单一参数正弦交流电路分析共26页
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单一参数正弦交流电路分析
? 平均功率或有功功率 P=0
iut+-p
,
? 无功功率 QC
iQ
C
用无功功率 QC衡量电容元件与外界交换能量的规模，即
无功功率计算式
QC
?
?UI
?
?I 2 XC
?
?
U2 XC
无功功率单位 乏尔（Var）
交换能量过程分析 p ? ui ? ?U Isin2? t
i
u
ωt
i
i
u
u
i
i
u
u
p 放电 P > 0 放电
教学内容 电阻R、电感 L、电容 C元件的电压电流关系，相 量形式的基尔霍夫定律（ KVL、KCL）。
教学要求 1.掌握单一元件的电压电流关系。 2.熟练应用相量形式的 KVL、KCL进行电路分
析。 教学重点和难点
重点： 单一元件的电压电流关系和相量形式的 基尔霍夫定律应用。
难点： 电阻 R、电感 L、电容 C元件电压电流关 系的分析。
【讨论】 指出下列各式中哪些是对的，哪些是错的？
在电阻电路中： 在电感电路中：
在电容电路中：
I?U R
i? U R
i? u R
I? ? U? R
i? u XL
U ? jωL I
I? U ωL
U? I?
?
jX L
U? I?
?
XL u
?
L di dt
i? u ωL
U ? I ?ω C
u ? i ?X C
三、纯电容电路
1.电容元件
定义电容为 C ? q
u
根据电流 i ? dq dt
i ? C duc dt
单相正弦交流电路
u2 2U2 sin t 2
有效值相量： U1 = U1 ψ1
U2 2 U1
1
U2 = U2 ψ2
设： 幅度： U2 U1
相量图
相位哪一个超前？
相位： 2 1 哪一个滞后？
U2 超前于 U1
例 同频率正弦量相加—— 平行四边形法则
i1 I1m sin(t 1) i2 I2m sin(t 2 )
I解
I2
求：i1+i2=?
I1 = I1 ψ1 I2 = I2 ψ2
2 1
I1
I = I1 + I2
即： i Im sin(t )
问题的提出：但不旋精转确矢。量故可引以入运相用量平的行复四数边运形算法法则。求解，
相量 → 复数表示法 → 复数运算
u
Um
sin(t
)
相量为：
最大值相量：U
m
Um
例 已知 u 220 2 sin(t 235)V , i 10 2 sin(t 45) A
求u和i的初相及两者间的相位关系。
解 u 220 2 sin(t 235)V
220 2 sin(t 125)V
所以，电压u的初相位为-125°, 电流i的初相位为45°。
ui u i 125 45 170 0
直流情 况下容 抗为多 大？
XC与频率成反比；与电容量C成反比
直流下频率f =0，所以XC=∞。C相当于开路。
由于C上u、i 为微分（或积分）的 动态关系，所以C也 是动态元件。
2. 电容元件的功率
（1）瞬时功率 p
p<0
p为正弦波，频率为ui 的2 倍；在一个周期内，L吸 收的电能等于它释放的磁 场能。
《电工技术基础与仿真(Multisim 10)》项目4单相正弦交流电路分析
p
ui
Im
sin tU m
sin(t
2
)
U m I m cos t sin t
UI sin 2t
在电感元件的交流电路中，没有任何能量消耗，只 有电源与电感元件之间的能量交换，其能量交换的 规模用无功功率Q来衡量，它的大小等于瞬时功率 的幅值。
QL UI I 2 X L
4.2.3 纯电容电路
将开关K1闭合，K2和K3断开，分别按给定的频 率值调节信号源的频率，每次在信号发生器中设 置好频率后，打开仿真开关，双击万用表符号， 得到测量数据，
任务3 相量法分析正弦交流电路
4.3.1 RLC串联电路 1．RLC串联电路电压电流关系 (1)瞬时关系 由于电路是串联的，所以流过R、L、C三元
件的电流完全相同
1 Z1
1 Z2
（2）复阻抗并联的分流关系
I1
U Z1
I
Z Z1
I
Z2 Z1 Z2
U
I2
I Z1 Z1 Z2
I I1 I2 Z1 Z2
a）
I
U
Z
b)
4.3.3 功率因数的提高
1．提高功率因数的意义 功率因数愈大，所损耗的功率也就愈小，
输电效率也就愈高。 负载的功率因数 愈高，发电机可提供的有
1．电压与电流的关系 线性电容元件在图所示的关联方向的条件下
iC
C duc dt
i +
u
C
_
i C duc dt
C dUm sin t
dt
U mC cost
U
mC
s
in(t
2
)
据此，可得出电容元件电压与电流关系的结论：
3.3单一参数的正弦交流电路
Um Im sin2 ω t (2) 平均2功率 Ｐ
UI
sin 2 ω t
P 1
T
p dt
T0
1
T
UI sin (2ω t)dt 0
T0
C是非耗 能元件
瞬时功率 ：p i u UI sin2ωt
u,i i u
o
i
+
u
ii
u+
u
-i u
- -++
p
+ p <0 + p <0
