用三角形中位线定理解题
三角形中位线定理的证明及其应用
例 ｌ 如 图，在 四边形Ａ Ｂ Ｃ Ｄ中， Ａ Ｂ ＝ Ｃ Ｄ， Ｅ、 盼 别
是Ｂ Ｃ 、 Ａ Ｄ的 中点 ，延长Ｂ Ａ和Ｃ Ｄ分别 与Ｅ Ｆ 的延 长线 交 于Ｋ、 日， 求证 ： ／ ＿ ＿ Ｂ Ｋ Ｅ＝ Ｃ Ｈ Ｅ ． （ ２ ０ ０ ６ 年 内 蒙 古 呼 和 浩 特市初 中数学 竞赛题 ）
样 取 中点 比作平行 线好 ． 证明： 连 接Ｂ Ｄ并取Ｂ Ｄ的中 点Ｇ， 连Ｆ Ｇ、 Ｇ Ｅ， 在 △Ｄ Ａ Ｂ 和 △Ｂ Ｃ Ｄ 中，
・ ．
・
Ｆ 是ＡＤ的中 点， Ｅ 是Ｂ Ｃ 的 中点 ，
・ ． ．
Ｆ Ｇ ／ ／ Ａ Ｂ Ｊ ￣ Ｆ Ｇ ＝ Ａ ， Ｅ Ｇ ／ ／ ／ Ｄ Ｇ Ｊ ￣ Ｅ Ｇ ＝ 二Ｄ Ｃ ．
・ ．
．
Ａ ＡＥ Ｆ￣ Ａ ＡＢＣ ＥＦ ＝
＝
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Ｅ Ｆ ／ ／ Ｂ Ｃ Ｊ ｔ Ｅ Ｆ ＝Ｉ － － Ｂ Ｃ
２ ．
ＢＣ Ａ Ｂ ２
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证 明 二 ： ’ 诜 ４ （ ｏ ， ， 日 （ ６ ， ０ ） ， ｃ （ ｃ ， ｏ ） ． 贝 Ｊ ｌ Ｅ （ 告 ， 号 ） ， 畸， 号 ） ．
求证： Ｅ Ｆ ＜２ １（ ＡＢ ＋ Ｃ Ｄ） ． （ ２ ０ １ １ 年银 川市 中考 题）
￣
分 析 ： 利 用 中 位 线 ， 将 矾吉 Ｂ ＋ ｃ Ｄ ） 转 移 到 同 一 三 角 形 中 ．
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・
直 线 Ｅ Ｆ 的 方 程 为 ） ， ＝ 号 ，
构造三角形的中位线定理使用条件解题例析
构造三角形的中位线定理使用条件解题例析作者：孙中淼来源：《教育周报·教研版》2018年第22期三角形的中位线定理揭示了三角形中两条线段的位置关系和数量关系，利用它来解决几何证明题是行之有效的方法。
在解答与中点有关的几何题时，若能根据题意巧妙构造中位线定理使用条件，就会有出奇制胜的效果。
下面通过几道题说明之，以供参考。
一、没有第三边，添加第三边【例1】如图，点E、F、G、H分别是CD、BC、AB、DA的中点.求证：四边形EFGH是平行四边形.证明：连接BD，∵E、F、分别是CD、BC的中点，∴EF∥BD，，又∵G、H分别是AB、DA的中点，∴GH∥BD，，∴，∴四边形EFGH是平行四边形.二、没有中位线，作出中位线【例2】已知，如图在，在□ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，FC与BE交于G.求证：GF=GC.证明：取BE的中点H，连接FH、CH，∵F是AE的中点，H是BE的中点，∴FH是三角形ABE的中位线，∴FH∥AB且，又∵点E是DC的中点，∴，又∵，∴.∴四边形EFHC 是平行四边形，∴GF=GC.三、同时作出中位线和第三边【例3】如图，同底边BC的△ABC与△DBC中，E、F、G、H分别是AB、AC、DB、DC的中点，求证：EH与FG互相平分.证明：连接EG、GH、FH、EF，∵点E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点，∴EF、GH分别是△ABC与△DBC的中位线，∴，，∴.