3单一元件正弦交流电路分析与应用

解
即U=100V，u＝141sin（ ωt－30° ）V P=UI＝100W 电压电流的相量图为
I

U

电感元件的交流特性
电感元件的基本特性
设一匝线圈，当通过它的磁通发生变 化时，线圈中要产生感应电动势。其 大小为

e
d e dt
根据物理学中的法拉第电磁感应定律，线圈中的感应 电动势为
d e dt
.
U
.
RI U
总结：1.有效值、最大值、瞬时值和相量均符合 欧姆定律
2.电压和电流的方向是同相的，即相位差 是零
电阻元件的交流特性
电阻的功率
1. 瞬时功率（电压和电流瞬时值的乘积即是瞬时功率）
UmIm 1 cos 2t UI 1 cos 2t p ui U m I m sin t 2
Um U 1 Im I C
(1/ωC)单位为欧[姆]。电压U一定时(1/ωC)越大电 流I越小,可见它对电流起阻碍作用, 定义为容抗：
1 1 XC C 2fC
容抗XC与电容C，频率 f 成反比。对直流电 f ＝0， XC→∞，因此电容对直流相当于开路，电容具有隔直通 交的作用。
2. 相量关系 1. 瞬时值关系
令XL＝L， 称为电感的电抗，则有
U I


jX L
总结：1.有效值、最大值和相量均符合欧姆定律 2. 瞬时值不符合欧姆定律,即 u X L i 3.电压超前电流90 °
电感元件的交流特性 电感的功率
1. 瞬时功率
p ui 2U sin(t u ) 2 I sin(t i ) 2UI sin(t i 90) sin(t i ) UI sin 2(t i )
t
电阻元件的交流特性
例题
已知电阻R＝100Ω，通过R的电流 i＝1.41sin（ωt－30°）A，求（1）R两端的电压U及u； （2）消耗的功率P；（3）作出电压、电流的相量图。
I 1 30 A ，根据电阻的交流特性可知 由题可知 U IRi 100 30V

dq du i C dt dt
i
如果电容器加正弦电压 u U m sin t
u
C
则 i C du U m C cos t
I m sin( t 90)
U m C sin( t 90)
dt
电压和电流频率相同，电压比电流相位滞后90°。
电容元件的交流特性
从而： I m C U m
f＝0，XL＝0，因
jX I jLI U L
注意！
u XL i
电感元件的交流特性
电感元件的电压电流关系总结
di i 2I sin(t i ) A u L L 2 IL sin(t i 90)V dt 即： U IL, u i 90
电阻元件的交流特性 电阻元件的电压电流关系
设图中电流为： i 根据欧姆定律：
I m sint
u
i
u iR 源自文库I m sin t U m sin t
电压和电流频率相同，相位相同。 从而： U m RI m
R
u Um U R i Im I
电阻元件的交流特性
I
相量形式的欧姆定律
解
根据电感的交流特性可知 U 22060V , X L＝L＝ 31.4，
U I＝ 7 30 A 即： i 7 2 sin(314 t 30) A jX L


QL UI 1540 Var
U

相量图如图所示：
I

电容元件的交流特性
电容元件的基本特性
根据电磁学理论，电压变化时，电容器极板上的 电荷量也要发生变化，在电路中要引起电流
电容元件的交流特性
这样，电压电流的关系可表示为相量形式：
I I jX I j U C C jC
总结：1.有效值、最大值和相量均符合欧姆定律
2. 瞬时值不符合欧姆定律
3.电压滞后电流90 °
电容元件的交流特性 电容的功率
1. 瞬时功率
p ui 2U sin(t u ) 2 I sin(t i ) 2UI sin(t u 90) sin(t u ) UI sin 2(t u )

解
1 根据电容的交流特性可知 U 22030V , X C＝ ＝ 82.7， C U I＝ 2.66120 A 即：i 3.76sin(314t 120) A - jX C