i 5 2sin(314t 30)A的电流
求(1)感抗XL;(2)线圈两端的电压u; (3)有功功率和无功功率。
3.3.3 电容元件的交流电路
1.电流与电压的关系
基本关系式： i C du
设：u
dt
2 U sin ω t
i
+
u
C
_
则：i C du 2 UC ω cos ω t 电流与电压
时值表达式不变，电路中的电流的
有效值及无功功率又如何？
解：（1） XL L 3140.1 31.4()
QL UI 2207 1540(var)
I UL 220 7(A) X L 31.4
（2）
i C du dt
U jXC I
相量图
I U
U
I I
U
单一参数正弦交流电路的分析计算小结
电路 电路图 基本 参数 (参考方向) 关系
阻抗
电压、电流关系
功率
瞬时值
有效值 相量图 相量式 有功功率 无功功率
i
+
正弦交流电路的分析—单一元件电路分析
I U
u、 i 同相 U IR
UI
0
纯电阻交流电路
✓ 思考
在电阻R=100Ω的电路中，加上 u=311sin(314t+300)V的电压，求 该电路中电流值及电流的解析式，并 画出电压和电流的相量图。
01
正弦交流电的三要素
02
正弦交流电的表示
03 单一参数正弦交流电路的分析
04
简单正弦交流电路的分析
3
解： 电流i(瞬时值)：
i 10 2 sin (200t+ 2 ) A
3
功率：P=UI=11010=1100W
纯电阻交流电路
✓ 小结
电路图 基本 (正方向) 关系
复数 阻抗
电压、电流关系
功率
瞬时值 有效值 相量图 相量式 有功功率 无功功率
R
i u
u iR
R
u 2U sint
U IR
i 2I sin t
01
正弦交流电的三要素
02
正弦交流电的表示
03 单一参数正弦交流电路的分析
04
简单正弦交流电路的分析
01
纯电阻交流电路
✓ 电压与电流关系
✓ 电阻元件的功率
纯电阻交流电路
✓ 电压与电流关系
交流电路中如果只有线性电阻，这种电路叫做纯电阻电路。
根据 欧姆定律：u=iR
i
设 u 2 U sin t
i
设
U
L
u
u L di jX L i 2I sint U IX L
dt jL u
X L L
I U IjX L
0
2IL sin(t 90)
u领先 i 90°
单相正弦交流电路—单一参数元件的电路
幅角:
i 90o
二、 C元件电路的功率
1. 瞬时功率 p
i
u
i
u
C
2 I sin t
2U sin( t 90 )
p i u U I sin 2 t
在关联参考方向下，功率有时大于零，有时小于零，电容元件在电路中的作
用是怎样的呢？
p i u iU I sin2ut
o
U I R
三、 R元件电路的功率
1. 瞬时功率 p：瞬时电压与瞬时电流的乘积
i
u
i I m sin ( t )
u U m sin ( t )
R
U m Im
p u i U m I m sin t
(1 cos 2t )
2
UI (1 cos 2t ) UI UI sin(2t 900 )
U IL
3. 有效值
电压、电流波
形图
u
i
90
定义：
t
X L L 2 fL
则：
U I XL
感抗（Ω）
关于感抗的讨论
感抗（ XL ωL 2πfL）是频率的函数，频率越高,感抗越大,频率越低,感抗越
小。电感有通低频，阻高频的特性。
UL I X L
R
+
_
f=0时
e
L
0.45 / 60o ( A)
R
484
i 0.45 2 sin(314t 60o )( A)
P UI 220 0.45 100(W )
在关联参考方向下，功率有时大于零，有时小于零，电感元件在电路中的作
用是怎样的呢？
单相正弦交流电路
若φ>0，说明在变化过程中i1总是比i2超前，也就是说i1超前i2；
同相
若φ<0，说明i1总是比i2落后，i1滞后于i2；
若φ=0，说明i1与i2同相； 若φ=±π，说明i1与i2反相。
反相
单相正弦交流电路
1.1 正弦交流电路
1.1.2 正弦交流电的表示法
1.解析式表示法 用正弦函数式表示随时间变化的关系的表示方法称为解析式表示法。正弦 交流电的电流、电压和电动势的解析式分别为
已知一个正弦交流电路中的电压的有效值为220 V， 工作在50 Hz的频率下，初相位为50°，试写出正弦 交流电压的表达式。
单相正弦交流电路
1.1 正弦交流电路
1.1.2 正弦交流电的表示法
2.波形表示法 正弦交流电可以用与解析式相对应的波形表示，横坐标表示时间或者电角度， 纵坐标表示交流电的瞬时值，从波形图中可以直观地反映出正弦交流电的最大值、 周期和初相。下图所示为正弦交流电的波形表示法表示的图形。
单相正弦交流电路
1.1
正弦交流电路
返回
1.2
单一参数正弦交流电路
1.3
RL、RC和RLC串联电路
1.4 谐振电路
1.5
电能的测量与节能
单相正弦交流电路
1.1 正弦交流电路
返回
1.1.1 正弦交流电的基本概念
大小、方向都随时间周期变化的电动势、电压和电流总称为交流电。
因为交流电的各量在电路中的方向是不断反复变化的，所以常在电路中标 注它们的参考方向。
