回归分析预测法
回归分析预测方法
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8.1回归分析预测法概述
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实际工作中，如何判定市场现象之间是否具有相关关系是预 测者必须首先解决的问题。市场现象之间是否存在相关关系 ，主要可以通过两种方法来判定。一种方法是根据经济理论 知识和实践经验，结合我国市场的具体表现，从定性的角度 判断市场现象之间是否存在相关关系。如根据马克思主义的 政治经济学理论，根据市场学理论，根据我国市场长期以来 的发展变化规律等，都可以判定两种或多种市场现象之间是 否存在相关关系。这种方法是判断市场现象相关关系的根本 方法。另一种方法是对市场现象之间的关系进行相关分析， 从定量的角度来判断市场现象之间是否存在相关关系。
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8.1回归分析预测法概述
函数关系与相关关系的区别，突出表现在变量之间的具体关 系值是否确定和随机。函数关系是相对于确定的、非随机变 量而言的;而相关关系则是相对于非确定的、随机变量而言的。 值得指出的是函数关系与相关关系虽然是两种不同类型的相 互关系，但彼此之间也具有一定的联系，一方面，由于在观 察和测量中存在误差等原因，实际工作中的函数关系有时通 过相关关系表现出来;另一方面，在研究相关关系时又常常借 用函数关系的形式近似地将它表达出来，以便找到相关关系 的一般数量特征，当随机因素不存在时，相关关系就转化为 函数关系。因此，函数关系是相关关系的特例。
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8.1回归分析预测法概述
2.按照相关的变动方向不同，可分为正相关回归分析预测和 负相关回归分析预测
回归预测
回归预测法回归预测法回归预测法是指根据预测的相关性原则，找出影响预测目标的各因素，并用数学方法找出这些因素与预测目标之间的函数关系的近似表达，再利用样本数据对其模型估计参数及对模型进行误差检验，一旦模型确定，就可利用模型，根据因素的变化值进行预测。
回归预测法一元线性回归预测法(最小二乘法)公式：Y = a + b XX----自变量Y----因变量或预测量a,b----回归系数根据已有的历史数据Xi Yi i = 1,2,3,...n ( n 为实际数据点数目)，求出回归系数 a , b为了简化计算，令 ( X1 + X2 + ... + Xn ) = 0，可以得出a , b 的计算公式如下：a = ( Y1 + Y2 +... + Yn ) / nb = ( X1 Y1 + X2 Y2 + ... + Xn Yn ) / ( X12 + X22 + ... + Xn2 )回归分析预测法的概念回归分析预测法，是在分析市场现象自变量和因变量之间相关关系的基础上，建立变量之间的回归方程，并将回归方程作为预测模型，根据自变量在预测期的数量变化来预测因变量关系大多表现为相关关系，因此，回归分析预测法是一种重要的市场预测方法，当我们在对市场现象未来发展状况和水平进行预测时，如果能将影响市场预测对象的主要因素找到，并且能够取得其数量资料，就可以采用回归分析预测法进行预测。
它是一种具体的、行之有效的、实用价值很高的常用市场预测方法。
回归分析预测法的分类回归分析预测法有多种类型。
依据相关关系中自变量的个数不同分类，可分为一元回归分析预测法和多元回归分析预测法。
在一元回归分析预测法中，自变量只有一个，而在多元回归分析预测法中，自变量有两个以上。
依据自变量和因变量之间的相关关系不同，可分为线性回归预测和非线性回归预测。
回归分析预测法的步骤1．根据预测目标，确定自变量和因变量明确预测的具体目标，也就确定了因变量。
如预测具体目标是下一年度的销售量，那么销售量Y就是因变量。
回归分析预测方法
（3）
i 1
i 1
i 1
即对（3）求极值，有：
Q
n
a
2 ( yi
i 1
a bxi ) 0
（4）
Q
b
2
n i 1
( yi
a
bxi )xi
0
（5）
n
n
n
由（4）得： yi a bxi 0 yi na b xi
i 1
i 1
i 1
（6）
n
n
n
由（5）得： xi yi axi xibxi 0 xi yi a xi b xi2 （7）
有数值对应关系的确定依存关系。换句话说，当 自变量的确定值为x，与其对应值为y。这是回归 分析法预测的前提。 ②确定变量之间的相关密切程度，这是相关分析的主 要目的和主要内容。 3、建立回归预测模型
