证明比较法(1)

(a5 a3b2 ) (b5 a2b3 )
a3 (a2 b2 ) b3 (a2 b2 ) (a2 b2 )(a3 b3 ) (a b)(a b)2 (a2 ab b2 )
∵ a, b 都是正数， ∴ a b 0, a2 ab b2 0
又∵ a b, (a b)2 0 (a b)(a b)2 (a2 ab b2 ) 0
6.3 不等式的证明（1） ___比较法
根据前一节学过的知识，我们如何用实数运
a 算来比较两个实数 与 b 的大小？
ab>0a>b，ab<0a<b，ab=0a=b
• 比较法是证明不等式的一种最基本、最
重要的一种方法，用比较法证明不等式的 步骤是： • 作差—变形—判断符号—下结论。 • 作商—变形—与1比较大小---下结论。
即： a m a
b(b m)
bm b
1.本题变形的方法—通分法
2.本题的结论反映了分式的一个性质：若 a, b, m 都是正数，
当
a
b 时，a
b
m m
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a b
;
当a
b 时，a
b
m m
a b
;
例3. 已知 a, b都是正数，并且 a b，求证：a5 b5 a2b3 a3b2
证明：(a5 b5 ) (a2b3 a3b2 )
即：a5 b5 a2b3 a3b2
本题变形的方法— 因式分解法
例4
比较aa bb和ab ba的
例5.甲、乙两人同时同地沿同一线路走到同一地点。甲有一半 时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；乙有一半路程以 速度m行走，另一半路程以速度n行走。如果m≠n，问甲、乙 两人谁先到达指定地点。
2.本题的变形方法——配方法
例2.已知 a,b, m 都是正数，并且a b, 求证 a m a
bm b
证明：a m a b(a m) a(b m)
bm b
b(b m)
m(b a)
b(b m)
∵ a,b, m 都是正数，并且 a b,
b m 0,b a 0 m(b a) 0
• 要灵活掌握配方法和通分法对差式进行恒 等变形。
6.3 不等式的证明（1)--比较法
例1.求证：x2 3 3x
证：∵ (x2 3) 3x
x2 3x (3)2 (3)2 3
22
x
3 2
2
3 4
≥
3 4
0
x2 3 3x
1.变形的目的全在于判断差的符号，而不必考虑差的值是 多少。至于怎样变形，要灵活处理。
解：设从出发地点至指定地点的路程是S，甲、乙两人走完
这段路程所用的时间分别为t1，t2，依题意有
t1 m t1 n S, 22
S 2m
S 2n
t2
t1
2S mn
t2
S(m n) , 2mn
t1 t2
2S S(m n) m n 2mn
S 4mn (m n)2 2(m n)mn
S(m n)2
2mn(m n)
其中S，m，n都是正数，且m≠n, 于是t1-t2<0
即 t1 t2 从而可知甲比乙首先到达指定地点。
小结：
• 作差比较法是证明不等式的一种最基本、 最重要的一种方法，用比较法证明不等式 的步骤是：作差—变形—判断符号—下结 论。
• 要灵活掌握配方法和通分法对差式进行恒 等变形。