单相正弦交流电路
1.1 正弦交流电路
1.1.1 正弦交流电的基本概念
两个同频率的正弦量的相位差等于它们的初相之差，与时间无关。如 下图所示，两个同频率的正弦电流i1、i2的初相分别为φ1、φ2。它们的相位 差用φ表示。
电工技术实例教程-4.2 单一参数正弦交流电路的测试和分析
实训流程：
（a）
（b）
图4.26 电感元件交流特性的测试（一）
（1）按图4.26（a）所示画好仿真电路。其中示波器A通道用于观察测试 电感L1两端的电压，而电感L1上的电流则通过电流探针XCP1转变为电压， 由示波器B通道展示出
4.2.2 电感元件的正弦交流电路的测试和分析
实训4-4：电感元件交流特性的测试
瞬时功率的第一部分就是平均功率，它与直流电路中计算电 阻元件的功率完全一样，单位也是瓦特（W）。
通常说用电器（如灯泡）额定电压220V，额定功率40W，就是 指该用电器接有效值220V电压时，它消耗的平均功率是40W。
4.2.1 电阻元件的正弦交流电路的测试和分析
【例4-5】一只额定电压为220V，功率为100W的电烙铁，误 接在380V的交流电源上，问此时它消耗的功率是多少？是 否安全？
②在交流电路中，电阻元件两端的电压与流过的电流的 （瞬时值/有效值/最大值）满足欧姆定律。
③在交流电路中，电阻元件两端的电压与流过的电流在相位关系上电压 的相位 （超前/滞后/相同）电流的相位。
4.2.1 电阻元件的正弦交流电路的测试和分析
1. 电阻元件上电压与电流的关系
从实训4-3中，可以看到：在电阻R上加一个正弦电压时， 电阻上会有同频率的正弦电流流过，电压和电流的瞬时值、 有效值和最大值均满足欧姆定律，并且在关联参考方向情况 下电压与电流同相。现理论分析如下。
来。探针输出电压到电流的比率设置为1m V/mA，即通道B图形上的电压 1 m V代表电流1mA。为了只显示交流分量，示波器触发耦合方式采用AC （交流耦合）。
（2）通过示波器面板仿真观察并测量电感L1两端的电压和流过电感L1的 电流，参考图如图4.26（b）所示。根据观察和测量的结果回答下列问题：
（a）
（b）
图4.26 电感元件交流特性的测试（一）
（1）按图4.26（a）所示画好仿真电路。其中示波器A通道用于观察测试 电感L1两端的电压，而电感L1上的电流则通过电流探针XCP1转变为电压， 由示波器B通道展示出
4.2.2 电感元件的正弦交流电路的测试和分析
实训4-4：电感元件交流特性的测试
瞬时功率的第一部分就是平均功率，它与直流电路中计算电 阻元件的功率完全一样，单位也是瓦特（W）。
通常说用电器（如灯泡）额定电压220V，额定功率40W，就是 指该用电器接有效值220V电压时，它消耗的平均功率是40W。
4.2.1 电阻元件的正弦交流电路的测试和分析
【例4-5】一只额定电压为220V，功率为100W的电烙铁，误 接在380V的交流电源上，问此时它消耗的功率是多少？是 否安全？
②在交流电路中，电阻元件两端的电压与流过的电流的 （瞬时值/有效值/最大值）满足欧姆定律。
③在交流电路中，电阻元件两端的电压与流过的电流在相位关系上电压 的相位 （超前/滞后/相同）电流的相位。
4.2.1 电阻元件的正弦交流电路的测试和分析
1. 电阻元件上电压与电流的关系
从实训4-3中，可以看到：在电阻R上加一个正弦电压时， 电阻上会有同频率的正弦电流流过，电压和电流的瞬时值、 有效值和最大值均满足欧姆定律，并且在关联参考方向情况 下电压与电流同相。现理论分析如下。
来。探针输出电压到电流的比率设置为1m V/mA，即通道B图形上的电压 1 m V代表电流1mA。为了只显示交流分量，示波器触发耦合方式采用AC （交流耦合）。
（2）通过示波器面板仿真观察并测量电感L1两端的电压和流过电感L1的 电流，参考图如图4.26（b）所示。根据观察和测量的结果回答下列问题：
正弦交流电路_RLC串联电路
第二章 正弦交流电路
2.2 单一参数的正弦交流电路
参数
iR
a
b
i I m sin t
+u−
瞬时值关系 u R i
大小关系
U=IR
相位关系 相量关系 有功功率
电压与电流同相 U R I
P UI U 2 I2R R
无功功率
0
iL L
a
b
+u−
u L diL dt
U X LI ωLI
电压超前电流90° U jX L I
U&
Z eq Z1 Z 2
第二章 正弦交流电路
2.阻抗并联 I&
+ U& −
I&1 I&2 Z1 Z2
I&1
Z2 Z1 Z2
I&
I&2
Z1 Z1 Z2
I&
2.3 正弦交流电路的分析
I&
+
U&
Zeq
−
Z eq
Z1Z2 Z1 Z2
第二章 正弦交流电路
2.3 正弦交流电路的分析
2.3.3 RLC串联电路的阻抗（复阻抗）
.
I jL
+ .
+
. UL
−
+.
U
R UR
−
−
(1) I U R jωL U
(2) I R2 (ωL)2
(3) u uR uL
第二章 正弦交流电路
(4)| Z| R2 (L)2
2.3 正弦交流电路的分析
.
