Sierpinski三角形分形图及其推广
自相似性的由来分形理论及其发展历程
⾃相似性的由来分形理论及其发展历程分形理论及其发展历程被誉为⼤⾃然的⼏何学的分形(Fractal)理论，是现代数学的⼀个新分⽀，但其本质却是⼀种新的世界观和⽅法论。
它与动⼒系统的混沌理论交叉结合，相辅相成。
它承认世界的局部可能在⼀定条件下、过程中、在某⼀⽅⾯(形态，结构，信息，功能，时间，能量等)表现出与整体的相似性，它承认空间维数的变既可以是离散的也可以是连续的，因⽽拓展了视野。
⼀、分形⼏何的概念是美籍法国数学家曼德尔布罗特(B.B.Mandelbrot)1975年⾸先提出的，但最早的⼯作可追朔到1875年，德国数学家维尔斯特拉斯(K.Weierestrass)构造了处处连续但处处不可微的函数，集合论创始⼈康托(G.Cantor，德国数学家)构造了有许多奇异性质的三分康托集。
1890年，意⼤利数学家⽪亚诺(G.Peano)构造了填充空间的曲线。
1904年，瑞典数学家科赫(H.von Koch)设计出类似雪花和岛屿边缘的⼀类曲线。
1915年，波兰数学家谢尔宾斯基(W.Sierpinski)设计了像地毯和海绵⼀样的⼏何图形。
这些都是为解决分析与拓扑学中的问题⽽提出的反例，但它们正是分形⼏何思想的源泉。
1910年，德国数学家豪斯道夫(F.Hausdorff)开始了奇异集合性质与量的研究，提出分数维概念。
1928年布利⼲(G.Bouligand)将闵可夫斯基容度应⽤于⾮整数维，由此能将螺线作很好的分类。
1932年庞特⾥亚⾦(L.S.Pontryagin)等引⼊盒维数。
1934年，贝塞考维奇(A.S.Besicovitch)更深刻地提⽰了豪斯道夫测度的性质和奇异集的分数维，他在豪斯道夫测度及其⼏何的研究领域中做出了主要贡献，从⽽产⽣了豪斯道夫-贝塞考维奇维数概念。
以后，这⼀领域的研究⼯作没有引起更多⼈的注意，先驱们的⼯作只是作为分析与拓扑学教科书中的反例⽽流传开来。
⼆、1960年，曼德尔布罗特在研究棉价变化的长期性态时，发现了价格在⼤⼩尺度间的对称性。
分形 数学与艺术结合的明珠
分形数学与艺术结合的明珠大家注意到最近google 图标变成这个样子很多人不明白，这是什么意思，其实这是为了纪念法国数学家Gston Julia是，他发现了在数论中有名的julia序列，就是在这个google LOGO上面看到的数学公式。
通过这个数学公式可以在解析几何上实现很多不规则边的图形。
学名，也叫做分形。
我们在网上搜索了一些资料，为大家做一下分形这个图形学上的概念普及。
认识分形作为一门新兴学科，分形不但受到了科研人员的青睐，而且因为其广泛的应用价值，正受到各行各业人士的关注。
那么，在我们开始学习分形之前，首先应该明白的一件事情是：什么是分形？严格地而且正式地去定义分形是一件非常复杂而且困难的事情。
但是，有一些不太正规的定义却可以帮助我们理解分形的含义。
在这些定义中，最为流行的一个定义是：分形是一种具有自相似特性的现象、图象或者物理过程。
也就是说，在分形中，每一组成部分都在特征上和整体相似，只仅仅是变小了一些而已。
让我们来看下面的一个例子。
下图是一棵厥类植物，仔细观察，你会发现，它的每个枝杈都在外形上和整体相同，仅仅在尺寸上小了一些。
而枝杈的枝杈也和整体相同，只是变得更加小了。
那么，枝杈的枝杈的枝杈呢？自不必赘言。
如果你是个有心人，你一定会发现在自然界中，有许多景物和都在某种程度上存在这种自相似特性，即它们中的一个部分和它的整体或者其它部分都十分形似。
其实，远远不止这些。
从心脏的跳动、变幻莫测的天气到股票的起落等许多现象都具有分形特性。
这正是研究分形的意义所在。
例如，在道·琼斯指数中，某一个阶段的曲线图总和另外一个更长的阶段的曲线图极为相似。
上图中的风景图片又是说明分形的另一很好的例子。
这张美丽的图片是利用分形技术生成的。
在生成自然真实的景物中，分形具有独特的优势，因为分形可以很好地构建自然景物的模型。
除了自相似性以外，分行具有的另一个普遍特征是具有无限的细致性。
上面的动画所演示的是对Mandelbrot集的放大，只要选对位置进行放大，就会发现：无论放大多少倍，图象的复杂性依然丝毫不会减少。
基于领带结Sierpinski分形结构的RFID标签天线
基于领带结Ｓｉｅｒｐｉｎｓｋｉ分形结构的ＲＦＩＤ标签天线作者：刘奕昌关新平来源：《现代电子技术》2008年第05期摘要：基于三角形Sierpinski微带分形贴片，提出了一种新型的小尺寸领带结RFID标签天线设计。
通过仿真，给出了该分形天线的端口特性，同时给出了该领带结型Sierpinski标签天线的谐振频率、方向图以及天线效率。
结果表明，采用不同维数的分形结构，可以实现多频段的工作特性，因而该天线可以很方便地应用于RFID电子标签中。
关键词：Sierpinski分形结构；分形天线；射频识别；电子标签中图分类号：TN82 文献标识码：B文章编号：1004373X(2008)0507402Bow Tie Sierpinski Fractal Structure-based RFID Tag AntennaLIU Yichang,GUAN Xinping(Institute of Electrical Engineering,Yanshan University,Qinhuangdao,066004,China)Abstract：A novel miniaturization bow tie RFID tag antenna is proposed based on the triangular Sierpinski fractal microstrip.The port characteristics of the proposed antenna are presented by simulation.At the same time,the resonance frequency,the radiation pattern and the efficiency of the Sierpinski tag antenna is given.The results of the simulation show that multiple frequency band can be obtained by varying the dimensions of the fractal structure.Hence this kind of antenna can be used into the RFID tag antenna very conveniently.Keywords：Sierpinski fractal structure;fractal antenna;RFID;tag antenna1 引言射频识别(Radio Frequency Identification，RFID)技术是兴起于上世纪90年代的一项自动识别技术[1]。
JavaScript图形实例：SierPinski三角形
JavaScript图形实例：SierPinski三角形1．SierPinski三角形Sierpinski三角形是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出，它是一种典型的自相似集。
其生成过程为：（1）取一个三角形（多数使用等边三角形）；（2）沿三边中点连线，将它分成四个小三角形；（3）对上、左、右这三个小三角形重复这一过程。
SierPinski三角形的生成示意如图1所示。
图1 SierPinski三角形的生成SierPinski三角形采用递归过程易于实现，编写如下的HTML代码。
