空间物理 引力位
地球重力场的基本知识
地球重力场的基本知识1.1 引力与离心力1、万有引力（1）引力的定义：指质量和质量之间的一种相互吸引力，简称为引力。
（2）引力的公式设有两质点M （a.b.c ）和P （x.y.z ），质量分别为M 和m ，则两点之间的引力的大小与两点质量的乘积成正比，与两点之间距离的平方成反比，其方向在两点的联线上。
式中，f —万有引力常数，实验得知6.67×10-8；M 称为吸引点，P 为被吸引点，则引力的方向朝向M 点，在公式中有“-”号，表示引力的方向与向径（矢径）的方向相反。
可知，为沿X ，Y ，Z 轴的单位向量，模为：当P=1时，即P 为单位质点，则上式变为2M F f r=− 引力的三个方向余弦为：（3）引力的三个坐标轴分量（模乘以方向余弦）：2、地球引力（1）假设：地球为圆球，物质按同一密度按同心层分布。
（2M：地球质量m：质点质量r：质点至地心距离（3）方向：指向地心3、地球上一点的离心力（1）定义：离心力是一个惯性力，是地球上一点以等角速度绕地球自转轴而产生的。
（2）公式：P= m ω2ρ，式中： ω—地球自转角速度；ρ—质点所在平行圈半径，随纬度不同而不同： ①在旋转轴上离心力=0；②离旋转轴越远，离心力越大；③在赤道上，离心力达到最大值，约为引力的1/200还小。
（3）方向：指向质点所在平行圈半径的外方向。
4、重力（1）定义：指相对于地球固定的单位质点所受的力。
因地球上的质点同时受到引力和离心力的共同影响。
（2）表达式：P F g+=其中，F ：指地球及其它天体质量产生的引力；P ：指相对于地球瞬时角速度的离心力，而自转角速度是随时间变化的，地球地极也不是固定不变的，故指相对于地球的平均角速度和平均地极的离心力。
（3）地极：过地球质心的自转轴与地面的交点，称为地极，是随时间变化的。
（4）对实测重力应加改正：（因重力测量是单位质点在测量时刻的真正重力，不是前面定义的重力，故应加改正）包括：①相对于地球运动的天体的影响；②由这些天体影响造成的地球形状变化的影响； ③大气的影响；④地球的自转角速度变化和极移的影响（极移：地极点在地球表面上的位置随时间变化的现象，称为地极移动，简称极移） （5）方向：重力的方向主要取决于地球引力的方向，总是朝向地球内部。
大地测量学简答题、综合题
1、解释重力、引力、离心力、引力位、重力位、地球重力场、正常重力、正常重力位、扰动位等概念，简述其相应关系。
答：地球引力及由于质点饶地球自转轴旋转而产生的离心力的合力称为地球重力。
引力F是由于地球形状及其内部质量分布决定的其方向指向地心、大小F=f·M·m/r∧2。
离心力P指向质点所在平行圈半径的外方向，其计算公式为P=m w∧2·p 引力位就是将单位质点从无穷远处移动到该点引力所做的功重力位就是引力位V和离心力位Q之和。
地球重力场是地球的种物理属性。
表征地球内部、表面或外部各点所受地球重力作用的空间。
根据其分布，可以研究地球内部结构、地球形状及对航天器的影响。
正常重力位是一个函数简单、不涉及地球形状和密度便可直接计算得到的地球重力位的近似值的辅助重力位。
扰动位是地球正常重力位与地球重力位的差异。
2、解释大地水准面、大地体、总椭球、参考椭球、大地天文学、黄道面、春分点、大地水准面差距。
答：与平均还平面相重合，不受潮汐、风浪及大气压的影响，并延伸到大陆下面处处与前垂线相垂直的水准面称为大地水准面。
大地水准面是一个没有褶皱、无棱角的连续封闭曲面。
由它包围的形体称为大地体。
总的地球椭球中心和地球质心重合，总的地球椭球的短轴与地球地轴相重合，起始大地子午面和起始天文子午面重合，同时还要求总的地球椭圆和大地体最为密度。
参考椭球是指具有一定参数、定位和定向，用以代表某一地区大地水准面的地球椭球。
大地天文学主要是研究用天文测量的方法，确定地球表面的地理坐标及方位角的理论和实际问题。
黄道是太阳周年的视运动沿着大圆的运动圈。
春分点是黄道和赤道的交点，并被看作固定的恒星点。
大地水准面差距是指大地水准面与地球椭球面之间的距离4 、解释水准面的含义及性质,为什么说水准面有多个?答:含义:我们把重力位相等的面称为重力等位面,这也就是我们通常所说的水准面.性质:1、由于重力位是由点坐标唯一确定的，故水准面相互既不能相交也不能相切；2、在一个水准面上移动单位质量不做功，即所做共为0，可见水准面是均衡面；3、在水准面上，所有点的重力均与水准面正交；4、由于两个水准面之间的距离不是一个常数，故两个水准面彼此不平行；5、力线与所有水准面都正交，彼此不平行。
地球重力场基本理论
3、勒让德多项式：
1）、勒让德多项式：
递推公式：
Pn x
1 2n n!
