复习专题对勾函数
对勾函数的性质及应用
对勾函数的性质及 【2 】运用 一、对勾函数b y ax x =+)0,0(>>b a 的图像与性质：1. 界说域：),0()0,(+∞⋃-∞2. 值域：),2[]2,(+∞⋃--∞ab ab3. 奇偶性：奇函数,函数图像整体呈两个“对勾”的外形,且函数图像关于原点呈中间对称,即0)()(=-+x f x f4. 图像在一.三象限, 当0x >时,b y ax x =+≥ab 2（当且仅当b x a =取等号）,即)(x f 在x=a b 时,取最小值ab 2由奇函数性质知：当x<0时,)(x f 在x=a b-时,取最大值ab 2- 5. 单调性：增区间为（∞+,a b ）,（a b -∞-,）,减区间是（0,a b ）,（a b -,0） 二、对勾函数的变形情势类型一：函数b y ax x =+)0,0(<<b a 的图像与性质1.界说域：),0()0,(+∞⋃-∞2.值域：),2[]2,(+∞⋃--∞ab ab3.奇偶性：奇函数,函数图像整体呈两个“对勾”的外形.4.图像在二.四象限, 当x<0时,)(x f 在x=a b 时,取最小值ab 2;当0x >时,)(x f 在x=a b -时,取最大值ab 2-5.单调性：增区间为（0,a b ）,（a b -,0）减区间是（∞+,a b ）,（a b -∞-,）,类型二：斜勾函数b y ax x =+)0(<ab①0,0<>b a 作图如下1.界说域：),0()0,(+∞⋃-∞2.值域：R3.奇偶性：奇函数4.图像在二.四象限,无最大值也无最小值.5.单调性：增区间为（-∞,0）,（0,+∞）.②0,0><b a 作图如下：1.界说域：),0()0,(+∞⋃-∞2.值域：R3.奇偶性：奇函数4.图像在二.四象限,无最大值也无最小值.5.单调性：减区间为（-∞,0）,（0,+∞）.类型三：函数)0()(2>++=ac x c bx ax x f .此类函数可变形为b x c ax x f ++=)(,可由对勾函数x c ax y +=高低平移得到 演习1.函数x x x x f 1)(2++=的对称中间为类型四：函数)0,0()(≠>++=k a k x a x x f此类函数可变形为k k x a k x x f -+++=)()(,则)(x f 可由对勾函数x a x y +=阁下平移,高低平移得到 演习 1.作函数21)(-+=x x x f 与x x x x f +++=23)(的草图2.求函数421)(-+=x x x f 在),2(+∞上的最低点坐标3. 求函数1)(-+=x x x x f 的单调区间及对称中间类型五：函数)0,0()(2>≠+=b a b x ax x f .此类函数界说域为R ,且可变形为x b x a x b x a x f +=+=2)( a.若0>a ,图像如下：1．界说域：),(+∞-∞ 2. 值域：]21,21[b a b a ⋅⋅-3. 奇偶性：奇函数.4. 图像在一.三象限.当0x >时,)(x f 在b x =时,取最大值b a 2,当x<0时,)(x f 在x=b -时,取最小值b a2-5. 单调性：减区间为（∞+,b ）,（b -∞-,）;增区间是],[b b -演习1.函数1)(2+=x xx f 的在区间[)2,+∞上的值域为 b. 若0<a ,作出函数图像：1．界说域：),(+∞-∞ 2. 值域：]21,21[b a b a ⋅⋅- 3. 奇偶性：奇函数. 4. 图像在一.三象限.当0x >时,)(x f 在b x =时,取最小值b a2-, 当x<0时,)(x f 在x=b -时,取最大值b a25. 单调性：增区间为（∞+,b ）,（b -∞-,）;减区间是],[b b -演习1.如2214x a x +=-+()1,2x ∈-,则的取值规模是类型六：函数)0()(2≠+++=a m x c bx ax x f .可变形为)0()()()()(2>++++=+++++=at s m x t m x a m x t m x s m x a x f , 则)(x f 可由对勾函数x t ax y +=阁下平移,高低平移得到演习 1.函数11)(2+++=x x x x f 由对勾函数x x y 1+=向（填“左”.“右”）平移单位,向（填“上”.“下”）平移单位.2.已知1->x ,求函数1107)(2+++=x x x x f 的最小值;3.已知1<x ,求函数199)(2--+=x x x x f 的最大值 类型七：函数)0()(2≠+++=a c bx ax m x x f 演习1.求函数21)(2++-=x x x x f 在区间),1(+∞上的最大值;若区间改为),4[+∞则)(x f 的最大值为2.求函数232)(22++++=x x x x x f 在区间),0[+∞上的最大值 类型八：函数a x bx x f ++=)(.此类函数可变形为标准情势：)0()(>-+-++=+-++=a b a x a b a x a x a b a x x f 演习1.求函数13)(-+=x x x f 的最小值; 2．求函数15)(++=x x x f 的值域; 3.求函数32)(++=x x x f 的值域类型九：函数)0()(22>++=a a x bx x f .此类函数可变形为标准情势：)()()(22222o a b a x a b a x a x ab a x x f >-+-++=+-++=演习 1.求函数45)(22++=x x x f 的最小值;2. 求函数171)(22++=x x x f 的值域。
高考数学复习专题系列学案：基本不等式对勾函数
基本不等式与对勾函数b、对勾函数y = ax • b (a . 0,b .0)的图像与性质x性质： 1.定义 '*_f(x) =aj+ —>C.A A 0) 当孟a 0*. == 3 + —2石瓦f 当 且仅当站=—)」AX当孟= —(iix + —｝台 2-Jab,X所臥得到血点坐标A (£.2加)』,_2石咬一41 I I 1*iI I i i| I I5-—_—M —— —三 <_ — ■. ■■ ■■ ■ ■“ ■ ■■ tM' — —' "W— ■* ~ — 1(-=,0) (0,二)2. 值域：(-：：,-2 . ab) (2、ab,：：)3. 奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状，且函数图像关于原点呈中心对称，即 f(x) f(-x) =0 4. 图像在一、三象限当x =0时，由基本不等式知 yuax + PzzJab (当且仅当x = J 匕取等号)，xV a由奇函数性质知: 当x<0时，f (x)在x= — 时，取最大值 -^ab\ a一、对勾函数的变形形式 类型一：函数y =ax • b (a ：：： 0, b ：：： 0)的图像与性质 x此函数与对勾函数 y =(-a)x • J?关于原点对称，故函数图像为x即f (x)在x=—时，取最小值a2 . ab5.