相似三角形知识点及典型例题
九年级数学相似三角形典型例题
九年级数学相似三角形典型例题一、利用相似三角形的判定定理证明相似例1：已知：在△ABC和△DEF中，∠A = ∠D = 60°，AB = 4，AC = 8，DE = 2，DF = 4。
求证：△ABC∽△DEF。
解析：1. 我们看相似三角形的判定定理。
对于两个三角形，如果它们的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
2. 在本题中：计算公式，公式。
并且已知∠A = ∠D = 60°。
因为公式且∠A = ∠D，所以根据相似三角形判定定理中的“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可以得出△ABC∽△DEF。
二、相似三角形性质的应用（求边长）例2：已知△ABC∽△A'B'C'，相似比为公式，若AB = 6，则A'B'的长为多少？解析：1. 因为相似三角形对应边成比例。
设A'B' = 公式。
已知相似比公式。
2. 又已知公式，AB = 6，所以公式。
通过交叉相乘可得：公式。
即公式，解得公式，所以A'B'的长为9。
三、利用相似三角形解决实际问题（测量高度）例3：在同一时刻，身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米，一棵大树的影长为4.8米，求这棵大树的高度。
解析：1. 因为在同一时刻，太阳光下不同物体的高度和影长成正比。
设大树的高度为公式米。
可以得到两个相似三角形，一个是由小强及其影子构成，另一个是由大树及其影子构成。
2. 根据相似三角形的性质，对应边成比例。
则公式。
交叉相乘可得：公式。
计算得公式，解得公式米。
所以这棵大树的高度是9.6米。
九下 相似三角形4种判定方法 知识点+模型+例题+练习 (非常好 分类全面)
①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l 1∥l 2∥l 3。
则，，，…AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EFDF===②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。
③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
○4推论：如果一条直线平行于三角形的一条边，截其它两边(或其延长线)，那么所截得的三角形与原三角形相似．推论○4的基本图形有三种情况，如图其符号语言：∵DE ∥BC ，∴△ABC ∽△ADE ；知识点二、相似三角形的判定判定定理1：两角对应相等，两三角形相似．符号语言：拓展延伸： （1）有一组锐角对应相等的两个直角三角形相似。
（2）顶角或底角对应相等的两个等腰三角形相似。
例题1．如图，直线DE 分别与△ABC 的边AB 、AC 的反向延长线相交于D 、E ，由ED ∥BC 可以推出AD AEBD CE=吗？请说明理由。
（用两种方法说明）例题2．（射影定理）已知：如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于D.求证：（1）2AB BD BC =⋅；（2）2AD BD CD =⋅；（3）CB CD AC ⋅=2例题3．如图，AD 是Rt ΔABC 斜边BC 上的高，DE ⊥DF ，且DE 和DF 分别交AB 、AC 于E 、F.则BDBEAD AF =例题精讲AEDBCABCD吗？说说你的理由.例题4．如图，在平行四边形ABCD 中，已知过点B 作BE ⊥CD 于E,连接AE ，F 为AE 上一点，且∠BFE=∠C（1） 求证：△ABF ∽△EAD ；（2）若AB=4，∠BAE=30°，求AE 的长；3分之8倍根号3 （3）在（1）（2）条件下，若AD=3，求BF 的长。
2分之3倍根号3 随练： 一、选择题1．如图，△ABC 经平移得到△DEF ，AC 、DE 交于点G ，则图中共有相似三角形（ ）D A ． 3对 B ． 4对 C ． 5对 D ． 6对2．如图，已知DE ∥BC ，EF ∥AB ，则下列比例式中错误的是（ ）CADCBEF G F E DCBA。
完整版)相似三角形题型归纳
完整版)相似三角形题型归纳1、在平行四边形ABCD中，点E为对角线AC上的一点，且AE∶EC=1∶3.将BE延长至与CD的延长线交于点G，与AD交于点F。
证明BF∶FG=1∶2.2、在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D为BC的中点，E为AC上的一点。
点G在BE上，连接DG并延长至交AE于点F，且∠FGE=45°。
证明：（1）BD·BC=BG·BE；（2）AG⊥BE；（3）若E为AC的中点，则EF∶FD=1∶2.3、在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，点O是AC边上的一点，连接BO交AD于点F，OE⊥OB交BC边于点E。
证明：（1）△ABF∽△COE；（2）当O为AC的中点时，求△ABC的面积；（3）当O为AC边中点时，求△ABC的面积。
4、在平行四边形ABCD和平行四边形ACED中，点R为DE的中点，BR分别交AC、CD于点P、Q。
写出各对相似三角形（相似比为1除外），并求出BP∶PQ∶QR的值。
5、在△ABC中，AD平分∠BAC，EM为AD的中垂线，交BC延长线于点E。
证明DE=BE·CE。
6、过△ABC的顶点C任作一直线，与边AB及中线AD分别交于点F和E。
证明AE∶ED=2AF∶FB。
7、在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高，点M在CD 上，DH⊥BM且与AC的延长线交于点E。
证明：（1）△AED∽△CBM；（2）DE=DM。
8、在△ABC中，BD、CE分别是两边上的高，过D作DG⊥BC于点G，分别交CE及BA的延长线于点F、H。
证明：（1）DG＝BG·CG；（2）BG·CG＝GF·GH。
9、在平行四边形ABCD中，点P为对角线AC上的一点。
过P的直线与AD、BC、CD的延长线、AB的延长线分别相交于点E、F、G、H。
证明：AG∶GB=CP∶PD。
1、求证：如图，已知平行四边形ABCD中，点P在AC上，点Q在BC上，且AP=CQ。
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【一】知识梳理 【1】比例①定义：四个量a ，b ，c,d 中，其中两个量的比等于另两个量的比，那么这四个量成比例 ②形式：a:b=c ：d,dcb a = ac=bd ③性质：基本性质：4，比例中项：bcc a = ab c =2【2】黄金分割定义：如图点C 是AB 上一点，若BC AB AC •=2，则点C 是AB 的黄金分割点，一条线段的黄金分割点有两个ACAC BC AB AB BC AB AB AC 618.0215382.0253618.0215≈-=≈-=≈-=注意：如图△ABC,∠A=36°，AB=AC ，这是一个黄金三角形，【3】平行线推比例ABAB BC 618.0215≈-=dcb a =注：比例式有顺序性的，比例线段没有负的，比例数有正有负1、可以把比例式与等积式互化.2、可以验证四个量是否成比例 上比全=上比全，下比全=下比全，上比下=上比下，左比右=左比右全比上=全比上,全比下=全比下 下比上=下比上【4】相似三角形1、相似三角形的判定①AA 相似：∵∠A=∠D, ∠B=∠E ∴△ABC ∽△DEF②‘S A S ’ E B EFBCDE AB ∠=∠=,∴△ABC ∽△DEF③‘S S S ’EFBCDF AC DE AB =∴△ABC ∽△DEF ④平行相似: ∵DE ∥BC ∴△ADE ∽△ABC2、相似三角形的性质①相似三角形的对应角相等，对应边成比例②相似三角形的对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比、对应周长的比都等于相似比 ③相似三角形的面积比等于相似比的平方3、相似三角形的常见图形‘A 型图' ‘ X 型图' ‘K 型图’‘母子图’ ‘一般母子图’ AC 2=AD •AB母子图中的射影定理AC 2=AD •AB BC 2=BD •AB CD 2=AD •BD【二】题型1、求线段的比【例题1】如图，直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC 分别交l 1， l 2， l 3于点A,B ，C ；直线DF 分别交l 1, l 2， l 3于点D ，E ，F ．