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对勾函数详细分析

对勾函数详细分析对勾函数，又称为Heaviside函数或者单位阶跃函数，是一种常见的数学函数。

它在控制系统、信号处理和电路分析等领域具有广泛的应用。

在数学上，对勾函数可以通过以下方式定义：H(x)=0,x<0H(x)=1/2,x=0H(x)=1,x>0其中，H(x)表示对勾函数，x为自变量。

从定义可以看出，对勾函数在x小于0时取0，在x等于0时取1/2，在x大于0时取1对勾函数在数学上的精确定义可以依赖于Laplace变换或者Fourier 变换等数学工具，用于解决微积分和微分方程等问题。

在实际应用中，对勾函数通常以数学形式存在，用于描述信号的开关行为。

在控制系统中，对勾函数可以表示系统的阶跃响应。

阶跃响应是指当输入信号为一个单位阶跃函数时，系统所产生的响应。

对勾函数可以帮助分析系统的稳定性、零极点和频率响应等性质。

在信号处理中，对勾函数可以用于描述数字信号的采样和量化过程。

当对一个连续信号进行采样时，可以将采样函数表示为对勾函数。

对勾函数在离散时间中具有单位阶跃响应的特性，可以用于分析信号的频谱和滤波等问题。

在电路分析中，对勾函数可以用于描述开关电路的动态响应。

开关电路通常包含开关元件和电容、电感等被控元件。

对勾函数可以帮助确定电路的稳态和暂态响应，并且可以用于分析电路中的信号传输、噪声和功耗等问题。

此外，对勾函数在概率论和统计学中也有应用。

例如，对勾函数可以用于计算累积分布函数（CDF）和概率密度函数（PDF）。

对勾函数可以将离散随机变量转化为连续随机变量，以进行概率计算和数值模拟等工作。

对勾函数具有一些重要的性质。

首先，它是一个连续函数，但不是光滑函数。

它在x=0处的导数不存在，即导数不连续。

其次，对勾函数是一个奇函数，即H(-x)=1-H(x)。

此外，对勾函数是一个分布函数，满足概率的基本性质，即0≤H(x)≤1总结起来，对勾函数是一个常用的数学函数，具有广泛的应用。

它可以表示系统的阶跃响应，在信号处理和电路分析等领域发挥重要作用。

对勾函数详细分析

对勾函数详细分析对勾函数是一种经典的激活函数，在人工神经网络中被广泛使用。

它的主要特点是非线性，能够接受任意实数作为输入，输出范围在0和1之间。

在本文中，我们会详细分析对勾函数的定义、数学性质、应用以及优缺点。

对勾函数的定义为 f(x) = 1 / (1 + exp(-x))，其中 exp(x) 表示自然指数函数。

这个函数的图像是在x轴上下限分别为负无穷大和正无穷大，y轴上下限分别为0和1的S形曲线。

当 x 趋近正无穷大时，f(x) 趋近于1；当 x 趋近负无穷大时，f(x) 趋近于0。

对勾函数的主要数学性质如下：1.非线性：对勾函数是一种非线性函数，这是它被广泛使用的主要原因之一、它可以通过增加网络的复杂度来学习复杂的非线性模式。

2.可微性：对勾函数是连续可导的函数，这使得它可以与其他函数进行组合，形成复杂的神经网络结构。

对勾函数的导数f'(x)可以通过对f(x)进行求导得到，其表达式为f'(x)=f(x)(1-f(x))。

3.单调性：对勾函数是单调递增的，这意味着当输入值增加时，输出值也会增加。

这种单调性有助于网络的学习过程。

对勾函数在人工神经网络中的应用非常广泛，包括但不限于以下几个方面：1.模式识别：对勾函数可以用于二分类问题的模式识别。

例如，在人脸识别中，可以使用对勾函数作为分类器来判断输入图像是人脸还是非人脸。

2.概率估计：对勾函数可以将实数映射到概率值的范围（0到1之间）。

这在机器学习中经常用于估计事件发生的概率。

3.深度学习：对勾函数是目前最流行的神经网络模型，深度神经网络中的常用激活函数。

它可以通过复杂的网络结构来学习高级的非线性模式。

虽然对勾函数有许多优点，但它也有一些缺点。

1.饱和性：当输入值较大或较小时，对勾函数的导数值会趋近于0，导致梯度消失的问题。

这会导致网络训练过程中的梯度更新过小，使得学习过程变得缓慢。

2.输出范围限制：对勾函数的输出范围为0和1之间，这意味着对勾函数不能表示负数的情况。

对勾函数的图象及性质

对勾函数一、定义对勾函数是由两个幂函数相加得到的，对勾函数是一种类似于反比例函数的一般双曲函数，其标准形式为f(x)=ax+（其中ab>0）。