∴四边形EGFH为平行四边形.∴EF 与GH互相平分.四、两边中有一边不全，补全两边【例4】如图，已知在△ABC中，E是AB的中点，CD平分∠ACB，AD⊥CD，求证：（1）DE∥BC；（2）证明：延长AD交BC于F.（1）∵AD⊥CD，∴∠ADC=∠FDC=90°.∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠FCD.在△ACD 与△FCD中，∠ADC=∠FDC， DC=DC，∠ACD=∠FCD，∴△ACD≌△FCD.∴AC=FC，AD=DF.又∵E为AB的中点，∴DE∥BF，即DE∥BC.（2）由（1）知AC=FC，，∴.总之，三角形的中位线定理是一个非常有价值的定理.它是一个遇到中点，必须联想到的重要定理，但是在解题时，往往只知道它的一部分，因此就需要同学们根据题目的特点自己去寻找，补全中位线定理的基本图形，解决问题，从而达到学习的目的.。
三角形中位线定理的几种证明方法及教学中需要说明的地方【最新】
三角形中位线定理的证明及其教学说明一、 三角形中位线定理的几种证明方法法1： 如图所示，延长中位线DE 至F ，使，连结CF ，则，有ADFC ，所以FCBD ，则四边形BCFD 是平行四边形，DF BC 。
因为 ，所以DEBC 21．法2： 如图所示，过C 作 交DE 的延长线于F ，则，有FCAD ，那么FCBD ，则四边形BCFD 为平行四边形，DFBC 。
因为 ，所以DEBC 21．法3：如图所示，延长DE 至F ，使 ，连接CF 、DC 、AF ，则四边形ADCF 为平行四边形，有ADCF ，所以FCBD ，那么四边形BCFD 为平行四边形，DF BC 。
因为 ，所以DEBC 21．法4：如图所示，过点E 作MN ∥AB ，过点A 作AM ∥BC ，则四边形ABNM 为平行四边形，易证CEN AEM ∆≅∆，从而点E 是MN 的中点，易证四边形ADEM 和BDEN 都为平行四边形，所以DE=AM=NC=BN ，DE ∥BC ，即DEBC 21。
法5：如图所示，过三个顶点分别向中位线作垂线．二、教学说明1、三角形中位线定理的另外一种猜想过程：“二维”转化为“一维”在引导学生探索三角形中位线定理时，由于学生画出中位线后，就不难直观地发现平行关系，难的是发现数量关系，我联想到在此之前认识线段中点时的一道典型例题，挖掘它与原有知识的内在联系，从而作如下探索引导。
⑴如图，A 为线段BC(或线段BC 的延长线)上的任意一点，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，线段DE 与BC 有什么关系？AC图⑴：⑵如果点A 不在直线BC 上，图形如何变化？上述结论仍然成立吗?图⑵：说明：学生观察（几何画板制作的）课件演示：当△ABC 的顶点A 运动到直线B C 上时,中位线DE 也运动到BC 上，这样由“二维”转化为“一维”，学生就不难猜想性质的两方面，特别是数量关系，而想到去度量、验证和猜想，水到渠成.如果教师直接叫学生去度量角度和长度，是强扭的瓜不甜. 2、教学重点：本课重点是掌握和运用三角形中位线定理。
三角形中位线定理的应用