AC 与DF 相较于点H ，且AH=2，HB=1，BC=5则EFDE的值为 【例题2】如图，已知在△ABC 中，点D 、E 、F 分别是边AB 、AC 、BC 上的点,DE ∥BC,EF ∥AB ，且AD ∶DB = 3∶5，那么CF ∶CB 等于（1） （2）【例题3】如图，点D 是△ABC 的边AB 上一点，且AB=3AD ，点P 是△ABC 的外接圆上的一点，且∠ADP=∠ACB 则PB:PD=【例题4】如图，已知AD 为△ABC 的角平分线,DE ∥AB 交AC 于E, 如果AE EC＝23，那么AB AC＝（ ）A ．13B ．23C ．25D ．35(3） （4）【例题5】 已知32==d c ba ,则ba b a 4332-+=32=-a b a ，则ba=【例题6】如图，将矩形纸片ABCD （AD 〉DC ）的一角沿着过点D 的直线折叠，使点A 与BC 边上的点E 重合，折痕交AB 于点F.若BE:EC=m:n ，则AF:FB= 。
中考数学《相似三角形》知识点及练习题
相似三角形一. 知识梳理1.平行线分线段成比例定理定理：两条直线被三条平行线所截，所得的对应线段成比例。
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例。
2.相似三角形定义：三角对应相等、三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。
相似比：相似三角形对应边的比叫做相似比。
3.相似三角形的判定平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所得的三角形与原三角形相似。
两角法：两角分别相等的两个三角形相似。
边角法：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
三边法：三边对应成比例的两个三角形相似。
4.相似三角形的性质①相似三角形的对应角相等，对应边成比例；②相似三角形对应边上高的比，对应边上中线的比与对应角平分线的比都等于相似比；③相似三角形周长的比等于相似比；④相似三角形面积的比等于相似比的平方。
5.位似图形定义：如果两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。
这时的相似比又叫位似比6. 黄金分割：点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC,如果ACBC AB AC =,那么称线段AB 被点C 黄金分割,点C 叫做线段AB 的黄金分割点,AC 与AB 的比叫做黄金比. 1:618.0215:≈-=AB AC 二.课后作业1.下列图形中不一定属于相似形的是( )A.两个圆B.两个等边三角形C.两个正方形D.两个矩形2.如果两个相似三角形的面积比是1∶4，那么它们的周长比是( )A. 1∶16B. 1∶4C. 1∶6D. 1∶23.已知△ABC ∽△DEF ，且AB:DE=1:2，则△ABC 的周长与△DEF 的周长之比( )A.1:2B.1:4C.2:1D.4:14.如图，给出下列条件：其中，不能单独判定△ABC∽△ACD 的条件为( )A.∠B＝∠ACDB.∠ADC＝∠ACBC.AC CD ＝AB BCD.AC AD ＝AB AC5.如图，DE ∥BC ，且AD=2，BD=5，则△ADE 与△ABC 的相似比为( )A.2:5B.5:2C.2:7D.7:26.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD=2，AE=3，BD=4，则AC=( ) A.7 B.8 C.9 D.10 E A D CB A BC DE7.已知△ABC ∽△DEF ，且它们的周长之比为1:2，那么它们的相似比为 。
相似三角形典型模型及例题
1：相似三角形模型一：相似三角形判定的根本模型〔一〕 A 字型、反 A 字型〔斜 A 字型〕〔平行〕〔不平行〕〔二〕 8 字型、反 8 字型AA BBO JC DC D〔蝴蝶型〕〔平行〕〔不平行〕〔三〕母子型〔四〕一线三等角型：三等角型相似三角形是以等腰三角形〔等腰梯形〕或者等边三角形为背景，一个与等腰三角形的底角相等的顶点在底边所在的直线上，角的两边分别与等腰三角形的两边相交如下图：〔五〕一线三直角型：三直角相似可以看着是“一线三等角〞中当角为直角时的特例，三直角型相似通常是以矩形或者正方形形为背景，或者在一条直线上有一个顶点在该直线上移动或者旋转的直角，几种常见的根本图形如下：当题目的条件中只有一个或者两个直角时，就要考虑通过添加辅助线构造完整的三直角型相似，这往往是很多压轴题的突破口，进而将三角型的条件进行转化。
〔六〕双垂型：二：相似三角形判定的变化模型旋转型：由 A 字型旋转得到8 字型拓展AE FGB C共享性一线三等角的变形一线三直角的变形2：相似三角形典型例题〔 1〕母子型相似三角形例 1：如图，梯形ABCD 中， AD ∥ BC，对角线 AC、 BD 交于点 O， BE∥ CD 交 CA 延长线于 E．求证： OC 2OA OE．例 2：：如图，△ABC 中，点 E 在中线 AD 上 ,DEBABC ．求证：〔 1〕DB2DE DA ；〔2〕 DCE DAC ．BDEA C例 3：：如图，等腰△ABC 中， AB＝ AC，AD⊥ BC 于 D， CG∥ AB， BG 分别交 AD 、 AC 于 E、 F．求证： BE 2EF EG ．1、如图，AD 为△ABC 的角平分线， EF 为 AD 的垂直平分线．求证：FD2FB FC．2、： AD 是 Rt△ABC 中∠ A 的平分线，∠ C=90°，EF 是 AD 的垂直平分线交AD 于 M ，EF、BC 的延长线交于一点 N。
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相似三角形知识点与经典题型知识点1 有关相似形的概念(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.(2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多 边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)．知识点2 比例线段的相关概念（1）如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,，那么就说这两条线段的比是nmb a =，或写成n m b a ::=．注：在求线段比时，线段单位要统一。
（2）在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：ad c b=．②()a ca b c d b d==在比例式：：中，a 、d 叫比例外项，b 、c 叫比例内项, a 、c 叫比例前项，b 、d 叫比例后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，即 a b b d =：：那么b 叫做a 、d 的比例中项， 此时有2b ad =。
（3）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =⋅，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 215-=≈0.618AB．即AC BC AB AC ==简记为：12长短＝＝全长注：黄金三角形：顶角是360的等腰三角形。
黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形知识点3 比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0）（1） 基本性质：①bc ad d c b a =⇔=::；②2::a b b c b a c =⇔=⋅．注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bc ad =，除了可化为d c b a ::=，还可化为d b c a ::=，b a d c ::=，c a d b ::=，c d a b ::=，b d a c ::=，a b c d ::=，a c b d ::=．（2） 更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()a bc d a c d cb db a d bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项 （3）反比性质(把比的前项、后项交换)： a c b d b da c=⇔=．（4）合、分比性质：a c abcd b d b d±±=⇔=．注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=dc dc b a b a c cd a a b d c b a 等等．（5）等比性质：如果)0(≠++++====n f d b nm f e d c b a ΛΛ，那么b an f d b m e c a =++++++++ΛΛ．注：①此性质的证明运用了“设k 法”（即引入新的参数k ）这样可以减少未知数的个数，这种方法是有关比例计算变形中一种常用方法．②应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．③可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．如：ba f db ec a f ed c b a fe d c b a =+-+-⇒=--=⇒==32323322；其中032≠+-f d b ． 知识点4 比例线段的有关定理1.三角形中平行线分线段成比例定理:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.由DE ∥BC 可得：ACAEAB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或注：①重要结论：平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边．．．．．．与原三角形三边．．．．．．对应成比例.②三角形中平行线分线段成比例定理的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.③平行线的应用：在证明有关比例线段时，辅助线往往做平行线,但应遵循的原则是不要破坏条件中的两条线段的比及所求的两条线段的比.2.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例. 已知AD ∥BE ∥CF,可得AB DE AB DE BC EF BC EF AB BCBC EF AC DF AB DE AC DF DE EF=====或或或或等.注：平行线分线段成比例定理的推论：平行线等分线段定理：两条直线被三条平行线所截，如果在其中一条上截得的线段相等，那么在另一条上截得的线段也相等。
初中相似三角形基本知识点和经典例题
初中相似三角形基本知识点和经典例题-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN初三相似三角形知识点与经典题型知识点1 有关相似形的概念(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.(2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多 边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)．知识点2 比例线段的相关概念（1）如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,，那么就说这两条线段的比是nmb a =，或写成n m b a ::=．注：在求线段比时，线段单位要统一。
（2）在四条线段dc b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：a d c b =．②()a ca b c d b d==在比例式：：中，a 、d 叫比例外项，b 、c 叫比例内项, a 、c 叫比例前项，b 、d 叫比例后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，即 a b b d =：：那么b 叫做a 、d 的比例中项， 此时有2b ad =。
（3）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =⋅，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 215-=≈0.618AB．即12AC BC AB AC ==简记为：长短＝全长注：黄金三角形：顶角是360的等腰三角形。
黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形知识点3 比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0）（1） 基本性质：①bc ad d c b a =⇔=::；②2::a b b c b a c =⇔=⋅．注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bc ad =，除 了可化为d c b a ::=，还可化为d b c a ::=，b a d c ::=，c a d b ::=，c d a b ::=，b d a c ::=，a b c d ::=，a c b d ::=．（2） 更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()a bc d a c d cb d b a d bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项 （3）反比性质(把比的前项、后项交换)： a c b db d a c=⇔=．（4）合、分比性质：a c a b c db d b d±±=⇔=．注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=d c d c b a b a ccd a a b d c b a 等等．（5）等比性质：如果)0(≠++++====n f d b nm f e d c b a ，那么b an f d b m e c a =++++++++ ．注：①此性质的证明运用了“设k 法”（即引入新的参数k ）这样可以减少未知数的个数，这种方法是有关比例计算变形中一种常用方法．②应用等比性质时，要考虑到分母是否为零． ③可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．如：baf d b e c a f e d c b a f e d c b a =+-+-⇒=--=⇒==32323322；其中032≠+-f d b ． 知识点4 比例线段的有关定理1.三角形中平行线分线段成比例定理:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.由DE ∥BC 可得：ACAEAB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或 注：①重要结论：平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边．．．．．．与原三角形．．．．三边．．对应成比例. ②三角形中平行线分线段成比例定理的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边. 此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.③平行线的应用：在证明有关比例线段时，辅助线往往做平行线,但应遵循的原则是不要破坏条件中的两条线段的比及所求的两条线段的比.2.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,已知AD ∥BE ∥CF,B可得AB DE AB DE BC EF BC EF AB BC BC EF AC DF AB DE AC DF DE EF=====或或或或等.注：平行线分线段成比例定理的推论：平行线等分线段定理：两条直线被三条平行线所截，如果在其中一条上截得的线段相等，那么在另一条上截得的线段也相等。