由于函数图像形似两个中心对称的对勾，因此得名“对勾函数”，又被称为“双勾函数”、“勾函数”、“对号函数”、“双飞燕函数”等。

在许多情况下，为了简化分析，常取a=b=1，即函数形式为f(x)=x+。

研究初等函数的一般路径，背景—概念—图象—性质—应用二、图象及性质图像特征：1、对勾函数的图像是分别以y 轴和直线y=ax 为渐近线的两支曲线。

2、图像上任意一点到两条渐近线的距离之积恰为渐近线夹角（0-180°）的正弦值与|b|的乘积。

3、函数图像整体呈两个“对勾”的形状，且关于原点呈中心对称。

定义域：，即除了x=0外，所有实数都是其定义域内的元素。

值域：。

单调性：函数在(−∞,−1)∪(1,+∞)上单调递增，在(1,0)∪(0,1)上单调递减。

奇偶性：对勾函数是奇函数，即满足f(−x)=−f(x)。

x 122严禁复制三、题型1、基础计算题给定对勾函数表达式，求函数在特定点的值或特定区间的最值。

2.、图像结合题根据对勾函数的图像，判断函数在哪些区间内满足特定条件（如大于某值、小于某值）。

利用图像分析函数与直线、其他曲线的交点情况。

3.、综合应用题求最值问题：利用对勾函数的性质，可以快速求解形如ax+（ab>0）的函数的最值问题。

不等式证明：在不等式证明中，对勾函数的性质也常被用来进行放缩或构造反例。

实际问题建模：在某些经济学问题中，如成本分析、收益最大化等，也可能涉及到对勾函数的应用。

4、参数变化分析：探讨参数a 和b 变化时，对勾函数图像和性质的变化规律。

5、复杂函数组合将对勾函数与其他函数（如二次函数、指数函数等）组合，分析新函数的性质和应用。

四、解题步骤1、对勾函数求最值问题的解题步骤（1）理解函数形式确认函数f(x)=ax+的形式，注意a 和b 都是正数且不相等。

对勾函数

对勾函数图象性质对勾函数:数学中一种常见而又特殊的函数。

如图一、对勾函数f(x)=ax+的图象与性质对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。

它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。

(一) 对勾函数的图像对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+（接下来写作f(x)=ax+b/x ）。

当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x 是正比例函数f(x)=ax 与反比例函数f(x)= b/x “叠加”而成的函数。

这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。

当a ，b 同号时，f(x)=ax+b/x 的图象是由直线y ＝ax 与双曲线y= b/x 构成，形状酷似双勾。

故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。

如下图所示：当a ，b 异号时，f(x)=ax+b/x 的图象发生了质的变化。

但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。

（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。

）一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。

接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。

之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。

a>0 b>0 a<0 b<0 对勾函数的图像（ab 同号）对勾函数的图像（ab 异号）(二) 对勾函数的顶点对勾函数性质的研究离不开均值不等式。

利用均值不等式可以得到：当x>0时，。

当x<0时，。

即对勾函数的定点坐标：(三) 对勾函数的定义域、值域由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。

(四) 对勾函数的单调性(五) 对勾函数的渐进线由图像我们不难得到：(六) 对勾函数的奇偶性：对勾函数在定义域内是奇函数，二、类耐克函数性质探讨函数xbax y +=，在时或00==b a 为简单的单调函数，不予讨论。