<!DOCTYPE html><head><title>SierPinski三角形</title></head><body><canvas id="myCanvas" width="600" height="600" style="border:3px double #996633;"> </canvas><script type="text/javascript">var canvas = document.getElementById('myCanvas');var ctx = canvas.getContext('2d');var depth =5;ctx.strokeStyle = "red";ctx.lineWidth = 3;function sierpinski(x1,y1,x2,y2,x3,y3,n){if (n<0) return;ctx.beginPath();ctx.moveTo(x1,y1);ctx.lineTo(x2,y2);ctx.lineTo(x3,y3);ctx.lineTo(x1,y1);ctx.closePath();ctx.stroke();var x4 = (x1 + x2) / 2;var y4 = (y1 + y2) / 2;var x5 = (x2 + x3) / 2;var y5 = (y2 + y3) / 2;var x6 = (x1 + x3) / 2;var y6 = (y1 + y3) / 2;sierpinski(x1,y1,x4,y4,x6,y6,n-1);sierpinski(x6,y6,x5,y5,x3,y3,n-1);sierpinski(x4,y4,x2,y2,x5,y5,n-1);}sierpinski(300, 500-500*Math.sqrt(3)/2, 50, 500, 550, 500,depth);</script></body></html>在浏览器中打开包含这段HTML代码的html文件，可以看到在浏览器窗口中绘制出的SierPinski三角形，如图2所示。
IFS在Sierpinski三角生成过程中两个问题的研究
Ｓｅｐｎｋ 三 角 的 生 成 规 则 可 用 ３个 仿 射 变 换 ｉ ｉｓｉ ｒ
来 表示 ：
Ｗ （ Ｘ）＝ Ｗ （ Ｘ）＝
。 ＋
值， 并在 （ ，， 处描 点 ； ＇）
（ ） ， 更 新 （ ， ）重复 执行 步骤 （） ６ 以（ Ｙ） Ｙ， ２一
［ 基金项 目］ 河北科技师范学院欧美 学院教改课题 ：高等数 学》 《 试题 库分析 和建 设 ； 北科技师 范学 院校教改课 题 ： 河 多 目标决策理论在概率类课程教改 中的研究与实践 ［ 作者简介 ］ 沈玲 （９ ０ ， １ ８ 一）河北科技师范学 院欧美学 院讲师 ， 硕士 ， 研究方 向 ： 物流与供应链管理 。
２ １ 年 ４月 ００
廊坊师范学院学报 （ 自然科 学版）
Ｊｕｎ ｆ ａ ｇ ｎ ｅｃ ｅｓ ｏｅｅ Ｎ ｔｒａ Ｓｉ ｃ ｄｔ ｎ ｏ ｒａ ｏ ｎ ｆ ｇＴ ａｈｒ Ｃ Ｕｇ（ ａｕｎｌ ｃ ｎｅＥ ｉｏ ） ｌ Ｌ ａ ｅ ｉ
Ａｐｒ ２ ０ ． ０１
第 １ ０卷第 ２ 期
ｆｒ ｔ ｎｅｔｂ ｓ ｌ ｉ ｓ ｂｔ ｅｎｐｒ ｆｈ ｅｍｅ ｙｏｊ ｔ ｂｔ ｅｎｏｅａ ｎ ａｔｌ ｎ ｌ ． ｒｐ ｓ ｔｏ ｏｍａ ｏ ｓ ｌｈｒ ａ ｏ ． ｅｗ ｅ ａｔ ｏ ｅ ｏ ｔ ｂｅ ， ｅｗ ｅ ｖｒｌ ｄｐｒａ ａｄａ ｏ Ｗｅ ｏ ｏｅ ｗ ｉ ａ ｉ ｅ ｔｎ ｓ ｔ ｇ ｒ ｃ ｌａ ｉ ｓ ｐ
表 １ Ｓ ｒｉｓｉ 角 的 Ｉ Ｓ码 ｉ ｐｎｋ 三 ｅ Ｆ 图２ ａ Ｓｅｐｎ ｋ三 角 ． ｉｒ ｉｓ ｉ 表 ２ 螺 旋 的 Ｉ Ｓ码 Ｆ
！
一
生
０． ７ ７ ７８ ８ ９ —０ ２ ２ ２ ０． ５ ５ ６ １ １ １ ２ ７ ７ ０ ５ ０ ０ ３ ３
分形的图像及应用
分形的图像及应用吕克林【摘要】本文首先阐述了分形的基本概念，并具体介绍了一些典型的分形曲线和分形集，加深读者对分形的理解。
重点描述如何生成分形的计算机图像，以及分形主要的应用领域，强调计算机科学与其他学科之间的紧密联系。
【期刊名称】《创新科技》【年(卷),期】2014(000)024【总页数】3页(P94-96)【关键词】分形;自相似;迭代;Mandelbrot【作者】吕克林【作者单位】河南省科学技术信息研究院，河南郑州 450003【正文语种】中文【中图分类】TP391.4随着计算机图形学的发展，最近几年，分形作为一种艺术形式已经相当流行。
对分形有一个基本的了解，能提高人们的鉴赏力，帮助人们更好地体会分形艺术的美。
分形作为一门刚刚诞生的学科，正在许多领域开展应用和探索。
很多传统的科学难题，都由于分形的引入取得了显著的进展。
1.1 分形的出现。
中国的海岸线有多长？很明显，这取决于测量所用的标度单位。
若以公里为标尺，会遗漏大量的细节，标尺越小，测出的海岸线就越长。
随着计算机的迅速发展，人们在讨论和处理一系列问题的时候，逐渐感到无法描述一些自然界普遍存在的对象，如海岸线，树木，岩石，云团，闪电等等。
同样对于星系分布，凝聚生长，湍流等复杂现象，也需要一门新的学科来描述。
1973年，B.B.Mandelbrot在法兰西学院讲课时，首次提出了分维和分形几何的设想。
Fractal一词由他所创，其原意具有不规则，支离破碎等意义。
分形几何是一门以非规则几何形状为研究对象的学科，也被称为大自然的几何学。
1.2 自相似性。
自相似性是指部分与整体具有相似的性质。
在自然界中，具有自相似性的客观对象是非常多的。
除了山形的起伏，河流的弯曲，树木的分枝结构外，生物体内也有许多例子，如血管或气管的分岔，神经网络等。
抽象的自相似例子就更多了，例如数列0112122312232334…，这是一个去掉奇数项后，仍然得到自身的数列。
下文中将提到的Cantor集是一个更好，更有故事的例子。
数学拓展课——分形图
分维的概念我们可以从两方面建立起来：一方面，
我们首先画一个线段、正方形和立方体，它们的 边长都是1。将它们的边长二等分，此时，原图的 线度缩小为原来的1/2，而将原图等分为若干个相 似的图形。其线段、正方形、立方体分别被等分 为2^1、2^2和2^3个相似的子图形，其中的指数1、 2、3，正好等于与图形相应的经验维数。一般说 来，如果某图形是由把原图缩小为1/a的相似的b 个图形所组成，有：a^D=b的关系成立，则指数D 称为相似性维数，从这个角度来看，D应该是整 数。
图3中的阴影部分的面积的变化有什么规律？
图4中的图形的周长的变化有什么规律？
分形图的特点
1.从整体上看，分形几何图形是处处不规则的。例如 海岸线，从远距离观察，其形状是极不规则的。 2.在不同尺度上，图形的规则性又是相同的。从近距 离观察海岸线，其局部形状又和整体形态相似，它们 从整体到局部，都是自相似的。当然，也有一些分形 几何图形，它们并不完全是自相似的。
这是Koch曲线,它可以从一 个等边三角形开始来画:把一个 等边三角形的每边分成相同的 三段,再在每边中间一段上向外 画出一个等边三角形,这样一来 就做成了一个六角星.然后在六 角星的各边上用同样的方法向 外画出更小的等边三角形,出现 了一个有关18个尖角的图形.如 此继续下去,就能得到分支越来 越多的曲线.继续重复上面的过 程,图形的外边界逐渐变得越来 越曲折、越来越长、图案变得 越来越细致,越来越像ห้องสมุดไป่ตู้花、越 来越美丽了。
分形动画演示
分维
在欧氏空间中，人们习惯把空间看成三维的， 平面看成二维，而把直线或曲线看成一维。也 可以稍加推广，认为点是零维的，还可以引入 高维空间，但通常人们习惯于整数的维数。分 形理论把维数视为分数，这类维数是物理学家 在研究混沌吸引子等理论时需要引入的重要概 念。为了定量地描述客观事物的“非规则”程 度，1919年，数学家从测度的角度引入了维 数概念，将维数从整数扩大到分数，从而突破 了一般拓扑集维数为整数的界限。
由具有D3对称特性的Sierpinski三角形构造球内接二十面体分形图
由具有D3对称特性的Sierpinski三角形构造球内接二十面体分形图Sierpinski三角形是一种经典的分形图形，它是由一个大三角形和一些递归的小三角形构成的，具有重复自相似的特点。