(完整word版)九年级数学相似三角形知识点及习题
相似三角形要点一、本章的两套定理第一套（比例的有关性质）： b a n d b m c a n d b n m d c b a =++++++⇒≠+++=== :)0(等比性质 涉及概念：①第四比例项②比例中项③比的前项、后项，比的内项、外项④黄金分割等。
二、有关知识点：1.相似三角形定义： 对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。
2.相似三角形的表示方法：用符号“∽”表示，读作“相似于”。
3.相似三角形的相似比： 相似三角形的对应边的比叫做相似比。
4.相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截成的三角形与原三角形相似。
5.相似三角形的判定定理：(1)三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下：类型斜三角形 直角三角形 全等三角形的判定 SASSSS AAS （ASA ） HL 相似三角形的判定 两边对应成比例夹角相等 三边对应成比例 两角对应相等一条直角边与斜边对应成比例 从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边成比例”就可得到相似三角形的判定定理，这就是我们数学中的用类比的方法，在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法。
6.直角三角形相似：(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。
(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
7.相似三角形的性质定理：(1)相似三角形的对应角相等。
(2)相似三角形的对应边成比例。
(3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。
(4)相似三角形的周长比等于相似比。
(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。
8.相似三角形的传递性 如果△ABC ∽△A 1B 1C 1，△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2，那么△ABC ∽A 2B 2C 2三、注意1、相似三角形的基本定理，它是相似三角形的一个判定定理，也是后面学习的相似三角形的判定定理的基础，这个定理确定了相似三角形的两个基本图形“A ”型和“ X ”型。
相似三角形知识点及典型例题
相似三角形知识点及典型例题知识点归纳:1、三角形相似的判定方法（1）定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。
（2 ）平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
（3 ）判定定理1 :如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
简述为：两角对应相等，两三角形相似。
（4 ）判定定理2 :如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。
简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。
（5 ）判定定理3 :如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。
简述为：三边对应成比例，两三角形相似。
（6 ）判定直角三角形相似的方法：①以上各种判定均适用。
②如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
③直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。
#直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
如图，Rt △ABC中，/ BAC=90 °, AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：(1)( AD ) 2=BD DC , (2)( AB ) 2=BD •BC ,典型例题:例1 如图，已知等腰厶ABC 中，AB = AC , AD 丄BC 于D , CG IIAB , BG 分别交 AD , AC 于E 、F ,求证：BE 2= EF EG 证明：如图，连结 EC,V AB = AC , AD 丄BC ,•••/ABC = ZACB , AD 垂直平分 BC•••BE = EC ,/1 =/2 , A /ABC- /1 =/ACB- Z2 ,即/3 =/4，又 CG //AB ,「./G = /3 ,二/4 = /GCE EF又v/CEG = /CEF , •••©EF S /EC , • EG = CE•••EC 2 = EG - EF ,故 EB 2=EF EG【解题技巧点拨】本题必须综合运用等腰三角形的三线合一的性质，线段的垂直平分线的性质和相似三角形的基本图形来得到证明•而其中利用线段的垂直平分线的性质得到 BE=EC ，把原来处在同一条直线上的三条线段 BE , EF , EC 转换到相似三角形的基本图形中是证明本题的关键。
相似三角形的判定+性质+经典例题分析
相似形一一、比例性质1.基本性质:bc ad dcb a =⇔=两外项的积等于两内项积 2.反比性质：cda b d c b a =⇔= 把比的前项、后项交换3.合比性质：ddc b b ad c b a ±=±⇒=分子加减分母;分母不变 ．4.等比性质：分子分母分别相加;比值不变.如果)0(≠++++====n f d b nmf e d c b a ;那么b a n f d b m ec a =++++++++ ． 谈重点：1此性质的证明运用了“设k 法” ;这种方法是有关比例计算;变形中一种常用方法．2应用等比性质时;要考虑到分母是否为零．3可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数;再利用等比性质也成立．5.黄金分割：错误!内容 错误!尺规作图作一条线段的黄金分割点经典例题回顾：例题1．已知a 、b 、c 是非零实数;且k cb a dd a b c d c a b d c b a =++=++=++=++;求k 的值.例题2．已知111x y x y+=+;求y x x y +的值..板块二、新课讲解知识点一、相似形的概念概念：具有相同形状的图形叫相似图形． 谈重点：⑴相似图形强调图形形状相同;与它们的位置、颜色、大小无关． ⑵相似图形不仅仅指平面图形;也包括立体图形相似的情况．