d n ( x 2 1)n dxn
Pn1 x
2n 1 n1
xPn x
n n1
Pn1 x
将（x2-1)n按二项式定理展开有：
令x=cosψ，则有：
Pn cos
1 d n (cos2 1)n
2n n! d cos n
V
V
V
a x x , a y y , az z
r 2 x xm 2 y ym 2 z zm 2
式中x, y, z为被吸引点坐标;
xm , ym , zm为吸引点坐标
若设：
a
ax2
a
2 y
az2
(a,x),(a,y),(a,z)为a与各坐标轴之间的夹角，则 ax =acos(a,x), a y=acos(a,y), a z=acos(a,z)
V＝V1＋V2＋·····＋Vn 所以，地球总体的位函数应等于组成其质量的各基元分体位函数dVi 之和，对整个地球而言，则有
dm
V dV f
M
M
z
(Xm,ym,zm)
dm
Rψ
ρ
r S0
o
φm φ
λm λ
Se
y
x
(X，y，z) S
②空间直角坐标系中，引力位对被吸引点各坐标轴的偏导数等于 相应坐标轴上的加速度(或引力)向量的负值：
Mm F f
r2
假如两质点间的距离沿力的方向有一个微分变量dr，则 必做功：
Mm dA f r 2 dr
用V表示位能，此功必等于位能的减少：
Mm dV f r 2 dr
2014年 重力学重点总结
2014年秋 重力学 重点总结第二章：1.正常重力场：由于地球内部物质不均匀，地球表面也不光滑，准确地计算地球的引力是十分困难的，但可以把地球内部物质分布和表面形状理想化，即假设:⑴地球是一个两极压扁的旋转椭球体且表面光滑；⑵地球内部物质密度呈层状均匀（层面共焦点，层内均匀）；⑶地球是一个刚性球体，内部各质点位置不变；⑷地球的质量、自转角速度不变。
在这个假设前提下，构造一个正常重力场。
2.正常重力位：正常引力位与离心力位之和，称为正常重力位。
3.扰动位：某点的重力位与正常重力位之差。
4克莱饶定理：表示正常场地球模型的重力扁率和旋转椭球的扁率之间的关系称为克莱饶定理。
其中e e p γγγβ-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=23m n α 得到：m 25=+βα5斯托克司定理：如果已知：（1）一个等位面的形状。
（2）它内部所包含的物质的总质量 M 。
（3）以及整个物体绕某一固定轴作匀速旋转的角速度。
则这个等位面上及其外部所有点上的重力位都可以单值地被确定，而无需知道地球内部质量的具体分布情况。
补充：逆定理：如果已知一个封闭水准面上的重力值，且其外部无质量，就可以确定这个封闭面的形状。
6.索米格兰纳公式：正常重力的一般公式为： αβαβββγγ4181)2sin sin 1(21212+=-+=n n e B B 称为索米格兰纳公式7.地球椭球：满足以下四个基本条件，即：（1）椭球表面为等位面(称为正常大地水准面)；（2）它的位W0与真实地球理想大地水准面的位相等；（3）椭球中心与地球质心重合；（4）椭球的质量M 、惯性矩之差(C-A)的椭球，称为地球椭球。
8.正常重力公式：地球椭球表面正常重力场的数学表达式便称为正常重力公式。
9.地球重力空间变化的特征：(1)地球的形状——扁椭球体引力随纬度变化，在大地水准面上，两处最大，赤道处最小，两者相差约1800mGal ；(2)地球自转——惯性离心力随纬度变化，在大地水准面上，两极等于零，赤道最大，最大变化达3400mGal ；(3)地球表面起伏不平： ①测点距地心距离变化 ②测点周边地表物质引力各异 ③地质构造和岩石的引力在个测点上不同(4)地球内部物质密度分布不均匀；(5)太阳与月球的引力，最大变化达0.2mGal 。
第三章 1重力场基本理论
• 1975年国际地球正常重力公式：
0 978 .032 (1 0.005302 sin 2 0.0000058 sin 2 2 )
