人教版高中数学必修3试题 2.3变量间的相关关系 (2)

2.3变量间的相关关系[A.基础达标]1．有几组变量：①汽车的重量和汽车每消耗1升汽油所行驶的平均路程； ②平均日学习时间和平均学习成绩； ③立方体的棱长和体积． 其中两个变量成正相关的是( ) A ．①③ B ．②③ C ．②D ．③解析：选C.①是负相关；②是正相关；③是函数关系，不是相关关系． 2．对于给定的两个变量的统计数据，下列说法正确的是( ) A ．都可以分析出两个变量的关系B ．都可以用一条直线近似地表示两者的关系C ．都可以作出散点图D ．都可以用确定的表达式表示两者的关系解析：选C.由两个变量的数据统计，不能分析出两个变量的关系，A 错；不具有线性相关的两个变量不能用一条直线近似地表示他们的关系，更不能用确定的表达式表示他们的关系，B ，D 错． 3．对有线性相关关系的两个变量建立的回归直线方程y ^＝a ^＋b ^x 中，回归系数b ^( ) A ．不能小于0 B ．不能大于0 C ．不能等于0D ．只能小于0解析：选C.当b ^＝0时，r ＝0，这时不具有线性相关关系，但b ^能大于0，也能小于0.4．四名同学根据各自的样本数据研究变量x ，y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：( )① y 与x 负相关且y ^＝2.347x －6.423；② y 与x 负相关且y ^＝－3.476x ＋5.648；③ y 与x 正相关且y ^＝5.437x ＋8.493；④ y 与x 正相关且y ^＝－4.326x －4.578. 其中一定不正确的结论的序号是( ) A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④解析：选D.由正负相关性的定义知①④一定不正确．5．设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1，2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为y ^＝0.85x －85.71，则下列结论中不正确的是( ) A ．y 与x 具有正的线性相关关系 B ．回归直线过样本点的中心(x －，y －)C ．若该大学某女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kgD ．若该大学某女生身高为170 cm ，则可断定其体重必为58.79 kg解析：选D.当x ＝170时，y ^＝0.85×170－85.71＝58.79，体重的估计值为58.79 kg ，故D 不正确． 6．已知一个回归直线方程为y ^＝1.5x ＋45，x ∈{1，7，5，13，19}，则y ＝________． 解析：因为x ＝15(1＋7＋5＋13＋19)＝9，且回归直线过样本中心点(x ，y )， 所以y ＝1.5×9＋45＝58.5. 答案：58.57．对具有线性相关关系的变量x 和y ，测得一组数据如下表，若已求得它们回归直线的斜率为6.5，则这条回归直线的方程为________.解析：设回归直线方程为y ^＝b ^x ＋a ^，则b ^＝6.5，易知y ＝50，x ＝5，所以a ^＝y －b ^x ＝50－32.5＝17.5，即回归直线方程为y ^＝6.5x ＋17.5. 答案：y ^＝6.5x ＋17.58．对某台机器购置后的运营年限x (x ＝1，2，3，…)与当年利润y 的统计分析知具备线性相关关系，线性回归方程为y ^＝10.47－1.3x ，估计该台机器使用________年最合算．解析：只要预计利润不为负数，使用该机器就算合算，即y ^≥0，所以10.47－1.3x ≥0，解得x ≤8.05，所以该台机器使用8年最合算． 答案：89．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：(1)求回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^，其中b ^＝－20，a ^＝y －－b ^x －；(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本) 解：(1)由于x －＝16(8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋9)＝8.5，y －＝16(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80.所以a ^＝y －－b ^x －＝80＋20×8.5＝250， 从而回归直线方程为y ^＝－20x ＋250. (2)设工厂获得的利润为L 元，依题意得 L ＝x (－20x ＋250)－4(－20x ＋250) ＝－20x 2＋330x －1 000 ＝－20(x －334)2＋361.25.当且仅当x ＝8.25时，L 取得最大值．故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润．10．(2013·高考重庆卷)从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入x i (单位：千元)与月储蓄y i (单位：千元)的数据资料，算得∑i ＝110y i =80，∑i ＝110 y i =20,∑i ＝110 x i y i =184，∑i ＝110x i 2=720. （1）求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y ＝bx ＋a ； （2）判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；（3）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄.附：线性回归方程y ＝bx ＋a 中，b=∑i ＝1nx i y i -nx -y-∑i ＝1nx 2i - nx -2 a=y －－b x －，其中为x －,y －样本的平均值，线性回归方程也可写为y ^=b ^x+a ^解：（1）由题意知n=10, x －=1n ∑i ＝1nx i ＝8010＝8,y －＝1n ∑i ＝1ny i ＝2010＝2，又∑i ＝1nx 2i - n x -2=720-10×82=80, ∑i ＝1nx i y i -nx -y -＝184－10×8×2＝24， 由此得b ＝2480＝0.3，a ＝y -,－bx -,＝2－0.3×8＝－0.4，故所求线性回归方程为y ＝0.3x －0.4.(2)由于变量y 的值随x 值的增加而增加(b ＝0.3>0)，故x 与y 之间是正相关． (3)将x ＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y ＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．[B.能力提升]1．回归直线方程的系数a ^，b ^是最小二乘法估计中使函数Q (a ^，b ^)取得最小函数值时所满足的条件，其中Q (a ^，b ^)的表达式是( ) A.∑i ＝1n(y i－a ^－b ^x i )2）B.∑i ＝1n|y i－a ^－b ^x i |2）C. (y i －a ^－b ^x i )2D.|y i －a ^－b ^x i |解析：选A.用最小二乘法确定两变量之间的线性回归方程的思想，即求a ^，b ^使n 个样本点（x i ，y i ）（i ＝1，2，…，n ）与直线y ＝a ^+b ^x 的“距离”的平方和最小，即使得Q (a ^，b ^)=(y 1－a ^－b ^x 1)2+(y 2－a ^－b ^x 2)2+…+(y n －a ^－b ^x n )2=∑i ＝1n(y i －a ^－b ^x i )2）达到最小，故选A.2．对于两个变量的散点图：①若所有点都落在某一函数曲线上，则变量之间具有函数关系；②若所有点都落在某一曲线附近，则变量之间具有相关关系；③若所有点都落在某一直线附近，则变量之间具有线性相关关系；④若所有点都杂乱无章，则变量之间不具有相关关系．其中正确的是( ) A ．①②B ．①②③C ．①②④D ．①②③④解析：选D.①②③④四个说法全部正确．3．(2015·江西重点中学盟校联考)某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据(如下表)，由最小二乘法求得回归方程y ^＝0.67x ＋54.9.零件数x (个) 10 2030 40 50 加工时间y (min)62758189现发现表中有一个数据看不清，请你推断该数据的值为________．解析：由已知可计算求出x -＝30，而回归直线方程必过点(x -，y －)，则y －＝0.67×30＋54.9＝75，设模糊数字为a ，则a ＋62＋75＋81＋895＝75，计算得a ＝68. 答案：684．近年来，我国高等教育事业有了迅速发展，为了解某省从2000年到2014年18岁到24岁的青年人每年考入大学的人数，我们把农村、县镇和城市分别标记为一组、二组、三组分开统计．为了便于计算，把2000年编号为1，2001年编号为2，…，2014年编号为15，如果把年份从1到15作为自变量进行回归分析，可得三个回归方程：农村：y ^＝0.42x ＋1.80；县镇：y ^＝2.32x ＋6.72；城市：y ^＝2.84x ＋9.50(y 的单位是万)．则下列说法中正确的是________．(把你认为正确说法的序号填上) ①三个组的两个变量都是正相关关系；②对于县镇组而言，每年考入大学的人数约是上一年的2.32倍；③在这一阶段，城市组的大学入学人数增长最快；④0.42表示农村青年考入大学的人数以每年约4 200人递增．解析：①由于三个组的线性回归方程中x 的系数均为正数，故三个组的两个变量都是正相关关系，故①正确；②中县镇组的线性回归直线方程y ^＝2.32x ＋6.72的意义是县镇考入大学的人数每年大约比上一年增加23 200人，故②不正确，由此可推知④正确；由于三个组的线性回归方程中，城市组所对应的方程的x 的系数最大，表示城市组入学人数增加得最快，故③正确． 答案：①③④5．现对x，y有如下观测数据：x 1825303941424952y 356788910(1)作出散点图；(2)试求y对x的线性回归方程．解：(1)散点图如下：(2)可求得x＝37，y＝7，∑i＝18x2i=11 920，∑i＝18x i y i＝2 257.设线性回归方程为y^＝a^＋b^x，则b^＝∑i＝18x i y i -8x-y-∑i＝18x2i-8x-2＝2 257－8×37×711 920－8×372＝185968≈0.19，a^＝y－－b^x－＝7－0.19×37＝－0.03.所以线性回归方程为y^＝0.19x－0.03.6．(选做题)在某种产品表面进行腐蚀性实验，得到腐蚀深度与腐蚀时间之间对应的一组数据：时间t(s)5101520304050607090120深度y(mm)610101316171923252946(1)画出散点图；(2)试求腐蚀深度对时间的回归直线方程．解：(1)散点图如图：(2)经计算可得：t －≈46.36，y ≈19.45，∑i ＝111 t 2i ∑i ＝111t i y i ＝13 910.b ^＝∑i ＝111t i y i -11t -y -∑i ＝111t 2i - 11t -2＝13 910－11×46.36×19.4536 750－11×46.362≈0.3.a ^＝y －－b ^t －＝19.45－0.3×46.36＝5.542. 故所求的回归直线方程为y ^＝0.3t ＋5.542.。