三角形中位线定理的应用三角形中位线定理在初中教材体系中是一个很重要的定理，学好这部分内容将有助于梯形中位线定理乃至整个平面几何知识的学习．它具有两个方面的特性：（1）平行于第三边，这是位置关系；（2）等于第三边的一半，这是数量关系．就第一个特性而言，中位线定理与平行线等分线段定理中的推论(经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边）存在着互逆关系．我们利用这两个特性，能证明（求解）许多几何问题，以下举例说明它的具体应用．一、证明问题1、证明角相等关系例1、如图、四边ABCD 中，AB =CD ，M 、N 分别为AD 、BC 的中点，EF ⊥MN 交AB 于E ，交CD 于F ，求证：∠AEF =∠DFE分析：欲证：∠AEF =∠DFE ．由MN ⊥EF 想到延长BA ，CD 与MN 的延长线交于P 、Q 只需证明∠EPN =∠Q ，如何利用中点的条件？ 想到三角形的中位线，连线BD ，取BD 的中点G ，则有12GM AB∥，12GN CD ∥，由于AB =CD ，进而有GM =GN ，∠GMN =∠GNM 然后再转化∠EPN =∠Q ，从而证出结论．证明：延长BA ，CD 分别与NM 的延长线交于P 、Q 连结BD ，取BD 的中点G ，连结GM 、GN ．∵G 、M 分别为△ABD 的边BD 、AD 的中点∴12GM AB ∥．同理可证：12GN AB∥，又∵AB =CD ，∴GM =GN ，∴∠GMN =∠GNM ，∵GM //AB ，GN =CD ，∴∠GMN =∠EPN ，∠GNM =∠Q ，∴∠EPN =∠Q ，又 EF ⊥MN ，∴∠AEF =∠DFE （等角的余角相等）说明：添辅助线是证明几何题的难点．若要添多条辅助线，更为困难，掌握一般添辅助线的规律是必要的，更为重要的是分析中自由添加辅助线，添辅助线是分析问题过程的一个步骤，这是几何的证明的较高层次，要在实践中仔细体会，不断摸索，不断总结．2、证明线段的倍分以及相等关系例2.如图，已知平行四边形ABCD 中，BD 为对角线，点E 、F 分别是AB 、CD 的中点，连线EF ，交BD 于M 点．求证：（1）BM =14BD （2）ME =MF 分析：欲证问题（1）由E 、F 分别为AB 、BC 中点想到连结AC ，由平行线等分线段定理可证得BM =MO ．又因为平行四边形的对角线互相平分，可得BO =OD ，即BM =41BD ．欲证问题(2)，由问题(1)中的辅助线，即连结AC ，由三角形中位线定理可得EM =12AO ，MF =12OC ，又由平行四边形对角线互相平分即可得到问题（2）的结论．证明：（1）连结AC ，交BD 于O 点，∵E 、F 分别为AB 、BC 中点，∴EF ∥AC ，∴BM =MO =12BO （平行线等分线段定理） 又∵四边形ABCD 是平行四边形∴BO =OD =12BD ，AO =OC =12AC ， ∴BM =1124BO BD ，即BM =14BD（2）∵M 是BO 的中点，E 、F 分别是AB 、BC 中的中点．∴12ME AD =，12MF OC =，又∵AO ＝OC ，∴ME ＝MF 小结：问题（1）看起来似乎与三角形中位线定理无关，其实这是从侧面的运用了三角形中位线的位置关系，即三角形的中位线平行于底边，而问题（2）直接运用了三角形中位线的数量关系．3、证明线段平行关系例3.如图，自△ABC 的顶点A ，向∠B 和∠C 的平分线作垂线，重足分别为D 、E ．