人教版高中数学63不等式的性质及比较法证明不等式PPT课件
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不等式的基本性质和证明的基本方法 PPT
参加接待工作，若每天早、中、晚三班，每班 4 人，每人每
天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为( )
A．C1124C412C48 C.C1124AC34132C48
B．C1124A412A48 D．C1124C412C48A33
【解析】 首先从 14 人中选出 12 人共 C1124种，然后将 12 人平均分为 3 组共C412·AC3348·C44种，然后这两步相乘，得 C1124·AC34132·C48.将三组分配下去共 C1124·C412·C48种．故选 A.
第 2 课时 组合的综合应用
(教师用书独具) ●三维目标
1.知识与技能 (1)学会运用组合的概念分析简单的实际问题； (2)掌握解决组合问题的常见方法．
2．过程与方法 参与体验组合数的应用，体会将实际问题化归为组合问 题的方法． 3．情感、态度与价值观 培养学生的数学应用意识和创新意识，提高对数学的兴 趣．
1．解决这类问题的关键是分清其为分组问题还是分配 问题．
2．分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三 种：
(1)完全均匀分组，每组的元素个数均相等； (2)部分均匀分组，应注意不要重复，有 n 组均匀，最后 必须除以 n！； (3)完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象．
北京《财富》全球论坛期间，某高校有 14 名志愿者
【答案】 A
忽视分配问题中的相同元素与不同元素致误 某同学有同样的画册 2 本，同样的集邮册 3 本，
从中取出 4 本赠送给 4 位朋友，每位朋友 1 本，则不同的赠 送方法共有( )
A．4 种 B．10 种 C．18 种 D．20 种
【错解】 两种取法：第一种从 2 本画册中取 1 本，将 3 本集邮册全部取出；第二种，将 2 本画册全部取出，从 3 本集邮册中取 2 本，第一种有 C12C33A14＝8 种．第二种有 C22 C23·A14＝12，∴一共有 8＋12＝20 种．
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例题讲解 例1、比较两数(a+1)2与 a2－a+1值的大小。
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练习 比较两数(a2 +1)2与 a4+a2+1的值的大小。
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例题讲解
•
6.不能把质朴、理性的爱国主义视为 民粹主 义、狭 隘民族 主义， 同时应 防止各 种形式 的民粹 主义和 极端民 族主义 行为。
•
7. 众多短视频平台成为人们的消遣神 器，但 如果缺 乏内容 创新和 内涵续 航，短 视频的 发展将 不容乐 观。
•
8. 在这个浅表性阅读时代，越是具有 艺术美 感、内 容穿透 力和人 文内涵 的走心 作品越 能获得 观众的 认可。
性质5：如果a>b>0,c>d>0，那么ac>bd.不等式的叠乘性质
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谢谢
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•
1.中美贸易摩擦已升级为舆论战，坚 持正确 舆论导 向、弘 扬爱国 主义精 神尤为 重要。
•
2.爱国主义精神具有深厚的历史性， 极强的 传承力 、感染 力，以 及坚韧 性，顽 强性和 理性。
•
3.爱国主义精神，是在中国共产党近 百年之 奋斗史 中不断 形成， 积聚与 升华而 成的。
•
4.面对史上规模最大的贸易战，中国 政府和 人民最 重要的 是“集中 力量做 好自己 的事”
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练习 比较两数(a2 +1)2与 a4+a2+1的值的大小。
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例题讲解
•
6.不能把质朴、理性的爱国主义视为 民粹主 义、狭 隘民族 主义， 同时应 防止各 种形式 的民粹 主义和 极端民 族主义 行为。
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7. 众多短视频平台成为人们的消遣神 器，但 如果缺 乏内容 创新和 内涵续 航，短 视频的 发展将 不容乐 观。
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8. 在这个浅表性阅读时代，越是具有 艺术美 感、内 容穿透 力和人 文内涵 的走心 作品越 能获得 观众的 认可。
性质5：如果a>b>0,c>d>0，那么ac>bd.不等式的叠乘性质
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1.中美贸易摩擦已升级为舆论战，坚 持正确 舆论导 向、弘 扬爱国 主义精 神尤为 重要。
•
2.爱国主义精神具有深厚的历史性， 极强的 传承力 、感染 力，以 及坚韧 性，顽 强性和 理性。
•
3.爱国主义精神，是在中国共产党近 百年之 奋斗史 中不断 形成， 积聚与 升华而 成的。
•
4.面对史上规模最大的贸易战，中国 政府和 人民最 重要的 是“集中 力量做 好自己 的事”
2.1等式性质与不等式性质课件(人教版)PPT
不等式两边同乘一个正数， 所得不等式与原不等式同向； 不等式两边同乘一个负数，
所得不等式与原不等式反向.
高中数学
二、 不等式性质
性 质 1 : 如 果a=b, 那么b=a. 性 质 2 : 如 果a >b, b>c, 那么a >c.
性质3:如果a >b,那么a+c> b+c.
性 质 4 : 如 果 a>b,c> 0, 那么 ac>bc;
高中数学
二、不等式性质
性质3:如果a>b, 那么a+ c>b+c 追问2:两个实数大小关系还可以形象地在 数轴上表达出来，你能从几何意义的角度 对这个性质进行解释吗?
高中数学
二、不等式性质
性质3:如果a>b, 那么a+ c>b+c 追问2:两个实数大小关系还可以形象地在 数轴上表达出来，你能从几何意义的角度 对这个性质进行解释吗?
高中数学
二、不等式性质
性质3:如果a>b, 那么a+ c>b+c 追问2:两个实数大小关系还可以形象地在 数轴上表达出来，你能从几何意义的角度 对这个性质进行解释吗?