• ＷGS84坐标系中的椭球重力公式：
a 2 2
顾及r与a的关系得： 0 fM (1 3 q ( 5 q ) cos 2 ) 2 • 特例：
fM 3q (1 ) 9.78ms 2 ，赤道正常重力： e 90 a2 2
0 ，极点处正常重力：
fM p 2 (1 q) 9.832ms 2 a
第三章 1.地球重力场的基本理论
——引力、离心力与重力 ——引力位与离心力位 ——地球的正常重力位 ——正常重力公式
上一讲应掌握的内容 1、测量坐标参考系统
• 由基准和坐标系两方面要素构成。 • 基准是指用以描述地球形状的参考椭球的参数以及参考椭 球在空间中的定位及定向，甚至还包括单位长度。 • 狭义的坐标系是指点位表示方法（3种），广义的坐标系 是由坐标原点、坐标轴的指向和尺度所定义的。
四、地球的正常重力位
重力位
dm 2 2 W f (x y2 ) r 2 M
•要精确计算出地球重力位，必须知道地球表面的形状 及内部物质密度，但前者正是我们要研究的，后者分 布极其不规则，目前也无法知道，故根据上式不能精 确地求得地球的重力位，为此引进一个与其近似的地 球重力位——正常重力位。 •正常重力位是一个函数简单、不涉及地球形状和密度 便可直接计算得到的地球重力位的近似值的辅助重力 位。当知道了地球正常重力位，想法求出它同地球重 力位的差异(称扰动位)，便可求出大地水准面与这已 知形状(正常位水准面)的差异。最后解决确定地球重 力位和地球形状的问题。
第二章(重力场)
考察方程
2 u u d S ( u u ) d Vu () uu () d V u s V V
只要证明上式左边等于0,即可证明 分两种情况 ： 1 已知表面引力位
u 0
2 已知表面引力位法向导数
结论：满足泊松方程及边界条件的解是唯一的，或仅有一个长数之 差。但是一旦确定了场中某点的引力位值后，这个常数便看唯一确定， 因而各点的引力位是唯一性的。
r
d V
1 1 u 1 [ u ( )]d S 4 S r n n r
对于无限大的自由空间，表面 S 趋向无限远处，引力位 u与距离成 反比，而 dS 与距离平方成正比，所以，对无限远处的 S 表面，上式 中的面积分为零。 若 V 为无源区，那么上式中的体积分为零。因此，第二项面积 分可以认为是泊松方程在无源区中的解，或者认为是拉普拉斯方程
以格林函数表示的积分解。
3 狄利赫利和诺依曼问题的解
格林函数
无源场引力位u为调和函数，若引入另一函数v也是调和函数，即
2 v 0
应用格林定理有
v u 2 2 ( uvuvV ) d u v d S V S n n 1 上式同乘 与下式相加 4 1 1 u 1 u () r [ u () ] d S 4 Srn n r
2. 引力位、引力位方程、边界条件 3. 狄利赫利和诺依曼问题 4. 引力场正反演问题 5. 地球重力场
第一节 引力、引力场、引力场强度
1.万有引力定律
F k
12
mm
1
2
r
3
r
12
12
万有引力定律描述质点间用力关系，在宏观引力场基础。万有引力常 数也用 表式。 f
大地习题答案
大地测量学是指在一定的时间与空间参考系中，测量和描绘地球形状及其重力场并监测其变化，为人类活动提供关于地球的空间信息的一门学科。
第二章开普勒三大运动定律：运动的轨迹是椭圆，太阳位于其椭圆的一个焦点上；在单位时间内扫过的面积相等；运动的周期的平方与轨道的长半轴的立方的比为常数。
假设月球的引力及其运行轨道是固定不变的,由于日、月等天体的影响，地球的旋转轴在空间围绕黄极发生缓慢旋转，类似于旋转陀螺，形成一个倒圆锥体，其锥角等于黄赤交角ε=23.5 度，旋转周期为26000年，这种运动称为岁差.月球运行的轨道与月的之间距离是不断变化的，使得月球引力产生的大小和方向不断变化，从而导致北天极在天球上绕黄极旋转的轨道不是平滑的小园，而是类似园的波浪曲线运动，即地球旋转轴在岁差的基础上叠加周期为18.6年，且振幅为9.21″的短周期运动。