就是依据变量之间的相关关系，用恰当的数 学表达式表示出来。
4、回归方程模型检验 建立回归方程的目的是预测，但方程用于预测
第一节 回归分析预测法概述
回归分析预测法是在分析因变量与自变量之间的相互关 系，建立变量间的数量关系近似表达的函数方程，并进行参 数估计和显著性检验以后，应用回归方程式预测因变量变化 的方法。回归分析预测法是市场预测的基本方法，目前，这 种方法发展的很成熟了，回归预测方法种类繁多，按回归方 程的变量分，有一元、多元回归方程；按回归性质分有线性、 非线性回归等。本章专门讨论一元和二元线性回归问题。
回归分析起源于生物学的研究。英国的著名生物学 家达尔文在19世纪末，发现了一个非常有趣的现象，父 亲身材高大的，其子也比较高大，父亲矮小的，其子也 比较矮小。即父亲的身高与儿子的身高之间有密切的关 系。在大量的研究资料中，又发现身高有一种向平均身 高回归的倾向，这种身高倾向平均数的现象称为回归 （Regression）。经济学家经研究发现，生物界的这种 现象，在经济领域中也存在这种现象，例如，证券市场 的任何一支股票，无论是牛市或熊市股票的价格都向着 平均价格回归。也正因为如此，回归分析在许多领域中 都得到了广泛的应用，并且取得了很好的效果。
第九章 时间序列预测法和回归分析预测法
9.1 时间序列预测法
2、时间序列预测法的步骤 ① 收集历史资料 ② 分析时间序列 ③ 求时间序列的长期趋势变动(T)、季节变动 (S)和不规则变动(I)的值。 利用时间序列资料求出长期趋势、季节变 动和不规则变动的数学模型后，就可以利 用它来预测未来的长期趋势值T和季节变动 值S。
3、时间序列预测法的基本特征 ⑴ 时间序列分析法 ① 事情的过去会延续到未来这个假设前提包含两层 含义： ② 不会发生突然的跳跃变化，是以相对小的步伐前 进； ③ 过去和当前的现象可能表明现在和将来活动的发 展变化趋向。 因此时间序列分析法，对短期、近期的预测比较显著。 ⑵ 时间序列数据变动存在着规律性与不确定性 ① 趋势性； ② 周期性； ③ 随机性； ④ 综合性。
•Leabharlann •⑴ 增减量预测法。这种方法是以上一期的实 际观察值与上两期之间的增减量之和，作为 本期预测值的一种预测方法。 ⑵ 平均增减量预测法。先计算出整个事件序 列筑起增减量的平均数，再与上期实际数相 加，从而确定预测值的方法。
9.1.5 季节指数预测法
•
9.2 回归分析预测法
回归分析预测法，是在分析市场现象自变量和因变量 自检相关关系的基础上，建立变量之间的回归方程， 并将回归方程作为预测模型，根据自变量在预测其的 数量变化来预测因变量，关系大多表现为相关关系。 1、一元线性回归分析预测法 是在考虑预测对象发展变化本质的基础上，分 析因变量随一个自变量变化而变化的关联形态，借助 回归分析建立它们之间因果关系的回归方程，描述它 们之间的平均变化数量关系，据此进行预测或控制 。 Y=a+bx
9.1.2 平均预测法
•
•
9.1.3 指数平滑预测法
•
•
9.1.4趋势延伸法
回归分析预测法
1. 2.
回归分析预测法是一种重要的因果关系定量分析 方法 内容步骤内容 分类
按分析中自变量的个数：一元回归和多元回归 ② 按自变量与因变量的关系：线性回归和非线性回归
①
3. 4. 5. 内容 一元线性回归预测法内容 多元线性回归模型内容 常见的可转化为线性回归方程的非线性模型
根据上述资料：
1. 2. 3.
做X和Y的散点图，并观察他们之间是否具有线性关系； 假定X和Y之间存在线性关系，试估计回归方程； 预测人均收入为300元时，人均消费为多少。
多元线性回归模型
1. 2. 3.
模型形式 y=a+b1x1+b2x2+b3x3…+bkxk 二元线形回归模型 y=a+b1x1+b2x2 参数a、b1、b2的估值公式 ∑yi＝na+b1 ∑x1i+ b2∑x2i ∑ x1i yi=a ∑x1i+b1 ∑x1i2+ b2 ∑x1ib1 ∑x2i ∑x2i yi=a ∑x2i+b1 ∑x1i ∑x2i+ b2 ∑x2i2
5. 6.
线性关系假设；直接或经取对数等变换得出 误差项零均值假设； 恒定方差假设； 正态分布假设；（误差项必须服从均值为零的正 态分布） 非自相关误差假设； 正交性假设（误差项与自变量之间不存在相关性）
一元线性回归预测法
1. 2. 3. 4.
模型形式：y=a+bx+e (e为误差项） 设y=a+bx为模型的拟合曲线方程 一元线性回归模型的参数估计准则 参数a、b的估值公式（最小二乘法）
常见的可转化为线性回归方程的非线性模型
1.