对勾函数讲解与例题解析

对勾函数对勾函数:数学中一种常见而又特殊的函数。

如图一、对勾函数f(x)=ax+错误！未找到引用源。

的图象与性质对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。

它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。

(一) 对勾函数的图像对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+错误！未找到引用源。

（接下来写作f(x)=ax+b/x ）。

当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x 是正比例函数f(x)=ax 与反比例函数f(x)= b/x “叠加”而成的函数。

这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。

当a ，b 同号时，f(x)=ax+b/x 的图象是由直线y ＝ax 与双曲线y= b/x 构成，形状酷似双勾。

故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。

如下图所示：当a ，b 异号时，f(x)=ax+b/x 的图象发生了质的变化。

但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。

（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。

）一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。

a>0 b>0 a<0 b<0 对勾函数的图像（ab 同号）对勾函数的图像（ab 异号）接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。

之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。

(二) 对勾函数的顶点对勾函数性质的研究离不开均值不等式。

利用均值不等式可以得到：当x>0时，错误！未找到引用源。

当x<0时，错误！未找到引用源。

即对勾函数的定点坐标：(三) 对勾函数的定义域、值域由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。

(四) 对勾函数的单调性(五) 对勾函数的渐进线由图像我们不难得到： (六)对勾函数的奇偶性：对勾函数在定义域内是奇函数，二、均值不等式(基本不等式）对勾函数性质的研究离不开均值不等式。

对勾函数专题讲解

对勾函数专题讲解专题：对勾函数及其应用1.对勾函数定义对勾函数是指形如 y = ax + (a>0.b>0) 的一类函数，因其图像形态极像对勾，因此被称为“对勾函数”。

2.对勾函数 y = ax + (a>0，b>0) 的性质1) 定义域：(-∞。

0) ∪ (0.+∞)。

2) 值域：(-∞。

-2ab] ∪ [2ab。

+∞)。

3) 奇偶性：在定义域内为奇函数。

4) 单调性：(-∞。

-a/b)，(a/b。

+∞) 上是增函数；(-a/b。

0)，(0.a/b) 上是减函数。

3.对勾函数 y = ax + (a>0，b>0) 的单调区间的分界点：±a/b。

求分界点方法：令 ax = 0，即可得到 x = ±a/b。

特殊的，当 a>0 时，y = x + 的单调区间的分界点为 ±a。

4.对勾函数应用时主要是利用其单调性求其最值，解题时要先找出对应的单调区间，然后求解。

5.利用对勾函数求最值，常常用到如下的重要不等式：若 a>0，b>0，则 x>0 时，ax + b ≥ 2ab。

当且仅当 ax = b，x = a/b 时取等号。

例1：已知 f(x) = x + (x>0)，求 f(x) 在下列区间的最小值：(1) [1,2]。

(2) [3,4]。

(3) [-3,-1]。

变式训练：已知函数 f(x) = x^2 - 2x - 1，求其值域。

例2：求函数 f(x) = (x+2)/((1+x^2)(x^2+5)) 的最小值，并求此时 x 的值。

变式训练：求函数 f(x) = (x-1)/(x-1) 的值域。

强化训练：1.下列函数中最小值是 4 的是 ()。

A。

y = x^4 + x^2B。

y = x^4 + xC。

y = x^4 - xD。

y = x^2 + 42.函数 y = x/(x^2+1)。

x∈(1,3] 的值域为 ()。

对勾函数讲解与例题解析

对勾函数对勾函数:数学中一种常见而又特殊的函数。

如图一、对勾函数f(x)=ax+ 的图象与性质对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。

它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。

(一) 对勾函数的图像对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+（接下来写作f(x)=ax+b/x ）。

当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x 是正比例函数f(x)=ax 与反比例函数f(x)= b/x “叠加”而成的函数。

这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。

当a ，b 同号时，f(x)=ax+b/x 的图象是由直线y ＝ax 与双曲线y= b/x 构成，形状酷似双勾。

故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。

如下图所示：当a ，b 异号时，f(x)=ax+b/x 的图象发生了质的变化。

但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。

（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。

）一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。

a>0 b>0 a<0 b<0 对勾函数的图像（ab 同号）对勾函数的图像（ab 异号）接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。