而球内接二十面体则是一种拥有D3对称性的多面体，它由20个等边三角形和12个正五边形组成，于是产生了一个有意思的想法：是否可以用Sierpinski三角形构建球内接二十面体分形图呢？首先，我们需要了解一下什么是D3对称性。
D3对称性是指一个物体在三维空间中旋转120度或240度或不旋转后仍然能够重合自身。
常常用于描述球内接二十面体这样的多面体。
因此，我们希望构建的分形图也要保持这种D3对称性。
其次，我们需要考虑如何用Sierpinski三角形构建球内接二十面体分形图。
构造分形图的关键在于不断重复、缩小，以产生重复自相似的效果。
具体而言，我们可以从一个正三角形开始，将其划分成四个小三角形，将其中一个去掉，再将其余三个按照原来的形式划分成四个小三角形。
这个过程就是Sierpinski三角形的经典构造流程。
接着，我们考虑如何将这个构造方法用于球内接二十面体。
首先，我们需要将一个大正五边形作为球内接二十面体的参考面。
我们将正五边形的每个顶点与球心相连，将得到12个等长的线段，它们是球内接二十面体的12个棱。
于是，我们可以以这12个线段为基础，构建出一个小的球内接二十面体。
在这个小的球内接二十面体中，正五边形的每条边都相当于一个小的参考面。
接下来，我们将在每个小的参考面上构建Sierpinski三角形。
具体而言，我们以正五边形的每个顶点为中心，向相邻两条棱各作一条垂线，这样我们得到了五个小的正三角形。
然后，我们按照经典的Sierpinski三角形构造方法，在其中四个正三角形上分别再次构建出四个更小的正三角形，最后将其中一个移除。
在这个过程中，我们需要确保所有的小正三角形都贴合在对应的小参考面上。
最后，我们将所有小的球内接二十面体连接在一起，构成一个更大的球内接二十面体分形图。
使用ActionScript绘制Sierpinski三角形
．
维普资讯
电 脑 知 识 与 技 术
使用 Ａ ｔ ｎ ｃｉｔ ｃｉ Ｓ ｒ 绘制 Ｓｅｐｎ ｋ 三角形 ｏ ｐ ｉｒ ｉｓ ｉ
沈玉 宝
（ 肥幼 儿 师 范学 校 ， 徽 舍 肥 ２ ０ １ ） 合 安 ３０ １
摘 要 ： 文介 绍 了 Ｓｅ ｉ ｉ 角形 构 造 规 则 ， 本 ｉ ｐｍｋ 三 ｒ 并且 用 Ｆａ ｒｆ ｓ ｎｌ 中 Ａ ｆ ｎ ｃ ｐ 代 码 实 现 Ｓｅｐ ｓ ｉ 生 成 过程 。 ｌ ｈＰ ｏｅ ｉ ａ ８ ｓ ｓｏ ｃ ｏ Ｓｆ ｔ ｉ ｉ ｉ ｉ ｋ的 ｒｎ
其 顶点 坐标 为 （ｌ １ ， ２ ２ ， ３ｙ） ｘ ， ）（ ， ）（ ， ； ｙ ｘｙ ｘ ３
２４调用 Ｓｅｐｎ ｋ 递 归 子 函数 ； ． ｉ ｉ ｉ ｒ ｓ
场景 第 一 帧 动 作 一 帧 面 板 中 输 入 以下 代 码 ： ， 置 Ｃ ｍ ｏ ｏ 组 件 参 数 ， 设 ｏ ｂＢｘ ｍ ＿ ｂａｄ ｅ （ ａ ： ｌ ｅ ”” ； ＿ ． ｄ ｅ ｙ ｃ ． ｈ ｍ ｛ ｔ １ ａ ｌ ｌ｝ｒ ｒ ｂａ ｈ ｍ ｄ ｄ ａ ， ｂ ： ）ｒ＿ ｄ ）ｃ ｌｂｌ ２ ｝ ａｅ： ” ； ” ） ｍ ＿ ｂａｄ ｅ （ ａａ ， ｌ ｅ ”” ； ｒ ｂａｄ ｅ ｙ ｅ ． ｈ ｍ ｛ ｔ： ｄ ｄ ３ ａ ｌ ３ ｝ｍ）＿ ． ｈ ｍ ｂ： ） ＿ ｄ ｃ ｌｂｌ ４ １ ａｅ： ” ； ” ） ｍｙｃ ． ｄｔ （ ａ ： ｌ ｅ： ”； ｒ ｂ ｄ ｌ ｍ ＿ｂａ ｌ ｍ ｛ ｔ ５ ａ ｌ５ ｝ｍ）＿ ． ｄｔ ＿ ｄ ｅ ｄａ ， ｂ ” ） ＿ ａ ｅ ｃ ｌｂｌ ６ ｝ ａｅ： ” ； ” ） ｍ ＿ｂａｄ ｅ （ ａａ ， ｌ ｅ ””） ＿ｂａｄｔｍ ｙ ｃ ． ｈ ｍ ｛ ｔ： ｄ ｄ ７ ａ ｌ ７ １ｍｙｃ ． ｌ ｂ： ； ｄ ｅ ｌｂｌ ８ ｝ ａｅ： ” ； ” ） ，创 建 侦 听器 对 象 。 ，
浅谈分形理论中Sierpinski三角的社会应用
浅谈分形理论中Sierpinski三角的社会应用作者：***来源：《科学大众·教师版》2021年第07期摘要：分形理论与社会治理的结合最早始于欧洲，在我国的发展并不多，但我国目前正处于老龄化进程中，我国在社区与社会治理方面可以吸收欧美学者的理论，进行分形社区建设探索。
通过对比可以发现，不同尺度的自然系统可以给社会分形组织构建提供一定的思路，自相似性与伴生的组织恢复力可以在类似本次疫情的隔离与复工复产、保证社会运转效率方面提供借鉴与参考。
关键词：社会组织; 分形理论; 社会治理; 社区; 谢宾斯基三角中图分类号：O64 文献标识码：A 文章编号：1006-3315（2021）7-196-002一、引言“分形”（fractal）最早是由曼德布罗特在研究英国海岸线的长度问题时提出的概念，其词源来自拉丁语形容词“fractus”，有破碎、生成不规则碎片的意思[1]。
在我国关于分形与社会的研究最早是1990年方曙、黄登仕将分形理论引入社会研究中，提出可以将分形理论用于经济学、情报学、管理科学、思维科学以及文学艺术的研究中。
关于分形组织目前最确切的定义是“分形组织是受生物启发的分层分布式控制体系结构，其组件同时是个体和社会实体。
”（Sousa et al.， 2000）。
当前在该领域研究较突出的是安特卫普大学的Vincenzo De Florio教授，在分形社区方面他的研究给予了该领域很多启发。
本文选择“Sierpinski三角”作为分形理论与社会组织的代表进行论述。
二、Sierpinski三角与分形社会组织Vincenzo De Florio認为“分形社会组织是一种旨在最大化社区恢复力的社会技术系统的体系结构，即社区利用现有资源应对、抵御和从不利情况中恢复的持续能力”，事实上特征最显著的分形组织当属军事组织，多数正规军事组织都具有明确的军衔等级和极强的自组织性，训练有素的军人往往在素未谋面的情况下通过军衔就可以实现自组织。
分形1——谢尔宾斯基三角形
分形——谢尔宾斯基三角形普通几何学研究的对象，一般都具有整数的维数。
比如，零维的点、一维的线、二维的面、三维的立体、乃至四维的时空。
在20世纪70年代末80年代初，产生了新兴的分形几何学（fractal geometry），空间具有不一定是整数的维，而存在一个分数维数。
这是几何学的新突破，引起了数学家和自然科学者的极大关注。
根据物理学家李荫远院士的建议，大陆将fractal一开始就定译为“分形”，而台湾学者一般将fractal译作“碎形”。
——摘自百度百科对于初学Java的同学来说，做分形，的确是一个锻炼思维，熟悉递归算法的好方法，而在众多分形图案中，谢尔宾斯基三角形可以说是比较容易入手的，因为它不管是公式还是图案都比较简单，学会如何用java画歇尔滨斯基三角形后，再画其他图案都会简单很多；今天我们就从歇尔滨斯基三角形入手，进入分形的世界.1、用Java绘制歇尔滨斯基三角形首先要知道如何建立窗体，调取画布对象，如何画线，有一定的数学基础（了解正三角形的性质），还有——数学思维。