2.
y=ea+bx 其自然对数线性模型为： lny=a+bx 令y’=a+bx y=ab 其对数线性模型为： lgy=lga+lgb 令y’=A+Bx
第三章回归分析预测方法
1984
539
7136
1992
769
8683
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2019
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1990
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2019
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x
相关但无
线性关系
-3
-2
-1
0
1
2
3
x
2、回归分析与相关分析
研究和测度两个或两个以上变量之间关系的方 法有回归分析和相关分析。
相关分析。研究两个或两个以上随机变量之 间线性依存关系的紧密程度。通常用相关系 数表示，多元相关时用复相关系数表示。
回归分析。研究某一随机变量（因变量）与 其他一个或几个普通变量（自变量）之间的 数量变动的关系。
回本章目录
一、一元线性回归模型
一元线性回归（Linear regression），只研究一个 自变量与一个因变量之间的统计关系。
对于只涉及一个自变量的简单线性回归模型可表
示为： yb0b1xe
其中，b0和b1称为模型的参数；e是随机误差项，
又称随机干扰项，有 e N0,2
在线性回归模型中加入随机误差项是基于 以下原因：
第一节 引言
本章学习目的与要求：
通过本章的学习，了解回归分析预测法 的概念，掌握回归分析中各系数的计算方法 及回归预测方法，能够运用Excel工具来进行 预测。
三种回归分析预测法
回归分析预测法回归分析预测法是通过研究分析一个应变量对一个或多个自变量的依赖关系，从而通过自变量的已知或设定值来估计和预测应变量均值的一种预测方法。
回归分析预测法又可分成线性回归分析法、非线性回归分析法、虚拟变量回归预测法三种。
(一)线性回归分析法的运用线性回归预测法是指一个或一个以上自变量和应变量之间具有线性关系(一个自变量时为一元线性回归，一个以上自变量时为多元线性回归)，配合线性回归模型，根据自变量的变动来预测应变量平均发展趋势的方法。
散点圈分析: 自变量和因变量具备线性关系最小二乘法来估计模型的回归系数回归系数的估计值：(相关系数R可根据最小二乘原理及平均数的数学性质得到：估计标准差：预测区间：a为显著水平，n-2为自由度，为y在x o的估计值。
2.预测计算根据上面介绍的预测模型，下面就先计算第一季度的预测销售量。
(X为时间，Y为销售量)。
n=16；；；；；根据公式(5)、(6)、(7)、(8)、(9)有：(x i = 17)i0.025(14) = 2.145(二)非线性回归预测法的运用非线性回归预测法是指自变量与因变量之间的关系不是线性的，而是某种非线性关系时的回归预测法。
非线性回归预测法的回归模型常见的有以下几种：双曲线模型、二次曲线模型、对数模型、三角函数模型、指数模型、幂函数模型、罗吉斯曲线模型、修正指数增长模型。
散点图分析发现，抛物线形状，可用非线性回归的二次曲线模型来预测。
1.预测模型非线性回归二次曲线模型为：(10)令,则模型变化为：(11)上式的矩阵形式为：Y = XB + ε(12)用最小二乘法作参数估计，可设观察值与模型估计值的残差为E，则，根据小二乘法要求有：=最小值，(13)即：=最小值由极值原理，根据矩阵求导法，对B求导，并令其等于零，得：整理得回归系数向量B的估计值为：(14)二次曲线回归中最常用的检验是R检验和F检验，公式如下：(15)(16)在实际工作中，R的计算可用以下简捷公式：(17) 估计标准误差为：(18)预测区间为：·S (n<30)(19)·S (n>30)(20)2.预测计算根据上面介绍的预测模型，下面就先进行XT100-W的预测计算。
回归分析预测法
一元线性回归样本函数
ˆ b ˆX ˆ b Y i 0 1 i ˆ 为E（Y ）的估计式； 式中 , Y
i i
ˆ 为b 的估计式； b 0 0 ˆ 为b 的估计式。 b
1 1
回归模型
对于样本中每一个与Xi相对的观测值Yi与由样 本回归函数得到的估计值有一随机偏差，这个 偏差称为随机误差，记为ei。
如此以来，高的伸进了天，低的缩入了地。他百思 不得其解，同时又发现某人种的平均身高是相当稳 定的。最后得到结论：儿子们的身高回复于全体男 子的平均身高，即“回归”——见1889年F.Gallton 的论文《普用回归定律》。 后人将此种方法普遍用于寻找变量之间的规律
二、回归分析与相关分析
相关分析：是研究两个或两个以上随机
2 2222R ＝1 2
n2
(1 R ）
2
3、变量的显著性检验（t检验）
主要对多元线性回归模型而言，在方程的总体 线性关系呈显著性时，并不能说明每个解释变 量对被解释变量的影响是显著的，必须对每个 解释变量进行显著性检验，以决定是否作为解 释变量保留在模型中。其检验的思路与方程显 著性检验相似，用以检验的方法主要有三种： F检验、t检验、z检验。它们区别于方程显著性 检验在于构造统计量不同，其中应用最为普遍 的为t检验。
意义：拟合优度越大，自变量对因变量的解释程度越 高，自变量引起的变动占总变动的百分比高。观察点 在回归直线附近越密集。 取值范围：0-1
修正的
R ，记为R
2
2
在应用过程中，如果在模型中增加一个解释变 量，模型的解释功能增强了，回归平方和增大 R ，记为R R R 2 也增大了。从而给人一个错觉：要使得模 了， 型拟合得好，就必须增加解释变量，但是在样 本容量一定的情况下，增加解释变量必定使得 自由度减少，于是实际应用中引进修正的决定 2 R 系数 ,具体表达式为（其中 n是样本容量，n-k n 1 R ＝1 (1 R ） n2 ＝n-2为残差平方和的自由度， n-1为总体平方和 的自由度）： n 1
回归分析预测方法
.