这种现象称为章动。
考虑岁差和章动的共同影响：真旋转轴、瞬时真天极、真天球赤道、瞬时真春分点。
考虑岁差的影响：瞬时平天极、瞬时平天球赤道、瞬时平春分点。
地球自转轴存在相对于地球体自身内部结构的相对位置变化，从而导致极点在地球表面上的位置随时间而变化，这种现象称为极移。
天文联合会(IAU)和大地测量与地球物理联合会(IUGG) 建议采用国际上5个纬度服务(ILS)站以1900～1905年的平均纬度所确定的平极作为基准点，通常称为国际协议原点CIO4时间的计量包含哪两大元素？作为计量时间的方法应该具备什么条件?时间的描述包括时间原点、单位（尺度）两大要素;周期运动满足如下三项要求，可以作为计量时间的方法;运动是连续的;运动的周期具有足够的稳定性；运动是可观测的.时间是物质运动过程的连续的表现，选择测量时间单位的基本原则是选取一种物质的运动。
时间的特点是连续、均匀，故一种物质的运动也应该连续、均匀。
5 恒星时、世界时、历书时与协调时是如何定义的？其关系如何？以春分点作为基本参考点，由春分点周日视运动确定的时间，称为恒星时。
引力位正负
引力位正负
引力是一种基本的自然力，它是由于物体的质量而产生的，具有吸引作用。
在宇宙中，引力是万有的，它支配着星体的运动和行星的轨道，是星系和宇宙的形成和演化的重要动力之一。
引力位是指在空间中某个位置所受引力的大小和方向。
引力位的正负取决于引力的方向，如果引力的方向朝向这个位置，则该引力位为正，反之则为负。
引力位通常用公式表示为Gm/r^2，其中G为引力常量，m为物体的质量，r为物体到该位置的距离。
在太阳系中，引力位的正负也是影响行星运动的重要因素。
行星会沿着引力位的轨道运动，如果引力位为正，则行星会向太阳靠近，如果引力位为负，则行星会远离太阳。
而在宇宙中，引力位的正负也影响着星系的形成和演化。
总之，引力位正负是一个重要的物理概念，在物理学和天文学中都有广泛的应用。
它帮助我们理解宇宙的奥秘，揭示自然规律的深层次。
- 1 -。
引力和引力场的性质
引力和引力场的性质1. 引力的概念引力，又称重力，是物体之间由于质量产生的相互吸引作用。
在经典物理学中，牛顿的万有引力定律描述了引力的基本特性：任何两个质点都存在相互吸引的力，这个力与它们的质量成正比，与它们之间的距离的平方成反比。
2. 引力场的定义引力场是一个描述空间中任何位置上引力大小和方向的物理量。
在这个场中，一个质点会受到引力作用，其大小和方向由引力场决定。
引力场是一种矢量场，它的矢量方向指向场源物体，大小则表示该位置上引力的大小。
3. 引力场的性质(1)引力场是保守场：这意味着在引力场中，一个物体从一点移动到另一点，它所受到的引力做功与路径无关，只与起始点和结束点有关。
这使得引力场成为可积场，为物理学中的能量守恒和动量守恒定律提供了有力支持。
(2)引力场强度随距离的增加而减小：根据万有引力定律，引力与距离的平方成反比。
因此，距离场源物体越远，引力场强度越小。
(3)引力场线从正质量指向负质量：引力场线是一种形象描述引力场分布的方法。
从引力场线的分布可以看出，场线从正质量物体指向负质量物体。
(4)引力场与时间有关：在广义相对论中，引力被解释为时空的曲率。
这意味着引力场不仅与物体质量分布有关，还与时间有关。
引力场的变化会导致物体运动的轨迹发生改变。
4. 引力场的计算在经典物理学中，引力场的计算通常采用牛顿的万有引力定律。
假设有一个质量分布均匀的球体，其质量为( M )，半径为( R )，求在距离球心( r )处的引力场强度( g )。
根据万有引力定律，引力场强度( g )与距离( r )的关系为：[ g = ]其中，( G )为万有引力常数，其值为( 6.674 10^{-11} 2/2 )。