2、打开eslips，建立一个Java的工程命名自己命吧，这个随便的哈；（这是我建立的工程）//3、这个程序需要引入的包：import java.awt.Color;import java.awt.Graphics;import javax.swing.JFrame;//4、主类继承JFrame，因此Retangerate拥有所有JFrame的方法public class Retangerate extends JFrame{/*** @param args*/public static void main(String[] args) {// TODO Auto-generated method stubRetangerate a = new Retangerate();a.Draw();}////5、需要创建的方法一：（绘制三角形）//在这个方法里绘出窗体，并生成画布对象public void Draw() {this.setSize(1000,700);this.setLocationRelativeTo(null);this.setDefaultCloseOperation(3);this.setVisible(true);Graphics g = this.getGraphics();//6、定义重绘方法，拖动窗口，改变窗口大小后，绘制的图片仍然留在窗体上}public void paint(Graphics g){super.paint(g);this.Show(100,600,900,600,500,30,200,235,235,10,g);//调用递归函数Show(),所涉及的参数：x1的位置，y1的位置，x2的位置，y2的位置，x3的位置，y3的位置，（以下三个属性是颜色控制，如果需要渐变色彩的话）}public void show(double x,double y,double x2,double y2,doublex3,double y3,int a,int b,int c,int count,Graphics g){int tempx = (int)x;int tempy = (int)y;int tempx2 = (int)x2;int tempy2 = (int)y2;int tempx3 = (int)x3;int tempy3 = (int)y3;if(a<0||b<0||c<0){a=355;b=155;c=35;}//计算出三点的位置g.setColor(new Color(a,b,c));g.drawLine(tempx,tempy,tempx2,tempy2);g.drawLine(tempx,tempy,tempx3,tempy3);g.drawLine(tempx2,tempy2,tempx3,tempy3);if(count>=2){//判断是否进行递归int xm = tempx;int ym = tempy;int xm2 = tempx2;int ym2 = tempy2;int xm3 = tempx3;int ym3 = tempy3;tempx = (xm+xm2)/2;tempy = (ym+ym2)/2;tempx2 = (xm+xm3)/2;tempy2 = (ym+ym3)/2;tempx3 = (xm3+xm2)/2;tempy3 = (ym3+ym2)/2;this.Show(xm,ym,tempx,tempy,tempx2,tempy2,a-10,b-16,c-10,count-1, g);this.Show(tempx,tempy,xm2,ym2,tempx3,tempy3,a-14,b-16,c-18,count-1,g);this.Show(xm3,ym3,tempx2,tempy2,tempx3,tempy3,a-17,b-14,c-0,count -1,g);//由于下次分形要分成三个所以要在一次Show调用自己三次g.drawLine(tempx,tempy,tempx2,tempy2);g.drawLine(tempx,tempy,tempx3,tempy3);g.drawLine(tempx2,tempy2,tempx3,tempy3);}else{return ;}}}。
谢尔宾斯基四边形python
谢尔宾斯基四边形python谢尔宾斯基四边形（Sierpinski quadrilateral）是一个由波兰数学家谢尔宾斯基（Waclaw Sierpinski）提出的几何图形，它是谢尔宾斯基三角形的二维扩展。
与谢尔宾斯基三角形一样，谢尔宾斯基四边形也具有自相似性和分形特征。
在本文中，我们将探讨谢尔宾斯基四边形的构造方法和一些有趣的性质。
谢尔宾斯基四边形的构造方法非常简单。
首先，我们从一个正方形开始，将其分成四个相等的小正方形。
然后，我们在每个小正方形的中心位置画一个小正方形，再将原始正方形删去。
接下来，我们重复这个过程，不断地在每个新生成的小正方形中继续构造更小的正方形。
经过无限次的迭代，我们将得到一个具有分形结构的谢尔宾斯基四边形。
谢尔宾斯基四边形具有许多有趣的性质。
首先，它是一个无限细分的几何图形，即使在无限次迭代后，我们仍然可以找到更小的四边形。
其次，谢尔宾斯基四边形是自相似的，即每个较大的四边形都由四个较小的四边形组成，这种自相似性质使得谢尔宾斯基四边形展现出美妙的几何美感。
谢尔宾斯基四边形还具有一些有趣的数学特性。
首先，它的维度是介于一维和二维之间的，即分形维度。
其次，谢尔宾斯基四边形的面积为零，但是它的边界长度却是无穷大的。
这种有趣的数学特性使得谢尔宾斯基四边形成为了研究分形几何学的重要对象。
除了数学上的研究，谢尔宾斯基四边形还有一些实际应用。
例如，在计算机图形学中，谢尔宾斯基四边形可以用来生成逼真的纹理和景深效果。
此外，谢尔宾斯基四边形还可以用来设计迷宫游戏和艺术品，给人们带来视觉上的享受和思考的乐趣。
谢尔宾斯基四边形是一个具有迷人美学和丰富数学特性的几何图形。
它的构造简单而有趣，展现了分形几何学的魅力。
通过研究谢尔宾斯基四边形，我们可以更好地理解分形结构和自相似性，同时也能够应用它在计算机图形学和艺术创作中。
谢尔宾斯基四边形的研究不仅展示了数学的美妙之处，也为我们带来了无限的思考和探索的空间。
非线性动力学学习报告
非线性动力学学习报告在课堂上老师以生动活泼的方式介绍了分形的相关知识，特别是展现了一些美丽的分形图案，我对此十分感兴趣，所以课后找了一些相关资料，学会了用仿射变换的循环迭代方法，在MATLAB 平台下，实现了一些简单的飞行图案的绘制。
具体内容见项目一。
其中的数学原理由于我还不是特别清楚，所以在此进仅做一简要汇报，下面会具体叙述用MATLAB 绘制分形图案的过程。
在项目二中，探讨了对于一根细长压杆，端部的压力大小与杆件变形之间的关系。
这里的端部压力是较大的载荷（即大于临界力），那么经典的材料力学理论便束手无策，这里构建了一个压杆变形的微段迭代模型，把一个大变形非线性问题转化为有限个小变形的迭加，用MATLAB 编程迭代计算的结果较好的吻合了铁木辛哥弹性稳定理论中有关压杆弹性屈曲中的一些成果。
项目一：用MATLAB 绘制美丽的分形图案上个世纪60年代，B.Mandelbrot 对一个具有复杂几何性质但局部看起来仍然一样的几何对象提出了分形概念。
在很多非线性动力学系统等血多领域都会看到分形的例子，随着电子计算机的发展，我们绘制出了很多分形图案。
在这个项目中，实现了用MATLAB 来绘制蕨类植物枝叶和著名的Sierpinski 三角形；另外还给出了一个通过编程绘制树枝的例子没有用到仿射变换，只是复杂的循环。
经过翻阅相关资料（考文献[1]），我了解到数学中的仿射变换的定义如下：设x 是一个n 维向量，A 是n*n 的矩阵，b 是与x 同维的向量，那么变换b Ax x +→称作仿射变换，去不同的A ，b 就会得到不同的变换结果。
如果打印前k 次（k 应该取较大的值）迭代过程中向量x 在坐标系中所表示的所有点，那么就可以得到一幅漂亮的分形图案。
其中矩阵A 和向量b 的取法涉及到很复杂的数学理论，在这里不做详细介绍。
基于前面的理论分析很容易得到MATLAB 绘图程序代码及其运行结果。
1.、使用数学中的仿射变换理论，绘制蕨类植物枝叶程序：%fenxing_juelei.m%蕨类植物模拟x = [.5; .5]; %初值h = plot(x(1),x(2),'.'); %绘制初值点%设置用于后面随机数的判别向量p = [ .85 .92 .99 1.00];b1 = [0; 1.6];b2 = [0; 1.6];b3 = [0; .44];%------仿射变换矩阵A1 = [ .85 .04; -.04 .85];A2 = [ .20 -.26; .23 .22];A3 = [-.15 .28; .26 .24];A4 = [ 0 0 ; 0 .16];for i=1:20000r = rand; %产生随机数if r < p(1)x = A1*x + b1;elseif r < p(2)x = A2*x + b2;elseif r < p(3)x = A3*x + b3;elsex = A4*x;endplot(x(1),x(2),'g'),hold on %采用绿色绘制endaxis off %取消坐标轴把该m文件放置到Matlab的当前工作目录下在命令行中输入fenxing_juelei，变得到了下面的运行结果。