I jL
+.
+
. UL
−
2.2 单一参数的正弦交流电路
参数
iR
a
b
i I m sin t
+u−
瞬时值关系 u R i
大小关系
U=IR
相位关系 相量关系 有功功率
电压与电流同相 U R I
P UI U 2 I2R R
无功功率
0
iL L
a
b
+u−
u L diL dt
U X LI ωLI
电压超前电流90° U jX L I
U&
Z eq Z1 Z 2
第二章 正弦交流电路
2.阻抗并联 I&
+ U& −
I&1 I&2 Z1 Z2
I&1
Z2 Z1 Z2
I&
I&2
Z1 Z1 Z2
I&
2.3 正弦交流电路的分析
I&
+
U&
Zeq
−
Z eq
Z1Z2 Z1 Z2
第二章 正弦交流电路
2.3 正弦交流电路的分析
2.3.3 RLC串联电路的阻抗（复阻抗）
.
I jL
+ .
+
. UL
−
+.
U
R UR
−
−
(1) I U R jωL U
(2) I R2 (ωL)2
(3) u uR uL
第二章 正弦交流电路
(4)| Z| R2 (L)2
2.3 正弦交流电路的分析
.
I jL
+.
+
. UL
−
正弦交流电路_单一参数的正弦交流电路
电压超前于电流90°
iL
+
uL
L
−
u 波 形 图0
i
U•
相
t
量 图
I• 0°
第二章 正弦交流电路
2.2 单一参数的正弦交流电路
（2）大小关系
uL L Im sin( t 90 ) U m sin( t 90 )
最大值： U m L I m 有效值： U ω L I
定义： X L L ——感抗
第二章 正弦交流电路
2.2 单一参数的正弦交流电路
（3）相量关系 I I 0 U U 9 0 X L I 90 0 X L 90 I 0 jX L I
U jX L I j L I
u
i
0
t
第二章 正弦交流电路
2.功率 （1）瞬时功率
p ui
U m I m s in t s in t 90
（能量的吞吐）。
0
t
p
第二章 正弦交流电路
2.2 单一参数的正弦交流电路
（3）无功功率 为了同电感的无功功率相
p u i UI sin 2t
比较，设电流 i I m s in t
u
i
为参考量，则： u U m sin( t 90 )
p uHale Waihona Puke U I sin 2 t0
t
储放 储放储放 能能 能能能能
p
0
t
u
i
第二章 正弦交流电路
2.2 单一参数的正弦交流电路
2. 功率
平均功率（有功功率） P 1 T pdt U I I 2 R U 2
T0
R
平均功率衡量电路 中所消耗的电能， 也称有功功率。
iL
+
uL
L
−
u 波 形 图0
i
U•
相
t
量 图
I• 0°
第二章 正弦交流电路
2.2 单一参数的正弦交流电路
（2）大小关系
uL L Im sin( t 90 ) U m sin( t 90 )
最大值： U m L I m 有效值： U ω L I
定义： X L L ——感抗
第二章 正弦交流电路
2.2 单一参数的正弦交流电路
（3）相量关系 I I 0 U U 9 0 X L I 90 0 X L 90 I 0 jX L I
U jX L I j L I
u
i
0
t
第二章 正弦交流电路
2.功率 （1）瞬时功率
p ui
U m I m s in t s in t 90
（能量的吞吐）。
0
t
p
第二章 正弦交流电路
2.2 单一参数的正弦交流电路
（3）无功功率 为了同电感的无功功率相
p u i UI sin 2t
比较，设电流 i I m s in t
u
i
为参考量，则： u U m sin( t 90 )
p uHale Waihona Puke U I sin 2 t0
t
储放 储放储放 能能 能能能能
p
0
t
u
i
第二章 正弦交流电路
2.2 单一参数的正弦交流电路
2. 功率
平均功率（有功功率） P 1 T pdt U I I 2 R U 2
T0
R
平均功率衡量电路 中所消耗的电能， 也称有功功率。
电路分析基础第3章 正弦交流电路
初相角的单位可以用弧度或度来表示，初相角ψ的大小 与计时起点的选择有关。另外，初相角通常在|ψ|≤π的主值
20 图3.2.4 不同初相时的正弦电流波形
21
在正弦交流电路的分析中，有时需要比较同频率的正弦 量之间的相位差。例如在一个电路中，某元件的端电压u和 流过的电流i
u=Umsin(ωt+ψu) i=Imsin(ωt+ψi) 它们的初相分别为ψu和ψi，则它们之间的相位差(用φ表 示)为 φ=(ωt+ψu)-(ωt+ψi)=ψu-ψi (3.2.7) 即两个同频率的正弦量之间的相位差就是其初相之差，相位 差φ
以复数运算为基础的，复数的表示如图3.3.1所示。
32 图3.3.1 复数的表示
33
一个复数A可以用下述几种形式来表示。
1.代数形式
A=a+jb
(3.3.1)
式中， j 1 2.三角形式
A=rcosψ+jrsinψ=r(cosψ+jsinψ)
(3.3.2)
式中，r a2b2, t gb,arctban
28
I B I Bm 7 .07 5 A 22
A
100
π
1 300
π 60 3