求证：DE ∥BC 分析：欲证ED //BC 我们可想到有关平行的判定，但要找到有关角的关系很难，这时只要通过延长AD 、AE ，交BC 与CB 的延长线于G 与H ，通过证明△ABD 与△GBD 全等易证D 是AG 中点，同理E 为AH 的中点，故，ED 是△AEG 的中位线，当然有DE ∥BC ．证明：延长AD 、AE 交BC 、CB 的延长线于G 、H ，∵BD 平分∠ABC ，∴∠1=∠2，又∵BD ⊥AD ，∴∠ADB =∠BDG =900． 在△ABD 与△GBD 中12BD BDBDG BDA⎧⎪⎨⎪⎩=== ∠∠∠∠，∴△ABD ≌△GBD (A S A ) ∴AD =DG ，同理可证，AE =GE ，∴D ，E 分别为AG ，AH 的中点， ∴ED ∥BC小结：由此题我们可以知道证明直线或线段平行除了平行判定等，还可以用中位线定理来证明直线或线段平行．二、比较大小1、比较线段大小 例4.如图，M 、N 是四边形ABCD 的边 BC 、AD 的中点，且AB 与CD 不平行．求证：MN ＜12(AB ＋CD ). 分析：欲证MN ＜12(AB ＋CD )，我们从表面上看这个问题比较复杂，但由M 、N 分别为BC 、AD 中点我们可以联想到如何构造三角形中位线来证明问题，通过连结BD ，并取BD 中点P ，连结NP 、MP 这时分别为△DAB 、△DCB 的中位线,这时三条线段NP 、MP 、MN 都在一个三角形里，问题就迎刃而解了．证明：连结BD 并取BD 中点P ，连结NP ，MP . ∵N 为AD 中点，P 为BD 中点.∴NP 为△DAB 的中位线，∴NP ＝12AB ，同理可得MP ＝12CD ．∵AB 与CD 不平行，∴P 点不在MN 上．在△PMN 中，由于两边之和大于第三边，∴MN ＜PM +PN ＝12(AB +CD )小结：此类题型通过转化,把有关的线段或与之有联系的线段集中在一个三角形中,再应用三角形的有关知识，如：三角形中位线及两边之和大于第三边，两边之差小于第三边等知识，即可得出证明．2、比较角的大小例5、如图：AD 是△ABC 的中线，如果AB >AC ，那么∠BAD <∠CAD ． 分析：因为D 为BC 中点联想到，过点D 作中位线DE ，因为DE ∥AB 即△ABC 得到∠1=∠3，由AB >AC , 有12AB ＞12AC ，所以就有∠3＜∠2，即∠BAD <∠CAD证明：过点D 作DE ∥AB 交AC 于E ，∴DE ∥AB 且 DE =12AB ，E 为AC 中点．∴∠1=∠3，∵AB >AC ，∴12AB >12AC ，即在△AED 中，DE >AE ，∴∠3<∠2，∴∠1<∠2，即∠BAD <∠CAD小结：本题证角不相等，因为要证的两个角不在同一个三角形中，如果这两个角在同一个三角形中能应用：在同一个三角形中，大边对大角原理这时就考虑到如何将这两个角放在一个三角形中，通过观察只要过D 作DE ∥AB 就可解决求证问题．三、求值问题例6. 如图，正方形ABCD 两对角线相交于点E ，∠CAB 的平分线交BE 于G ，交BC 于F ，若GE ＝24 求FC 的长．分析：求FC 的长，因为E 为对角线交点，就是AC 中点所以作辅助线PE ∥BC 就有PE ∥FC 且有PE =21FC 所以只要能求出PE 的长即可，而PE 的长可由∠3＝∠4求出，因为∠3为△APE 的外角所以有∠3=∠2+∠5同理有∠4=∠1+∠7因为AF 为∠BAC 的平分线所以∠1=∠2又因为所以∠5=∠6,而∠6=∠7所以有∠3=∠4即PE =GE =12FC ,这样问题就解决了． 