2b2 5, Q 2ab a 2 4a, 若P Q, 则实数a, b
ab 1或ab 2 满足的条件为 ________
ab 1 6.若0 a b 1, P log 1 , Q (log 1 a log 1 b), 2 2
2 2 2
Q>P>M M log 1 (a b), 则P , Q , M的大小关系是__________
2
练习
1.求证a 3b 2b(a b)
2 2
2.求证• a
b 2 2a 2b 4a 3.已知a 2, 求证 1 2 4a
2 2
例4.甲,乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点 .甲有一半时间以速度 m 行走, 另一半时间以速度 n行走;乙有一半路程以速度m 行走, 另一半路程以速度 n行走. 如果m n,问甲乙两人谁先到达指定地点.
2
2
2
2
(a b )(a b )2
a, b 0, a b 0 2 又 a b (a b) 0
故(a b)(a b)2 0即(a 3 b 3 ) (a 2b ab 2 ) 0
a b a b ab
3
3
2Hale Waihona Puke 2a 例 2 如果用akg白糖制出bkg糖溶液, 则其浓度为 , b 若在上述溶液中再添加 mkg白糖, 此时溶液的浓度 am 增加到 , 将这个事实抽象为数学问题, 并给出证明 . bm 解 : 可以把上述事实抽象成如下不等式问题 :
一、比较法 (1)作差比较法

不等式的证明方法之一比较法

不等式的证明方法之一：比较法目的要求：重点难点：教学过程：一、引入：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可，即利用不等式的性质：0>-⇔>b a b a0=-⇔=b a b a0<-⇔+。

例2、若实数1≠x ，求证：.)1()1(32242x x x x ++>++证明：采用差值比较法： 2242)1()1(3x x x x ++-++=3242422221333x x x x x x x ------++=)1(234+--x x x=)1()1(222++-x x x=].43)21[()1(222++-x x ,043)21(,0)1(,122>++>-≠x x x 且从而 ∴ ,0]43)21[()1(222>++-x x ∴ .)1()1(32242x x x x ++>++讨论：若题设中去掉1≠x 这一限制条件，要求证的结论如何变换？例3、已知,,+∈R b a 求证.a b b a b a b a ≥ 本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。

证明：1) 差值比较法：注意到要证的不等式关于b a ,对称，不妨设.0>≥b a0)(0≥-=-∴≥---b a b a b b a b b a b a b a b a b a b a ，从而原不等式得证。

2）商值比较法：设,0>≥b a,0,1≥-≥b a ba .1)(≥=∴-b a a b b a b a b a b a 故原不等式得证。

注：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。

用比较法证明不等式的步骤是：作差（或作商）、变形、判断符号。

例4、甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点。

甲有一半时间以速度m 行走，另一半时间以速度n 行走；乙有一半路程以速度m 行走，另一半路程以速度n 行走。

比较法

例3.已知：a ≥1.
求证： a 1 a a a 1.
练习： 1.若M a b , N （ 2 a b 1 ） , 则M与N的
2 2
大小关系是（） A A.M N B.M N C.M N D.M N a b 2.若c a b 0,比较大小： ____ ca c b （填“”“”或“ ”） .
证明不等式的基本方法（比较法）
比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法. 【方法一】差比法
作差→变形→判断→结论注：配方、因式分解是常用的变形手段，为了便于判断差式的符号，常将差式变形为一个常数或几个因式的积的形式.
典例剖析
例1.已知：a，b都是正数，且a ≠ b．
求证：a3+b3 >a2b+ab2 例2.已知：a、b、m > 0，且a < b． am a 求证： bm b
>
比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法. 【方法二】商比法
作商→变形→判断→结论注：主要适用于积、商、幂、对数、根式等形式的不等式证明.
例4.已知：a，b都是正数.求证：aabb ≥ abba
当且仅当a =b时，等号成立.
例5.已知：0 < x <1，a > 0，a ≠ 1 求证：|loga(1- x)|>|loga(1+x)|.
作商→变形→判断与1的大小→结论
注意:要灵活掌握配方法和通分法,因式分解法对差式进行恒等变形。
作业：
P23
练习１,２,３.
练习： 1 1 2 1.设A ,B （a 0, b 0） ,则 2a 2b ab A, B的大小关系为________ A≥B . 1 1 2.比较大小： log1 ____log1 . 2 3 3 2

