多元线性回归方程的建立

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第四章多元线性回归方程

多元回归模型三变量线性回归模型多元线性回归模型的若干假定多元线性回归模型的估计与假设检验
一、多元回归模型

多元回归模型(Multiple Regression Model)：

包含多个解释变量的回归模型。多元指有多种因素（即变量）对因变量有影响。

实际上，许多回归模型都是多元回归模型，因为很少有经济现象能够仅用一个解释变量能解释清楚。

Y ：进口量；X1:个人消费支出； X2:进口价格/国内价格
美国对酒精饮料的需求

为了解释美国对酒精饮料的需求， T.McGuinness根据20年的年数据得到下面结果： Y=-0.0140.354X1+0.0018X2+0.657X3+0.0059X4 se=(0.012)(0.2688)(0.0005)(0.266)(0.0034) t=(-1.16)(1.32)(3.39)(2.47)(1.73) R2=0.689

如果p< ，则p/2</2，
t0落入拒绝域，应拒绝H0
p／2 ／2 ／2 p／2
0
-t／2
拒绝H0
t／2 t0
拒绝H0
bj
接受H0
P值检验法准则

当P 值小于显著性水平时，系数在显著性水平下是显著的当P 值大于显著性水平时，系数在显著性水平下是不显著的。
解释

p-value：确切的（或观测的）显著性水平 p-value：零假设H0 被拒绝的最低显著性水平在使用上更简单,不用查临界值表
事件，如果该事件在一次抽样中就出现，说明假设H0值得怀疑，应当拒绝H0

多元线性回归的计算模型

多元线性回归的计算模型多元线性回归模型的数学表示可以表示为：Y=β0+β1X1+β2X2+...+βkXk+ε，其中Y表示因变量，Xi表示第i个自变量，βi表示第i个自变量的回归系数（即自变量对因变量的影响），ε表示误差项。

