高三数学抽样试题答案及解析

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高考数学复习：随机抽样

2.抽签法与随机数法的适用情况 (1)抽签法适用于总体中个体数较少的情况,随机数法适用于总体中个体数较多的情况. (2)一个抽样试验能否用抽签法,关键看两点: 一是抽签是否方便;二是号签是否易搅匀.
考点二系统抽样【典例】(1)某班有学生52人,先用系统抽样的方法,抽取一个容量为4的样本,已知座位是6号,32号,45号的同学都在样本中那么样本中还有一位同学的座位号是 ________.
06 32 35 92 46 22 54 10 02 78 49 82 18 86 70 48 05 46 88 15 19 20 49
A.12
B.32
C.06
D.16
【解析】选B.第15列和第16列的数字为90,从左到右依次选取两个数字,依次为12,33,06,32,则第四个被选中的红色球号码为32.
(2)某中学采用系统抽样方法,从该校高一年级全体800 名学生中抽取50名学生做牙齿健康检查,现将800名学生从1到800进行编号,已知从33～48这16个数中取的数是39,则在第1小组1～16中随机抽到的数是________.
世纪金榜导学号
【解析】(1)用系统抽样抽出的四个学生的号码从小到大成等差数列,设样本中还有一位同学的座位号是x,将号码从小到大排列:6,x,32,45,它们构成公差为13的等差数列,因此,另一学生的座位号为6+13=19. 答案:19
【对点训练】
1.某班有学生60人,现将所有学生按1,2,3,…60随机编
号,若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本(等
距抽样),已知编号为3,33,48号学生在样本中,则样本
中另一个学生的编号为 ( )
A.28
B.23
C.18

2019_2020学年高中数学课时分层作业11分层抽样(含解析)新人教A版必修3

课时分层作业(十一) 分层抽样(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1. 某单位有老年人28人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体情况，需从中抽取一个容量为36的样本，则适合的抽样方法是( )A ．简单随机抽样B ．系统抽样C ．直接运用分层抽样D ．先从老年人中剔除1人，再用分层抽样C [因为总体由差异明显的三部分组成，所以考虑用分层抽样．]2．某中学有高中生3 500人，初中生1 500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高中生中抽取70人，则n 为( )A ．100B ．150C ．200D ．250 A [由题意得，n3 500＋1 500＝703500，解得n ＝100.] 3．一批灯泡400只，其中20 W 、40 W 、60 W 的数目之比是4∶3∶1，现用分层抽样的方法产生一个容量为40的样本，三种灯泡依次抽取的个数为( )A ．20，15，5B ．4，3，1C ．16，12，4D ．8，6，2A [40×48＝20.40×38＝15，40×18＝5.] 4．对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p 1，p 2，p 3，则( )A ．p 1＝p 2<p 3B ．p 2＝p 3<p 1C ．p 1＝p 3<p 2D ．p 1＝p 2＝p 3D [不管是简单随机抽样、系统抽样还是分层抽样，它们都是等可能抽样，每个个体被抽中的概率均为n N .]5．某校做了一次关于“感恩父母”的问卷调查，从8～10岁，11～12岁，13～14岁，15～16岁四个年龄段回收的问卷依次为：120份，180份，240份，x 份．因调查需要，从回收的问卷中按年龄段分层抽取容量为300的样本，其中在11～12岁学生问卷中抽取60份，则在15～16岁学生中抽取的问卷份数为( )A ．60B ．80C ．120D ．180C [11～12岁回收180份，其中在11～12岁学生问卷中抽取60份，抽样比为13，因为分层抽取样本的容量为300，故回收问卷总数为30013＝900份，故x ＝900－120－180－240＝360份，360×13＝120份．] 二、填空题6．在120个零件中，一级品24个，二级品36个，三级品60个，用分层抽样的方法从中抽取容量为20的样本，则每个个体被抽取的可能性是________．16 [在分层抽样中，每个个体被抽取的可能性相等，且为样本容量总体容量.所以每个个体被抽取的可能性是20120＝16.] 7．某企业三月中旬生产A ，B ，C 三种产品共3 000件，根据分层抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格：A 产品的样本容量比C 产品的样本容量多10，根据以上信息，可得C 产品的数量是________件．800 [抽样比130∶1 300＝1∶10，即每10个产品中取1个个体，又A 产品的样本容量比C 产品的多10，故A 产品比C 产品多100件，故12(3 000－1300－100)＝800(件)为C 产品数量．]8．下列问题中，采用怎样的抽样方法较为合理？(1)从10台电冰箱中抽取3台进行质量检查；(2)某学校有160名教职工，其中教师120名，行政人员16名，后勤人员24名，为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本；(3)体育彩票000 001～100 000编号中，凡彩票号码最后三位数为345的中一等奖．(1)________ (2)________ (3)________．(1)抽签法 (2)分层抽样 (3)系统抽样9．某单位有2 000名职工，老年、中年、青年分布在管理、技术开发、营销、生产各部门中，如下表所示：(2)若要开一个25人的讨论单位发展与薪金调整方面的座谈会，则应怎样抽选出席人？[解] (1)按老年、中年、青年分层抽样，抽取比例为402 000＝150. 故老年人，中年人，青年人各抽取4人，12人，24人，(2)按管理、技术开发、营销、生产进行分层，用分层抽样，抽取比例为252 000＝180，故管理，技术开发，营销，生产各抽取2人，4人，6人，13人．10．为了考察某校的教学水平，抽查了该学校高三年级部分学生的本年度考试成绩．为了全面地反映实际情况，采取以下三种考察方式(已知该校高三年级共有14个教学班，并且每个班内的学生都已经按随机方式编好了学号，假定该校每班人数都相同)．①从全年级14个班中任意抽取一个班，再从该班中任意抽取14人，考察他们的学习成绩；②每个班都抽取1人，共计14人，考察这14个学生的成绩；③把该校高三年级的学生按成绩分成优秀，良好，普通三个级别，从中抽取100名学生进行考查(已知若按成绩分，该校高三学生中优秀学生有105名，良好学生有420名，普通学生有175名)．根据上面的叙述，试回答下列问题：(1)上面三种抽取方式中，其总体、个体、样本分别指什么？每一种抽取方式抽取的样本中，其样本容量分别是多少？(2)上面三种抽取方式各自采用何种抽取样本的方法？(3)试分别写出上面三种抽取方法各自抽取样本的步骤．[解] (1)这三种抽取方式中，其总体都是指该校高三全体学生本年度的考试成绩，个体都是指高三年级每个学生本年度的考试成绩．其中第一种抽取方式中样本为所抽取的14名学生本年度的考试成绩，样本容量为14；第二种抽取方式中样本为所抽取的14名学生本年度的考试成绩，样本容量为14；第三种抽取方式中样本为所抽取的100名学生本年度的考试成绩，样本容量为100.(2)第一种方式采用的方法是简单随机抽样法；第二种方式采用的方法是系统抽样法和简单随机抽样法；第三种方式采用的方法是分层抽样法和简单随机抽样法．(3)第一种方式抽样的步骤如下：第一步：在这14个班中用抽签法任意抽取一个班；第二步：从这个班中按学号用随机数表法或抽签法抽取14名学生，考察其考试成绩．第二种方式抽样的步骤如下：第一步：在第一个班中，用简单随机抽样法任意抽取某一学生，记其学号为x ；第二步：在其余的13个班中，选取学号为x ＋50k (1≤k ≤12，k ∈Z )的学生，共计14人．第三种方式抽样的步骤如下：第一步：分层，因为若按成绩分，其中优秀生共105人，良好生共420人，普通生共175人，所以在抽取样本中，应该把全体学生分成三个层次；第二步：确定各个层次抽取的人数，因为样本容量与总体数的比为100∶700＝1∶7，所以在每个层抽取的个体数依次为1057，4207，1757，即15，60，25；第三步：按层分别抽取，在优秀生中用简单随机抽样法抽取15人，在良好生中用简单随机抽样法抽取60人，在普通生中用简单随机抽样法抽取25人．第四步：将所抽取的个体组合在一起构成样本．[能力提升练]1．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图①和图②所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )A ．200，20B ．100，20C ．200，10D ．100，10A [该地区中小学生总人数为3 500＋2 000＋4 500＝10 000人，则样本容量为10 000×2%＝200人，其中抽取的高中生近视人数为2 000×2%×50%＝20.]2．某初级中学共有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人进行某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案．使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为001，002，003，…，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号为001，002，003，…，270，并将整个编号平均分为10段．如果抽得的号码有下列四种情况：①007，034，061，088，115，142，169，196，223，250；②005，009，100，107，111，121，180，195，200，265；③011，038，065，092，119，146，173，200，227，254；④036，062，088，114，140，166，192，218，244，270.关于上述样本的下列结论中，正确的是( )A ．②③都不能为系统抽样B ．②④都不能为分层抽样C ．①④都可能为系统抽样D ．①③都可能为分层抽样D [系统抽样又称为“等距抽样”，做到等距的有①③④，但只做到等距还不一定是系统抽样，还应做到10段中每段要抽1个，检查这一点只需看第一个元素是否在001～027范围内，结果发现④不符合，同时，若为系统抽样，则分段间隔k ＝27010＝27，④也不符合这一要求，所以可能是系统抽样的为①③，因此排除A ，C ；若采用分层抽样，一、二、三年级的人数比例为4∶3∶3，由于共抽取10人，所以三个年级应分别抽取4人、3人、3人，即在001～108范围内要有4个编号，在109～189和190～270范围内要分别有3个编号，符合此要求的有①②③，即它们都可能为分层抽样(其中①③在每一层内采用了系统抽样，②在每一层内采用了简单随机抽样)，所以排除B.]3．某高中针对学生发展要求，开设了富有地方特色的“泥塑”与“剪纸”两个社团，已知报名参加这两个社团的学生共有800人，按照要求每人只能参加一个社团，各年级参加社团的人数情况如下表：其中x ∶y ∶z ＝5∶3∶2，且“泥塑”社团的人数占两个社团总人数的5，为了了解学生对两个社团活动的满意程度，从中抽取一个50人的样本进行调查，则从高二年级“剪纸”社团的学生中应抽取________人．6 [因为“泥塑”社团的人数占总人数的35，故“剪纸”社团的人数占总人数的25，所以“剪纸”社团的人数为800×25＝320.因为“剪纸”社团中高二年级人数比例为y x ＋y ＋z＝32＋3＋5＝310，所以“剪纸”社团中高二年级人数为320×310＝96.由题意知，抽样比为50800＝116，所以从高二年级“剪纸”社团中抽取的人数为96×116＝6.] 4．某机关老年、中年、青年的人数分别为18，12，6，现从中抽取一个容量为n 的样本，若采用系统抽样和分层抽样，则不用剔除个体．当样本容量增加1时，若采用系统抽样，需在总体中剔除1个个体，则样本容量n ＝________．6 [当样本容量为n 时，因为采用系统抽样时不用剔除个体，所以n 是18＋12＋6＝36的约数，n 可能为1，2，3，4，6，9，12，18，36.因为采用分层抽样时不用剔除个体，所以n 36×18＝n 2，n 36×12＝n 3，n 36×6＝n6均是整数，所以n 可能为6，12，18，36.又因为当样本容量增加1时，需要剔除1个个体，才能用系统抽样，所以n ＋1是35的约数，而n ＋1可能为7，13，19，37，所以n ＋1＝7，所以n ＝6.]5．某中学举行了为期3天的新世纪体育运动会，同时进行全校精神文明擂台赛．为了解这次活动在全校师生中产生的影响，分别在全校500名教职员工、3 000名初中生、4 000名高中生中作问卷调查，如果要在所有答卷中抽出120份用于评估．(1)应如何抽取才能得到比较客观的评价结论？(2)要从3 000份初中生的答卷中抽取一个容量为48的样本，如果采用简单随机抽样，应如何操作？(3)为了从4 000份高中生的答卷中抽取一个容量为64的样本，如何使用系统抽样抽取到所需的样本？[解] (1)由于这次活动对教职员工、初中生和高中生产生的影响不会相同，所以应当采取分层抽样的方法进行抽样．因为样本容量为120，总体个数为500＋3 000＋4 000＝7 500，则抽样比：1207 500＝2125，所以有500×2125＝8，3 000×2125＝48， 4 000×2125＝64，所以在教职员工、初中生、高中生中抽取的个体数分别是8，48，64. 分层抽样的步骤是①分层：分为教职员工、初中生、高中生，共三层．②确定每层抽取个体的个数：在教职员工、初中生、高中生中抽取的个体数分别是8，48，64.③各层分别按简单随机抽样或系统抽样的方法抽取样本．④综合每层抽样，组成样本．这样便完成了整个抽样过程，就能得到比较客观的评价结论．(2)由于简单随机抽样有两种方法：抽签法和随机数法．如果用抽签法，要作3 000个号签，费时费力，因此采用随机数法抽取样本，步骤是①编号：将3 000份答卷都编上号码：0 001，0 002，0 003，…，3 000.②在随机数表上随机选取一个起始位置．③规定读数方向：向右连续取数字，以4个数为一组，如果读取的4位数大于3 000，则去掉，如果遇到相同号码则只取一个，这样一直到取满48个号码为止．(3)由于4 000÷64＝62.5不是整数，则应先使用简单随机抽样从4 000名学生中随机剔除32个个体，再将剩余的3 968个个体进行编号：1，2，…，3 968，然后将整体分为64个部分，其中每个部分中含有62个个体，如第1部分个体的编号为1，2，…，62.从中随机抽取一个号码，若抽取的是23，则从第23号开始，每隔62个抽取一个，这样得到容量为64的样本：23，85，147，209，271，333，395，457，…，3 929.。