证明不等式的基本方法

用换元法证明不等式时一定要注意新元的约束条件及整体置换策略. 主要是三角换元和均值换元。
x2
例7(1)设

y2
1, 求x
y的最大值，
16 9
并求此时的x, y值。三角换元
（2）设 x, y R，且 x2 y 2 1，
求证：| x2 2xy y 2 | 2 ；
（1）设 x r sin, y r cos,且 | r | 1
证明：∵ a, b 是正数，且 a b ， ∴要证 aabb abba ,只要证 lg (aabb ) lg(abba ) ,
只要证 a lg a b lgb b lg a a lgb .
(a lg a b lg b) (b lg a a lg b) = (a b)(lg a lg b)
= (a2 b2 )(a b) = (a b)(a b)2
∵ a,b 是正数，且 a b ,∴ a b 0, (a b)2 >0
∴ (a3 b3 ) (a2b ab2 ) >0,∴ a3 b3 a2b ab2
注：比较法是证明不等式的基本方法，也是最重要的方法,另外，有时还可作商比较.
当且仅当(a b)(b c)≥0 时,等号成立.
四.反证法:
假设命题结论的反面成立，经过正确的推理, 引出矛盾，因此说明假设错误,从而证明原命题成立,这样的证明方法叫反证法.(正难则反)
例、已知 f (x) x2 px q，求证：
1
| f (1) |,| f (2) |,| f (3) |中至少有一个不小于2 。
求证:已知a, b, c R+,求证 :书P25页2（2）

不等式的证明方法经典例题

不等式的证明方法不等式的证明是高中数学的一个难点，证明方法多种多样，近几年高考出现较为形式较为活跃，证明中经常需与函数、数列的知识综合应用，灵活的掌握运用各种方法是学好这部分知识的一个前提，下面我们将证明中常见的几种方法作一列举。

注意ab b a 222≥+的变式应用。

常用2222b a b a +≥+ (其中+∈R b a ,)来解决有关根式不等式的问题。

一、比较法比较法是证明不等式最基本的方法，有做差比较和作商比较两种基本途径。

1、已知a,b,c 均为正数，求证：ac c b b a c b a +++++≥++111212121 二、综合法综合法是依据题设条件与基本不等式的性质等，运用不等式的变换，从已知条件推出所要证明的结论。

2、a 、b 、),0(∞+∈c ，1=++c b a ，求证：31222≥++c b a3、设a 、b 、c 是互不相等的正数，求证：)(444c b a abc c b a ++>++ 4、知a,b,c R ∈，求证:)(2222222c b a a cc bb a++≥+++++5、),0(∞+∈y x 、且1=+y x ，证：9)11)(11(≥++y x 。

6、已知.9111111,,≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+∈+b a b a R b a 求证：三、分析法分析法的思路是“执果索因”：从求证的不等式出发，探索使结论成立的充分条件，直至已成立的不等式。

7、已知a 、b 、c 为正数，求证：)3(3)2(23abc c b a ab b a -++≤-+8、),0(∞+∈c b a 、、且1=++c b a ，求证3≤++c b a 。

四、换元法换元法实质上就是变量代换法，即对所证不等式的题设和结论中的字母作适当的变换，以达到化难为易的目的。

9、1<b ，求证：1)1)(1(22≤--+b a ab 。

10、122=+y x ，求证：22≤+≤-y x11、已知a>b>c,求证：.411ca cb b a -≥-+- 12、已知1≤x 2＋y 2≤2，求证：21≤x 2－xy ＋y 2≤3．13、已知x 2－2xy ＋y 2≤2，求证：| x ＋y |≤10． 14、解不等式15+--x x ＞21 15、－1≤21x -－x ≤2．五、增量代换法在对称式(任意互换两个字母，代数式不变)和给定字母顺序(如a ＞b ＞c)的不等式，常用增量进行代换，代换的目的是减少变量的个数，使要证的结论更清晰，思路更直观，这样可以使问题化难为易，化繁为简．16、已知a ，b ∈R ，且a ＋b = 1，求证：(a ＋2)2＋(b ＋2)2≥225．六、利用“1”的代换型17、.9111 ,1 ,,,≥++=++∈+c b a c b a R c b a 求证：且已知七、反证法反证法的思路是“假设→矛盾→肯定”，采用反证法时，应从与结论相反的假设出发，推出矛盾的过程中，每一步推理必须是正确的。