解：过点E ，作EP ∥BC ，交AF 于点P ，则P 为AF 中点，∵∠3＝∠2＋∠5＝∠2＋∠6，∠4＝∠1＋∠7，又∵AF 平分∠BAC ，∴∠1＝∠2，又∵∠6＝∠7，∴∠3＝∠4，∴EP ＝EG ，∵PE 是△AFC 的中位线，∴PE ＝12FC =EG ，即FC =2EG =2PE =2×24=48小结：求值问题，主要是如何添加辅助线，将比较难的问题转为容易的问题．总之，三角形中位线定理及其应用，在初中数学中占有很重要的地位，如何正确添加辅助线构造三角形中位线对每个学生来说是一个重点也是一个难点．要求学生要善于觉察图形中的有关定理的基本图形，涉及到中点问题时要及时联想到有关定理．一条或一组合理地利用了题目条件的辅助线常见有一箭双雕甚至一箭多雕的效益，准确而理想的图形能有效地帮助我们迅速地捕捉到题意预定的目标．。
三角形中位线定理的运用例谈(Word版-含解析、点评和练习设计)
2017-2018下学期八数专题复习 二：三角形中位线定理的运用例谈 第 1页（共 8页） 第 2页 （共 8页）2017—2018下学期八年级数学专题复习 二:三角形中位线定理的运用例谈赵化中学 郑宗平三角形的中位线定理在平面几何中比较特殊，它既反映三角形的中位线与三角形边的位置关系，又有与三角形边的数量关系的规律性结论；在一些所谓的几何难题中常见它的身影，而三角形的中位线往往能起牵线搭桥甚至是关键性的作用;下面我精选一部分“含"三角形的中位线的几何解答题，让我们共同来探究、解析、训练.知识要点:三角形的中位线平行于三角形第三边,并且等于第三边的一半.1。
三角形三条中位线围成的三角形与原三角形在某些数量上的关系⑴.周长关系如图点D E F 、、分别是⊿ABC 的三边BC CA AB 、、的中点，请探究⊿DEF 的周长 ⊿ABC 的周长的关系？分析: 点D E F 、、分别是⊿ABC 的三边BC CA AB 、、,,,111EF BC DE AB DF AC 222=== ∴()12EF DE DF BC AC AB ++=++所以三角形的三条中位线围成的三角形的周长是原三角形的周长的一半。
追踪练习：以上面的图为例，若⊿DEF 的周长为23cm ，则⊿ABC 的周长为 . ⑵。
面积关系如图点D E F 、、分别是⊿ABC 的三边BC CA AB 、、的中点，请探究⊿DEF 的面积与⊿ABC 的面积关系？ 略析：根据三角形中位线定理可以得出,,,,111EF BC DF AC DE AB EF BC DF AC DE AB 222===；,再利用线段中点的定义、平行线性质、平行四边形的性质等可以进一步推出DEF 、AFE 、FBD 、DEC是全等的，故它们的面积是相等的,则S ⊿ABC =4S ⊿DEF .所以三角形的三条中位线围成的三角形的面积是原三角形的面积的14. 说明：今后我们学习了相似三角形的性质后，这个结论的推导就简单多了。
如何利用三角形中位线定理
如何利用三角形中位线定理三角形是初中数学中的重要内容，但是在学习三角形的时候，很多同学会发现一些特殊的线段，比如三角形中位线，但是很多同学并不知道如何利用这些特殊的线段来解决问题。
本文将介绍如何利用三角形中位线定理来解决一些实际问题。
一、三角形中位线定理的定义在三角形ABC中，连接AB、BC、AC的中点分别为D、E、F，那么有以下定理：1. 三角形中线定理：DE = 1/2BC，EF = 1/2AC，FD = 1/2AB。
