五年级奥数圆与扇形(二)教师版

五年级奥数圆与扇形（二）教师版

圆的面积2πr =；扇形的面积2π360n

r =⨯

； 圆的周长2πr =；扇形的弧长2π360

n

r =⨯．

一、跟曲线有关的图形元素：

①扇形：扇形由顶点在圆心的角的两边和这两边所截一段圆弧围成的图形,扇形是圆的一部

分．我们经常说的12圆、14圆、1

6

圆等等其实都是扇形,而这个几分之几表示的其实是这个

扇形的圆心角占这个圆周角的几分之几．那么一般的求法是什么呢？关键是360

n

．

比如：扇形的面积=所在圆的面积360n

⨯；

扇形中的弧长部分=所在圆的周长360n

⨯

扇形的周长=所在圆的周长360

n

⨯+2⨯半径(易错点是把扇形的周长等同于扇形的弧长) ②弓形：弓形一般不要求周长,主要求面积．

一般来说,弓形面积=扇形面积-三角形面积．(除了半圆) ③”弯角”：如图： 弯角的面积=正方形-扇形

④”谷子”：如图： “谷子”的面积=弓形面积2⨯

二、常用的思想方法：

①转化思想(复杂转化为简单,不熟悉的转化为熟悉的) ②等积变形(割补、平移、旋转等) ③借来还去(加减法)

④外围入手(从会求的图形或者能求的图形入手,看与要求的部分之间的”关系”)

板块二 曲线型面积计算

【例 1】 如图,已知扇形BAC 的面积是半圆ADB 面积的

3

4

倍,则角CAB 的度数是________．

例题精讲

圆与扇形

D

C

B

A

【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】填空

【解析】 设半圆ADB 的半径为1,则半圆面积为21π

π122

⨯=,扇形BAC 的面积为

π42π233⨯=．因为扇形BAC 的面积为2π360n r ⨯,所以,22π

π23603n ⨯⨯=

,得到60n =,即角CAB 的度数是60度．

【答案】60度

【例 2】 如下图,直角三角形ABC 的两条直角边分别长6和7,分别以,B C 为圆心,2为半径

画圆,已知图中阴影部分的面积是17,那么角A 是多少度(π3=)

6

7

C

B

【考点】圆与扇形 【难度】4星 【题型】解答

【解析】 1

67212

ABC S =⨯⨯=△,

三角形ABC 内两扇形面积和为21174-=,

根据扇形面积公式两扇形面积和为2π24360B C

∠+∠⨯⨯=°

,

所以120B C ∠+∠=°,60A ∠=°.

【答案】60度

【例 3】 如图,大小两圆的相交部分(即阴影区域)的面积是大圆面积的

4

15

,是小圆面积的3

5

．如果量得小圆的半径是5厘米,那么大圆半径是多少厘米？

【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 小圆的面积为2π525π⨯=,则大小圆相交部分面积为3

25π15π5

⨯=,那么大圆的面

积为

4225 15ππ

154

÷

=,而

2251515

422

=⨯,所以大圆半径为7.5厘米．

【答案】7.5

【例 4】有七根直径5厘米的塑料管,用一根橡皮筋把它们勒紧成一捆(如图),此时橡皮筋的长度是多少厘米？(π取3)

C

B

A

【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答

【解析】由右图知,绳长等于6个线段AB与6个BC弧长之和．

将图中与BC弧相似的6个弧所对的圆心角平移拼补,可得到6个角的和是360︒,

所以BC弧所对的圆心角是60︒,6个BC弧合起来等于直径5厘米的圆的周长．

而线段AB等于塑料管的直径,

由此知绳长为：565π45

⨯+=(厘米)．

【答案】45

【例 5】如图,边长为12厘米的正五边形,分别以正五边形的5个顶点为圆心,12厘米为半径作圆弧,请问：中间阴影部分的周长是多少？(π 3.14

=)

【考点】圆与扇形【难度】4星【题型】解答

【解析】如图,点C是在以B为中心的扇形上,所以AB CB

=,同理CB AC

=,则ABC

∆是正三角形,同理,有CDE

∆是正三角形．有60

ACB ECD

∠=∠=,正五边形的一个内角是1803605108

-÷=,因此60210812

ECA

∠=⨯-=,也就是说圆弧AE的长度是半径为12厘米的圆周的一部分,这样相同的圆弧有5个,所以中间阴影部分的周

长是()

12

2 3.1412512.56cm

360

⨯⨯⨯⨯=．

【答案】12.56

【例 6】如图是一个对称图形．比较黑色部分面积与灰色部分面积的大小,得：黑色部分面积________灰色部分面积．

【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】填空

【解析】 图中四个小圆的半径为大圆半径的一半,所以每个小圆的面积等于大圆面积的

14

,则4个小圆的面积之和等于大圆的面积．而4个小圆重叠的部分为灰色部分,未覆盖的部分为黑色部分,所以这两部分面积相等,即灰色部分与黑色部分面积相等．

【答案】相等

【例 7】 如图,大圆半径为小圆的直径,已知图中阴影部分面积为1S ,空白部分面积为2S ,那

么这两个部分的面积之比是多少？(圆周率取3.14)

【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 如图添加辅助线,小圆内部的阴影部分可以填到外侧来,这样,空白部分就是一个圆

的内接正方形．设大圆半径为r ,则222S r =,2212S r r π=-,所以

()12: 3.142:257:100S S =-=．

移动图形是解这种题目的最好方法,一定要找出图形之间的关系．

【答案】57:100

【例 8】 用一块面积为36平方厘米的圆形铝板下料,从中裁出了7个同样大小的圆铝

板．问：所余下的边角料的总面积是多少平方厘米？

【考点】圆与扇形 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 大圆直径是小圆的3倍,半径也是3倍,小圆面积∶大圆面积22π:π1:9r R ==,

小圆面积1

3649

=⨯=,7个小圆总面积4728=⨯=,