极限的四则运算复习
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分类讨论求极限
例 已知数列{}n a 、{}n b 都是由正数组成的等比数列，公比分别为q p ,，其中q p >，且1≠p ，1≠q ，设n n n b a c +=，n S 为数列{}n C 的前n 项和，求1lim
-∞→n
n
n S S .
（xx 年全国高考试题，理科难度0.33）
解： ()()
1
1
1111--+--=q q b p p a S n n n
()(
)()()
()(
)()(
)
1
1111
1111111111--+----+--=
---n n n n n n q p b p q a q p b p q a S S . 分两种情况讨论；
（1）当1>p 时，∵ 0>>q p ，故10<<
p
q
， ∴1
lim
-∞→n n
n S S
()()()()⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫
⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------1111111111111111111lim n n n n n n n n n n
p p q p b p q a p p p q p b p q a p
()()()()()()010110
10111111⨯-+--⨯-+--⋅
=p b q a p b q a p
()()
p q a q a p =--⋅
=1111 （2）当1
lim
-∞→n n
n S S
()(
)
()()
()(
)()(
)
11111
111lim
11
1111--+----+--=--∞→n n n n n q p b p q a q p b p q a ()()()()()()()()
1011011011011111--+---⨯-+-⨯-=
p b q a p b q a
()()()()
111111111=--------=
p b q a p b q a . 说明：该题综合考查了数列的基础知识、恒等变形的能力，分类讨论的数学思想方法和求极限的方法．
自变量趋向无穷时函数的极限
例 求下列极限：
（1）4
224211
5lim x x x x x --+-∞→
（2）⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+--∞→1212lim 223x x x x x 分析：第（1）题中，当∞→x 时，分子、分母都趋于无穷大，属于“∞
∞
”型，变形的一般方法是分子、分母同除以x 的最高次幂，再应用极限的运算法则．
第（2）题中，当∞→x 时，分式1223-x x 与1
22
+x x 都趋向于∞，这种形式叫“∞－∞”
型，变形的一般方法是先通分，变成“
∞
∞
”型或“00”型，再求极限．
解：（1）21
1151lim 2115lim 2
442422
4--+-=--+-∞→∞→x x x x x x x x x x .212000012lim 1lim 1lim 1
lim 5lim 1lim 244
2-=--+-=--+-=∞
→∞→∞→∞→∞→∞→x x x x x x x x x
x
（2）)12)(12()
12()12(lim 1212lim 2223223+---+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--∞→∞→x x x x x x x x x x x x )
1
2)(12(11lim
)12)(12(lim
222
3
x
x x
x x x
x x x +-+
=+-+=∞→∞→ 41)02)(02(01)1
2(lim )12(lim )
11(lim 2=+-+=+-+=∞→∞→∞→x
x x x x x
说明：“∞∞
”型的式子求极限类似于数列极限的求法．
无穷减无穷型极限求解
例 求极限：
（1）)11(lim 2
2
x x x x x +--++-∞
→
（2）)11(lim 2
2x x x x x +--+++∞
→
分析：含根式的函数求极限，一般要先进行变形，进行分子、分母有理化，再求极限． 解：（1）原式2
2
112lim
x
x x x x
x +-+++=-∞
→
2
2
2
112lim
x
x x x x x +-+++-=-∞
→
.111
111
12
lim
2
2
-=+-+++-=-∞
→x x
x x
x
（2）原式2
2112lim
x
x x x x
x +-+++=+∞
→
.111
111
12
lim
2
2
=+-+++=+∞
→x x
x x
x
说
明
：
当
2 x x ≠，因此 211 111 12 1122 2 2 2 →+-+++≠ +-+++x x x x x x x x x ． 利用运算法则求极限 例 计算下列极限： （1）⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+++++++∞→123171411lim 2222n n n n n n ； （2）()⎥⎦ ⎤⎢⎣⎡-+++- -∞→n n n 3112719131lim 1 . （xx 年全国高考试题，文科难度0.63）