证明不等式的基本方法——比较法

证明不等式的基本方法——比较法不等式的基本方法之一是比较法（或称为递推法）。

该方法的主要思想是通过比较不等式两边的表达式来确定它们的大小关系。

在使用比较法证明不等式时，我们通常需要注意以下几点：1.明确不等式的目标：确定我们想要证明的具体不等式。

2.选择合适的比较对象：我们需要找到一个或多个合适的表达式作为比较对象，通常是在已知不等式中出现过的表达式。

3.建立递推关系：通过比较对象与目标表达式的大小关系，建立一种递推关系。

递推关系可以是通过改变不等式两边的表达式，或是通过引入新的变量来推导出来。

4.递归执行递推关系：通过递归执行建立好的递推关系，最终推导出目标不等式的结果。

下面将通过具体的例子来说明比较法的应用。

例1：证明对于任意正整数n，有$n^2>n$。

解：首先明确不等式的目标是$n^2>n$。

可以选择$n-1$作为比较对象，因为$n^2>n$与$n>n-1$是等价的。

建立递推关系：假设$n>1$，则有$(n-1)^2=n^2-2n+1<n^2<n(n-1)$。

递归执行递推关系，当$n=2$时，有$2^2=4>2$。

对于$n>2$，可以继续推导出$n^2>n$。

综上所述，对于任意正整数n，有$n^2>n$。

例2：证明对于任意正整数n，有$2^n>n$。

解：首先明确不等式的目标是$2^n>n$。

可以选择$n-1$作为比较对象，因为$2^n>n$与$n>n-1$是等价的。

建立递推关系：假设$n>1$，则有$2^{n-1} = \frac{1}{2^n} <\frac{n}{2}$。

递归执行递推关系，当$n=2$时，有$2^2=4>2$。

对于$n>2$，可以继续推导出$2^n>n$。

综上所述，对于任意正整数n，有$2^n>n$。

比较法是一种简单直观的证明不等式的方法。

通过找到合适的比较对象，建立递推关系，并递归执行递推关系，我们可以有效地证明不等式。

高中数学竞赛不等式的证明方法 (比较法)

证明不等式的基本方法现实世界中的量，相等是相对的、局部的，而不等的绝对的、普遍的。

不等式的本质是研究“数量关系”中的“不等关系”。

对于两个量，我们常要比较它们之间的大小，或者证明一个量大于另一个，这就是不等式的证明。

不等式的证明因题而异，灵活多变，常常要用到一些基本的不等式，如柯西不等式、平均值不等式等等，其中还需要用一些技巧性高的代数变形。

在这一部分我们主要来学习一些证明不等式的基本方法。

一．比较法一般而言，比较法有两种形式：（1）差值比较法：欲证B A ≥，只需证0≥-B A 即可；（2）商值比较法：若0>B ，欲证B A ≥，只需证1≥BA即可。

注意在利用比较法证明不等式时，常需要对所要证明的不等式进行恰当的变形，如因式分解、拆项、合并项等。

一．差值比较法要证明b a >，最基本的方法就是证明0>-b a ，即把不等式的两边相减，转化为比较差与0的大小问题。

这种方法称为差值比较法，有时也叫做比差法。

差值比较法证明不等式的步骤：“作差――变形――判断符号”，为了便于判断符号，往往把差式变形为积的形式或完全平方形式。

例1．已知b a ,都是正数，且b a ≠，求证：2233ab b a b a +>+。

分析：可以把不等式两边相减，通过适当的变形，转化为一个能明确确定正负的代数式。

证明：)()()()()()(b a b b a a b ab b a a ab b a b a ---=---=+-+2232232233＝222))(())((b a b a b a b a -+=-- 因为b a ,都是正数，所以0>+b a ，又因为b a ≠，所以0)(2>-b a 从而0))((2>-+b a b a ，即0)()(2233>+-+ab b a b a 所以2233ab b a b a +>+。

评注：此题是不等式证明的典型题目，其拆项是有一定的技巧的，需要有较强的观察能力。

数学：不等式证明四法比较法综合法分析法反证法与放缩法

不等式证明一（比较法）比较法是证明不等式的一种最重要最基本的方法。

比较法分为：作差法和作商法一、作差法若a ，b ∈R ，则： a —b ＞0⇔a ＞b ；a —b ＝0⇔a ＝b ；a —b ＜0⇔a ＜b 它的三个步骤：作差——变形——判断符号（与零的大小）——结论. 作差法是当要证的不等式两边为代数和形式时，通过作差把定量比较左右的大小转化为定性判定左—右的符号，从而降低了问题的难度。

作差是化归，变形是手段，变形的过程是因式分解（和差化积）或配方，把差式变形为若干因子的乘积或若干个完全平方的和，进而判定其符号，得出结论.例１、求证：x ２ + ３ > ３x 证：∵（x ２ + ３）３x = 043)23(3)23()23(32222>+-=+-+-x x x ∴x ２ + ３ > ３x例2、（课本P ２２例２）已知a, b, m 都是正数，并且a ++ 证：)()()()()(m b b a b m m b b m b a m a b b a m b m a +-=++-+=-++ ∵a,b,m 都是正数，并且a 0 , b a > 0 ∴0)()(>+-m b b a b m 即：bam b m a >++变式：若a > b ，结果会怎样？若没有“a a ２b ３ + a ３b ２证：（a ５ + b ５）（a ２b ３ + a ３b ２） = （ a ５ a ３b ２） + （b ５ a２b ３）= a ３（a ２b ２）b ３（a ２b ２） = （a ２b ２）（a ３ b ３）= （a + b ）（a b ）２（a ２ + ab + b ２）∵a, b 都是正数，∴a + b, a ２ + ab + b ２ > 0又∵a b ，∴（a b ）２ > 0 ∴（a + b ）（a b ）２（a ２ + ab + b２） > 0即：a ５ + b ５ > a ２b ３ + a ３b ２例4、甲乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m 行走，另一半时间以速度n 行走；有一半路程乙以速度m 行走，另一半路程以速度n 行走，如果m n ，问：甲乙两人谁先到达指定地点？解：设从出发地到指定地点的路程为S ，甲乙两人走完全程所需时间分别是t １, t ２，则：21122,22t n S m S S n t m t=+=+可得：mnn m S t n m S t 2)(,221+=+= ∴)(2)()(2])(4[2)(22221n m mn n m S mn n m n m mn S mn n m S n m S t t +--=++-=+-+=- ∵S, m, n 都是正数，且m n ，∴t １ t ２ < 0 即：t １ < t ２从而：甲先到到达指定地点。