1.每个自变量与因变量之间是线性关系。

2.自变量之间相互独立，即不存在多重共线性。

3.误差项ε服从正态分布。

4.误差项ε具有同方差性，即方差相等。

5.误差项ε之间相互独立。

为了估计多元线性回归模型的回归系数，常常使用最小二乘法。

最小二乘法的目标是使得由回归方程预测的值与实际值之间的残差平方和最小化。

具体步骤如下：1.收集数据。

需要收集因变量和多个自变量的数据，并确保数据之间的正确对应关系。

2.建立模型。

根据实际问题和理论知识，确定多元线性回归模型的形式。

3.估计回归系数。

利用最小二乘法估计回归系数，使得预测值与实际值之间的残差平方和最小化。

4.假设检验。

对模型的回归系数进行假设检验，判断自变量对因变量是否显著。

5. 模型评价。

使用统计指标如决定系数（R2）、调整决定系数（adjusted R2）、标准误差（standard error）等对模型进行评价。

6.模型应用与预测。

通过多元线性回归模型，可以对新的自变量值进行预测，并进行决策和提出建议。

多元线性回归模型的计算可以利用统计软件进行，例如R、Python中的statsmodels库、scikit-learn库等。

这些软件包提供了多元线性回归模型的函数和方法，可以方便地进行模型的估计和评价。

在计算过程中，需要注意检验模型的假设前提是否满足，如果不满足可能会影响到模型的可靠性和解释性。

总而言之，多元线性回归模型是一种常用的预测模型，可以分析多个自变量对因变量的影响。

通过最小二乘法估计回归系数，并进行假设检验和模型评价，可以得到一个可靠的模型，并进行预测和决策。

多元线性回归模型过程

多元线性回归模型过程
多元线性回归是一种常用的回归分析模型，它可以用来分析两个或多个自变量之间的线性关系。

下面介绍多元线性回归模型的过程：
一、建立模型
1、观察原始数据：首先要收集需要分析的原始数据，从数据中观察现象背后
的规律来获取有效信息；
2、定义自变量与因变量：根据原始数据形成假设，确定要分析的自变量和因
变量，从而确定要分析的模型；
3、归纳回归方程式：运用最小二乘法解决回归方程，归纳出多元线性回归模型；
二、检验模型
1、显著性检验：检验所选变量是否对因变量有显著影响；
2、线性有效性检验：检验多元线性回归模型的线性有效性，确定拟合数据的完整性；
3、自相关性检验：检验各个自变量间的线性关系是否存在自相关现象；
4、影响因素较差检验：检验因变量的预测值与实际值之间的相对关系；
三、参数估计
1、极大似然估计：根据已建立的多元线性回归模型，可以运用极大似然估计，得出模型中未知参数的点估计值；
2、大致估计：利用已经进行检验的多元线性回归模型，对模型参数进行大致
估计，求出平均偏差平方根，从而估计模型的精确度；
四、分析模型
1、确定因子影响：根据已建立多元线性回归模型，可以求出每个自变量的系数，从而确定影响因变量的主要因素；
2、决定系数：可以利用模型求出每个自变量的决定系数，从而求得因变量对自变量的百分比影响；
3、对因变量施加假设：多元线性回归模型可以根据模型参数影响程度和数据情况，在每个自变量上施加多种假设，以确定模型最合理的假设；
4、模型检验：根据已建立的多元线性回归模型，可以运用张量分析，根据模型的指标，检验模型的被解释力水平，判断模型的有效性。

计量经济学-多元线性回归模型

多元线性回归模型的表达式
Y=β0+β1X1+β2X2+...+βkXk+ε，其中Y为因变量，X1, X2,..., Xk为自变量，β0, β1,..., βk为回归系数，ε为随机误差项。
多元线性回归模型的假设条件
包括线性关系假设、误差项独立同分布假设、无多重共线性假设等。
研究目的与意义
研究目的
政策与其他因素的交互作用
多元线性回归模型可以引入交互项，分析政策与其他因素（如技术进步、国际贸易等）的交互作用，更全面地评估政策效应。
实例分析：基于多元线性回归模型的实证分析
实例一
预测某国GDP增长率：收集该国历史数据，包括GDP、投资、消费、出口等变量，建立多元线性回归模型进行预测，并根据预测结果提出政策建议。
最小二乘法原理
最小二乘法是一种数学优化技术，用于找到最佳函数匹配数据。
残差是观测值与预测值之间的差，即 e=y−(β0+β1x1+⋯+βkxk)e = y (beta_0 + beta_1 x_1 + cdots + beta_k x_k)e=y−(β0+β1x1+⋯+βkxk)。
在多元线性回归中，最小二乘法的目标是使残差平方和最小。
t检验
用于检验单个解释变量对被解释变量的影响是否显著。
F检验
用于检验所有解释变量对被解释变量的联合影响是否显著。
拟合优度检验
通过计算可决系数（R-squared）等指标，评估模型对数据的拟合程度。
残差诊断
检查残差是否满足独立同分布等假设，以验证模型的合理性。
04
多元线性回归模型的检验与诊断

多元线性回归

多元线性回归
回归分析中两个或两个以上的自变量
01 概念
03 估计方法
目录
02 公式 04 相关的软件
在回归分析中，如果有两个或两个以上的自变量，就称为多元回归。事实上，一种现象常常是与多个因素相联系的，由多个自变量的最优组合共同来预测或估计因变量，比只用一个自变量进行预测或估计更有效，更符合实际。因此多元线性回归比一元线性回归的实用往受到多个因素的影响，因此，一般要进行多元回归分析，我们把包括两个或两个以上自变量的回归称为多元线性回归。
多元线性回归的基本原理和基本计算过程与一元线性回归相同，但由于自变量个数多，计算相当麻烦，一般在实际中应用时都要借助统计软件。这里只介绍多元线性回归的一些基本问题。
谢谢观看
估计方法
1.普通最小二乘法普通最小二乘法(Ordinary Least Square, OLS)通过最小化误差的平方和寻找最佳函数。通过矩阵运算求解系数矩阵： 2.广义最小二乘法广义最小二乘法(Generalized Least Square)是普通最小二乘法的拓展，它允许在误差项存在异方差或自相关，或二者皆有时获得有效的系数估计值。公式如右，图1..广义最小二乘法公式其中，Ω是残差项的协方差矩阵。
相关的软件
SPSS（Statistical Package for the Social Science）－－社会科学统计软件包是世界著名的统计分析软件之一。20世纪60年代末，美国斯坦福大学的三位研究生研制开发了最早的统计分析软件SPSS，同时成立了 SPSS公司，并于1975年在芝加哥组建了SPSS总部。20世纪80年代以前，SPSS统计软件主要应用于企事业单位。 1984年SPSS总部首先推出了世界第一个统计分析软件微机版本SPSS/PC+，开创了SPSS微机系列产品的开发方向，从而确立了个人用户市场第一的地位。同时SPSS公司推行本土化策略，已推出9个语种版本。SPSS/PC+的推出，极大地扩充了它的应用范围，使其能很快地应用于自然科学、技术科学、社会科学的各个领域，世界上许多有影响的报刊杂志纷纷就SPSS的自动统计绘图、数据的深入分析、使用方便、功能齐全等方面给予了高度的评价与称赞。已经在国内逐渐流行起来。它使用Windows的窗口方式展示各种管理和分析数据方法的功能，使用对话框展示出各种功能选择项，只要掌握一定的Windows操作技能，粗通统计分析原理，就可以使用该软件为特定的科研工作服务。