QC UI 827.2Var
相量图如图所示：
I

U

总结
电阻的交流特性 电感的交流特性 电容的交流特性
电感元件的交流特性
电感元件的基本特性
对于N匝线圈，其感应电动势为单匝线圈的N倍
i
d d e N dt dt
u


eL
其中：=N 称为磁通链。 当线圈中有电流 i 通过时， 或 与 i 成正 比，即
N L i
N 或 L i i
i
L为线圈的电感(或自感)，它是线圈的结构参数， 单位为亨（H）。 进而：
u
eL
L
di eL L u L dt
电感元件的交流特性 电感元件的电压电流关系
设一非铁心电感线圈(线性电感元件，L为常 数),假定电阻为零。根据电感元件特性：
＋
i
_
di u eL L dt
设电流为参考正弦量：
u
_
eL
＋
L
dI m sin t uL LI m cos t LI m sin t 90 U m sin t 90 dt


这样，得出的瞬时功率为：
p ui UI sin 2t
2
由此，电容元件的无功功率为：
Q UI I X C
电容性无功功率为负值，电感性无功功率取正值。
电容元件的交流特性 电压、电流、功率的波形
i
u
i
u C

2 t
p
+
+
-
-
t
电容元件的交流特性
例题
已知一个C＝38.5uF的电容，其两端电压为 u＝220√ 2sin（ 314t+ 30) ，求i，无功功率，并画出电压 电流的相量图。
i I m sint




电压和电流频率相同，电压比电流相位超前90°。
电感元件的交流特性
从而：
U m LI m
Um U L Im I
ωL 单位为欧[姆]。电压U 一定时ωL越大电流I越小，可见它
对电流起阻碍作用, 定义为感抗：
X L L 2fL
感抗XL与电感L、频率 f 成正比。对于直流电 此电感对直流电相当于短路。 这样，电压电流的关系可表示为相量形式：
Q UI I X L
2
无功功率与频率有关，对电感而言，频率越大，感抗越 大，无功功率越大。
电感元件的交流特性 电压、电流、功率的波形
i
i
＋
u

2 t
_
u
_
eL
＋
L
p
+
+
-
-
t
电感元件的交流特性
例题
已知一个0.1H电感的电压为 u 220 2 sin(314 t 60) 求（1）该元件上流过的电流i；（2）无功功率； （3）画出电压电流的相量图
单相交流电路分析应用
单一元件正弦交流电路分析与应用
教学目标
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电阻元件的交流特性
电感元件的交流特性
电容元件的交流特性
前言 单一元件的正弦交流特性
电阻元件：消耗电能，转换为热能（电阻性） 电感元件：产生磁场，存储磁场能（电感性） 电容元件：产生电场，存储电场能（电容性） 在直流电路中（稳态），电感元件可视为短路， 电容元件（稳态）可视为开路。 在交流电路中，电感元件和电容元件中的电流均 不为零。
2. 平均功率
1 P T

T
0
1 pdt T

T
0
UI sin 2(t i )dt 0
P=0表明电感元件不消耗能量。只有电源与电感元件间
的能量互换。用无功功率来衡量这种能量互换的规模。
电感元件的交流特性
电感元件的无功功率用来衡量电感与电源间能量互换 的规模，规定电感元件的无功功率为瞬时功率的幅值 （它并不等于单位时间内互换了多少能量）。它的单 位是乏（var）。
2
p≥0，总为正值，所以电阻元件消耗电能，转换为热能。
2. 平均功率（一个周期内瞬时功率的平均值）
1 1 U 2 P pdt UI 1 2 cos t dt UI RI T 0 T 0 R
T T
2
电阻元件的交流特性 电压、电流、功率的波形
u
i i t R p
u
2. 平均功率
1 P T

T
0
1 pdt T

T
0
UI sin 2(t u )dt 0
P=0表明电容元件不消耗能量。只有电源与电容元件间
的能量互换。
电容元件的交流特性 无功功率
为了同电感的无功功率相比较，设电流 为参考正弦量，则：
i I m sint

u Um sin t 90