大学概率论-正态分布及标准化 论文

题目：浅谈正态分布及其标准化

院系：卓越学院

班级：经管班

姓名：郭佳妮

学号：15031206

目录

一．浅谈正态分布 (3)

1.正态分布的概率密度函数 (3)

数学期望 (4)

方差 (4)

2.正态分布的分布函数 (5)

3.正态分布的性质 (6)

二．正态分布的标准化 (7)

一．浅谈正态分布

如果影响该事件的因素有无穷多个,而每个因素的影响又是无穷小,那么这个事件就服从正态分布

例如：测量某零件的尺寸时,由于温度、湿度等众多因素的微小影响,使得测量结果出现误差,这种误差就服从正态分布

大误差出现的概率很小,经常出现的误差概率就高,就象一条钟型曲线,即正态分布曲线

从这条曲线可以看出正态分布曲线关于x=μ对称，并在x=μ取到最大值

1.正态分布的概率密度函数

记作X～N(μ，σ^2)

数学期望

μ为正态分布的E（x），即为数学期望，又称为均值

在概率论和统计学中，数学期望(mean)（或均值，亦简称期望）是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和。是最基本的数学特征之一。它反映随机变量平均取值的大小。

E(X) = X1*p(X1） + X2*p(X2） + …… + Xn*p(Xn) = X1*f1(X1） + X2*f2(X2）+ …… + Xn*fn(Xn)

性质

设C为一个常数，X和Y是两个随机变量。以下是数学期望的重要性质：

1.E（C）=C

2.E（CX）=CE（X）

证明

方差

σ^2为正态分布的方差，（variance)是在概率论和统计方差衡量随机变量或一组数据时离散程度的度量。概率论中方差用来度量随机变量和其数学期望（即均值）之间的偏离程度。

性质

1.设C是常数，则D（C）=0

2.设X是随机变量，C是常数，则有

3.D(X+C)=D(X)

3.D(X+C)=E((X+C-E(X+C))^2)=E((X-E(X))^2)=D(X)

2.正态分布的分布函数

f（x）为x=A事件的概率，即为p（x=a）F（x）为x在区间（-∞，a）上的概率

介绍F（x）

3.正态分布的性质

关于x=μ对称，在任意h>0时都有

P{μ-h

当x=μ时取到最大值

F（μ）=1/√（2π）σ代入即可

4.标准正态分布

正态分布的特殊情况，当期望值μ=0，即曲线图象对称轴为Y轴，标准差σ^2=1条件下的正态分布，记为N(0，1)。

因为标准正态分布的各个数值可以通过查标准正态分布表就可以直接计算出原正态分布的概率值，所以每一个非标准的正态分布，一般都会被变化为标准正态分布，该变换被称为标准化变换。

函数是正态分布属于N（0,1）

P（a

如果f（x）是非标准正态分布

P（a

图像与x轴包围的面积为1，且对称，所以

Φ[-x]=1-Φ[x]

Φ[0]=0.5

例题

二．正态分布的标准化

例题