高中数学
二、不等式性质
追问3:你能从性质3中得到什么结论吗? 由性质3可得
a+b>c→a+b+(-b)>c+(-b)
→a >c-b
如果a>b>0, 那么 a²>b²
性质7:如果 a>b>0, 那么a”>b”
(n∈N*,n≥2)
高中数学
三、 不等式的简单应用
例：已知a>b>0,c<0, 求证
不等式的性质PPT教学课件
例题解析
【解析】氢氧化钠（NaOH），俗称烧碱、火碱、 苛性钠，常温下是一种白色晶体，具有强腐蚀 性．易吸收空气中的水分易潮解可用作干燥剂和易 与空气中二氧化碳反应生成碳酸钠故密封干燥保 存．易溶于水，其水溶液呈强碱性，能使酚酞变红； 使紫色石蕊试液变蓝．由以上所知道的内容可判断 选项A、C、D错误。 故选B。
知识回顾
知识点2 稀酸的化学性质 1.酸与指示剂的反应
稀盐酸 稀硫酸
紫色石蕊溶液 变红色 变红色
2.酸与较活泼金属的反应
无色酚酞溶液 不变色 不变色
实验内容
现象
将镁、锌、 有气泡产生， 铁铝分别与 反应速率：镁 稀盐酸反应 ＞铝＞锌＞铁
化学方程式 ①Zn + 2HCl === ZnCl2 + H2↑ ②Mg + 2HCl === MgCl2 + H2↑ ③2Al + 6HCl === 2AlCl3 + 3H2↑ ④Fe + 2HCl === FeCl2 + H2↑
常见 的酸 和碱
稀酸的化 学性质
常见的碱
酸与较活泼金属反应 酸与金属氧化物的反应 酸与盐的反应
常见碱的物理性质及用途
碱溶液的 碱与非金属氧化物的反应 化学性质 碱与盐的反应
知识网络
知识回顾
知识点1 常见的酸 硫酸、盐酸、硝酸的物理性质及用途
酸 化学式
物理性质
主要用途
硫 酸 H2SO4 盐 酸 HCl 硝 酸 HNO3
【变式题】盐酸或稀硫酸常用作金属表面的清洁剂是 利用了它们化学性质中的（ C ）
A 、能与碱反应 B 、能与金属反应 C 、能与某些金属氧化物反应 D 、能与紫色石蕊试液反应
例题解析
【解析】氢氧化钠（NaOH），俗称烧碱、火碱、 苛性钠，常温下是一种白色晶体，具有强腐蚀 性．易吸收空气中的水分易潮解可用作干燥剂和易 与空气中二氧化碳反应生成碳酸钠故密封干燥保 存．易溶于水，其水溶液呈强碱性，能使酚酞变红； 使紫色石蕊试液变蓝．由以上所知道的内容可判断 选项A、C、D错误。 故选B。
知识回顾
知识点2 稀酸的化学性质 1.酸与指示剂的反应
稀盐酸 稀硫酸
紫色石蕊溶液 变红色 变红色
2.酸与较活泼金属的反应
无色酚酞溶液 不变色 不变色
实验内容
现象
将镁、锌、 有气泡产生， 铁铝分别与 反应速率：镁 稀盐酸反应 ＞铝＞锌＞铁
化学方程式 ①Zn + 2HCl === ZnCl2 + H2↑ ②Mg + 2HCl === MgCl2 + H2↑ ③2Al + 6HCl === 2AlCl3 + 3H2↑ ④Fe + 2HCl === FeCl2 + H2↑
常见 的酸 和碱
稀酸的化 学性质
常见的碱
酸与较活泼金属反应 酸与金属氧化物的反应 酸与盐的反应
常见碱的物理性质及用途
碱溶液的 碱与非金属氧化物的反应 化学性质 碱与盐的反应
知识网络
知识回顾
知识点1 常见的酸 硫酸、盐酸、硝酸的物理性质及用途
酸 化学式
物理性质
主要用途
硫 酸 H2SO4 盐 酸 HCl 硝 酸 HNO3
【变式题】盐酸或稀硫酸常用作金属表面的清洁剂是 利用了它们化学性质中的（ C ）
A 、能与碱反应 B 、能与金属反应 C 、能与某些金属氧化物反应 D 、能与紫色石蕊试液反应
例题解析
不等式的基本性质和证明的基本方法PPT教学课件
2．在解有关排列数的方程或不等式时，必须注意隐含 条件，即 Amn 中的 n、m 为正整数，且 n≥m.因此求出方程或 不等式的解后，要进行检验，将不符合的解舍去．
解方程：A42x＋1＝140A3x.
【解】
由原方程应满足2x+1≥4 x≥3
解得 x≥3，
由排列数公式，原方程化为(2x＋1)·2x·(2x－1)·(2x－2)
(2)法一：排除法． 0 在十万位的六位数或 5 在个位的六位数都有 A55个，0 在十万位且 5 在个位的六位数有 A44个． 故符合题意的六位数共有 A66－2A55＋A44＝504(个)． 法二：直接法． 十万位数字的排法因个位上排 0 与不排 0 而有所不 同．因此需分两类． 第一类：当个位排 0 时，符合条件的六位数有 A55个． 第二类：当个位不排 0 时，符合条件的六位数有 A14A14A44个． 故共有符合题意的六位数 A55＋A14A14A44＝504(个)．
(2)(插空法)先排 5 个男生，有 A55种排法，这 5 个男生之 间和两端有 6 个位置，从中选取 3 个位置排女生，有 A36种排 法，因此共有 A55·A36＝14 400 种不同排法．
法二：从特殊元素入手(直接法) 0 不在两端有 A14种排法，从 1,3,5 中任选一个排在个位 有 A13种排法，其他各位上用剩下的元素做全排列有 A44种排 法，故共有 A14A13A44＝288(个)六位奇数． 法三：排除法． 6 个数字的全排列有 A66个，0,2,4 在个位上的六位数为 3A55个，1,3,5 在个位上，0 在十万位上的六位数有 3A44个，故 满足条件的六位奇数共有 A66－3A55－3A44＝288(个)．
1．将 2 位新同学分到 4 个班中的 2 个班中去，共有的 分法种数为( )
解方程：A42x＋1＝140A3x.