之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。

(二) 对勾函数的顶点对勾函数性质的研究离不开均值不等式。

利用均值不等式可以得到：当x>0时，。

当x<0时，。

即对勾函数的定点坐标：(三) 对勾函数的定义域、值域由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。

对勾函数讲解与例题解析

对勾函数对勾函数:数学中一种常见而又特殊的函数。

如图一、对勾函数f(x)=ax+错误！未找到引用源。

的图象与性质对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。

它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。

(一) 对勾函数的图像对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+错误！未找到引用源。

（接下来写作f(x)=ax+b/x ）。

当a ≠0，b ≠0时，f(x)=ax+b/x 是正比例函数f(x)=ax 与反比例函数f(x)= b/x “叠加”而成的函数。

这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。

当a ，b 同号时，f(x)=ax+b/x 的图象是由直线y ＝ax 与双曲线y= b/x 构成，形状酷似双勾。

故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。

如下图所示：当a ，b 异号时，f(x)=ax+b/x 的图象发生了质的变化。

但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。

（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。

）一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。

a>0 b>0 a<0 b<0 对勾函数的图像（ab 同号）对勾函数的图像（ab 异号）接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。

之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。

(二) 对勾函数的顶点对勾函数性质的研究离不开均值不等式。

利用均值不等式可以得到：当x>0时，错误！未找到引用源。

当x<0时，错误！未找到引用源。

即对勾函数的定点坐标：(三) 对勾函数的定义域、值域由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。

(四) 对勾函数的单调性(五) 对勾函数的渐进线由图像我们不难得到： (六) 对勾函数的奇偶性：对勾函数在定义域内是奇函数，二、均值不等式(基本不等式）对勾函数性质的研究离不开均值不等式。

对勾函数详细分析教学指导

对勾函数的性质及应用一.对勾函数的图像与性质：1.定义域：（-∞，0）∪（0，+∞）2.值域：(-∞,-√ab]U[√ab,+∞)3.奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状，且函数图像关于原点呈中心对称，即4.图像在一、三象限, 当时，2√ab（当且仅当取等号），即在x=时，取最小值由奇函数性质知：当x<0时，在x=时，取最大值5.单调性：增区间为（），（）,减区间是（0，），（,0）1、对勾函数的变形形式类型一：函数的图像与性质1.定义域：2.值域：(-∞,-√ab]U[√ab,+∞)3.奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状.4.图像在二、四象限, 当x<0时，在x=时，取最小值；当时，在x=时，取最大值5.单调性：增区间为（0，），（,0）减区间是（），（）,类型二：斜勾函数①作图如下1.定义域：2.值域：R3.奇偶性：奇函数4.图像在二、四象限，无最大值也无最小值.5.单调性：增区间为（-，0），（0，+）.②作图如下：1.定义域：2.值域：R3.奇偶性：奇函数4.图像在二、四象限，无最大值也无最小值.5.单调性：减区间为（-，0），（0，+）.类型三：函数。

此类函数可变形为，可由对勾函数上下平移得到练习1.函数的对称中心为类型四：函数此类函数可变形为，则可由对勾函数左右平移，上下平移得到练习 1.作函数与的草图2.求函数在上的最低点坐标3. 求函数的单调区间及对称中心类型五：函数。

此类函数定义域为，且可变形为a.若，图像如下：1．定义域： 2. 值域：3. 奇偶性：奇函数.4. 图像在一、三象限.当时，在时，取最大值，当x<0时，在x=时，取最小值5. 单调性：减区间为（），（）；增区间是练习1.函数的在区间上的值域为b. 若，作出函数图像：1．定义域： 2. 值域：3. 奇偶性：奇函数.4. 图像在一、三象限.当时，在时，取最小值，当x<0时，在x=时，取最大值5. 单调性：增区间为（），（）；减区间是练习1.如，则的取值范围是类型六：函数.可变形为，则可由对勾函数左右平移，上下平移得到练习1.函数由对勾函数向（填“左”、“右”）平移单位，向（填“上”、“下”）平移单位.2.已知，求函数的最小值；3.已知，求函数的最大值类型七：函数练习1.求函数在区间上的最大值；若区间改为则的最大值为2.求函数在区间上的最大值类型八：函数.此类函数可变形为标准形式：练习1.求函数的最小值；2．求函数的值域；3.求函数的值域类型九：函数。