回归分析预测法
一、回归预测的一般步骤 （一）回归分析预测法的具体步骤 1、确定预测目标和影响因素 2、进行相关分析
r (x x )( y y) (x x)2 (y y)2
2
.
相关系数的取值范围为：，-1≤r≤1即 ≤r 1。当变量与呈线性相关时， 越r接近l， 表明变量间的线性相关程度愈高； 越r 接近0，表明变量间的线性相关程度愈 低。r>0表明为正相关，r<0表明为负相 关。
5
.
5、进行实际预测 运用通过检验的回归方程，将需要预测的自变量x代入方程并计 算，即可取得所求的预测值。 预测通常有两种情况，一是点预测，就是所求的预测值为一个 数值；另一是区间预测，所求的预测值有一个数值范围。通常 用正态分布的原理测算其估计标准误差，求得预测值的置信区 间。
6
.
二、一元线性回归预测方法 （一）一元线性回归预测的含义 （二）一元线性回归预测的实例
3
.
3、建立回归预测模型 线性回归方程的一般表达式为：
y a b1x1 b2 x2 bn xn
当线性回归只有一个自变量与一个因变量间的回归，称为 一元线性回归或简单线性回归、直线回归，可简写为：
y a bx
4
.
4、回归预测模型的检验 建立回归方程的根本目的在于预测，将方程用于预测之 前需要检验回归方程的拟合优度和回归参数的显著性， 只有通过了有关的检验后，回归方程方可用于经济预测， 常用的检验方法有相关系数检验、F检验、t检验和D—w 检验等。
回归分析预测法
变量回归模型。
2020/12/14
回归分析预测法
（二）应用回归分析预测法的条件
▪ 回归预测法是一种实用价值很高的预测方法，但必须在一定的条件下应用。应用 回归预测法要满足以下几方面的条件：
▪ 1.经济现象之间关系密切 ▪ 2.自变量的预测值必须比因变量的预测值精确或容易求得 ▪ 3.要正确地选择回归方程的形式
2020/12/14回Fra bibliotek分析预测法▪ 2.回归分析预测法的种类
▪ 应用回归模型进行市场预测，有很多种类，根据不同的条件可进行不同的分类。 主要的分类有：
▪ (1)按包含自变量个数的多少划分，回归分析预测法分为一元回归分析预测法和 多元回归分析预测法。
▪ (2)按自变量和因变量之间是否存在线性关系划分，回归分析预测法分为线性回 归分析预测法和非线性回归分析预测法。
市场调查与预测
回归分析预测法
2020/12/14
回归分析预测法
一、回归分析预测法概述
▪ 回归分析预测法的含义与种类 ▪ 应用回归分析预测法的条件 ▪ 回归分析预测法的程序
2020/12/14
回归分析预测法
（一）回归分析预测法的含义与种类
▪ 1.回归分析预测法的含义
▪ 回归分析预测法就是从各种经济现象之间的相互关系出发，通过对与预测对象有 联系的现象变动趋势的分析，推算预测对象未来状态数量表现的一种预测法。所 谓回归分析，就是研究某一个随机变量(因变量)与其他一个或几个变量(自变量)之 间的数量变动关系，由回归分析求出的关系式通常称为回归模型(或回归方程)。
2020/12/14
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回归分析预测法介绍
回归分析预测法回归分析预测法就是从各种经济现象之间的相互关系出发，通过对与预测对象有联系的现象变动趋势的分析，推算预测对象未来状态数量表现的一种预测法。
所谓回归分析就是研究某一个随机变量（因变量）与其他一或几个变量（自变量）之间的数量变动关系，由回归分析分析求出的关系式通常称为回归模型。
1、回归模型的分类（1）根据自变量个数的多少，回归模型可以分为一元回归模型和多元回归模型。
（2）根据回归模型是否线性，回归模型可以分为线性回归模型和非线性回归模型。
所谓线性回归模型就是指因变量和自变量之间的关系是直线型的。
（3）根据回归模型是否带虚拟变量，回归模型可以分为普通回归模型和虚拟变量回归模型。
普通回归模型的自变量都是数量变量，而虚拟变量回归模型的自变量既有数量变量也有品质变量。
在运用回归模型进行预测时，正确判断两个变量之间的相互关系，选择预测目标的主要影响因素做模型的自变量是只关重要的。
2、一元线性回归模型一元线性回归模型形式：┄，。
其中，称为因变量，为自变量，代表对因变量的主要影响因素，代表各种随机因素对因变量的影响总和。
在实际应用中，通常假定服从正态分布，即。
称为回归系数。
回归系数的估计：在用一元线性回归模型进行预测时，首先必须对模型回归系数进行估计。
一般说来，估计的方法有多种，其中使用最广泛的是最小平方法（OLS估计法）。
估计结果是：和（┄，）均是我们已有的历史数据。
这里，模型的显著性检验：建立的一元线性回归模型是否符合实际，所选的变量之间是否具有显著的线性相关关系？这就需要对建立的回归模型进行显著性检验，通常用的检验法是相关系数检验法。