高考数学一轮复习专题训练—随机抽样

随机抽样考纲要求1.理解随机抽样的必要性和重要性；2.会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法．会用随机抽样的基本方法解决一些简单的实际问题．知识梳理1．简单随机抽样(1)定义：设一个总体含有N 个个体，从中逐个不放回地抽取n 个个体作为样本(n ≤N )，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样． (2)最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数法． 2．系统抽样(1)定义：当总体中的个体数目较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按照事先定出的规则，从每一部分抽取一个个体得到所需要的样本，这种抽样方法叫做系统抽样． (2)系统抽样的操作步骤假设要从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本． ①先将总体的N 个个体编号；②确定分段间隔k ，对编号进行分段，当N n (n 是样本容量)是整数时，取k ＝Nn (否则，先剔除一些个体)；③在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l (l ≤k )；④按照一定的规则抽取样本，通常是将l 加上间隔k 得到第2个个体编号(l ＋k )，再加k 得到第3个个体编号(l ＋2k )，……，依次进行下去，直到获取整个样本． 3．分层抽样(1)定义：在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样． (2)应用范围：当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样．1．不论哪种抽样方法，总体中的每一个个体入样的概率都是相同的．2．系统抽样一般也称为等距抽样，入样个体的编号相差分段间隔k的整数倍．3．分层抽样是按比例抽样，每一层入样的个体数为该层的个体数乘抽样比．诊断自测1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)简单随机抽样每个个体被抽到的机会不一样，与先后有关．()(2)系统抽样在起始部分抽样时采用简单随机抽样．()(3)分层抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关．()(4)要从1 002个学生中用系统抽样的方法选取一个容量为20的样本，需要剔除2个学生，这样对被剔除者不公平．()答案(1)×(2)√(3)×(4)×2．在“世界读书日”前夕，为了了解某地5 000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析．在这个问题中，5 000名居民的阅读时间的全体是() A．总体B．个体C．样本的容量D．从总体中抽取的一个样本答案 A解析由题目条件知，5 000名居民的阅读时间的全体是总体；其中每1名居民的阅读时间是个体；从5 000名居民某天的阅读时间中抽取的200名居民的阅读时间是从总体中抽取的一个样本，样本容量是200.3．一个公司共有N名员工，下设一些部门，要采用等比例分层抽样的方法从全体员工中抽取样本容量为n的样本，已知某部门有m名员工，那么从该部门抽取的员工人数是________．答案nm N解析每个个体被抽到的概率是n N ，设这个部门抽取了x 个员工，则x m ＝n N ，∴x ＝nmN.4．(2020·上饶一模)总体由编号为00,01,02，…，48,49的50个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出的第3个个体的编号为( ) 附：第6行至第9行的随机数表如下： 2635 7900 3370 9160 1620 3882 7757 4950 3211 4919 7306 4916 7677 8733 9974 6732 2748 6198 7164 4148 7086 2888 8519 1620 7477 0111 1630 2404 2979 7991 9683 5125 A ．3 B ．16 C ．38 D ．20答案 D解析按随机数表法，从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始从左到右依次选取两个数字，超出00～49及重复的不选，则编号依次为33,16,20,38,49,32，…，则选出的第3个个体的编号为20，故选D.5．(2021·郑州调研)某校有高中生1 500人，现采用系统抽样法抽取50人作问卷调查，将高一、高二、高三学生(高一、高二、高三分别有学生495人、490人、515人)按1,2,3，…， 1 500编号，若第一组用简单随机抽样的方法抽取的号码为23，则所抽样本中高二学生的人数为( ) A ．15 B ．16 C ．17 D ．18答案 C解析采用系统抽样法从1 500人中抽取50人，所以将1 500人平均分成50组，每组30人，并且在第一组抽取的号码为23，所以第n 组抽取的号码为a n ＝23＋(n －1)×30＝30n －7，而高二学生的编号为496到985，所以496≤30n －7≤985，又n ∈N *，所以17≤n ≤33，则共有17人，故选C.6．(2018·全国Ⅲ卷)某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是________．答案分层抽样解析因为不同年龄段的客户对公司的服务评价有较大差异，所以需按年龄进行分层抽样，才能了解到不同年龄段的客户对公司服务的客观评价.考点一简单随机抽样及其应用1．下面的抽样方法是简单随机抽样的是( )A ．在某年明信片销售活动中，规定每100万张为一个开奖组，通过随机抽取的方式确定号码的后四位为2709的为三等奖B ．某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔30分钟抽一包产品，称其重量是否合格C ．某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了解对学校机构改革的意见D ．用抽签方法从10件产品中选取3件进行质量检验答案 D解析 A ，B 不是简单随机抽样，因为抽取的个体间的间隔是固定的；C 不是简单随机抽样，因为总体中的个体有明显的层次；D 是简单随机抽样．故选D.2．用简单随机抽样的方法从含有10个个体的总体中，抽取一个容量为3的样本，其中某一个体a “第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性分别是( ) A.110，110 B ．310，15C.15，310 D ．310，310答案 A解析在抽样过程中，个体a 每一次被抽中的概率是相等的，因为总体容量为10，故个体a “第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性均为110，故选A.3．(2021·南昌一模)总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为()7816657208026314070243699728019832049234493582003623486969387481A.08 B．07 C．02 D．01答案 D解析从第1行第5列和第6列组成的数65开始由左到右依次选出的数为08,02,14,07,01，所以第5个个体编号为01.感悟升华 1.简单随机抽样需满足：(1)被抽取的样本总体的个体数有限；(2)逐个抽取；(3)是不放回抽取；(4)是等可能抽取．2．简单随机抽样常有抽签法(适用于总体中个体数较少的情况)、随机数法(适用于个体数较多的情况)．考点二系统抽样及其应用【例1】(1)(2021·太原调研)某校三个年级共有24个班，学校为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到24，现用系统抽样法，抽取4个班进行调查，若抽到的最小编号为3，则抽取的最大编号为()A．15 B．18 C．21 D．22(2)(2019·全国Ⅰ卷)某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1,2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验．若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是()A．8号学生B．200号学生C．616号学生D．815号学生(3)中央电视台为了解观众对某综艺节目的意见，准备从502名现场观众中抽取10%进行座谈，现用系统抽样的方法完成这一抽样，则在进行分组时，需剔除________个个体，抽样间隔为________．答案 (1)C (2)C (3)2 10解析 (1)由已知得间隔数为k ＝244＝6，则抽取的最大编号为3＋(4－1)×6＝21.(2)根据题意，系统抽样是等距抽样，所以抽样间隔为1 000100＝10.因为46除以10余6，所以抽到的号码都是除以10余6的数，结合选项知应为616.故选C. (3)把502名观众平均分成50组，由于502除以50的商是10，余数是2，所以每组有10名观众，还剩2名观众，采用系统抽样的方法抽样时，应先用简单随机抽样的方法从502名观众中抽取2名观众，这2名观众不参加座谈；再将剩下的500名观众编号为1,2,3，…，500，并均匀分成50段，每段含50050＝10个个体．所以需剔除2个个体，抽样间隔为10.感悟升华 1.如果总体容量N 能被样本容量n 整除，则抽样间隔为k ＝Nn ，否则，可随机地从总体中剔除余数，然后按系统抽样的方法抽样，特别注意，每个个体被抽到的机会均是nN .2．系统抽样中依次抽取的样本对应的号码就是一个等差数列，首项就是第1组所抽取样本的号码，公差为间隔数，根据等差数列的通项公式就可以确定每一组内所要抽取的样本号码．【训练1】 (1)(2021·衡水调研)衡水中学高三(2)班现有64名学生，随机编号为0,1,2，…，63，依编号顺序平均分成8组，组号依次为1,2,3，…，8.现用系统抽样方法抽取一个容量为8的样本，若在第一组中随机抽取的号码为5，则在第6组中抽取的号码为________． (2)在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示：若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是________．答案 (1)45 (2)4解析 (1)分组间隔为648＝8，∵在第一组中随机抽取的号码为5，∴在第6组中抽取的号码为5＋5×8＝45.(2)依题意，可将编号为1～35号的35个数据分成7组，每组有5个数据，从每组中抽取一人．成绩在区间[139,151]上共有20个数据，分在4个小组内，每组抽取1人，共抽取4人．考点三分层抽样及其应用角度1 求某层入样的个体数【例2】某电视台在网上就观众对其某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的一共有 20 000人，其中各种态度对应的人数如下表所示：最喜爱喜爱一般不喜欢 4 8007 2006 4001 600为此要进行分层抽样，那么在分层抽样时，每类人中应抽取的人数分别为( ) A ．25,25,25,25 B ．48,72,64,16 C ．20,40,30,10 D ．24,36,32,8答案 D解析法一因为抽样比为10020 000＝1200，所以每类人中应抽取的人数分别为4 800×1200＝24,7 200×1200＝36，6 400×1200＝32,1 600×1200＝8.法二最喜爱、喜爱、一般、不喜欢的比例为4 800∶7 200∶6 400∶1 600＝6∶9∶8∶2，所以每类人中应抽取的人数分别为66＋9＋8＋2×100＝24，96＋9＋8＋2×100＝36，86＋9＋8＋2×100＝32，26＋9＋8＋2×100＝8.角度2 求总体或样本容量【例3】 (1)(2021·东北三省四校联考)某中学有高中生960人，初中生480人，为了了解学生的身体状况，采用分层抽样的方法，从该校学生中抽取容量为n 的样本，其中高中生有24人，那么n 等于( ) A ．12B ．18C ．24D ．36(2)(2020·西安调研)甲、乙两套设备生产的同类型产品共4 800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测．若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为________件．答案 (1)D (2)1 800解析 (1)根据分层抽样方法知n 960＋480＝24960，解得n ＝36.(2)由题设，抽样比为804 800＝160.设甲设备生产的产品为x 件，则x60＝50，∴x ＝3 000.故乙设备生产的产品总数为4 800－3 000＝1 800.感悟升华 1.求某层应抽个体数量：按该层所占总体的比例计算．2．已知某层个体数量，求总体容量或反之求解：根据分层抽样就是按比例抽样，列比例式进行计算．3．分层抽样的计算应根据抽样比构造方程求解，其中“抽样比＝样本容量总体容量＝各层样本数量各层个体数量”．【训练2】 (1)(2020·郴州二模)已知我市某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图1和图2所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层抽样的方法抽取30%的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为( )A ．240,18B ．200,20C ．240,20D ．200,18(2)(2021·合肥模拟)某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种，10种，30种，20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测，若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是________．答案 (1)A (2)6解析 (1)样本容量n ＝(250＋150＋400)×30%＝240，抽取的户主对四居室满意的人数为150×30%×40%＝18.(2)抽样比为2040＋10＋30＋20＝15，则抽取的植物油类种数是10×15＝2，抽取的果蔬类食品种数是20×15＝4，所以抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是2＋4＝6.A 级基础巩固一、选择题1．(2020·兰州二模)某学校为响应“平安出行”号召，拟从2 019名学生中选取50名学生加入“交通志愿者”，若采用以下方法选取：先用简单随机抽样方法剔除19名学生，剩下的2 000名再按照系统抽样的方法抽取，则每名学生入选的概率( ) A ．不全相等 B ．均不相等C ．都相等，且为140D ．都相等，且为502 019答案 D解析先用简单随机抽样方法剔除19名学生，剩下的2 000名再按照系统抽样的方法抽取，则每名学生入选的概率相等，且为p ＝502 019，故选D. 2．(2021·永州模拟)现从已编号(1～50)的50位同学中随机抽取5位以了解他们的数学学习状况，用选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的5位同学的编号可能是( ) A ．5,10,15,20,25 B ．3,13,23,33,43 C ．1,2,3,4,5 D ．2,10,18,26,34答案 B解析抽样间隔为505＝10，只有选项B 符合题意．3．(2020·长春一模)完成下列两项调查：①从某社区125户高收入家庭、280户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户，调查社会购买能力的某项指标；②从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况．宜采用的抽样方法依次是( ) A ．①简单随机抽样，②系统抽样 B ．①分层抽样，②简单随机抽样 C ．①系统抽样，②分层抽样 D ．①②都用分层抽样答案 B4．在一个容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p 1，p 2，p 3，则( ) A ．p 1＝p 2＜p 3 B ．p 2＝p 3＜p 1 C ．p 1＝p 3＜p 2 D ．p 1＝p 2＝p 3 答案 D解析由随机抽样的知识知，三种抽样中，每个个体被抽到的概率都相等，故选D. 5. (2021·襄阳联考)如图是调查某学校高三年级男女学生是否喜欢数学的等高条形图，阴影部分的高表示喜欢数学的频率．已知该年级男、女生各500名(所有学生都参加了调查)，现从所有喜欢数学的学生中按分层抽样的方式抽取32人，则抽取的男生人数为( )A ．16B ．32C ．24D ．8答案 C解析由题中等高条形图可知喜欢数学的女生和男生的人数比为1∶3，，所以抽取的男生人数为24.故选C.6．某中学400名教师的年龄分布情况如图，现要从中抽取40名教师作样本，若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取( )A ．40人B ．200人C ．20人D ．10人答案 C解析由图知，40岁以下年龄段的人数为400×50%＝200，若采用分层抽样应抽取200×40400＝20(人)．7．为了解1 000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为( ) A ．50 B ．40 C ．25 D ．20答案 C解析由系统抽样的定义知，分段间隔为1 00040＝25.8．某工厂在12月份共生产了3 600双皮靴，在出厂前要检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从一、二、三车间抽取的产品数分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 构成等差数列，则第二车间生产的产品数为( )A ．800双B ．1 000双C ．1 200双D ．1 500双答案 C解析因为a ，b ，c 成等差数列，所以2b ＝a ＋c ，即第二车间抽取的产品数占抽样产品总数的13，根据分层抽样的性质可知，第二车间生产的产品数占12月份生产总数的13，即为1 200双皮靴．二、填空题9．某单位在岗职工共620人，为了调查工人用于上班途中的时间，决定抽取62名工人进行调查，若采用系统抽样方法将全体工人编号等距分成62段，再用简单随机抽样法得到第1段的起始编号为4，则第40段应抽取的个体编号为________．答案 394解析将620人的编号分成62段，每段10个编号，按系统抽样，所抽取工人编号成等差数列，因此第40段的编号为4＋(40－1)×10＝394.10．假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的三聚氰胺是否超标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，将800袋牛奶按000,001，…，799进行编号，若从随机数表第7行第8列的数开始向右读，则得到的第4个样本个体的编号是________(下面摘取了随机数表第7行至第9行).答案 068解析由随机数表知，前4个样本的个体编号分别是331,572,455,068.11．某企业三月中旬生产A ，B ，C 三种产品共3 000件，根据分层抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格：由于不小心，表格中A A 产品的样本容量比C 产品的样本容量多10，根据以上信息，可得C 的产品数量是________件．答案 800解析设样本容量为x ，则x3 000×1 300＝130，∴x ＝300.∴A 产品和C 产品在样本中共有300－130＝170(件)．设C 产品的样本容量为y ，则y ＋y ＋10＝170，∴y ＝80. ∴C 产品的数量为3 000300×80＝800(件)．12．某校高三年级共有30个班，学校心理咨询室为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到30，现用系统抽样的方法抽取5个班进行调查，若抽到的编号之和为75，则抽到的最小的编号为________．答案 3解析系统抽样的抽取间隔为305＝6.设抽到的最小编号为x ，则x ＋(6＋x )＋(12＋x )＋(18＋x )＋(24＋x )＝75，所以x ＝3.B 级能力提升13．我国古代数学算经十书之一的《九章算术》有一衰分问题：今有北乡八千一百人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，则北乡遣( ) A ．104人 B ．108人C ．112人D ．120人答案 B解析由题意知，抽样比为 3008 100＋7 488＋6 912＝175，所以北乡遣175×8 100＝108(人)．14．下列抽取样本的方式属于简单随机抽样的个数为( ) ①从无限多个个体中抽取100个个体作为样本．②盒子里共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验．在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里． ③从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验．④某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案 A解析 ①不是简单随机抽样，因为被抽取样本的总体的个数是无限的，而不是有限的；②不是简单随机抽样．因为它是有放回抽样；③不是简单随机抽样．因为这是“一次性”抽取，而不是“逐个”抽取；④不是简单随机抽样．因为不是等可能抽样．故选A.15．某公路设计院有工程师6人，技术员12人，技工18人，要从这些人中抽取n 个人参加市里召开的科学技术大会．如果采用系统抽样和分层抽样的方法抽取，不用剔除个体，如果参会人数减少1人，在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除2个个体，则n ＝________. 答案 18解析总体容量为6＋12＋18＝36，当样本容量为n 时，由题意知，系统抽样的间隔为36n ，分层抽样的比例是n36，抽取的工程师人数为n 36×6＝n 6，技术员人数为n 36×12＝n 3，技工人数为n 36×18＝n2，所以n 应是6的倍数，36的约数，即n ＝6,12,18.当样本容量为(n －1)时，总体容量剔除以后是34人，系统抽样的间隔为34n －1，因为34n －1必须是整数，所以n 只能取18，即样本容量n ＝18.16．一个总体中有90个个体，随机编号0,1,2，…，89，依从小到大的编号顺序平均分成9个小组，组号依次为1,2,3，…，9.现用系统抽样方法抽取一个容量为9的样本，规定：如果在第1组随机抽取的号码为m，那么在第k组(k≥2)中抽取的号码个位数字与m＋k的个位数字相同，若m＝8，则k的值为________，在第8组中抽取的号码是________．答案876解析由题意知m＝8，k＝8，则m＋k＝16，也就是第8组抽取的号码个位数字为6，十位数字为8－1＝7，故抽取的号码为76.。

高中数学统计抽样方法精选题目(附答案)

高中数学统计抽样方法精选题目（附答案）一、抽样方法1．简单随机抽样(1)特征：①一个一个不放回的抽取；②每个个体被抽到可能性相等．(2)常用方法：①抽签法；②随机数表法．2．系统抽样(1)适用环境：当总体中个数较多时，可用系统抽样．(2)操作步骤：将总体平均分成几个部分，再按照一定方法从每个部分抽取一个个体作为样本．3．分层抽样(1)适用范围：当总体由差异明显的几个部分组成时可用分层抽样．(2)操作步骤：将总体中的个体按不同特点分成层次比较分明的几部分，然后按各部分在总体中所占的比实施抽样．1.(1)采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查．为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A，编号落入区间[451,750]的人做问卷B，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷B的人数为()A．7B．9C．10 D．15(2)某地区有小学150所，中学75所，大学25所．现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调查，应从小学中抽取________所学校，中学中抽取________所学校．[解析](1)从960人中用系统抽样方法抽取32人，则每30人抽取一人，因为第一组抽到的号码为9，则第二组抽到的号码为39，第n组抽到的号码为a n＝9＋30(n－1)＝30n－21，由451≤30n－21≤750，得23615≤n≤25710，所以n＝16,17，…，25，共有25－16＋1＝10人．(2)小学中抽取30×150150＋75＋25＝18所学校；从中学中抽取30×75150＋75＋25＝9所学校．[答案](1)C(2)189注：1．系统抽样的特点(1)适用于元素个数很多且均衡的总体． (2)各个个体被抽到的机会均等．(3)总体分组后，在起始部分抽样时采用的是简单随机抽样． (4)如果总体容量N 能被样本容量n 整除，则抽样间隔为k ＝Nn . 2．与分层抽样有关问题的常见类型及解题策略(1)确定抽样比．可依据各层总数与样本数之比，确定抽样比．(2)求某一层的样本数或总体个数．可依据题意求出抽样比，再由某层总体个数(或样本数)确定该层的样本(或总体)数．(3)求各层的样本数．可依据题意，求出各层的抽样比，再求出各层样本数． 2．某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是( )A ．抽签法B ．系统抽样法C ．分层抽样法D ．随机数法解析：选C 根据年级不同产生差异及按人数比例抽取易知应为分层抽样法． 3．某学校高一、高二、高三3个年级共有430名学生，其中高一年级学生160名，高二年级学生180名，为了解学生身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中高二学生有32人，则该样本中高三学生人数为________．解析：高三年级学生人数为430－160－180＝90，设高三年级抽取x 人，由分层抽样可得32180＝x90，解得x ＝16. 答案：164．某单位有职工960人，其中青年职工420人，中年职工300人，老年职工240人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为14人，则样本容量为________．解析：因为分层抽样的抽样比应相等，所以420960＝14样本容量，样本容量＝960×14420＝32.答案：32二、用样本的频率分布估计总体的频率分布1．频率分布直方图2．茎叶图5.(1)如图是根据部分城市某年6月份的平均气温(单位：℃)数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是[20.5,26.5]．样本数据的分组为[20.5，21.5)，[21.5,22.5)，[22.5，23.5)，[23.5,24.5)，[24.5,25.5)，[25.5,26.5]．已知样本中平均气温低于22.5 ℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5 ℃的城市个数为________．(2)某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．①求图中a的值；②根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；③若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如下表所示，求数学成绩在[50,90)之外的人数．分数段[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)x∶y 1∶12∶13∶44∶5 [为50×0.18＝9.答案：9(2)解：①由频率分布直方图可知(0.04＋0.03＋0.02＋2a)×10＝1.所以a＝0.005.②该100名学生的语文成绩的平均分约为x＝0.05×55＋0.4×65＋0.3×75＋0.2×85＋0.05×95＝73.③由频率分布直方图及已知的语文成绩、数学成绩分布在各分数段的人数比，可得下表：分数段[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)x 5403020x∶y 1∶12∶13∶44∶5y 5204025100－(5＋20＋40＋25)＝10.注：与频率分布直方图有关问题的常见类型及解题策略(1)已知频率分布直方图中的部分数据，求其他数据，可根据频率分布直方图中的数据求出样本与整体的关系，利用频率和等于1就可求出其他数据．(2)已知频率分布直方图，求某种范围内的数据，可利用图形及某范围结合求解．6.如图是某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎叶图，则数据落在区间[22,30)内的频率为()A．0.2 B．0.4C．0.5 D．0.6解析：选B由茎叶图可知数据落在区间[22,30)内的频数为4，所以数据落在区间[22,30)内的频率为410＝0.4，故选B.7．为了了解某学校学生的身体发育情况，抽查了该校100名高中男生的体重情况，根据所得数据画出样本的频率分布直方图如图所示．根据此图，估计该校2 000名高中男生中体重大于70.5公斤的人数为()A ．300B ．360C ．420D ．450解析：选B 样本中体重大于70.5公斤的频率为： (0.04＋0.034＋0.016)×2＝0.090×2＝0.18.故可估计该校2 000名高中男生中体重大于70.5公斤的人数为：2 000×0.18＝360(人)． 8．某商场在庆元宵节促销活动中，对元宵节9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知9时至10时的销售额为2.5万元，则11时至12时的销售额为________万元．解析：总销售额为2.50.1＝25(万元)，故11时至12时的销售额为0.4×25＝10(万元)．答案：10三、用样本的数字特征估计总体的数字特征有关数据的数字特征9.(1)对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图(如图所示)，则该样本的中位数、众数、极差分别是( )A ．46,45,56B ．46,45,53C ．47,45,56D ．45,47,53(2)甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则( )A ．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B ．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C ．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D ．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差(3)由正整数组成的一组数据x 1，x 2，x 3，x 4，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为________．(从小到大排列)[解析] (1)从茎叶图中可以看出样本数据的中位数为中间两个数的平均数，即45＋472＝46，众数为45，极差为68－12＝56，故选择A.(2)由题意可知，甲的成绩为4,5,6,7,8，乙的成绩为5,5,5,6,9.所以甲、乙的成绩的平均数均为6，A 错；甲、乙的成绩的中位数分别为6,5，B 错；甲、乙的成绩的方差分别为15×[(4－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(7－6)2＋(8－6)2]＝2，15×[(5－6)2＋(5－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(9－6)2]＝125，C 对；甲、乙的成绩的极差均为4，D 错．故选C.(3)假设这组数据按从小到大的顺序排列为x 1，x 2，x 3，x 4，则⎩⎨⎧x 1＋x 2＋x 3＋x44＝2，x 2＋x32＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 4＝4，x 2＋x 3＝4，又s ＝ 14[(x 1－2)2＋(x 2－2)2＋(x 3－2)2＋(x 4－2)2] ＝12(x 1－2)2＋(x 2－2)2＋(x 3－2)2＋(x 4－2)2＝122[(x 1－2)2＋(x 2－2)2]＝1， ∴(x 1－2)2＋(x 2－2)2＝2. 同理可求得(x 3－2)2＋(x 4－2)2＝2.由x 1，x 2，x 3，x 4均为正整数，且(x 1，x 2)，(x 3，x 4)均为圆(x －2)2＋(y －2)2＝2上的点，分析知x 1，x 2，x 3，x 4应为1,1,3,3.[答案] (1)A (2)C (3)1,1,3,3 注：平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简明的描述，它们所反映的情况有着重要的实际意义，平均数、中位数、众数描述其集中趋势，方差和标准差描述其波动大小．10．为比较甲、乙两地某月14时的气温情况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据(单位：℃)制成如图所示的茎叶图．考虑以下结论：①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温； ②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温； ③甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差； ④甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差．其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为( ) A ．①③ B ．①④ C ．②③D ．②④解析：选B 法一：∵x 甲＝26＋28＋29＋31＋315＝29，x 乙＝28＋29＋30＋31＋325＝30，∴x 甲<x 乙，又s 2甲＝9＋1＋0＋4＋45＝185，s 2乙＝4＋1＋0＋1＋45＝2，∴s 甲>s 乙．故可判断结论①④正确．法二：甲地该月14时的气温数据分布在26和31之间，且数据波动较大，而乙地该月14时的气温数据分布在28和32之间，且数据波动较小，可以判断结论①④正确，故选B.11．甲和乙两个城市去年上半年每月的平均气温(单位：℃)用茎叶图记录如图所示，根据茎叶图可知，两城市中平均温度较高的城市是__________，气温波动较大的城市是__________.解析：根据题中所给的茎叶图可知，甲城市上半年的平均温度为9＋13＋17×2＋18＋226＝16，乙城市上半年的平均温度为12＋14＋17＋20＋24＋276＝19，故两城市中平均温度较高的是乙城市，观察茎叶图可知，甲城市的温度更加集中在峰值附近，故乙城市的温度波动较大．答案：乙乙12．甲、乙两台机床同时加工直径为100 mm 的零件，为了检验产品的质量，从产品中各随机抽取6件进行测量，测得数据如下(单位：mm)：甲：99,100,98,100,100,103；乙：99,100,102,99,100,100.(1)分别计算上述两组数据的平均数和方差；(2)根据(1)的计算结果，说明哪一台机床加工的这种零件更符合要求．解：(1)x 甲＝99＋100＋98＋100＋100＋1036＝100(mm)，x 乙＝99＋100＋102＋99＋100＋1006＝100(mm)，s 2甲＝16[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝73(mm 2)， s 2乙＝16[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1(mm 2)．(2)因为s 2甲＞s 2乙，说明甲机床加工零件波动比较大，因此乙机床加工零件更符合要求.四、线性回归1．两个变量的线性相关(1)散点图：将样本中n 个数据点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )描在平面直角坐标系中得到的图形．(2)正相关与负相关：①正相关：散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域． ②负相关：散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域． 2．回归直线的方程(1)回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．(2)线性回归方程：方程y ^＝b ^x ＋a ^是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )的线性回归方程，其中a ，b 是待定参数．⎩⎪⎨⎪⎧b ^＝∑i ＝1n(x i－x )(y i－y )∑i ＝1n(x i－x )2＝∑i ＝1nx i y i－n x y ∑i ＝1nx 2i－n x 2，a ^＝y －b x .13.某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：(1)求回归直线方程y ＝b x ＋a ，其中b ＝－20，a ＝y －b x ；(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)[解] (1)由于x ＝16(8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋9)＝8.5，y ＝16(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80.所以a ^＝y －b ^x ＝80＋20×8.5＝250，从而回归直线方程为y ^＝－20x ＋250. (2)设工厂获得的利润为L 元，依题意得 L ＝x (－20x ＋250)－4(－20x ＋250) ＝－20x 2＋330x －1 000 ＝－20(x －8.25)2＋361.25.当且仅当x ＝8.25时，L 取得最大值．故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润．注：(1)线性回归分析就是研究两组变量间线性相关关系的一种方法，通过对统计数据的分析，可以预测可能的结果，这就是线性回归方程的基本应用，因此利用最小二乘法求线性回归方程是关键，必须熟练掌握线性回归方程中两个重要估计量的计算．(2)回归直线方程恒过点(x ，y )．14.某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10日的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．(1)求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；(2)若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^；(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？解：(1)将6组数据按月份顺序编号为1,2,3,4,5,6，从中任取两组数据，基本事件构成的集合为Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)}共15个基本事件，设抽到相邻两个月的事件为A ，则A ＝{(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，(5,6)}共5个基本事件，∴P (A )＝515＝13.(2)由表中数据求得x ＝11，y ＝24，∑i ＝14x i y i ＝1 092，∑i ＝14x 2i ＝498.代入公式可得b ^＝187.再由a ^＝y －b ^x ，求得a ^＝－307，所以y 关于x 的线性回归方程为 y ^＝187x －307.(3)当x ＝10时，y ^＝1507，⎪⎪⎪⎪1507－22＝47＜2；同样，当x ＝6时，y ^＝787，⎪⎪⎪⎪787－12＝67＜2. 所以该小组所得线性回归方程是理想的．。

