最新对勾函数详细分析(修订版)
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对勾函数的性质及应用
一.对勾函数的图像与性质:
1.定义域:(-∞,0)∪(0,+∞)
2.值域:(-∞,-√ab]U[√ab,+∞)
3.奇偶性:奇函数,函数图像整体呈两个
“对勾”的形状,且函数图像关于原点呈中心
对称,即
4.图像在一、三象限, 当时,2√ab(当且仅当取等号),即在x=
时,取最小值
由奇函数性质知:当x<0时,在x=时,取最大值
5.单调性:增区间为(),(),减区间是(0,),(,0)
1、对勾函数的变形形式
类型一:函数的图像与性质
1.定义域:
2.值域:(-∞,-√ab]U[√ab,+∞)
3.奇偶性:奇函数,函数图像整体呈两个“对勾”的形状.
4.图像在二、四象限, 当x<0时,在x=时,取
最小值;当时,在x=时,取最大值
5.单调性:增区间为(0,),(,0)减区间是(),(),
类型二:斜勾函数
①作图如下
1.定义域:
2.值域:R
3.奇偶性:奇函数
4.图像在二、四象限,无最大值也无最小值.
5.单调性:增区间为(-,0),(0,+).
②作图如下:
1.定义域:
2.值域:R
3.奇偶性:奇函数
4.图像在二、四象限,无最大值也无最小值.
5.单调性:减区间为(-,0),(0,+).
类型三:函数。
此类函数可变形为,可由对勾函数上下平移得到
练习1.函数的对称中心为
类型四:函数
此类函数可变形为,则可由对勾函数左右平移,上下平移得到练习 1.作函数与的草图
2.求函数在上的最低点坐标
3. 求函数的单调区间及对称中心
类型五:函数。此类函数定义域为,且可变形为
a.若,图像如下:
1.定义域: 2. 值域:
3.奇偶性:奇函数.
4. 图像在一、三象限.当时,在时,取最大值,当x<0时,在x=时,取最小值
5. 单调性:减区间为(),();增区间是
练习1.函数的在区间上的值域为
b. 若,作出函数图像:
1.定义域: 2. 值域:
3.奇偶性:奇函数.
4. 图像在一、三象限.
当时,在时,取最小值,
当x<0时,在x=时,取最大值
5. 单调性:增区间为(),();减区间是
练习1.如,则的取值范围是
类型六:函数.可变形为,则可由对勾函数左右平移,上下平移得到
练习1.函数由对勾函数向(填“左”、“右”)平移单位,向(填“上”、“下”)平移单位.
2.已知,求函数的最小值;
3.已知,求函数的最大值
类型七:函数
练习1.求函数在区间上的最大值;若区间改为则的最大值为
2.求函数在区间上的最大值
类型八:函数.此类函数可变形为标准形式:
练习1.求函数的最小值;
2.求函数的值域;
3.求函数的值域
类型九:函数。此类函数可变形为标准形式:
练习 1.求函数的最小值;
2. 求函数的值域
三、关于求函数最小值的十种解法
1. 均值不等式
,,当且仅当,即的时候不等式取到“=”。当的时候,2. 法
若的最小值存在,则必需存在,即或(舍)
找到使时,存在相应的即可。通过观察当的时候,
3. 单调性定义
设
当对于任意的,只有时,,此时单调递增;
当对于任意的,只有时,,此时单调递减。
当取到最小值,
4. 复合函数的单调性
在单调递增,在单调递减;在单调递增
又原函数在上单调递减;在上单调递增
即当取到最小值,
5. 求一阶导
当时,,函数单调递减;当时,,函数单调递增。
当取到最小值,
6. 三角代换
令,,则
当,即时,,,显然此时
7. 向量
,
根据图象,为起点在原点,终点在图象上的一个向量,的几何意义为在上的投影,
显然当时,取得最小值。此时,,
8.图象相减
,即表示函数和两者之间的距离
求,即为求两曲线竖直距离的最小值
平移直线,显然当与相切时,两曲线竖直距离最小。
关于直线轴对称,若与在处有一交点,根据对称性,
在处也必有一个交点,即此时与相交。显然不是距离最小的情
况。
所以,切点一定为点。此时,,
9.平面几何
依据直角三角形射影定理,设,则
显然,为菱形的一条边,只用当,即为直线和之
间的距离时,取得最小值。即四边形为矩形。
此时,,即,
10. 对应法则
设
,,对应法则也相同
左边的最小值右边的最小值
(舍)或当,即时取到最小值,且
对勾函数练习:
1.若x>1.求的最小值. 11.若在上恒成立,则的取值范围是
2. 若x>1. 求的最小值12. 求函数的最值。
3. 若x>1. 求的最小值13.
4. 若x>0. 求的最小值14.
5.已知函数
(1)求
(2)若对任意x∈[1,+∞],f(x)>0恒成立,求a范围
6.: 方程sin2x-asinx+4=0在[ 0 ,]内有解,则a的取值范围是__________
7. 函数的最小值为____________;函数的最大值为_________。
8.函数的最大值为。
9、若,则的最值是。
10.函数的最小值是。