恒定磁场题解

第四章 恒定磁场

(注意：以下各题中凡是未标明磁媒质的空间，按真空考虑）

4-1 如题4-1图所示，两条通以电流的

半无穷长直导线垂直交于O 点。在两导线所在平面，以O 点为圆心作半径为

的圆。求圆周上A 、B 、C 、D 、E 、F 各点的磁感应强度。

解 参考教材71页的例4-1，可知，图4-2所示通有电流I 的直导线在P 点产生的磁感应强度为

()αθθπμe B 120cos cos 4--=r

I

因此，可得（设参考正方向为指出纸面）

R I

R R I B A πμπμ422

135cos 180cos 220cos 135cos 400=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛----= ()R

I

R I B B πμπμ410cos 90cos 400=--=

用类似的方法可得 R

I B C πμ40=，I R B C 021

2μπ-=

，R

I B D πμ40=，R I B E πμ20=，I R B F 021

2μπ+-= 4-2

平面上有一正边形导线回路。回路的中心在原点，边形顶点到原点的

距离为

。导线中电流为。

1）求此载流回路在原点产生的磁感应强度；

2）证明当趋近于无穷大时，所得磁感应强度与半径为的圆

形载流导线回路产生的磁感应强度相同； 3）计算等于3时原点的磁感应强度 。

解 如图4-3中所示为正边形导线回路的一个边长，则所对应的圆心角为n

π

2，各边在圆心产生的磁感应强度为

()()()()()α

αααα

ααππμππμθπμθπμθπμθθπμθθπμe e e e e e e B ⎪⎭

⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛====---=--=n R I n r I r I r I r

I

r I r I tan 2sin 2cos 2cos 2cos 24cos cos 4cos cos 4001010101101201

1）n 条边在圆心产生的磁感应强度为 αππμe B ⎪⎭

⎫

⎝⎛=

n R I n tan 20 2）当n ∞→时，圆心处的磁感应强度为 ααμππμe e B R I n R I n n 2tan 2lim 00=⎪⎭

⎫

⎝⎛=∞→

3）当等于3时圆心处的磁感应强度为 ααπμππμe e B R I R I 2333tan 2300=⎪⎭

⎫

⎝⎛=

4-3 设矢量磁位的参考点为无穷远处，计算半径为

的圆形

导线回路通以电流时，在其轴线上产生的矢量磁位。 解 如图4-4建立坐标系，可得轴线上z 处的矢量磁位为

0d 4220=+=⎰l R z I

l A πμ

4-4 设矢量磁位的参考点在无穷远处，计算一段长为2米的直线电流在其中垂线上距线电流1米处的矢量磁位。

解 据76页例4-4，可得 ()

()

12210cos 1sin cos 1sin ln 4θθθθπμ--=I z e A ，

其中，

451=θ， 1352=θ，则 1212ln 42212222122ln 400-+=⎪⎪⎭⎫

⎝⎛+⎪⎪⎭⎫

⎝⎛+=πμπμI I z

z e e A

4-5 在空间，下列矢量函数哪些可能是磁感应强度？哪些不是？回答并说明理

由。 1）

（球坐标系） 2）

3） )(y x y x A e e - 4） （球坐标系） 5）

（圆柱坐标系）

解 1） 03)(13

2≠==

∇•A A r r r

∂∂A 2） 0 ==++

∇•z A y A x A z

y x ∂∂∂∂∂∂A 3） 01-1 ===++

∇•z A y A x A z

y x ∂∂∂∂∂∂A 4） 0sin 1)sin (sin 1)(122

=++=∇•∂α∂θθ∂θ∂θ∂∂α

θA r A r A r r

r r A 5） 01)(1=++=∇•z

A A r rA r r z

r ∂∂∂α∂∂∂αA 2）~5）

可能是磁感应强度表达式。

4-6 相距为

的平行无限大平面电流，两平面分别在和平行于

平面。面电流密度分

别为

和

，求由两无限大平面分割出的三个

空间区域的磁感应强度。

解 如图建立坐标系，并作平行于xz 平面的闭合回线1l ，据安培环路定律，可得 2

K

H x =

和平行于yz 平面的闭合回线2l ，可得 2

K

H y =

考虑坐标系，及H B μ=可得

当2

d

z -<，y x K K e e B 2200μμ+-=；

当22d z d <<-，y x K K e e B 2200μμ--=；当2

d

z -<，y x K K e e B 2200μμ+=；

4-7 求厚度为，中心在原点，沿

平面平行放置，体电流密度为z J e 0的无穷大

导电板产生的磁感应强度。 解 如图4-6建立坐标系，当2

d

x ≤

，作闭合回线1l ，据安培环路定律，可得x J B 00μ=，当2

d

x >，作闭合回线2l ，

据安培环路定律，可得2

00d

J B μ=，

因此，可得⎪⎪⎪

⎩⎪

⎪⎪⎨⎧>≤≤--<-=222222000000d x d J d x d x J d x d

J y

y

y e e e B μμμ

4-8 如图4-7所示，同轴电缆通以电流。求各处

的磁感应强度。

解 作半径为r 的闭合回线，据安培环路定律，