单调性：增区间为( 减区间是(0，性质: 类型二：斜勾函数y = ax • b (ab ：：： 0)xf(x)二2ax bx c(ac 0)此类函数可变形为cc f(x)二ax b ，贝y f(x)可由对勾函数 y 二ax上下平移得到xx性质： ②a 0,b . 0作图 如下： 类型三：函数例1作函数f (x) x2 x 1的草图解：f(x)二匚x1f(x)=x 1作图如下:x类型四：函数f(x)=x・a(a 0,k") x k此类函数可变形为a t af(x)=(x，k )-k ,则f (x)可由对勾函数y = x 左右平移,x上下平移得到例2作函数f (x)的草图x -2解：f (x) 例3作函数f(x)=x-2 12作图如下:x — 2=xx -2x 3x 2x 3x「f(x)二x的作图:x 2 1 1 1 f (x) x=1 x=x 2 1 x+2 x+2 x+21 练习：1.求函数f(x) =x 在(2/ ::)上的最低点坐标2x —4 解：f (x)X2.求函数f(X )= X的单调区间及对称中心X —1a.若a • 0 ,则f (x)的单调性和对勾函数 y = x •巴的单调性相反，图像如下: x1 .定义域：(一匚片•：：)由奇函数性质知: 当x<0时，f (x)在x= - b 时，取最小值-—a _2Jb5.单调性：减区间为( Jb, +30 ), (一00，-Jb )增区间是[- b, b]类型五： ax函数 f (X )二 2(a = 0,b . 0)f (x)二x 2 b3.奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个倒着的“对勾”的形状，且函数图像关于原点呈 中心对称，即f(x) f (-x) =04.图像在一、三象限 当x 0时，由基本不等式知f (x) V ——a 二a (当且仅当X 二• b 取等号2"： 2"即f (x)在x - b 时，取最大值a2“b此类函数定义域为R ，且可变形为性质:3当 x=1 时，f(x)二X-12(x —1)23(xT) 4 (X-1)3(xT) 4 x 〔4x — 1问：若区间改为［4,则f (x)的最大值为2x 7x 10类型七：函数f(x)2x max +bx+cx 1x例4作函数f(x)二—X x 解：f(x)二: x +1 11 x - xb.若acO ,作出函数图像： 2x r 的草图 x 2 4 例5作函数f (x)二类型六：函数 f (x)二 ax bx c(a = 0) x 十m 2 此类函数可变形为f(xH a(X m) S(X m)=a(x m) —t — s(at 0)x+ m则f (x)可由对勾函数 y 二ax •丄左右平移，上下平移得到 xx 2+x +1 1 例6说明函数f(x) 由对勾函数y=x 如何变换而来 ■ x 解：f(x)= (x 1)2 -(x 1) ^x . 1 1 X 十1 故 此函数f (x)可由对勾函数 (填“上”、“下”)平移*1宀 y = x 向 __________ x单位.草图如下:(填 “左”、“右”)平移 单位,2.已知x 1 ，求函数f (X )口x 2 9x -10x-1的最大值练习：1.已知x ^ -1，求函数f(x)=的最小值例7求函数f ( X )工 在区间(1, •二)上的最大值解：当x =1时，f (1)=0x + b 类型八：函数f (x)=Jx + a此类函数可变形为标准形式：f(x^x a ^^./xb-a (b_a.O) v x + ax + 3例8求函数f(x)的最小值 <x 解:f(x) =x "4Jx —1x + 5 •求函数f(x)的值域J x +1函数 f(x)=—— v'x 十此类函数可变形为标准形式：解: y =x…x 2 aa2xf (x )= ( X 2 * * a)2 b-ax 2 a二 x 2 a 「Tag °〉工的最小值4x 2 5 =解：f(x) = x 2 4x 2 4 1 f (x)' = lx 2 +4 十 1 Jx 2 +4 lx 2+4练习：1.求函数f (X )例10已知a 0,求函数y= X 2 1、—2 的值域X 2 17x 2a 1 .X 2—a 的最小值。
对勾函数的图象及性质
对勾函数一、定义对勾函数是由两个幂函数相加得到的，对勾函数是一种类似于反比例函数的一般双曲函数，其标准形式为f(x)=ax+（其中ab>0）。
由于函数图像形似两个中心对称的对勾，因此得名“对勾函数”，又被称为“双勾函数”、“勾函数”、“对号函数”、“双飞燕函数”等。
在许多情况下，为了简化分析，常取a=b=1，即函数形式为f(x)=x+。
研究初等函数的一般路径，背景—概念—图象—性质—应用二、图象及性质图像特征：1、对勾函数的图像是分别以y 轴和直线y=ax 为渐近线的两支曲线。
2、图像上任意一点到两条渐近线的距离之积恰为渐近线夹角（0-180°）的正弦值与|b|的乘积。
3、函数图像整体呈两个“对勾”的形状，且关于原点呈中心对称。
定义域：，即除了x=0外，所有实数都是其定义域内的元素。
值域：。
单调性：函数在(−∞,−1)∪(1,+∞)上单调递增，在(1,0)∪(0,1)上单调递减。
奇偶性：对勾函数是奇函数，即满足f(−x)=−f(x)。
x 122严禁复制三、题型1、基础计算题给定对勾函数表达式，求函数在特定点的值或特定区间的最值。
2.、图像结合题根据对勾函数的图像，判断函数在哪些区间内满足特定条件（如大于某值、小于某值）。
利用图像分析函数与直线、其他曲线的交点情况。
3.、综合应用题求最值问题：利用对勾函数的性质，可以快速求解形如ax+（ab>0）的函数的最值问题。
不等式证明：在不等式证明中，对勾函数的性质也常被用来进行放缩或构造反例。
实际问题建模：在某些经济学问题中，如成本分析、收益最大化等，也可能涉及到对勾函数的应用。
4、参数变化分析：探讨参数a 和b 变化时，对勾函数图像和性质的变化规律。
5、复杂函数组合将对勾函数与其他函数（如二次函数、指数函数等）组合，分析新函数的性质和应用。
四、解题步骤1、对勾函数求最值问题的解题步骤（1）理解函数形式确认函数f(x)=ax+的形式，注意a 和b 都是正数且不相等。
对勾函数讲解与例题解析
对勾函数对勾函数:数学中一种常见而又特殊的函数。
如图一、对勾函数f(x)=ax+错误！未找到引用源。
的图象与性质对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。
它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。
(一) 对勾函数的图像对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+错误！未找到引用源。
（接下来写作f(x)=ax+b/x ）。
当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x 是正比例函数f(x)=ax 与反比例函数f(x)= b/x “叠加”而成的函数。
这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。
当a ，b 同号时，f(x)=ax+b/x 的图象是由直线y ＝ax 与双曲线y= b/x 构成，形状酷似双勾。