⑶我们可以这样理解相似形：两个图形相似;其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的． ⑷若两个图形形状与大小都相同;这时是相似图形的一种特例——全等形．知识点二、平行线分线段成比例定理①定理：三条平行线截两条直线;所得的对应线段成比例;如图：l 1∥l 2∥l 3..则，，，…AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EFDF===②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边或两边的延长线所得的对应线段成比例..③定理：如果一条直线截三角形的两边或两边的延长线所得的对应线段成比例;那么这条直线平行于三角形的第三边..错误!推论：如果一条直线平行于三角形的一条边;截其它两边或其延长线;那么所截得的三角形与原三角形相似．推论错误!的基本图形有三种情况;如图其符号语言：∵DE ∥BC;∴△ABC ∽△ADE ；知识点三、相似三角形的判定判定定理1：两角对应相等;两三角形相似． 符号语言：拓展延伸：1有一组锐角对应相等的两个直角三角形相似.. 2顶角或底角对应相等的两个等腰三角形相似..重难点高效突破例题1．如图;直线DE 分别与△ABC 的边AB 、AC 的反向延长线相交于D 、E;由ED ∥BC 可以推出AD AEBD CE=吗 请说明理由..用两种方法说明例题2．射影定理已知：如图;在△ABC 中;∠BAC=90°;AD ⊥BC 于D.求证：12AB BD BC =⋅；22AD BD CD =⋅；3CB CD AC ⋅=2例题3．如图;AD 是Rt ΔABC 斜边BC 上的高;DE ⊥DF;且DE 和DF 分别交AB 、AC 于E 、F.则BDBEAD AF =吗 说说你的理由.例题精讲AEDBCAB CD例题4．如图;在平行四边形ABCD 中;已知过点B 作BE ⊥CD 于E;连接AE;F 为AE 上一点;且∠BFE=∠C（1） 求证：△ABF ∽△EAD ；（2） 若AB=4;∠BAE=30°;求AE 的长； （3） 在12条件下;若AD=3;求BF 的长..即时训练 一、选择题1．如图;△ABC 经平移得到△DEF;AC 、DE 交于点G;则图中共有相似三角形 A ． 3对 B ． 4对 C ． 5对 D ． 6对2．如图;已知DE ∥BC;EF ∥AB;则下列比例式中错误的是 A ．AC AE AB AD = B ． FB EA CF CE = C ． BD AD BC DE = D ． CB CF AB EF =.3.在矩形ABCD 中;E 、F 分别是CD 、BC 上的点;若∠AEF=90°;则一定有 A ．ΔADE ∽ΔAEF B.ΔECF ∽ΔAEF C.ΔADE ∽ΔECF D.ΔAEF ∽ΔABF4、如图;直线l 1∥l 2;AF ∶FB=2∶3;BC ∶CD=2∶1;则AE ∶EC 是 A.5∶2 B.4∶1 C.2∶1 D.3∶2ADCBEF GFEDCBA1题图 2题图 3题图 4题图5.如图;E 是平行四边形ABCD 的边BC 的延长线上的一点;连结AE 交CD 于F;则图中共有相似三角形 A.1对 B.2对 C.3对 D.4对5题图 6题图 7题图 8题图6.ΔABC 中;DE ∥BC;且AD ∶DB=2∶1;那么DE ∶BC 等于 A.2∶1 B.1∶2 C.2∶3 D.3∶27.如图;P 是Rt ΔABC 的斜边BC 上异于B 、C 的一点;过点P 做直线截ΔABC;使截得的三角形与ΔABC 相似;满足这样条件的直线共有 A.1条 B.2条 C.3条 D.4条8.如图;已知DE ∥BC;EF ∥AB;则下列比例式中错误的是 A.AC AE AB AD = B.FB EA CF CE = C.BDAD BC DE = D.CB CFAB EF =9.下列说法：其中正确的是①所有的等腰三角形都相似；②所有的等边三角形都相似； ③所有等腰直角三角形都相似；④所有的直角三角形都相似. A.①② B.③④ C.①④ D.②③ 二、解答题1、如图;ΔABC 中;BD 是角平分线;过D 作DE ∥AB 交BC 于点E;AB=5cm;BE=3cm;求EC 的长.2.如图;在梯形ABCD 中;AD ⊥BC;∠BAD=90°;对角线BD ⊥DC. 1ΔABC 与ΔDCB 相似吗 请说明理由. 2如果AD=4;BC=9;求BD 的长.3.已知：如图;在正方形ABCD 中;P 是BC 上的点;且BP=3PC; Q 是CD 的中点.ΔADQ 与ΔQCP 是否相似 为什么4.如图;已知AD 为△ABC 的角平分线;AD 的垂直平分线交BC 的延长线于点E;交AB 与F;试判定△BAE 与△ACE 是否相似;并说明理由..5.如图;在矩形ABCD 中;AB=5cm;BC=10cm;动点P 在AB 边上由A 向B 作匀速运动;1分钟可到达B 点；动点Q 在BC 边上由B 向C 作匀速运动;1分钟可到达C 点;若P 、Q 两点同时出发;问经过多长时间;恰好有PQ ⊥BDA BEFQ P DC B AABC DDABCDABCEA BCD E6.已知：如图所示;D 是AC 上一点;BE ∥AC;AE 分别交BD 、BC 于点F 、G;∠1=∠2.则BF 是FG 、EF 的比例中项吗 请说明理由.7.如图;CD 是Rt ΔABC 的斜边AB 上的高;∠BAC 的平分线分别交BC 、CD 于点E 、F. AC •AE=AF •AB 吗 说明理由.相似形二板块二、新课讲解知识点1．相似三角形的判定判定定理2：两边对应成比例且夹角相等;两三角形相似．判定定理3：三边对应成比例;两三角形相似．知识点2．直角三角形相似的判定 在直角三角形中;斜边和一条直角边对应成比例;两直角三角形相似．知识点3． 相似三角形中的基本图形AB C D EA 型;X 型 交错型 旋转型 母子形重难点高效突破例题1．如图在4×4的正方形方格中;△ABC 和△DEF 的顶点都在长为1的小正方形顶点上．1填空：∠ABC=______;BC=_______． 2判定△ABC 与△DEF 是否相似 并说明理由..例题2. 如图;在△ABC 中;已知BD 、CE 是△ABC 的高;求证：△ADE ∽△ABC..例题3．如图;已知AB ⊥BD;CD ⊥BD;AB=6cm;CD=4cm;BD=14cm;点P 在BD 上由B 点向D 点移动;当BP 等于多少时;△ABP 与△CPD 相似例题4.已知：如图;在△ABC 中;∠C ＝90°;P 是AB 上一点;且点P 不与点A 重合;过点P 作PE ⊥AB 交AC 于E ;点E 不与点C 重合;若AB ＝10;AC ＝8;设AP ＝x ;四边形PECB 的周长为y ;求y 与x 的函数关系式．例题精讲A BCD EABDCP例题5．在三角形ABC 中;AB=AC;AD ⊥BC 于点D;DE ⊥AC 于点E;M 为DE 的中点;AM 与BE 相交于点N;延长AM 交BC 于点G;AD 与BE 相交于点F; 求证：1DE AD =CECD;（2）△BCE ∽△ADM ； 3AM ⊥BE.随堂演练 A 组1．下列命题中正确的是①三边对应成比例的两个三角形相似 ②二边对应成比例且一个角对应相等的两个三角形相似 ③一个锐角对应相等的两个直角三角形相似 ④一个角对应相等的两个等腰三角形相似 A 、①③ B 、①④ C 、①②④ D 、①③④2．如图;D 、E 分别是AB 、AC 上两点;CD 与BE 相交于点O;下列条件中不能使ΔABE 和ΔACD 相似的是A. ∠B=∠CB. ∠ADC=∠AEBC. BE=CD;AB=ACD. AD ∶AC=AE ∶AB3．如图;在正方形网格上有6个斜三角形：①ΔABC;②ΔBCD;③ΔBDE;④ΔBFG;⑤ΔFGH;⑥ΔEFK.其中②～⑥中;与三角形①相似的是A ②③④B ③④⑤C ④⑤⑥D ②③⑥ 4．如图;DE 与BC 不平行;当ACAB= 时;ΔABC 与ΔADE 相似.. 5．如图;平行四边形 ABCD 中;AB=10;AD=6;E 是AD 的中点;在AB 上取一点F;使△CBF•∽△CDE;则BF 的长是 ．A ．5B ．8.2C ．6.4D ．