【解】
由原方程应满足2x+1≥4 x≥3
解得 x≥3，
由排列数公式，原方程化为(2x＋1)·2x·(2x－1)·(2x－2)
(2)法一：排除法． 0 在十万位的六位数或 5 在个位的六位数都有 A55个，0 在十万位且 5 在个位的六位数有 A44个． 故符合题意的六位数共有 A66－2A55＋A44＝504(个)． 法二：直接法． 十万位数字的排法因个位上排 0 与不排 0 而有所不 同．因此需分两类． 第一类：当个位排 0 时，符合条件的六位数有 A55个． 第二类：当个位不排 0 时，符合条件的六位数有 A14A14A44个． 故共有符合题意的六位数 A55＋A14A14A44＝504(个)．
(2)(插空法)先排 5 个男生，有 A55种排法，这 5 个男生之 间和两端有 6 个位置，从中选取 3 个位置排女生，有 A36种排 法，因此共有 A55·A36＝14 400 种不同排法．
法二：从特殊元素入手(直接法) 0 不在两端有 A14种排法，从 1,3,5 中任选一个排在个位 有 A13种排法，其他各位上用剩下的元素做全排列有 A44种排 法，故共有 A14A13A44＝288(个)六位奇数． 法三：排除法． 6 个数字的全排列有 A66个，0,2,4 在个位上的六位数为 3A55个，1,3,5 在个位上，0 在十万位上的六位数有 3A44个，故 满足条件的六位奇数共有 A66－3A55－3A44＝288(个)．
1．将 2 位新同学分到 4 个班中的 2 个班中去，共有的 分法种数为( )
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•
6.冷锋。冷锋符号画线在雨带南侧， 由北向 南移动 ，画图 略。
•
7.土地利用以绿地为主，绿地面积呈 增加趋 势；建 筑面积 增加最 多，水 域、其 他用地 、滩涂 持续减 少。
•
8.布局在郊区，地价便宜；远离市区 ，能有 效减小 对市区 的污染 ；临海 分布， 便于运 进原料 和输出 产品。
•
9.结合上题，主要从政策扶持，发展 有机农 业；提 高农业 技术， 科学施 肥；因 主要从 我国人 多地少 ，农业 生产压 力大以 及耕地 资源的 特点等 方面分 析加强 农产品 质量监 管等方 面分析.
基础 依据
• 性质4：如果a>b,c>d，那么a+c>b+d. 不等式的叠加性质
两个同向的不等式的两边各相加后，仍然得到一个 与它同向的不等式.
练习
• 书P30页—— 2.1（1）课后练习1
例题讲解 例1、比较两数(a+1)2与 a2－a+1值的大小。
练习 比较两数(a2 +1)2与 a4+a2+1的值的大小。
不等式的性质 结论：a>b 的充要条件是：a-b>0 a=b 的充要条件是：a-b=0 a<b 的充要条件是：a-b<0
基础 依据
• 性质2、如果a>b,那么a+c>b+c ）同一个实数， 不等号的方向不变；
不等式的性质 结论：a>b 的充要条件是：a-b>0 a=b 的充要条件是：a-b=0 a<b 的充要条件是：a-b<0
性质3、如果a>b,c>0，那么ac>bc. 如果a>b,c<0，那么ac<bc.
不等式的性质及应用
反证法
定义：反证法是一种通过假设相反的结论成立，然后推导出 矛盾的结论，从而证明原结论正确的方法。
步骤
1. 假设相反的结论成立。
2. 推导出矛盾的结论。
3. 得出原结论正确的结论。
例子：例如，要证明一个数不能被3整除，可以先假设它可 以被3整除，然后推导出一些矛盾的结论，从而证明原结论 正确。
放缩法
不等式的性质及应用
2023-11-09
contents
目录
• 不等式的基本性质 • 不等式的证明方法 • 不等式的应用 • 不等式在数学竞赛中的应用 • 不等式的实际应用
01
不等式的基本性质
传递性
总结词
不等式的传递性是指如果a>b且c>d，那么ac>bd。
详细描述
不等式的传递性是基于实数的有序性质，即如果a>b且c>d ，那么ac>bd。但需要注意的是，不等式的传递性不适用于 所有的数学对象，例如在复数域上就不一定成立。
详细描述
不等式的乘法单调性是指当两个数a和b满足a>b且c>0时，那么a与c的乘积大于 b与c的乘积。这个性质在解决一些实际问题时非常有用，例如在经济学中的收益 问题。
正值不等式与严格不等式
总结词
正值不等式是指a>b时，称a>b；严格不等式是指a>b且a≠b时，称a>b。
详细描述
正值不等式是指当a大于b时，我们称a大于b；严格不等式是指当a大于b且a不等于b时，我们称a大于b。在数学 中，我们通常使用严格不等式来描述两个数之间的关系，以保证它们之间没有相等的情况。
利用不等式解决其他问题竞赛题
总结词
不等式在数学竞赛中还可以用来解决其他问题，如最 优化问题、数列问题、解析几何问题等。
不等式的基本性质教学课件
02
01
03
(2) 若a < b，则ac^2 < bc^2 作业3：解下列不等式，并在数轴上表示解集。 (1) 2x - 1 < x + 2