故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。
如下图所示：当a ，b 异号时，f(x)=ax+b/x 的图象发生了质的变化。
但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。
（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。
）一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。
a>0 b>0 a<0 b<0 对勾函数的图像（ab 同号）对勾函数的图像（ab 异号）接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。
之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。
(二) 对勾函数的顶点对勾函数性质的研究离不开均值不等式。
利用均值不等式可以得到：当x>0时，错误！未找到引用源。
当x<0时，错误！未找到引用源。
即对勾函数的定点坐标：(三) 对勾函数的定义域、值域由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。
(四) 对勾函数的单调性(五) 对勾函数的渐进线 由图像我们不难得到： (六)对勾函数的奇偶性 ：对勾函数在定义域内是奇函数， 二、均值不等式(基本不等式） 对勾函数性质的研究离不开均值不等式。
对勾函数专题讲解
对勾函数专题讲解专题：对勾函数及其应用1.对勾函数定义对勾函数是指形如 y = ax + (a>0.b>0) 的一类函数，因其图像形态极像对勾，因此被称为“对勾函数”。
2.对勾函数 y = ax + (a>0，b>0) 的性质1) 定义域：(-∞。
0) ∪ (0.+∞)。
2) 值域：(-∞。
-2ab] ∪ [2ab。
+∞)。
3) 奇偶性：在定义域内为奇函数。
4) 单调性：(-∞。
-a/b)，(a/b。
+∞) 上是增函数；(-a/b。
0)，(0.a/b) 上是减函数。
3.对勾函数 y = ax + (a>0，b>0) 的单调区间的分界点：±a/b。
求分界点方法：令 ax = 0，即可得到 x = ±a/b。
特殊的，当 a>0 时，y = x + 的单调区间的分界点为 ±a。
4.对勾函数应用时主要是利用其单调性求其最值，解题时要先找出对应的单调区间，然后求解。
5.利用对勾函数求最值，常常用到如下的重要不等式：若 a>0，b>0，则 x>0 时，ax + b ≥ 2ab。
当且仅当 ax = b，x = a/b 时取等号。
例1：已知 f(x) = x + (x>0)，求 f(x) 在下列区间的最小值：(1) [1,2]。
(2) [3,4]。
(3) [-3,-1]。
变式训练：已知函数 f(x) = x^2 - 2x - 1，求其值域。
例2：求函数 f(x) = (x+2)/((1+x^2)(x^2+5)) 的最小值，并求此时 x 的值。
变式训练：求函数 f(x) = (x-1)/(x-1) 的值域。
强化训练：1.下列函数中最小值是 4 的是 ()。
A。
y = x^4 + x^2B。
y = x^4 + xC。
y = x^4 - xD。
y = x^2 + 42.函数 y = x/(x^2+1)。
x∈(1,3] 的值域为 ()。
对勾函数_中学教育-中考
对勾函数f(x)=ax+的图象与性质对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。
它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。
(一) 对勾函数的图像对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+（接下来写作f(x)=ax+b/x）。
当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x是正比例函数f(x)=ax与反比例函数f(x)= b/x“叠加”而成的函数。
这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。
当a，b同号时，f(x)=ax+b/x的图象是由直线y＝ax与双曲线y= b/x构成，形状酷似双勾。
故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。
如下图所示：a>0 b>0 a<0 b<0对勾函数的图像（ab同号）当a，b异号时，f(x)=ax+b/x的图象发生了质的变化。
但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。
（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。
）对勾函数的图像（ab异号）一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。
接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。
之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。
(二)对勾函数的顶点对勾函数性质的研究离不开均值不等式。
利用均值不等式可以得到：当x>0时，。
当x<0时，。
即对勾函数的定点坐标：(三)对勾函数的定义域、值域由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。
(四)对勾函数的单调性(五)对勾函数的渐进线由图像我们不难得到：(六)对勾函数的奇偶性对勾函数在定义域内是奇函数，X。
2022届高考数学一轮复习讲义微专题5：对勾函数的性质与图像的综合应用
【学生版】微专题：对勾函数的性质与图像的综合应用1、对勾函数的性质与图像对勾函数是一种类似于反比例函数的一般双曲函数，又被称为“双勾函数”、“勾函数”、“对号函数”、“双飞燕函数”；所谓的对勾函数，是形如：()bf x ax x=+（0ab >）的函数； 对勾函数()b f x ax x =+，当0,0a b ≠≠时， 对勾函数()bf x ax x =+是正比例函数()f x ax=与反比例函数()bf x x=“叠加”而成的函数；（1）当,a b 同号时， 对勾函数()bf x ax x=+的图像形状酷似双勾；故称“对勾函数”；如下图所示：（2）当,a b 异号时， 对勾函数()bf x ax x=+的图像形状发生了变化，如下图所示：2、对勾函数的综合应用例1、已知函数ky x x=+有如下性质：如果常数0k >，那么该函数在(上是减函数，在)+∞上是增函数．（1）用定义法证明：函数(0)ky x k x=+>在(上是减函数； （2）若函数()24123,21x x f x x --=+()2g x x a=--，若对任意[]10,1x ∈，总存在[]20,1x ∈，使得()()12g x f x <成立，求实数a 的取值范围。