1.8M N F ABCDEG3题图 4题图 5题图5．如图;四边形ABCD 是平行四边形;AE ⊥BC 于E;AF ⊥CD 于F.1ΔABE 与ΔADF 相似吗 说明理由. 2ΔAEF 与ΔABC 相似吗 说说你的理由.6．已知：如图;在正方形ABCD 中;P 是BC 上的点;且BP=3PC;Q 是CD 的中点.ΔADQ 与ΔQCP 是否相似 为什么7．如图;在正方形ABCD 中;E 为AD 的中点;EF ⊥EC 交AB 于F;连接FC (),AE AB >△AEF ∽△EFC 吗若相似;请证明；若不相似;请说明理由..若ABCD 为矩形呢板块三、课后作业1．如图;正方形ABCD 中;点E;F 分别为AB;BC 的中点;AF 与DE 相交于点O;则AODO等于 ． A ．13 B ．255C ．23D ．122．如图;直线EF 交AB 、AC 于点F 、E;交BC 的延长线于点D;AC ⊥BC;已知AB CD=DE AC ⋅⋅;求证：AE CE=DE EF ⋅⋅6．已知D 是BC 边延长线上的一点;BC ＝3CD ;DF 交AC 边于E 点;且AE ＝2EC ．试求AF 与FB 的比．7．已知：如图;在△ABC 中;∠BAC ＝90°;AH ⊥BC 于H ;以AB 和AC 为边在Rt △ABC 外作等边△ABD 和△ACE ;试判断△BDH 与△AEH 是否相似;并说明理由．相似三角形的性质及其应用板块二、新课讲解知识要点：相似三角形的性质①相似三角形的对应角相等;对应边成比例．②相似三角形对应高的比;对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． ③相似三角形周长的比等于相似比．④相似三角形面积的比等于相似比的平方．FABCDE重难点高效突破 例题1.1两个相似三角形的面积比为21:s s ;与它们对应高之比21:h h 之间的关系为_______ 2如图;已知D E ∥BC;CD 和BE 相交于O;若16:9:=∆∆COB ABC S S ;则AD:DB=_________3如图;已知AB ∥CD;BO:OC=1:4;点E 、F 分别是OC;OD 的中点;则EF:AB 的值为 4如图;已知DE ∥FG ∥BC;且AD:FD:FB=1:2:3;则) (S ::FBCG DFGE =∆四边形四边形S S ABCA.1:9:36B.1:4:9C.1:8:27D.1:8:36(5)梯形ABCD 中;AD ∥BC;AD<BC;AC 、BD 交于点O;若ABCD OAB S S ∆∆=256;则△AOD 与△BOC 的周长之比为__________..例题2.如图;在△ABC 中;DE ∥BC;且S △ADE :S 四边形BCED ＝1:2;BC ＝26..求DE 的长..例题3. 如图所示;已知DE ∥BC;且与△ABC 的边CA 、BA 的延长线分别相交于点D 、E;F 、G 分别在边AB 、AC 上;且AF ：FB=AG ：GC;求证：△AFG ∽△AED..A BCD E BC D E A O 2题图3题图 C E FOBA D 4题图B G FE D A C 5题图 CA ’ DD ’ C ’B ’ B A OBC DA例题4. 如图;矩形EFGH 内接于△ABC;AD ⊥BC 于点D;交EH 于点M;BC ＝20㎝;AM ＝8㎝; S △ABC ＝100㎝2..求矩形EFGH 的面积..例题5.△ABC 中;D 为AB 上一点;若∠ABC=∠ACD;AD=8㎝;DB=6㎝;求AC 的长..例题6.已知;如图△ABC 中;∠BAC=900;AB=AC=1;D 为BC 上一动点不与B;C 重合;∠ADE=45°（1）求证△ABD ∽△DCE（2）设BD=x;AE=y;求y 与x 的函数关系式 3若△ADE 为等腰直角三角形时;求AE 的长例题7、如图;在等腰梯形ABCD 中;AD ∥BC;AD=3㎝;BC=7㎝;∠B=60°;P 为下底BC 上一点不与B 、C 重合;连结AP;过P 点作PE 交DC 于E;使得∠APE=∠B.ABCD EF MH GPABCD1求证：△ABP ∽△PCE ； 2求等腰梯形的腰AB 的长；3在底边BC 上是否存在一点P;使得DE ∶EC=5∶3;如果存在;求出BP 的长;如果不存在;请说明理由.随堂演练A 组1.两个相似三角形的面积比为4：9;那么它们周长的比为__________.2．若x ：y ：z=3：5：7;3x ＋2y －4z ＝9则x ＋y ＋z 的值为____________. 3.如图;∠APD ＝90°;AP ＝PB ＝BC ＝CD;则下列结论成立的是 A .ΔPAB ∽ΔPCA B.ΔPAB ∽ΔPDA C .ΔABC ∽ΔDBA D.ΔABC ∽ΔDCA第3题4.如图;D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 上的点;∠1＝∠B;AE ＝EC ＝4;BC ＝10;AB ＝12;则△ADE 的周长为_______5．某学生利用树影测松树的高度;他在某一时刻测得1．5米长的竹竿影长0．9米;但当他马上测松树高度时;因松树靠近一幢高楼;影子不是全部在地面上;有一部分影子落在墙上;他测得留在地面部分的影长是2．4米;留在墙上部分的影高是1.5米;则松树的高度为________米6.如图;C 为线段AB 上的一点;△ACM 、△CBN 都是等边三角形;若AC ＝3;BC ＝2;则△MCD 与60°AE第7题图PD CBABCDMN 第6题 ADE 1BC第4题△BND 的面积比为 ..7．如图;在梯形ABCD 中;AD ∥BC;AC 、BD 交于O 点;S △AOD :S △COB ＝1:9;则S △DOC :S △BOC ＝板块三、课后作业1.已知：如图;△ABC 中;∠A ＝36°;AB ＝AC ;BD 是角平分线． 1求证：AD 2＝CD ·AC ； 2若AC ＝a ;求AD ．2．已知：如图;□ABCD 中;E 是BC 边上一点;且AE BD EC BE ,,21相交于F 点． 1求△BEF 的周长与△AFD 的周长之比；2若△BEF 的面积S △BEF ＝6cm 2;求△AFD 的面积S △AFD ．3．已知：如图;Rt △ABC 中;AC ＝4;BC ＝3;DE ∥AB ．1当△CDE 的面积与四边形DABE 的面积相等时;求CD 的长； 2当△CDE 的周长与四边形DABE 的周长相等时;求CD 的长．。
相似三角形中考考点归纳与典型例题
相似三角形中考考点归纳与典型例题相似三角形是初中数学中常出现的重要概念，它是几何学中研究两个三角形之间形状关系的一个重要内容。
掌握相似三角形的性质和应用是解决几何问题的基础。
相似三角形的重要性质：1. 定义：如果两个三角形的对应角相等，对应边成比例，则它们是相似三角形。
记作ΔABC ~ ΔDEF。
其中A、B、C是ΔABC的顶点，D、E、F是ΔDEF的顶点。
2. 判定定理：(1) AA相似定理：如果两个三角形的两个对应角相等，则它们是相似的。
(2) AAA相似定理：如果两个三角形的三个对应角相等，则它们是相似的。
3. 边比例关系：相似三角形的对应边成比例。
即对于ΔABC ~ΔDEF，有AB/DE = BC/EF = AC/DF。
4. 高比例关系：相似三角形的高线成比例。
即对于ΔABC ~ΔDEF，有h1/h2 = AB/DE = BC/EF = AC/DF。
5. 相似三角形的性质：(1) 对应角相等，即∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。
(2) 对应边成比例，即AB/DE = BC/EF = AC/DF。
(3) 相似三角形的顶角相等，边比例相等，它们的面积比例也相等。
(4) 相似三角形的高线间成比例。
相似三角形的典型例题：例题1：如图，在直角三角形ABC中，∠B = 90°，BM是AC的中线，求比值AB/BC。
解：由与直角三角形的垂直关系可知∠A = ∠CBM，∠C = ∠ABM。
所以∠ABC ~ ∠CBM。
根据相似三角形的性质可得AB/BC = CB/BM = 2/1，即AB/BC = 2。