5. 引力场在实际应用中的例子引力场在实际应用中有很多例子，如地球引力场、月球引力场、太阳引力场等。
这些引力场对物体运动、卫星轨道、航天器飞行等有着重要影响。
例如，地球引力场使得物体受到重力作用，从而保持在地表附近；卫星轨道的稳定性也与地球引力场有关。
重力场与万有引力定律应用知识点总结
重力场与万有引力定律应用知识点总结在我们生活的这个广袤宇宙中，重力场和万有引力定律扮演着至关重要的角色。
从地球上物体的下落，到天体的运行，无一不受其影响。
接下来，让我们深入了解一下重力场与万有引力定律的应用知识点。
一、重力场的概念重力场是指物体在其周围空间产生的一种能够使其他物体受到重力作用的场。
可以把它想象成一种无形的“力量场”，物体在其中会受到向下的引力。
在地球上，我们感受到的重力就是地球重力场的作用结果。
重力场的强度通常用重力加速度 g 来表示，在地球表面，g 的平均值约为98m/s²。
但需要注意的是，g 的值会随着地理位置的不同而略有差异。
比如，在赤道附近，g 的值相对较小；而在两极地区，g 的值则相对较大。
二、万有引力定律万有引力定律是由牛顿发现的，它指出：任何两个质点都存在通过其连心线方向上的相互吸引的力。
该引力大小与它们质量的乘积成正比、与它们距离的平方成反比，与两物体的化学组成和其间介质种类无关。
用公式表示为：F ＝ G （m1 m2) ／ r²，其中 F 是两个物体之间的引力，G 是万有引力常量（约为 667×10⁻¹¹ N·m²/kg²），m1 和 m2 分别是两个物体的质量，r 是两个物体质心之间的距离。
三、万有引力定律的应用1、计算天体的质量通过观测天体周围物体的运动情况，结合万有引力定律，可以计算出天体的质量。
例如，要计算地球的质量，可以通过测量月球绕地球公转的周期 T 和轨道半径 r，根据 F ＝ m（2π/T）²r ＝ G （M地 m月) ／ r²，就可以求出地球的质量 M 地。
2、解释天体的运动万有引力定律很好地解释了行星绕太阳的公转、卫星绕行星的运动等天体的运行规律。
开普勒定律描述了天体运动的轨道、速度等特点，而万有引力定律为其提供了理论基础。
3、预测卫星的轨道在人造卫星的发射和运行中，万有引力定律起着关键作用。
正常重力位
0 978.0327(1 0.00530245 sin2 0.0000058 sin2 2 )
2.2.2 地球的重力场
地球重力场是地球重力作用的空间。
地球重力场分解成正常重力场和异常重力场两部分。
研究地球重力场，在大地测量学中可用以推求平均地球椭球 的形状，建立国家大地网和国家水准网；在空间科学中用以 确定空间飞行器受地球引力场作用的轨道改正；在固体地球 物理学中用以研究地球内部结构及资源分布。通常把这些研 究地球重力场的内容称为重力学。
P m
2
－地球自转角速度 －质点所在平行圈半径
2.1.2 引力位和离心力位
引力位
按牛顿万有引力定律，空间任意 两质点M和m相互吸引的引力 此功必等于位能的减少
假如两质点问的距离沿力的 方向有微分变量dr，做功
对上式积分后，得出位能
将质点 m 的质量取单位质量
物质M的引力位或位函数
引力位
注： 引力所做的功等于位函数在终点和起点的 函数值之差，与质点所经过的路程无关
离心力位
引力场
F E lim m 0 m
引力场强度是表示场的性质的物理量，它只是 坐标的函数，而与用来测量引力场强度的试探 质点的质量无关。矢量的方向表示受力的方向。
2、场源关系
因为质量产生引力场，所以我们称引力场的场源为 质量。
牛顿在1687年出版的《自然哲学的数学原理》一书 中首先提出了万有引力定律：每一个物体都吸引着 其他每一个物体，而两个物体间的引力大小，正比 于这它们的质量，会随著两物体中心连线距离的平 方而递减。
A
B
或
U ( B) U ( A) F dl
A
B
该公式表示引力场中任意一个点B的引 力位等于某个参考点A的位与单位质量 的物体从A移动到B引力所做的功之和.