证明不等式的基本方法-比较法

4.设 0 < a Q , 则实数 a , b
a b b a
a−b
a−b
≥1
∴ a b ≥ a b ,当且仅当 a = b时, 等号成立 .
1.求证 : 若a, b, c ∈ R+ , 则a b c ≥ ( abc )
a b c
a + b+ c 3
2.若a, b, m, n都是正实数, 且m + n = 1, 试证明 ma + nb ≥ m a + n b
2
= (a + b )(a − b )2
Q a , b > 0,∴ a + b > 0
又 Q a ≠ b ∴ (a − b ) > 0
2
故 (a + b )(a − b )2 > 0即(a 3 + b 3 ) − ( a 2b + ab 2 ) > 0
∴ a + b > a b + ab
3 3 2
2
a 例 2 如果用 akg 白糖制出 bkg 糖溶液 , 则其浓度为 , b 若在上述溶液中再添加 mkg 白糖 , 此时溶液的浓度 a+m , 将这个事实抽象为数学问题 , 并给出证明 . 增加到 b+m 解 : 可以把上述事实抽象成如下不等式问题 :

证明不等式的基本方法一比较法

证明不等式的基本方法一比较法不等式的基本方法一比较法是以较为常用和广泛的方法之一，用于证明不等式的真实性或者不真实性。

该方法基于两个原则：1.如果对于不等式两边的所有常数，左边的常数小于右边的常数，则不等式成立；2.如果不等式两边的所有元素中的其中一个元素，在一些范围内小于另一个元素，则不等式成立。

下面通过一些例子来详细介绍基本方法一比较法的具体步骤和应用。

例子1：证明对于所有的正整数n，都有n^2>n。

证明：根据不等式的基本方法一比较法，我们可以利用两个原则来进行证明。

首先，根据原则1，我们可以比较n^2和n。

当n=1时，n^2=1，n=1，所以n^2>n成立。

对于n>1的情况，由于n^2是n的平方，而n的平方大于n，因此n^2>n成立。

其次，根据原则2，我们可以比较n^2和n。

当n=1时，n^2=1，n=1，所以n^2>n成立。

对于n>1的情况，考虑到n^2是n的平方，而n的平方是n乘以n，所以n^2>n成立。

综上所述，我们可以得出结论，对于所有的正整数n，n^2>n成立。

例子2：证明对于所有的正整数n，都有n^2+n>2n。

证明：同样地，我们可以利用不等式的基本方法一比较法来证明该不等式。

首先，根据原则1，我们可以比较n^2+n和2n。

对于n=1的情况，n^2+n=1+1=2，2n=2，所以n^2+n>2n成立。

对于n>1的情况，我们可以将不等式简化为n^2>n，这是一个已经证明过的不等式。

其次，根据原则2，我们可以比较n^2+n和2n。

当n=1时，n^2+n=2，2n=2，所以n^2+n>2n成立。

对于n>1的情况，我们可以继续简化不等式为n^2>n，这同样是一个已经证明过的不等式。

综上所述，我们可以得出结论，对于所有的正整数n，n^2+n>2n成立。

通过上述例子，我们可以总结论证不等式的基本方法一比较法的步骤如下：1.确定要证明的不等式形式；2.根据不等式的特点，选择合适的比较方法，并根据比较原则进行证明；3.在证明过程中，可以使用数学推导、归纳法等数学方法来辅助证明；4.利用已经证明过的不等式和已知的数学定理等，简化和推导不等式；5.综合所有的证明过程，得出最终结论。

不等式证明比较法

a ?1
b
当b<0 时，a ? b ?
2、利用比较法证明不等式的基本步骤：
a ?1
b
作差法：作差—变形—定号. 变形常用因式分解，分组配方等作商法：作商——变形（化简）——判断（商值与实数1的大小关系）
对商的变形常有约分化简，合并等 .
3、一般情况下，多项式比较用作差法，而积商的形式用作商法 .
2.不等式 a ? m ? a (;a, b, m ? R? ) 给出了真分数的一个重要性质即真分数分子
b? m b
分母，同时加上一个正数，分数的值变大 .
3. 观察不等式（3）左右两边的指数特征，可将其推广到一般情
形：已知a,b 是正数，m, n ? N ? 且m<n , 求证 an ? bn ? an? mbm ? ambn?m
说明：作商比较法是将问题转化为商与 1 的关系，故变形时要注意1 的几种情形，如1=a 0=log aa=a/a 等，对商的变形目的常为an,log an等形式，以利于利用指数函数和对数函数的单调性作出判断
例4.甲、乙两人同时同地沿同一线路走到同一地点。甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；乙有一半路程以速度m 行走，另一半路程以速度n 行走。如果m≠n ，问甲、乙两人谁先到达指定地点。
根据前一节学过的知识，我们如何用实数运
a 算来比较两个实数与 b 的大小？
a?b>0? a>b，a?b<0? a<b，a?b=0? a=b
1、作差比较法的依据：（实数的运算性质）
a?b? a?b? 0 a?b? a?b? 0 a? b? a?b?0
作差比较法的步骤：作差 ——变形（化简） ——定号（差值的符号）