B
100
π
1 600
π 30 6
A
B
π 3
π 6
π 2
90
(2)
iA=14.1sin(314t+60°)A
iB=7.07sin(314t-30°)A
29 图3.2.6 例3.2.5的波形图
a
a
ψ称为A的辐角。
34
3.指数形式
根据欧拉公式
ejψ=cosψ+jsinψ
20 图3.2.4 不同初相时的正弦电流波形
21
在正弦交流电路的分析中，有时需要比较同频率的正弦 量之间的相位差。例如在一个电路中，某元件的端电压u和 流过的电流i
u=Umsin(ωt+ψu) i=Imsin(ωt+ψi) 它们的初相分别为ψu和ψi，则它们之间的相位差(用φ表 示)为 φ=(ωt+ψu)-(ωt+ψi)=ψu-ψi (3.2.7) 即两个同频率的正弦量之间的相位差就是其初相之差，相位 差φ
以复数运算为基础的，复数的表示如图3.3.1所示。
32 图3.3.1 复数的表示
33
一个复数A可以用下述几种形式来表示。
1.代数形式
A=a+jb
(3.3.1)
式中， j 1 2.三角形式
A=rcosψ+jrsinψ=r(cosψ+jsinψ)
(3.3.2)
式中，r a2b2, t gb,arctban
28
I B I Bm 7 .07 5 A 22
A
100
π
1 300
π 60 3
B
100
π
1 600
π 30 6
A
B
π 3
π 6
π 2
90
(2)
iA=14.1sin(314t+60°)A
iB=7.07sin(314t-30°)A
29 图3.2.6 例3.2.5的波形图
a
a
ψ称为A的辐角。
34
3.指数形式
根据欧拉公式
ejψ=cosψ+jsinψ
单一参数正弦交流电路
3.纯电容元件在交流电路中电压与电流之间的相位差是 多少？容抗与频率有何关系？判断表达式的正误。
（1 ）i U U u ； （2）I ； （3）i ； （4）I UC XC C C
20
http://
当电容器两端的电压发生变化时，电容 就进行充电(或放电)，从而形成了充( 或放)电电流。在关联参考方向下，电 容两端的电压与电流的关系为
du i C dt
du i0 当 u U (直流) 时, dt 0 所以,在直流电路中电容相当于断路.
航空报国 追求卓越 1. 电容元件上的电压、电流关系
航空报国 追求卓越
电容元件上电压、电流的有效值关系为：
IC=UC=U2πf C=U/XC
称为电容元件的电抗，简称容抗。 其中： XC= ω1 C
容抗反映了电容元件对正弦交流电流的阻碍作用； 容抗的单位与电阻相同，也是欧姆【Ω】。
容抗与哪些 因素有关？
XC与频率成反比；与电ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ量C成反比
直流下频率f =0，所以XC=∞。C相当于开路。
直流情 况下容 抗为多 大？
由于C上u、i 为微分（或积分）的 动态关系，所以C也 是动态元件。
航空报国 追求卓越
2. 电容元件的功率
（1）瞬时功率 p i O p
u U m sin t iC I Cm cos t
则
p iC u I Cm cos t U m sin t
i
L
u
解析式：
设 i I m sin t
相量表达式：
I I 0 U L j I L U L 90
d ( I m sint ) di L 则 uL L dt dt I mL cost U Lm sin( t 90)
单相正弦交流电路基本知识
u
则 p u iC Um sin t ICm cost
UIC sin 2t
结论：
电容元件和电感元
u i 同相,
ω t 件相同，只有能量 交换而不耗能，因
此也是储能元件。
电容充电; u i 反相, u i 同相, u i 反相, 建立电场; 送出能量; 电容充电; 送出能量;
3.2 单一参数的正弦交流电路
3.2.1 电阻元件
1、电阻元件上的电压、电流关系
i
=
u
R
i
电压、电流的瞬时值表达式为：
u
R
u 2 U sin t
i u R
2U R
sin t Im sin t
由两式可推出，电阻元件上电压、电流的相位上存在
同相关系；数量上符合欧姆定律，即：
I
=
U R
荷，贮存电能的二端元件，当它两个
+q
+
极板间电压为零时，电荷也为零。电 E -q 容元件的储能本领可用电容量C表示
US －
C q 或 q Cu
u
其中电荷量q的单位是库仑（C）；电压u的单位是伏特
（V）；电容量C的单位为法拉（F）。
单位换算：1F=106μF=1012pF，
2. 电容元件上的电压、电流关系
0
t
3.1.2 相位差
两个同频率正弦量之间相位的差值称为它们的相位差
例u U m sin(t u ), i I m sin(t i )
相位
初相
u、i 的相位差为： (t u ) (t i )
t u t i
u i
显然，相位差实际上等于两个同频率正弦量之间的 初相之差。
则 p u iC Um sin t ICm cost
UIC sin 2t
结论：
电容元件和电感元
u i 同相,
ω t 件相同，只有能量 交换而不耗能，因
此也是储能元件。
