恒定磁场
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得获得均匀磁场的条件①． 证 取两线圈中心连线的中点为坐标原点O，两线圈中心轴线为x 轴，在x轴上
知 Bbe B fa 0 ．流过圆弧的电流I1 、I2的方向如图所示，两圆弧在点O 激发的 磁场分别为
B1
μ0 I1l1 μIl , B2 0 2 22 2 4 πr 4πr
其中I1 、I2 分别是圆弧acb、adb的弧长，由于导线电阻R 与弧长l 成正比，而圆 弧acb、adb又构成并联电路，故有
）
（A） 闭合回路上各点磁感强度都为零时，回路内一定没有电流穿过 （B） 闭合回路上各点磁感强度都为零时，回路内穿过电流的代数和必定为零 （C） 磁感强度沿闭合回路的积分为零时，回路上各点的磁感强度必定为零 （D） 磁感强度沿闭合回路的积分不为零时，回路上任意一点的磁感强度都不可 能为零 分析与解 由磁场中的安培环路定律， 磁感强度沿闭合回路的积分为零时， 回路
（2） 室温下（T ＝300 Ｋ）电子热运动的平均速率与电子漂移速率之比为
1 v v d vd 8kT 2.42 108 πme
室温下电子热运动的平均速率远大于电子在恒定电场中的定向漂移速率． 电子实 际的运动是无规热运动和沿电场相反方向的漂移运动的叠加． 考虑到电子的漂移 速率很小，电信号的信息载体显然不会是定向漂移的电子．实验证明电信号是通 过电磁波以光速传递的．
过的电流I 都相等，因此可得
j I / 2πrl
解 由分析可知，在半径r ＝6.0 mm的圆柱面上的电流密度
j I / 2πrl 13.3 mA m 2
－ 如图所示，已知地球北极地磁场磁感强度B 的大小为6.0×10 5T．如设
7 －9
想此地磁场是由地球赤道上一圆电流所激发的，此电流有多大？ 流向如何？
上各点的磁感强度不一定为零；闭合回路上各点磁感强度为零时，穿过回路的电 流代数和必定为零。因而正确答案为（ B ）．
7 －4
在图（ａ）和（ｂ）中各有一半径相同的圆形回路L1 、L2 ，圆周内有
电流I1 、I2 ，其分布相同，且均在真空中，但在（ｂ）图中L2 回路外有电流 I3 ，P1 、P2 为两圆形回路上的对应点，则（ （A） （B） （C） （D） ）
v
8kT πme
其中k 为玻耳兹曼常量，me 为电子质量．从而可解得电子的平均速率与漂移速 率的关系． 解 （1） 铜导线单位体积的原子数为
n NAρ / M
电流密度为jm 时铜线内电子的漂移速率
vd jm / ne jm M / N A ρe 4.46 104 m s 1
中心连线为 x 轴，则中点附近的磁场可看成是均匀磁场的条件为
dB 0； dx
d 2B 0) dx 2
设磁感强度在Ox 轴线上的分布为B（x）（可由两个圆电流线圈在轴线上 dB 磁场的叠加而得），如在轴线上某点处 0 ，这表明在该点附近的磁感强度有 dx 分析
d2 B d2B d2 B 三种可能，即有极大值( 2 0 )、极小值( 2 0 ) 或均匀( 2 0 )．据此可 dx dx dx
e ， 因而由 I /c
I
解
Nec ，可解出环中的电子数。 l
通过分析结果可得环中的电子数
N
Il 4 1010 ec
7 －7
已知铜的摩尔质量M ＝63.75 ｇ·mol－1 ，密度ρ ＝8.9 g· cm－3 ，在铜导
线里，假设每一个铜原子贡献出一个自由电子，（1）为了技术上的安全，铜线 内最大电流密度 jm 6.0 A mm 2 ，求此时铜线内电子的漂移速率vd ；（2） 在 室温下电子热运动的平均速率是电子漂移速率vd的多少倍？
*7 －5
半径为R 的圆柱形无限长载流直导体置于均匀无限大磁介质之中，