高三数学不等式的证明(比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法);不等式的应用知识精讲

高三数学不等式的证明（比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法）；不等式的应用知识精讲（一）不等式的证明1. 实数大小的性质（1）a b a b ->⇔>0；（2）a b a b -=⇔=0；（3）a b a b -<⇔<0。

2. 比较法证明的步骤（1）求差比较法步骤：作差——变形——判别差的符号，在运用求差比较法证明时其关键是变形，通常变形方法是分解因式、配方、利用判别式及把差化为若干个非负数的和。

（不能分解时证明有恒定符号可配方）（2）求商比较法步骤：作商——变形——判别商与1的大小，在运用求商比较法证明不等式时要根据已知条件灵活采用函数的单调性及基本不等式进行放缩。

3. 基本不等式定理1：如果a b R ，∈，那么a b ab 222+≥（当且仅当a b =时取等号）。

定理2：如果a b c R ，，∈+，那么a b c abc 3333++≥（当且仅当a b c ==时取等号）。

推论1：如果a b R ，∈+，那么a b ab +≥2（当且仅当a b =时取“＝”号）。

推论2：如果a b c R ，，∈+，那么a b c abc ++≥33（当且仅当a b c ==时取“＝”号）。

4. 综合法：利用某些已经证明过的不等式作为基础，再运用不等式的性质推导出所要求证的不等式，这种证明方法叫做综合法。

综合法的证明思路是：由因导果，也就是从一个（组）已知的不等式出发，不断地用必要条件替代前面的不等式，直到推导出要证的不等式。

5. 分析法：从求证的不等式出发分析这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立。

这种证明方法叫做分析法。

分析法的证明思路是：“执果索因”，即从求证的不等式出发，不断地用充分条件来代替前面的不等式，直至找到已知不等式为止。

用分析法证明不等式要把握以下三点：（1）寻找使不等式成立的充分条件时，往往是先寻找使不等式成立的必要条件，再考虑这个必要条件是否充分。

2020文数不等式的证明(1)比较综合分析法教案(蔡卫强)