【提示】；【答案】（； 【解析】； 【说明】；例2、已知勾函数2(0)a y x a x=+>在(,)a -∞-和(,)a +∞内均为增函数，在(,0)a -和(0,)a 内均为减函数。
若勾函数()(0)tf x x t x=+>在整数集合Z 内为增函数，则实数t 的取值范围为___________。
【答案】； 【解析】； 【说明】； 例3、因函数t y x x =+(t >0)的图象形状象对勾，我们称形如“ty x x =+(t >0)”的函数为“对勾函数”该函数具有性质：在(0上是减函数，在+∞)上是增函数； （1）已知()[]425,1,321f x x x x =+-∈-，利用上述性质，求函数()fx 的单调区间和值域；（2）对于（1）中的函数()f x 和函数()24g x x mx =-+，若对任意1x ∈[1，3]，总存在2x ∈[1，3]，使得()()21g x f x <成立，求实数m 的取值范围； 【提示】； 【答案】； 【解析】；【说明】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d =∈（1）若对于任意的[]1,x a b ∈，对于任意的[]2,x c d ∈，总有()()12f xg x <成立，故()()2max min f x g x <； （2）若对于任意的[]1,x a b ∈，存在[]2,x c d ∈，有()()12f xg x <成立，故()()2maxmax f x g x <；（3）若存在[]1,x a b ∈，存在[]2,x c d ∈，有()()12f xg x <成立，故()()2min min f x g x <；（4）若对于任意的[]1,x a b ∈，存在[]2,x c d ∈，有()()12f xg x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集 ．例4、已知函数21()ax f x x+=；（1）在0a >时求()f x 的单调区间(不必写过程);（2）若1223310,0,0,0,1,2,3)i a x x x x x x x i >+>+>+>>=， 求证：()()()123f x f x f x ++>【练习】1、函数224log ([2,4])log y x x x=+∈的最大值为______2、求函数2sin (,)sin y x x k k Z xπ=+≠∈的单调区间，并求当(0,)x π∈时函数的最小值；3、方程240x ax -+=在区间[0,1]内有解求a 的取值范围；4、若对于51x -，不等式260x ax a ++->恒成立，求实数a 的取值范围；5、已知函数22([1,))x x ay x x++=∈+∞ （1）求12a =时，求()f x 的最小值； （2）若对任意，[1,],()0x f x ∈+∞>恒成立，求a 范围；【教师版】微专题：对勾函数的性质与图像的综合应用1、对勾函数的性质与图像对勾函数是一种类似于反比例函数的一般双曲函数，又被称为“双勾函数”、“勾函数”、“对号函数”、“双飞燕函数”；所谓的对勾函数，是形如：()bf x ax x=+（0ab >）的函数； 对勾函数()b f x ax x =+，当0,0a b ≠≠时， 对勾函数()bf x ax x =+是正比例函数()f x ax=与反比例函数()bf x x=“叠加”而成的函数；（1）当,a b 同号时， 对勾函数()bf x ax x=+的图像形状酷似双勾；故称“对勾函数”；如下图所示：（2）当,a b 异号时， 对勾函数()bf x ax x=+的图像形状发生了变化，如下图所示：2、对勾函数的综合应用例1、已知函数ky x x=+有如下性质：如果常数0k >，那么该函数在(上是减函数，在)+∞上是增函数．（1）用定义法证明：函数(0)ky x k x=+>在(上是减函数；（2）若函数()24123,21x x f x x --=+()2g x x a=--，若对任意[]10,1x ∈，总存在[]20,1x ∈，使得()()12g x f x <成立，求实数a 的取值范围。
2022届高考数学一轮复习讲义微专题1：对勾函数的性质与图像(学生版+教师版)
【学生版】微专题：对勾函数的性质与图像1、对勾函数的定义与表示对勾函数是一种类似于反比例函数的一般双曲函数，又被称为“双勾函数”、“勾函数”、“对号函数”、“双飞燕函数”；所谓的对勾函数，是形如：()bf x ax x=+（0ab >）的函数；当0,0a b ≠≠时，对勾函数()bf x ax x=+是正比例函数()f x ax =与反比例函数()bf x x=，通过“函数的和的运算”合成的函数； （1）当,a b 同号时, 对勾函数()bf x ax x=+的图像，形状酷似双勾；故称“对勾函数”，如下图所示：（2）当,a b 异号时，对勾函数()bf x ax x=+的图像，形状发生了变化；如下图所示：2、对勾函数的性质研究以一般式：(0)by ax x x=+≠(a 、0b >)为例； （1）定义域： （2）值 域： （3）奇偶性： （4）单调性： （5）渐近线：【拓展】对于对勾函数()bf x ax x=+（0ab >）的单调性判断与证明； ① 当0,0a b >>时， 说明：；② 当0,0a b <<时 说明：；③当0,0a b ><时 ④当0,0a b <>时 3、对勾函数的图像特征对勾函数()b f x ax x =+，当0,0a b ≠≠时, 对勾函数()bf x ax x=+是正比例函数()f x ax =与反比例函数()bf x x=“叠加”而成的函数. 【拓展】对勾函数顶点与最值相关对勾函数()(0,0)bf x ax a b x=+>>， 对勾函数()(0,0)bf x ax a b x=+<<， 4、对勾函数的初步应用 1、若函数()4f x x x=+，则下列结论正确的是（ ） A ．函数()f x 的最小值为4B ．函数()f x 在(0,2)上严格单调递减，在(2,)+∞上严格单调递增C ．函数()f x 的最大值为4D ．函数()f x 在(0,2)上严格单调递增，在(2,)+∞上严格单调递减 【提示】； 【答案】； 【解析】； 【说明】；2、已知函数()bf x ax x=+，其中a 、b 为常数，且()15f =，()24f =；（1）求a 、b 的值；（2）利用单调性的定义证明函数()f x 在区间()0,2上是减函数；（3）求函数()f x 在区间[]1,3上的最大值和最小值； 【提示】； 【答案】； 【解析】【说明】利用定义证明函数单调性的方法：（1）取值：设1x 、2x 是所给区间上的任意两个值，且12x x <；（2）作差变形：即作差()()12f x f x -，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形；（3）定号：确定差()()12f x f x -的符号； （4）下结论：判断，根据定义得出结论；即取值→作差→变形→定号→下结论；体验教材研究函数单调性的方法与证明； 综上，理解对勾函数的构成，及单调性，单调区间，形成结论；注意利用定义法加以证明。