福建省福州市2024届高三上学期第一次质量检测数学试题及参考答案

2023~2024学年福州市高三年级第一次质量检测数学试题（完卷时间120分钟；满分150分）第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足11i z=−，则在复平面内，z 对应的点在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知集合{}21A x x=<，{}0B x x =>，则A B = （）A ．（0，1）B ．()0,+∞C ．()1,−+∞D ．(),−∞+∞3．已知点()0,2P x 在抛物线C ：24y x =上，则P 到C 的准线的距离为（） A ．4B ．3C ．2D ．14．“二十四节气”是中国古代劳动人民伟大的智慧结晶，其划分如图所示．小明打算在网上搜集一些与二十四节气有关的古诗．他准备在春季的6个节气与夏季的6个节气中共选出3个节气，若春季的节气和夏季的节气各至少选出1个，则小明选取节气的不同情况的种数是（）A ．90B ．180C ．270D ．3605．一个正四棱台形油槽可以装煤油3190000cm ，其上、下底面边长分别为60cm 和40cm ，则该油槽的深度为（） A ．75cm 4B ．25cmC ．50cmD ．75cm6．一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红球，2个黄球，每次从中随机摸出1个球，摸出的球不再放回，则第二次摸到黄球的条件下，第一次摸到红球的概率为（） A ．13B ．12C ．23D ．347．已知1ea =，ln b =，ln c =，则（） A ．a b c >> B ．b c a >> C ．a c b >>D ．c a b >>8．若定义在R 上的函数()()sin cos 0f x x x ωωω=+>的图象在区间[]0,π上恰有5条对称轴，则ω的取值范围为（） A ．1721,44B ．1725,44C ．1725,44D ．3341,44二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．某市抽查一周空气质量指数变化情况，得到一组数据：80，76，73，82，86，75，81．以下关于这组数据判断正确的有（） A ．极差为13B ．中位数为82C ．平均数为79D ．方差为12410．已知圆M ：221x y +=，直线l ：(1y k x =−，则（）A ．l 恒过定点)1−B ．若l 平分圆周M ，则k =C ．当k =l 与圆M 相切D ．当k <<时，l 与圆M 相交11．已知函数()332f x x ax =−+有两个极值点．则（） A ．()f x 的图象关于点()0,2对称 B ．()f x 的极值之和为-4C ．a ∃∈R ，使得()f x 有三个零点D ．当01a <<时，()f x 只有一个零点12．已知正四棱柱1111ABCD A B C D −的底面边长为2，球O 与正四棱柱的上、下底面及侧棱都相切，P 为平面1CDD 上一点，且直线BP 与球O 相切，则（） A ．球O 的表面积为4π B ．直线1BD 与BP 夹角等于45°C ．该正四棱柱的侧面积为D ．侧面11ABB A 与球面的交线长为2π第Ⅱ卷注意事项：用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．三、填空题；本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量()1,2a = ，()1,2b λλ=+−，若a b ⊥ ，则实数λ的值为__________．14．将圆周16等分，设每份圆弧所对的圆心角为θ，则sin cos θθ的值为__________．15．已知定义城为R 的函数()f x 同时具有下列三个性质，则()f x =__________．（写出一个满足条件的函数即可） ①()()()f x y f x f y +=+；②()f x ′是偶函数；③当0x y +>时，()()0f x f y +<．16．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b−=>>的左焦点为F ，两条渐近线分别为1l ，2l ．点A 在1l 上，点B在2l 上，且点A 位于第一象限，原点O 与B 关于直线AF 对称、若2AF b =，则C 的离心率为__________．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12n n a S +=+．（1）求{}n a 的通项公式；（2）若221log n n b a −=，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 18．（本小题满分12分）记ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b =，6B π=．（1）若2c =，求a ；（2）求ABC △面积的最大值． 19．（本小题满分12分）国际上常采用身体质量指数（Body Mass Index ，缩写BMI ）来衡量人体肥瘦程度，其计算公式是()()22kg BMI m=体重单位:身高单位:．为了解某公司员工的身体肥瘦情况，研究人员从该公司员工体检数据中，采用比例分配的分层随机抽样方法抽取了50名男员工、30名女员工的身高和体重数据．计算得到他们的BMI（1）若该公司男员工有1500名，则该公司共有多少名员工？（2）以频率估计概率，分别从该公司男、女员工中各随机抽取2名员工，求抽到的员工中至少有一名是肥胖的概率．20．（本小题满分12分）如图，在底面为菱形的四棱锥M ABCD −中，2AD BD MB ===，MA MD ==（1）求证：平面MAD ⊥平面ABCD ；（2）已知2MN NB =，求直线BN 与平面ACN 所成角的正弦值．21．（本小题满分12分）已知椭圆E ：22143x y +=的右焦点为F ，左、右顶点分别为A ，B ．点C 在E 上，()4,P P y ，()4,Q Q y 分别为直线AC ，BC 上的点．（1）求P Q y y ⋅的值；（2）设直线BP 与E 的另一个交点为D ，求证：直线CD 经过F ．22．（本小题满分12分）已知函数()ln f x x a =−，记曲线()y f x =在点()()11,x f x 处的切线为l ，l 在x 轴上的截距为()220x x >．（1）当1e x =，1a =时，求切线方程；（2）证明：12e e a a x x −≥−．答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【考查意图】本小题以复数为载体，主要考查复数的基本运算、几何意义等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力；考查数学运算、逻辑推理等数学核心素养，体现基础性．【答案】A ．【解析】由11i z =−得11i1i 2z+==−，应选A ． 2．【考查意图】本小题以不等式为载体，主要考查集合运算等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力；考查数学运算、逻辑推理等核心素养，体现基础性．【答案】C ．【解析】{}11A x x =−<<，{}0B x x =>，故()1,A B =−+∞ ，应选C ． 3．【考查意图】本小题以抛物线为载体，主要考查抛物线的图象和性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力；考查数形结合思想、化归与转化思想；考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性．【答案】C ．【解析】抛物线24y x =的准线为1x =−，由P C ∈得01x =，故P 到准线的距离为2，应选C ．4．【考查意图】本小题以二十四节气为载体，主要考查排列与组合等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力和应用意识；考查数学运算、逻辑推理等核心素养，体现基础性和应用性．【答案】B ．【解析】根据题意可知，小明可以选取1春2夏或2春1夏．其中1春2夏的不同情况有：1266C C 90⋅=种；2春1夏的不同情况有：2166C C 90⋅=种，所以小明选取节气的不同情况有：9090180+=种．应选B ．5．【考查意图】本小题以正四棱台形油槽为载体，主要考查空间几何体的体积等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力；考查数形结合思想、化归与转化思想；考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性和应用性．【答案】D ．【解析】设正四棱台的高，即深度为cm h ，依题意，得()22190000604060403h=++×，解得75h =，应选D ．6．【考查意图】本小题主要考查条件概率、全概率公式等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力与创新意识；考查化归与转化思想；考查数学建模、逻辑推理、数据分析等核心素养，体现综合性、应用性与创新性．【答案】C ．【解析】解法一：记第i 次摸到红球为事件i A ，摸到黄球为事件()1,2i B i =，则()()()()()21211211211123232P B P A P B A P B P B B =+=×+×=，()()()12121221433P A B P A P B A ==×=，故()()()1212223P A B P A B P B ==．应选C ．解法二：记第i 次摸到红球为事件i A ，摸到黄球为事件()1,2i B i =．由抽签的公平性可知()22142P B ==，又()12221433P A B ×==×，所以()()()1212223P A B P A B P B ==．应选C ． 7．【考查意图】本小题以数的大小比较为载体，主要考查函数与导数等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力、应用意识；考查数学建模、数学运算、逻辑推理等核心素养，体现基础性、应用性和综合性．【答案】A ．【解答】解法一：1ln e e e a ==，ln 2ln 4ln 24b ==，ln 55c ，令()ln x f x x =，()21ln xf x x−′=，当e x ≥时，()0f x ′≤，故()f x 在区间[)e,+∞上单调递减，所以a b c >>．==>，所以ln ln >b c >．在同一坐标系中作出函数()2xf x =，()2g x x =的图象，如图所示，由图可知，()()e e f g <，即e22e <，所以e22e 2e 2e <，即11e22e <，所以111ln 2ln e 2e e<=，即b a <．（令()ln x f x x=，()21ln xf x x −′=，当0e x <<时，()0f x ′>，故()f x 在区间()0,e 上单调递增，所以1ln e ln 2e e 2a b ==>=．）综上，a b c >>．应选A ．8．【考查意图】本小题以三角函数为载体，考查三角函数的图象与性质、三角恒等变换等基础知识；考查抽象概括能力、推理论证能力、应用意识；考查数形结合思想；考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性和综合性．【答案】A ．【解析】由已知，()4f x x πω=+，令42x k ππωπ+=+，k ∈Z ，得()414k x πω+=，k ∈Z ，依题意知，有5个整数k 满足()4104k ππω+≤≤，即0414k ω≤+≤，所以0,1,2,3,4k =，则4414451ω×+≤<×+，故172144ω≤<，应选A ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．【考查意图】本小题主要考查极差、中位数、平均数、方差等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力；考查化归与转化思想；考查数据分析等核心素养，体现基础性．【答案】AC ．10．【考查意图】本小题以直线与圆为载体，考查直线的方程、圆的方程、直线与圆的位置关系等基础知识；考查运算求解能力；考查直观想象、逻辑推理等核心素养；体现基础性和综合性．【答案】BC ．【解析】依题意，l恒过定点()1−，选项A 错误；若l 平分圆周M ，则l 经过圆M 的圆心()0,0，代入直线方程得k =B 正确；圆心()0,0O 到l的距离dk =1d r ==，l 与圆M 相切，选项C 正确；若l 与圆M相交，则1d <，即)2211k −<+，即0k <<，故选项D 错误．综上，应选BC ．11．【考查意图】本小题以三次函数为载体，主要考查函数与导数等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力、应用意识；考查数学建模、数学运算、逻辑推理等核心素养，体现基础性、应用性和综合性．【答案】ACD ．【解答】()f x 的图象可由奇函数()33g x x ax =−的图象向上平移2个单位长度得到，故()f x 的图象关于点()0,2对称，选项A 正确．设()f x 的极值点分别为()1212,x x x x <，则由对称性可知120x x +=，故()()12224f x f x +=×=，即()f x 的极值之和为4，选项B 错误．依题意，方程()2330f x x a ′=−=有两异根，则0a >，1x =2x =，()f x在区间(−∞上单调递增，在区间(上单调递减，在区间)+∞单调递增．由图象可知，当()()120f x f x >>时，()f x 的图象与x 轴有3个交点，即()f x 有3个零点，选项C 正确．当01a <<时，(32210f=−+=−>，此时()f x 只有一个零点，选项D 正确．综上，应选ACD ．12．【考查意图】本小题以正四棱柱为载体，主要考查球、直线与平面的位置关系等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力；考查化归与转化思想；考查直观想象、逻辑推理等核心素养，体现基础性、应用性和综合性．【答案】BCD ．【解答】如图，设球O 与下底面相切于点1O ，则1OO ⊥平面ABCD ，连接1O A ，则1OAO ∠为直线OA 与平面ABCD 所成的角．因为球O与正四棱柱的侧棱相切，所以其半径11R OO O A===，所以428S ππ=⋅=表，四棱柱的侧面积为()24××，故选项A 错误，C 正确．依题意，1BB ，BP 均为球O 的切线，1BD 经过球心O ，所以111B BD PBD ∠=∠，又111B D BB =，所以11145PBD B BD ∠=∠=°，选项B 正确．对于选项D ，棱1AA 的中点F ，即球O 与棱1AA 的切点应为交线上的点，故交线应为过F 的圆．截面圆的圆心即为矩形11ABB A 的中心E ，在Rt OEF △中，OFR ==，112OEBC ==，所以截面圆半径1r EF ==，周长为2π，该选项正确．综上，应选BCD ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．【考查意图】本小题以平面向量为载体，主要考查平面向量的基本运算等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力；考查数学运算、逻辑推理、直观想象等核心素养，体现基础性．【答案】5．【解析】由a b ⊥得()()1220λλ++−=，解得5λ=． 14．【考查意图】本小题以圆的等分为载体，考查三角恒等变换等基础知识；考查推理论证能力，抽象概括能力；考查逻辑推理等核心素养；体现基础性与应用性．．【解析】依题意，得8πθ=，所以11sin cos sin 2sin 224πθθθ===． 15．【考查意图】本小题以函数的性质为载体，考查函数的奇偶性、函数与导数等基础知识；考查推理论证能力；考查逻辑推理等核心素养；体现基础性、综合性与应用性．【答案】x −（答案不唯一，()0kx k <均可）．16．【考查意图】本小题以双曲线为载体，主要考查双曲线的离心率、双曲线的图象和性质、直线与双曲线的位置关系等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力；考查数形结合思想、化归与转化思想；考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性和综合性．【答案】2．【解答】依题意，1l 的方程为by x a=，2AF l ⊥，设垂足为P ，则FP b =．因为22AFb FP ==，所以点F ，A 关于直线2l 对称，FOP AOP ∠=∠，又1l ，2l 关于y 轴对称，所以1l 的倾斜角为1180603×°=°，故tan 60ba=°=，所以离心率2e =．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【命题意图】本小题主要考查等差数列、等比数列、递推数列及数列求和等基础知识，考查运算求解能力、逻辑推理能力和创新能力等，考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、特殊与一般思想等，考查逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性和综合性．满分10分．【解答】（1）解法一：由12n n a S +=+得21322,2,a S aS =+ =+设等比数列{}n a 的公比为q ，所以()()12112,12,a q a q q −=−−= 解得12,2,a q == 或12,a q =− = （舍去）．所以2n n a =．（2）212212log log 221n n n b a n −−===−，故11b =，()()12121122n n b b n n n −−=−−−−=≥ ，所以{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列，所以()()1212122n n n b b n n T n ++−===．解法二：（1）因为12n n a S +=+，① 所以当2n ≥时，12n n a S −=+，② ①－②得12n n a a +=，所以等比数列{}n a 的公比12n na qa +==．由①式得212a a =+，得12a =，所以2n n a =．（2）12n n T b b b =++⋅⋅⋅+2123221log log log n a a a −++⋅⋅⋅+()21321log n a a a −⋅⋅⋅= ()13212log 2n ++⋅⋅⋅+−=()12122log 2n n+− =2n =．18．【命题意图】本小题主要考查正弦定理、余弦定理及三角恒等变换等基础知识，考查逻辑推理能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想等，考查数学运算、逻辑推理等核心素养，体现基础性和综合性．满分12分．【解答】解法一：（1）因为b =，2c =，6B π=，根据余弦定理得2222cos b a c ac B =+−，所以22224cos6a a π=+−，即220a −+=，解得1a =．（2）根据余弦定理，得2222cos a b c ac B =+−，所以(222222cos 226a c ac a c ac ac π=+−=+−≥−=，（当且仅当1a c ==时取等号），即(22ac ≤=+，所以ABC △面积(1111sin sin 2222644ABC S ac B ac ac π===≤×△，即ABC △．解法二：（1）因为b =，2c =且6B π=，根据正弦定理，得sin sin b c B C=，2sin C=，即sin C =，因为c b >，所以C B >，所以566C ππ<<，所以4C π=或34C π=，当4C π=时，()1sin sin sin 642A B C ππ =+=+= ，根据正弦定理，得sin sin a bA B=，所以sin 1sin b Aa B ==+；当34C π=时，()31sin sin sin 642A B C ππ =+=+=×= ，根据正弦定理，得sin sin a bA B=，所以sin 1sin b A a B ==；综上，1a =．（2）略，同解法一．解法三：（1）因为b =，2c =且6B π=，根据正弦定理，得sin sin b cB C=， 2sin C=，即sin C =，因为c b >，所以C B >，所以566C ππ<<，所以4C π=或34C π=，当4C π=时，()76412A B C πππππ =−+=−+= ，根据正弦定理，得sin sin a b A B=，所以sin sin cos cos sin sin 343434b A a B ππππππ ==+=+ ；sin cos cos sin 13434ππππ ++；当34C π=时，()36412A B C πππππ =−+=−+= ，根据正弦定理，得sin sin a b A B =，所以sin sin cos cos sin sin 343434b A a B ππππππ ==−=−sin cos cos sin 13434ππππ −− ；综上，1a =．（2）根据正弦定理，得sin sin sin ac b A C B ===，所以a A =，c C =，即(251sin sin 8sin sin 8sin cos 62aC A C A A A A A π ==−=+21cos 22sin 22sin 22sin 222A A A A A A −=−=+=++14sin 224sin 223A A A π +−+= 因为506A π<<，所以42333A πππ−<−<，所以当232A ππ−=，即512A π=时，sin 23A π −取得最大值为1，即ac最大值为4+，所以ABC △面积(1111sin sin 422644ABC S ac B ac ac π===≤×+△，即ABC △． 19．【命题意图】本小题主要考查分层抽样、独立事件的概率、互斥事件、对立事件的概率等基础知识；考查数学建模能力，运算求解能力，逻辑推理能力，创新能力以及阅读能力等；考查统计与概率思想、分类与整合思想等；考查数学抽象，数学建模和数学运算等核心素养；体现应用性和创新性．满分12分．【解】（1）设该公司共有x 名员工，依题意得1500505030x =+，解得2400x =，所以该公司共有2400名员工．（2）依题意，事件“抽到一名男员工不为肥胖”的概率为404505=，事件“抽到一名女员工不为肥胖”的概率为2793010=，由事件的独立性，得抽到的两个男员工都不存在肥胖的概率为44165525×=，抽到的两个女员工都不存在肥胖的概率为99811010100×=，设事件M 为“抽到的员工中至少有一名是肥胖”，则事件M 为“抽到的员工都不存在肥胖”，所以()811632410025625P M =×=，所以()3243011625625P M =−=，所以抽到的员工中至少有一名是肥胖的概率为301625． 20．【命题意图】本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，直线与平面所成角等基础知识；考查空间想象能力，逻辑推理能力，运算求解能力等；考查化归与转化思想，数形结合思想，函数与方程思想等；考查直观想象，逻辑推理，数学运算等核心素养；体现基础性和综合性．满分12分．【解答】（1）取AD 的中点为O ，连结OM ，OB ，因为四边形ABCD 是为菱形，且2AD BD ==，所以ABD △为正三角形，所以BO AD ⊥，且BO =．因为MAMD ==，所以MO AD ⊥，所以1MO =，又因为2MB =，所以222MO BO MB +=，所以MO BO ⊥，因为AD BO O ∩=，AD ⊂平面ABCD ，BO ⊂平面ABCD所以MO ⊥平面ABCD ，又因为MO ⊂平面MAD ，所以平面MAD ⊥平面ABCD ．（2）由（1）知，OA ，OB ，OM 两两垂直，故以O 为坐标原点，分别以OA ，OB ，OM 为x ，y ，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系O xyz −．则()1,0,0A，()B，()C −，()0,0,1M，13N ，所以()3,CA =，12,3CN =，()2,0,0CB = ，设平面ACN 的法向量为(),,n x y z = ，则0,0,n CA n CN ⋅= ⋅=即30,120,3x x y z = +=取1x =，则()3n − ．因为()0,BM = ，则cos ,BM n BM n BM n⋅=== ，所以直线BN 与平面ACN21．【命题意图】本小题主要考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与圆、椭圆的位置关系，平面向量等基础知识；考查运算求解能力，逻辑推理能力，直观想象能力和创新能力等；考查数形结合思想，函数与方程思想，化归与转化思想等；考查直观想象，逻辑推理，数学运算等核心素养；体现基础性，综合性与创新性．满分12分．【解答】（1）依题意，()2,0A −，()2,0B ．设()11,C x y ，则2211143x y +=，直线AC 方程为()1122y y x x ++，令4x =得1162P y y x =+，直线BC 方程为()1122y yx x −−，令4x =得1122Q y y x =−，所以2121124P Q y y y x =− 2121123144x x ×− =− 9=−，即P Q y y ⋅的值为9−．（2）设()22,D x y ，()4,P t ，则直线AP 方程为()26t y x =+，直线BP 的方程为()22t y x =−，由()222,63412t y x x y =+ +=得()222227441080t x t x t +++−=，所以2124108227t x t −−=+，即21254227t x t −=+，故()112182627t t y x t=+=+．由()222,23412t y x x y =− +=得()2222344120t x t x t +−+−=，所以22241223t x t −=+，即222263t x t −=+，故()2226223t t y x t −=−=+．所以()()122111x y x y −−−2222222736918273327t t t t t t t t−−−=⋅−⋅++++ ()()()222262733270327t t t t t −−+−=++，又()1,0F ，所以向量()111,FC x y =− ，与()221,FD x y =− 共线，所以直线CD 经过F ．解法二：（1）依题意，()2,0A −，()2,0B ．设()11,C x y ，则2211143x y +=，所以111122AC BC y y k k x x ⋅=⋅+− 21214y x =− 21213144x x −−= 34=−．即B 344242Q P AP Q y y k k −=⋅=⋅+−，故P Q y y 的值为9−．（2）设()11,C x y ，()22,D x y ，()4,P t ．要证直线CD 经过()1,0F ，只需证向量()111,FC x y =− ，与()221,FD x y =− 共线，即证()()122111x y x y −=−．（*）因为()2222112014343x y −+==+，所以111123246P AC y x y k x y −==−⋅=+，同理可得222223242P BD y x y k x y +==−⋅=−，所以()()21122123AC BD x y k k x y −==+，即1221123620x y x y y y −++=，① 同理可得1221123260x y x y y y −+++=，②①－②得12211244440x y x y y y −+−=，即()()122111x y x y −=−．所以（*）式成立，命题得证．22．【命题意图】本小题主要考查导数，函数的单调性、零点、不等式等基础知识；考查逻辑推理能力，直观想象能力，运算求解能力和创新能力等；考查函数与方程思想，化归与转化思想，分类与整合思想等；考查逻辑推理，直观想象，数学运算等核心素养；体现基础性、综合性和创新性．满分12分．【解答】（1）()1f x x′=，当1e x =，1a =时，()1ln e 10f x =−=，即切点为()e,0，所以所求切线斜率()1e ek f ′=，所以所求的切线方程为()1e e y x =−，即11ey x =−．（2）由于()11ln f x x a =−，所以切线l 的方程为()()1111ln y x a x x x −−=−．令0y =，得()()1111ln x a x x x −−=−，解得()2111ln x x x x a =−−．（*）由20x >，得11e a x +<．构造函数()()ln g x x x x a =−−，所以()ln g x a x ′=−，所以当0e a x <<时，()0g x ′>，()x 单调递增；当e a x >时，()0g x ′<，()g x 单调递减．故()()max e e a a g x g ==．所以2e a x ≤．若1e a x ≤，由（*）式知12x x ≤，所以12e a x x ≤≤，故12e e a a x x −≥−．若1e a x >，则()()()121212e e e e 2e a a a a a x x x x x x −−−=−−−=+−，所以()12111e e 2ln 2e a a a x x x x x a −−−=−−−．构造函数()()()12ln 2e e e aa a x x x x a x ϕ+=−−−<<，所以()()1ln 0x a x ϕ′=+−>，故()x ϕ在区间()1e ,e a a +上单调递增，所以()()e 0a x ϕϕ>=，所以()1112ln 2e 0a x x x a −−−>，即所以12e e 0a a x x −−−>，即12e e a a x x −>−．综上，不等式成立12e e a a x x −≥−成立（当且仅当1e a x =时取等号）．。