作业布置
(2) 3(x - 2) ≥ 2(x - 1)
作业4：思考并回答：不等式的基本性质在日常生活和实际问题中有哪些应用？请举 例说明。
07
总结与回顾
重点内容回顾
02
不等式的基本概念
不等式的定义
80%
不等式定义
用不等号（<、>、≤、≥、≠） 连接两个数学表达式而构成的数 学式子，称为不等式。
100%
不等式的解
使不等式成立的未知数的值，叫 做不等式的解。
80%
不等式的解集
一个含有未知数的不等式的所有 解，组成这个不等式的解集。
不等式的表示方法
符号表示法
使用不等号来表示不等式关系， 如 x < 5，x > y 等。
区间表示法
使用区间来表示不等式解集的 范围，如 x ∈ (2, 5) 表示 x 在 2 到 5 之间。
数轴表示法
在数轴上标出不等式的解集范 围，用实心点表示包括该点， 空心点表示不包括该点。
不等式的分类
分式不等式
分母中含有未知数的不等式，如 (x - 1)/(x + 2) ≥ 0。
一元二次不等式
只含有一个未知数，且未知数的 最高次数为2的不等式，如 x^2 -
逐步推导，由因导果，思路清晰。
综合法的应用
适用于已知条件较少，需要逐步 推导的情况。
分析法
分析法的定义
从所要证明的不等式出发，分析使不等式成立的充分条件，逐步 推导，直到找到已知条件或明显成立的事实为止。
不等式的基本性质和证明的基本方法
证明方法
通过构造平方和并利用非负性进行证明。
应用领域
在线性代数、函数分析和概率论中有广泛应用，如证明某些函数的可 积性等。
切比雪夫不等式
定义
对于任意两个实数序列，序列和的乘积小于或等于序列各项乘积 的和。
证明方法
通过排序后应用算术-几何平均不等式进行证明。
应用领域
在数论、概率论和统计学中有应用，如证明某些概率分布的性质等。
06
经典不等式介绍及其证明
算术-几何平均不等式
定义
对于所有非负实数，算术平均数永远大于或等于 几何平均数。
证明方法
通过数学归纳法或拉格朗日乘数法进行证明。
应用领域
在概率论、信息论和统计学中广泛应用，如证明 熵的最大值等。
柯西-施瓦茨不等式
定义
对于任意两个向量，它们的内积的绝对值小于或等于它们的模的乘 积。
数列的单调性
利用不等式的性质，可以判断数列的单调性，即数列是递增还是 递减。
数列的有界性
通过不等式的性质，可以证明数列的有界性，即数列的每一项都落 在某个区间内。
数学归纳法中的不等式证明
在数学归纳法中，经常需要利用不等式的性质进行证明，如证明某 个不等式对所有的自然数都成立。
05
证明不等式的基本策略
不等式在数学、物理、工程等领域都有广泛应用，研究不等式有 助于解决实际问题。
不等式的基本性质概述
01
传递性
02
可加性
03 可乘性
04
特殊性
对称性
05
如果a>b且b>c，则a>c。 如果a>b，则a+c>b+c。 如果a>b且c>0，则ac>bc。 任何数都大于负数，小于正数。 如果a=b，则b=a。
通过构造平方和并利用非负性进行证明。
应用领域
在线性代数、函数分析和概率论中有广泛应用，如证明某些函数的可 积性等。
切比雪夫不等式
定义
对于任意两个实数序列，序列和的乘积小于或等于序列各项乘积 的和。
证明方法
通过排序后应用算术-几何平均不等式进行证明。
应用领域
在数论、概率论和统计学中有应用，如证明某些概率分布的性质等。
06
经典不等式介绍及其证明
算术-几何平均不等式
定义
对于所有非负实数，算术平均数永远大于或等于 几何平均数。
证明方法
通过数学归纳法或拉格朗日乘数法进行证明。
应用领域
在概率论、信息论和统计学中广泛应用，如证明 熵的最大值等。
柯西-施瓦茨不等式
定义
对于任意两个向量，它们的内积的绝对值小于或等于它们的模的乘 积。
数列的单调性
利用不等式的性质，可以判断数列的单调性，即数列是递增还是 递减。
数列的有界性
通过不等式的性质，可以证明数列的有界性，即数列的每一项都落 在某个区间内。
数学归纳法中的不等式证明
在数学归纳法中，经常需要利用不等式的性质进行证明，如证明某 个不等式对所有的自然数都成立。
05
证明不等式的基本策略
不等式在数学、物理、工程等领域都有广泛应用，研究不等式有 助于解决实际问题。
不等式的基本性质概述
01
传递性
02
可加性
03 可乘性
04
特殊性
对称性
05
如果a>b且b>c，则a>c。 如果a>b，则a+c>b+c。 如果a>b且c>0，则ac>bc。 任何数都大于负数，小于正数。 如果a=b，则b=a。
不等式ppt课件
不等式的应用场景
01
02
03
04
数学领域
解决各种不等关系的问题，如 最值、范围等。
物理领域
描述物理现象和规律，如力学 、电磁学等。
经济领域
描述经济变量之间的关系，如 价格、成本等。
实际生活
描述日常生活中的不等关系， 如时间、距离等。
02
不等式的类型
算术平均数与几何平均数的不等式
总结词