U ( B) U ( A) F dl
A
B
引力场中任意一点引力位与参考点的引 力位有关. 当参考点的引力位增加一个数量时,引力 场中所有点的引力位都增加同一个数量
2U 2 4 G 两式相减得到：
(U1 U 2 ) 0
2
引力场的唯一性定理
在高斯公式：
V
Adv A ds
S
中取：
A U V
这里的Ｕ和Ｖ是任意两个连续函数，其一、二次 微商也是连续的。 A (U V )
U 2V U V
Es S s E x S x 4 GM
因上下两个面的方向相反，且大小相等
Es S s E x S s 4 GM Esn S s Exn S s 4 GM
方程两边同除以面积
M Esn Exn 4 G 4 G s S
例题: 计算半径为r,面密度均匀分布的圆盘在垂 直轴上的引力场强度.
作业三求球体内外的引力位
作业三 求球体内外的引力位
解：先不妨推导一下均质球面的引力位
如图均质球面半径R ，面密度μ，求P 点在球面内外的引力位。
V =G ∫μγ
σdσ=Gμ∫1r σdσ （1） V =Gμ∫dθ2π0∫R 2sin φr dφ=2πGμ∫R 2sin φr dφπ0π0 （2）
r 2=R 2+ρ2−2Rρcos φ （3）
rdr =Rρsin φdφ （4）
R 2sin φr dφ=R ρdr （5） V 外=2πGμ∫R ρ
ρ+R ρ−R dr =4πGμR 2ρ （6） V 内=2πGμ∫R ρR+ρR−ρdr =4πGμR （7）
对于均质球体而言，可将其看成许多薄球面的叠加，其面密度与体密度有如下关系 μ=ρ0dR （8）
则对于球外部点而言，直接利用公式（6）即可：
V 外=4πGρ0∫R 2r a 0dR =43πGρ0a 3r =GM r （9）
对于球内部点而言，在P 点处以r 为半径作一球面，将球分为内部球体与外部球层，对于内部球体而言直接利用公式（9），对与外部球层亦将其分为很多球面求解。
V 内=V 0+V 1 （10）
利用公式（7）得：
V 0=4πGρ0∫RdR =2πGρ0a
r (a 2−r 2) （11）
直接利用（9）得：
V 1=43πGρ0r 2 （12） 从而
V 内=23πGρ0(3a 2−r 2) （13）
V 在0<r<2a 的变化曲线可有matlab 编程获得，图例如下：。
第三章 1重力场基本理论
v2 2 4 2 r a , v r a 2 r T T
向心加速度
二、引力、离心力与重力
• 用F及P分别表示地球引力及质点绕地球自转轴旋 转而产生的离心力，这两个力的合力称地球重力 用g表示
M m Ff 2 r
P m 2
g FP
离心力P在赤道达最大值， 但数值比地球引力1/200还 要小一些。故重力基本上由 地球引力确定的。当高出地 面35730km处，重力加速 度将改变符号，背向地球。
5 17 (1 )q 2 35 1 2 1 1 ( ) 8 4
用不同的观测数据，导出的正常重力公式： • 1901～1909年赫尔默特公式：
0 978.030(1 0.005302 sin 2 0.000007 sin 2 2 )
• 1930年卡西尼公式： 0 978.049(1 0.0052882 sin 2 0.000059 sin 2 2 ) • 1975年国际地球正常重力公式： 0 978.032(1 0.005302 sin 2 0.0000058 sin 2 2 ) • ＷGS84坐标系中的椭球重力公式：
0 2
B A A =f ( ) 4
2 2
若地球是旋转椭球体，则有转动惯量
A B ，将系数代入
2 3 M K r 2 则有： U f [1 2 (1 3 cos ) sin 2 ] r 2 fM 2r
式中：
KM A C
地球正常重力位的公式
设赤道的离心力与重力之比为：
因此，我们可把Q称为离心力位函数。
（三）重力位
重力是引力和离心力的合力，重力位W是引力位V和离心 力位Q之和： dm 2 2 2
重力场的基本知识
g AB
m
l Cl