湖南省长沙市2024-2025学年高三上学期调研考试(一)数学试题(解析版)

2025届高三第一次调研考试数学（答案在最后）本试题卷共4页.时量120分钟，满分150分.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}320,20A x x xB x x x =-==--<∣∣，则A B = （）A.{}0,1 B.{}1,0- C.{}0,1,2 D.{}1,0,1-【答案】A 【解析】【分析】由因式分解分别求出高次方程和二次不等式的解集，再由集合的运算得出两个集合的交集。

【详解】∵()()3110x x x x x -=+-=∴{}1,0,1A =-∵()()22210x x x x --=-+<∴()1,2B =-∴{}0,1A B = 故选：A2.已知,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则m ∥α的一个充分条件是（）A.m ∥,n n ∥αB.m ∥,βα∥βC.,,m n n m αα⊥⊥⊄D.,m n A n ⋂=∥,m αα⊄【答案】C 【解析】【分析】根据题意，由空间中线面关系以及线面平行的判定定理逐一判断，即可得到结果.【详解】对于A ，由m ∥,n n ∥α可得m α⊂或m ∥α，故A 错误；对于B ，由m ∥,βα∥β可得m α⊂或m ∥α，故B 错误；对于C ，由,,m n n m αα⊥⊥⊄可得m ∥α，故C 正确；对于D ，由,m n A n ⋂=∥,m αα⊄可得,m α相交或m ∥α，故D 错误；故选：C3.20252x ⎫-⎪⎭的展开式中的常数项是（）A.第673项B.第674项C.第675项D.第676项【答案】D 【解析】【分析】根据题意，求得展开式的通项公式，结合通项公式，即可求解.【详解】由二项式20252x ⎫-⎪⎭的展开式为20253202521202520252C ()(2)C rrrr r rr T x x--+=-=-⋅，令202530r -=，解得675r =，此时()67567567620252C T =-⋅，所以二项式20252x ⎫⎪⎭的展开式的常数项为第676项.故选：D.4.铜鼓是流行于中国古代南方一些少数民族地区的礼乐器物，已有数千年历史，是作为祭祀器具和打击乐器使用的.如图，用青铜打造的实心铜鼓可看作由两个具有公共底面的相同圆台构成，上下底面的半径均为25cm ，公共底面的半径为15cm ，铜鼓总高度为30cm.已知青铜的密度约为38g /cm ，现有青铜材料1000kg ，则最多可以打造这样的实心铜鼓的个数为（）（注：π 3.14≈）A .1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】先根据圆台的体积公式计算求解铜鼓的体积，然后根据材料体积求解即可.【详解】依题意圆台的上底面半径为15cm ，下底面半径为25cm ，高为15cm ，所以铜鼓的体积()221215251525π153V =⨯⨯++⨯⨯≈38465()3cm，又10000003.25384658≈⨯，故可以打造这样的实心铜鼓的个数为3.故选：C5.已知定义在()0,∞+上的函数()f x 满足()()()1f x x f x <-'（()f x '为()f x 的导函数），且()10f =，则（）A.()22f <B.()22f >C.()33f <D.()33f >【答案】D 【解析】【分析】由已知可得()()21xf x f x x x ->'，令()()ln f x g x x x=-，可得()g x 在(0,)+∞上单调递增，进而可得()n 33l 3f >，()n 22l 2f >，可得结论.【详解】由题意可得()()xf x f x x '->，即()()21xf x f x x x->'，令()()ln f x g x x x=-，则()()()210xf x f x g x x x-'=->'，所以()g x 在(0,)+∞上单调递增，因为()10f =，所以()()11ln10g f =-=，所以()()310g g >=，所以()3ln 303f ->，所以()3ln 333f >>，所以()()210g g >=，所以()2ln 202f ->，所以()n 22l 2f >，又2ln 22<，故()2f 与2的大小关系不确定.故选：D.6.已知过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 且倾斜角为π4的直线交C 于,A B 两点，M 是AB 的中点，点P 是C 上一点，若点M 的纵坐标为1，直线:3230l x y ++=，则P 到C 的准线的距离与P 到l 的距离之和的最小值为（）A.26 B.26C.13D.26【答案】D 【解析】【分析】首先联立AB 与抛物线方程，结合已知、韦达定理求得p ，进一步通过抛物线定义、三角形三边关系即可求解，注意检验等号成立的条件.【详解】由题得C 的焦点为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，设倾斜角为π4的直线AB 的方程为2p y x =-，与C 的方程22(y px =联立得2220y py p --=，设1,1,2,2，则1222,1y y p p +===，故C 的方程为212,,02y x F ⎛⎫=⎪⎝⎭.由抛物线定义可知点P 到准线的距离等于点P 到焦点F 的距离，联立抛物线2:2C y x =与直线:3230l x y ++=，化简得291090x x ++=，由Δ1004992240=-⨯⨯=-<得C 与l 相离.,,Q S R 分别是过点P 向准线、直线:3230l x y ++=以及过点F 向直线:3230l x y ++=引垂线的垂足，连接,FP FS ，所以点P 到C 的准线的距离与点P 到直线l 的距离之和PQ PS PF PS FS FR +=+≥≥,等号成立当且仅当点P 为线段FR 与抛物线的交点，所以P 到C 的准线的距离与P 到l 的距离之和的最小值为点1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭到直线:323l x y ++=0的距离，即26FR ==.故选：D.7.已知函数()()π2sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭，对于任意的x ∈R ，ππ1212f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()π02f x f x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭都恒成立，且函数()f x 在π,010⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，则ω的值为（）A.3B.9C.3或9D.【答案】A 【解析】【分析】根据正弦型函数的单调性先确定周期的取值范围，从而缩小ω的取值范围，结合正弦型三角函数的对称性可得符合的ω的取值为3ω=或9，分类讨论验证单调性即可得结论.【详解】设函数()f x 的最小正周期为T ，因为函数()f x 在π,010⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，所以π0102T⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭，得2ππ5T ω=≥，因此010ω<≤．由ππ1212f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭知()f x 的图象关于直线π12x =对称，则11πππ,122k k ωϕ⋅+=+∈Z ①．由()π02f x f x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭知()f x 的图象关于点π,04⎛⎫⎪⎝⎭对称，则22ππ,4k k ωϕ⋅+=∈Z ②．②-①得()2112πππ,,62k k k k ω⋅=--∈Z ，令21k k k =-，则63,k k ω=-∈Z ，结合010ω<≤可得3ω=或9．当3ω=时，代入①得11ππ,4k k ϕ=+∈Z ，又π2ϕ<，所以π4ϕ=，此时()π2sin 34f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，因为πππ32044x -<+<，故()f x 在π,010⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，符合题意；当9ω=时，代入①得1ππ4k ϕ=-+，1k ∈Z ，又π2ϕ<，所以π4ϕ=-，此时()π2sin 94f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为23πππ92044x -<-<-，故()f x 在π,010⎛⎫-⎪⎝⎭上不是单调递增的，所以9ω=不符合题意，应舍去．综上，ω的值为3．故选：A .8.如图，已知长方体ABCD A B C D -''''中，2AB BC ==，AA '=，O 为正方形ABCD 的中心点，将长方体ABCD A B C D -''''绕直线OD '进行旋转．若平面α满足直线OD '与α所成的角为53︒，直线l α⊥，则旋转的过程中，直线AB 与l 夹角的正弦值的最小值为（）（参考数据：4sin535︒≈，3cos535︒≈）A.310B.410- C.310+ D.310+【答案】A 【解析】【分析】求出直线OD '与C D ''的夹角，可得C D ''绕直线OD '旋转的轨迹为圆锥，求直线OD '与l 的夹角，结合图形可知，当l 与直线D E '平行时，C D ''与l 的夹角最小，利用三角函数知识求解即可.【详解】在长方体ABCD A B C D -''''中，//AB C D ''，则直线AB 与l 的夹角等于直线C D ''与l 的夹角．长方体ABCD A B C D -''''中，2AB BC ==，AA '=，O 为正方形ABCD 的中心点，则2OD OC ==''，又2C D ''=，所以OC D '' 是等边三角形，故直线OD '与C D ''的夹角为60︒．则C D ''绕直线OD '旋转的轨迹为圆锥，如图所示，60C D O ∠=''︒．因为直线OD '与α所成的角为53︒，l α⊥，所以直线OD '与l 的夹角为37︒．在平面C D O ''中，作D E '，D F '，使得37OD E OD F '∠=∠='︒．结合图形可知，当l 与直线D E '平行时，C D ''与l 的夹角最小，为603723C D E ∠=︒-︒=''︒，易知603797C D F ∠=︒+︒=''︒．设直线C D ''与l 的夹角为ϕ，则2390ϕ︒≤≤︒，故当23ϕ=︒时sin ϕ最小，而()sin23sin 6037sin60cos37cos60sin37︒=︒-︒=︒︒-︒︒433sin60sin53cos60cos5310-=︒︒-︒︒≈，故直线AB 与l 的夹角的正弦值的最小值为43310-.故选：A【点睛】关键点点睛：解题中在平面C D O ''中，作D E '，D F '，使得37OD E OD F '∠=∠='︒，结合图形可知，当l 与直线D E '平行时，C D ''与l 的夹角最小，为603723C D E ∠=︒-︒=''︒是关键.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.某机械制造装备设计研究所为推进对机床设备的优化，成立,A B 两个小组在原产品的基础上进行不同方向的研发，A 组偏向于智能自动化方向，B 组偏向于节能增效方向，一年后用简单随机抽样的方法各抽取6台进行性能指标测试（满分：100分），测得A 组性能得分为：91,81,82,96,89,73，B 组性能得分为：737096799488，，，，，，则（）A.A 组性能得分的平均数比B 组性能得分的平均数高B.A 组性能得分的中位数比B 组性能得分的中位数小C.A 组性能得分的极差比B 组性能得分的极差大D.B 组性能得分的第75百分位数比A 组性能得分的平均数大【答案】AD 【解析】【分析】根据计算公式分别计算,A B 两个小组的平均数、中位数、极差、第75百分位数，再对各选项逐一判断即可.【详解】由题意可得A 组性能得分的平均数为91818296897385.36+++++≈，B 组性能得分的平均数为73709679948883.36+++++≈，所以A 组性能得分的平均数比B 组性能得分的平均数高，A 说法正确；A 组性能得分738182899196，，，，，的中位数为828985.52+=，B 组性能得分707379889496，，，，，的中位数为798883.52+=，所以A 组性能得分的中位数比B 组性能得分的中位数大，B 说法错误；A 组性能得分的极差为967323-=，B 组性能得分的极差为967026-=，所以A 组性能得分的极差比B 组性能得分的极差小，C 说法错误；B 组性能得分707379889496，，，，，共6个数据，60.75 4.5⨯=，所以B 组性能得分的第75百分位数为94，比A 组性能得分的平均数大，D 说法正确；故选：AD10.嫁接，是植物的人工繁殖方法之一，即把一株植物的枝或芽，嫁接到另一株植物的茎或根上，使接在一起的两个部分长成一个完整的植株.已知某段圆柱形的树枝通过利用刀具进行斜辟，形成两个椭圆形截面，如图所示，其中,AC BD 分别为两个截面椭圆的长轴，且,,,A C B D 都位于圆柱的同一个轴截面上，AD 是圆柱截面圆的一条直径，设上､下两个截面椭圆的离心率分别为12,e e ，则能够保证CD ≥的12,e e 的值可以是（）A.12,32e e == B.121,25e e == C.12340,27e e == D.1232,34e e ==【答案】AD 【解析】【分析】根据勾股定理，结合离心率公式可得22222212111,1r r e n e m -=-=，即可根据n ≥得222111211e e -≥-，逐一代入即可求解.【详解】设2,2,2,AD r AB m CD n ===且n ≥，故BD AC ===故12e e ==，故22222212111,1r r e n e m-=-=，由于n ≥，故222n m ≥，故222222222111211r e n m r m e n -==≥-，即222111211e e -≥-，对于A，12,32e e ==，满足2221112211e e -=≥-，故A 正确，对于B，121,25e e ==，22211142131e e -=<-，故B 错误，对于B，12,27e e ==，2221112721401e e -=<-，故C 错误，对于D，12,34e e ==，22211172121e e -=>-，故D 正确，故选：AD11.对于任意实数,x y ，定义运算“⊕”x y x y x y ⊕=-++，则满足条件a b b c ⊕=⊕的实数,,a b c 的值可能为（）A.0.5log 0.3a =-，0.30.4b =，0.5log 0.4c =B.0.30.4a =，0.5log 0.4b =，0.5log 0.3c =-C.0.09a =，0.10.1b =e ，10ln 9c =D.0.10.1e a =，10ln 9b =，0.09c =【答案】BD 【解析】【分析】由a b b c ⊕=⊕，可得a b a b b c b c -++=-++，可得,b a b c ≥≥，故只需判断四个选项中的b 是否为最大值即可，利用函数函数0.5log y x =为减函数，0.4x y =为减函数可判断AB ；构造函数()()[)1e ,0,1x f x x x =-∈，利用单调性可得0.10.10.09e <，进而再构造函数()()[)ln 1,0,1ex x h x x x =+-∈，求导可得()()()21e e 1x xx h x x --'=-，再构造函数()()21e xx x ω=--，利用单调性可判断CD ．【详解】由a b b c ⊕=⊕，可得a b a b b c b c -++=-++，即a b b c c a ---=-，若,a b c b ≤≤，可得a b b c c a ---=-，符合题意，若,a b c b ≤>，可得2a b b c b a c ---=--，不符合题意，若,a b c b >≤，可得a b b c a c ---=-，不符合题意，若a b c b >>,，可得2a b b c c a b ---=+-，不符合题意，综上所述0a b -≤，0b c -≥，可得,b a b c ≥≥，故只需判断四个选项中的b 是否为最大值即可．对于A ，B ，由题知0.50.50.510log 0.3log log 103-=<=，而0.3000.40.41<<=，0.50.5log 0.4log 0.51>=，所以0.30.50.5log 0.30.4log 0.4-<<．（点拨：函数0.5log y x =为减函数，0.4x y =为减函数），对于A ，a b c <<；对于B ，c a b <<，故A 错误，B 正确．对于C ，D ，()0.10.10.10.090.9e 10.1e 0.1e ==-，（将0.9转化为10.1-，方便构造函数）构造函数()()[)1e ,0,1x f x x x =-∈，则()e xf x x '=-，因为[)0,1x ∈，所以()()0,f x f x '≤单调递减，因为()01f =，所以()0.11f <，即0.10.9e 1<，所以0.10.10.09e <．（若找选项中的最大值，下面只需判断0.10.1e 与10ln 9的大小即可）()10.10.10.10.10.1100.190.190.1ln ln ln ln 10.1e 9e 10e 10e -⎛⎫-=-=+=+- ⎪⎝⎭，构造函数()()[)ln 1,0,1e x x h x x x =+-∈，则()()()21e 11e 1e 1x x xx x h x x x ---=--'=-，因为[)0,1x ∈，所以()e 10xx ->，令()()21e x x x ω=--，则()()21e xx x ω=---'，当[)0,1x ∈时，()()0,x x ωω'<单调递减，因为()00ω=，所以()0x ω≤，即()()0,h x h x '≤单调递减，又()00h =，所以()0.10h <，即()0.10.1ln 10.10e+-<，所以0.10.110ln e 9<．综上，0.10.1100.09ln e 9<<．对于C ，a b c <<；对于D ，c a b <<，故C 错误，D 正确．（提醒：本题要比较0.09与10ln 9的大小关系的话可以利用作差法判断，即()11090.09ln 0.10.9ln 10.90.9ln0.9910-⎛⎫-=⨯-=-⨯+ ⎪⎝⎭，构造函数()()(]1ln ,0,1g x x x x x =-+∈，则()()()221112112x x x x g x x x x x+-+-++='=-+=，因为(]0,1x ∈，所以()()0,g x g x '≥单调递增，因为()10g =，所以()0.90g <，即100.09ln 09-<，所以100.09ln 9<）故选：BD.【点睛】方法点睛：本题考查定义新运算类的题目，处理的方法一般为：根据新运算的定义，将已知中的数据代入进行运算，构造函数，利用函数的单调性与最值比较数的大小.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在复平面内，复数z 对应的点为()1,1，则21zz-=+______．【答案】13i 55-【解析】【分析】根据复数的几何意义可得1i z =+，即可由复数除法运算求解.【详解】由于复数z 对应的点为()1,1，所以1i z =+，故()()()()1i 2i 21i 13i 13i12i 2i 2i 555z z -----=+++-===-，故答案为：13i55-13.写出一个同时满足下列条件①②③的数列的通项公式n a =______.①m na a m n--是常数，*,m n ∈N 且m n ≠；②652a a =；③的前n 项和存在最小值.【答案】4n -（答案不唯一）【解析】【分析】根据等差数列的特征，不妨选择等差数列，然后根据题目条件利用等差基本量的运算求解通项公式，即得解.【详解】由题意，不妨取数列为等差数列，设其首项为1a ，公差为d ，由②可知()61515224a a d a a d =+==+，则13a d =-，又m na a d m n-=-是常数，满足①，由③的前n 项和存在最小值，故等差数列单调递增，取1d =，则13a =-，故4n a n =-，此时当3n =或4n =时，的前n 项和取到最小值为6-，所以同时满足条件①②③的数列的一个通项公式4n a n =-.故答案为：4n -（答案不唯一）14.清代数学家明安图所著《割圆密率捷法》中比西方更早提到了“卡特兰数”（以比利时数学家欧仁･查理･卡特兰的名字命名）.有如下问题：在n n ⨯的格子中，从左下角出发走到右上角，每一步只能往上或往右走一格，且走的过程中只能在左下角与右上角的连线的右下方（不能穿过，但可以到达该连线），则共有多少种不同的走法？此问题的结果即卡特兰数122C C nn n n --.如图，现有34⨯的格子，每一步只能往上或往右走一格，则从左下角A 走到右上角B 共有__________种不同的走法；若要求从左下角A 走到右上角B 的过程中只能在直线AC 的右下方，但可以到达直线AC ，则有__________种不同的走法.【答案】①.35②.14【解析】【分析】根据题意，由组合数的意义即可得到结果，结合卡特兰数的定义，即可得到结果.【详解】从左下角A 走到右上角B 共需要7步，其中3步向上，4步向右，故只需确定哪3步向上走即可，共有37C 35=种不同的走法；若要求从左下角A 走到右上角B 的过程中只能在直线AC 的右下方（不能穿过，但可以到达该连线），则由卡特兰数可知共有4388C C 14-=种不同的走法，又到达右上角D 必须最后经过B ，所以满足题目条件的走法种数也是14.故答案为：35；14四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知M 为圆229x y +=上一个动点，MN 垂直x 轴，垂足为N ，O 为坐标原点，OMN 的重心为G .（1）求点G 的轨迹方程；（2）记（1）中的轨迹为曲线C ，直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，点(0,1)Q ，若点)3,0H 恰好是ABQ的垂心，求直线l 的方程.【答案】（1）()22104x y xy +=≠（2）1635y x =-【解析】【分析】（1）设()()00,,,G x y M x y ，根据G 为OMN 的重心，得00233x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入22009x y +=，化简即可求解.（2）根据垂心的概念求得l k =l 方程，与椭圆联立韦达定理，利用AH BQ ⊥得2211y x -=-，将韦达定理代入化简即可求解.【小问1详解】设()()00,,,G x y M x y ，则()0,0N x ，因G 为OMN 的重心，故有：00233x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得003,32x x y y ==，代入22009x y +=，化简得2214x y +=，又000x y ≠，故0xy ≠，所以G 的轨迹方程为()22104x y xy +=≠.【小问2详解】因H 为ABQ 的垂心，故有,AB HQ AH BQ ⊥⊥，又33HQ k ==-，所以l k =，故设直线l的方程为()1y m m =+≠，与2214x y +=联立消去y得：2213440++-=x m ，由2Δ208160m =->得213m <，设()()1122,,,A x y B x y，则2121244,1313m x x x x --+==，由AH BQ ⊥2211y x -=-，所以()211210x x mm -+++-=，所以)()21212410x x m x x m m +-++-=，所以()()()22444241130m m m m m ---+-=，化简得2511160m m +-=，解得1m =（舍去）或165m =-（满足Δ0>），故直线l 的方程为165y =-.16.如图，四边形ABDC 为圆台12O O 的轴截面，2AC BD =，圆台的母线与底面所成的角为45°，母线长，E 是 BD的中点．（1）已知圆2O 内存在点G ，使得DE ⊥平面BEG ，作出点G 的轨迹（写出解题过程）；（2）点K 是圆2O 上的一点（不同于A ，C ），2CK AC =，求平面ABK 与平面CDK 所成角的正弦值．【答案】（1）答案见解析（2）47035【解析】【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，过B 作下底面的垂线交下底面于点G ，过G 作BE 的平行线，交圆2O 于1G ，2G ，即可求出结果；（2）建立空间直角坐标系，根据条件，求出平面ABK 和平面CDK ，利用面面角的向量法，即可求出结果.【小问1详解】E 是 BD的中点，DE BE ∴⊥．要满足DE ⊥平面BEG ，需满足DE BG ⊥，又DE ⊂ 平面BDE ，∴平面BEG ⊥平面BDE 如图，过B 作下底面的垂线交下底面于点G ，过G 作BE 的平行线，交圆2O 于1G ，2G ，则线段12G G 即点G 的轨迹．【小问2详解】易知可以2O 为坐标原点，2O C ，21O O 所在直线分别为y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系2O xyz -，，母线与底面所成角为45°，2AC BD =，22O A ∴=，11O B =，121O O =，取K 的位置如图所示，连接2O K，2CK AC = ，260CO K ∴∠=︒，即230xO K ∠=︒，则)K，()0,2,0A -，()0,1,1B -，()0,2,0C ，()0,1,1D ，则)AK =，)2,1BK =-，)1,0CK =-，)1DK =-．设平面ABK 的法向量为()111,,n x y z =，则00n AK n BK ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111113020y y z +=+-=，令1x =11z =，11y =-，)1,1n ∴=-．设平面CDK 的法向量为()222,,m x y z =，则00m CK m DK ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即222200y z -=-=，令2x =，则23z =，23y =，)m ∴=．设平面ABK 与平面CDK 所成的角为θ，则cos 35n mn mθ⋅===⋅ ，470sin 35θ∴==．17.素质教育是当今教育改革的主旋律，音乐教育是素质教育的重要组成部分，对于陶冶学生的情操、增强学生的表现力和自信心、提高学生的综合素质等有重要意义．为推进音乐素养教育，培养学生的综合能力，某校开设了一年的音乐素养选修课，包括一个声乐班和一个器乐班，已知声乐班的学生有24名，器乐班的学生有28名，课程结束后两个班分别举行音乐素养过关测试，且每人是否通过测试是相互独立的．（1）声乐班的学生全部进行测试．若声乐班每名学生通过测试的概率都为p （01p <<），设声乐班的学生中恰有3名通过测试的概率为()fp ，求()f p 的极大值点0p ．（2）器乐班采用分层随机抽样的方法进行测试．若器乐班的学生中有4人学习钢琴，有8人学习小提琴，有16人学习电子琴，按学习的乐器利用分层随机抽样的方法从器乐班的学生中抽取7人，再从抽取的7人中随机抽取3人进行测试，设抽到学习电子琴的学生人数为ζ，求ζ的分布列及数学期望．【答案】（1）18（2）分布列见解析，()127E ζ=【解析】【分析】（1）根据独立重复试验求出概率，再利用导数求极值；（2）先借助分层抽样确定随机变量ζ的所有可能取值，求出其分布列，最后求期望.【小问1详解】24名学生中恰有3名通过测试的概率()()213324C 1f p p p =⋅-，则()()()()()212020323322424C 31211C 3118f p p p p p p pp '⎡⎤=---=⋅--⎣⋅⎦，01p <<，令()0f p '=，得18p =，所以当108p <<时，()0f p '>，()f p 单调递增；当118p <<时，()0f p '<，()f p 单调递减，故()f p 的极大值点018p =．【小问2详解】利用分层随机抽样的方法从28名学生中抽取7名，则7名学生中学习钢琴的有1名，学习小提琴的有2名，学习电子琴的有4名，所以ζ的所有可能取值为0，1，2，3，()3337C 10C 35P ζ===，()213437C C 121C 35P ζ===，()123437C C 182C 35P ζ===，()3437C 43C 35P ζ===，则随机变量ζ的分布列为ζ0123P13512351835435()112184120123353535357E ζ=⨯+⨯+⨯+⨯=．18.已知数列为等比数列，为等差数列，且112a b ==，858a a =，48a b =.（1）求，的通项公式；（2）数列()1122241n n b ππ⎤⎛⎫-+ ⎪⎥⎝⎭⎦⎧⎫-⋅⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，集合*422N n n n S b A nt n n a ++⎧⎫⋅⎪⎪=≥∈⎨⎬⋅⎪⎪⎩⎭，共有5个元素，求实数t 的取值范围；（3）若数列{}n c 中，11c =，()22log 2114nn n a c n b =≥-，求证：1121231232n c c c c c c c c c c +⋅+⋅⋅++⋅⋅< .【答案】（1）2n n a =，2n b n =（2）147(25,]4.（3）证明见解析【解析】【分析】（1）设数列的公比为q ，数列的公差为d ，由已知易得38q =，82716b d =+=，可求n a ，n b ；（2）设数列()1122241n nn d b ππ⎤⎛⎫-+ ⎪⎥⎝⎭⎦=-⋅，可求得441424312848n n n n d d d d n ---+++=-，4nS =(6416)n n +，进而可得422(328)(2)2n n nn S b n n na ++++= ，可得(1)(2)(3)(4)()f f f f f n <>>>> ，可求t 的取值范围为147(25,]4.（3）123n c c c c ⋅⋅ 112[]!(1)!n n =-+，进而计算可得不等式成立.【小问1详解】设数列的公比为q ，数列的公差为d ，则由858a a =，38q =，所以2q =，所以112n nn a a q -==，416a =，即82716b d =+=，所以2=d ，所以1(1)2(1)22n b b n d n n =+-=+-⨯=；【小问2详解】设数列()1122241n nn d b ππ⎤⎛⎫-+ ⎪⎥⎝⎭⎦=-⋅，则22224414243441424312848n n n n n n n n d d d d b b b b n ------+++=+--=-，所以412344342314(1284880)()()2n n n n n n n S d d d d d d d d ----+=++++++++=(6416)n n =+，4222(6416)2(2)(328)(2)22n n n nn S b n n n n na +++++++== ，令(328)(2)()2n n n f n ++=，1(3240)(3)(328)(2)(1)()22n nn n n n f n f n ++++++-=-()22144113288822n nn n n n +--+---==，可得(1)(2)(3)(4)()f f f f f n <>>>> ，故当2n =时，()f n 最大，且147(1)60(5)(6)254f f f ===，，所以147254t <≤，即t 的取值范围为147(25,4.【小问3详解】由11,c =222log (2)11(1)(1)14n n n a n nc n n n n b ===≥-+--，则当2n ≥时，()()()1232311324113451n n n c c c c n n n n ⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯-+⨯⨯⨯⨯⨯+ 211112[]2[](1)!(1)!!(1)!n n n n n n +-===-+++，当1n =时，11c =也满足上式，所以12*3112[](N )!(1)!n n n c n c c c =-⋅⋅∈+ ，1121231231111112[1]222!2!3!!(1)!(1)!n c c c c c c c c c c n n n =-+-++-=-⋅<++⋅+⋅⋅+⋅++ ，所以原不等式成立.19.设有n 维向量12n a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭ ，12n b b b b ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭ ，称1122,n n a b a b a b a b ⎡⎤=++⋅⋅⋅+⎣⎦ 为向量a 和b 的内积，当,0a b ⎡⎤=⎣⎦ ，称向量a 和b 正交．设n S 为全体由1-和1构成的n 元数组对应的向量的集合．（1）若1234a ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，写出一个向量b ，使得,0a b ⎡⎤=⎣⎦．（2）令[]{},,n B x y x y S =∈．若m B ∈，证明：m n +为偶数．（3）若4n =，()4f 是从4S 中选出向量的个数的最大值，且选出的向量均满足,0a b ⎡⎤=⎣⎦ ，猜测()4f 的值，并给出一个实例．【答案】（1）1110b ⎛⎫⎪⎪= ⎪- ⎪⎝⎭（答案不唯一）（2）证明见解析（3）()44f =，答案见解析.【解析】【分析】（1）根据定义写出满足条件的即可；（2）根据,n x y S ∈，结合定义，求出[],x y ，即可得证；（3）利用反证法求证.【小问1详解】由定义，只需满足13420234b b b b +++=，不妨取1110b ⎛⎫⎪⎪= ⎪- ⎪⎝⎭（答案不唯一）．【小问2详解】对于m B ∈，1i =，2，⋅⋅⋅，n ，存在12n x x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭ ，{}1,1i x ∈-，12n y y y y ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭，{}1,1i y ∈-，使得[],x y m = ．当=i i x y 时，1i i x y =；当≠i i x y 时，1=-i i x y ．令1,0,i i i ii x y x y λ=⎧=⎨≠⎩，1λ==∑n i i k ．所以[]()1,2n i i i x y x y k n k k n ===--=-∑ ．所以22+=-+=m n k n n k 为偶数．【小问3详解】当4n =时，可猜测互相正交的4维向量最多有4个，即()44f =．不妨取11111a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ，21111a -⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭ ，31111a -⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ，41111a ⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭，则有[]12,0a a = ，[]13,0a a = ，[]14,0a a = ，[]23,0a a = ，[]24,0a a = ，[]34,0a a = ．若存在5a ，使[]15,0a a = ，则51111a -⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭ 或1111⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭或1111⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪-⎝⎭．当51111a -⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭时，[]45,4a a =- ；当51111a ⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭时，[]25,4a a =- ；当51111a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭时，[]35,4a a =- ，故找不到第5个向量与已知的4个向量互相正交．。