对勾函数全面解析
对勾函数f(x)=ax+的图象与性质对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。
它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。
(一) 对勾函数的图像对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+（接下来写作f(x)=ax+b/x）。
当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x是正比例函数f(x)=ax与反比例函数f(x)= b/x“叠加”而成的函数。
这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。
当a，b同号时，f(x)=ax+b/x的图象是由直线y＝ax与双曲线y= b/x构成，形状酷似双勾。
故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。
如下图所示：a>0 b>0 a<0 b<0对勾函数的图像（ab同号）当a，b异号时，f(x)=ax+b/x的图象发生了质的变化。
但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。
（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。
）对勾函数的图像（ab异号）一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。
接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。
之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。
(二)对勾函数的顶点对勾函数性质的研究离不开均值不等式。
利用均值不等式可以得到：当x>0时，。
当x<0时，。
即对勾函数的定点坐标：(三)对勾函数的定义域、值域由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。
(四)对勾函数的单调性(五)对勾函数的渐进线由图像我们不难得到：(六)对勾函数的奇偶性对勾函数在定义域内是奇函数，X。
对勾函数绝对经典
对勾函数f(x)=ax+的图象与性质繁华分享对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。
它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。
(一) 对勾函数的图像对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+（接下来写作f(x)=ax+b/x）。
当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x是正比例函数f(x)=ax与反比例函数f(x)= b/x“叠加”而成的函数。
这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。
当a，b同号时，f(x)=ax+b/x的图象是由直线y＝ax与双曲线y= b/x构成，形状酷似双勾。
故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。
如下图所示：a>0 b>0 a<0 b<0对勾函数的图像（ab同号）当a，b异号时，f(x)=ax+b/x的图象发生了质的变化。
但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。
（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。
）对勾函数的图像（ab异号）一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。
接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。
之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。
(二) 对勾函数的顶点对勾函数性质的研究离不开均值不等式。
利用均值不等式可以得到：当x>0时，。
当x<0时，。
即对勾函数的定点坐标：(三) 对勾函数的定义域、值域由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。
(四) 对勾函数的单调性(五) 对勾函数的渐进线由图像我们不难得到：(六) 对勾函数的奇偶性对勾函数在定义域内是奇函数，利用对号函数以上性质，在解某些数学题时很简便，下面举例说明：1、求函数324222++++=x x x x y 的最小值。
yXOy=ax解：令322++=x x t ，则22)1(2≥++=x ttt t t y 112+=+= 根据对号函数tt y 1+=在（1，+∞）上是增函数及t 的取值范围，当2=t 时y 有最小值223。
对勾函数讲解与例题解析
对勾函数对勾函数:数学中一种常见而又特殊的函数。
如图一、对勾函数f(x)=ax+ 的图象与性质对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。
它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它与了解它。
(一) 对勾函数的图像对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+（接下来写作f(x)=ax+b/x ）。
当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x 是正比例函数f(x)=ax 与反比例函数f(x)= b/x “叠加”而成的函数。
这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。
当a ，b 同号时，f(x)=ax+b/x 的图象是由直线y ＝ax 与双曲线y= b/x 构成，形状酷似双勾。
故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。
如下图所示：当a ，b 异号时，f(x)=ax+b/x 的图象发生了质的变化。
但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。
（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。
）一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点与渐进线的位置有所改变罢了。