2. 三角形中位线定理：三条中位线交于一点，且交点离每个顶点的距离是从该顶点到对边中点距离的一半。
二、利用三角形中位线定理解决实际问题1. 求三角形中位线长度在三角形ABC中，连接AB、BC、AC的中点分别为D、E、F，求DE的长度。
根据三角形中位线定理，DE的长度等于BC的一半，因此DE = 1/2BC。
如果知道BC的长度，就可以直接计算出DE的长度了。
2. 判断三角形是否为等腰三角形在三角形ABC中，连接AB、BC、AC的中点分别为D、E、F，如果DE = EF，则三角形ABC为等腰三角形。
因为DE = 1/2BC，EF = 1/2AC，所以DE = EF等价于1/2BC = 1/2AC，即BC = AC，因此三角形ABC为等腰三角形。
3. 求三角形面积在三角形ABC中，连接AB、BC、AC的中点分别为D、E、F，求三角形ABC的面积。
根据三角形面积公式，三角形ABC的面积等于1/2底边乘以高，而三角形的高正好是DE，因此三角形ABC的面积等于1/2BC乘以DE。
根据三角形中位线定理，DE = 1/2BC，因此三角形ABC的面积等于1/4BC。
4. 求三角形重心坐标在三角形ABC中，连接AB、BC、AC的中点分别为D、E、F，三条中位线交于点G，求点G的坐标。
根据三角形中位线定理，点G离每个顶点的距离是从该顶点到对边中点距离的一半。
因此，点G的坐标可以通过计算三个顶点的坐标和对边中点的坐标来求得。
三角形中位线定理模型应用的思维导图
例4（2020•临沂）如图8，菱形ABCD的边长为1，∠ABC＝60°，点E是边AB上任意一点
（端点除外），线段CE的垂直平分线交BD，CE分别于点F，G，AE，EF的中点分别为M，N．
（1）求证：AF=EF；（2）求MN+NG的最小值；（3）当点E在AB上运动时，∠CEF的大小是否变化？为什么？
∴OG=OM，∴BF=2OG．
点评：过一边中点构造平行线，从而构造出三角形的中位线，借助平行线的性质，等腰三角形的性质，等腰三角形的判定，三角形中位线定理实现解题目标.可谓小目标，展示了数学大智慧，构造中位线是解题关键.
解法2：如图11，过点O作OM∥FG，交BF于点M，∵OD=OB，∴OM是三角形DBF的中位线，
三、应用剖析
1.平行四边形中构造使用定理
例1（2020•陕西）如图5，在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=8．E是边BC的中点，F是平行四边形ABCD内一点，且∠BFC=90°．连接AF并延长，交CD于点G．若EF∥AB，则DG的长为 （ ）
A. B． C．3D．2
解析：如图5，延长CD，交BF的延长线于点H，∵E是边BC的中点，∠BFC=90°，∴EB=EF=EC= BC=4，∵EF∥AB，CD∥AB，∴EF∥CD，∵E是边BC的中点，∴EF是三角形BCH的中位线，
∴CE=2OF=6,∴CD=CE-DE=4.同理可证，GF是△ADE的中位线，∴GF=1.∵AD=4,DE=2，
DF是直角三角形ADE斜边上的中线，∴DF= AE= = ;
∵△ADF的面积是相同的，∴ AD×GF= DF×AH，∴AH= = .
点评这里的解答，两次用到了三角形的中位线定理，这是解题的重点，同时用到了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，同一个三角形面积相等等知识点，使得解题更突显数学智慧.