2020届高考数学(理)一轮必刷题专题64 随机抽样(解析版)

考点64 随机抽样1．对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p 1，p 2，p 3，则( ) A ．p 1＝p 2＜p 3 B ．p 2＝p 3＜p 1 C ．p 1＝p 3＜p 2 D ．p 1＝p 2＝p 3【答案】D【解析】由于三种抽样过程中，每个个体被抽到的概率都是相等的，因此p 1＝p 2＝p 3.2．某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为( )A ．93B ．123C ．137D ．167【答案】C【解析】初中部的女教师人数为110×70%＝77，高中部的女教师人数为150×(1－60%)＝60，该校女教师的人数为77＋60＝137，故选C.3．某城市修建经济适用房．已知甲、乙、丙三个社区分别有低收入家庭360户、270户、180户，若首批经济适用房中有90套住房用于解决住房紧张问题，采用分层抽样的方法决定各社区户数，则应从乙社区中抽取低收入家庭的户数为( ) A ．40 B ．36 C ．30 D ．20 【答案】C【解析】利用分层抽样的比例关系，设从乙社区抽取n 户，则270360＋270＋180＝n 90，解得n ＝30.4．现用系统抽样方法从已编号(1～60)的60枚新型导弹中，随机抽取6枚进行试验，则所选取的6枚导弹的编号可能是( ) A ．5,10,15,20,25,30 B ．2,4,8,16,32,48 C ．5,15,25,35,45,55 D ．1,12,34,47,51,60【答案】C【解析】从60枚新型导弹中随机抽取6枚，采用系统抽样间隔应为606＝10，只有C 选项中导弹的编号间隔为10.5．某学校高三年级一班共有60名学生，现采用系统抽样的方法从中抽取6名学生做“早餐与健康”的调查，为此将学生编号为1,2，…，60.选取的这6名学生的编号可能是( ) A ．1,2,3,4,5,6 B ．6,16,26,36,46,56 C ．1,2,4,8,16,32 D ．3,9,13,27,36,54【答案】B【解析】由系统抽样知识可知，所取学生编号之间的间距相等且为10，所以应选B.6．某班有34位同学，座位号记为01,02，…，34，用下面的随机数表选取5组数作为参加青年志愿者活动的五位同学的座号．选取方法是从随机数表第一行的第6列数字开始，由左到右依次选取两个数字，则选出来的第4个志愿者的座号是( )49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 64 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 A ．23 B ．09 C ．02 D ．16【答案】D【解析】从随机数表第一行的第6列数字3开始，由左到右依次选取两个数字，不超过34的依次为21,32,09,16,17，故第4个志愿者的座号为16.7．将参加夏令营的600名学生编号为001,002，…，600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为( ) A ．26,16,8 B ．25,17,8 C ．25,16,9 D ．24,17,9 【答案】B【解析】由题意及系统抽样的定义可知，将这600名学生按编号依次分成50组，每一组各有12名学生，第k (k ∈N *)组抽中的号码是3＋12(k －1)．令3＋12(k －1)≤300，得k ≤1034，因此第Ⅰ营区被抽中的人数是25；令300<3＋12(k －1)≤495，得1034<k ≤42，因此第Ⅱ营区被抽中的人数是42－25＝17.故选B.8．某工厂的一、二、三车间在2017年11月份共生产了3 600双皮靴，在出厂前检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从一、二、三车间抽取的产品数分别为a 、b 、c ，且a 、b 、c 成等差数列，则二车间生产的产品数为( ) A ．800 B ．1 000 C ．1 200D ．1 500【答案】C【解析】因为a 、b 、c 成等差数列，所以2b ＝a ＋c ，所以从二车间抽取的产品数占抽取产品总数的13，根据分层抽样的性质可知，二车间生产的产品数占产品总数的13，所以二车间生产的产品数为3 600×13＝1 200.故选C.9．从一个容量为N 的总体中抽取一个容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p 1，p 2，p 3，则( ) A ．p 1＝p 2＜p 3 B ．p 2＝p 3＜p 1 C ．p 1＝p 3＜p 2 D ．p 1＝p 2＝p 3【答案】D【解析】根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义可知，无论哪种抽样，每个个体被抽中的概率都是相等的，所以p 1＝p 2＝p 3.10．(2018·陕西西安八校联考)某班对八校联考成绩进行分析，利用随机数表法抽取样本时，先将60个同学的成绩按01,02,03，…，60进行编号，然后从随机数表第9行第5列的数开始向右读，则选出的第6个个体是(注：下表为随机数表的第8行和第9行)( )⎭⎬⎫63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 5071 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79第8行⎭⎬⎫33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 45 0744 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54第9行A ．07B ．25C ．42D ．52【答案】D【解析】依题意得，依次选出的个体分别是12,34,29,56,07,52，…，因此选出的第6个个体是52，选D. 11．为了解72名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为8的样本，则分段的间隔为( ) A ．9 B ．8 C ．10 D ．7【答案】A【解析】由系统抽样方法知，72人分成8组，故分段间隔为72÷8＝9.12．(2018·陕西部分学校摸底检测)某单位有老年人27人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体状况的某项指标，需从他们中间抽取一个容量为42的样本，则应分别抽取老年人、中年人、青年人的人数是( ) A ．7,11,18 B ．6,12,18 C ．6,13,17 D ．7,14,21【答案】D【解析】因为该单位共有27＋54＋81＝162(人)，样本容量为42，所以应当按42162＝727的比例分别从老年人、中年人、青年人中抽取样本，且应分别抽取的人数是7,14,21.故选D.13．某校数学教研组为了解学生学习数学的情况，采用分层抽样的方法从高一600人、高二780人、高三n 人中，抽取35人进行问卷调查．已知高二被抽取的人数为13，则n ＝( ) A ．660 B ．720 C ．780 D ．800【答案】B【解析】由已知可得，抽样比为13780＝160，从而35600＋780＋n ＝160，解得n ＝720.14．从编号为001,002，…，500的500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中编号最小的两个编号分别为007,032，则样本中最大的编号应该为( ) A ．480 B ．481 C ．482 D ．483 【答案】C【解析】根据系统抽样的定义可知样本的编号成等差数列，令a 1＝7，a 2＝32，d ＝25，所以7＋25(n －1)≤500.所以n ≤20.72，故最大编号为7＋25×(20－1)＝482.15．某高校有教授120人，副教授100人，讲师80人，助教60人，现用分层抽样的方法从以上所有老师中抽取一个容量为n 的样本．已知从讲师中抽取的人数为16，那么n ＝________. 【答案】72【解析】依题意得，80120＋100＋80＋60＝16n，由此解得n ＝72.16．为了解1 200名学生对学校某项教改实验的意见，打算从中抽取一个容量为30的样本，考虑采取系统抽样，则分段的间隔k 为________．【答案】40【解析】在系统抽样中，确定分段间隔k ，对编号进行分段，k ＝Nn (N 为总体的容量，n 为样本的容量)，所以k ＝N n ＝1 20030＝40.17．一个总体中有90个个体，随机编号0,1,2，…，89，依从小到大的编号顺序平均分成9个小组，组号依次为1,2,3，…，9.现用系统抽样方法抽取一个容量为9的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m ，那么在第k 组中抽取的号码个位数字与m ＋k 的个位数字相同．若m ＝8，则在第8组中抽取的号码是________．【答案】76【解析】由题意知m ＝8，k ＝8，则m ＋k ＝16，也就是第8组抽取的号码个位数字为6，十位数字为8－1＝7，故抽取的号码为76.18．一汽车制造厂生产A ，B ，C 三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)：10辆，则z 的值为________．【答案】400【解析】设该厂这个月共生产轿车n 辆，由题意得50n ＝10100＋300，所以n ＝2 000，则z ＝2 000－100－300－150－450－600＝400.19．已知某商场新进3 000袋奶粉，为检查其三聚氰胺是否超标，现采用系统抽样的方法从中抽取150袋进行检查，将3 000袋奶粉按1,2，…，3 000 随机编号．若第一组抽出的号码是11，则第六十一组抽出的号码为________．【答案】1 211【解析】由题意知，抽样比为k ＝3 000150＝20，又第一组抽出的号码是11，则11＋60×20＝1 211，故第六十一组抽出的号码为1 211.20．高三(2)班现有64名学生，随机编号为0,1,2，…，63，依编号顺序平均分成8组，组号依次为1,2,3，…，8.现用系统抽样方法抽取一个容量为8的样本，若在第一组中随机抽取的号码为5，则在第6组中抽取的号码为________．【答案】45【解析】分组间隔为648＝8，∵在第一组中随机抽取的号码为5，∴在第6组中抽取的号码为5＋5×8＝45.21．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4∶3∶3，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取一个容量为80的样本，则应从高一年级抽取________名学生．【答案】32【解析】从高一年级抽取的学生人数为80×44＋3＋3＝32.22．某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为________．【答案】12【解析】抽样间隔为84042＝20.设在1,2，…，20中抽取号码x 0(x 0∈[1,20])，在[481,720]之间抽取的号码记为20k ＋x 0，则481≤20k ＋x 0≤720，k ∈N *.∴24120≤k ＋x 020≤36.∵x 020∈⎣⎡⎦⎤120，1，∴k ＝24,25,26，…，35， ∴k 值共有35－24＋1＝12(个)，即所求人数为12.23．某校三个年级共有18个班，学校为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到18，现用系统抽样方法，抽取6个班进行调查．若抽到的编号之和为57，则抽到的最小编号为________．【答案】2【解析】系统抽样的间隔为186＝3.设抽到最小编号为x ，则x ＋(3＋x )＋(6＋x )＋(9＋x )＋(12＋x )＋(15＋x )＝57.解得x ＝2.24．某高中在校学生有2 000人．为了响应“阳光体育运动”的号召，学校开展了跑步和登山比赛活动．每人都参与而且只参与其中一项比赛，各年级参与比赛的人数情况如下表：其中a ∶b ∶c ＝2∶3∶5，全校参与登山的人数占总人数的25，为了了解学生对本次活动的满意程度，从中抽取一个200人的样本进行调查，则从高二年级参与跑步的学生中应抽取________人．【答案】36【解析】根据题意可知样本中参与跑步的人数为200×35＝120，所以从高二年级参与跑步的学生中应抽取的人数为120×32＋3＋5＝36(人)．25．某校高中三年级的295名学生已经编号为1,2,3，…，295，为了了解学生的学习情况，要按1∶5的比例抽取一个样本，用系统抽样的方法进行抽取，请写出抽样过程．【解析】按1∶5的比例抽样，295÷5＝59.第一步，把295名同学分成59组，每组5人．第一组是编号为1～5的5名学生，第二组是编号为6～10的5名学生，…，依次类推，第59组是编号为291～295的5名学生．第二步，采用简单随机抽样，从第一组5名学生中随机抽取1名，不妨设其编号为k (1≤k ≤5)．第三步，从以后各段中依次抽取编号为k ＋5i (i ＝1,2,3，…，58)的学生，再加上从第一段中抽取的编号为k 的学生，得到一个容量为59的样本．26．为了解某市市民晚饭后1小时内的生活方式，调查小组设计了“阅读”“锻炼”“看电视”和“其他”四个选项，用随机抽样的方法调查了该市部分市民，并根据调查结果绘制成统计图如图所示．根据统计图所提供的信息，解答下列问题：(1)本次共调查了________名市民；(2)补全条形统计图；(3)该市共有480万市民，估计该市市民晚饭后1小时内“锻炼”的人数．【答案】(1)2 000.(2)(3)96(万)【解析】(1)本次共调查的市民人数为800÷40%＝2 000.(2)晚饭后选择“其他”的人数为2 000×28%＝560，晚饭后选择“锻炼”的人数为2 000－800－240－560＝400. 将条形统计图补充完整，如图所示．(3)晚饭后选择“锻炼”的人数所占的比例为：400÷2 000＝20%，该市市民晚饭后1小时内锻炼的人数为：480×20%＝96(万)．。