若导体中流过的恒定电流为I，磁介质的相对磁导率为μｒ （μｒ＜1），则磁介质 内的磁化强度为（ （A） μr 1I / 2 πr （C） μr I / 2 πr 分析与解 ） （B）
μr 1I / 2πr
（D） I / 2 πμr r
利用安培环路定理可先求出磁介质中的磁场强度，再由M＝（μｒ－1）
H 求得磁介质内的磁化强度，因而正确答案为（ B ）．
7 －6
北京正负电子对撞机的储存环是周长为240 m 的近似圆形轨道，当环中
电子流强度为8 mA 时，在整个环中有多少电子在运行？ 已知电子的速率接近 光速。 分析 一个电子绕存储环近似以光速运动时， 对电流的贡献为 ΔI
I1l1 I 2l2
将B1 、B2 叠加可得点O 的磁感强度B．
解
由上述分析可知，点O 的合磁感强度
B B1 B2
7 －11
μ0 I1l1 μ0 I 2l2 0 4πr 2 4πr 2
如图所示，几种载流导线在平面内分布，电流均为I，它们在点O 的磁
感强度各为多少？
分析
应用磁场叠加原理求解． 将不同形状的载流导线分解成长直部分和圆弧部
B0
7 －13
3 μ0 I μI μI i 0 j 0 k 8R 4πR 4πR
如图所示，一个半径为R 的无限长半圆柱面导体，沿长度方向的电流I
在柱面上均匀分布．求半圆柱面轴线OO′上的磁感强度．
分析
毕－萨定理只能用于求线电流的磁场分布，对于本题的半圆柱形面电流，
可将半圆柱面分割成宽度 dI Rdθ 的细电流，细电流与轴线OO′平行，将细电 流在轴线上产生的磁感强度叠加，即可求得半圆柱面轴线上的磁感强度． 解 根据分析，由于长直细线中的电流 dI Idl / πR ，它在轴线上一点激发的磁
第七章
7 －1
恒定磁场
两根长度相同的细导线分别多层密绕在半径为R 和r 的两个长直圆筒上
形成两个螺线管，两个螺线管的长度相同，R ＝2r，螺线管通过的电流相同为I， 螺线管中的磁感强度大小 B R 、 Br 满足（ （A） BR 2 Br （B） BR Br ） （D） BR 4 Br
（C） 2 BR Br
（A） 2 πr 2 B （C） 2πr 2 B cos α
分析与解
作半径为r 的圆S′与半球面构成一闭合曲面，根据磁场的高斯定理，
磁感线是闭合曲线，闭合曲面的磁通量为零，即穿进半球面S 的磁通量的大小等 于穿出圆面S′的磁通量的大小； Φm B S ．因而正确答案为（ D ）．
7 －3
下列说法正确的是（
7 －8
有两个同轴导体圆柱面，它们的长度均为20 m，内圆柱面的半径为3.0
mm，外圆柱面的半径为9.0 mm.若两圆柱面之间有10 μA电流沿径向流过，求通
过半径为6.0 mm的圆柱面上的电流密度．
分析
如图所示是同轴柱面的横截面，电流密度j 对中心轴对称分布．根据
恒定电流的连续性， 在两个同轴导体之间的任意一个半径为r 的同轴圆柱面上流
感强度的大小为
dB
μ0 dI 2πR
其方向在Oxy 平面内，且与由ｄl 引向点O 的半径垂直，如图7 －13（ｂ）所 示．由对称性可知，半圆柱面上细电流在轴线OO′上产生的磁感强度叠加后， 得
By dB sin θ 0 Bx dBsin θ
0 π π 0
μ0 I μ0 I Rdθ sin θ 2 2πR πR π R μ0 I π2R
0 I
8R
0
2 和长直电流1 0 和 2
，由（*）
B'O BO B1
B0 的方向垂直纸面向里．
（c） 将载流导线看作1/2 圆电流
0 I
2R
0 I
2 πR
和两段半无限长直电流1
2
和
2 ，由叠加原理可得
B0
0 I
4R
解 强度
设赤道电流为I，则由教材第7 －4 节例2 知，圆电流轴线上北极点的磁感
B
因此赤道上的等效圆电流为
2 RR
μ0 IR 2
2 3/ 2
μ0 I 4 2R
I
4 2 RB 1.73 109 A μ0
由于在地球地磁场的Ｎ 极在地理南极，根据右手螺旋法则可判断赤道圆电流应 该是由东向西流，与地球自转方向相反．
