人教版高中数学63不等式的性质及比较法证明不等式PPT课件
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不等式的基本性质和证明的基本方法 PPT

参加接待工作,若每天早、中、晚三班,每班 4 人,每人每
天最多值一班,则开幕式当天不同的排班种数为( )
A.C1124C412C48 C.C1124AC34132C48
B.C1124A412A48 D.C1124C412C48A33
【解析】 首先从 14 人中选出 12 人共 C1124种,然后将 12 人平均分为 3 组共C412·AC3348·C44种,然后这两步相乘,得 C1124·AC34132·C48.将三组分配下去共 C1124·C412·C48种.故选 A.
第 2 课时 组合的综合应用
(教师用书独具) ●三维目标
1.知识与技能 (1)学会运用组合的概念分析简单的实际问题; (2)掌握解决组合问题的常见方法.
2.过程与方法 参与体验组合数的应用,体会将实际问题化归为组合问 题的方法. 3.情感、态度与价值观 培养学生的数学应用意识和创新意识,提高对数学的兴 趣.
1.解决这类问题的关键是分清其为分组问题还是分配 问题.
2.分组问题属于“组合”问题,常见的分组问题有三 种:
(1)完全均匀分组,每组的元素个数均相等; (2)部分均匀分组,应注意不要重复,有 n 组均匀,最后 必须除以 n!; (3)完全非均匀分组,这种分组不考虑重复现象.
北京《财富》全球论坛期间,某高校有 14 名志愿者
【答案】 A
忽视分配问题中的相同元素与不同元素致误 某同学有同样的画册 2 本,同样的集邮册 3 本,
从中取出 4 本赠送给 4 位朋友,每位朋友 1 本,则不同的赠 送方法共有( )
A.4 种 B.10 种 C.18 种 D.20 种
【错解】 两种取法:第一种从 2 本画册中取 1 本,将 3 本集邮册全部取出;第二种,将 2 本画册全部取出,从 3 本集邮册中取 2 本,第一种有 C12C33A14=8 种.第二种有 C22 C23·A14=12,∴一共有 8+12=20 种.
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例题讲解 例1、比较两数(a+1)2与 a2-a+1值的大小。
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练习 比较两数(a2 +1)2与 a4+a2+1的值的大小。
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例题讲解
•
6.不能把质朴、理性的爱国主义视为 民粹主 义、狭 隘民族 主义, 同时应 防止各 种形式 的民粹 主义和 极端民 族主义 行为。
•
7. 众多短视频平台成为人们的消遣神 器,但 如果缺 乏内容 创新和 内涵续 航,短 视频的 发展将 不容乐 观。
•
8. 在这个浅表性阅读时代,越是具有 艺术美 感、内 容穿透 力和人 文内涵 的走心 作品越 能获得 观众的 认可。
性质5:如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd.不等式的叠乘性质
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谢谢
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•
1.中美贸易摩擦已升级为舆论战,坚 持正确 舆论导 向、弘 扬爱国 主义精 神尤为 重要。
•
2.爱国主义精神具有深厚的历史性, 极强的 传承力 、感染 力,以 及坚韧 性,顽 强性和 理性。
•
3.爱国主义精神,是在中国共产党近 百年之 奋斗史 中不断 形成, 积聚与 升华而 成的。
•
4.面对史上规模最大的贸易战,中国 政府和 人民最 重要的 是“集中 力量做 好自己 的事”
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练习 比较两数(a2 +1)2与 a4+a2+1的值的大小。
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例题讲解
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6.不能把质朴、理性的爱国主义视为 民粹主 义、狭 隘民族 主义, 同时应 防止各 种形式 的民粹 主义和 极端民 族主义 行为。
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7. 众多短视频平台成为人们的消遣神 器,但 如果缺 乏内容 创新和 内涵续 航,短 视频的 发展将 不容乐 观。
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8. 在这个浅表性阅读时代,越是具有 艺术美 感、内 容穿透 力和人 文内涵 的走心 作品越 能获得 观众的 认可。
性质5:如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd.不等式的叠乘性质
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1.中美贸易摩擦已升级为舆论战,坚 持正确 舆论导 向、弘 扬爱国 主义精 神尤为 重要。
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2.爱国主义精神具有深厚的历史性, 极强的 传承力 、感染 力,以 及坚韧 性,顽 强性和 理性。
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3.爱国主义精神,是在中国共产党近 百年之 奋斗史 中不断 形成, 积聚与 升华而 成的。
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4.面对史上规模最大的贸易战,中国 政府和 人民最 重要的 是“集中 力量做 好自己 的事”
2.1等式性质与不等式性质课件(人教版)PPT

不等式两边同乘一个正数, 所得不等式与原不等式同向; 不等式两边同乘一个负数,
所得不等式与原不等式反向.