电容充电; u i 反相, u i 同相, u i 反相, 建立电场; 送出能量; 电容充电; 送出能量;
3.2 单一参数的正弦交流电路
3.2.1 电阻元件
1、电阻元件上的电压、电流关系
i
=
u
R
i
电压、电流的瞬时值表达式为：
u
R
u 2 U sin t
i u R
2U R
sin t Im sin t
由两式可推出，电阻元件上电压、电流的相位上存在
同相关系；数量上符合欧姆定律，即：
I
=
U R
荷，贮存电能的二端元件，当它两个
+q
+
极板间电压为零时，电荷也为零。电 E -q 容元件的储能本领可用电容量C表示
US －
C q 或 q Cu
u
其中电荷量q的单位是库仑（C）；电压u的单位是伏特
（V）；电容量C的单位为法拉（F）。
单位换算：1F=106μF=1012pF，
2. 电容元件上的电压、电流关系
0
t
3.1.2 相位差
两个同频率正弦量之间相位的差值称为它们的相位差
例u U m sin(t u ), i I m sin(t i )
相位
初相
u、i 的相位差为： (t u ) (t i )
t u t i
u i
显然，相位差实际上等于两个同频率正弦量之间的 初相之差。
单相正弦交流电路
* 有线通讯频率：300 - 5000 Hz * 无线通讯频率： 30 kHz - 3×104 MHz
3.初相位 i 2I sin t
（t ）：正弦波的相位角或相位 ： t = 0 时的相位，称为初相位或初相角。
i
t
说明： 给出了观察正弦波的起点或参考点，
常用于描述多个正弦波相互间的关系。
u 2 I L sin( t 90 ) i 2I sin t 2U sin( t 90 )
1. 频率相同
2. 相位相差 90° （u 领先 i 90 °）
U
u
IL
i
I I
t
90
3.电流、电压有效值(或幅值）的关系
u 2 I L sin( t 90 ) 2 U sin( t 90 )
I2 10 e j30 A
求： i1、i2
解： 2 f 2 1000 6280
rad s
i1 100 2 sin(6280t 60 ) A
i2 10 2 sin(6280t 30 ) A
小结：正弦波的四种表示法
波形图 瞬时值 相量图
i
Im
t
T
u Um sin t
U
I
复数式
3
I
100 / 6
/3
220
求： i 、u 的相量
解：
I 141 .4 30 100 30 86.6 j50 2
U
A
U 311 .1 60 220 60 110 j 190 .5 V 2
例2：已知相量，求瞬时值。
已知两个频率都为 1000 Hz 的正弦电流其相量形
式为： I1 100 60 A
2.3 单一参数的正弦交流电路
3.初相位 i 2I sin t
（t ）：正弦波的相位角或相位 ： t = 0 时的相位，称为初相位或初相角。
i
t
说明： 给出了观察正弦波的起点或参考点，
常用于描述多个正弦波相互间的关系。
u 2 I L sin( t 90 ) i 2I sin t 2U sin( t 90 )
1. 频率相同
2. 相位相差 90° （u 领先 i 90 °）
U
u
IL
i
I I
t
90
3.电流、电压有效值(或幅值）的关系
u 2 I L sin( t 90 ) 2 U sin( t 90 )
I2 10 e j30 A
求： i1、i2
解： 2 f 2 1000 6280
rad s
i1 100 2 sin(6280t 60 ) A
i2 10 2 sin(6280t 30 ) A
小结：正弦波的四种表示法
波形图 瞬时值 相量图
i
Im
t
T
u Um sin t
U
I
复数式
3
I
100 / 6
/3
220
求： i 、u 的相量
解：
I 141 .4 30 100 30 86.6 j50 2
U
A
U 311 .1 60 220 60 110 j 190 .5 V 2
例2：已知相量，求瞬时值。
已知两个频率都为 1000 Hz 的正弦电流其相量形
式为： I1 100 60 A
2.3 单一参数的正弦交流电路
单一参数正弦交流电路的分析计算小结剖析
无源单口网络功率 1）瞬时功率:
p(t ) u(t )i(t )
p(t ) 2U cos(t u ) 2I cos(t i )
UI cos(u i ) UI cos(2t u i )
UI cos UI cos(2t u i )
注: 在交流电源激励的情况下,要用相量法来求解。
“三要素”的计算
三、时间常数 原则:
的计算:
要由换路后的电路结构和参数计算。 (同一电路中各物理量的 是一样的)
RC ； 步骤: (1) 对于只含一个R和C的简单电路， 对于较复杂的一阶RC电路，将C以外的电 路，视为有源二端网络，然后求其除源网 络的等效内阻 R‘(与戴维宁定理求等效内 阻的方法相同)。则:
u 5 2 sin( t 126 9 )
I
阻抗三角形
电压三角形 功率三角形
U
Q S
R
U R
U
L C
U L
U C
Z
X L XC
R
U U L C
U R
P
（二）一般正弦交流电路的解题步骤
1、据原电路图画出相量模型图（电路结构不变）
R R 、 L jX L、 C jX C 、 i I、 e E u U