光学分形实验报告
分形图形学实验报告指导实验报告要求1. 实验名称2. 实验目的、要求3. 实验主要内容（某某算法的实现）4. 实验过程（程序流程图、源代码）5. 实验结果（附上打印的图形）6. 实验小结实验报告一一般分形图形生成实验目的1. koch曲线、sierpinski三角形、cantor集的计算机实现2. 掌握用迭代、递归生成分形实验内容及步骤1、 koch曲线函数：plot(x1,y1) –(x2,y2) （画直线函数）sin( ) （正弦函数）cos( ) （余弦函数）arctan( ) （反正切函数）12、 sierpinski三角形函数： plot(x1,y1) –(x2,y2) （画直线函数）sin( ) （正弦函数）cos( ) （余弦函数）23、 cantor集3实验报告二 l系统语言生成分形图形实验目的1. 掌握用l系统语言生成分形2. koch曲线、sierpinski三角形、cantor集的l系统实现4实验内容及步骤1. 编写程序用l系统语言生成分形图形1) 编写程序生成koch曲线:初始图形是一条线段，生成过程是将线段中间1/3向外折起。
程序伪码如下：kochcurve { ；柯赫曲线angle 6 ；角度增量是60°axiom f ；初始图形是一单位线段f=f+f--f+f ；产生式是将线段中间1/3折起} ；结束2) 用l系统再次生成sierpinski三角。
生成sierpinski三角的伪码如下：hilbert{ ；sierpinski三角，1996-12 angle 4 axiom y ；初始串为任意字母y x=-yf+xfx+fy- ；第一个生成规则y=+xf-yfy-fx+ ；第二个生成规则，由以上规则不断代换 } 3) 模拟草本植物。
注意这里出现了“括号”——可以方便地表示树枝，伪码如下：herbplant { ；生成植物，本程序使用了括号angle 14axiom zz=zfx［+z］［-z］x=x［-fff］［+fff］fx}5篇二：光学实验报告建筑物理——光学实验报告实验一：材料的光反射比、透射比测量实验二：采光系数测量实验三：室内照明实测实验小组成员：指导老师：日期：2013年12月3日星期二实验一、材料的光反射比和光透射比测量一、实验目的与要求室内表面的反射性能和采光口中窗玻璃的透光性能都会直接或间接的影响室内光环境的好坏，因此，在试验现场采光实测时，有必要对室内各表面材料的光反射比，采光口中透光材料的过透射比进行实测。
基于IFS的Sierpinski三角形的生成及其推广
Ａｂｓ ｒ ｃ ：Ｔｈｅｔ ｃ ｏｌｇ ａ ｌ ｏ ｉ ｔａ ｔ ｅ ｈｎ ｏ ｙ ｎｄ ａ ｇ ｒｔ ｈｍ ｆｇ ｎｅ ａ ｉｇ Ｓｉｒ ｎ ｋ ｒａ ｇｌ ｒ ｃ ａ ｒ ｐｈ ｃ ｓ ｏ ｅ ｒ ｔｎ ｅ ｐｉ ｓ ｉｔｉｎ ｅｆａ ｔｌｇ ａ ｉ ｓｉ ｐ ｅ ｅ ｔ ｄｂａ ｅ ｎ Ｉ ｒ ｓ ｎ ｅ ｓ ｄ ｏ ＦＳ， ｎｄ ｔ ｅ ｔｉ ｅ ｒ ｌ ｅ ｎ ｔ ｏ ａ ｐ ｃ ｓ ｒ ｔ ｔ ｅ ｇ ｎｅ ａ ｏ ｈ ｐ ａ ｅ ａ ｈ ｎ ｉ ｓｇ ｎｅ ａ ｉ ｄ ｉ ｚ ｗ ｓ ｅ ｔ．Ｆｉｓ， ｈ ｅ ｒ ｔ ｒｓ ａ ｅｃ ｎ ｂ
２ ．兰州理工大学计算机 与通信学院，甘肃 兰州 ７ ０ ５ ） ３０ ０
摘
要 ：阐述 了基 于 Ｉ Ｓ的 Ｓｅ ｉｓｉ 角形分 形 图形 的生成原 理 ，并对 其生成技 Ｆ ｉ ｐｎｋ 三 ｒ
术进行推广。包括 两个方面的推广， 第一， 生成元形状可以为点、 线段、 三角形 、 四边形 （ 正 方形 ）圆， 、 得到 的吸 引子相 同， 由此 得到 吸 引子与生 成元形 状无 关 的结论 。 二 ， Ｓｅ ｉｓｉ 第 对 ｉｐｎｋ ｒ 三 角形 的 ＩＳ进行 适 当的调 节 ，可 以得 到新 的 ＩＳ Ｆ Ｆ ，并生成 新 的吸 引子 ，这 为从 已知 的 ＩＳ Ｆ 得到新的 ＩＳ Ｆ 提供 了参考方法。 关 键 词：计算机应用；分形图形；迭代 函数 系统 ；Ｓｅｐｎ ｋ 三 角形 ｉｒｉｓｉ
作者 简介 ： 胡海 龙 （ ９０ ） １８ 一 ，男 ，辽宁 建 昌人 ，讲 师 ，主要研 究方 向为 分形 ，计算 机 图形学 。
ｃ ｎ ｌ ｓ ｏ ｓ ｔ ａ ｔ ａ ｔ ｒ ｉ ｎ ｐｅ ｄｅ ｔ ｏ ｎ ｒ ｔ ｒ ｓ ａ ．Ｓ ｃ ｎｄ ｈ ＦＳ ｗｉｈ ｉｒ ｎ ｋ ｏ ｃｕ ｉ ｎ ｉ ｈ ｔａｔ ｃｏ ｓ ｉ ｄｅ ｎ ｎ ｆｇｅ ｅ ａｏ ｈ ｐｅ ｅ ｏ ，ｔ ｅ Ｉ ｔ Ｓ ｅｐｉ ｓ ｉ ｒ
不可思议的分形图形
不可思议的分形图形讲数学之美，分形图形是不可不讲的。
如果说有什么东西能够让数学和艺术直接联系在一起，答案毫无疑问就是分形图形。
让我们先来看一个简单的例子。
首先画一个线段，然后把它平分成三段，去掉中间那一段并用两条等长的线段代替。
这样，原来的一条线段就变成了四条小的线段。
用相同的方法把每一条小的线段的中间三分之一替换成一座小山，得到了16条更小的线段。
然后继续对这16条线段进行类似的操作，并无限地迭代下去。
图1是这个图形前五次迭代的过程，可以看到第五次迭代后图形已经相当复杂，我们已经无法看清它的全部细节了。
图 1你可能注意到一个有趣的事实：整个线条的长度每一次都变成了原来的如果最初的线段长度为一个单位，那么第一次操作后总长度变成了第二次操作后总长度增加到第n次操作后总长度为毫无疑问，操作无限进行下去，这条曲线将达到无限长。
难以置信的是这条无限长的曲线却“始终只有那么大”。
现在，我们像图2那样，把3条这样的曲线首尾相接组成一个封闭图形。
这时，有趣的事情发生了，这个雪花状的图形有着无限长的边界，但是它的总面积却是有限的。
有人可能会说，为什么面积是有限的呢？虽然从图2看结论很显然，但这里我们还是要给出一个简单的证明。
3条曲线中每一条在第n次迭代前都有4n－1条长为的线段，迭代后多出的面积为4n－1个边长为的等边三角形。
把4n－1扩大到4n，再把所有边长为的等边三角形扩大为同样边长的正方形，总面积仍是有限的，因为无穷级数是收敛的。
很难相信，这一块有限的面积，竟然是用无限长的曲线围成的。
图 2这让我们开始质疑“周长”的概念了：剪下一个直径为1厘米的圆形纸片，它的周长真的就是π厘米吗？拿放大镜看看，我们就会发现纸片边缘并不是平整的，上面充满了小锯齿。
再用显微镜观察，说不定每个小锯齿上也长有很多小锯齿。
然后，锯齿上有锯齿，锯齿上又有锯齿，周长永远也测不完。
分形领域中有一个经典的说法，“英国的海岸线有无限长”，其实就是这个意思。
谢尔宾斯基三角形
谢尔宾斯基三角形（Sierpinski triangle ）是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出。
它是自相似集的例子（自相似是近乎或确实和它的一部分相似）.
分形，是几何学术语，通常被定义为“一个粗糙或零碎的几何形状，可以分成数个部分，且每一部分都（至少近似地）是整体缩小后的形状”。
构造过程如下：取一个实心的三角形（多数使用等边三角形），挖去一个“中心三角形”（即以原三角形各边的中点为顶点的三角形），然后在剩下的小三角形中又挖去一个“中心三角形”，不断重复以上过程，那么剩下的三角形我们称为谢尔宾斯基三角形.
小试牛刀
1.如图，有一个大三角形，面积为1，联结三角形各边的中点得到一个小三角形，再联结这个小三角形各边的中点又得到一个更小的三角形，如此无限继续下去.问黄色阴影部分的面积是多少？_________.