分析与解
在两根通过电流相同的螺线管中， 磁感强度大小与螺线管线圈单位长
度的匝数成正比（ B
0 nI ）．根据题意，用两根长度相同的细导线绕成的线
nR r 1 nr R 2
圈它们的匝数不同，其单位长度的匝数之比
因而正确答案为（ C ）。
7 －2 为（
一个半径为r 的半球面如图放在均匀磁场中，通过半球面的磁通量大小 ） （B） πr 2 B （D） πr 2 B cos α
则轴线上总的磁感强度大小
B Bx
B 的方向指向Ox 轴负向．
7 －14 实验室中常用所谓的亥姆霍兹线圈在局部区域内获得一近似均匀的磁 场，其装置简图如图（ａ）所示．一对完全相同、彼此平行的线圈，它们的半径 均为 R，通过的电流均为 I，且两线圈中电流的流向相同．试证：当两线圈中心 之间的距离 d 等于线圈的半径 R 时，在两线圈中心连线的中点附近区域，磁场 可看成是均匀磁场．(提示：如以两线圈中心连线的中点为坐标原点 O，两线圈
B dl B dl ， B
L1 L2
P1
BP2 BP2 BP2 BP2
B dl B dl ， B
L1 L2
P1
B dl B dl ， B
L1 L2 L1 L2
P1
B dl B dl ， B
P1
分析与解 由磁场中的安培环路定律， 积分回路外的电流不会影响磁感强度沿回 路的积分；但同样会改变回路上各点的磁场分布．因而正确答案为（ C ）．
分析
一个铜原子的质量 m M / N A ,其中NA 为阿伏伽德罗常数，由铜的密度ρ
可以推算出铜的原子数密度
n ρ/m
根据假设， 每个铜原子贡献出一个自由电子， 其电荷为e， 电流密度 jm nevd ． 从 而可解得电子的漂移速率vd． 将电子气视为理想气体，根据气体动理论，电子热运动的平均速率
4
（**）
（ａ） 长直电流对点O 而言，有 Idl r 0 ，因此它在点O 产生的磁场为零， 则点O 处总的磁感强度为1/4 圆弧（
）电流所激发，故由（*），有
B 'O BO B1
B0 的方向垂直纸面向外．
（ｂ） 将载流导线看作圆电流 和（**）再利用磁场叠加原理，得
分，它们各自在点O 处所激发的磁感强度较容易求得，则总的磁感强 B0 Bi
解
与任意圆心角 对应的圆弧，同电流I，则圆心处O的磁感强度大小为
BO
0 I ( ) 2 R 2
（*）
有限长直导线的磁场强度 ， （见教材P246）
B1
0 I [cos(1 ) cos( 2 )] 4R
解
根据磁场的叠加
在图（ａ）中，
B0
在图（ｂ）中，
μ0 I μI μI μI μI i 0 k 0 k 0 i 0 k 4R 4πR 4πR 4R 2πR
B0
在图（c）中，
μ0 I μI μI μ I1 μI i 0 i 0 k 0 1i 0 k 4πR 4R 4πR 4 R π 4 πR
0 I
4πR
0 I
4 πR
0 I
4R
பைடு நூலகம் I
2 πR
B0 的方向垂直纸面向外．
7 －12
载流导线形状如图所示（图中直线部分导线延伸到无穷远），求
点O的磁感强度B．
分析 由教材7 －4 节例题可知，圆弧载流导线在圆心激发的磁感强度 μ Iα B 0 ，其中α为圆弧载流导线所张的圆心角，磁感强度的方向依照右手定则 4πR μI 确定；半无限长载流导线在圆心点O 激发的磁感强度 B 0 ，磁感强度的方 4πR 向依照右手定则确定。 点O 的磁感强度BO 可以视为由圆弧载流导线、 半无限长载流导线等激发的 磁场在空间点O 的叠加。
7 －10
如图所示，有两根导线沿半径方向接触铁环的a、b 两点，并与很远处
的电源相接。求环心O 的磁感强度．
分析
根据叠加原理，点O 的磁感强度可视作由ef、be、fa三段直线以及acb、
adb两段圆弧（相当并联各支路电流不同）电流共同激发．由于电源距环较远，