高中数学
二、 不等式性质
性 质 1 : 如 果a=b, 那么b=a. 性 质 2 : 如 果a >b, b>c, 那么a >c.
性质3:如果a >b,那么a+c> b+c.
性 质 4 : 如 果 a>b,c> 0, 那么 ac>bc;
高中数学
二、不等式性质
性质3:如果a>b, 那么a+ c>b+c 追问2:两个实数大小关系还可以形象地在 数轴上表达出来,你能从几何意义的角度 对这个性质进行解释吗?
高中数学
二、不等式性质
性质3:如果a>b, 那么a+ c>b+c 追问2:两个实数大小关系还可以形象地在 数轴上表达出来,你能从几何意义的角度 对这个性质进行解释吗?
高中数学
二、不等式性质
性质3:如果a>b, 那么a+ c>b+c 追问2:两个实数大小关系还可以形象地在 数轴上表达出来,你能从几何意义的角度 对这个性质进行解释吗?
高中数学
二、不等式性质
追问3:你能从性质3中得到什么结论吗? 由性质3可得
a+b>c→a+b+(-b)>c+(-b)
→a >c-b
如果a>b>0, 那么 a²>b²
性质7:如果 a>b>0, 那么a”>b”
(n∈N*,n≥2)
高中数学
三、 不等式的简单应用
例:已知a>b>0,c<0, 求证
不等式的性质PPT教学课件

例题解析
【解析】氢氧化钠(NaOH),俗称烧碱、火碱、 苛性钠,常温下是一种白色晶体,具有强腐蚀 性.易吸收空气中的水分易潮解可用作干燥剂和易 与空气中二氧化碳反应生成碳酸钠故密封干燥保 存.易溶于水,其水溶液呈强碱性,能使酚酞变红; 使紫色石蕊试液变蓝.由以上所知道的内容可判断 选项A、C、D错误。 故选B。
知识回顾
知识点2 稀酸的化学性质 1.酸与指示剂的反应
稀盐酸 稀硫酸
紫色石蕊溶液 变红色 变红色
2.酸与较活泼金属的反应
无色酚酞溶液 不变色 不变色
实验内容
现象
将镁、锌、 有气泡产生, 铁铝分别与 反应速率:镁 稀盐酸反应 >铝>锌>铁
化学方程式 ①Zn + 2HCl === ZnCl2 + H2↑ ②Mg + 2HCl === MgCl2 + H2↑ ③2Al + 6HCl === 2AlCl3 + 3H2↑ ④Fe + 2HCl === FeCl2 + H2↑
常见 的酸 和碱
稀酸的化 学性质
常见的碱
酸与较活泼金属反应 酸与金属氧化物的反应 酸与盐的反应
常见碱的物理性质及用途
碱溶液的 碱与非金属氧化物的反应 化学性质 碱与盐的反应
知识网络
知识回顾
知识点1 常见的酸 硫酸、盐酸、硝酸的物理性质及用途
酸 化学式
物理性质
主要用途
硫 酸 H2SO4 盐 酸 HCl 硝 酸 HNO3
【变式题】盐酸或稀硫酸常用作金属表面的清洁剂是 利用了它们化学性质中的( C )
A 、能与碱反应 B 、能与金属反应 C 、能与某些金属氧化物反应 D 、能与紫色石蕊试液反应
例题解析
【解析】氢氧化钠(NaOH),俗称烧碱、火碱、 苛性钠,常温下是一种白色晶体,具有强腐蚀 性.易吸收空气中的水分易潮解可用作干燥剂和易 与空气中二氧化碳反应生成碳酸钠故密封干燥保 存.易溶于水,其水溶液呈强碱性,能使酚酞变红; 使紫色石蕊试液变蓝.由以上所知道的内容可判断 选项A、C、D错误。 故选B。
知识回顾
知识点2 稀酸的化学性质 1.酸与指示剂的反应
稀盐酸 稀硫酸
紫色石蕊溶液 变红色 变红色
2.酸与较活泼金属的反应
无色酚酞溶液 不变色 不变色
实验内容
现象
将镁、锌、 有气泡产生, 铁铝分别与 反应速率:镁 稀盐酸反应 >铝>锌>铁