上式中C是仪器常数，它与弹簧的性能、重 荷的质量有关。 它表示重荷移动单位长度时相应的重力值 的变化，称之为重力仪的格值。 测定格值的方法是借已知重力变化Δg来观 测重荷移动后弹簧长度的相应变化ΔZ，从 而求得格值。
P／m=g
该式表明：重力场强度与重力加速度无论在数值 上还是单位的量纲上都是相同的。
通常所说的重力，实际上是指单位质量所受的力， 在数值上等于重力加速度。 3、重力单位 衡量重力大小的单位有两个系统，一个是高斯制 （CGSM)，另一个是国际制（SI）。 历史上使用的是C.G.S.制，它是为了纪念第一个 测定重力加速度值的意大利著名物理学家伽利略 (G.Galieo)，取1cm/s2作为重力的一个单位，称作 “伽”(Gal)。
重力勘查无论是研究构造还是寻找各种矿 产资源以及近年来在水、工、环中的应用 与研究， 都是利用地下物质密度分布不均 匀这一点所引起的重力微小变化来达到其 目的，因而其它因素的影响就被当作干扰 而要引入相应的校正予以消除。
5、重力测量的基本原理
从原则上说，凡是与重力有关的物理现象， 如物体的自由降落、摆的摆动、弹簧在重 物作用下的伸长等，都可以用来测量重力 值，把它们归结起来可以分两个方面，即 重力绝对值的测定和重力相对值的测定。
从时间上来说，由于太阳、月亮与地球之 间的相对位置存在一定周期的变化，造成 海洋潮汐及固体地球的弹性形变等一系列 地球物理现象。 这种由于太 阳、月亮对地球引力的变化使 固体地球形变而造成地表同一点出现重力 随时间的微小变化， 就称为重力固体潮， 其变化幅度约2－3g.u.，因而在高精度重力 测量中必须考虑这一因素的影响。
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Figure 2 电磁场
3. 强相互作用力：强相互作用力是作用于强子之间的力，其作用范围在 10-15m 范围内。 4. 弱相互作用力： 在费曼图中表现为： 中子与电子中微子发生碰撞，在碰撞过程中发生了力 的作用，这种力就是弱相互作用力。碰撞后的中子改变方向，其固有能量 与动量都发生改变， 变成了质子 （准确的说是： 碰撞后中子改变运动方向， 与观测时空成角，被观测成了质子） 。同样，电子中微子也改变方向，固 有能量与动量也发生改变，变成了电子（准确的来说是：碰撞后电子中微 子改变运动方向，与观测时空成角，被观测成了电子） (二) 引力位 1679 年，牛顿在《自然科学原理》中定量的给出了两个物体之间的引力定律 —万有引力定律，F = − F → 引力，N G→ 万有引力常数，6.67 × 10−11 ������3 ∙ ������ −2 ∙ ������������−1 ������ → m 相对于 M 的位置矢量，m ������ → 某一物体的质量 ������ → 另一物体的质量 由上可知： ������������ g= 2 ������ g→ 重力加速度，m ∙ ������ −2 从而，������地球 = 9.822 m ∙ ������ −2 (三) 高阶引力位 对于质量非均匀天体的中心引力， 在引力位的计算中， 需要引入高阶引力位。 由于地球等天体是质量非均匀的球体，为了精确获得它们的中心引力，需要 在引力位中引入高阶量，通常引入表面球谐函数来表示 ������������ U=− ������
∞ ������ ������������������ ������ 3
������。
������ =0 ������ =0
������ ������
������ +1
������������ ,������ (������, ������)
������������ ,������ ������, ������ = [������������ ,������ cos ������������ + ������ sin ������������]������ ������ ,������ (������������������������) ������为经度 ������为纬度 m 为阶数