2
三相交流电路的小结（1）--三相电源
三相四线制 （Y形联接）
eC
eA
eB
A
N B C
三相电源 一般都是 对称的， 称三相对 称电源
三相三线制（Y形联接） A
eC
eA
三相三线制（Δ形联接） A
eC
eB
eA
B C
p(t ) u(t )i(t )
p(t ) 2U cos(t u ) 2I cos(t i )
UI cos(u i ) UI cos(2t u i )
UI cos UI cos(2t u i )
注: 在交流电源激励的情况下,要用相量法来求解。
“三要素”的计算
三、时间常数 原则:
的计算:
要由换路后的电路结构和参数计算。 (同一电路中各物理量的 是一样的)
RC ； 步骤: (1) 对于只含一个R和C的简单电路， 对于较复杂的一阶RC电路，将C以外的电 路，视为有源二端网络，然后求其除源网 络的等效内阻 R‘(与戴维宁定理求等效内 阻的方法相同)。则:
u 5 2 sin( t 126 9 )
I
阻抗三角形
电压三角形 功率三角形
U
Q S
R
U R
U
L C
U L
U C
Z
X L XC
R
U U L C
U R
P
（二）一般正弦交流电路的解题步骤
1、据原电路图画出相量模型图（电路结构不变）
R R 、 L jX L、 C jX C 、 i I、 e E u U
2
三相交流电路的小结（1）--三相电源
三相四线制 （Y形联接）
eC
eA
eB
A
N B C
三相电源 一般都是 对称的， 称三相对 称电源
三相三线制（Y形联接） A
eC
eA
三相三线制（Δ形联接） A
eC
eB
eA
B C
单一参数正弦交流电路
2.2单一参数的正弦交流电路本节将讨论电路由某些单一参数元件组成时，在正弦电源作用下，电压、电流关系的相量形式及其功率表现。
2.2.1电阻元件的正弦交流电路（1）电阻元件上电压和电流的关系纯电阻电路是最简单的交流电路，如图2-8所示。
我们所接触到的白炽灯、电炉、电烙铁等都属于电阻性负载，它们与交流电源连接组成纯电阻电路。
图2-8纯电阻电路在图2-8中，电压与电流的关系在任何瞬时都服从欧姆定律，即u=Ri设流过电阻的正弦电流则电阻两端的电压与其流过的电流是同频率的正弦量，它们的大小和相位关系分别为U=RI（2-16）φu=φi（2-17）可见，对于电阻的正弦交流电路，电压的有效值（或幅值）与电流的有效值（或幅值）成正比，且电压与电流同相。
由式（2-16）、式（2-17）可得电阻元件电压与电流的相量关系为上式称为电阻元件电压电流关系的相量形式，或称为相量形式的欧姆定律。
它全面反映了电阻元件上正弦电压与电流的大小关系和相位关系。
其相量模型和相量图如图2-9所示。
图2-9电阻元件的相量模型和相量图（2）电阻元件的功率①瞬时功率电阻在某一时刻消耗的电功率叫做瞬时功率，它等于电压u与电流i瞬时值的乘积，并用小写字母p表示。
设流过电阻的电流、电压瞬时值分别为：则据此可画出电阻元件瞬时功率的波形图，如图2-10所示。
图2-10电阻元件瞬时功率的波形图由图2-10可以看出，在任何瞬时，恒有p≥0。
这说明电阻是一种耗能元件，它将电能转为热能。
②平均功率由于瞬时功率是随时间变化的，其实用意义不大，因此工程上常采用平均功率。
平均功率是指瞬时功率在一个周期内的平均值，用大写字母P表示。
即由于U=RI，因此电阻的平均功率也可表示为平均功率表示电阻实际消耗的功率，又称为有功功率，其单位为瓦（W）。
由于通常所说的功率都是指平均功率，因此简称功率。
例如功率为40W的白炽灯，是指白炽灯在额定工作情况下，所消耗的平均功率为40W。
注意：上式与直流电路中电阻功率的表达式相同，但式中的U、I不是直流电压、电流，而是正弦交流电的有效值。
电阻、电感、电容单一参数的正弦交流电路
U 10 I= = ≈ 0.1( A) X L1 99.9
当
f = 200 Hz 时
X L 2 = 2πf 2 L = 2π × 200 × 0.318 ≈ 399.61()
U 10 I= = ≈ 0.025( A) X L 2 399.61
第五章 正弦交流电路
§5-4 电阻、电感、电容单一 参数的正弦交流电路
第五章 正弦交流电路 一、纯电阻元件的正弦电路
§5-4 电阻、电感、电容单一 参数的正弦交流电路
交流电路中如果只有电阻，这种电路叫做纯电阻电路。 假设加在纯电阻元件 (b) R上的交流电压m sin ω t
如图5-9所示。在纯电 阻电路中，端电压u 和电流i的关系符合欧 姆定律，通过电阻R 的电流瞬时值为
d ( I m sin ω t ) = I m ω L cos ω t dt
比较u和i的表达式可知，在纯电感交流电路中，加在电 感元件两端的电压在相位上比流过电感元件的电流超前 90°。
第五章 正弦交流电路 在（5.13）式中 U m = I mωL 故
Um U = = ωL Im I
§5-4 电阻、电感、电容单一 参数的正弦交流电路
二、纯电感元件的正弦电路 如果一线圈的电感L很大，而线圈电阻阻值很小，因而 可忽略不计，这种只有电感的电路称为纯电感电路。 纯电感L上的瞬时电压为 di u=L dt 设电流为 i = I m sin ω t
则
u = L