Bef 0 ．而be、fa两段直线的延长线通过点O，由于 Idl r 0 ，由毕－萨定律
知 Bbe B fa 0 ．流过圆弧的电流I1 、I2的方向如图所示，两圆弧在点O 激发的 磁场分别为
B1
μ0 I1l1 μIl , B2 0 2 22 2 4 πr 4πr
其中I1 、I2 分别是圆弧acb、adb的弧长，由于导线电阻R 与弧长l 成正比，而圆 弧acb、adb又构成并联电路，故有
）
（A） 闭合回路上各点磁感强度都为零时，回路内一定没有电流穿过 （B） 闭合回路上各点磁感强度都为零时，回路内穿过电流的代数和必定为零 （C） 磁感强度沿闭合回路的积分为零时，回路上各点的磁感强度必定为零 （D） 磁感强度沿闭合回路的积分不为零时，回路上任意一点的磁感强度都不可 能为零 分析与解 由磁场中的安培环路定律， 磁感强度沿闭合回路的积分为零时， 回路
（2） 室温下（T ＝300 Ｋ）电子热运动的平均速率与电子漂移速率之比为
1 v v d vd 8kT 2.42 108 πme
室温下电子热运动的平均速率远大于电子在恒定电场中的定向漂移速率． 电子实 际的运动是无规热运动和沿电场相反方向的漂移运动的叠加． 考虑到电子的漂移 速率很小，电信号的信息载体显然不会是定向漂移的电子．实验证明电信号是通 过电磁波以光速传递的．
过的电流I 都相等，因此可得
j I / 2πrl
解 由分析可知，在半径r ＝6.0 mm的圆柱面上的电流密度
j I / 2πrl 13.3 mA m 2
－ 如图所示，已知地球北极地磁场磁感强度B 的大小为6.0×10 5T．如设
7 －9
想此地磁场是由地球赤道上一圆电流所激发的，此电流有多大？ 流向如何？
上各点的磁感强度不一定为零；闭合回路上各点磁感强度为零时，穿过回路的电 流代数和必定为零。因而正确答案为（ B ）．
7 －4
在图（ａ）和（ｂ）中各有一半径相同的圆形回路L1 、L2 ，圆周内有
电流I1 、I2 ，其分布相同，且均在真空中，但在（ｂ）图中L2 回路外有电流 I3 ，P1 、P2 为两圆形回路上的对应点，则（ （A） （B） （C） （D） ）
v
8kT πme
其中k 为玻耳兹曼常量，me 为电子质量．从而可解得电子的平均速率与漂移速 率的关系． 解 （1） 铜导线单位体积的原子数为
n NAρ / M
电流密度为jm 时铜线内电子的漂移速率
vd jm / ne jm M / N A ρe 4.46 104 m s 1
中心连线为 x 轴，则中点附近的磁场可看成是均匀磁场的条件为
dB 0； dx
d 2B 0) dx 2
设磁感强度在Ox 轴线上的分布为B（x）（可由两个圆电流线圈在轴线上 dB 磁场的叠加而得），如在轴线上某点处 0 ，这表明在该点附近的磁感强度有 dx 分析
d2 B d2B d2 B 三种可能，即有极大值( 2 0 )、极小值( 2 0 ) 或均匀( 2 0 )．据此可 dx dx dx
e ， 因而由 I /c
I
解
Nec ，可解出环中的电子数。 l
通过分析结果可得环中的电子数
N
Il 4 1010 ec
7 －7
已知铜的摩尔质量M ＝63.75 ｇ·mol－1 ，密度ρ ＝8.9 g· cm－3 ，在铜导
线里，假设每一个铜原子贡献出一个自由电子，（1）为了技术上的安全，铜线 内最大电流密度 jm 6.0 A mm 2 ，求此时铜线内电子的漂移速率vd ；（2） 在 室温下电子热运动的平均速率是电子漂移速率vd的多少倍？
*7 －5
半径为R 的圆柱形无限长载流直导体置于均匀无限大磁介质之中，
若导体中流过的恒定电流为I，磁介质的相对磁导率为μｒ （μｒ＜1），则磁介质 内的磁化强度为（ （A） μr 1I / 2 πr （C） μr I / 2 πr 分析与解 ） （B）