பைடு நூலகம்
个周。1996 年，National Imagery and Mapping Agency (NIMA) 为美国国 防部做了一个新的坐标系统。这样实现了新的 WGS 版本：WGS（G873） 。其因 为加入了 USNO 站和北京站的改正，其东部方向加入了 31-39cm 的改正。所 有的其他坐标都有在 1 分米之内的修正重力场的影响。 (五) 液体和固体潮汐 由于日、月引潮力的作用，会使地球的岩石圈、水圈和大气圈中分别产 生的周期性的运动和变化。固体地球在日、月引潮力作用下引起的弹性—塑 性形变，称固体潮汐，简称固体潮或地潮；海水在日、月引潮力作用下引起 的海面周期性的升降、 涨落与进退， 称海洋潮汐， 简称海潮； 大气各要素 （如 气压场、大气风场、地球磁场等）受引潮力的作用而产生的周期性变化（如 8、12、24 小时）称大气潮汐，简称气潮。汶川大地震发生的日期和时间可 能与固体潮汐有关。
n 为次数 1. 带谐系数：地球引力位的球谐函数展开式中次为零的位系数。 2. 扇谐系数：地球引力位的球谐函数展开式中阶与次相同的位系数。 3. 田谐系数：地球引力位的球谐函数展开式中阶与次不同的位系数。 下面给出图来直观的表示他们的关系
其实，上述表面球谐函数描述的是天体表面的函数，只是引力展开式的一部 分，是 ϕ，λ 的函数，由上图可看出：随着 m,n 的增大，方程所描述的球的 各个位置的重力参数会越来越精细。由于行星等的质量分布不均往往需要更 精细的描述各个位置的参数所以需要数万个谐系数。 (四) 引力模型 由（三）可知，位于天体表面的重力参数但是，这样的描述对于我们研 究地球来说是不完全的，我们不仅要知道地球表面的重力参数，还需要知道 关于地球的几何形状引力场、位置特征、动力学现象等各种特征。目前，使 用最广泛的引力模型是 WSG84 模型，它包含了参考系、地球椭球、地球自转 角度、地球引力常数、引力模型、大地水准面等。为此我们引入 WSG84. World Geodetic System 1984，是为 GPS 全球定位系统使用而建立的坐 标系统。通过遍布世界的卫星观测站观测到的坐标建立，其初次 WGS84 的精 度为 1-2m，在 1994 年 1 月 2 号，通过 10 个观测站在 GPS 测量方法上改正， 得到了 WGS84（G730） ，G 表示由 GPS 测量得到，730 表示为 GPS 时间第 730
(六)
卫星运动摄动 卫星摄动是指由于地球质量分布不均匀和非球形对称性、日月及其它星 体的引力、大气阻力、太阳光压等因素引起卫星在理想轨道上的抖动。 并且利用引力的分布还可以使卫星关于太阳的位置发生改变，从而改变 卫星的供电情况或者对于地球的观测情况。
(七) 重力梯度力 重力梯度力对于位于不同高度的重物有不同的大小，从而产生重力力矩，使 位于高空的航天器姿态发生改变。当航天器绕地球作轨道运行时，地心对航 天器各部分质量有不同的引力，同时它们也有不同的离心力。引力和离心力 的合力称为重力。
引力场
(一) 自然界四大相互作用： 1. 万有引力： 任意两个质点有通过连心线方向上的力相互吸引。该引力大小 与它们质量的乘积成正比与它们距离的平方成反比， 与两物体的化学组成 和其间介质种类无关。
Figure 1
万有引力
2. 电磁力：电磁力是电荷、电流在电磁场中所受力的总称。也有称载流导体 在磁场中受的力为电磁力，而称静止电荷在静电场中受的力为静电力。
图中的哑铃式卫星可以直观地说明航天器重力梯度稳定的原理。设哑铃式卫 星的纵轴在轨道平面（俯仰平面）内偏离当地铅垂线，哑铃两端的质量相等 (m1=m2)。由于 m1 离地心较近，所以它所受的引力比离心力大，重力指向地 心。m2 受到的引力比离心力小，所以重心背向地心。而哑铃中点 O 的重力为 零（失重） 。这样就形成了一个绕 O 点的恢复力矩(即重力梯度力矩)。月球 有一面总是朝着地球这个自然现象就是重力梯度稳定的一个例子。