算术平均数与几何平均数的不等式是一种基本的不等式，它反映了平均值与方 差之间的关系。
实际应用定义
描述实际生活中两个量之 间的不等关系，如价格、 距离等。
不等式的性质
加法单调性
即同向不等式相加，不等号不 改变方向。
反身性
任何实数都大于它本身。
传递性
如果a>b，b>c，则a>c。
乘法单调性
即不等式乘以一个正数，不等 号不改变方向；乘以一个负数 ，不等号改变方向。
非空性
不等式的两边都可以取无穷大 或无穷小。
03
不等式的证明方法
利用导数证明不等式
总结词
导数是一阶导数的简称，它描述了函数在某一点的变化率， 可以用来判断函数的单调性和凹凸性，从而帮助我们证明不 等式。
详细描述
首先，我们需要找到不等式两边的函数，然后求导，通过比 较导数值的大小来判断函数的单调性，从而得出不等式的证 明结论。
利用拉格朗日中值定理证明不等式
详细描述
柯西不等式表明，对于任何实数x 和y，都有$x^2+y^2 \geq 2xy$ ，当且仅当x=y时等号成立。这 个不等式在解决一些最优化问题 时非常有用。
排序不等式
总结词
排序不等式是一种基于排序原理的不 等式，它反映了有序实数之间的差值 与乘积之间的关系。
数学课件不等式的性质及比较法证明不等式
第6章 不等式
第1节 不等式的性质及比较法证 明不等式
要点·疑点·考点
1.不等式的性质是证明不等式和解不等式的理论基础，通 过本节复习，要求理解不等式的性质，会讨论有关不等式 命题的充分性和必要性，正确判断命题的真假. 不等式有如下8条性质： 1.a＞b b＜a.(反身性) 2.a＞b，b＞c =>a＞c.(传递性) 3.a＞b a+c＞b+c.(平移性) 4.a＞b，c＞0 => ac＞bc； a＞b，c＜0 => ac＜bc.(伸缩性) 5.a＞b≥0 => n a n b ，n∈N，且n≥2.(乘方性) 6.a＞b≥0 => a＞nb，n∈N，且n≥2.(开方性) 7.a＞b，c＞d => a+c＞b+d.(叠加性) 8.a＞b≥0，c＞d≥0 => ac＞bd.(叠乘性)
课前热身
ab 1.“a＞0且b＞0”是“ ab 2
(A)充分而非必要条件 A( ”成立的 ) (B)必要而非充分条件
(C)充要条件
(D)既非充分又非必要条件
2.甲、乙两车从A地沿同一路线到达B地，甲车一半时间的速 度为a，另一半时间的速度为 b；乙车用速度 a行走了一半路 程，用速度b行走了另一半路程，若a≠b，则两车到达B地的 情况是( ) A
第2节 用综合法、分析法证明不等式
要点·疑点·考点
1. 不等式证明的分析法和综合法是从整体上处理不等 式的不同形式.分析法的实质是从欲证的不等式出发寻 找使之成立的充分条件 .综合法是把整个不等式看成一 个整体，根据不等式的性质、基本不等式，经过变形、 运算，导出欲证的不等式.
2.综合法的难点在于从何处出发进行论证并不明确， 因此我们常常用分析法寻找解题的思路，再用综合法 表述.分析法是“执果索因”，综合法是“由因导果”. 要注意用分析法证明不等式的表述格式.对于较复杂的 不等式的证明，要注意几种方法的综合使用.
第1节 不等式的性质及比较法证 明不等式
要点·疑点·考点
1.不等式的性质是证明不等式和解不等式的理论基础，通 过本节复习，要求理解不等式的性质，会讨论有关不等式 命题的充分性和必要性，正确判断命题的真假. 不等式有如下8条性质： 1.a＞b b＜a.(反身性) 2.a＞b，b＞c =>a＞c.(传递性) 3.a＞b a+c＞b+c.(平移性) 4.a＞b，c＞0 => ac＞bc； a＞b，c＜0 => ac＜bc.(伸缩性) 5.a＞b≥0 => n a n b ，n∈N，且n≥2.(乘方性) 6.a＞b≥0 => a＞nb，n∈N，且n≥2.(开方性) 7.a＞b，c＞d => a+c＞b+d.(叠加性) 8.a＞b≥0，c＞d≥0 => ac＞bd.(叠乘性)
课前热身
ab 1.“a＞0且b＞0”是“ ab 2
(A)充分而非必要条件 A( ”成立的 ) (B)必要而非充分条件
(C)充要条件
(D)既非充分又非必要条件
2.甲、乙两车从A地沿同一路线到达B地，甲车一半时间的速 度为a，另一半时间的速度为 b；乙车用速度 a行走了一半路 程，用速度b行走了另一半路程，若a≠b，则两车到达B地的 情况是( ) A
第2节 用综合法、分析法证明不等式
要点·疑点·考点
1. 不等式证明的分析法和综合法是从整体上处理不等 式的不同形式.分析法的实质是从欲证的不等式出发寻 找使之成立的充分条件 .综合法是把整个不等式看成一 个整体，根据不等式的性质、基本不等式，经过变形、 运算，导出欲证的不等式.
2.综合法的难点在于从何处出发进行论证并不明确， 因此我们常常用分析法寻找解题的思路，再用综合法 表述.分析法是“执果索因”，综合法是“由因导果”. 要注意用分析法证明不等式的表述格式.对于较复杂的 不等式的证明，要注意几种方法的综合使用.