化学方程式 ①Zn + 2HCl === ZnCl2 + H2↑ ②Mg + 2HCl === MgCl2 + H2↑ ③2Al + 6HCl === 2AlCl3 + 3H2↑ ④Fe + 2HCl === FeCl2 + H2↑
常见 的酸 和碱
稀酸的化 学性质
常见的碱
酸与较活泼金属反应 酸与金属氧化物的反应 酸与盐的反应
常见碱的物理性质及用途
碱溶液的 碱与非金属氧化物的反应 化学性质 碱与盐的反应
知识网络
知识回顾
知识点1 常见的酸 硫酸、盐酸、硝酸的物理性质及用途
酸 化学式
物理性质
主要用途
硫 酸 H2SO4 盐 酸 HCl 硝 酸 HNO3
【变式题】盐酸或稀硫酸常用作金属表面的清洁剂是 利用了它们化学性质中的( C )
A 、能与碱反应 B 、能与金属反应 C 、能与某些金属氧化物反应 D 、能与紫色石蕊试液反应
例题解析
不等式的基本性质和证明的基本方法PPT教学课件

2.在解有关排列数的方程或不等式时,必须注意隐含 条件,即 Amn 中的 n、m 为正整数,且 n≥m.因此求出方程或 不等式的解后,要进行检验,将不符合的解舍去.
解方程:A42x+1=140A3x.
【解】
由原方程应满足2x+1≥4 x≥3
解得 x≥3,
由排列数公式,原方程化为(2x+1)·2x·(2x-1)·(2x-2)
(2)法一:排除法. 0 在十万位的六位数或 5 在个位的六位数都有 A55个,0 在十万位且 5 在个位的六位数有 A44个. 故符合题意的六位数共有 A66-2A55+A44=504(个). 法二:直接法. 十万位数字的排法因个位上排 0 与不排 0 而有所不 同.因此需分两类. 第一类:当个位排 0 时,符合条件的六位数有 A55个. 第二类:当个位不排 0 时,符合条件的六位数有 A14A14A44个. 故共有符合题意的六位数 A55+A14A14A44=504(个).
(2)(插空法)先排 5 个男生,有 A55种排法,这 5 个男生之 间和两端有 6 个位置,从中选取 3 个位置排女生,有 A36种排 法,因此共有 A55·A36=14 400 种不同排法.
法二:从特殊元素入手(直接法) 0 不在两端有 A14种排法,从 1,3,5 中任选一个排在个位 有 A13种排法,其他各位上用剩下的元素做全排列有 A44种排 法,故共有 A14A13A44=288(个)六位奇数. 法三:排除法. 6 个数字的全排列有 A66个,0,2,4 在个位上的六位数为 3A55个,1,3,5 在个位上,0 在十万位上的六位数有 3A44个,故 满足条件的六位奇数共有 A66-3A55-3A44=288(个).
1.将 2 位新同学分到 4 个班中的 2 个班中去,共有的 分法种数为( )
解方程:A42x+1=140A3x.
【解】
由原方程应满足2x+1≥4 x≥3
解得 x≥3,
由排列数公式,原方程化为(2x+1)·2x·(2x-1)·(2x-2)
(2)法一:排除法. 0 在十万位的六位数或 5 在个位的六位数都有 A55个,0 在十万位且 5 在个位的六位数有 A44个. 故符合题意的六位数共有 A66-2A55+A44=504(个). 法二:直接法. 十万位数字的排法因个位上排 0 与不排 0 而有所不 同.因此需分两类. 第一类:当个位排 0 时,符合条件的六位数有 A55个. 第二类:当个位不排 0 时,符合条件的六位数有 A14A14A44个. 故共有符合题意的六位数 A55+A14A14A44=504(个).