接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。
之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。
a>0 b>0对勾函数的图像（ab(二) 对勾函数的顶点对勾函数性质的研究离不开均值不等式。
利用均值不等式可以得到： 当x>0时，。
当x<0时，。
即对勾函数的定点坐标：(三) 对勾函数的定义域、值域由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。
(四) 对勾函数的单调性 (五) 对勾函数的渐进线由图像我们不难得到：(六) 对勾函数的奇偶性 ：对勾函数在定义域内是奇函数，二、均值不等式(基本不等式）对勾函数性质的研究离不开均值不等式。
说到均值不等式，其实也是根据二次函数得来的。
我们都知道，（a-b)^2≥0，展开就是a^2-2ab+b^2≥0，有a^2+b^2≥2ab，两边同时加上2ab ，整理得到（a+b)^2≥4ab，同时开根号，就得到了均值定理的公式：a+b≥2sqrt(ab）。
对勾函数(图像及概念)
对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数。
所谓的对勾函数，是形如f(x)=ax+b/x 的函数，是一种教材上没有但考试老喜欢考的函数，所以更加要注意和学习。
一般的函数图像形似两个中心对称的对勾，故名。
当x>0时，f(x)=ax+b/x 有最小值（这里为了研究方便，规定a>0，b>0），也就是当x=ab的时候。
同时它是奇函数，就可以推导出x<0时的性质。
令k=ab ，那么，增区间：{x|x≤-k}∪{x|x≥k}；减区间：{x|-k≤x<0}∪{x|0<x≤k}。
由单调区间可见，它的变化趋势是：在y 轴左边，增减，在y 轴右边，减增，是两个勾。
对勾函数性质的研究离不开均值不等式。
说到均值不等式，其实也是根据二次函数得来的。
我们都知道，(a-b)2≥0，展开就是a2-2ab+b2≥0，有a2+b2≥2ab ，两边同时加上2ab ，整理得到(a+b)2≥4ab ，同时开根号，就得到了平均值定理的公式：a+b≥2ab 。
现在把ax+b/x 套用这个公式，得到ax+b/x≥2x ab ＝2ab ，这里有个规定：当且仅当ax=b/x 时取到最小值，解出x=ab ，对应的f(x)=2ab 。
我们再来看看均值不等式，它也可以写成这样：(a+b)/2≥ab ，前式大家都知道，是求平均数的公式。
那么后面的式子呢？也是平均数的公式，但不同的是，前面的称为算术平均数，而后面的则称为几何平均数，总结一下就是算术平均数绝对不会小于几何平均数。
这些知识点也是非常重要的。
其实用导数也可以研究对勾函数的性质。
不过首先要会负指数幂的换算，这也很简单，但要熟练掌握。
举几个例子：x 1=x-1，4/x2=4x-2。
明白了吧，x 为分母的时候可以转化成负指数幂。
那么就有f(x)=ax+xb =ax+bx-1，求导方法一样，求的的导函数为a+(-b)x-2，令f'(x)=0，计算得到b=ax2，结果仍然是x=a b ，如果需要的话算出f(x)就行了。
对勾函数题目
对勾函数题目
摘要：
1.对勾函数的定义和性质
2.对勾函数的图像和应用
3.对勾函数的解题技巧和方法
正文：
对勾函数题目是一种常见的数学题目，主要涉及到对勾函数的定义、性质、图像、应用以及解题技巧和方法。
对勾函数的定义和性质是对勾函数题目的基础。
对勾函数，也称反比例函数，是指函数值和自变量呈反比例关系的函数。
它的一般形式是y=k/x，其中k 为常数。
对勾函数的性质包括：当x 增大时，y 值减小；当x 减小时，y 值增大；当x=0 时，函数无定义；函数图像关于原点对称等。
对勾函数的图像和应用是对勾函数题目的重点。
对勾函数的图像是一条平滑的曲线，它分为两个部分：第一象限和第三象限。
在第一象限，函数值和自变量都是正数；在第三象限，函数值和自变量都是负数。
对勾函数在实际生活中的应用非常广泛，例如在物理学、经济学、生物学等领域都有应用。
对勾函数的解题技巧和方法是对勾函数题目的难点。
解题时，需要熟练掌握对勾函数的性质和图像，并能够灵活运用。
常见的解题方法包括：画图法、代数法、几何法等。
综上所述，对勾函数题目主要考察对对勾函数的定义、性质、图像、应用以及解题技巧和方法的理解和应用。
对勾函数绝对经典
对勾函数绝对经典
对勾函数是一种常见而特殊的函数。
虽然在高中教材上不出现，但是考试经常涉及，因此需要了解它。
一、对勾函数的图像
对勾函数形如f(x)=ax+b/x，是一种类似于反比例函数的一般函数。
当a≠0，b≠0时，它是正比例函数f(x)=ax与反比例函数f(x)=b/x的“叠加”而成。
当a，b同号时，对勾函数的图像由直线y=ax和双曲线y=b/x构成，形状酷似双勾，因此称为“对勾函数”、“勾勾函数”或“海鸥函数”。
当a，b异号时，图像会发生质的变化，但仍可以看作是两个函数的“叠加”。
二、对勾函数的顶点
对勾函数的顶点坐标可以通过均值不等式求得，当x>0时，顶点坐标为(-b/a,a)，当x<0时，顶点坐标为(b/a,-a)。
三、对勾函数的定义域、值域
由顶点坐标可以确定对勾函数的定义域和值域。
当a>0，b>0时，定义域为(-∞,-b/a)∪(0,∞)，值域为(-∞,0)∪(b/a,∞)。
四、对勾函数的单调性
对勾函数在定义域内是单调递减的。
五、对勾函数的渐进线
对勾函数的渐进线为y=ax，即当x趋近于无穷大时，函数值趋近于y=ax。
六、对勾函数的奇偶性
对勾函数在定义域内是奇函数。
对勾函数的性质在解数学题时非常有用。
例如，可以通过求顶点坐标来求函数的最小值。
又如，可以利用单调性来确定函数的单调区间。
对勾函数的性质(经典实用)
对勾函数的性质(经典实用)一、定义与表达式对勾函数，也称为双曲正弦函数，其表达式为：$ f(x) =\frac{x}{\sqrt{1+x^2}} $。
这个函数的名称来源于其图像形状类似于一个对勾，即勾号“√”。
二、性质分析1. 奇偶性：对勾函数是一个奇函数，即满足 $ f(x) = f(x) $。
这意味着函数图像关于原点对称。
2. 单调性：对勾函数在定义域内（$ x \in \mathbb{R} $）是单调递增的。
当 $ x $ 增大时，$ f(x) $ 也随之增大。
3. 极限性质：当 $ x $ 趋向于正无穷大或负无穷大时，$ f(x) $ 分别趋向于 1 和 1。
这可以通过计算极限 $ \lim_{x \to \infty} f(x) $ 和 $ \lim_{x \to \infty} f(x) $ 得到。
4. 导数与凹凸性：对勾函数的一阶导数为 $ f'(x) =\frac{1}{(1+x^2)^{3/2}} $。
由于导数始终大于 0，函数在整个定义域内是凹的。
这意味着函数图像在任意点处的切线都在函数图像的下方。
5. 积分性质：对勾函数的积分形式为 $ \int f(x) dx = \ln|x+\sqrt{1+x^2}| + C $，其中 $ C $ 为积分常数。