μr 1I / 2πr
（D） I / 2 πμr r
利用安培环路定理可先求出磁介质中的磁场强度，再由M＝（μｒ－1）
H 求得磁介质内的磁化强度，因而正确答案为（ B ）．
7 －6
北京正负电子对撞机的储存环是周长为240 m 的近似圆形轨道，当环中
电子流强度为8 mA 时，在整个环中有多少电子在运行？ 已知电子的速率接近 光速。 分析 一个电子绕存储环近似以光速运动时， 对电流的贡献为 ΔI
I1l1 I 2l2
将B1 、B2 叠加可得点O 的磁感强度B．
解
由上述分析可知，点O 的合磁感强度
B B1 B2
7 －11
μ0 I1l1 μ0 I 2l2 0 4πr 2 4πr 2
如图所示，几种载流导线在平面内分布，电流均为I，它们在点O 的磁
感强度各为多少？
分析
应用磁场叠加原理求解． 将不同形状的载流导线分解成长直部分和圆弧部
B0
7 －13
3 μ0 I μI μI i 0 j 0 k 8R 4πR 4πR
如图所示，一个半径为R 的无限长半圆柱面导体，沿长度方向的电流I
在柱面上均匀分布．求半圆柱面轴线OO′上的磁感强度．
分析
毕－萨定理只能用于求线电流的磁场分布，对于本题的半圆柱形面电流，
可将半圆柱面分割成宽度 dI Rdθ 的细电流，细电流与轴线OO′平行，将细电 流在轴线上产生的磁感强度叠加，即可求得半圆柱面轴线上的磁感强度． 解 根据分析，由于长直细线中的电流 dI Idl / πR ，它在轴线上一点激发的磁
第七章
7 －1
恒定磁场
两根长度相同的细导线分别多层密绕在半径为R 和r 的两个长直圆筒上
形成两个螺线管，两个螺线管的长度相同，R ＝2r，螺线管通过的电流相同为I， 螺线管中的磁感强度大小 B R 、 Br 满足（ （A） BR 2 Br （B） BR Br ） （D） BR 4 Br
（C） 2 BR Br
（A） 2 πr 2 B （C） 2πr 2 B cos α
分析与解
作半径为r 的圆S′与半球面构成一闭合曲面，根据磁场的高斯定理，
磁感线是闭合曲线，闭合曲面的磁通量为零，即穿进半球面S 的磁通量的大小等 于穿出圆面S′的磁通量的大小； Φm B S ．因而正确答案为（ D ）．
7 －3
下列说法正确的是（
7 －8
有两个同轴导体圆柱面，它们的长度均为20 m，内圆柱面的半径为3.0
mm，外圆柱面的半径为9.0 mm.若两圆柱面之间有10 μA电流沿径向流过，求通
过半径为6.0 mm的圆柱面上的电流密度．
分析
如图所示是同轴柱面的横截面，电流密度j 对中心轴对称分布．根据
恒定电流的连续性， 在两个同轴导体之间的任意一个半径为r 的同轴圆柱面上流
感强度的大小为
dB
μ0 dI 2πR
其方向在Oxy 平面内，且与由ｄl 引向点O 的半径垂直，如图7 －13（ｂ）所 示．由对称性可知，半圆柱面上细电流在轴线OO′上产生的磁感强度叠加后， 得
By dB sin θ 0 Bx dBsin θ
0 π π 0
μ0 I μ0 I Rdθ sin θ 2 2πR πR π R μ0 I π2R
0 I
8R
0
2 和长直电流1 0 和 2
，由（*）
B'O BO B1
B0 的方向垂直纸面向里．
（c） 将载流导线看作1/2 圆电流
0 I
2R
0 I
2 πR
和两段半无限长直电流1
2
和
2 ，由叠加原理可得
B0
0 I
4R
解 强度
设赤道电流为I，则由教材第7 －4 节例2 知，圆电流轴线上北极点的磁感
B
因此赤道上的等效圆电流为
2 RR
μ0 IR 2
2 3/ 2
μ0 I 4 2R
I
4 2 RB 1.73 109 A μ0
由于在地球地磁场的Ｎ 极在地理南极，根据右手螺旋法则可判断赤道圆电流应 该是由东向西流，与地球自转方向相反．
分析与解
在两根通过电流相同的螺线管中， 磁感强度大小与螺线管线圈单位长