(2)(插空法)先排 5 个男生,有 A55种排法,这 5 个男生之 间和两端有 6 个位置,从中选取 3 个位置排女生,有 A36种排 法,因此共有 A55·A36=14 400 种不同排法.
法二:从特殊元素入手(直接法) 0 不在两端有 A14种排法,从 1,3,5 中任选一个排在个位 有 A13种排法,其他各位上用剩下的元素做全排列有 A44种排 法,故共有 A14A13A44=288(个)六位奇数. 法三:排除法. 6 个数字的全排列有 A66个,0,2,4 在个位上的六位数为 3A55个,1,3,5 在个位上,0 在十万位上的六位数有 3A44个,故 满足条件的六位奇数共有 A66-3A55-3A44=288(个).
1.将 2 位新同学分到 4 个班中的 2 个班中去,共有的 分法种数为( )
人教不等式的基本性质PPT完美版

•
6.冷锋。冷锋符号画线在雨带南侧, 由北向 南移动 ,画图 略。
•
7.土地利用以绿地为主,绿地面积呈 增加趋 势;建 筑面积 增加最 多,水 域、其 他用地 、滩涂 持续减 少。
•
8.布局在郊区,地价便宜;远离市区 ,能有 效减小 对市区 的污染 ;临海 分布, 便于运 进原料 和输出 产品。
•
9.结合上题,主要从政策扶持,发展 有机农 业;提 高农业 技术, 科学施 肥;因 主要从 我国人 多地少 ,农业 生产压 力大以 及耕地 资源的 特点等 方面分 析加强 农产品 质量监 管等方 面分析.
基础 依据
• 性质4:如果a>b,c>d,那么a+c>b+d. 不等式的叠加性质
两个同向的不等式的两边各相加后,仍然得到一个 与它同向的不等式.
练习
• 书P30页—— 2.1(1)课后练习1
例题讲解 例1、比较两数(a+1)2与 a2-a+1值的大小。
练习 比较两数(a2 +1)2与 a4+a2+1的值的大小。
不等式的性质 结论:a>b 的充要条件是:a-b>0 a=b 的充要条件是:a-b=0 a<b 的充要条件是:a-b<0
基础 依据
• 性质2、如果a>b,那么a+c>b+c )同一个实数, 不等号的方向不变;
不等式的性质 结论:a>b 的充要条件是:a-b>0 a=b 的充要条件是:a-b=0 a<b 的充要条件是:a-b<0
性质3、如果a>b,c>0,那么ac>bc. 如果a>b,c<0,那么ac<bc.
不等式的性质及应用

反证法
定义:反证法是一种通过假设相反的结论成立,然后推导出 矛盾的结论,从而证明原结论正确的方法。
步骤
1. 假设相反的结论成立。
2. 推导出矛盾的结论。
3. 得出原结论正确的结论。
例子:例如,要证明一个数不能被3整除,可以先假设它可 以被3整除,然后推导出一些矛盾的结论,从而证明原结论 正确。
放缩法
不等式的性质及应用
2023-11-09
contents
目录
• 不等式的基本性质 • 不等式的证明方法 • 不等式的应用 • 不等式在数学竞赛中的应用 • 不等式的实际应用
01
不等式的基本性质
传递性
总结词
不等式的传递性是指如果a>b且c>d,那么ac>bd。
详细描述
不等式的传递性是基于实数的有序性质,即如果a>b且c>d ,那么ac>bd。但需要注意的是,不等式的传递性不适用于 所有的数学对象,例如在复数域上就不一定成立。
详细描述
不等式的乘法单调性是指当两个数a和b满足a>b且c>0时,那么a与c的乘积大于 b与c的乘积。这个性质在解决一些实际问题时非常有用,例如在经济学中的收益 问题。
正值不等式与严格不等式
总结词
正值不等式是指a>b时,称a>b;严格不等式是指a>b且a≠b时,称a>b。
详细描述
正值不等式是指当a大于b时,我们称a大于b;严格不等式是指当a大于b且a不等于b时,我们称a大于b。在数学 中,我们通常使用严格不等式来描述两个数之间的关系,以保证它们之间没有相等的情况。
利用不等式解决其他问题竞赛题
总结词
不等式在数学竞赛中还可以用来解决其他问题,如最 优化问题、数列问题、解析几何问题等。