在线堂课不等式的证明（比较法、综合法、分析法）授课教师：江西师大附中蔡卫强合情推理是发现的方法，演绎推理是数学中严格证明的工具.怎样用演绎推理来证明呢？这是要讲究方法的.今天,我们就来认识一些基本的证明方法……一、作差比较法 1．理论依据：①a ＞b ⇔ ；②a ＝b ⇔a －b ＝0； ③a ＜b ⇔ . 2．定义：要证明a ＞b ，转化为证明，这种方法称为作差比较法．3．步骤：① ；②变形；③ ；④下结论．a －b ＞0 a －b ＜0 a －b ＞0 判断符号作差二、作商比较法 1．理论依据：当b ＞0时，①a ＞b ⇔ ；②a ＜b ⇔ab ＜1；③a ＝b ⇔ab ＝1. 2．定义：证明a ＞b (b ＞0)，只要转化为证明，这种方法称为作商比较法．3．步骤：①作商；②变形；③判断商与1大小；④下结论．ab ＞1 ab ＞1【例1】已知a，b∈R，求证：a2＋b2＋1≥ab＋a＋b.[精彩点拨]此不等式作差后是含有两个字母的二次式，既可配成平方和的形式，也可根据二次三项式的判别式确定符号．[自主解答]法一∵a2＋b2－ab－a－b＋1＝12[(a－b)2＋(a－1)2＋(b－1)2]≥0，∴a2＋b2＋1≥ab＋a＋b.作差比较法证明不等式法二a2＋b2－ab－a－b＋1＝a2－(b＋1)a＋b2－b＋1，对于a的二次三项式，Δ＝(b＋1)2－4(b2－b＋1)＝－3(b－1)2≤0.∴a2－(b＋1)a＋b2－b＋1≥0，故a2＋b2＋1≥ab＋a＋b.1．作差比较法中，变形具有承上启下的作用，变形的目的在于判断差的符号，而不用考虑差值的多少．2．因式分解是常用的变形手段，为了便于判断“差式”的符号，常将“差式”变形为一个常数，或几个因式积的形式，当所得的“差式”是某字母的二次三项式时，可利用“Δ”判定符号．【例2】已知a ＞0，b ＞0且a ≠b ，求证：a a b b ＞.[精彩点拨] →作商变形 →与1比较大小→下结论作商比较法证明不等式1．当不等式的两端为指数式时，可作商证明不等式．2．运用a ＞b ⇔a b ＞1证明不等式时，一定注意b ＞0是前提条件．若符号不能确定，应注意分类讨论．三、综合法一般地，从出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫做，又叫或．由因导果法已知条件综合法顺推证法用综合法证明不等式的逻辑关系))()((21结论必要条件逐步推演不等式成立的已知BB B B A n ⇒⇒⇒⇒⇒【例3】已知a ，b ，c 是正数，求证：b 2c 2＋c 2a 2＋a 2b 2a ＋b ＋c ≥abc .[精彩点拨] 由a ，b ，c 是正数，联想去分母，转化证明b 2c 2＋c 2a 2＋a 2b 2≥abc (a ＋b ＋c )，利用x 2＋y 2≥2xy 可证．或将原不等式变形为bc a ＋ac b ＋abc ≥a ＋b ＋c 后，再进行证明．用综合法证明不等式[自主解答] 法一 ∵a ，b ，c 是正数，∴b 2c 2＋c 2a 2≥2abc 2，b 2c 2＋a 2b 2≥2ab 2c ，c 2a 2＋a 2b 2≥2a 2bc ， ∴2(b 2c 2＋c 2a 2＋a 2b 2)≥2(abc 2＋ab 2c ＋a 2bc )，即b 2c 2＋c 2a 2＋a 2b 2≥abc (a ＋b ＋c )．又a ＋b ＋c ＞0，∴b 2c 2＋c 2a 2＋a 2b2a ＋b ＋c ≥abc .法二 ∵a ，b ，c 是正数，∴bc a ＋acb ≥2bca ·acb ＝2c .同理ac b ＋ab c ≥2a ，ab c ＋bca ≥2b ， ∴2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫bc a ＋ac b ＋ab c ≥2(a ＋b ＋c )．又a ＞0, b ＞0，c ＞0，∴b 2c 2＋a 2c 2＋a 2b 2≥abc (a ＋b ＋c )．故b 2c 2＋c 2a 2＋a 2b 2a ＋b ＋c ≥abc .1．综合法证明不等式，揭示出条件和结论之间的因果联系，为此要着力分析已知与求证之间、不等式的左右两端之间的差异与联系，合理进行转换，恰当选择已知不等式(切入点)，这是证明的关键．2．综合法证明不等式的主要依据：(1)不等式的基本性质；(2)基本不等式及其变形；(3)三个正数的算术-几何平均不等式等．22222222333,,:(1)0;(2)0;(3)2;222(4);1122(5)3;(6)a b a b a a a b ab a b a bab a ba b c abc a b a b a b++⎛⎫≥≥+≥≥ ⎪⎝⎭++≤≤≤+++≥-≤±≤+利用综合法证明不等式时应注意对已证不等式的使用常用的不等式有四、分析法证明命题时，我们还常常从要证的出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做，这是一种执果索因的思考和证明方法．分析法结论已知条件用分析法证明不等式的逻辑关系知成立的充分条件论已步步寻求不等式结 ) ( 21AB B B B n ⇐⇐⇐⇐⇐用分析法证“若A则B”这个命题的模式是: 为了证明命题B为真,为真,从而有……只需证明命题B1只需证明命题B为真,从而有……2……只需证明命题A为真.而已知A为真,故B必真.【例4】已知a＞b＞0，求证：(a－b)28a＜a＋b2－ab＜(a－b)28b.[精彩点拨]本题要证明的不等式显得较为复杂，不易观察出怎样由a＞b＞0得到要证明的不等式，因而可以用分析法先变形要证明的不等式，从中找到证题的线索．[自主解答] 要证原不等式成立，只需证(a －b )24a ＜a ＋b －2ab ＜(a －b )24b ，即证⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 2a 2＜(a －b )2＜⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 2b 2.