不等式的性质与证明
∴ B＞D
综上：C＞A＞B＞D
本题我们采用了赋值法（特
殊值法），先行猜想，使问题得
以简化、明朗．注意赋值法是解
选择题、开放题等常用的方法，
它可将复杂问题简单化，是我们
常用的数学思想．
例2．设 分析：
，且
，试比较
与
的大小．
比较两个数的大小，可用“作差比较法”、“作商比较法”．
前者依靠 A－B 与 0 的关系判断 A，B 大小，而后者则靠
∴a＜2b＜0这个结论不一定成立， 因此，只有（B）中两个结论均不成立． ∴选（B）
5．（01－上海春）
设 a，b为实数，则 a＞b＞0 是 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 （ ）
D．不充分也不必要条件
分析：
有条件a＞b＞0，可推出 但从 ， ．
不一定能推出a＞b＞0，只能是 的充分不必要条件．
1．不等式的定义：
若 2．不等式的性质：
（1） （2） （3）
；
；
．
（对称性） （传递性） （加法不变性）
推论：若a＞b，且c＞d，则a+c>b+d（同向，可加性）
（4）
； （乘法单调性） 推论1：若a＞b＞0，且c＞d＞0，则ac＞bd 推论2：若a＞b＞0，则 推论3：若a＞b＞0，则 （ （ ，且 n＞1） ，且 n＞1）
∴条件a＞b＞0只能定
∴选（A）
1．注意不等式的性质中左侧表示实数的运 性 质 ， 右 式 反 映 的 是 实 数 的 大 小 顺 序 ， 起 来 即 为 实 数 运 算 性 质 与 大 小 顺 序 之 间 关系．这是不等式一章的理论基础，是不 式性质的证明，证明不等式和解不等式的 要依据．
数学课件：不等式的性质及比较法证明不等式
反证法适用于一些难以直接证 明的不等式，但要注意假设的 正确性和推导过程中的逻辑严
密性。
CHAPTER 03
实际应用举例
代数问题中的不等式应用
代数方程的解
通过比较法证明不等式， 可以确定代数方程的解的 范围，从而找到满足条件 的解。
函数的最值
利用不等式的性质，可以 确定函数的最值，从而解 决一些优化问题。
在学习过程中，我遇到了一些困难，如理解不等式性质的推 导过程和灵活运用不等式证明技巧，但在老师和同学的帮助 下，我克服了这些困难，取得了进步。
下一步学习计划
深入学习不等式的其他性质和 证明技巧，如均值不等式、柯 西不等式等。
练习更多的不等式证明题目， 提高自己的解题能力和思维灵 活性。
学习与不等式相关的其他数学 知识，如函数、导数等，以便 更好地理解和应用不等式。
CHAPTER 05
总结与回顾
本章重点回顾
不等式的性质
01
包括传递性、加法性质、乘法性质等。
比较法证明不等式的基本步骤
02
选取适当的比较对象，利用已知的不等式性质推导所需证明的
不等式。
常见的不等式证明技巧
03
如放缩法、构造法、反证法等。
学习心得与体会
通过本章学习，我掌握了不等式的基本性质和比较法证明不 等式的方法，对不等式证明的思路和方法有了更深入的理解 。
利用不等式的性质，可以比较几何图 形的面积，从而解决一些面积问题。
物理问题中的不等式应用
物理量的范围
在物理问题中，经常需要确定物 理量的范围，如速度、加速度、 力等的范围，通过比较法证明不
等式可以得到这些范围。
物理过程的优化
利用不等式的性质，可以优化物理 过程，如最小作用量原理、最小能 量原理等。
密性。
CHAPTER 03
实际应用举例
代数问题中的不等式应用
代数方程的解
通过比较法证明不等式， 可以确定代数方程的解的 范围，从而找到满足条件 的解。
函数的最值
利用不等式的性质，可以 确定函数的最值，从而解 决一些优化问题。
在学习过程中，我遇到了一些困难，如理解不等式性质的推 导过程和灵活运用不等式证明技巧，但在老师和同学的帮助 下，我克服了这些困难，取得了进步。
下一步学习计划
深入学习不等式的其他性质和 证明技巧，如均值不等式、柯 西不等式等。
练习更多的不等式证明题目， 提高自己的解题能力和思维灵 活性。
学习与不等式相关的其他数学 知识，如函数、导数等，以便 更好地理解和应用不等式。
CHAPTER 05
总结与回顾
本章重点回顾
不等式的性质
01
包括传递性、加法性质、乘法性质等。
比较法证明不等式的基本步骤
02
选取适当的比较对象，利用已知的不等式性质推导所需证明的
不等式。
常见的不等式证明技巧
03
如放缩法、构造法、反证法等。
学习心得与体会
通过本章学习，我掌握了不等式的基本性质和比较法证明不 等式的方法，对不等式证明的思路和方法有了更深入的理解 。
利用不等式的性质，可以比较几何图 形的面积，从而解决一些面积问题。
物理问题中的不等式应用
物理量的范围
在物理问题中，经常需要确定物 理量的范围，如速度、加速度、 力等的范围，通过比较法证明不
等式可以得到这些范围。
物理过程的优化
利用不等式的性质，可以优化物理 过程，如最小作用量原理、最小能 量原理等。
人教版高中数学1不等式的性质(共17张PPT)教育课件
:
那
你
的
第
一
口
罗
没
有
我
和
他
不
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。
我
是
从
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拍
完
但
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你
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“
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分
钟
后
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没
有
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有 怎
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么
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我
就
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，
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这
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东
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下
不
耐
烦
像
如
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我
自
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影
一
五
分
钟
男
女
实
里
拍
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摄
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所