例题2：如图，上底AE = 4cm，下底BC = 8cm，连结CD，且CD = AE，点F是AE的中点，连接BF，求比值∠AFB/∠ACD。
解：由AE = CD可得∠A = ∠C。
又由BF = FE可得∠B = ∠AFE。
所以∠AFB ~ ∠ACD。
根据相似三角形的性质可得∠AFB/∠ACD = AB/AD= BC/CD = 2。
第27章相似三角形知识点总结及典型题目精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版相似三角形知识点总结1. 比例线段的有关概念：b、d叫后项，d叫第四比例项，如果b=c，那么b叫做a、d的比例中项。
把线段AB分成两条线段AC和BC，使AC2=AB·BC，叫做把线段AB黄金分割，C叫做线段AB的黄金分割点。
2. 比例性质：3. 平行线分线段成比例定理：①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l1∥l2∥l3。
②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。
③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
4. 相似三角形的判定：①两角对应相等，两个三角形相似②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似③三边对应成比例，两三角形相似④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角形相似⑤平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似⑥直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似5. 相似三角形的性质①相似三角形的对应角相等②相似三角形的对应边成比例③相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比 ④相似三角形周长的比等于相似比⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方一．选择题：1、下列各组数中，成比例的是（ ）A ．－7，－5，14，5B ．－6，－8，3，4C ．3，5，9，12D ．2，3，6，122、如果x:(x+y)＝3:5，那么x:y ＝( )A. B. C. D. 3、如图，F 是平行四边形ABCD 对角线BD 上的点，BF ∶FD=1∶3，则BE ∶EC=（ ） A 、21 B 、31 C 、32 D 、41 4、下列说法中，错误的是（ ）（A ）两个全等三角形一定是相似形 （B ）两个等腰三角形一定相似 （C ）两个等边三角形一定相似 （D ）两个等腰直角三角形一定相似5、如图，RtΔABC 中，∠C＝90°，D 是AC 边上一点，AB ＝5，AC ＝4，若ΔABC∽ΔBDC，则CD ＝ ． A ．2 B ．32 C ．43 D ．94二、填空题6、已知a ＝4，b ＝9，c 是a b 、的比例中项，则c ＝ ．7、如图，要使ΔABC∽ΔACD，需补充的条件是 ．（只要写出一种）8、如图，小东设计两个直角，来测量河宽DE ，他量得AD ＝2m ，BD ＝3m ，CE ＝9m ，则河宽DE 为ABCD（第7题）238332589、一公园占地面积约为8000002m ，若按比例尺1∶2000缩小后，其面积约为 2m ．10、如图，点P 是R tΔABC 斜边AB 上的任意一点（A 、B 两点除外）过点P 作一条直线，使截得的三角形与RtΔABC 相似，这样的直线可以作 条． 三、解答题11、如图18—95，AB 是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚B 距墙80cm ，梯上点D 距墙70cm ，BD 长55cm ．求梯子的长．12、如图，已知AC⊥AB，BD⊥AB，AO ＝78cm ，BO ＝42cm ，CD ＝159cm ，求CO 和DO ．13、如图，在正方形网格上有111C B A ∆∽222A C B ∆，这两个三角形相似吗?如果相似，求出222111A C B A C B ∆∆和的面积比．CBAP（第10题）14、已知：如图，在△ABC 中，点D 、E 、F 分别在AC 、AB 、BC 边上，且四边形CDEF 是正方形，AC ＝3，BC ＝2，求△ADE、△EFB、△ACB 的周长之比和面积之比．15、如图所示,梯形ABCD 中,AD∥BC,∠A=90°,AB=7,AD=2,BC=3,试在腰AB 上确定点P 的位置,使得以P,A,D 为顶点的三角形与以P,B,C 为顶点的三角形相似.16、如图,□ABCD 中,:2:3AE EB =,DE 交AC 于F . (1)求AEF ∆与CDF ∆周长之比；(2)如果CDF ∆的面积为220cm ,求AEF ∆的面积.PAB DCABECDF。
相似三角形经典例题
相似三角形经典例题一、相似三角形概念相似三角形指的是有着相同形状但大小不同的三角形，即它们的对应角度相等而对应边长成比例。
根据这个概念，我们可以得出相似三角形的性质：1.对应角相等。
2.对应边成比例。
3.对应边比例相等的两个三角形面积成比例。
二、相似三角形的判定方法1.判定法一：AA判定法如果两个三角形的两个对应角分别相等，那么这两个三角形是相似的。
例如：在三角形ABC和三角形XYZ中，∠A=∠X，∠B=∠Y，那么这两个三角形相似。
2.判定法二：SAS判定法如果两个三角形的一个角相等，另外两边分别成比例，那么这两个三角形是相似的。
例如：在三角形ABC和三角形XYZ中，∠A=∠X，AB/XY=BC/YZ，那么这两个三角形相似。
3.判定法三：SSS判定法如果两个三角形的三边分别成比例，那么这两个三角形是相似的。
例如：在三角形ABC和三角形XYZ中，AB/XY=BC/YZ=AC/XZ，那么这两个三角形相似。
三、相似三角形的性质1.相似三角形的对应角相等。
2.相似三角形的对应边成比例。
3.相似三角形的对应边比例相等的两个三角形面积成比例。
4.在一个三角形中，如果一条直线平行于一个边，将这个三角形分成两个相似的三角形。
5.在一个平面内，如果两条平行线分别与这个平面中的两个交点连接，得到的四边形中，两个三角形相似。
四、相似三角形的应用1.求解三角形的面积。
如果知道两个相似三角形的对应边比例以及其中一个三角形的面积，就可以求解另一个三角形的面积。
2.在建模中使用。
例如：建造模型时，如果需要制作大小不同的三角形，可以使用相似三角形的性质来实现。
3.解决实际问题。
例如：在实际应用中，通过测量相似三角形的一组对应边长及其面积，可以推断出另一组对应边长和面积，从而实现解决实际问题的目的。
五、相似三角形经典例题1.已知三角形ABC中，∠A=40°，∠C=70°，AD是BC的中线，求BD。
解：首先可以用角度求出∠B=70°，所以∆ABD和∆ACD相似。
相似三角形(含练习有答案、 例题和知识点)
第27章：相似一、基础知识(一).比例1.第四比例项、比例中项、比例线段；2.比例性质：（1）基本性质：（2）合比定理：（3）等比定理：3.黄金分割：如图，若，则点P为线段AB的黄金分割点．4．平行线分线段成比例定理(二)相似1.定义:我们把具有相同形状的图形称为相似形.2.相似多边形的特性:相似多边的对应边成比例,对应角相等.3.相似三角形的判定（1）平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
（2）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
（3）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
（4）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