不等式的基本性质教学课件

02
01
03
(2) 若a < b,则ac^2 < bc^2 作业3:解下列不等式,并在数轴上表示解集。 (1) 2x - 1 < x + 2
作业布置
(2) 3(x - 2) ≥ 2(x - 1)
作业4:思考并回答:不等式的基本性质在日常生活和实际问题中有哪些应用?请举 例说明。
07
总结与回顾
重点内容回顾
02
不等式的基本概念
不等式的定义
80%
不等式定义
用不等号(<、>、≤、≥、≠) 连接两个数学表达式而构成的数 学式子,称为不等式。
100%
不等式的解
使不等式成立的未知数的值,叫 做不等式的解。
80%
不等式的解集
一个含有未知数的不等式的所有 解,组成这个不等式的解集。
不等式的表示方法
符号表示法
使用不等号来表示不等式关系, 如 x < 5,x > y 等。
区间表示法
使用区间来表示不等式解集的 范围,如 x ∈ (2, 5) 表示 x 在 2 到 5 之间。
数轴表示法
在数轴上标出不等式的解集范 围,用实心点表示包括该点, 空心点表示不包括该点。
不等式的分类
分式不等式
分母中含有未知数的不等式,如 (x - 1)/(x + 2) ≥ 0。
一元二次不等式
只含有一个未知数,且未知数的 最高次数为2的不等式,如 x^2 -
逐步推导,由因导果,思路清晰。
综合法的应用
适用于已知条件较少,需要逐步 推导的情况。
分析法
分析法的定义
从所要证明的不等式出发,分析使不等式成立的充分条件,逐步 推导,直到找到已知条件或明显成立的事实为止。
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1
1
2.
设a>0,b>0,求证:ab2
2
ba2
2
1
a2
1
b2
【解题回顾】(1)用比较法证明不等式,步骤是:作差(商)— —变形——判断符号(与“1”比较);常见的变形手段是通分、
因式分解或配方等;常见的变形结果是常数、若干个因式的 积或完全平方式等.应注意的是,商比法只适用于两个正数比 较大小. (2)证法2的最后一步中,也可用基本不等式来完成:
第6章 不等式
第1节 不等式的性质及比较法证
明不等式
要点·疑点·考点
1.不等式的性质是证明不等式和解不等式的理论基础,通 过本节复习,要求理解不等式的性质,会讨论有关不等式 命题的充分性和必要性,正确判断命题的真假. 不等式有如下8条性质:
1.a>b b<a.(反身性) 2.a>b,b>c =>a>c.(传递性)
__a_<__a_b_2<__a_b__. 2.设A=1+2x4,B=2x3+x2,x∈R且x≠1,则A,B的大小关系 为A__>__B.
4 3.若n>0,用不等号连接式子 n 2 _≥__ 3-n.
4.若0<a<1,则下列不等式中正确的是( A )
(A)(1-a)(1/3)>(1-a)(1/2) (B)log(1-a)(1+a)>0
<
1
时
,
logab+logba
的
取
值
范
围
是
2.设 x
1 2
,则函数
5
y
x
8
9
2x -1的最小值是__2 __,
此时x=____2 ___.
3.若 ax25x7x2恒成立.则常数a的取值范
x2 围是__a_____3__.
4.设a、b、c∈R+,则三个数 a1,b1,c1 bca
的值( D ) (A)都大于2 (C)都小于2
3.a>b a+c>b+c.(平移性)
4.a>b,c>0 => ac>bc; a>b,c<0 => ac<bc.(伸缩性)
5.a>b≥0 => n a n b,n∈N,且n≥2.(乘方性) 6.a>b≥0 => a>nb,n∈N,且n≥2.(开方性) 7.a>b,c>d => a+c>b+d.(叠加性) 8.a>b≥0,c>d≥0 => ac>bd.(叠乘性)
4 3
是采用了分析法.在证题时,从已知条件
出发,实行降幂变换,证出了a+b>1;而从结论出
发,实行升幂变换,导出a+b< 4 .这是两种不同的 3
思维程序.