(完整版)对勾函数详细分析

对勾函数的性质及应用、对勾函数 y ax b (a 0,b 0) 的图像与性 x质：1. 定义域： ( ,0) (0, )2. 值域： ( , 2 ab] [2 ab, )原点呈中心对称，即 f(x) f( x) 0即 f (x) 在 x= b时，取最小值 2 ab a、对勾函数的变形形式2. 值域： ( , 2 ab] [2 ab, )3.奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个对勾”的形状，且函数图像关于4.图像在一、三象限 , 当 x 0 时， y axb2 ab (当且仅当 x b取等号)，由奇函数性质知：当x <0 时， f (x) 在 x= b时，取最大值 2 ab a 5.单调性：增区间为(,b) ,a, 减区间是( 0 ，类型一：函数 y ax b (a 0,b x 质1. 定义域： ( ,0) (0, )0)的图像与性3. 奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状4. 图像在二、四象限, 当x<0时，f （x）在x= b时，取最小值 2ab；当x 0时，af（x）在x= b时，取最大值 2 aba5. 单调性：增区间为（0，b），（b,0 ）减区间是（b, a a a,b a)类型二：斜勾函数y ax b（ab 0）x① a 0,b 0 作图如下1. 定义域：（ ,0）（0, ）2. 值域：R3. 奇偶性：奇函数4. 图像在二、四象限，无最大值也无最小值.5. 单调性：增区间为（- ，0），（0，+ ）② a 0,b 0 作图如下：1. 定义域：( ,0) (0, )2. 值域：R3. 奇偶性：奇函数4. 图像在二、四象限，无最大值也无最小值5. 单调性：减区间为（- ，0），（0，+ ）2此类函数可变形为 f(x) ax cb ，可由对勾函数 y axc 上下平移得到 x x2练习 1.函数 f(x) x x 1 的对称中心为x类型四：函数 f (x) x a (a 0,k 0)xk此类函数可变形为 f (x) (x k a ) k ，则 f ( x)可由对勾函数 y x a 左右平移， x k x 上下平移得到练习 1. 作函数 f(x) x 1 与 f(x) x 3 x 的草图x 2 x 22. 求函数 f (x) x 1 在 (2, )上的最低点坐标2x 4 3. 求函数 f(x) x x 的单调区间及对称中心x1a. 若 a 0 ，图像如下：1．定义域：( , ) 2. 值域：[ a 2 b ,a 2 b ]3. 奇偶性：奇函数 .4. 图像在一、三象限 . 当 x 0时， f (x) 在x b 时，取最大值 a ，当 x<0 时， f(x)在 x= b 时，取最小值 a2 b 2 b5. 单调性：减区间为( b, )，( , b )；增区间是 [ b, b]类型三函数 f(x)ax 2 bx c(ac 0)x类型五：函数 af(x) 2 xbx( )axf (x)2xa b xxb (a 0,b 0) 。

数学对勾函数(详细分析“函数”共8张)