度的匝数成正比（ B
0 nI ）．根据题意，用两根长度相同的细导线绕成的线
nR r 1 nr R 2
圈它们的匝数不同，其单位长度的匝数之比
因而正确答案为（ C ）。
7 －2 为（
一个半径为r 的半球面如图放在均匀磁场中，通过半球面的磁通量大小 ） （B） πr 2 B （D） πr 2 B cos α
则轴线上总的磁感强度大小
B Bx
B 的方向指向Ox 轴负向．
7 －14 实验室中常用所谓的亥姆霍兹线圈在局部区域内获得一近似均匀的磁 场，其装置简图如图（ａ）所示．一对完全相同、彼此平行的线圈，它们的半径 均为 R，通过的电流均为 I，且两线圈中电流的流向相同．试证：当两线圈中心 之间的距离 d 等于线圈的半径 R 时，在两线圈中心连线的中点附近区域，磁场 可看成是均匀磁场．(提示：如以两线圈中心连线的中点为坐标原点 O，两线圈
B dl B dl ， B
L1 L2
P1
BP2 BP2 BP2 BP2
B dl B dl ， B
L1 L2
P1
B dl B dl ， B
L1 L2 L1 L2
P1
B dl B dl ， B
P1
分析与解 由磁场中的安培环路定律， 积分回路外的电流不会影响磁感强度沿回 路的积分；但同样会改变回路上各点的磁场分布．因而正确答案为（ C ）．
分析
一个铜原子的质量 m M / N A ,其中NA 为阿伏伽德罗常数，由铜的密度ρ
可以推算出铜的原子数密度
n ρ/m
根据假设， 每个铜原子贡献出一个自由电子， 其电荷为e， 电流密度 jm nevd ． 从 而可解得电子的漂移速率vd． 将电子气视为理想气体，根据气体动理论，电子热运动的平均速率
4
（**）
（ａ） 长直电流对点O 而言，有 Idl r 0 ，因此它在点O 产生的磁场为零， 则点O 处总的磁感强度为1/4 圆弧（
）电流所激发，故由（*），有
B 'O BO B1
B0 的方向垂直纸面向外．
（ｂ） 将载流导线看作圆电流 和（**）再利用磁场叠加原理，得
分，它们各自在点O 处所激发的磁感强度较容易求得，则总的磁感强 B0 Bi
解
与任意圆心角 对应的圆弧，同电流I，则圆心处O的磁感强度大小为
BO
0 I ( ) 2 R 2
（*）
有限长直导线的磁场强度 ， （见教材P246）
B1
0 I [cos(1 ) cos( 2 )] 4R
解
根据磁场的叠加
在图（ａ）中，
B0
在图（ｂ）中，
μ0 I μI μI μI μI i 0 k 0 k 0 i 0 k 4R 4πR 4πR 4R 2πR
B0
在图（c）中，
μ0 I μI μI μ I1 μI i 0 i 0 k 0 1i 0 k 4πR 4R 4πR 4 R π 4 πR
0 I
4πR
0 I
4 πR
0 I
4R
பைடு நூலகம் I
2 πR
B0 的方向垂直纸面向外．
7 －12
载流导线形状如图所示（图中直线部分导线延伸到无穷远），求
点O的磁感强度B．
分析 由教材7 －4 节例题可知，圆弧载流导线在圆心激发的磁感强度 μ Iα B 0 ，其中α为圆弧载流导线所张的圆心角，磁感强度的方向依照右手定则 4πR μI 确定；半无限长载流导线在圆心点O 激发的磁感强度 B 0 ，磁感强度的方 4πR 向依照右手定则确定。 点O 的磁感强度BO 可以视为由圆弧载流导线、 半无限长载流导线等激发的 磁场在空间点O 的叠加。
7 －10
如图所示，有两根导线沿半径方向接触铁环的a、b 两点，并与很远处
的电源相接。求环心O 的磁感强度．
分析
根据叠加原理，点O 的磁感强度可视作由ef、be、fa三段直线以及acb、
adb两段圆弧（相当并联各支路电流不同）电流共同激发．由于电源距环较远，
Bef 0 ．而be、fa两段直线的延长线通过点O，由于 Idl r 0 ，由毕－萨定律