高中数学：随机抽样

高中数学：随机抽样1．以下抽样方法是简单随机抽样的是(D)A．在某年明信片销售活动中，规定每100万张为一个开奖组，通过随机抽取的方式确定号码的后四位为2 709的为三等奖B．某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔30分钟抽一包产品，称其重量是否合格C．某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了解对学校机构改革的意见D．用抽签方法从10件产品中选取3件进行质量检验解析：选项A、B不是简单随机抽样，因为抽取的个体间的间隔是固定的；选项C不是简单随机抽样，因为总体的个体有明显的层次；选项D是简单随机抽样．2．(2019·长春一模)完成下列两项调查：①从某社区125户高收入家庭、280户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户，调查社会购买能力的某项指标；②从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况．宜采用的抽样方法依次是(B)A．①简单随机抽样，②系统抽样B．①分层抽样，②简单随机抽样C．①系统抽样，②分层抽样D．①②都用分层抽样解析：因为社会购买能力的某项指标受到家庭收入的影响，而社区中各个家庭收入差别明显，所以①用分层抽样法；从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况，个体之间差别不大，且总体和样本容量较小，所以②用简单随机抽样法．3．(2019·长沙一中测试)某中学有高中生3 500人，初中生1 500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为(A) A．100B．150C．200D．250解析：法一：由题意可得70n －70＝3 5001 500，解得n ＝100. 法二：由题意，抽样比为703 500＝150，总体容量为3 500＋1 500＝5 000，故n ＝5 000×150＝100.4．(2019·湖南怀化模拟)某电视台为了调查“爸爸去哪儿”节目的收视率，现用分层抽样的方法从4 300人中抽取一个样本，这4 300人中青年人1 600人，且中年人人数是老年人人数的2倍，现根据年龄采用分层抽样的方法进行调查，在抽取的样本中青年人有320人，则抽取的样本中老年人的人数为( B )A ．90B ．180C ．270D ．360解析：设老年人有x 人，从中抽取y 人，则1 600＋3x ＝4 300，得x ＝900，即老年人有900人，则9001 600＝y 320，得y ＝180.故选B.5．去年“3·15”，某报社做了一次关于“虚假广告”的调查，在A ，B ，C ，D 四个单位回收的问卷数依次成公差为正数的等差数列，共回收1 000份，因报道需要，再从回收的问卷中按单位分层抽取容量为150的样本，若在B 单位抽取30份问卷，则在D 单位抽取的问卷份数是( C )A ．45B ．50C ．60D ．65解析：由于B 单位抽取的问卷是样本容量的15，所以B 单位回收问卷200份．由等差数列知识可得C 单位回收问卷300份，D 单位回收问卷400份，则D 单位抽取的问卷份数是B 单位的2倍，即为60份．6．(2019·泉州质检)某公司员工对户外运动分别持“喜欢”“不喜欢”和“一般”三种态度，其中持“一般”态度的比持“不喜欢”态度的多12人，按分层抽样方法从该公司全体员工中选出部分员工座谈户外运动，如果选出的人有6人对户外运动持“喜欢”态度，有1人对户外运动持“不喜欢”态度，有3人对户外运动持“一般”态度，那么这个公司全体员工中对户外运动持“喜欢”态度的有( A )A ．36人B ．30人C ．24人D ．18人解析：设持“喜欢”“不喜欢”“一般”态度的人数分别为6x ，x,3x ，由题意可得3x －x ＝12，x ＝6.∴持“喜欢”态度的有6x ＝36(人)．7．(2019·石家庄模拟)某校为了解1 000名高一新生的身体生长状况，用系统抽样法(按等距的规则)抽取40名同学进行检查，将学生从1～1 000进行编号，现已知第18组抽取的号码为443，则第一组用简单随机抽样抽取的号码为( C )A ．16B ．17C ．18D ．19解析：因为从1 000名学生中抽取一个容量为40的样本，所以系统抽样的分段间隔为1 00040＝25，设第一组随机抽取的号码为x ，则抽取的第18组编号为x ＋17×25＝443，所以x ＝18.8．采用系统抽样方法从1 000人中抽取50人做问卷调查，将他们随机编号1,2，…，1 000.适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8.若抽到的50人中，编号落入区间[1,400]的人做问卷A ，编号落入区间[401,750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C ，则抽到的人中，做问卷C 的人数为( A )A ．12B ．13C ．14D ．15解析：根据系统抽样的特点可知，所有做问卷调查的人的编号构成首项为8，公差d ＝1 00050＝20的等差数列{a n }，∴通项公式a n ＝8＋20(n －1)＝20n －12，令751≤20n －12≤1 000，得76320≤n ≤2535，又∵n ∈N *，∴39≤n ≤50，∴做问卷C 的共有12人．9．(2019·江苏南京联合体学校调研)为检验某校高一年级学生的身高情况，现采用先分层抽样后简单随机抽样的方法，抽取一个容量为210的样本，已知每个学生被抽到的概率为0.3，且男女生的比是4∶3，则该校高一年级女生的人数是300.解析：抽取的高一年级女生的人数为210×37＝90，则该校高一年级女生的人数为90÷0.3＝300，故答案为300.10．(2019·湖北重点中学适应模拟)某校高三年级共有30个班，学校心理咨询室为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到30，现用系统抽样的方法抽取5个班进行调查，若抽到的编号之和为75，则抽到的最小的编号为3.解析：系统抽样的抽取间隔为305＝6.设抽到的最小编号为x ，则x ＋(6＋x )＋(12＋x )＋(18＋x )＋(24＋x )＝75，所以x ＝3.11．一个总体中有90个个体，随机编号0,1,2，…，89，依从小到大的编号顺序平均分成9个小组，组号依次为1,2,3，…，9.现用系统抽样方法抽取一个容量为9的样本，规定：如果在第1组随机抽取的号码为m ，那么在第k 组中抽取的号码个位数字与m ＋k 的个位数字相同，若m ＝8，则在第8组中抽取的号码是76.解析：由题意知m ＝8，k ＝8，则m ＋k ＝16，也就是第8组抽取的号码个位数字为6，十位数字为8－1＝7，故抽取的号码为76.12．某企业三个分厂生产同一种电子产品，三个分厂产量分布如图所示，现在用分层抽样方法从三个分厂生产的该产品中共抽取100件做使用寿命的测试，则第一分厂应抽取的件数为50；由所得样品的测试结果计算出一、二、三分厂取出的产品的使用寿命平均值分别为1 020小时、980小时、1 030小时，估计这个企业所生产的该产品的平均使用寿命为1_015小时．解析：第一分厂应抽取的件数为100×50%＝50；该产品的平均使用寿命为1 020×0.5＋980×0.2＋1 030×0.3＝1 015.13．(2019·安徽安庆一中模拟)某中学有高中生960人，初中生480人，为了了解学生的身体状况，采用分层抽样的方法，从该校学生中抽取容量为n 的样本，其中高中生有24人，那么n 等于 ( D )A ．12B ．18C ．24D ．36解析：根据分层抽样方法知n 960＋480＝24960，解得n ＝36. 14．(2019·云南玉溪一中一模)总体由编号为01,02,03，…，49,50的50个个体组成，利用随机数表(以下摘取了随机数表中第1行和第2行)选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第9列和第10列数字开始由左向右读取，则选出来的第4个个体的编号为( B )6667 40 67 14 64 05 71 95 86 11 05 6409 68 76 83 20 37 90 5716 00 11 66 14 90 84 45 11 75 73 88 05 90 52 27 41 14 86A ．05B ．09C ．11D ．20解析：从随机数表第1行的第9列和第10列数字开始，依次是14,05,11,09，则第四个数字是09，故选B.15．为了调研雄安新区的空气质量状况，某课题组对雄县、容城、安新三县空气质量进行调查，按地域特点在三县内设置空气质量观测点．已知三县内观测点的个数分别为6，y ，z ，依次构成等差数列，且6，y ，z ＋6成等比数列，若采用分层抽样的方法抽取12个观测点的数据，则应从容城抽取的观测点的数据个数为( C )A ．8B ．6C ．4D ．2解析：∵6，y ，z 依次构成等差数列，且6，y ，z ＋6成等比数列，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 6＋z ＝2y ，y 2＝6(z ＋6)，解得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12，z ＝18.若采用分层抽样的方法抽取12个观测点的数据，则应从容城抽取的观测点的数据个数为126＋12＋18×12＝4，故选C.16．某高中在校学生有2 000人．为了响应“阳光体育运动”的号召，学校开展了跑步和登山的比赛活动．每人都参与而且只能参与其中一项比赛，各年级参与比赛的人数情况如下表：其中a ∶b ∶c ＝2∶3∶5，全校参与登山的人数占总人数的25.为了了解学生对本次活动的满意程度，从中抽取一个200人的样本进行调查，则从高二年级参与跑步的学生中应抽取的人数为36.解析：根据题意可知，样本中参与跑步的人数为200×35＝120，所以从高二年级参与跑步的学生中应抽取的人数为120×32＋3＋5＝36.。

2024福建省泉州市高三高中毕业班质量监测数学试题与解析

保密★使用泉州市2024届高中毕业班质量监测（一）2023.08数学考试用时120分钟。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合(){}30A x x x =∈-<Z ，{}1,2,3B =-，则A B = （）A.{}2 B.{}2,3 C.{}1,1,2,3- D.∅2.已知复数21iz =-，则2i z +=（）A.C. D.103.已知2sin 21cos 2αα=+，,22ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则tan α=（）A.2-B.12-C.12D.24.已知函数()2f x x =，()22x x g x -=-，如图是下列四个函数中某个函数的大致图象，则该函数是（）A.()()f xg x + B.()()f xg x ⋅ C.()()g x f x D.()()f xg x5.已知双曲线222:16x y C a -=的焦距为C 的渐近线方程是（）A.y x =±B.y =C.3y x =±D.7y x =±6.记等比数列{}n a 的前n 项和为n S .若33S =，8596S S -=-，则6S =（）A.3- B.6- C.21- D.24-7.已知函数())2sin 04f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在[]0,2内有且仅有3个零点，则ω的值可以是（）A.3B.5C.7D.98.方程2y xx y x y x=满足x y ≤的正整数解的组数为（）A.0B.1C.2D.无数组二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。

9.已知函数()22,1,log ,1,x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩则下列结论正确的是（）A.()()03f f <B.()f x 为增函数C.()f x 的值域为()0,+∞ D.方程()f x a =最多有两个解10.某市组织全市高中学生进行知识竞赛，为了解学生知识掌握情况，从全市随机抽取了100名学生，将他们的成绩（单位：分）分成5组：[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100，得到如图所示的频率分布直方图，已知图中未知的数据a ，b ，c 成等差数列，成绩落在[)60,70内的人数为40.从分数在[)70,80和[)80,90的两组学生中采用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中抽取3人，记3人中成绩在[)80,90内的人数为ξ，设事件A =“至少1人成绩在[)80,90内”，事件B =“3人成绩均在[)70,80内”.则下列结论正确的是（）A.0.03b =B.()65E ξ=C.A 与B 是互斥事件，但不是对立事件D.估计该市学生知识竞赛成绩的中位数不高于72分11.已知圆柱12OO 的轴截面是正方形ABCD ，AB 为底面圆1O 的直径，点E 在圆1O 上，点F 在圆2O 上，且E ，F 不在平面ABCD 内.若A ，E ，C ，F 四点共面，则（）A.直线BE ∥平面ADFB.直线BD ⊥平面AECFC.平面ADF ∥平面BCED.平面BEF ⊥平面AECF12.已知ABP △的顶点P 在圆()()22:3481C x y -+-=上，顶点A ，B 在圆22:4O x y +=上.若AB =）A.ABP △的面积的最大值为B.直线PA 被圆C截得的弦长的最小值为C.有且仅有一个点P ，使得ABP △为等边三角形D.有且仅有一个点P ，使得直线PA ，PB 都是圆O 的切线泉州市2024届高中毕业班质量监测（一）2023.08数学三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

随机抽样、用样本估计总体习题及答案解析

随机抽样、用样本估计总体1.某棉纺厂为了解一批棉花的质量,从中随机抽测了100根棉花纤维的长度(棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标).所得数据均在区间[5,40]中,其频率分布直方图如图所示,则在抽测的100根中,有根棉花纤维的长度小于20 mm.惠生活观影指南爱尚嘟嘟园迅播影院请支持我们，有更多资源和动力【答案】 30【解析】因为频率分布直方图的矩形的高为,频率概率故矩形的高⨯组距即为频率.从图中可知长度小于20 mm 的频率为(0.01+0.01+0.04)50⨯=.3,又总体为100根,故纤维长度小于20 mm 的根数为1000⨯.3=30根. 惠生活观影指南爱尚嘟嘟园迅播影院请支持我们，有更多资源和动力课后作业夯基基础巩固2.从2 008名学生中选取50名学生参加全国数学联赛,若采用下面的方法选取:先用简单随机抽样从2 008人中剔除8人,剩下的2 000人再按系统抽样的方法抽取,则这2 008名学生中每人入选的概率( )A.不全相等B.均不相等C.都相等,且为502008D.都相等,且为140【答案】 C 【解析】随机抽样过程中,保证每个个体被抽取的可能性是相等的,所以每人入选的概率都相等,且为502008. 3.某校选修乒乓球课程的学生中,高一年级有30名,高二年级有40名,现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本,已知在高一年级的学生中抽取了6名,则在高二年级的学生中应抽取的人数为… ( )A.6B.8C.10D.12【答案】 B【解析】分层抽样的原理是按照各部分所占的比例抽取样本,设从高二年级抽取的学生数为n ,则30640n=,得n =8. 4.某工厂对一批产品进行了抽样检测.下图是根据抽样检测后的产品净重(单位:克)数据绘制的频率分布直方图,其中产品净重的范围是[96,106],样本数据分组为[96,98),[98,100),[100,102),[102,104),[104,106],已知样本中产品净重小于100克的个数是36,则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是( )A.90B.75C.60D.45【答案】A【解析】样本中产品净重小于100克的频率为(0.050+0.100)⨯2=0.3,频数为36.样本总数为36120 03= ..∵样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的频率为(0.100+0.150+0.125)20⨯=.75, ∴样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数为1200⨯.75=90.5.若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示,则这组数据的中位数和平均数分别是( )A.91.5和91.5B.91.5和92C.91和91.5D.92和92【答案】A【解析】按照从小到大的顺序排列为87,89,90,91,92,93,94,96.∵有8个数据,∴中位数是中间两个数的平均数:91922+=91.5,平均数为8789909192939496918+++++++=.5,故选A.6.一组数据的平均数是4.8,方差是3.6,若将这组数据中的每一个数据都加上60,得到一组新数据,则所得新数据的平均数和方差分别是( )A.55.2,3.6B.55.2,56.4C.64.8,63.6D.64.8,3.6【答案】D【解析】每一个数据都加上60时,平均数也应加上60,而方差不变.7.为了解1 200名学生对学校某项教改实验的意见,打算从中抽取一个容量为30的样本,考虑采取系统抽样,则分段的间隔k为.【答案】40【解析】在系统抽样中,确定分段间隔k,对编号进行分段,(N k N n=为总体的容量,n 为样本的容量), ∴12004030N k n ===. 8.高三(1)班共有56人,学号依次为1,2,3,…,56,现用系统抽样的办法抽取一个容量为4的样本,已知学号为6,34,48的同学在样本中,那么还有一个同学的学号应为 .【答案】 20【解析】根据题意,56人应分为4组,每组14人,第一组为6号,第二组为6+14=20号,第三组为20+14=34号,第四组为34+14=48号,故还有一个同学的学号为20.9.为了调查某厂工人生产某种产品的能力,随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量,产品数量的分组区间为[45,55),[55,65),[65,75),[75,85),[85,95],由此得到频率分布直方图如图,则由此估计该厂工人一天生产该产品数量在[55,70)的人数约占该厂工人总数的百分率是 .【答案】 52.5%【解析】结合频率分布直方图可以看出:生产数量在[55,65)的人数频率为0.04100⨯=.4,生产数量在[65,75)的人数频率为0.025⨯10=0.25,而生产数量在[65,70)的人数频率约为0.25⨯102=.125,那么生产数量在[55,70)的人数频率约为0.4+0.125=0.525,即52.5%. 10.(2011江苏高考,6)某老师从星期一到星期五收到的信件数分别为10,6,8,5,6,则该组数据的方差2s = .【答案】 165【解析】 ∵10685675x ++++==, ∴2s = 22222(107)(67)(87)(57)(67)1655-+-+-+-+-=. 11.为了分析某篮球运动员在比赛中发挥的稳定程度,统计了该运动员在6场比赛中的得分,用茎叶图表示如图,则该组数据的方差为.【答案】 5 【解析】该运动员6场的总得分为14+17+18+18+20+21=108,平均得分为10818(6=分),方差为 2222221[(1418)(1718)(1818)(1818)(2018)(2118)]56-+-+-+-+-+-=,故填5. 12.对甲、乙两名自行车赛手在相同条件下进行了6次测试,测得他们的最大速度(m/s)的数据如下表:惠生活观影指南爱尚嘟嘟园迅播影院请支持我们，有更多资源和动力(1)画出茎叶图,由茎叶图你能获得哪些信息?(2)分别求出甲、乙两名自行车赛手最大速度(m/s)数据的平均数、中位数、标准差,并判断选谁参加比赛更合适【解】 (1)画茎叶图,如图所示,中间数为数据的十位数.从这个茎叶图上可以看出,甲、乙的得分情况都是分布均匀的,只是乙更好一些;乙的中位数是33.5,甲的中位数是33.因此乙总体得分情况比甲好(2)根据公式得3333x x =,=甲乙;s =甲 3.96s ,=乙 3.35;甲的中位数是33,乙的中位数是综合比较选乙参加比赛较为合适.。

陕西省汉中市2023届高三上学期教学质量第一次检测理科数学试题(含答案解析)

（）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．函数 f x 2 x3 x e x 的图象大致是（）
A．
B．
C．
D．
5．m，n 为空间中两条不重合直线，为空间中一平面，则下列说法正确的是（）
A．若 m // n ， n ，则 m / /
B．若 m ， m // n ，则 n
7．A 【分析】先将原函数用诱导公式变形为正弦函数表示，再根据“左加右减”的原则判断即可.
【详解】
y
cos
2x
3
cos
2x
5 6
2
sin
2x
5 6
sin
2
x
5 12
故可由
y
sin2x 的图象向左平移
5 12
个单位长度得到.
故选：A.
8．C
【分析】分别安排各场馆的志愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解.
三、解答题
17．已知 a,b, c 分别为 ABC 内角 A, B,C 的对边，且 2b a cosC c cosA
(1)求角 C ； (2)若 c2 2ab,ABC 的面积为 3 ，求 a b 的值. 18．如图，多面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 为菱形， ABB FA 2ED 2 .
A．
1 3
B． 2 5
C．
1 2
D． 3 5
11．若双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0)
的实轴的两个端点与抛物线
x2
8by
的焦点是一个直
角三角形的顶点，则该双曲线的离心率为（）