2.(1)设a,b,c都是正数,求证:
1-a1-b1-c6 abc
(2)已知a、b、c∈R+,且a+b+c=1.求证: bccaababc abc
λ1a1λ2a2a λ1 1a λ2 2λ4 1 λ1λ λ2 22
【解题回顾】原不等式从左边到右边的变化是消去a1、 a2,因此设法产生a1+a2是变形的目标.
(B)至少有一个不大于2 (D)至少有一个不小于2
5.设a>b>c且a+b+c =0,求证: (1)b2-ac>0; (2)√b2-ac<√3a.
能力·思维·方法
1.已知a,b,c都是正数,且a≠b,a3-b3=a2-b2,求 证:1<a+b<4
3
【解题回顾】本题证明a+b>1采用了综合法,而证
明a+b<
ab- ab2 ab- ab1
ab
ab
3. 已知x≥0,y≥0,求证:
1xy21xyxyyx
2
4
【解题回顾】在使用放缩技巧时,一定要注意方向,保持 一致.
延伸·拓展
4. 设0<a<1,根据函数的单调性定义,证明函数f(x)=logax+
logxa在
1 ,1 a
上是增函数.【解题回顾】用定义证明函数的单调性,多用到比较法,
(C)(1-a)3>(1+a)2
(D)(1-a)1+a>1
5.已知三个不等式:①ab>0,②-ca<-db,③bc>ad.以其中 两个作条件,余下一个作结论,则可组成__3_个正确的命题.
能力·思维·方法
1. 比较xn+1+yn+1和xny+xyn(n∈N,x,y∈R+)的大小.
【解题回顾】作差法的关键步骤是差式的变形,常利用因 式分解、配方等方法,目的是使差式易于定号,一般四项 式的分解常用分组分解法.
方法,证一就是利用这一方法,证二采用的是有理化分子, 证三、证四是将数量关系的问题转化为图形的性质问题, 充分地考察数学问题的几何背景,常可使问题得以简化.
4.已知a>b>0,求证:
a-b2aba ba-b2
8a 2
8b
【解题回顾】有趣的是,这个双边不等式,我们能够 同时进行证明.
延伸·拓展
5.设a1,a2∈R+,a1+a2=1,λ1,λ2∈R+,求证:
【解题回顾】(1)先局部运用基本不等式,再利用不等 式的性质(注意限制条件),通过相加(乘)合成为待证的 不等式,既是运用基本不等式时的一种重要技能,也 是证明不等式时的一种常用方法.
(2)注意条件中1的代换与使用.
3.证明:若f(x)=√1+x2,a≠b,则|f(a)-f(b)|<|a-b|.
【解题回顾】利用|a|2=a2(a∈R)是证有关绝对值问题的好
2.掌握用比较法证明不等式的方法,熟悉它的变形过程.用 比较法证明不等式的步骤是:作差——变形——定号.其中 的“变形”可以变成平方和,也可以变成因式的积或常数; 有关指数式的比较法通常用作商法,步骤是作商——变 形——与1比较大小.
课前热身
1.设a<0,-1<b<0,则a,ab,ab2三者的大小关系为
2.综合法的难点在于从何处出发进行论证并不明确, 因此我们常常用分析法寻找解题的思路,再用综合法 表述.分析法是“执果索因”,综合法是“由因导果”. 要注意用分析法证明不等式的表述格式.对于较复杂的 不等式的证明,要注意几种方法的综合使用.
课前热身
1. 当 a > 1 , 0 < b ___(_-_∞_,__-_2_]____.
特别是作差比较,要切实掌握比较法的推理过程,注意推理
的严密性.
误解分析
(1)应变形到最佳形式再判断符号,否则既繁琐又易出错.
(2)应熟练掌握对数的性质来判断对数的符号,所以对数性 质的应用是解决本题的关键.
第2节 用综合法、分析法证明不等式
要点·疑点·考点
1.不等式证明的分析法和综合法是从整体上处理不等 式的不同形式.分析法的实质是从欲证的不等式出发寻 找使之成立的充分条件.综合法是把整个不等式看成一 个整体,根据不等式的性质、基本不等式,经过变形、 运算,导出欲证的不等式.