这个积分形式在对勾函数的应用中非常有用，例如在解决某些物理问题时。
6. 应用领域：对勾函数在多个领域都有应用，如物理学、工程学、统计学等。
例如，在物理学中，对勾函数可以用来描述某些非线性系统的行为；在工程学中，它可以用来解决某些优化问题；在统计学中，它可以用来构建概率密度函数。
三、结论对勾函数作为一个经典的数学工具，其性质独特且应用广泛。
理解并掌握对勾函数的性质，有助于我们在解决实际问题中更加得心应手。
对勾函数的性质(经典实用)一、定义与表达式对勾函数，也称为双曲正弦函数，其表达式为：$ f(x) =\frac{x}{\sqrt{1+x^2}} $。
对勾函数讲解与例题解析
对勾函数讲解与例题解析对勾函数对勾函数:数学中⼀种常见⽽⼜特殊的函数。
如图⼀、对勾函数f(x)=ax+ 的图象与性质对勾函数是数学中⼀种常见⽽⼜特殊的函数。
它在⾼中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。
(⼀) 对勾函数的图像对勾函数是⼀种类似于反⽐例函数的⼀般函数，形如f(x)=ax+（接下来写作f(x)=ax+b/x ）。
当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x 是正⽐例函数f(x)=ax 与反⽐例函数f(x)= b/x “叠加”⽽成的函数。
这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，⾮常重要。
当a ，b 同号时，f(x)=ax+b/x 的图象是由直线y ＝ax 与双曲线y= b/x 构成，形状酷似双勾。
故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。
如下图所⽰：当a ，b 异号时，f(x)=ax+b/x 的图象发⽣了质的变化。
但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”⽽成。
（请⾃⼰在图上完成：他是如何叠加⽽成的。
）⼀般地，我们认为对勾函数是反⽐例函数的⼀个延伸，即对勾函数也是双曲线的⼀种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。
a>0 b>0 a<0 b<0 对勾函数的图像（ab 同号）对勾函数的图像（ab 异号）接下来，为了研究⽅便，我们规定a>0，b>0。
之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。
(⼆) 对勾函数的顶点对勾函数性质的研究离不开均值不等式。
利⽤均值不等式可以得到：当x>0时，。
当x<0时，。
即对勾函数的定点坐标：(三) 对勾函数的定义域、值域由（⼆）得到了对勾函数的顶点坐标，从⽽我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。
(四) 对勾函数的单调性(五) 对勾函数的渐进线由图像我们不难得到： (六)对勾函数的奇偶性：对勾函数在定义域内是奇函数，⼆、均值不等式(基本不等式）对勾函数性质的研究离不开均值不等式。
对勾函数知识点
对勾函数知识点对勾函数是数学中的一种特殊函数，也被称为单位阶跃函数或者阶跃函数。
它在实数轴上以0为起点，以1为终点，形状类似于一个对勾的形状，因此得名对勾函数。
对勾函数的定义如下：对于实数x，对勾函数的值y为：当x小于0时，y等于0；当x等于0时，y等于1；当x大于0时，y等于1。
对勾函数可以用符号表示为：y = u(x)其中u(x)表示对勾函数，x是实数，y是对勾函数的值。
对勾函数在数学和工程中有着广泛的应用。
首先，对勾函数在信号与系统中起着重要的作用。
在控制系统中，对勾函数常用来表示系统的输入和输出之间的关系。
在电路分析中，对勾函数可以用来表示开关电路的状态，例如开关闭合时电路有电流通过，开关断开时电路中没有电流通过。
对勾函数在微积分中也有重要的应用。
对勾函数是一个分段函数，在不同的区间内具有不同的性质。
通过对勾函数的求导和积分，可以得到其他一些常用的函数。
对勾函数的导数是冲激函数，而对勾函数的积分则是斜坡函数。
在数学分析和函数逼近中，对勾函数也常被用作函数的近似表示。
对于一个复杂的函数，可以用对勾函数的线性组合来逼近它的形状，从而简化计算和分析过程。
对勾函数还可以用来描述一些实际问题。
例如，在经济学中，对勾函数可以用来表示市场需求函数或者供给函数。
在生物学中，对勾函数可以用来表示生物体对刺激的响应程度。
总结起来，对勾函数是一种特殊的函数，具有明确的定义和特点。
它在信号与系统、微积分、函数逼近以及其他一些领域中都有广泛的应用。
通过对勾函数的研究和应用，可以更好地理解和解决实际问题，推动数学和工程的发展。
应用题专题训练函数（对勾函数）
应用题专题训练函数（对勾函数）应用题综合复习----对勾函数1、甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成；可变部分与速度v(千米/时)的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元。
①把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数，并指出函数的定义域；②为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？2、某森林出现火灾，火势正以每分钟2m100的速度顺风蔓延，消防站接到警报立即派消防队员前去，在火灾发生后五分钟到达救火现场，已知消防队员在现场平均每人每分钟灭火2m50，所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用为每人每分钟125元，另附加每次救火所耗损的车辆、器械和装备等费用平均每人100元，而烧毁一平方米森林损失费为60元．（1）设派x名消防队员前去救火，用t分钟将火扑灭，试建立t 与x的函数关系式；（2）问应该派多少消防队员前去救火，才能使总损失最少？123、某学校要建造一个面积为10000平方米的运动场。
如图，运动场是由一个矩形ABCD 和分别以AD 、BC 为直径的两个半圆组成。
跑道是一条宽8米的塑胶跑道，运动场除跑道外，其他地方均铺设草皮。
已知塑胶跑道每平方米造价为150元，草皮每平方米造价为30元(1) 设半圆的半径OA=r (米),试建立塑胶跑道面积S 与r 的函数关系S(r )(2) 由于条件限制[]30,40r ∈,问当r 取何值时,运动场造价最低?（精确到元）4、已知某种稀有矿石的价值y （单位：元）与其重量ω（单位：克）的平方成正比，且3克该种矿石的价值为54000元。
⑴写出y （单位：元）关于ω（单位：克）的函数关系式；⑵若把一块该种矿石切割成重量比为1:3的两块矿石，求价值损失的百分率；⑶把一块该种矿石切割成两块矿石时，切割的重量比为多少时，价值损失的百分率最大。