= I m ω L sin( ω t + 90 o ) = U m sin( ω t + 90 o ) （5.13）
L
或写成 U m = jX L I m 式中
U = jX
I
（5.16）
当
f = 200 Hz 时
X L 2 = 2πf 2 L = 2π × 200 × 0.318 ≈ 399.61()
U 10 I= = ≈ 0.025( A) X L 2 399.61
第五章 正弦交流电路
§5-4 电阻、电感、电容单一 参数的正弦交流电路
第五章 正弦交流电路 一、纯电阻元件的正弦电路
§5-4 电阻、电感、电容单一 参数的正弦交流电路
交流电路中如果只有电阻，这种电路叫做纯电阻电路。 假设加在纯电阻元件 (b) R上的交流电压m sin ω t
如图5-9所示。在纯电 阻电路中，端电压u 和电流i的关系符合欧 姆定律，通过电阻R 的电流瞬时值为
d ( I m sin ω t ) = I m ω L cos ω t dt
比较u和i的表达式可知，在纯电感交流电路中，加在电 感元件两端的电压在相位上比流过电感元件的电流超前 90°。
第五章 正弦交流电路 在（5.13）式中 U m = I mωL 故
Um U = = ωL Im I
§5-4 电阻、电感、电容单一 参数的正弦交流电路
二、纯电感元件的正弦电路 如果一线圈的电感L很大，而线圈电阻阻值很小，因而 可忽略不计，这种只有电感的电路称为纯电感电路。 纯电感L上的瞬时电压为 di u=L dt 设电流为 i = I m sin ω t
则
u = L
= I m ω L sin( ω t + 90 o ) = U m sin( ω t + 90 o ) （5.13）
L
或写成 U m = jX L I m 式中
U = jX
I
（5.16）
2.2单一参数正弦交流电路
(2.27)
2.2 单一参数的正弦交流电路
2.功率关系 (1)瞬时功率
(2.28)
电感电路中，瞬时功率是一个最大值是 ，并以2ω的 角频率随时间而变化的交变量，其波形如图2.11（d） 所示。
2.2 单一参数的正弦交流电路
(2)平均功率
(2.29)
从图2.11（d）的波形图也可看出，pL的平均值为零 。
式（2.21）是欧姆定律的相量表达式。
2.2 单一参数的正弦交流；(c)相量图；(d)功率波形图
2.2 单一参数的正弦交流电路
2.功率关系 (1)瞬时功率 电阻任一瞬间吸收的功率称为瞬时功率，用小写字
母pR表示，它等于该瞬间电压uR和电流i的乘积
2.2 单一参数的正弦交流电路
（3）无功功率 用符号Q表示无功功率，即
(2.30)
无功功率的单位用乏（var）或千乏（kvar）表示。
2.2 单一参数的正弦交流电路
2.2.3 纯电容电路
在交流电压作用下，电容器两极板上的电压极性不断 地变化，电容器将周期性充电和放电，两极板上的电量也 随着发生变化，在电路中就会引起电流
(2.22)
2.2 单一参数的正弦交流电路
（2）平均功率
(2.23)
2.2 单一参数的正弦交流电路
2.2.2 纯电感电路
1.电压和电流的关系
2.2 单一参数的正弦交流电路
根据基尔霍夫定律有 设电流为参考相量，即 则
(2.24)
电压也是一个同频率的正弦量。
2.2 单一参数的正弦交流电路
图2.11 电感元件的交流电路 (a)电路图；(b)电压与电流的正弦波形；
（2.17）
2.2 单一参数的正弦交流电路
将式（2.17）代入式（2.16），得
2.2 单一参数的正弦交流电路
2.功率关系 (1)瞬时功率
(2.28)
电感电路中，瞬时功率是一个最大值是 ，并以2ω的 角频率随时间而变化的交变量，其波形如图2.11（d） 所示。
2.2 单一参数的正弦交流电路
(2)平均功率
(2.29)
从图2.11（d）的波形图也可看出，pL的平均值为零 。
式（2.21）是欧姆定律的相量表达式。
2.2 单一参数的正弦交流；(c)相量图；(d)功率波形图
2.2 单一参数的正弦交流电路
2.功率关系 (1)瞬时功率 电阻任一瞬间吸收的功率称为瞬时功率，用小写字
母pR表示，它等于该瞬间电压uR和电流i的乘积
2.2 单一参数的正弦交流电路
（3）无功功率 用符号Q表示无功功率，即
(2.30)
无功功率的单位用乏（var）或千乏（kvar）表示。
2.2 单一参数的正弦交流电路
2.2.3 纯电容电路
在交流电压作用下，电容器两极板上的电压极性不断 地变化，电容器将周期性充电和放电，两极板上的电量也 随着发生变化，在电路中就会引起电流
(2.22)
2.2 单一参数的正弦交流电路
（2）平均功率
(2.23)
2.2 单一参数的正弦交流电路
2.2.2 纯电感电路
1.电压和电流的关系
2.2 单一参数的正弦交流电路
根据基尔霍夫定律有 设电流为参考相量，即 则
(2.24)
电压也是一个同频率的正弦量。
2.2 单一参数的正弦交流电路
图2.11 电感元件的交流电路 (a)电路图；(b)电压与电流的正弦波形；
（2.17）
2.2 单一参数的正弦交流电路
将式（2.17）代入式（2.16），得
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