多元线性回归方程的建立

多元线性回归方程的建立建立多元线性回归方程，实际上是对多元线性模型（2-2-4）进行估计，寻求估计式（2-2-3）的过程。

与一元线性回归分析相同，其基本思想是根据最小二乘原理，求解使全部观测值与回归值的残差平方和达到最小值。

由于残差平方和（2-2-5）是的非负二次式，所以它的最小值一定存在。

根据极值原理，当Q取得极值时，应满足由（2-2-5）式，即满足（2-2-6）(2-2-6）式称为正规方程组。

它可以化为以下形式（2-2-7）如果用A表示上述方程组的系数矩阵可以看出A是对称矩阵。

则有（2-2-8）式中X是多元线性回归模型中数据的结构矩阵，是结构矩阵X的转置矩阵。

(2-2-7)式右端常数项也可用矩阵D来表示即因此(2-2-7)式可写成Ab=D （2-2-10）或（2-2-11）如果A满秩（即A的行列式）那么A的逆矩阵A-1存在，则由(2-10)式和(2-11)式得的最小二乘估计为（2-2-12）也就是多元线性回归方程的回归系数。

为了计算方便往往并不先求，再求b，而是通过解线性方程组(2-2-7)来求b。

(2-2-7)是一个有p+1个未知量的线性方程组，它的第一个方程可化为（2-2-13）式中（2-2-14）将（2-2-13）式代入（2-2-7）式中的其余各方程，得（2-2-15）其中（2-2-16）将方程组（2-2-15）式用矩阵表示，则有Lb=F （2-2-17）其中于是b=L-1F （2-2-18）因此求解多元线性回归方程的系数可由（2-2-16）式先求出L，然后将其代回（2-2-17）式中求解。

求b时，可用克莱姆法则求解，也可通过高斯变换求解。

如果把b直接代入（2-2-18）式，由于要先求出L的逆矩阵，因而相对复杂一些。

例2-2-1 表2-2-1为某地区土壤内含植物可给态磷(y)与土壤内所含无机磷浓度(x1)、土壤内溶于K2CO3溶液并受溴化物水解的有机磷浓度(x2)以及土壤内溶于K2CO3溶液但不溶于溴化物的有机磷(x3)的观察数据。

多元线性回归模型原理

多元线性回归模型原理Y=β0+β1*X1+β2*X2+...+βn*Xn+ε其中，Y表示因变量，X1、X2、..、Xn表示自变量，β0、β1、β2、..、βn表示模型的参数，ε表示误差项。