高三数学用样本估计总体试题

高三数学用样本估计总体试题1.某学生在一门功课的22次考试中，所得分数如下茎叶图所示，则此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和为（）A．117B．118C．118．5D．119．5【答案】B【解析】22次考试分数最大为98，最小为56，所以极差为98-56=42，从小到大排列，中间两数为76,76，所以中位数为76，所以此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和为42+76=118，故选B.【考点】茎叶图.2. PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，一般情况下PM2.5的浓度越大，大气环境质量越差.右边的茎叶图表示的是成都市区甲乙两个监测站某10日内每天的PM2.5浓度读数(单位：)，则下列说法正确的是( )A．这10日内甲、乙监测站读数的极差相等B．这10日内甲、乙监测站读数的中位数中，乙的较大C．这10日内乙监测站读数的众数与中位数相等D．这10日内甲、乙监测站读数的平均数相等【答案】C【解析】甲的极差是98－43＝55，乙的极差是94－37＝57，两者不相等，A错误；甲的中位数是＝74，乙的中位数是68，甲的中位数较大，B错误；乙的众数为68，与中位数相同，C正确；甲的平均数是(43＋63＋65＋72＋73＋75＋78＋81＋86＋98)×＝73.4乙的平均数是(37＋58＋61＋65＋68＋68＋71＋77＋82＋94)×＝68.1，可知D错误【考点】统计，茎叶图，极差，中位数，众数，平均数.3.有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：[11．5,15．5)2[15．5,19．5) 4[19．5,23．5)9[23．5,27．5)18[27．5,31．5)11[31．5,35．5)12[35．5,39．5)7[39．5,43．5) 3根据样本的概率分布估计，大于或等于31．5的数据约占()A．B．C．D．【答案】B【解析】大于或等于31．5的数据是最后的3组，故大于或等于31．5的数据约占＝．4.从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表：质量指标值分组[75，85)[85，95)[95，105)[105，115)[115，125)（I）在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图：（II）估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（III）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？【答案】（1）（2）质量指标值的样本平均数为100，质量指标值的样本方差为104（3）不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定.【解析】（1）根据频率分布表与频率分布直方图的关系，先根据：频率=频数／总数计算出各组的频率，再根据：高度=频率／组距计算出各组的高度，即可以组距为横坐标高度为纵坐标作出频率分布直方图;（2）根据题意欲计算样本方差先要计算出样本平均数，由平均数计算公式可得：质量指标值的样本平均数为，进而由方差公式可得：质量指标值的样本方差为;（3）根据题意可知质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为，由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定.试题解析：（1）（2）质量指标值的样本平均数为.质量指标值的样本方差为.所以这种产品质量指标值（3）质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为，由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定.【考点】1.频率分布表;2.频率分布直方图;3.平均数与方差的计算5.某车间名工人年龄数据如下表：合计（1）求这名工人年龄的众数与极差；（2）以十位数为茎，个位数为叶，作出这名工人年龄的茎叶图；（3）求这名工人年龄的方差.【答案】（1）众数为，极差为；（2）详见解析；（3）.【解析】（1）根据频率分布表中的相关信息结合众数与极差的定义求出众数与极差；（2）根据频率分布表中的信息以及茎叶图的作法作出这名工人年龄的茎叶图；（3）根据茎叶图所反映的信息，先求出平均数，然后根据方差的计算公式求出这名工人年龄的方差.（1）这名工人年龄的众数为，极差为；（2）茎叶图如下：（3）年龄的平均数为，故这名工人年龄的方差为.【考点】本题考查茎叶图、样本的数字特征，考查茎叶图的绘制，以及样本的众数、极差、平均数以及方差的计算，属于中等题.6.为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（）A．6B．8C．12D．18【答案】C【解析】由图知，样本总数为设第三组中有疗效的人数为，则，故选C.【考点】频率分布直方图.7.从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：（1）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；（2）求频率分布直方图中的a，b的值；（3）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组（只需写出结论）【答案】（1）；（2），；（3）第4组.【解析】（1）由频率分布表与频率分布直方图即可得结果；（2）由频率分布直方图即可得的值;(3)求平均数..（1）根据频数分布表，100名学生中课外阅读时间不少于12小时的学生共有6=2+2=10名，所以样本中的学生课外阅读时间少于12小时的频率是.从该校随机选取一名学生，估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率为.（2）课外阅读时间落在组的有17人，频率为，所以，课外阅读时间落在组的有25人，频率为，所以.（3）估计样本中的100名学生课外阅读时间的平均数在第4组.【考点】本小题主要考查频率分布表、频率分布直方图、频率与概率的关系等基础知识，难度不大，熟练基础知识是解决好本类题目的关键.8.(2014·厦门模拟)样本中共有五个个体,其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均值为1,则样本方差为()A．B．C．D．2【答案】D【解析】因为=1,得a=-1,所以s2=[(-1-1)2+(0-1)2+(1-1)2+(2-1)2+(3-1)2]=2.9.在样本的频率分布直方图中，共有n个小矩形，若中间一个小矩形的面积等于其余(n－1)个小矩形面积的，且样本容量为300，则中间一组的频数为( )A．30B．40C．50D．60【答案】C【解析】设中间一个小矩形的面积为x，则其余(n－1)个小矩形面积和为5x，所以x＝。

高中数学(人教A版)必修第二册课后习题：简单随机抽样【含答案及解析】

第九章统计9.1随机抽样9.1.1简单随机抽样课后篇巩固提升必备知识基础练1.为抽查汽车排放尾气的合格率,某环保局在一路口随机抽查,这种抽查是()A.放回简单随机抽样B.抽签法C.随机数法D.以上都不对(包括总体个数),因此不属于简单随机抽样.2.高三某班有34位同学,座位号记为01,02,…,34,用下面的随机数表选取5组数作为参加青年志愿者活动的五位同学的座号.选取方法是从随机数表第一行的第6列和第7列数字开始,由左向右依次选取两个数字,则选出来的第4个志愿者的座号为()495443548217379323788735209643842634916457245506887704744767217633502583921206A.23B.09C.16D.02,依次抽取的样本数据为:21,32,09,16,17,所以第4个数据是16.3.总体由编号为01,02,…,19,20的20个个体组成,利用下面的随机数表选取5个个体,选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为()78166572080263140702436997280198 32049234493582003623486969387481A.08B.07C.02D.01,选出的5个个体的编号为:08,02,14,07,01,故第5个个体的编号是01.4.某总体容量为M ,其中带有标记的有N 个,现用简单随机抽样的方法从中抽取一个容量为m 的样本,则抽取的m 个个体中带有标记的个数估计为( )A.mN MB.mM NC.MN mD.N总体中带有标记的比例是N M ,则抽取的m 个个体中带有标记的个数估计为mN M .5.“XX 彩票”的中奖号码是从分别标有01,02,…,30的30个小球中逐个不放回地选出7个小球来按规则确定中奖情况,这种从30个号码中选7个号码的抽样方法是 .个小球相当于号签,搅拌均匀后逐个不放回地抽取,这是典型的抽签法.6.用随机数法从100名学生(男生25人)中抽选20人进行评教,某男学生被抽到的可能性是 ,某女学生被抽到的可能性是 ..2 0.220,总体数量为100,所以总体中每个个体被抽到的可能性都为20100=0.2.7.已知数据x 1,x 2,…,x n 的平均数为x =4,则数据3x 1+7,3x 2+7,…,3x n +7的平均数为 .数据x 1,x 2,…,x n 的平均数为x =4,即数据(x 1+x 2+…+x n )=4n ,则数据3x 1+7,3x 2+7,…,3x n +7的平均数3(x 1+x 2+…+x n )+7nn =3×4n+7n n=19. 8.学校举办元旦晚会,需要从每班选10名男生,8名女生参加合唱节目,某班有男生32名,女生28名,试用抽签法确定该班参加合唱节目的同学.,将32名男生从00到31进行编号.第二步,用相同的纸条制成32个号签,在每个号签上写上这些编号.第三步,将写好的号签放在一个不透明的容器内摇匀,不放回地从中逐个抽出10个号签.第四步,相应编号的男生参加合唱.第五步,用相同的办法从28名女生中选出8名,则此8名女生参加合唱.关键能力提升练9.(2021江西南昌二模)从编号依次为01,02,…,20的20人中选取5人,现从随机数表的第一行第3列和第4列数字开始,由左向右依次选取两个数字,则第五个编号为( ) 5308 3395 5502 6215 2702 4369 3218 1826 099478465887 3522 2468 3748 1685 9527 1413 8727 14955656A.09B.02C.15D.183列和第4列数字开始,依次读取:08,33(舍),95(舍),55(舍),02,62(舍),15,27(舍),02(舍),43(舍),69(舍),32(舍),18,18(舍),26(舍),09,则第五个编号为09.故选A.10.用放回简单随机抽样的方法从含有10个个体的总体中抽取一个容量为3的样本,其中某一个体a“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性分别是()A.110,110B.310,15C.1 5,310D.310,310,个体a每次被抽中的概率是相等的,因为总体容量为10,故个体a“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性均为110.故选A.11.从一群游戏的小孩中随机抽出k人,一人分一个苹果,让他们返回继续游戏.过了一会儿,再从中任取m人,发现其中有n个小孩曾分过苹果,估计参加游戏的小孩的人数为()A.knmB.k+m-nC.kmnD.不能估计x人,则kx =nm,解得x=kmn.12.(多选题)下列调查中,适宜采用抽样调查的是()A.调查某市中小学生每天的运动时间B.某幼儿园中有位小朋友得了手足口病,对此幼儿园中的小朋友进行检查C.农业科技人员调查今年麦穗的单穗平均质量D.调查某快餐店中8位店员的生活质量情况B中要对所有小朋友进行检查,所以用普查的方式;D中共8名店员,可采用普查的方式;A,C 中总体容量大,难以做到普查,故采用抽样调查的方式.13.(多选题)下列抽样方法是简单随机抽样的是()A.从50个零件中随机抽取5个做质量检验B.从50个零件中每次抽取一个有放回地共抽取5次做质量检验C.从整数集中随机抽取10个分析奇偶性D.运动员从8个跑道中随机选取一个跑道不是,因为整数集是无限集.14.(多选题)下列抽取样本的方式,不是简单随机抽样的是()A.从无限多个个体中抽取100个个体作为样本B.盒子里共有80个零件,从中逐个不放回地选出5个零件进行质量检验C.从80件玩具中一次性随机抽取3件进行质量检验D.某班有56名同学,指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛不是简单随机抽样,原因是简单随机抽样中总体的个数是有限的,而题中是无限的;B,C是简单随机抽样;D不是简单随机抽样,原因是指定个子最高的5名同学是56名同学中特指的,不存在随机性,不是等可能抽样.15.假设要抽查某种品牌的900颗种子的发芽率,抽取60粒进行实验.利用随机数法抽取种子时,先将900颗种子按001,002,…,900进行编号,如果从随机数表第8行第7列的数字7开始向右读,请你依次写出最先检测的3颗种子的编号.(下面摘取了随机数表第7行至第9行)84 42 17 53 3157 24 55 06 8877 04 74 47 6721 76 33 50 2583 92 12 06 7663 01 63 78 5916 95 55 67 1998 10 50 71 7512 86 73 58 0744 39 52 38 7933 21 12 34 2978 64 56 07 8252 42 07 44 3815 51 00 13 4299 66 02 79 548行第7列的数字7开始向右读,第一个符合条件的是785,916要舍去,955要舍去,第二个符合条件是567,第三个符合条件是199,故最先检测的3颗种子的编号为785,567,199.16.某工厂抽取50个机械零件检验其直径大小,得到如下数据:估计这个工厂生产的零件的平均直径大约为..84 cm y=12×12+13×34+14×4=12.84(cm).50学科素养创新练17.选择合适的抽样方法抽样,并写出抽样过程.(1)现有一批电子元件600个,从中抽取6个进行质量检测;(2)现有甲厂生产的30个篮球,其中一箱21个,另一箱9个,抽取3个入样.总体中个体数较大,用随机数法.第一步,给元件编号为001,002,003,...,099,100, (600)第二步,用随机数工具产生1~600范围内的整数随机数,把产生的随机数作为抽中的编号,使与编号对应的电子元件进入样本;第三步,依次操作,如果生成的随机数有重复,则剔除并重新产生随机数,直到样本量达到6;第四步,以上这6个号码对应的元件就是要抽取的对象.(2)总体中个体数较小,用抽签法.第一步,将30个篮球,编号为01,02, (30)第二步,将以上30个编号分别写在外观、质地等无差别的小纸条上,制成号签; 第三步,把号签放入一个不透明的盒子中,充分搅拌;第四步,从盒子中不放回地逐个抽取3个号签,并记录上面的号码;第五步,找出和所得号码对应的篮球.。

陕西省汉中市2022届高三数学上学期第五次质量检测试题理(含解析)

因为 .
所以的外接圆半径 .
所以 .
因为点S到平面ABC的距离为 , 平面 ,
所以 .即
在中： .
所以 .
故填： .
【点睛】本题考查球上的点到三角形中心的距离的求法,属于中档题,解题时要认真审题，注意球的性质和空间思维能力的培养.
三、解答题
17.已知函数．
（I）当时，求的值域；
（II）已知的内角的对边分别为，，，求的面积．
过A和B做AD⊥l，BE⊥l，
由抛物线的定义可知：丨AF丨＝丨AD丨，丨BF丨＝丨BE丨，
|AC|＝2|AF|，即|AC|＝2|AD|，
则∠ACD ，由丨HF丨＝p＝2，
∴ ，
则丨AF丨＝丨AD丨，
设直线AB的方程y （x﹣1），
，整理得：3x2﹣10x+3＝0，
则x1+x2 ，
由抛物线的性质可知：丨AB丨＝x1+x2+p ，
7.已知函数（，）的最小正周期是，将函数的图象向左平移个单位长度后所得的函数图象过点，则函数（）
A. 有一个对称中心 B. 有一条对称轴
C. 在区间上单调递减 D. 在区间上单调递增
【答案】B
【解析】
由题，平移后得到的函数是，其图象过点 , ，因为，， ,故选B.
点睛：本题考查的是的图象及性质.解决本题的关键有两点:一是图象向左平移变换时要弄清是加还是减，是x加减，还是2x加减，另一方面是根据图象过点确定的值时，要结合五点及确定其取值，得到函数的解析式，再判断其对称性和单调性.
【详解】依题意，圆心为，设点的坐标为，由两点间距离公式得，设，，令解得，由于，可知当时，递增，时，，递减，故当时取得极大值也是最大值为，故，故时，且，所以，函数单调递减.当时，，，当时，，即单调递增，且，即，单调递增，而，故当时，函数单调递增，故函数在处取得极小值也是最小值为，故的最小值为，此时 .故选A.

人教A版高中数学第九章第1节《随机抽样》训练题 (8)(含答案解析)

第九章第1节《随机抽样》训练题 (8)一、单选题1．某中学高一、高二和高三各年级人数见表，采用分层抽样的方法调查学生的视力状况，在抽取的样本中，高二年级有20人，那么该样本中高三年级的人数为（）A．16B．18C．22D．402．某工厂为了对40个零件进行抽样调查，将其编号为00，01，…，38，39.现要从中选出5个，利用下面的随机数表，从第一行第3列开始，由左至右依次读取，则选出来的第5个零件编号是（）0347 4373 8636 9647 3661 4698 6371 6233 2616 8045 6011 14109577 7424 6762 4281 1457 2042 5332 3732 2707 3607 5124 5179A．36B．16C．11D．143．某单位有老年人28人，中年人36人，青年人81人，为了调查他们的身体状况，需从他们中抽取一个容量为16的样本，最适合抽取样本的方法是（）A．简单随机抽样B．系统抽样C．分层抽样D．先从老年人中剔除一人，然后分层抽样4．下列抽样方法是简单随机抽样的是（）A．从平面直角坐标系中抽取5个点作为样本B．可口可乐公司从仓库的1000瓶可乐中一次性抽取20瓶进行质量检查C．某连队从200名战士中，挑选出50名最优秀的战士参加抢险救灾D．从10个手机中不放回地随机抽取2个进行质量检验（假设10个手机已编好号，对编号随机抽取）5．为了调查全国人口的寿命，抽查了11个省（市）的2500 名城镇居民，这2500名城镇居民的寿命的全体是（）A．总体B．个体C．样本D．样本容量6．高一年级有男生510人，女生490人，小明按男女比例进行分层随机抽样，总样本量为100.则在男生中抽取的样本量为（）A．48B．51C．50D．497．某校高二年级有男生600人，女生500人，为了解该年级学生的体育达标情况，从男生中任意抽取30人，从女生中任意抽取25人进行调查．这种抽样方法是（）A．系统抽样法B．抽签法C．随机数法D．分层抽样法8．某学校有小学生126人，初中生280人，高中生95人，为了调查学生的近视情况，从他们当中抽取一个容量为100的样本，采用何种方法较为恰当（）A．简单随机抽样B．系统抽样C．分层抽样D．先从小学生中剔除1人然后再分层抽样9．某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001，002，，599，600，从中抽取60个样本，如下提供随机数表的第5行到第7行：若从表中第6行第6列开始向右依次读取3个数据，则得到的第8个样本编号为（）A．324B．345C．577D．57810．甲、乙两套设备生产的同类型产品共4 800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测．若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为（）件.A．1800B．1600C．1900D．100011．某单位员工按年龄分为A，B，C三组，其人数之比为5∶4∶1，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本，则B组应抽取的人数为（）A．2B．4C．8D．1012．某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有50名，高二年级有30名.现用分层抽样的方法在这80名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了10名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为（）A．6B．8C．10D．1213．现有以下两项调查：∶某装订厂平均每小时大约装订图书362册，要求检验员每小时抽取40册图书，检查其装订质量状况；∶某市有大型、中型与小型的商店共1500家，三者数量之比为1∶5∶9.为了调查全市商店每日零售额情况，抽取其中15家进行调查.完成∶∶这两项调查宜采用的抽样方法依次是（）A．简单随机抽样法，分层抽样法B．分层抽样法，简单随机抽样法C．分层抽样法，系统抽样法D．系统抽样法，分层抽样法14．一支田径队有男运动员56人，女运动员42人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为N的样本，如果样本按比例分配，男运动员抽取的人数为16人，则N 为（）A．16B．20C．24D．2815．为调查德克士各分店的经营状况，某统计机构用分层随机抽样的方法，从A，B，C三个城市中抽取若干家德克士分店组成样本进行深入研究，有关数据见下表：（单位：个）则样本量为（）A．12B．10C．6D．416．从某市参加升学考试的学生中随机抽查1000名学生的数学成绩进行统计分析，在这个问题中，下列说法正确的是（）A．总体指的是该市参加升学考试的全体学生B．样本是指1000名学生的数学成绩C．样本容量指的是1000名学生D．个体指的是1000名学生中的每一名学生17．对于简单随机抽样，每个个体被抽到的机会（）A．相等B．不相等C．与抽样次序有关D．不确定18．从一个容量为m（3m≥，m N∈）的总体中抽取一个容量为3的样本，当选取简单随机抽样方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的可能性是13，则选取分层随机抽样方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的可能性是（）A．15B．14C．12D．1319．某企业生产甲､乙､丙三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：5，现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中甲型号产品有12件，则此样本的容量为（）A．40B．60C．80D．12020．某奶制品工厂某天甲、乙、丙、丁四类奶制品的产量分别为2000盒、1250盒、1250盒、500盒．若按产量比例用分层随机抽样的方法抽取一个样本容量为60的样本，则样本中甲类奶制品的数量为（）A．6盒B．15盒C．20盒D．24盒21．某班有男生20人，女生30人，用分层抽样的方法从该班抽取10 人参加志愿者活动，则应抽取的女生人数为（）A．3B．4C．7D．622．2020年一场突如其来的新冠肺炎疫情让全世界生灵涂炭、经济停顿，应对新冠肺炎的有效办法之一就是接种疫苗．目前常见的国产疫苗有3种，生产厂家分别是国药集团武汉生物研究所（国药武汉）国药集团北京生物研究所（国药北京）、科兴控股生物技术有限公司（科兴生物）．某地分别从这三家厂家采购了30000支、20000支、50000支疫苗用于接种，每人要接种两支，且需接种同一厂家生产的疫苗，所有疫苗都接种完后，某同学为调查疫苗接种的效果采用分层抽样的方法从所有已接种人员中抽取部分个体进行调查，若已知他调查的人员中，接种科兴生物疫苗的人数比接种国药北京疫苗的人数多150，那么他所抽取的样本容量是（）A．250B．500C．750D．100023．某中学高一有男生600人，若按性别比例用分层抽样的方法从高一全体学生中抽取一个容量为120的样本，样本中的女生人数为48,则该中学高一共有学生（）A．800人B．900人C．1000人D．1200人24．下列情况中，适合用全面调查的是（）A．检查某人血液中的血脂含量B．调查某地区的空气质量状况C．乘客上飞机前的安检D．调查某市市民对垃圾分类处理的意识25．某全日制大学共有学生5600人，其中专科生有1300人，本科生有3000人，研究生有1300人，现采用分层抽样的方法调查学生利用因特网查找学习资料的情况，抽取的样本为280人，则应在专科生、本科生与研究生这三类学生中分别抽取（）A．65人，150人，65人B．30人，150人，100人C．93人，94人，93人D．80人，120人，80人26．交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对新法规“开车不喝酒，喝酒不开车”的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查，假设四个社区总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人，若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取人数分别为12，21，25、43，则这四个社区驾驶员的总人数N为（）A．101B．808C．1212D．212127．我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除，某单位老年、中年、青年员工分别有80人、100人、120人，现采用分层随机抽样的方法，从该单位上述员工中抽取30人调查专项附加扣除的享受情况，则应该从青年员工中抽取的人数为（）A．8人B．10人C．12人D．18人28．某校有老师200人，男学生1200人，女学生1000人.现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n的样本；已知从女学生中抽取的人数为80人，则n的值为（）A．120B．192C．200D．24029．（1）某小区有800户家庭，其中高收入家庭200户，中等收入家庭480户，低收入家庭120户，为了解有关家用轿车购买力的某个指标，从中抽取一个容量为100的样本；（2）从10名学生中抽取3名参加座谈会.问题和抽样方法配对正确的是（）A．（1）简单随机抽样法，（2）分层随机抽样法B．（1）分层随机抽样法，（2）简单随机抽样法C．（1）简单随机抽样法，（2）简单随机抽样法D．（1）分层随机抽样法，（2）分层随机抽样法30．总体由编号为00，01，…，28，29的30个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第6列和第7列开始由左到右依次选取两个数字．则选出来的第5个个体的编号为（）0842 2689 5319 6450 9303 2320 9025 6015。

高三数学随机抽样试题

高三数学随机抽样试题1.某私立校共有3600人，其中高中部、初中部、小学部的学生人数成等差数列递增，已知公差为600,现在按1：100的抽样比，用分层抽样的方法抽取样本，则应抽取小学部学生人数为 .【答案】18【解析】根据等差数列的性质可知，公差为600，连续的三项何为3600，可知中间的初中部的学生为1200，那么高中部为600，小学部为1800，则可知按照比例1：100的抽样比，那么小学生抽取的人数为1800，答案为18.【考点】分层抽样点评：考查了分层抽样的概念和等比例性质的运用，属于基础题。