（注：价值损失的百分率100%-=?原有价值现有价值原有价值；在切割过程中的重量损耗忽略不计）5、国家加大水利工程建设，某地区要修建一条灌溉水渠，其横断面为等腰梯形（如图），底角A为060，考虑到坚固性及用料原因，要求其横断面的面积为63平方米，记水渠深为x米，用料部分的周长（即渠底BC及两腰长的和）为y米，⑴．求y关于x的函数关系式，并指出其定义域；⑵．当水渠的腰长x为多少米时，水泥用料最省（即断面的用料部分的周长最小）？求此时用料周长的值⑶.如果水渠的深限制在3,3范围内时，横断面用料部分周长的最小值是多少米？6、因客流量临时增大, 某鞋店拟用一个高为50㎝（即EF=50㎝）的平面镜自制一个竖直摆放的简易鞋镜. 根据经验,一般顾客AB的眼睛B到地面的距离(cm) x在区间[140,180]内. 设支架FG高为(090)h h<<㎝, 100AG=㎝, 顾客可视的镜像范围为CD(如图所示), 记CD的长度为y （y GD GC=-）.(1) 当40h=㎝时, 试求y关于x的函数关系式和y的最大值；(2) 当顾客的鞋A在镜中的像1A满足不等关系1GC GA GD<≤（不计鞋长）时, 称顾客可在镜中看到自己的鞋. 若使一般顾客都能在镜中看到自己的鞋, 试求h的取值范围.第6题ABC DEFG A1·347、某城市坐落在一个三角形海域的顶点O 处（如图），一条海岸线AO 在城市O 的正东方向，另一条海岸线OB 在城市O 北偏东)3 1(tan =θθ方向，位于城市O 北偏东3(cos )25παα-=方向15km 的P 处有一个美丽的小岛. 旅游公司拟开发如下一条旅游观光线路：从城市O 出发沿海岸线OA 到达C 处，再从海面直线航行，途经小岛P 到达海岸线OB 的D 处，然后返回城市O. 为了节省开发成本，要求这条旅游观光线路所围成的三角形区域面积最小，问C 处应选址何处？并求这个三角形区域的最小面积.8、某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，现准备在该厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行防辐射处理，建房防辐射材料的选用与宿舍到工厂距离有关．若建造宿舍的所有费用p （万元）和宿舍与工厂的距离()x km 的关系为：(08)35kp x x =≤≤+，若距离为1km 时，测算宿舍建造费用为100万元．为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条道路，已知购置修路设备需5万元，铺设路面每公里成本为6万元，设()f x 为建造宿舍与修路费用之和．（I ）求()f x 的表达式；（II ）宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用()f x 最小，并求最小值．APB D北（第7题图）59、在某次水下考古活动中,需要潜水员潜入水深为30米的水底进行作业.其用氧量包含3个方面:①下潜时,平均速度为v (米/单位时间),单位时间内用氧量为2cv (c 为正常数);②在水底作业需5个单位时间,每个单位时间用氧量为;③返回水面时,平均速度为2v(米/单位时间), 单位时间用氧量为.记该潜水员在此次考古活动中,总用氧量为y . (1)将y 表示为v 的函数;(2)设0<="" p="" ≤5,试确定下潜速度v="">10、某化工企业2007年底投入100万元，购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．（Ⅰ）求该企业使用该设备x 年的年平均污水处理费用y （万元）；（Ⅱ）问为使该企业的年平均污水处理费用最低，该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备？11、某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元．为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x (x∈*N)名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为310500xa-万元(a＞0)，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高%．（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？（2）在（1）的条件下，若调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a的取值范围是多少？12、为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：()()01035C x xx=≤≤+，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设()f x为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．（Ⅰ）求k的值及()f x的表达式；6（Ⅱ）隔热层修建多厚对，总费用()f x达到最小，并求最小值．13、围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为x(单位：元)。
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基本不等式与对勾函数
一、 对勾函数b y ax x
=+)0,0(>>b a 的图像与性质 性质：
1. 定义域：),0()0,(+∞⋃-∞
2. 值域：),2()2,(+∞⋃--∞ab ab
3. 奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状，且函数图像关于原点呈中心对称，即0)()(=-+x f x f
4. 图像在一、三象限
当0x >时，由基本不等式知b
y ax x
=+≥ab 2（当且仅当b x a
=等号），
即)(x f 在x=a
b
时，取最小值ab 2 由奇函数性质知： 当x<0时，)(x f 在x=a
b
-
时，取最大值ab 2- 5. 单调性：增区间为（
∞+,a b ），（a
b -∞-,） 减区间是（0，a
b ），（a b
-,0）
一、 对勾函数的变形形式
类型一：函数b
y ax x
=+)0,0(<<b a 的图像与性质 此函数与对勾函数x
b x a y )
()(-+-=关于原点对称，故函数图像为
性质：
类型二：斜勾函数b y ax x
=+)0(<ab
①
0,0<>b a 作图
如下
性质：
②0,0><b a 作图如下：
类型三：函数)0()(2>++=
ac x
c
bx ax x f 此类函数可变形为b x c
ax x f ++=)(，则)(x f 可由对勾函数x
c ax y +=上下平移得到
例1作函数x
x x x f 1)(2++=的草图
解：11
)(1)(2++=⇒++=
x
x x f x x x x f 作图如下：。