相关系数是一元回归模型中用来衡量两个变量之间相关程度的一个指标，其计算公式是：其中，一般说，相关系数愈大说明所选的两个变量之间的相关程度愈高。
模型预测值：在回归模型通过显著性检验性后，就可以用模型来进行预测，代入回归模型，就可以求得一个对应的了。
对于自变量的每一个给定值回归预测值，称为模型的点估计值。
回归分析预测方法
回归分析预测方法回归分析是一种统计学方法，用于研究自变量和因变量之间的关系，并使用这种关系来预测未来的观测数据。
在回归分析中，自变量被用来解释因变量的变化，并且可以使用回归方程来预测因变量的值。
回归分析有多种类型，例如简单线性回归、多元线性回归、多项式回归以及非线性回归等。
其中，简单线性回归是最简单且最常用的回归模型之一、它假设自变量和因变量之间存在线性关系，可以用一条直线来拟合数据。
回归方程的形式可以表示为：Y=β0+β1X+ε，其中Y是因变量，X是自变量，β0和β1是回归系数，ε是误差项。
多元线性回归是简单线性回归的扩展，它允许多个自变量来预测因变量。
回归方程的形式可以表示为：Y=β0+β1X1+β2X2+...+βnXn+ε，其中n是自变量的数量。
多项式回归适用于自变量和因变量之间的关系非线性的情况。
通过将自变量的幂次添加到回归方程中，可以通过拟合曲线来逼近数据。
非线性回归适用于因变量和自变量之间的关系不能通过简单的线性模型来解释的情况。
这种情况下，可以使用其他函数来拟合数据，例如指数函数、对数函数、幂函数等。
在进行回归分析之前，需要满足一些假设。
首先，自变量和因变量之间需要存在一定的关系。
其次，误差项需要满足正态分布和独立性的假设。
最后，自变量之间应该有一定的独立性，避免多重共线性的问题。
回归分析的步骤通常包括数据收集、数据预处理、模型建立、模型评估和模型使用等。
在数据收集和预处理阶段，需要收集并整理自变量和因变量的数据，并对数据进行处理，如缺失值处理和异常值处理等。
在模型建立阶段，需要根据问题的背景和数据的特点选择适当的回归模型，并使用统计软件进行参数估计。
在模型评估阶段，需要对模型进行检验，如检验回归系数的显著性、残差分析和模型的拟合程度等。
最后，在模型使用阶段，可以使用回归方程来预测未来的观测数据，或者进行因素分析和结果解释等。
回归分析预测方法的应用广泛，并且被广泛应用于各个领域，如经济学、金融学、社会科学以及医学等。
回归分析预测法
回归分析预测法(Regression Analysis Prediction Method)回归分析预测法，是在分析市场现象自变量和因变量之间相关关系的基础上，成立变量之间的回归方程，并将回归方程作为预测模型，依照自变量在预测期的数量转变来预测因变对市场现象以后进展状况和水平进行预测时，若是能将阻碍市场预测对象的要紧因素找到，而且能够取得其数量资料，就能够够采纳回归分析预测法进行预测。
它是一种具体的、行之有效的、有效价值很高的经常使用市场预测方式。
[编辑]1．依照预测目标，确信自变量和因变量明确预测的具体目标，也就确信了因变量。
如预测具体目标是下一年度的销售量，那么销售量Y确实是因变量。
通过市场调查和查阅资料，寻觅与预测目标的相关阻碍因素，即自变量，并从当选出要紧的阻碍因素。
2．成立回归预测模型依据自变量和因变量的历史统计资料进行计算，在此基础上成立回归分析方程，即回归分析预测模型。
3．进行相关分析回归分析是对具有因果关系的阻碍因素（自变量）和预测对象（因变量）所进行的数理统计分析处置。
只有当变量与因变量确实存在某种关系时，成立的回归方程才成心义。
因此，作为自变量的因素与作为因变量的预测对象是不是有关，相关程度如何，和判定这种相关程度的把握性多大，就成为进行回归分析必需要解决的问题。
进行相关分析，一样要求出相关关系，以相关系数的大小来判定自变量和因变量的相关的程度。
4．查验回归预测模型，计算预测误差回归预测模型是不是可用于实际预测，取决于对回归预测模型的查验和对预测误差的计算。
回归方程只有通过各类查验，且预测误差较小，才能将回归方程作为预测模型进行预测。
5．计算并确信预测值利用回归预测模型计算预测值，并对预测值进行综合分析，确信最后的预测值。
[编辑]应用回归预测法时应第一确信变量之间是不是存在相关关系。
若是变量之间不存在相关关系，对这些变量应用回归预测法就会得犯错误的结果。
正确应用回归分析预测时应注意：①用定性分析判定现象之间的依存关系；②幸免回归预测的任意外推；③应用适合的数据资料；[编辑][编辑]案例一:回归分析预测法预测新田公司销售[1]一、新田公司的进展现状新田公司全称为新田摩托车制造，成立于1992年3月，那时的锡山市(那时还叫无锡县)有两个生产摩托车的乡镇企业：查桥镇的捷达摩托车厂和洛社镇的雅西摩托车厂。