2.某高中学校有高一学生400人，高二学生300人，高三学生300人，现通过分层抽样抽取一个容量为n的样本，已知每个学生被抽到的概率为0.2，则n=；【答案】200【解析】由，得.【考点】分层抽样．点评：本题考查分层抽样方法，涉及等可能事件的概率计算，是简单题；熟悉分层抽样方法的定义即可．3.一支田径队有男运动员28人，女运动员21人，现按性别用分层抽样的方法，从中抽取14位运动员进行健康检查，则男运动员应抽取________人．【答案】8【解析】男女运动员人数的比是，所以要抽取14人，需要抽取男运动员人.【考点】本小题主要考查分层抽样.点评：应用分层抽样抽取样本时，关键是找出各层的比例，按比例抽取即可.4.（本小题满分13分）某校高三（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答下列问题：（Ⅰ）求全班人数及分数在之间的频数；（Ⅱ）不看茎叶图中的具体分数，仅根据频率分布直方图估计该班的平均分数；（Ⅲ）若要从分数在之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，求至少有一份分数在之间的概率．【答案】（Ⅰ）全班人数为25人，分数在之间频数为4；Ⅱ）；Ⅲ）. 【解析】（Ⅰ），即全班人数为25人，分数在之间频数为4 4分（Ⅱ）平均分数估计值 8分（Ⅲ）记这6份试卷代号分别为1，2，3，4，5，6.其中5，6是之间的两份，则所有可能的抽取情况有： 1,2 1,3 1,4 1,5 1,62,3 2,4 2,5 2,63,4 3,5 3,64,5 4,65,6 10分其中含有5或6的有9个，故. 13分【考点】本题考查了概率求法、统计．茎叶图、频率分布直方图的认识与应用点评：此类问题常常考查统计学知识，包括茎叶图，频率分布直方图，统计案例（线性回归分析和独立性检验）．他们之间的综合问题更应引起重视，以及与概率等知识综合在一起进行设计试题是近几年高考的一种命题趋势5.某校有教师160人，男学生960人，女学生800人，现用分层抽样的方法从所有教师中抽取一个容量为n的样本，已知从女学生中抽取的人数为80人，则n的值为。

高中数学必修三简单随机抽样及系统抽样课后练习含答案

简单随机抽样及系统抽样课后练习题一：下列说法中正确说法的个数是()①总体中的个体数不多时宜用简单随机抽样法；②在总体均分后的每一部分进行抽样时，采用的是简单随机抽样；③百货商场的抓奖活动是抽签法；④整个抽样过程中，每个个体被抽取的概率相等(有剔除时例外)．A．1 B．2 C．3 D．4题二：在100个零件中，有一级品20个，二级品30个，三级品50个，从中抽取20个作为样本．①采用随机抽样法：抽签取出20个样本．②采用系统抽样法：将零件编号为00,01，…，99，然后平均分组抽取20个样本．③采用分层抽样法：从一级品，二级品，三级品中抽取20个样本．下列说法中正确的是()A．无论采用哪种方法，这100个零件中每一个被抽到的概率都相等B．①②两种抽样方法，这100个零件中每一个被抽到的概率都相等；③并非如此C．①③两种抽样方法，这100个零件中每一个被抽到的概率都相等；②并非如此D．采用不同的抽样方法，这100个零件中每一个零件被抽到的概率是各不相同的题三：在某班的50名学生中，依次抽取学号为5、10、15、20、25、30、35、40、45、50的10名学生进行作业检查，这种抽样方法是() ．A．随机抽样B．分层抽样C．系统抽样D．以上都不是题四：(1)某学校为了了解2012年高考数学的考试成绩，在高考后对1 200名学生进行抽样调查，其中文科400名考生，理科600名考生，艺术和体育类考生共200名，从中抽取120名考生作为样本．(2)从10名家长中抽取3名参加座谈会．Ⅰ.简单随机抽样法Ⅱ.系统抽样法Ⅲ.分层抽样法．问题与方法配对正确的是()A．(1)Ⅲ，(2)ⅠB．(1)Ⅰ，(2)ⅡC．(1)Ⅱ，(2)ⅢD．(1)Ⅲ，(2)Ⅱ题五：一个总体的60个个体编号为00,01，…，59，现需从中抽取一容量为8的样本，请从随机数表的倒数第5行(下表为随机数表的最后5行)第11列开始，向右读取，直到取足样本，则抽取样本的号码是________．95 33 95 22 0018 74 72 00 1838 79 58 69 3281 76 80 26 9282 80 84 25 3990 84 60 79 8024 36 59 87 3882 07 53 89 3596 35 23 79 1805 98 90 07 3546 40 62 98 8054 97 20 56 9515 74 80 08 3216 46 70 50 8067 72 16 42 7920 31 89 03 4338 46 82 68 7232 14 82 99 7080 60 47 18 9763 49 30 21 3071 59 73 05 5008 22 23 71 7791 01 93 20 4982 96 59 26 9466 39 67 98 60题六：设某校共有100名教师，为了支援西部教育事业，现要从中随机抽出12名教师组成暑期西部讲师团，请写出利用随机数法抽取该样本的步骤．随机数表（部分）：6964736614699698162 9774246762428123732 16766713 125685992696966827310503729315 555956356438548246223162430990 162277943949544354821737932378 8442175337704744767 6355567199810507175 3321123429786456428 5762796544917460962 18716582 2662389775841663224 2342477810745321408 6236281995556763138 3785943512833959688题七：在120个零件中，一级品24个，二级品36个，三级品60个，用系统抽样方法从中抽取容量为20的样本，则三级品a被抽到的可能性为________．题八：在一个个体数目为2 003的总体中，利用系统抽样抽取一个容量为100的样本，则总体中每个个体被抽到的机会为（）．（A）120（B）1100（C）1002 003（D）12 000题九：为了了解参加某次知识竞赛的1252名学生的成绩，决定采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，那么从总体中应随机剔除的个体数目为()A．2B．3C．4 D．5题十：学校为了了解某企业 1 203名职工对公司餐厅建设的意见，打算从中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔k为（）．（A）40 （B）30.1 （C）30 （D）12题十一：要从已经编号(1～50)的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚来进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的5枚导弹的编号可能是()．A．5, 10, 15, 20, 25 B．3, 13, 23, 33, 43C．1, 2, 3, 4, 5 D．2, 4, 8, 16, 32题十二：用系统抽样法从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生随机地从1～160编号，按编号顺序平均分成20组（1～8，9～16，…，153～160），若第16组得到的号码为126，则第1组中用抽签的方法确定的号码是（）．（A）8 （B）6 （C）4 （D）2题十三：将参加学校期末考试的高三年级的400名学生编号为001,002,…，400,已知这400名学生到甲乙丙三栋楼去考试，从001到200在甲楼，从201到295在乙楼，从296到400在丙楼；采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本且随机抽得的首个号码为003，则三个楼被抽中的人数依次为___________．题十四：采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，……，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间的人做问卷A，编号落入区间的人做问卷B，其余的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷B的人数为()A．7B．9C．10 D．15题十五：一个总体中有100个个体，随机编号为00，01，02，…，99，依编号顺序平均分成10个小组，组号分别为1，2，3，…，10.现抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组中随机抽取的号码为m，那么在第k组中抽取的号码个位数字与m＋k的个位数字相同．若m＝6，则在第7组中抽取的号码是________．题十六：一个总体中的100个个体的编号分别为0,1,2,3，…，99，依次将其分成10个小段，段号分别为0,1,2，…，9.现要用系统抽样的方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第0段随机抽取的号码为l，那么依次错位地取出后面各段的号码，即第k段中所抽取的号码的个位数为l＋k或l＋k－10(l＋k≥10)，则当l＝6时，所抽取的10个号码依次是________．简单随机抽样及系统抽样课后练习参考答案题一：C．详解：①②③显然正确，系统抽样无论有无剔除都是等概率抽样；④不正确．题二：A．详解：上述三种方法均是可行的，每个个体被抽到的概率均等于20100＝15．故选A．题三：C．详解：由系统抽样的特点——等距，可知C正确．题四：A．详解：通过分析可知，对于(1)，应采用分层抽样法，对于(2)，应采用简单随机抽样法．题五：18, 00, 38, 58, 32, 26, 25, 39．详解：由随机数表法抽取的规则，所取的数要在00～59之间，且重复出现的仅算一次可得．题六：见详解．详解:第一步，将100名教师进行编号：00,01,02， (99)第二步，在随机数表中任取一数作为开始，如从第12行第9列开始．第三步，依次向右读取(两位、两位读取)，75,84,16,07,44,99,83,11,46,32,24,23.以这12个编号对应的教师组成样本．题七：1 6．详解：每一个个体被抽到的概率都是样本容量除以总体，即20120＝16．题八：C．详解：采用系统抽样的方法从个体数目为2003的总体中抽取一个样本容量为100的样本，每个个体被抽到的可能性都相等，于是每个个体被抽到的机会都是1002 003．题九：A．详解：因为1252＝50×25＋2，所以应随机剔除2个个体，故选A．题十：C．详解：了解1 203名职工对公司餐厅建设的意见，打算从中抽取一个容量为40的样本，∵1 203除以40不是整数，∴先随机去掉3个人，再除以40，得到每一段有30个人，则分段的间隔k为30．题十一：B．详解：根据系统抽样的特点，可将50枚导弹分成5组(10枚/组)，再等距抽取．题十二：B．详解：∵16020=8，∴第1组中号码为126-15×8=6．题十三：25, 12, 13．详解：由系统抽样的方法先确定分段的间隔k，k =40050=8，故甲楼被抽中的人数为：2008=25（人）．因为95=11×8+7，故乙楼被抽中的人数为12人．故丙楼被抽中的人数为50-25-12=13（人）．题十四：C．详解：采用系统抽样方法从960人中抽取32人，将整体分成32组，每组30人，即l＝30，第k组的号码为(k－1)30＋9，令451≤(k－1)30＋9≤750，而k∈z，解得16≤k≤25，则满足16≤k≤25的整数k有10个，故答案应选C．题十五：63．详解：由题意知第7组中的数为“60～69”10个数．由题意知m＝6，k＝7，故m＋k＝13，其个位数字为3，即第7组中抽取的号码的个位数是3，综上知第7组中抽取的号码为63．题十六：6, 17, 28, 39, 40, 51, 62, 73, 84, 95．详解：在第0段随机抽取的号码为6，则由题意知，在第1段抽取的号码应是17，在第2段抽取的号码应是28，依次类推，故正确答案为6, 17, 28, 39, 40, 51, 62, 73, 84, 95．。

安徽省蚌埠市2023届高三第三次教学质量检查考试数学试题及参考答案

安徽省蚌埠市2023届高三年级第三次教学质量检查考试数学试卷及参考答案本试卷满分150分，考试时间120分钟注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.设集合{}1,0,2,3,5A =-，{B x y ==，则A B = （）A.{}0,2 B.{}1,0,2,3- C.{}5 D.{}1,3,5-2.已知i 为虚数单位，复数z 满足()21i 2z -=，则2023z =（）A.1-B.1C.i- D.i3.已知tan 34πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan α=（）A.2- B.12-C.12D.24.直线:10l x my m ++-=与圆()()22:129C x y -+-=的位置关系是（）A.相交B.相切C.相离D.无法确定5.已知某地区中小学生人数如图①所示，为了解该地区中小学生的近视情况，卫生部门根据当地中小学生人数，用分层抽样的方法抽取了10%的学生进行调查，调查数据如图②所示，则估计该地区中小学生的平均近视率为（）A.50%B.32%C.30%D.27%6.若椭圆22:12x y C m +=的离心率为63，则椭圆C 的长轴长为（）A.6B.3或C.D.或7.函数()e 1cos e 1x xf x x -=⋅+的图象大致为（）8.在ABC △中，D 为BC 上一点，且3BD DC = ，ABC CAD ∠=∠，23BAD π∠=，则tan ABC ∠=（）A.13B.3C.3D.5二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项积为n T ，则下列结论正确的是（）A.数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列B.数列{}222n n S S +-是等差数列C.数列222n n T T +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列D.数列{}lg n T 是等差数列10.已知F 是抛物线24y x =的焦点，()11,A x y ，()22,B x y 是抛物线上相异两点，则以下结论正确的是（）A.若126x x +=，那么8AB =B.若3AF BF +=，则线段AB 的中点到y 轴的距离为12C.若FAB △是以F 为直角顶点的等腰三角形，则4AB =D.若2AF FB =，则直线AB 的斜率为±11.已知AB 为圆锥SO 底面圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A ，B 的一点，E 为SA 的中点，5SA =，圆锥SO 的侧面积为15π，则下列说法正确的是（）A.圆O 上存在点F 使EF ∥平面SBCB.圆O 上存在点F 使AF ⊥平面SBCC.圆锥SO 的外接球表面积为62532πD.的正四面体在圆锥SO 内可以任意转动12.已知1a b >>，则下列结论正确的是（）A.ea ba b-> B.()ln 1ln 1b a a b +>+C.()()log 1log 1a b a b +>+ D.b aa ab b>三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知()1,2a = ，()2,b m = ，()3a a b ⊥-，则m =______.14.已知()()3423401234212x x a a x a x a x a x --+=++++，则024a a a ++=______.15.已知实数0a b >>，且5a b -=，则1112a b++-的最小值为______.16.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，且当10x -≤≤时，()12x f x m +=-，则当01x <≤时，()f x =______；若对[]0,1x ∀∈都有21224f x tx ⎛⎫-++≥ ⎪⎝⎭，则实数t 的取值范围为______.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出说明文字、演算式、证明步骤.17.（本小题满分10分）某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团.为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男、女同学各100名进行调查，部分数据如表所示：喜欢足球不喜欢足球合计男生40女生30合计（1）根据所给数据完成上表，依据0.001α=的独立性检验，能否认为该校学生喜欢足球与性别有关？（2）社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范点球射门.已知这两名男生进球的概率均为23，这名女生进球的概率为12，每人射门一次，假设各人射门相互独立，求3人进球总次数X 的分布列和数学期望.附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++α0.10.050.010.0050.001x α2.7063.8416.6357.87910.82818.（本小题满分12分）已知函数()()21cos cos02f x x x x ωωωω=+->.（1）若1ω=，求函数()f x 的最小正周期；（2）若()y f x =图象在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭内有且仅有一条对称轴，求8f π⎛⎫⎪⎝⎭的取值范围.已知数列{}n a 满足11a =，2121n n a a +=+，2212n n a a -=.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设12111n nT a a a =+++ ，求证：23n T <.20.（本小题满分12分）如图，在四面体ABCD 中，G 为ABC △的重心，E ，F 分别在棱BC ，CD 上，平面ABD ∥平面EFG.（1）求DFCF的值；（2）若AB ⊥平面BCD ，DC CB ⊥，且3AB BC CD ===，求平面EFG 与平面ACD 的夹角的大小.已知A ，B 是双曲线22:14x E y -=的左、右顶点，M 为双曲线上与A ，B 不重合的点.（1）设直线MA ，MB 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k ⋅是定值；（2）设直线:1l x =与直线MA 交于点P ，l 与x 轴交于点S ，点Q 满足2QS SP =，直线BQ 与双曲线E 交于点N （与A ，B ，M 不重合）.判断直线MN 是否过定点，若直线MN过定点，求出该定点坐标；若直线MN 不过定点，请说明理由.22.（本小题满分12分）已知函数()e 1xf x =-，()()lng x x a =+，a ∈R .（1）若1a =，求证：()()f x g x ≥；（2）若函数()f x 与函数()g x 存在两条公切线，求实数a 的取值范围.参考答案一、单选题12345678BCCADDAD二、多选题9101112ABCBCDADAD三、填空题13.61-；14.54-；15.21；16.221+--x（2分）；⎥⎦⎤⎢⎣⎡81381，（3分）.四、解答题17.解：（1）2×2列联表如下：喜欢足球不喜欢足球合计男生6040100女生3070100合计90110200假设为0H ：该校学生喜欢足球与性别无关联.根据列联表中的数据，经计算得到()001.022828.101801821109010010030407060200x =>≈⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=χ根据小概率值001.0=α的独立性检验，推断0H 不成立，即认为该校学生喜欢足球与性别有关.（2）依题意X 的所有可能取值为0，1,2,3，()181213102=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛==X P ，()18531212131321212=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯⨯⨯==C X P ，()9421322131322212=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⨯⨯==C X P ，()92213232=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛==X P .X 的分布列如下：X 0123P1811859492∴X 的数学期望()61192394218511810=⨯+⨯+⨯+⨯=X E .18.解：(1)∵()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=-+=62sin 2cos 212sin 2321cos cos sin 32πωωωωωωx x x x x x x f ∴函数()x f 的最小正周期πωπ==22T .（2）由⎪⎭⎫ ⎝⎛+∈+62,662πωπππωx ，∴函数()x f 的图象在⎪⎭⎫⎝⎛40π，内有且仅有一条对称轴，∴23622ππωππ≤+<，即3832≤<ω，∴65643ππωππ≤+<，∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛1,2164sin 8πωππf .19.解：（1）由题意12112212+=+=-+n n n a a a ，∴()1211212+=+-+n n a a ，∵0211≠=+a ，∴数列{}112+-n a 是首项为2，公比为2的等比数列，∴nn a 2112=+-，即1212-=-nn a ，而2221122-==+-n n n a a ，∴⎪⎩⎪⎨⎧--=++为偶数为奇数n n a n n n ,22,121221.（2）由（1）()()∑∑∑=++==----=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n i i i i n i i ni i i na a T 111112122121212231212311()()()()∑∑=+=++--=--<ni i ii n i i i i 1111112122312122233121131211213111<⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=+=+∑n ni i i .20.解：（1）延长CG 交AB 于点H ，连接DH CH ，，∵G 为ABC ∆的重心，∴H 为AB 的中点，且32=CH CG ，∵平面ABD ∥平面EFG ，平面ABD ∩平面DH DCH =，平面EFG ∩平面FGDCH =∴DH FG ∥，∴32==CH CG CD CF ，∴21=CF DF .（2）∵AB ⊥平面BCD ，BCD CD BC 平面，⊂，∴BC AB ⊥，CD AB ⊥，∵ABC AB BC B AB BC AB CD CB CD 平面，，，⊂=⋂⊥⊥,，∴ABC CD 平面⊥.如图，以BA 为x 轴，BC 为y 轴，过B 与CD 平行的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，由（1）同理可得BD EF ∥，则32==CB CE CD CF ，∴()()()010230003，，，，，，，，E F A ，()()()330030011，，，，，，，，D C G ，∴()()()3,0,00,0,1221=-=-=CD GE GF ，，，，，()033，，-=CA .设平面EFG 的一个法向量为()c b a m ,,=，则⎪⎩⎪⎨⎧=-=⋅=++-=⋅0022a GE m c b a GF m ，令1=b ，则10-==c a ，，则()1,1,0-=m ，设平面ACD 的一个法向量为()z y x n ,,=，则⎪⎩⎪⎨⎧=-=⋅==⋅03303y x CA n z CD n ，令1=x ，则1=y ，0=z ，则()0,1,1=n ，设平面EFG 与平面ACD 的夹角为θ，则21221cos =⨯==n m θ，∴平面EFG 与平面ACD 的夹角的大小为3π.21.解：（1）设()11,y x M ，由题意()()0202，，，B A -，且142121=-y x ，∴4141442221212121111121=--=-=-⋅+=x x x y x y x y k k .（2）设()11,y x M ，()22,y x N ，()t P ,1，BN 的斜率为3k ，由SP QS 2=知：()t Q 2,1-，∴()612122131=----==t tk k k k BQAP.由（1）知：4121=k k ，∴2332=k k.设()2,2,0:≠±≠≠+=n m m n my x MN ……①双曲线1422=-y x E ：……②联立①②得：()0424222=-++-n mny y m ，44422221221---=--=+m n y y m mn y y ，∴()()2322222121221132=-+-+=-⋅-=n my n my y y x y x y k k ，即()()()()0232323221212=-++-+-n y y n m y y m ，整理得710=n ，故直线MN 过定点⎪⎭⎫⎝⎛0710.22.解：（1）令()()x x f x F -=，则()001>⇒>-='x e x F x，∴()x F 在()0，∞-上单调递减，在()∞+，0上单调递增，∴()()00=≥F x F ，∴()x e x f x≥-=1，当且仅当0=x 时，等号成立，∴()()()1ln 1ln +≥=+x x x f ，当且仅当0=x 时，等号成立，即()()x g x x f ≥≥，当且仅当0=x 时，等号成立.（2）设()x f 与()x g 的公切线为l ，直线l 与()x f 和()x g 分别切于点()1,11-x ex A 和点()()a x x B +22ln ,，易知()x e x f ='，()ax x g +='1，由题意知，公切线()1:111-+-=xx e x x ey l ，()()a x x x ax y ++-+=222ln 1，∴()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-+=--+=a x x a x e x a x e x x 22212ln 11111，即()()()⎪⎩⎪⎨⎧+++=-+-=a x a a x e x a x x x 22121ln 1ln 1.()()ax aa x a x a x +++=+++2222ln ln 1，即()()01ln 122=-++-+a a x a x .令()()1ln 1-+-=a u u u G ，则()u G 在()∞+，0上存在两个零点.11∵()u u u u G 1ln -+='，()0112>+=''uu u G ，∴()u G '在()∞+，0上单调递增，又∵()01='G ，∴()u G 在()1,0上单调递减，在()∞+，1上单调递增.1°若1>a ，则()()011>-=≥a G u G ，∴()u G 在()∞+，0上没有零点.2°若1=a ，则()()01=≥G u G ，当且仅当1=u 时，等号成立.∴()u G 在()∞+，0上有且只有一个零点.3°若1<a ，令320-=a e u ，则21100<<<e u ，且0ln 0<u ，∴()()02112321ln 211ln 10000>=-+--=-+->-+-=a q a u a u u u G ，()011<-=a G ，()()()01ln 11ln 11ln 111111=-+>-++>-++=+-----a e a e a e e e G a a a a a ，∴()u G 在()∞+，0上存在两个零点.综上所述：1<a .。