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完
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后
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不
第
一
为
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一
生
说
白
了
，
也
就
是
三
万
不等式的应用教学课件ppt
判断电路稳定性
利用不等式可以表示电路中电压和电流的关系，通过比较这些不等式，可以判断 电路的稳定性。
05
不等式在化学中的应用
利用不等式解决化学平衡问题
总结词
化学平衡常数是表示化学反应限度的一个重要指标，利用不 等式可以解决与化学平衡常数相关的计算和分析问题。
详细描述
通过具体的案例，讲解如何利用不等式解决化学平衡常数的 计算、化学反应平衡移动的方向和大小等问题，以及如何利 用不等式进行反应条件的优化和控制。
利用不等式解决生物多样性保护问题
总结词
物种多样性、生态系统稳定性、环境变化、保护措施
详细描述
生物多样性是地球生态系统的重要组成部分，但人类 活动对生物多样性造成了严重威胁。为了保护生物多 样性，需要采取一系列措施。其中之一是通过建立不 等式来分析物种多样性的作用和生态系统稳定性之间 的关系。例如，物种多样性与生态系统稳定性呈正相 关关系，因为物种之间的相互作用可以调节生态系统 中的物质循环和能量流动
不等式在经济生活中的应用
价格比较
在购物时，人们经常需要比较不同商品的价格，通过不等式 的性质可以判断出性价比更高的商品。
投资决策
在投资领域，投资者需要分析不同项目的风险和收益，通过 不等式可以判断出最优的投资方案。
不等式在生产生活中的应用
资源分配
在生产过程中，经常需要将有限的资源分配给不同的部门或环节，通过不等 式可以确定资源分配的最优比例。
总结词
化学反应速率是化学反应快慢的一个重要指标，利用不等式可以解决与化学反应 速率相关的计算和分析问题。
详细描述
通过具体的案例，讲解如何利用不等式解决化学反应速率的计算、反应速率常数 的确定、反应速率方程的建立等问题，以及如何利用不等式进行反应条件的优化 和控制。
利用不等式可以表示电路中电压和电流的关系，通过比较这些不等式，可以判断 电路的稳定性。
05
不等式在化学中的应用
利用不等式解决化学平衡问题
总结词
化学平衡常数是表示化学反应限度的一个重要指标，利用不 等式可以解决与化学平衡常数相关的计算和分析问题。
详细描述
通过具体的案例，讲解如何利用不等式解决化学平衡常数的 计算、化学反应平衡移动的方向和大小等问题，以及如何利 用不等式进行反应条件的优化和控制。
利用不等式解决生物多样性保护问题
总结词
物种多样性、生态系统稳定性、环境变化、保护措施
详细描述
生物多样性是地球生态系统的重要组成部分，但人类 活动对生物多样性造成了严重威胁。为了保护生物多 样性，需要采取一系列措施。其中之一是通过建立不 等式来分析物种多样性的作用和生态系统稳定性之间 的关系。例如，物种多样性与生态系统稳定性呈正相 关关系，因为物种之间的相互作用可以调节生态系统 中的物质循环和能量流动
不等式在经济生活中的应用
价格比较
在购物时，人们经常需要比较不同商品的价格，通过不等式 的性质可以判断出性价比更高的商品。
投资决策
在投资领域，投资者需要分析不同项目的风险和收益，通过 不等式可以判断出最优的投资方案。
不等式在生产生活中的应用
资源分配
在生产过程中，经常需要将有限的资源分配给不同的部门或环节，通过不等 式可以确定资源分配的最优比例。
总结词
化学反应速率是化学反应快慢的一个重要指标，利用不等式可以解决与化学反应 速率相关的计算和分析问题。
详细描述
通过具体的案例，讲解如何利用不等式解决化学反应速率的计算、反应速率常数 的确定、反应速率方程的建立等问题，以及如何利用不等式进行反应条件的优化 和控制。
不等式证明课件
在金融学中，不等式常被用于投 资组合优化问题，以确定最佳的 投资组合策略，使得投资收益最
大化或风险最小化。
供需关系分析
在经济学中，不等式可以用来分析 市场供需关系，预测商品价格变化 趋势，以及制定相应的市场策略。
成本效益分析
在制定商业决策时，不等式可以用 于比较不同方案的成本和效益，以 选择最优方案。
切比雪夫不等式
总结词
切比雪夫不等式是一个概率论中的基本不等 式，它表明对于任何概率分布，其数学期望 值总不小于其方差值的一半。
详细描述
切比雪夫不等式是概率论中的一个基本不等 式，它表明对于任何概率分布，其数学期望 值总是大于或等于其方差值的一半。这个不 等式在解决一些概率论问题时非常有用，例 如在统计学、决策理论和可靠性理论等领域 。
不等式证明ppt课件
目录
• 不等式的性质 • 不等式的证明方法 • 常见不等式的证明 • 不等式在数学中的应用 • 不等式的实际应用
01
不等式的性质
定义
总结词
不等式的基本定义
详细描述
不等式是数学中表示两个数或表达式大小关系的式子，用“<”、“>”、 “≤”或“≥”连接。
性质
总结词
不等式的性质
不等式在数论中有着广泛的应用，如 最大公约数、最小公倍数、数的分解 等。
在函数最值问题中的应用
函数的最值问题是数学中的一个重要问题，不等式证明技巧在解决这类问题中具 有关键作用。
利用不等式可以推导函数的单调性、极值和最值，进而解决实际问题中的优化问 题。
05
不等式的实际应用
在经济学中的应用
投资组合优化
03
常见不等式的证明
算术-几何平均不等式
总结词
大化或风险最小化。
供需关系分析
在经济学中，不等式可以用来分析 市场供需关系，预测商品价格变化 趋势，以及制定相应的市场策略。
成本效益分析
在制定商业决策时，不等式可以用 于比较不同方案的成本和效益，以 选择最优方案。
切比雪夫不等式
总结词
切比雪夫不等式是一个概率论中的基本不等 式，它表明对于任何概率分布，其数学期望 值总不小于其方差值的一半。
详细描述
切比雪夫不等式是概率论中的一个基本不等 式，它表明对于任何概率分布，其数学期望 值总是大于或等于其方差值的一半。这个不 等式在解决一些概率论问题时非常有用，例 如在统计学、决策理论和可靠性理论等领域 。
不等式证明ppt课件
目录
• 不等式的性质 • 不等式的证明方法 • 常见不等式的证明 • 不等式在数学中的应用 • 不等式的实际应用
01
不等式的性质
定义
总结词
不等式的基本定义
详细描述
不等式是数学中表示两个数或表达式大小关系的式子，用“<”、“>”、 “≤”或“≥”连接。
性质
总结词
不等式的性质
不等式在数论中有着广泛的应用，如 最大公约数、最小公倍数、数的分解 等。
在函数最值问题中的应用
函数的最值问题是数学中的一个重要问题，不等式证明技巧在解决这类问题中具 有关键作用。
利用不等式可以推导函数的单调性、极值和最值，进而解决实际问题中的优化问 题。
05
不等式的实际应用
在经济学中的应用
投资组合优化
03
常见不等式的证明
算术-几何平均不等式
总结词
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1
1
2.