第三章 回归分析预测法 《统计预测与决策》PPT课件
残差分析; 异方差及自相关检验(DW)
24
拟合优度
• 拟合优度是指样本回归直线对观测数据 拟合的优劣程度。
• 如果全部观测值都在回归直线上，我们 就获得“完全的”拟合，但这是罕见的 情况，通常都存在一些正ei或负ei。我们 所希望的就是围绕回归直线的剩余尽可 能的小。
(基本假定)
1) 误差项ε是一个期望值为0的随机变量，即 E(ε)=0。对于一个给定的 x 值，y 的期望值
为E ( y ) =b 0+ b 1 x
2) 对于所有的 x 值，ε的方差σ2 都相同
3) 误差项ε是一个服从正态分布的随机变量，且 相互独立。即ε~N( 0 ,σ2 )
a. 独立性意味着对于一个特定的 x 值，它所对应 的ε与其他 x 值所对应的ε不相关
y
(xn ,yn)
yˆ bˆ0 + bˆ1x
(x2 ,y2)
｝
ei = yi＾-yi
(x1 ,y1) (xi , yi)
17
x
最小二乘估计式
• 根据最小二乘准则建立样本回归函数的 过程为最小二乘估计，简记OLS估计。
• 由此得到的估计值得计算式称为最小二 乘估计式。
18
双变量线性回归模型的最小二乘估计
36
▪ 包含在y里面但不能被p个自变量的线性关系
所解释的变异性
多元回归模型
(基本假定)
1. 误差项ε是一个期望值为0的随机变量，即
E()=0 2. 对于自变量x1，x2，…，xp的所有值，的
方差2都相同 3. 误差项ε是一个服从正态分布的随机变量，
即ε~N(0,2)，且相互独立
37
多元回归方程
第十二章 回归分析预测法
全面分析影响预测对象的相关因素， 全面分析影响预测对象的相关因素，确定自变量 1、首先对所有影响因素进行分析 2、比较相关因素，找出最主要的影响因素 比较相关因素， 选择回归预测模型， 选择回归预测模型，确定模型参数 实际预测 检验预测模型和预测结果的可靠性程度
三、随机误差项的影响因素
人们的随机行为 回归模型中 省略的变量
回归分析预测法 从各种经济现象之间的相关关系出发， 从各种经济现象之间的相关关系出发， 通过对与预测对象有联系的现象变动趋势的 分析， 分析，推算预测对象未来状态数量表现的一 种预测法。 种预测法。
回归分析预测法的基本步骤 （一）根据预测的目的，选择确定自变量和 根据预测的目的， 因变量 (二)收集历史统计资料 分析.计算并建立回归 (二)收集历史统计资料,分析.计算并建立回归 收集历史统计资料,分析 预测模型 （三）进行相关分析 （四）检验回归预测模型 计算预测误差 检验回归预测模型,计算预测误差 回归预测模型 （五）计算并确定预测值
回归模型 定义：
回归分析是对具有相关关系的变量之间的 数量变化规律进行测定， 数量变化规律进行测定，研究某一随机变量 因变量）与其他一个或几个普通变量（ （因变量）与其他一个或几个普通变量（自变 之间的数量变动关系， 量）之间的数量变动关系，并据此对因变量进 行估计和预测的分析方法。 行估计和预测的分析方法。由回归分析求出的 关系式， 关系式，称为回归模型
P( − t α < t < t α ) = 1 − α
2 2
即
P( −t α <
2
ɵ βi − βi sβɵ
i
i
< tα ) = 1− α
2
ɵ ɵ P ( βi − t α × sβɵ < βi < βi + t α × sβɵ ) = 1 − α
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回归分析预测法第一节一元线性回归分析预测法一、概念（思路）根据预测变量（因变量）Y和影响因素（自变量）X的历史统计数据，建立一元线性回归方程，然后代入X的预测值，求出Y的预测值的方法。
基本公式：y=a+bx其中：a、b为回归系数，是未知参数。
基本思路：1、利用X，Y的历史统计数据，求出合理的回归系数：a、b，确定出回归方程2、根据预计的自变量x的取值，求出因变量y的预测值。
二、一元线性回归方程的建立1、使用散点图定性判断变量间是否存在线性关系例：某地区民航运输总周转量和该地区社会总产值由密切相关关系。
2、 使用最小二乘法确定回归系数使实际值与理论值误差平方和最小的参数取值。
对应于自变量x i ，预测值（理论值）为b+m*x i ，实际值y i ，min ∑(y i -b-mx i )2，求a 、b 的值。
使用微积分中求极值的方法，得：由下列方程代表的直线的最小二乘拟合直线的参数公式：其中 m 代表斜率 ，b 代表截距。
一元线性回归.xls 三、回归方程的显著性检验x m y bx x n y x y x n mb mx y i ii i i i ˆˆ)(ˆ22-=--=+=∑∑∑∑∑判断X、Y之间是否确有线性关系，判定回归方程是否有意义。