第3页，共8页。
性质一
➢ 函数y=ax+b/x的性质 ➢ Ⅰ当a、b均大于零时，性质： ➢ ⑴定义域：x≠0 ➢ ⑵值域：〔-∞，-2 根号ab〕∪〔2根号ab ，
+∞〕 ⑶奇偶性：奇函数 ➢ ⑷单调性：当x﹥0时，当0﹤x﹤根号b/a 时，
y为减函数当x﹥根号b/a 时，y为增函数当x﹤0时，当- 根号b/a﹤x﹤0时，y 为减函数当x﹤根号b/a- 时，y为增函数
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图像三
第8页，共8页。
数学对勾函数
第1页，共8页。
简介对Biblioteka 函数：图像，性质，单调性对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数，见图示。对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，
又被称为“双勾函数〞、"勾函数"等。也被形象称为“耐克函数〞
所谓的对勾函数〔双曲线函数〕，是形如 f(x)=ax+b/x的函数。由图像得名。
当x>0时，f(x)=ax+b/x有最小值〔这里为了研究方便，规定a>0，b>0〕，也就是当x=sqrt(b/a)的时候〔sqrt表示求二次方根〕
第6页，共8页。
图象二
Ⅰ当a、b均大于零时，性质：当a、b>0时，图像分布在第一、三象限两条渐近线的锐角之间局部，由于其对称性，只讨论第一象限中的情形。 ⑷单调性：当x﹥0时，当0﹤x﹤根号b/a 时，y为减函数当x﹥根号b/a 时，y为增函数当x﹤0时，当- 根号b/a﹤x﹤0时，y为减函数当 x﹤根号b/a- 时，y为增函数对号函数是双曲线旋转得到的，所以也有渐近线、焦点、顶点等等对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数，见图示。 ⑷单调性：当x﹥0时，当0﹤x﹤根号b/a 时，y为减函数当x﹥根号b/a 时，y为增函数当x﹤0时，当- 根号b/a﹤x﹤0时，y为减函数当 x﹤根号b/a- 时，y为增函数 Ⅰ当a、b均大于零时，性质： ⑷单调性：当x﹥0时，当0﹤x﹤根号b/a 时，y为减函数当x﹥根号b/a 时，y为增函数当x﹤0时，当- 根号b/a﹤x﹤0时，y为减函数当 x﹤根号b/a- 时，y为增函数当a、b>0时，图像分布在第一、三象限两条渐近线的锐角之间局部，由于其对称性，只讨论第一象限中的情形。 ⑷单调性：当x﹥0时，当0﹤x﹤根号b/a 时，y为减函数当x﹥根号b/a 时，y为增函数当x﹤0时，当- 根号b/a﹤x﹤0时，y为减函数当 x﹤根号b/a- 时，y为增函数对号函数永远是奇函数，关于原点呈中心对称 ⑵值域：〔-∞，-2 根号ab〕∪〔2根号ab ，+∞〕 ⑶奇偶性：奇函数当x>0时，f(x)=ax+b/x有最小值〔这里为了研究方便，规定a>0，b>0〕，也就是当x=sqrt(b/a)的时候〔sqrt表示求二次方根〕 ⑹对称性：图像关于原点对称利用平均值不等式〔a>0，b>0且ab的值为定值时，a+b≥2√ab〕可知最小值是2倍根号ab，在x=根号下b/a的时候取得，所以在〔0，负根号下b/a〕上单调递减，在〔根号下b/a，正无穷〕上单调递增

对勾函数(目前最全面的版本了吧)

对勾函数f(x)=ax+的图象与性质繁华分享对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。

它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。

(一) 对勾函数的图像对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+（接下来写作f(x)=ax+b/x）。

当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x是正比例函数f(x)=ax与反比例函数f(x)= b/x“叠加”而成的函数。

这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。

当a，b同号时，f(x)=ax+b/x的图象是由直线y＝ax与双曲线y= b/x构成，形状酷似双勾。

故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。

如下图所示：a>0 b>0 a<0 b<0对勾函数的图像（ab同号）当a，b异号时，f(x)=ax+b/x的图象发生了质的变化。

但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。

（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。

）对勾函数的图像（ab异号）一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。

接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。

之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。

(二)对勾函数的顶点对勾函数性质的研究离不开均值不等式。

利用均值不等式可以得到：当x>0时，。

当x<0时，。

即对勾函数的定点坐标：(三)对勾函数的定义域、值域由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。

(四)对勾函数的单调性(五)对勾函数的渐进线由图像我们不难得到：(六)对勾函数的奇偶性对勾函数在定义域内是奇函数，yXOy=ax。

对勾函数讲解与例题解析

对勾函数对勾函数:数学中一种常见而又特殊的函数。

如图一、对勾函数f(x)=ax+ 的图象与性质对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。

它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。

(一) 对勾函数的图像对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+（接下来写作f(x)=ax+b/x ）。

当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x 是正比例函数f(x)=ax 与反比例函数f(x)= b/x “叠加”而成的函数。