通过对数据进行拟合，即最小化误差平方和，可以估计出模型的参数。

多元线性回归模型的原理是基于最小二乘法，即通过最小化残差平方和来估计参数的值。

残差是指模型预测值与真实值之间的差异，最小二乘法的目标是找到一组参数，使得所有数据点的残差平方和最小。

通过求解最小二乘估计，可以得到模型的参数估计值。

为了评估模型的拟合程度，可以使用各种统计指标，例如R方值、调整R方值、标准误差等。

R方值表示模型解释因变量方差的比例，取值范围在0到1之间，值越接近1表示模型对数据的拟合程度越好。

调整R方值考虑了模型中自变量的个数和样本量之间的关系，可以更准确地评估模型的拟合程度。

标准误差表示模型预测值与真实值之间的标准差，可以用于评估模型的预测精度。

在建立多元线性回归模型之前，需要进行一些前提条件的检查，例如线性关系、多重共线性、异方差性和自变量的独立性。

线性关系假设要求自变量与因变量之间存在线性关系，可以通过散点图、相关系数等方法来检验。

多重共线性指的是自变量之间存在高度相关性，会导致参数估计的不稳定性，可以使用方差膨胀因子等指标来检测。

异方差性指的是残差的方差不恒定，可以通过残差图、方差齐性检验等方法来检验。

自变量的独立性要求自变量之间不存在严重的相关性，可以使用相关系数矩阵等方法来检验。

当满足前提条件之后，可以使用最小二乘法来估计模型的参数。

最小二乘法可以通过不同的方法来求解，例如解析解和数值优化方法。

解析解通过最小化误差平方和的一阶导数为零来求解参数的闭式解。

数值优化方法通过迭代来求解参数的数值估计。

除了最小二乘法，还有其他方法可以用于估计多元线性回归模型的参数，例如岭回归和lasso回归等。

岭回归和lasso回归是一种正则化方法，可以对模型进行约束，可以有效地避免过拟合问题。

(完整版)多元线性回归模型公式

二、多元线性回归模型在多要素的地理环境系统中，多个(多于两个）要素之间也存在着相互影响、相互关联的情况。

因此，多元地理回归模型更带有普遍性的意义。

（一）多元线性回归模型的建立假设某一因变量y 受k 个自变量k x x x ,...,,21的影响，其n 组观测值为（ka a a a x x x y ,...,,,21）,n a ,...,2,1=。

那么，多元线性回归模型的结构形式为：a ka k a a a x x x y εββββ+++++=...22110（3。

2。

11)式中:k βββ,...,1,0为待定参数； a ε为随机变量。

如果k b b b ,...,,10分别为k ββββ...,,,210的拟合值，则回归方程为ŷ=k k x b x b x b b ++++...22110（3。

2.12)式中:0b 为常数；k b b b ,...,,21称为偏回归系数。

偏回归系数i b （k i ,...,2,1=）的意义是，当其他自变量j x （i j ≠）都固定时,自变量i x 每变化一个单位而使因变量y 平均改变的数值。

根据最小二乘法原理，i β（k i ,...,2,1,0=）的估计值i b （k i ,...,2,1,0=）应该使()[]min (2)12211012→++++-=⎪⎭⎫⎝⎛-=∑∑==∧n a ka k a a a na a a xb x b x b b y y y Q （3。

2.13)有求极值的必要条件得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∂∂=⎪⎭⎫⎝⎛--=∂∂∑∑=∧=∧n a ja a a jn a a a k j x y y b Q y y b Q 110),...,2,1(0202（3.2.14）将方程组(3。

2.14）式展开整理后得： ⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++=++++∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑===================na a ka k n a ka n a ka a n a ka a n a ka n a aa k n a ka a n a a n a a a na a na aa k n a ka a n a a a n a a n a a na ak n a ka n a a n a a y x b x b x x b x x b x y x b x x b x b x x b x yx b x x b x x b x b x y b x b x b x nb 11221211101121221221121012111121211121011112121110)(...)()()(...)(...)()()()(...)()()()(...)()( （3.2。