只需证a －b2a ＜a －b ＜a －b2b ，即a ＋b2a ＜1＜a ＋b2b ，即b a ＜1＜ab .只需证b a ＜1＜ab . ∵a ＞b ＞0，∴b a ＜1＜ab 成立．∴原不等式成立．1．解答本题的关键是在不等式两边非负的条件下，利用不等式的开方性质寻找结论成立的充分条件，采用分析法是常用方法．证明过程一要注意格式规范，二要注意逻辑关系严密、准确．2．当所证不等式与重要不等式、基本不等式没有什么直接联系，或条件与结论之间的关系不明显时，可用分析法来寻找证明途径．常常利用移项、去分母、平方、开方等方法进行分析探路．【例5】设x，y∈(0，＋∞)，求证：12(x＋y)2＋14(x＋y)≥x y＋y x.证明：原不等式⇔2(x＋y)2＋(x＋y)≥4x y＋4y x ⇔(x＋y)[2(x＋y)＋1]≥2xy(2x＋2y)．因为x ＋y ≥2xy ＞0，所以只需证2(x ＋y )＋1≥2x ＋2y .即证⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋14≥x ＋y .而x ＋14≥2x 4＝x ，y ＋14≥2y4＝y ，当且仅当x ＝y ＝14时，等号成立，所以12(x ＋y )2＋14(x ＋y )≥x y ＋y x .1．分析法在思考上优于综合法，易于寻找证明的思路，综合法在证明过程中书写表达条理、简练，故常将两法综合使用，用分析法“探路”，用综合法“书写”，从而解决较复杂的不等式证明问题．2．在证明不等式的过程中，分析法和综合法是不能分离的，如果使用综合法证明不等式难以入手，常用分析法探索证题途径，之后用综合法的形式写出它的证明过程．有时问题证明难度较大，常综合应用分析法和综合法，从两头往中间靠以达到证题目的．当堂达标固双基1．设a，b，m均为正数，且ba＜b＋ma＋m，则a与b的大小关系是________．[解析]b＋ma＋m－ba＝m(a－b)a(a＋m)＞0.又a，b，m为正数，∴a(a＋m)＞0，m＞0，因此a－b＞0.即a＞b.[答案]a＞b3．已知a≥b＞0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b.[证明]2a3－b3－(2ab2－a2b)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b)．因为a≥b＞0，所以a－b≥0，a＋b＞0,2a＋b＞0, 从而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0，即2a3－b3≥2ab2－a2b.2222224.,,0,,()()()6a b c a b c b c a c a b abc >+++++>已知且不全相等求证:abc c b a a bc c b 2)(,0,2 :2222≥+∴>≥+ 证明abc a c b b ac a c 2)(,0,2 2222≥+∴>≥+ abc b a c c ab b a 2)(,0,2 2222≥+∴>≥+ abcb ac a c b c b a c b a 6)()()(,,,,222222>+++++把它们相加得取等号少有一个不所以上述三个式子中至不全相等由于5．已知a ＞0，求证： a 2＋1a 2－2≥a ＋1a －2.[证明] 因为a ＞0，要证原不等式成立，只需证 a 2＋1a 2＋2≥a ＋1a ＋2，即证a 2＋1a 2＋4a 2＋1a 2＋4≥⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋1a 2＋22⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋1a ＋2，只需证2·a 2＋1a 2≥a ＋1a ，即证2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a 2＋1a 2≥a 2＋1a 2＋2，只需证a 2＋1a 2≥2.由基本不等式知a 2＋1a 2≥2显然成立，所以原不等式成立．1. 比较法(作差比较法与作商比较法)是证明不等式最基本、最重要的方法，其基本步骤是:①作差(或作商);②变形;③判断差的符号(或商与“1”的大小);④下结论.其中“变形”是关键，作差比较法通常将差变形成因式乘积的形式或平方和的形式，再结合不等式的性质判断正负，作商比较法往往运用于不等式是乘积式或幂的形式.2．综合法是从已知条件或基本不等式出发，运用不等式的有关性质推导出所要证明的不等式，证明思路是“由因导果”．综合法证明不等式，要揭示出条件与结论间的因果联系，为此要着力分析已知与求证间，不等式左、右两端的差异与联系，合理变换、恰当选择已知不等式是证明的关键．寻找启动不等式是综合法的难点.22222222333:(1)0;(2)0;(3)2;222(4);1122(5)3;(6)a b a b a a a b ab a b a b ab a ba b c abc a b a b a b++⎛⎫≥≥+≥≥ ⎪⎝⎭++≤≤≤+++≥-≤±≤+常用的不等式有3．分析法就是从求证的不等式出发，执果索因，找出使这个不等式成立需具备的充分条件，直至能肯定所需条件已经具备．证明的关键是推理的每一步都必须可逆．用分析法证明“若A则B”的模式为：欲证命题B成立，只需证命题B1成立……只需证命题B2成立…………只需证明A为真．今已知A为真，故B必真．可以简单写成：B⇐B1⇐B2⇐……⇐B n⇐A.4．证明时省略掉“要证明”和“只需证明”的字样，就会颠倒因果关系而犯逻辑上的根本错误，但可用“⇐”取代那些必要的词语．应予以足够重视．5．分析法和综合法是对立统一的两种方法，分析法的特点是利于思考，因为其方向明确，思路自然，易于掌握．综合法的优点是宜于表述、条理清楚、形式简洁．证明时常用分析法探索证明途径，后用综合法的形式写出证明过程，这是解数学问题的一种重要思想方法．Thank you for watching !。