(A)45 (B) 58 (C) 78
(D) 35。
一类广义Sierpinski三角和Sierpinski地毯的Lipschitz等价
一类广义Sierpinski三角和Sierpinski地毯的Lipschitz等价在这篇论文里,我们致力于研究随机分形的Hausdorff维数、自相似集的Lipschitz等价及其相关问题。
主要研究了如下四个方面的内容：(1)一类广义Sierpinski三角的Lipschitz等价。
设α=(1,0),β=(1/2,(?)3/2)。
让△={c1α+c2β:c1+c2≤1且0≤c1,c2≤1)表示一个边长为1且左下角顶点坐标为(0,0)的等边三角形。
固定一个整数n≥2,令给定A (?) D,我们称EA=∪α∈A(1/nEA+a)是一个广义Sierpinski三角,初始模式为｛1/n△+α｝α∈A。
在这一部分,我们利用有向图结构讨论了如上描述的广义Sierpinski三角的Lipschitz等价,获得一个由David和Semmes在其1997年出版的著作《Fractured fractals and broken dreams:Self-similar geometry through metric and measure》中提出的{1,3,5｝—{1,4,5｝问题的推广。
我们证明了如果如上描述的两个广义Sierpinski三角是完全不连通的,则它们是Lipschitz等价的当且仅当它们有相同的Hausdorf维数。
(2)一类广义Sierpinski地毯的Lipschitz等价。
设n≥2,A(?){0,1,...,n-1}2。
我们称是一个广义Sierpinski地毯,初始模式为{1/n[0,1]2+a}a∈A。
由于有连通分支的Sierpinski地毯的拓扑结构要比完全不连通的情形复杂的多,致使通常处理完全不连通的自相似集之间Lipschitz等价的强有力工具—有向图集对研究有连通分支的Sierpinski地毯的Lipschitz等价行不通,这是因为不存在任何一个有有限顶点的有向图能表示有连通分支的Sierpinski地毯。
《三国演义》叙事结构的数学模型及其普适性——分形视角下的文学初探
《三国演义》叙事结构的数学模型及其普适性——分形视角下的文学初探牛景丽【摘要】“分形”在自然界中无所不在,同时亦广泛存在于人类艺术领域对“美”的创造之中.计算表明,小说《三国演义》的叙事结构高度暗合以黄金分割律为迭代原则的分形结构,其数学模型为Xn+1=1.618×Xn-Co这一模型同样适用于戏曲《西厢记》、《牡丹亭》、《桃花扇》.这表明《三国演义》所呈现的“黄金分形”结构不是孤立的事件,而是一种无意识的对美的结构艺术的普遍追求,是优秀叙事文学作品在创作中为追求叙事效果和节奏美感自然呈现的一种一般性规律.分形可以成为叙事文学创作的指导性理论与文学研究的一般性方法.【期刊名称】《文学与文化》【年(卷),期】2018(000)001【总页数】12页(P102-113)【关键词】《三国演义》;叙事结构;分形;黄金分割【作者】牛景丽【作者单位】河北工业大学文法学院【正文语种】中文一题目缘起与分形简介这一题目的产生缘于笔者在阅读科普著作《蝴蝶效应之谜——走近分形与混沌》①张天蓉：《蝴蝶效应之谜——走近分形与混沌》，清华大学出版社，2013年。
时受到启发而产生的疑问：文学作品中是否也存在分形结构？分形（fractal）是数学的一个分支，是随着20世纪70年代以来计算机的发展而迅猛崛起的一门新科学，其数学基础是分形几何，但其应用却远远超出了数学范畴，几乎遍及自然科学和社会科学的各个领域——物理学、生物与生命科学、建筑学、经济学、社会学乃至语言学等等。
首先介绍一下分形几何的基本原理。
来看两个简单分形图的生成方法：科赫（Koch）曲线：将一段单位直线逐次按原则变换，则有：图1 科赫曲线生成示意图图（1）是第1次变换的结果，称之为1次迭代，图（2）是将图（1）中各线段依据变换原则进行第2次变换的结果，称之为2次迭代，依此类推。
用n表示迭代次数，则随着n的增大，图形越来越复杂。
原理上迭代次数是无限的，即n趋于无穷大。
2024高中数学高考高频考点经典题型练习卷 (2145)
一、单选题1. 甲、乙两位同学将高三次物理测试成绩做成如图所示的茎叶图加以比较（成绩均为整数满分分），乙同学对其中一次成绩记忆模糊，只记得成绩不低于分且不是满分，则甲同学的平均成绩不超过乙同学的平均成绩的概率为（）A．B．C．D．2. 在平面直角坐标系中，角以为始边，它的终边经过点，则（）A．B．C．D．3. 设点在等边△内（含△的三条边），，，则的最大值为（）A．B．C．D．4. 是定义在区间上的奇函数，其图象如图所示：令，则下列关于函数的叙述正确的是（）A．若，则函数的图象关于原点对称B．若，，则方程有大于2的实根C．若，，则方程有两个实根D．若，，则方程有三个实根5. 民以食为天，科学研究表明：温度太高的食物能对消化道黏膜造成伤害，温度太低的食物容易引起消化道不适．因此，适宜的进食温度在10℃到40℃左右．大量实验数据表明：把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么t min后物体的温度（单位：℃）满足公式（其中k为常数）．现有60℃的物体放在20℃的空气中冷却，2min后物体的温度是40℃．现将一盘出锅温度是100℃的美食放在20℃的空气中冷却，为达到适宜的进食温度，至少应冷却（）A．2 min B．3 min C．4 min D．5 min6. 为了进一步提升员工素质，某公司人力部门从本公司2600名一线员工中随机抽取100人，进行理论知识和实践技能两项测试（每项测试结果均分为三等），取得各等级的人数如下表：实践技能等级A B C理论知识等级A124B20202C65已知理论知识测试结果为的共40人．所给表中的值分别是（）A．25，6B．24，7C．23，8D．22，97. 在中，角的对边分别为，且，则的取值范围是（）A．B．C．D．8. 设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则导函数的图象为（）A．B．C．D．9. 已知，则“”是“”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件10. 已知函数f(x)的导函数为，x∈(−1，1)，且f(0)＝0，如果，则实数a的取值范围是( )A．(0，1)B．C．D．11. 谢尔宾斯基（Sierpinski）三角形是一种分形，它的构造方法如下：取一个实心等边三角形（如图1），沿三边中点的连线，将它分成四个小三角形，挖去中间小三角形（如图2），对剩下的三个小三角形继续以上操作（如图3），按照这样的方法得到的三角形就是谢尔宾斯基三角形．如果图1三角形的边长为2，则图4被挖去的三角形面积之和是（）A．B．C．D．12. 过抛物线焦点作倾斜角为的直线交抛物线于，则（）A．B．C．1D．1613. 随机变量的分布列如下表，且，则（）02A．10B．15C．40D．4514. 已知集合，，则（）二、多选题A ．∅B．C．D．15.已知向量，在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则最小值是（）A ．2B．C．D．16. 设函数（，）是上的奇函数，若的图象关于直线对称，且在区间上是单调函数，则（ ）A．B．C．D．17.已知函数的部分图象如图所示．则（）A．的图象关于中心对称B ．在区间上单调递增C．函数的图象向右平移个单位长度可以得到函数的图象D ．将函数的图象所有点的横坐标缩小为原来的，得到函数的图象18. 已知函数在上单调递增，，则的最小正周期可以是（ ）A．B．C．D．19. 已知圆与直线，下列选项正确的是（ ）A ．直线与圆必相交B ．直线与圆不一定相交C．直线与圆相交且所截最短弦长为D ．直线与圆可以相切20.在二项式的展开式中，下列说法正确的是（ ）A．常数项是B ．各项的系数和是64C ．第4项二项式系数最大D．奇数项二项式系数和为21. 已知动点P 在左、右焦点分别为、的双曲线C上，下列结论正确的是（ ）2024高中数学高考高频考点经典题型练习卷三、填空题四、解答题A ．双曲线C 的离心率为2B ．当P 在双曲线左支时，的最大值为C ．点P 到两渐近线距离之积为定值D ．双曲线C的渐近线方程为22. 在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则下列判断正确的是（ ）A ．平面B ．点到平面的距离为C ．三棱锥的体积为1D ．三棱锥外接球的表面积为23. 已知函数，则（ ）A．B．C．D．24.如图，在直三棱柱中，，E ，F分别满足，，则（）A ．E ，F ，A ，B 四点共面B ．平面BEFC ．异面直线AE 与BB 1所成的角大于60°D ．存在过AB 的平面与平面EFC 平行25.已知函数，下列四个结论：①在上单调递增；②在上最大值、最小值分别是，；③的一个对称中心是；④在上恰有两个不等实根的充要条件为．其中所有正确结论的编号是______．26. 已知，且，则的最大值为________.27.的展开式中的系数是______.28. 在△ABC 中，已知角A 为锐角，且.（1）将化简成的形式；（2）若，求边AC 的长.29. 化简，并求函数的值域和最小正周期．30. 已知函数.（1）化简函数的表达式，并求函数的最小正周期；（2）若点是图象的对称中心，且，求点的坐标.五、解答题31. 化简：．32. 已知函数．