回归方程是如何建立的？

回归方程是如何建立的？一、回归分析的基本概念回归分析是一种常用的统计工具，用于探究变量之间的关系以及预测未来的趋势。

它通过建立数学模型，研究自变量与因变量之间的函数关系，从而实现对未知数据的预测。

回归方程便是其中最为重要的数学模型，它描述了自变量与因变量之间的关系，并可以据此进行预测和解释。

二、回归方程的建立过程1. 数据收集与整理在建立回归方程之前，首先需要收集相关的数据。

这些数据应当全面、真实地反映自变量和因变量之间的关系，以确保回归分析结果的准确性和可靠性。

之后，需要对数据进行整理和清洗，排除异常值、缺失值等干扰因素，使得数据具备一定的可靠性和精确性。

2. 变量选择与处理在建立回归方程时，需要明确自变量和因变量。

在选择自变量时，应根据实际问题和研究目的进行合理的选择，避免自变量之间的相关性过高，以免产生多重共线性问题。

同时，还可以进行变量的处理，如变量变换、指标构建等，以充分利用数据的信息。

3. 建立回归模型在选择好自变量和因变量之后，可以根据实际问题和数据情况选择适合的回归模型。

常见的回归模型有线性回归、多元线性回归、非线性回归等。

线性回归是最简单和常用的回归模型，它可以通过最小二乘估计法来估计模型参数，进而得到回归方程。

4. 模型评估与拟合完成回归模型的建立后，需要对模型进行评估和拟合。

通过检验回归模型的显著性、解释度和拟合度，可以评判回归模型的合理性和可靠性。

常用的模型评估指标有残差分析、决定系数、方差分析等。

三、回归方程的应用和限制1. 应用范围回归方程可以应用于各个领域，如经济学、社会学、医学等。

它可以用于预测未来的趋势和变化，为决策提供科学依据。

同时，回归方程还可以用于解释因果关系和探究变量之间的关系。

2. 限制与注意事项在应用回归方程时，需要注意以下几个问题。

首先，回归方程是基于当前数据建立的，对于未来数据的预测存在一定的不确定性。

其次，回归方程建立的前提是自变量和因变量之间存在一定的相关性，如果相关性较弱，则回归分析的结果可能不够可靠。

（完整版）多元线性回归模型原理

（完整版）多元线性回归模型原理研究在线性关系相关性条件下，两个或者两个以上自变量对一个因变量，为多元线性回归分析，表现这一数量关系的数学公式，称为多元线性回归模型。

多元线性回归模型是一元线性回归模型的扩展，其基本原理与一元线性回归模型类似，只是在计算上为复杂需借助计算机来完成。

计算公式如下：设随机y 与一般变量12,,k x x x L 的线性回归模型为：01122k k y x x x ββββε=++++其中01,,k βββL 是1k +个未知参数，0β称为回归常数，1,k ββL 称为回归系数；y 称为被解释变量；12,,k x x x L 是k 个可以精确可控制的一般变量，称为解释变量。

当1p =时，上式即为一元线性回归模型，2k ≥时，上式就叫做多元形多元回归模型。

ε是随机误差，与一元线性回归一样，通常假设2()0var()E εεσ?=?=?同样，多元线性总体回归方程为01122k k y x x x ββββ=++++L 系数1β表示在其他自变量不变的情况下，自变量1x 变动到一个单位时引起的因变量y 的平均单位。

其他回归系数的含义相似，从集合意义上来说，多元回归是多维空间上的一个平面。

多元线性样本回归方程为：01122k ky x x x ββββ=++++L多元线性回归方程中回归系数的估计同样可以采用最小二乘法。

由残差平方和:()0SSE y y∑=-= 根据微积分中求极小值得原理，可知残差平方和SSE 存在极小值。

欲使SSE 达到最小，SSE 对01,,k βββL 的偏导数必须为零。

将SSE 对01,,k βββL 求偏导数，并令其等于零，加以整理后可得到1k +各方程式：?2()0i SSE y yβ?=--=?∑ 0?2()0i SSE y y x β?=--=?∑通过求解这一方程组便可分别得到01,,k βββL 的估计值0?β，1?β，···?kβ回归系数的估计值，当自变量个数较多时，计算十分复杂，必须依靠计算机独立完成。

多元线性回归模型实验报告

多元线性回归模型实验报告实验报告：多元线性回归模型1.实验目的多元线性回归模型是统计学中一种常用的分析方法，通过建立多个自变量和一个因变量之间的模型，来预测和解释因变量的变化。

本实验的目的是利用多元线性回归模型，分析多个自变量对于因变量的影响，并评估模型的准确性和可靠性。

2.实验原理多元线性回归模型的基本假设是自变量与因变量之间存在线性关系，误差项为服从正态分布的随机变量。

多元线性回归模型的表达形式为：Y=b0+b1X1+b2X2+...+bnXn+ε，其中Y表示因变量，X1、X2、..、Xn表示自变量，b0、b1、b2、..、bn表示回归系数，ε表示误差项。

3.实验步骤（1）数据收集：选择一组与研究对象相关的自变量和一个因变量，并收集相应的数据。

（2）数据预处理：对数据进行清洗和转换，排除异常值、缺失值和重复值等。

（3）模型建立：根据收集到的数据，建立多元线性回归模型，选择适当的自变量和回归系数。

（4）模型评估：通过计算回归方程的拟合优度、残差分析和回归系数的显著性等指标，评估模型的准确性和可靠性。

4.实验结果通过实验，我们建立了一个包含多个自变量的多元线性回归模型，并对该模型进行了评估。

通过计算回归方程的拟合优度，我们得到了一个较高的R方值，说明模型能够很好地拟合观测数据。

同时，通过残差分析，我们检查了模型的合理性，验证了模型中误差项的正态分布假设。

此外，我们还对回归系数进行了显著性检验，确保它们是对因变量有显著影响的。

5.实验结论多元线性回归模型可以通过引入多个自变量，来更全面地解释因变量的变化。

在实验中，我们建立了一个多元线性回归模型，并评估了模型的准确性和可靠性。

通过实验结果，我们得出结论：多元线性回归模型能够很好地解释因变量的变化，并且模型的拟合优度较高，可以用于预测和解释因变量的变异情况。

同时，我们还需注意到，多元线性回归模型的准确性和可靠性受到多个因素的影响，如样本大小、自变量的选择等，需要在实际应用中进行进一步的验证和调整。

多元线性回归

RC2
0.546 0.528 0.488 0.447 0.441 0.440 0.435 0.408
Cp 方程中的自变量
RC2
3.15 X2，X3
0.408
5.00 X1，X3
0.375
5.96 X4
0.347
7.97 X1
0.284
7.42 X1，X2
0.275
7.51 X3
0.231
7.72 X2
16
偏回归平方和
某自变量的偏回归平方和表示模型中含有其他 m－1个自变量的条件下该自变量对Y的回归贡献。相当于从回归方程中剔除该自变量后所引起的回归平方和的减少量。或者说在m－1个自变量的基础上新增加该自变量引起回归平方和的增加量。
m－1个自变量对Y的回归平方和由重新建立的新方程得到。
对回归方程的预测或解释能力作出综合评价（决定系数）；
在此基础上进一步对各个自变量的重要性作出评价（偏回归平方和、t检验、标准回归系数）。
8
方差分析步骤－建立假设
H0：自变量整体与应变量没有回归关系
1 2 m 0
H1：自变量整体与应变量有回归关系
确定检验水准： 0.05
21
偏回归平方和的检验步骤－结论
F3>F0.05,1,22 P3<0.05 F4<F0.05,1,22
P4<0.05
结论：在 0.05 水准处，拒绝胰岛素（X3）和糖化血红蛋白（X4）的H0，接受H1，可以认为两者和血
糖有回归关系，糖化血红蛋白的回归贡献更大（偏回
归平方和越大，回归贡献越大）。
好；越接近0，说明拟合程度越差。
13

多元线性回归分析

多元线性回归分析多元线性回归分析是一种常用的统计方法，用于研究多个自变量与因变量之间的关系。

它可以帮助我们理解多个因素对于一个目标变量的影响程度，同时也可以用于预测和解释因变量的变化。

本文将介绍多元线性回归的原理、应用和解读结果的方法。

在多元线性回归分析中，我们假设因变量与自变量之间存在线性关系。

具体而言，我们假设因变量是自变量的线性组合，加上一个误差项。

通过最小二乘法可以求得最佳拟合直线，从而获得自变量对因变量的影响。

多元线性回归分析的第一步是建立模型。

我们需要选择一个合适的因变量和若干个自变量，从而构建一个多元线性回归模型。

在选择自变量时，我们可以通过领域知识、经验和统计方法来确定。

同时，我们还需要确保自变量之间没有高度相关性，以避免多重共线性问题。

建立好模型之后，我们需要对数据进行拟合，从而确定回归系数。

回归系数代表了自变量对因变量的影响大小和方向。

通过最小二乘法可以求得使残差平方和最小的回归系数。

拟合好模型之后，我们还需要进行模型检验，以评估模型拟合的好坏。

模型检验包括对回归方程的显著性检验和对模型的拟合程度进行评估。

回归方程的显著性检验可以通过F检验来完成，判断回归方程是否显著。

而对模型的拟合程度进行评估可以通过判断决定系数R-squared的大小来完成。

解读多元线性回归结果时，首先需要看回归方程的显著性检验结果。

如果回归方程显著，说明至少一个自变量对因变量的影响是显著的。

接下来，可以观察回归系数的符号和大小，从中判断自变量对因变量的影响方向和相对大小。

此外，还可以通过计算标准化回归系数来比较不同自变量对因变量的相对重要性。

标准化回归系数表示自变量单位变化对因变量的单位变化的影响程度，可用于比较不同变量的重要性。

另外，决定系数R-squared可以用来评估模型对观测数据的拟合程度。

R-squared的取值范围在0到1之间，越接近1说明模型对数据的拟合越好。

但需要注意的是，R-squared并不能反映因果关系和预测能力。

计量经济学(2012B)(第二章多元线性回归)详解

2 2i
n
n
2 i
i ( yi ˆ1x1i ˆ2 x2i )
i 1
i 1
n
i yi
n
(
y
ˆ x
ˆ x
) y
i1
i
1 1i
2 2i
i
i 1
n
y 2
(ˆ
n
x
y
ˆ
n
x
y )
i1
i
1 i1 1i i
2 i1 2 i i
TSS ESS
2.5 单个回归参数的置信区间与显著性检验
一、置信区间
H (4)
的拒绝域为：
0
F F (2, n 3)
(5) 推断：若
F F (2, n 3)
，则拒绝 H ， 0
认为回归参数整体显著；
H 若 F F (2, n 3)
，则接受
，
0
认为回归参数整体上不显著。
回归结果的综合表示
yˆi 0.0905 0.426x1i 0.0084x2i
Sˆj : 或 t:
模型的估计效果. (5) 拟合优度与F 检验中的 F 统计量的关系是什么?这两个
量在评价二元线性回归模型的估计效果上有何区别? (6) 试比较一元线性回归与二元线性回归的回归误差,哪
个拟合的效果更好?
应用：
（1）预测当累计饲料投入为 20磅时，鸡的平均
重量是多少？ yˆ 5.2415 f
（磅）
（2）对于二元线性回归方程，求饲料投入的边际生产率？
(0.1527) (0.0439)
(0.5928) (9.6989)
(0.0027) (3.1550)
R2 0.9855, R2 0.9831 ， F 408.9551

人工成本的多元线性回归预测模型的建立

人工成本的多元线性回归预测模型一、模型的设计根据公司历年销售收入、利润、增加值和人工成本总量的历史数据，研究以销售收入（X1）、利润（X2）、增加值（X3）为自变量，和因变量人工成本（Y）之间是否存在线性关系，若存在线性关系，则建立数学预测模型，用于未来年度人工成本的预测，以供公司领导决策。

模型可写为：Y=b0+b1×X1+b2×X2+b3×X3式中，b0、b1、b2、b3为回归系数。

二、自变量的选择我们的设想是将上述自变量引入多元线性回归方程，但各个变量的作用有大有小，我们建立多元回归方程时，既不能丢掉对因变量（Y）贡献大的自变量，也不希望引入对因变量（Y）无影响的自变量，这就需要利用SAS数据挖掘软件编程运算，通过假设检验和相关系数等一系列的计算分析，对自变量有所选择，剔除相关程度小的自变量，把相关程度高的自变量找出来，建立较理想的模型。

一个理想的模型应该既有较高的预测、预报精度，模型也不太复杂。

这里我们通过计算各个自变量和因变量（Y）存在的决定系数（R-square）(系数值越大，回归效果越好)、Cp系数（Cp值与纳入的自变数最接近时，模型最优）、AIC系数(系数值越小，回归效果越好),选择符合各项标准的自变量组合，建立线性回归方程。

三、建立线性回归数据模型根据上述步骤，编程建立数据模型，求解相关系数b0、b1、b2、b3的估计值，以及线性相关系数R-Square、显著程度的概率系数P值,直到模型达到较高的精度，方可建立线性回归方程。

四、模型的评估根据线性回归方程，计算累加人工成本的预测值并和原始值对比，求出误差及拟合准确率、平均准确率，模型的实际值和预测值拟合的非常好，模型建立的很理想，方可用于对未来数据的预测。

五、预测未来年度人工成本总量根据公司未来年度的销售收入、利润、增加值计划，代入所建立的回归方程，求得未来年度人工成本的预测值。

多元线性回归模型

多元线性回归模型（1）模型准备多元线性回归模型是指含有多个解释变量的线性回归模型，用于解释被解释的变量与其他多个变量解释变量之间的线性关系。

其数学模型为：上式表示一种 p 元线性回归模型，可以看出里面共有 p 个解释变量。

表示被解释变量y 的变化可以由两部分组成：第一部分，是由 p 个解释变量 x 的变化引起的 y 的线性变化部分。

第二部分，是要解释由随机变量引起 y 变化的部分，可以用 \varepsilon 部分代替，可以叫随机误差，公式中的参数都是方程的未知量，可以表示为偏回归常数和回归常数，则多元线性回归模型的回归方程为：（2）模型建立首先在中国A股票市场中，根据各指标与估值标准 y 的关联度来选取变量，选取指标为：年度归母净利润 x_{1} 、年度营业收入 x_{2} 、年度单只股票交易量 x_{4} 、年度单只股票交易量金额 x_{6} 。

有如下表达式为：其中 y 是因变量， x_{1}，x_{2}，x_{4}，x_{6} 是自变量，α为误差项，b_{1},b_{2},b_{4},b_{6} 为各项系数。