这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。

当a ，b 同号时，f(x)=ax+b/x 的图象是由直线y ＝ax 与双曲线y= b/x 构成，形状酷似双勾。

故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。

如下图所示：当a ，b 异号时，f(x)=ax+b/x 的图象发生了质的变化。

但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。

（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。

）一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和a>0 b>0 a<0 b<0 对勾函数的图像（ab 同号）对勾函数的图像（ab 异号）渐进线的位置有所改变罢了。

接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。

之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。

(二) 对勾函数的顶点对勾函数性质的研究离不开均值不等式。

利用均值不等式可以得到：当x>0时，。

当x<0时，。

即对勾函数的定点坐标：(三) 对勾函数的定义域、值域由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。

对勾函数

对勾函数图象性质对勾函数:数学中一种常见而又特殊的函数。

如图一、对勾函数f(x)=ax+ 的图象与性质对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。

它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。

(一) 对勾函数的图像对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+（接下来写作f(x)=ax+b/x ）。

当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x 是正比例函数f(x)=ax 与反比例函数f(x)= b/x “叠加”而成的函数。

这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。

当a ，b 同号时，f(x)=ax+b/x 的图象是由直线y ＝ax 与双曲线y= b/x 构成，形状酷似双勾。

故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。

如下图所示：当a ，b 异号时，f(x)=ax+b/x 的图象发生了质的变化。

但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。

（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。

）一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。

接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。

之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。

(二) 对勾函数的顶点对勾函数性质的研究离不开均值不等式。

利用均值不等式可以得到：当x>0时，。

当x<0时，。

即对勾函数的定点坐标：(三) 对勾函数的定义域、值域由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。

(四)对勾函数的单调性(五)对勾函数的渐进线由图像我们不难得到：a>0 b>0 a<0 b<0对勾函数的图像（ab 同号）对勾函数的图像（ab 异号） yXOy=ax(六) 对勾函数的奇偶性：对勾函数在定义域内是奇函数，二、类耐克函数性质探讨函数xbax y +=，在时或00==b a 为简单的单调函数，不予讨论。

对钩函数详解性质图像对比并举例说明I3

函数y=ax+bcx的系数符号对性质图像影响对比分析主要内容：本文通过对比分析，解析函数y=ax+bcx 当a ，b ，c 的系数符号不同时，并举例以四个函数y ₁=122x+149152x ,y ₂=122x-149152x ,y ₃=-122x+149152x ,y 4=-122x-149152x ,说明系数符号变化与函数性质的关系，简要画出函数在同一个坐标系下的图像。

☆.函数的定义域分析根据y ₁=122x+149152x ,y ₂=122x-149152x ,y ₃=-122x+149152x,y4=-122x-149152x 函数特征，可知均含有分式，故要求分母不为0，所以4个函数的定义域相同，定义域均为：(-∞,0)∪(0,+∞)。

☆.函数的单调性分析由于4个函数均是由一个正比例函数和一个反比例函数的和差函数，可以根据两个函数的单调性综合分析和差函数的单调性。

1.对于函数y ₂=122x-149152x ,是由正比例增函数和反比例减函数的差，所以相当于两个增函数的和，故函数y 2整体为增函数。

2.对于函数y ₃=-122x+149152x ，是由正比例减函数和反比例减函数的和，所以相当于两个减函数的和，故函数y 3整体为减函数。

3.对于函数y ₁=122x+149152x ，y 4=-122x-149152x 前后两个函数的单调性不一致，不能简单通过上述方法解析，但可以使用导数来分析单调性。

☆.导数分析函数的单调性步骤1.函数y ₁=122x+149152x ,求函数的一阶导数，有：dy dx =122-149152x ²=122*152x ²-149 152x ²,令dy dx=0，即：122*152x ²-149=0,所以x=±14636172691≈±0.09,结合函数的定义域，并根据导数与函数单调性有：(1)当x ∈(-∞, -14636172691)∪(14636172691，+∞)时，dydx ＞0，函数为增函数；(2) 当x ∈[-14636172691,0)∪(0, 14636172691]时，dydx ＜0，函数为减函数。