三角形中位线定理的几种证明方法及教学中需要说明的地方
三角形中位线定理的证明及其教学说明以下内容作者为：青岛第四中学杨瀚书老师一、 三角形中位线定理的几种证明方法法1： 如图所示，延长中位线DE 至F ，使，连结CF ，则，有ADFC ，所以FCBD ，则四边形BCFD 是平行四边形，DF BC 。
因为 ，所以DEBC 21．法2C 作交DE 的延长线于F ，则，有FCAD ，那么FCBD ，则四边形BCFD 为平行四边形，DFBC 。
因为 ，所以DEBC 21．法3：如图所示，延长DE 至F ，使 ，连接CF 、DC 、AF ，则四边形ADCF 为平行四边形，有ADCF ，所以FCBD ，那么四边形BCFD 为平行四边形，DF BC 。
因为 ，所以DEBC 21．法4：如图所示，过点E 作MN ∥AB ，过点A 作AM ∥BC ，则四边形ABNM 为平行四边形，易证CEN AEM ∆≅∆，从而点E 是MN 的中点，易证四边形ADEM 和BDEN 都为平行四边形，所以DE=AM=NC=BN ，DE ∥BC ，即DEBC 21。
法5：如图所示，过三个顶点分别向中位线作垂线．二、教学说明1、三角形中位线定理的另外一种猜想过程：“二维”转化为“一维”在引导学生探索三角形中位线定理时，由于学生画出中位线后，就不难直观地发现平行关系，难的是发现数量关系，我联想到在此之前认识线段中点时的一道典型例题，挖掘它与原有知识的内在联系，从而作如下探索引导。
⑴如图，A为线段BC(或线段BC的延长线)上的任意一点，D、E分别是AB、AC 的中点，线段DE与BC有什么关系？AB C图⑴：⑵如果点A不在直线BC上，图形如何变化？上述结论仍然成立吗?C图⑵：说明：学生观察（几何画板制作的）课件演示：当△ABC的顶点A运动到直线B C上时,中位线DE也运动到BC上，这样由“二维”转化为“一维”，学生就不难猜想性质的两方面，特别是数量关系，而想到去度量、验证和猜想，水到渠成.如果教师直接叫学生去度量角度和长度，是强扭的瓜不甜.2、教学重点：本课重点是掌握和运用三角形中位线定理。
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用三角形中位线定理解题
三角形中位线定理是平面几何中十分重要的定理，它说明中位线的位置与第三边平行，长度是第三边的一半，应用它可解许多几何命题，如：
1．证明线段的倍分关系
例1 如图1，AD是△ABC的中线，E为AD的中点，BE交AC于F．
证明：取CF的中点H，连接DH，则DH为△CBF的中位线，EF为△ADH的中位线，故DH=1
2 BF，
EF=1
2
DH.
2．证明两线平行
例2 如图2，自△ABC的顶点A向∠B和∠C的平分线作垂线，D、E为垂足．求证DE∥
BC．
证明延长AD、AE交BC与CB的延长线于M、N．
由∠1=∠2，BD⊥AM，可得AD=DM；同理可得AE=EN．故DE为△ANM的中位线．
∴DE∥MN，即DE∥BC
3．证线段相等
例3 如图3，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，且BD=CE，M、N分别为BE、CD 的中点，直线MN分别交AB、AC于P、Q．求证AP=AQ
证明取BC中点F，连接MF与NF．
∵BM=ME，BF=FC．
同理可得NF∥BD，且
又BD=CE，∴MF=NF，故∠3=∠4，
又∠1=∠4，∠2=∠3，
∴∠1=∠2，故AP=AQ．
4．证两角相等
例4 如图4，在△ABC中，M、N分别在AB、AC上，且BM=CN，D、E分别为MN与BC的中点，AP∥DE交BC于P．
求证：∠BAP=∠CAP．
证明连接BN并取中点Q，连接DQ与EQ，则DQ∥BM，且DQ=1
2
BM，EQ∥CN，且EQ=
1
2
CN，
又BM=CN.
∴DQ=EQ，故∠1=∠2，
又∵∠1=∠BAP，∠2=∠CAP，
∴∠BAP=∠CAP．
5．证比例式
例5 如图5，AD为△ABC的中线，过点C的任一直线与AD、AB分别相交于E与F，求
证：AE2AF ED FB
=
6．求值
例6 如图6，正方形ABCD的对角线相交于E，∠CAD的平分线交DE于G，交DC于F，若EG=6.5，则CF=( )．
∵∠3=∠2+∠5=∠2+∠6
=∠1+∠7=∠4．
∴ PE=EG．
∴CF=2PE=2EG=2×6.5=13．
7．求线段比
例7 如图7，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，F为BC上一点，且BF
3
FC
=，则
AO:OE:EC=（）
解延长DF至G，使EG=DE，连接BG，则OE为△DBG的中位线，
∴AO∶OE∶EC=5∶3∶2．
由以上几例不难看出，当有中点这一条件时，设法构造三角形中位线，然后利用三角形中位线性质证题，这是一种常用的解题技巧．。