设a＞0，b＞0，求证：ab2
2
ba2
2
1
a2
1
b2
【解题回顾】(1)用比较法证明不等式，步骤是：作差(商)— —变形——判断符号(与“1”比较)；常见的变形手段是通分、
因式分解或配方等；常见的变形结果是常数、若干个因式的 积或完全平方式等.应注意的是，商比法只适用于两个正数比 较大小. (2)证法2的最后一步中，也可用基本不等式来完成：
第6章 不等式
第1节 不等式的性质及比较法证
明不等式
要点·疑点·考点
1.不等式的性质是证明不等式和解不等式的理论基础，通 过本节复习，要求理解不等式的性质，会讨论有关不等式 命题的充分性和必要性，正确判断命题的真假. 不等式有如下8条性质：
1.a＞b b＜a.(反身性) 2.a＞b，b＞c =>a＞c.(传递性)
__a_＜__a_b_2＜__a_b__. 2.设A=1+2x4，B=2x3+x2，x∈R且x≠1，则A，B的大小关系 为A__＞__B.
4 3.若n＞0，用不等号连接式子 n 2 _≥__ 3-n．
4.若0＜a＜1，则下列不等式中正确的是( A )
(A)(1-a)(1/3)＞(1-a)(1/2) (B)log(1-a)(1+a)＞0
＜
1
时
，
logab+logba
的
取
值
范
围
是
2.设 x
1 2
，则函数
5
y
x
8
9
2x -1的最小值是__2 __，
此时x=____2 ___.
3.若 ax25x7x2恒成立.则常数a的取值范
x2 围是__a_____3__.
4.设a、b、c∈R+，则三个数 a1，b1，c1 bca
的值( D ) (A)都大于2 (C)都小于2
3.a＞b a+c＞b+c.(平移性)
4.a＞b，c＞0 => ac＞bc； a＞b，c＜0 => ac＜bc.(伸缩性)
5.a＞b≥0 => n a n b，n∈N，且n≥2.(乘方性) 6.a＞b≥0 => a＞nb，n∈N，且n≥2.(开方性) 7.a＞b，c＞d => a+c＞b+d.(叠加性) 8.a＞b≥0，c＞d≥0 => ac＞bd.(叠乘性)
4 3
是采用了分析法.在证题时，从已知条件
出发，实行降幂变换，证出了a+b＞1；而从结论出
发，实行升幂变换，导出a+b＜ 4 ．这是两种不同的 3
思维程序.
2.(1)设a，b，c都是正数，求证：
1-a1-b1-c6 abc
(2)已知a、b、c∈R+，且a+b+c=1.求证： bccaababc abc
λ1a1λ2a2a λ1 1a λ2 2λ4 1 λ1λ λ2 22
【解题回顾】原不等式从左边到右边的变化是消去a1、 a2，因此设法产生a1+a2是变形的目标.
(B)至少有一个不大于2 (D)至少有一个不小于2
5.设a＞b＞c且a+b+c =0，求证： (1)b2-ac＞0； (2)√b2-ac＜√3a.
能力·思维·方法
1.已知a，b，c都是正数，且a≠b，a3-b3=a2-b2，求 证：1＜a+b＜4
3
【解题回顾】本题证明a+b＞1采用了综合法，而证
明a+b＜
ab- ab2 ab- ab1
ab
ab
3. 已知x≥0，y≥0，求证：
1xy21xyxyyx
2
4
【解题回顾】在使用放缩技巧时，一定要注意方向，保持 一致.
延伸·拓展
4. 设0＜a＜1，根据函数的单调性定义，证明函数f(x)=logax+
logxa在
1 ，1 a
上是增函数.【解题回顾】用定义证明函数的单调性，多用到比较法，
(C)(1-a)3＞(1+a)2
(D)(1-a)1+a＞1
5.已知三个不等式：①ab＞0，②-ca＜-db，③bc＞ad.以其中 两个作条件，余下一个作结论，则可组成__3_个正确的命题.
能力·思维·方法
1. 比较xn+1+yn+1和xny+xyn(n∈N，x，y∈R+)的大小.
【解题回顾】作差法的关键步骤是差式的变形，常利用因 式分解、配方等方法，目的是使差式易于定号，一般四项 式的分解常用分组分解法.
方法，证一就是利用这一方法，证二采用的是有理化分子， 证三、证四是将数量关系的问题转化为图形的性质问题， 充分地考察数学问题的几何背景，常可使问题得以简化.
4.已知a＞b＞0，求证：
a-b2aba ba-b2
8a 2
8b
【解题回顾】有趣的是，这个双边不等式，我们能够 同时进行证明.
延伸·拓展
5.设a1，a2∈R+，a1+a2＝1，λ1，λ2∈R+，求证：
【解题回顾】(1)先局部运用基本不等式，再利用不等 式的性质(注意限制条件)，通过相加(乘)合成为待证的 不等式，既是运用基本不等式时的一种重要技能，也 是证明不等式时的一种常用方法.
(2)注意条件中1的代换与使用.
3.证明：若f(x)＝√1+x2，a≠b，则|f(a)-f(b)|＜|a-b|.
【解题回顾】利用|a|2＝a2(a∈R)是证有关绝对值问题的好
2.掌握用比较法证明不等式的方法，熟悉它的变形过程.用 比较法证明不等式的步骤是：作差——变形——定号.其中 的“变形”可以变成平方和，也可以变成因式的积或常数； 有关指数式的比较法通常用作商法，步骤是作商——变 形——与1比较大小.
课前热身
1.设a＜0，-1＜b＜0，则a，ab，ab2三者的大小关系为
2.综合法的难点在于从何处出发进行论证并不明确， 因此我们常常用分析法寻找解题的思路，再用综合法 表述.分析法是“执果索因”，综合法是“由因导果”. 要注意用分析法证明不等式的表述格式.对于较复杂的 不等式的证明，要注意几种方法的综合使用.
课前热身
1. 当 a ＞ 1 ， 0 ＜ b ___(_-_∞_，__-_2_]____.
特别是作差比较，要切实掌握比较法的推理过程，注意推理
的严密性.
误解分析
(1)应变形到最佳形式再判断符号，否则既繁琐又易出错.
(2)应熟练掌握对数的性质来判断对数的符号，所以对数性 质的应用是解决本题的关键.
第2节 用综合法、分析法证明不等式
要点·疑点·考点
1.不等式证明的分析法和综合法是从整体上处理不等 式的不同形式.分析法的实质是从欲证的不等式出发寻 找使之成立的充分条件.综合法是把整个不等式看成一 个整体，根据不等式的性质、基本不等式，经过变形、 运算，导出欲证的不等式.