(1)二次函数，在“①曲线，有1个交点；②”中选择一个作为条件，另一个作为结论，进行证明；(2)若关于x 的不等式在上能成立，求实数m 的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．33. 已知函数f (t )=（Ⅰ）将函数g(x )化简成Asin(ωx +φ)+B （A ＞0，ω＞0，φ∈[0，2π]）的形式；（Ⅱ）求函数g(x )的值域．34. 某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出名学生，将其成绩（均为整数）分成六段，后画出如图的频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：（1）估计这次考试成绩的众数；（2）估计这次考试成绩的及格率（分及以上及格）.35.如图，一块正中间镂空的横杆放置在平面直角坐标系的轴上（横杆上镂空的凹槽与轴重合，凹槽很窄），横杆的中点与坐标原点重合.短杆的一端用铰链固定在原点处，另一短杆与短杆在处用铰链连接.当短杆沿处的栓子在横杆上镂空的凹槽内沿轴左右移动时，处装有的笔芯在平面直角坐标系上画出点运动的轨迹（连接杆可以绕固定点旋转一周，被横杆遮挡的部分忽略不计）.已知，.（1）求曲线的方程.（2）过点作直线与曲线交于，两点，试问在轴上是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.36. 椭圆规是画椭圆的一种工具，如图1所示，在十字形滑槽上各有一个活动滑标，，有一根旋杆将两个滑标连成一体，，为旋杆上的一点，且在，两点之间，且，当滑标在滑槽内做往复运动，滑标在滑槽内随之运动时，将笔尖放置于处可画出椭圆，记该椭圆为.如图2所示，设与交于点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立平面直角坐标系.（1）求椭圆的方程；（2）设，是椭圆的左､右顶点，点为直线上的动点，直线，分别交椭圆于，两点，求四边形面积为，求点的坐标.37. 已知函数．(1)画出函数和函数的图象；(2)若不等式恒成立，且，求实数a的取值范围．38. 如图1所示，在边长为3的正方形中，将沿折到的位置，使得平面平面，得到图2所示的三棱锥．点分别在上，且，，．记平面与平面的交线为l．(1)在图2中画出交线l，保留作图痕迹，并写出画法．(2)求二面角的余弦值．39. 某市公安交管部门曾于2017年底公布了一组统计数据：一年来全市范围内共发生涉及电动自行车的交通事故（一般程序）共3558起，造成326人死亡（因颅脑损伤导致死亡占），死亡人数中有263人未佩戴头盔（占）.驾乘电动自行车必须佩戴头盔，既是守法的体现，也是对家庭和社会负责的表现.该市经过长期开展安全教育，取得了一定的效果.表一是该市某主干路口连续5年监控设备抓拍到的驾乘人员未佩戴头盔的统计数据：表一年度20172018201920202021年度序号x12345未佩戴头盔人数y125012001010920870(1)请利用表一数据求未佩戴头盔人数y与年度序号x之间的回归直线方程，并预测该路口2022年驾乘人员未佩戴头盔的人数；(2)交管部门从年在该路口发生涉及电动自行车的交通事故案例中随机抽取了50起作为样本制作出表二：六、解答题未佩戴头盔佩戴头盔合计伤亡61016无伤亡43034合计104050请问能否有的把握认为驾乘电动自行车未佩戴头盔的行为与事故伤亡有关？附：参考公式及数据：；，其中.0.100.050.0250.0100.005k2.7063.8415.0246.6357.87940. 已知函数是定义域上的奇函数.（1）确定的解析式；（2）用定义证明：在区间上是减函数；（3）解不等式.41.已知正实数，函数，，为的导函数.(1)若，求证：；(2)求证；对任意正实数m ，n，，有.42. 如图，在四棱锥中，底面ABCD 是边长为2的正方形，为正三角形，且侧面底面ABCD ，，O 为AB 的中点．(1)求证：平面ACM ；(2)求二面角的余弦值．43. 如图，在四棱锥中，侧面为钝角三角形且垂直于底面，底面为直角梯形且，，，点是的中点.（1）求证：平面；七、解答题（2）若直线与底面所成的角为，求与平面所成角的正弦值.44.如图几何体是四棱锥，为正三角形，，，，且．（1）求证：平面平面；（2）是棱的中点，求证：平面；（3）求二面角的平面角的余弦值．45.如图，直四棱柱的底面为平行四边形，是的中点．（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）求点到平面的距离．46. 某校举行围棋比赛，甲、乙、丙三人通过初赛，进入决赛.决赛比赛规则如下：首先通过抽签的形式确定甲、乙两人进行第一局比赛，丙轮空；第一局比赛结束后，胜利者和丙进行比赛，失败者轮空，以此类推，每局比赛的胜利者跟本局比赛轮空者进行下一局比赛，直到一人累计获胜三局，则此人获得比赛胜利，比赛结束.假设每局比赛双方获胜的概率均为，且每局比赛相互独立.(1)求比赛进行四局结束的概率；(2)求甲获得比赛胜利的概率.47. 近年来，随着社会对教育的重视，家庭的平均教育支出增长较快，某机构随机调查了某市2015-2021年的家庭教育支出（单位：万元），得到如下折线图.（附：年份代码1-7分别对应2015-2021年）.经计算得，.(1)用一元线性回归模型拟合y与t的关系，求出相关系数r（精确到0.01），并说明y与t相关性的强弱；(2)建立y关于t的回归直线方程；(3)若2023年该市某家庭总支出为10万元，预测2023年该家庭的教育支出.附：①相关系数；②在回归直线方程中，.48. 某校举行围棋友谊赛，甲、乙两名同学进行冠亚军决赛，每局比赛甲获胜的概率是，乙获胜的概率是，规定：每一局比赛中胜方记1分，负方记0分，先得3分者获胜，比赛结束．(1)求进行3局比赛决出冠亚军的概率；(2)若甲以领先乙时，记表示比赛结束时还需要进行的局数，求的分布列及数学期望．49. 某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过1kg的包裹收费10元；重量超过1kg的包裹，除1kg收费10元之外，超过1kg的部分，每超出不足1kg，按1kg计算需再收5元．该公司对近60天，每天揽件数量统计如表：包裹件数范围包裹件数近似处理50150250350450天数6630126某人打算将，，三件礼物随机分成两个包裹寄出，求该人支付的快递费不超过30元的概率；该公司从收取的每件快递的费用中抽取5元作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的作为其他费用前台工作人员每人每天揽件不超过150件，工资100元，目前前台有工作人员3人，那么，公司将前台工作人员裁员1人对提高公司利润是否更有利？50. 某早餐店每天制作甲、乙两种口味的糕点共份,每份糕点的成本1元,售价2元,如果当天卖不完,剩下的糕点作废品处理.该早餐店发现这两种糕点每天都有剩余,为此整理了过往100天这两种糕点的日销量(单位:份),得到如下的统计数据：甲口味糕点日销量4849551天数2422乙口味糕点日销量4849551天数4321以这100天记录的各销量的频率作为各销量的概率,假设这两种糕点的日销量相互独立.(1)记该店这两种糕点每日的总销量为X份,求X的分布列(2)早餐店为了减少浪费,提升利润,决定调整每天制作糕点的份数①若产生浪费的概率不超过0.6,求n的最大值;②以销售这两种糕点的日总利润的期望值为决策依据,在每天所制糕点能全部卖完与之中选其一,应选哪个？51. 某产业园生产的一种产品的成本为50元/件.销售单价依产品的等级来确定，其中优等品、一等品、二等品、普通品的销售单价分别为80元、75元、65元、60元.为了解各等级产品的比例，检测员从流水线上随机抽取200件产品进行等级检测，检测结果如下表所示.产品等级优等品一等品二等品普通品样本数量30506060（件）(1)若从流水线上随机抽取一件产品，估计该产品为优等品的概率；(2)从该流水线上随机抽取3件产品，记其中单件产品利润大于20元的件数为，用频率估计概率，求随机变量的分布列和数学期望;(3)为拓宽市场，产业园决定对抽取的200件样本产品进行让利销售，每件产品的销售价格均降低了5元.设降价前后这200件样本产品的利润的方差分别为，比较的大小.（请直接写出结论）。
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公式为:
ax + ( xn - ax )* div,
ay + ( yn - ay )* d iv,
xn+1 = bx + ( xn - bx )* d iv, . yn+ 1 = by + ( yn - by )* d iv,
( 3)
cx + ( xn - cx )* d iv,
cy + ( yn - cy )* div,
y0= P o intY ( j) + ( y0 - P o intY ( j) )* div P icture1. PSet ( x0, y0), &HC000& Fo r i= 1 T o num
j= Int( R nd* n) + 1 x0= P o intX ( j) + ( x0 - P o intX ( j) )* d iv y0= P o intY ( j) + ( y0 - P o intY ( j) )* d iv P icture1. PSet ( x0, y0), &HC000& N ext i End Sub
! !!!