有两类检验方法：相关系数检验法和方差分析法1、相关系数检验法构造统计量r相关系数的取值范围为：[-1，1]，|r|的大小反映了两个变量间线性关系的密切程度，利用它可以判断两个变量间的关系是否可以用直线方程表示。
两个变量是否存在线性相关关系的定量判断规则：（n-2），把其与用对于给定的置信水平α，从相关系数临界值表中查出r临样本计算出来的统计量r0比较：若|r0|〉r临（n-2）成立，则认为X、Y之间存在线性关系，回归方程在α水平上显著。
差异越大，线性关系越好。
反之则认为不显著，回归方程无意义，变量间不存在线性关系。
其中：n为样本数。
2、方差分析法：方差分析的基本特点是把因变量的总变动平方和分为两部分，一部分反映因变量的实际值与用回归方程计算出的理论值之差，一部分反映理论值与实际值的平均值之差。
Y的总变差=Y的残余变差+Y的说明变差，SST=SSE+SSR或：总离差平方和=剩余平方和+回归平方和UQ S y y Qy y S n y y y y y y y y yy ii ii yyii i i i i +=----+-=-∑∑∑∑∑∑U Y X )ˆ(Y X )ˆ()()ˆ()ˆ()(222222差、可解释变差，记为的影响造成的，说明变对—由于—为差、不可解释变差，记的影响造成的，残余变以外其它因素对—除了—离程度，记为个数据和其平均值的偏——回归平方和U 与剩余平方和Q 相比越大，说明回归效果越好。
注：在方差分析中，已被解释的和未被解释的变差除以相应的自由度的个数即变为方差。
Y 的方差是Y 的总偏差平方和除以n-1，被解释的方差等于被解释的变差（因为回归只比估计Y 的均值多用一个约束条件），残余方差等于残差偏差平方和除以n-2，残差的方差S 2是误差方差的无偏且一致的估计（S 叫做回归标准差）S 2=Q/(n-m) 定量判断回归有效性有两种方法：(1) 可决系数检验法拟合优度统计量；判定系数 ：r 2=SSR/SST=U/S yy 调整的r 2 =1-[Q/(n-m)]/[Syy/(n-1)]复相关系数检验法：构造统计量R=SQRT ［1-Q/S yy ］=SQRT （U/S yy ） 判断规则：对于给定的置信度α，从相关系数r 分布表中查出r 临（n-m ），把其与用样本计算出来的统计量R 0比较：若R 0〉r 临（n-m ）成立，则认为回归方程在α水平上显著。
反之则认为不显著，回归方程无意义，变量间不存在线性关系。
(2) F 检验法：构造统计量F=（U/m-1）/［Q/（n-m ）］ 其中：m 为变量个数（总数）；n 为样本数。
统计量F 服从第一自由度为m-1、第二自由度为n-m 的 F （m-1，n-m ）分布。
F=r2/(1-r2)*(n-m)/(m-1)判断规则：对于给定的置信度α，从F分布表中查出Fα（m-1，n-m），把其与用样本计算出来的统计量F0比较：若F0〉Fα（m-1，n-m）成立，则认为回归方程在α水平上显著。
反之则认为不显著，回归方程无意义，变量间不存在线性关系。
四、回归方程没有通过检验的原因1、定性分析选择的各变量间，本来不存在因果关系。
定性分析设想不准确。
2、选择的变量间存在因果关系，但还存在其它起着更重要作用的变量尚未列入模型之中。
3、选择变量之间的关系是非线性关系。
五、利用检验通过的回归方程进行预测y=6.34+0.213x点估计值：若给定x值，则y的预测值为6.34+0.213*58=18.69区间估计：标准误差：S=sqrt((∑e^2)/(n-m))第二节一元非线性回归分析预测法思路：与一元线性回归分析基本相同。
即通过变量替换将非线性方程转化为线性方程；使用最小二乘法建立线性回归方程；在通过逆变换将线性方程转化为非线性方程。
函数的线性变换及逆变换是个数学问题，不讲了。
例题，参见160页：航空货物周转量=a*（社会总产值）α196页，SB机场空运需求预测202页，利雅得国际机场业务量预测第三节多元回归分析一、 思路多元非线性回归分析——转换为多元线性回归分析，多元线性回归分析，与一元线性回归分析基本相同，只是在自变量的选定上、求解回归方程及统计检验等方面比一元回归要复杂一些。
设多元线性回归模型为：y=b 0+b 1*x 1+b 2*x 2+……+b m *x m 二、参数求法为最小二乘法：min ∑（y i -（b 0+b 1*x 1i +b 2*x 2i +……+b m *x mi ））2分别对bj 求偏导数，偏导数等于0时，上式取得最小值。
可以得到m+1个关于bj 的标准方程，使用线性代数中的行列式解法，可以求出回归系数bj 。