（3）中国A股票市场模型求解运用SPSS软件，运用多元线性回归方程可以得出如下：下表模型有4个自变量，模型调整后的拟合度为0.976，说明模型的拟合度非常好。

下表为方差分析表，告诉我们F 的值值为1.794，显著性概率p 为0.004小于0.005，因此自变量系数统计较为显著。

下表给出模型常数项和自变量系数，并对系数统计显著性进行检验，常数项的值为2.618，显著性为0.002，统计比较显著，其它指标的显著性都小于0.005，故该模型比较准确。

故得出中国A股市场中的估值水平与这四个指标的线性关系为：（4）美国NASDAQ市场模型求解下表模型有4个自变量，模型调整后的拟合度为0.862，说明模型的拟合度非常好。

下表为方差分析表，告诉我们 F 值为15.081，显著性概率 p 为0.005等于0.005，因此自变量系数统计较为显著。

线性回归分析的SPSS操作(多元线性回归)

线性回归分析的SPSS操作本节内容主要介绍如何确定并建立线性回归方程。

包括只有一个自变量的一元线性回归和和含有多个自变量的多元线性回归。

为了确保所建立的回归方程符合线性标准，在进行回归分析之前，我们往往需要对因变量与自变量进行线性检验。

也就是类似于相关分析一章中讲过的借助于散点图对变量间的关系进行粗略的线性检验，这里不再重复。

另外，通过散点图还可以发现数据中的奇异值，对散点图中表示的可能的奇异值需要认真检查这一数据的合理性。

一、一元线性回归分析1．数据以本章第三节例3的数据为例，简单介绍利用SPSS如何进行一元线性回归分析。

数据编辑窗口显示数据输入格式如下图7-8（文件7-6-1.sav）：图7-8：回归分析数据输入2．用SPSS进行回归分析，实例操作如下：2.1.回归方程的建立与检验（1）操作①单击主菜单Analyze / Regression / Linear…，进入设置对话框如图7-9所示。

从左边变量表列中把因变量y选入到因变量（Dependent）框中，把自变量x选入到自变量（Independent）框中。

在方法即Method一项上请注意保持系统默认的选项Enter，选择该项表示要求系统在建立回归方程时把所选中的全部自变量都保留在方程中。

所以该方法可命名为强制进入法（在多元回归分析中再具体介绍这一选项的应用）。

具体如下图所示：图7-9 线性回归分析主对话框②请单击Statistics…按钮，可以选择需要输出的一些统计量。

如Regression Coefficients(回归系数)中的Estimates，可以输出回归系数及相关统计量，包括回归系数B、标准误、标准化回归系数BETA、T值及显著性水平等。

Model fit项可输出相关系数R，测定系数R2，调整系数、估计标准误及方差分析表。

上述两项为默认选项，请注意保持选中。

设置如图7-10所示。

设置完成后点击Continue返回主对话框。

图7-10：线性回归分析的Statistics选项图7-11：线性回归分析的Options选项回归方程建立后，除了需要对方程的显著性进行检验外，还需要检验所建立的方程是否违反回归分析的假定，为此需进行多项残差分析。

试验设计与数据处理第4章回归分析

a' ln a
y' ln y
yˆ abx ln yˆ ln a xln b
yˆ a bx
a' ln a
b' ln b
对数函数 (logarithmic function)
x' lg x
yˆ a blg x
yˆ a bx'
x' ln x
yˆ a bln x
yˆ a bx'
幂函数 (power function)
（2）回归系数的确定根据最小二乘法原理：求偏差平方和最小时的回归系数
偏差平方和：
n
n
Q ( yi $yi )2 ( yi a b1x1 b2x2 ... bmxm )2
i 1
i 1
根据：
Q 0
Q 0
a
bj
得到正规方程组，正规方程组的解即为回归系数。
应用条件：
注意：虽然模型要求因变量是连续数值变量，但对自变量的类型不限。若自变量是分类变量，特别是无序分类变量，要转化为亚变量才能分析。对于自变量是分类变量的情形，需要用广义线性回归模型分析。
－1≤r≤1 r＝±1：x与y有精确的线性关系
y
y
r=1 x
r＝－1
x
r＜0：x与y负线性相关（negative linear correlation） r＞0：x与y正线性相关（positive linear correlation）
y y
0＜r＜1 x
－1＜r＜0 x
r＝0
r＝0
y y
b0 11.9259 0.1424 5.8126 0.3515 2.8407 0.2706 6.1467 0.6382 9.1185