! !! !
其中, div的取值范围为 [ 0. 1, 0. 5]。这样, 便得到一个任意多边形的分形图迭代公式。特别地, 当 n=
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微 计 算机 应 用
200 7年
3, d iv= 0. 5时, 分形图形为 S ierp insk i三角形。
4 多边形分形图的 VB程序实现
给定平面上 n点 a, b, c!。用二个可调数组 Po intX ( ) 和 Po in tY ( ) 分别存放这 n 个点的横坐标和纵坐 标。再随机取点 ( x0, y0), 按公式 ( 3) 做数百次的迭代。
本文于 2007- 04 - 29收到。
12 期
盛明兰: S ierp insk i三角形分形图及其推广
1333
图 3 Sierp inski三角形的生成
2 S ierp insk i三角形的随机性迭代算法
设 A0 ( ax, ay ) 、B0 ( bx, by )、C0 ( cx, cy ) 为等边三角形的顶点, 用随机发生器随机地产生 A ( 1, 2), B ( 3, 4), C
ax + ( xn - ax ) /2,
ay + (yn - ay ) / 2,
xn+1 = bx + ( xn - bx ) / 2, . yn+ 1 = by + (yn - by ) /2, .
( 2)
cx + ( xn - cx ) /2,
cy + (yn - cy ) / 2,
! !!!
!! !!
如此重复下去, 最终会得到一个 n边形的分形图。遗憾的是, 当我们每次取 n边形的顶点与任意一点的
中点时, 产生的分形图不是很好看。主要是每次取随机点与多边形顶点的中点时, 当 n> 3时, 在多边形内部
的 n个区域中就会存在相重的取点。当 n越大时, 重复的点越多, 便会形成一个很大密度的 n边形。为解决
首先, 用鼠标事件 P icture1_M ouseDown获得图片框中的 n个顶点坐标。
P rivate Sub P icture1 _M ouseD own ( Button A s In tege r, Shift A s
Integer, x A s S ing le, y A s S ing le)
If Button= 1 T hen
n= n + 1
n记录画过的顶点数
R eD im P reserve Po intX ( n)
R eD im P reserve Po intY ( n) Po intX ( n) = x: Po intY ( n) = y P icture1. PSet ( x, y), &H C000& End If End Sub
! !! !
将以上通过随机性迭代得到的 { ( x1, y1 ) , ( x2, y2 ) , !! }绘制在屏幕上, 经过足够多的迭代后, 最后会得 到 Sierpinski三角形分形图案。程序略。
3 S ierp insk i垫片的随机性迭代算法的推广
分析 S ierpinski三角形的随机性迭代公式, 我们发现 A0 ( ax, ay ) 、B0 ( bx, by )、C0 ( cx, cy )确定等边三角形, 如果任意取三个点, 就会得到任意的三角形。同样用迭代公式 ( 1) , 将得到一个任意三角形的分形图。
Abstrac t: A fter ana lyzing random repeated a lgo rithm of S ierpinsk iT riangle, it is genera lized po lygonal F racta ls and the un iversa l pro g ram w hich is w ritten by V B language is prov ided in the paper. K ey word s: S ierpinsk i tr iang le; fracta;l random repeated algorithm
再用随机函数 rnd( ) 产生随机点, 按给定的偏离度值求迭代点, 画出所求点。重复此过程。
P rivate Sub Comm and1_C lick( ) D im j A s Integer R andom ize If n < = 0 T hen End j= Int( R nd( )* n) + 1∀随机产生下标 j x0= P o intX ( j): y0= Po intY ( j) ∀取随 机一顶 点作为 多边形 内部点 ( x0, y0) j= Int( R nd* n) + 1∀再随机取一顶点 R em 按比例求两点间的那一点 x0= P o intX ( j) + ( x0 - P o intX ( j) )* d iv
ax + ( xn - ax ) /2,
ay + ( yn - ay ) /2,
xn+1 = bx + ( xn - bx ) / 2, . yn+ 1 = by + ( yn - by ) / 2, .
( 1)
cx + ( xn - cx ) /2,
cy + ( yn - cy ) /2,
! !!!
此问题, 可将随机点和顶点之间的距离变小。为此, 引进一个偏ห้องสมุดไป่ตู้度的概念。所谓偏离度, 就是混沌游戏中
的随机点和多边形顶点之间的偏离距离。要获得较为理想的多边形分形图, 此偏离度最好取区间 [ 0. 2, 0.
4] 之间的值。设偏离度为 d iv, 第 n次迭代的点为 ( xn, yn) , 则第 n+ 1次迭代的点为 ( xn+ 1, yn+ 1) , 其迭代
第 28卷第 12期 2007年 12月
微 计 算机 应 用 M ICROCOM PUTER APPL ICAT IONS
V o l 28 N o 12 D ec 2007
Sierp insk i三角形分形图及其推广
盛明 兰
(重庆交通大学计算机与信息学院 重庆 400047)
摘要: 论文通过对 S ierpinsk i三角形的随机性迭代算法进行分析, 进而推广到多边形分形图, 并给出了用 VB语言实现的通用程序。 关键词: S ierp in sk i三角形 分形 随机性迭代算法
( 5, 6)三点, 当随机产生的点是 A, 则 A1 ( x1, y1 )取 A 0 和 B连线的中点, 若随机产生的点是 B, 则 B1 ( x1, y1 ) 取 B1 和 B连线的中点, 依次类推, 设第 n次迭代的点为 ( xn, yn ), 则第 n+ 1次迭代的点为 ( xn + 1, yn+ 1 ), 其关系为:
1 混沌游戏 与 Sierp in sk i三角形
混沌游戏 是将正三角形的三点顶点分别标记为: A ( 1, 2), B ( 3, 4) , C ( 5, 6) 。向正三角形内部投掷骰 子 ( 各面的数字是 1- 6), 如果掷出来的数字是 1, 2, 就向点 A 移动一半的距离, 标出一个新的点; 如果掷出 来的数字是 3, 4, 就向点 B移动一半的距离, 也标出一个新的点; 如果掷出来的数字是 5, 6, 就向点 C, 移动一 半的距离, 并标出一个新的点 ( 图 1)。连续这样抛掷骰子大约 1万次后, 就会得到 S ierp insk i三角形 ( 也称 作 Sierpinski垫片图 2) 。
Sierpinski Triangle F ractal and its G eneralize
SH ENG M ing lan
( Computer and inform ation T echno logy Co llege, Chongqing jiaotong un ive rsity, Chongqing, 400047, Ch ina)
图 1 混沌游戏
图 2 Sierp inski垫片
实际上, 混沌游戏 所产生的 S ierp insk i三角形是一个规则分形图形。它是由波兰数学家 W aclaw S ier pinsk i于 1916年提出的: 取一等边三角形, 连接各边中点, 从而将原三角形分成四个小三角形, 然后挖去中 间的一个小三角形, 如图 3所示。将剩下的三个小三角形按上面同样的方法继续分割, 并舍弃位于中间的那 个三角形 !, 不断重复分割与舍弃的过程, 就能得到 Sierpinski三角形。
如果在平面上任意取 n个点, 构成一 n边形 A 0B0C0D0!, 向这个 n边形中随机抛掷 [ 1, n] 点数, 随机得 到的是 A ( 点数 1), 就取 A0 和 A 连线的中点为 A 1 ( x1, y1 ) , 若随机产生的点是 B( 点数 2), 则取 B1 和 B连线 的中点为 B1 ( x1, y1 ) , 依次类推, 设第 n次迭代的点为 ( xn, yn ), 则第 n+ 1次迭代的点为 ( xn + 1, yn+ 1 ) , 其迭代 公式为: