导数的乘除法法则分析

（2）由导数的除法运算法则可得：
2 1 2 x ln x x 2 x x( 2 ln x 1) x 2 2 ln x (ln x ) ln x
1. 计算下列函数的导数：
(1) y ( 2 x 3)( 3 x 1)
2
y 18 x 2 4 x 9
例2 求下列函数的导数：
sin x x2 (1) y ; ( 2) y x ln x
解： （1）设 f ( x ) sin x, g ( x ) x ，则可知
f ( x ) cos x, g ( x ) 1
由导数的除法运算法则可得
sin x cos x x sin x 1 x cos x sin x 2 2 x x x
如何得到
f ( x ) g ( x )
、
？
f ( x ) f ( x0 x ) f ( x0 ) 即出现： x x 2 g ( x ) ( x0 x ) 2 x0 x x
2 y ( x0 x )2 f ( x0 x ) x0 f ( x0 ) x x
2 ( x0 x )2 f ( x0 x ) f ( x0 ) ( x0 x )2 x0 f ( x0 ) x 2 2 f ( x x ) f ( x ) ( x x ) x 2 0 0 0 ( x0 x ) 0 f ( x0 ) x x
( 2) y ( x 2) 2 x x ( 3) y x sin cos 2 2
2 y 1 x
1 y 1 cos x 2 本题也可以用公式变形再用导数的加减法法则计算。
2. 求曲线 y x( 2 x 3 ) 2 在 (1,9) 处的切线方程。
k y 27


由于
x 0
lim ( x0 x ) x
2
2 0
f ( x0 x ) f ( x0 ) lim f ( x0 ) x 0 x 2 ( x0 x ) 2 x0 lim 2 x0 g ( x0 ) x 0 x
2 所以 f ( x ) g ( x ) x f ( x ) 在 x0 处的导数值是：
cos x x x2 (cos x x ) x 2 (cos x x ) 2 x 2 2 (x ) ( sin x 1) x 2 2 x cos x 2 x 2 4 x x sin x 2 cos x x x3



f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x )
kf ( x) kf ( x)
f ( x) f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x ) g ( x) 2 g ( x)
例1 求下列函数的导数：
(1) y x 2e x ;
2 x0 f ( x0 ) 2 x0 f ( x0 ) g ( x0 ) f ( x0 ) g ( x0 ) f ( x0 )
2 2 2 x f ( x ) 因此， 的导数是： x f ( x) ( x ) f ( x )
由此可以得到：
f ( x ) g ( x )
x
（2）由导数的乘法法则可得：
sin x ( x sin x ) ( x ) sin x x (sin x ) x cos x 2 x
（3）由导数的乘法法则可得：
1 ( x ln x) ( x) ln x x(ln x) 1 ln x x ln x 1 x
从定义式中，能否变换出 f ( x ) 和 g ( x ) ？？

解析 对于 x0 的改变量 x ，有
y ( x0 x ) f ( x0 x ) x f ( x0 )
2 2 0
平均变化率：
2 y ( x0 x )2 f ( x0 x ) x0 f ( x0 ) x x
根据导数的乘法法则Байду номын сангаас得：
x (ln x sin x)
2

1 2 x(ln x sin x) x ( cos x ) x x 2 x ln x 2 x sin x x 2 cos x
2
本题也可以展开括号再用导数的加减和乘法法则计算。
（2）由导数的除法法则，可得：
y 27 x 18
解： （1）可设
cos x x (1) y x (ln x sin x ) ; ( 2) y 2 x 2
2
例3 求下列函数的导数：
f ( x) x , g ( x) ln x sin x
1 则有：f ( x ) 2 x, g ( x ) cos x x

f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x )
特别地，若 g ( x ) k ，则有
kf ( x) kf ( x)

概括
一般地，若两个函数 f ( x ) 和 g ( x ) 的导数分别是
f ( x ) 和 g ( x ) ，则：
f ( x ) g ( x )
解： （1）设
( 2) y x sin x ; ( 3) y x ln x
f ( x) x , g ( x) e
2
x
，可知
x f ( x ) 2 x, g ( x ) e
由导数的乘法法则可得
( x e ) 2 xe x e ( 2 x x )e
2 x x 2 x 2
前面学习了导数的加法减法运算法则，下面来研
究两个函数积、商的导数求法： 引例：
2 处的导数为 ， ，求 f ( x ) g ( x ) x x0 y f ( x ) g ( x ) x 2 f ( x ) 在 x0处的导数。
设 y f ( x) 在
g ( x ) 之间的联系， 我们观察 f ( x ) g ( x ) 与 f ( x ) 、