以二元回归分析为例，说明多元回归方程的建立1、定性判断得知，因变量Y 与自变量X1, X2存在线性相关关系。
模型形式为：y=b 0+b 1*x 1+b 2*x 22、确定回归系数b 0、b 1、b 2，最小二乘法。
分别对b 0、b 1、b 2求偏导，令偏导数=0，构成如下方程组：∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑=++=++=++=----=∂∂=----=∂∂=----=∂∂===ii i i i i ii i i i i ii i n i i i i i n i i i i i n i i i i x y x b x x b x b x y x x b x b x b y x b x b nb x x b x b b y b Gx x b x b b y b Gx b x b b y b G22222112012122111022110122211021122110112211000))((20))((20)1)((2整理得：∑∑∑∑∑--==-=-=--=--=))(()()())(())((221121122222221*********x x x x S S x x S x x S y y x x S y y x x S i i i i i i y i i y 其中：手工列表计算： 三、回归方程的统计检验1、 回归方程的显著性检验，检验回归方程的有效性 检验方法有：F 检验法、复相关系数检验法2、 回归系数的显著性检验，检验回归系数的有效性， 检验方法有：t 检验法构造统计量t其中：m 为变量个数；n 为样本数。
统计量t 服从自由度为n-m 的t （n-m ）分布。
判断规则：对于给定的置信度α，从t 分布表中查出t α/2（n-m ），把其与用样本计算出来的统计量t 0比较：若t 0〉t α（n-m ）成立，则认为回归方程在α水平上显著。
反之则认为不显著，回归系数无意义，变量间不存在线性相关关系。
mn yy xx b t C C C C A I AA S S S S A C mn yyS C S b t iijji j j jj i iy jjy j j ---∙==⋯⋯=⋯⋯=--==∑∑∑--222221121111222112112)ˆ()(j A )ˆ(ˆ个元素第的拟矩阵的对角线上的为矩阵21122211221211222112112211112221122211212221222112112221211122110S S S S S S S S S S S S S S S S A C b S S S S S S S S S S S S S S S S AC b x b x b y b y y y y y y y y --===--===--=得：统计假设检验总结：对于一元回归，四种检验方法选一即可；对于多元回归必须进行t检验和R、F间严重的一种。
四、例题：国外预测模型简介全行业运量预测五、几个基本问题及内在假设1、自变量的选择——（回归分析测法的程序）1)确定预测变量2)确定影响预测变量的因素——定性分析，具有经济上的意义和内在的因果关系。
3)收集整理预测变量及其影响因素的历史统计资料4)分析因变量和自变量的关系，确定回归模型——定量分析，因变量与自变量、自变量之间的相关系数，判别因变量和自变量是否显著相关，显著相关的影响因素作为自变量；同时与因变量不相关或与某个自变量高度线性相关的自变量，应予剔除。
实践经验确定散点图分析确定理论试算（计算拟和误差（预测误差）），选出拟和程度最好的模型5)求解模型参数，建立回归方程6)检验回归方程的有效性7)利用检验通过的回归方程进行预测，并确定预测值的置信区间2、多元共线性（多重共线性）1） 概念：回归分析中，自变量之间存在着相关关系，称这种关系为多元共线性。
多元回归分析的假设是自变量之间是独立的。
得出的参数估计值是不可靠的。
例如：某省宏观经济模型中，建筑业产值=2.1684+0.1601*工业总产值-0.0795*上年工业总产值+0.5651*上年建筑业产值负号的出现很难解释，上年工业总产值和上年建筑业产值存在共线性。
2） 检验多元共线性的方法： U ——χ2（m-1）分布 Q ——χ2（n-m ）分布 S yy ——χ2（n-1）分布 拟和优度判定系数：① 判定系数法：把某自变量用其它自变量进行回归计算，计算相应的判定系数R 2，若R 2较大，说明本自变量可以用其它自变量的线性组合替代，存在多重共线性。
或者用因变量分别与含有本自变量或不含有本自变量的自变量组合进行回归计算，若两者计算的判定系数差不多，则说明本自变量与其它自变量间存在多元共线性。
②逐步回归法：逐个引进自变量，根据R 2的变化情况判断是否存在多重共线性。