不等式证明的基本方法经典例题透析

经典例题透析类型一：比较法证明不等式1、用作差比较法证明下列不等式：（1）；（2）(a，b均为正数，且a≠b)思路点拨：（1）中不等号两边是关于a,b,c的多项式，作差后因式分解的前途不大光明，但注意到如a2, b2, ab这样的结构，考虑配方来说明符号；（2）中作差后重新分组进行因式分解。

证明：（1）当且仅当a=b=c时等号成立，（当且仅当a=b=c取等号）.（2）∵a>0, b>0, a≠b,∴a+b>0, (a-b)2>0,∴，∴.总结升华：作差，变形（分解因式、配方等），判断差的符号，这是作差比较法证明不等式的常用方法。

举一反三：【变式1】证明下列不等式：(1)a2+b2+2≥2(a+b)(2)a2+b2+c2+3≥2(a+b+c)(3)a2+b2≥ab+a+b-1【答案】（1）（a2+b2+2）-2(a+b)=(a2-2a+1)+(b2-2b+1)=(a-1)2+(b-1)2≥0∴a2+b2+2≥2(a+b)（2）证法同（1）（3）2（a2+b2）-2（ab+a+b-1)=(a2-2ab+b2)+(a2-2a+1)+(b2-2b+1)=( a-b)2+(a-1)2+(b-1)2≥0 ∴2（a2+b2）≥2（ab+a+b-1)，即a2+b2≥ab+a+b-1【变式2】已知a，b∈，x，y∈，且a+b=1，求证：ax2+by2≥(ax+by)2【答案】ax2+by2-(ax+by)2=ax2+by2-a2x2-b2y2-2abxy=a(1-a)x2+b(1-b)y2-2abxy=abx2+aby2-2abxy=ab(x-y)2≥0∴ax2+by2≥(ax+by)22、用作商比较法证明下列不等式：（1）(a，b均为正实数，且a≠b)（2）（a，b，c∈，且a，b，c互不相等）证明：（1）∵a3+b3>0, a2b+ab2>0.∴，∵a, b为不等正数，∴，∴∴（2）证明：不妨设a>b>c，则∴所以，总结升华：当不等号两边均是正数乘积或指数式时，常用这种方法，目的是约分化简. 作商比较法的基本步骤:判定式子的符号并作商变形判定商式大于1或等于1或小于1结论。

不等式的证明(1)--比较法

3 3 2 2
法，因式分解法，有时把差变 2 (a b)(a b) (a b )(a b) 形为常数或变形为常数与几个数的平方和的形式或变形为几 a, b是正数, 且a b, 2 个因式积的形式.变形到可判断 a b 0, (a b) 符号为止. 0,
三、例题讲解
作商比较法是将问题 a b 转化为商与1的关系， a b (ab) 故变形时要注意1的几 a b a b b a 种情形，如 a b 2 (ab) a0 2 2 2 同理 b a a b ( ) a 1 1=a =log a=a/a等，对 ab b 商的变形目的常为 a b an,logan等形式，以利 b a 2 (ab) a b 于利用指数函数和对数函数的单调性作出 a b a b b a 判断. 2 a b (ab) a b
a b a b 0 a b a b 0 a b ab 0
作差比较法的步骤：作差——变形（化简）——定号（差值的符号）
一、复习引入 2.作商比较法的原理及步骤：
a, b R a a b 1 b a a b 1 b a a b 1 b
(a 2) 2 0 2 4a
4a 1. 2 4a
四、练习
a b 4.已知 c a b 0, 求证 . c a c b
a b ( a b )c 证明: c a c b (c a)(c b) c a b 0,
( a b)c 0 (c a)(c b) a b . ca cb
作差法：作差—变形—定号.变形常用因式分解，分组配方等；作商法：作商——变形（化简）——判断（商值与实数1的大小关系），对商的变形常有约分化简，合并等. 3.一般情况下，多项式比较用作差法，而积商幂的形式用作商法.

不等式的证明作商比较法

2
例3 例 6：已知a, b, c R ，且a b c 1, 求证： 1 1 1 ( 1)( 1)( 1) 8 a b c
分析:不等式右边是8,使我们联想到左边的因式分别是使用基本不等式得到三个2
证明： a, b, c R，且a b c 1,

ab B. ab 2 ab D. ab 2
2. 已知a, b R , 且a b, 1 1 a b 4 求证： a b
例2 例6：已知 a，b，c R ，
a b c 求证： a b c b c a
证明: a, b, c R
•开方法则
若a,b∈R，则a2+b2≥2ab（当且仅当a=b时取等号）
2、重要不等式 3、均值不等式
若a,b∈R+,则a+b≥2
（当且仅当a=b时取等号） ab
例1 已知a、b、c为不全相等的正数，求证：
a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)＋c(a2＋b2) ＞ 6abc
证明： ∵ b2＋c2≥2bc，a＞0
例 8 ：已知a，b，c R ，且互不相等，且abc 1，例 4 1 1 1 求证：a b c a b c
证法2： a，b，c R，且互不相等，且abc 1，

1 1 1 bc ca ab a b c bc ca ca ab ab bc 2 2 2
不等式的证明方法 1.比较法 (1).比差法依据: a b 0 a b 步骤:
a b 0 a b a b 0 a b
(2).比商法依据: 若a 0, b 0, 则：
①作差；②变形；③定号.