4.相似三角形的性质（1）对应边的比相等，对应角相等.（2）相似三角形的周长比等于相似比.（3）相似三角形的面积比等于相似比的平方.（4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比.5.三角形中位线定义:连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.三角形中位线性质: 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
6.梯形的中位线定义：梯形两腰中点连线叫做梯形的中位线.梯形的中位线性质: 梯形的中位线平行于两底并且等于两底和的一半.7.相似三角形的应用:１、利用三角形相似，可证明角相等；线段成比例（或等积式）；２、利用三角形相似，求线段的长等3、利用三角形相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度。
如求河的宽度、求建筑物的高度等。
(三)位似:位似:如果两个图形不仅是相似图形，而且是每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形。
这个点叫做位似中心.这时的相似比又称为位似比.位似性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似位似比二、经典例题例1.如图在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在长为1的小正方形顶点上．（1）填空：∠ABC=______，BC=_______．（2）判定△ABC与△DEF是否相似？[考点透视]本例主要是考查相似的判定及从图中获取信息的能力.[参考答案] ①135°，2 ②能判断△ABC与△DEF相似，∵∠ABC=∠DEF=135°，=【点评】注意从图中提取有效信息，再用两对应边的比相等且它们两夹角相等来判断．例2. 如图所示，D、E两点分别在△ABC两条边上，且DE与BC不平行，请填上一个你认为适合的条件_________，使得△ADE∽△ABC．[考点透视]本例主要是考查相似的判定[参考答案] ∠1=∠B或∠2=∠C，或点评：结合判定方法补充条件．例3. 如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走2米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度等于（ ）A．4.5米 B．6米 C．7.2米 D．8米[考点透视]本例主要是考查相似的应用[参考答案] B【点评】在解答相似三角形的有关问题时，遇到有公共边的两对相似三角形，往往会用到中介比，它是解题的桥梁，如该题中“”．例4. 如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？[考点透视]本例主要是考查相似的实际应用[参考答案] 48mm【点评】解决有关三角形的内接正方形（或矩形）的计算问题，一般运用相似三角形“对应高之比等于相似比”这一性质来解答．例5.如图所示，在△ABC中，AB=AC=1，点D、E在直线BC上运动，设BD=x，CE=y．（1）如果∠BAC=30°，∠DAE=105°，试确定y与x之间的函数关系式；（2）如果∠BAC的度数为α，∠DAE的度数为β，当α、β满足怎样的关系式时，（1）中y与x之间的函数关系式还成立，试说明理由．[考点透视]本例主要是考查相似与函数的综合运用.[参考答案]解:在△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=30°，∠ABC=∠ACB=75°，∠ABD=∠ACE=105°．又∠DAE=105°，∴∠DAB+∠CAE=75°．又∠DAB+∠ADB=∠ABC=75°，∴∠CAE=∠ADB，∴△ADB∽△EAC，∴，∴y=．当α1β满足β- =90°，y=仍成立．此时∠DAB+∠CAE=β-α，∴∠DAB+∠ADB=β-α，∴∠CAE=∠ADB．又∵∠ABD=∠ACE，∴△ADB∽△EAC，∴y=．【点评】确定两线段间的函数关系，可利用线段成比例、找相等关系转化为函数关系．例6. 一般的室外放映的电影胶片上每一个图片的规格为：3.5cm×3.5cm，放映的荧屏的规格为2m×2m，若放映机的光源距胶片20cm时，问荧屏应拉在离镜头多远的地方，放映的图象刚好布满整个荧屏？解析：胶片上的图象和荧屏上的图象是位似的，镜头就相当于位似中心，因此本题可以转化为位似问题解答．[考点透视]本例主要是考查位似的性质.[参考答案] m【点评】位似图形是特殊位置上的相似图形，因此位似图形具有相似图形的所有性质．三．适时训练（一）精心选一选1．梯形两底分别为m、n，过梯形的对角线的交点，引平行于底边的直线被两腰所截得的线段长为（ ）（A） （B） （C） （D）2．如图，在正三角形ABC中，D，E分别在AC，AB上，且＝，AE＝BE，则（ ）（A）△AED∽△BED（B）△AED∽△CBD（C）△AED∽△ABD（D）△BAD∽△BCD题2 题4 题53．P是Rt△ABC斜边BC上异于B、C的一点，过点P作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，满足这样条件的直线共有（ ）（A）1条 （B）2条 （C）3条 （D）4条4．如图，∠ABD＝∠ACD，图中相似三角形的对数是（ ）（A）2 （B）3 （C）4 （D）55．如图，ABCD是正方形，E是CD的中点，P是BC边上的一点，下列条件中，不能推出△ABP与△ECP相似的是（ ）（A）∠APB＝∠EPC （B）∠APE＝90°（C）P是BC的中点（D）BP ︰BC＝2︰36．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，且有下列条件：（1）∠B＋∠DAC＝90°；（2）∠B＝∠DAC；（3）＝；（4）AB2＝BD·BC其中一定能够判定△ABC是直角三角形的共有（ ）（A）3个 （B）2个 （C）1个 （D）0个题6 题7 题87．如图，将△ADE绕正方形ABCD顶点A顺时针旋转90°，得△ABF，连结EF交AB于H，则下列结论中错误的是（ ）（A）AE⊥AF （B）EF︰AF＝︰1（C）AF2＝FH·FE （D）FB ︰FC＝HB︰EC8．如图，在矩形ABCD中，点E是AD上任意一点，则有（ ）（A）△ABE的周长＋△CDE的周长＝△BCE的周长（B）△ABE的面积＋△CDE的面积＝△BCE的面积（C）△ABE∽△DEC（D）△ABE∽△EBC9．如图，在□ABCD中，E为AD上一点，DE︰CE＝2︰3，连结AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则S△DEF︰S△EBF︰S△ABF等于（ ）（A）4︰10︰25 （B）4︰9︰25 （C）2︰3︰5 （D）2︰5︰25题9 题10 题1110．如图，直线a∥b，AF︰FB＝3︰5，BC︰CD＝3︰1，则AE︰EC为（ ）．（A）5︰12 （B）9︰5 （C）12︰5 （D）3︰2 11．如图，在△ABC中，M是AC边中点，E是AB上一点，且AE＝AB，连结EM并延长，交BC的延长线于D，此时BC︰CD为（ ）（A）2︰1 （B）3︰2 （C）3︰1 （D）5︰212．如图，矩形纸片ABCD的长AD＝9 cm，宽AB＝3 cm，将其折叠，使点D与点B重合，那么折叠后DE的长和折痕EF的长分别为（ ）（A）4 cm、cm （B）5 cm、cm（C）4 cm、2 cm （D）5 cm、2 cm题12（二）细心填一填13．已知线段a＝6 cm，b＝2 cm，则a、b、a＋b的第四比例项是_____cm，a＋b与a－b的比例中项是_____cm．14．若＝＝＝－m2，则m＝______．15．如图，在△ABC中，AB＝AC＝27，D在AC上，且BD＝BC＝18，DE∥BC交AB于E，则DE＝_______．16．如图，□ABCD中，E是AB中点，F在AD上，且AF＝FD，EF交AC于G，则AG︰AC＝______．题16 题17 题1817．如图，AB∥CD，图中共有____对相似三角形．18．如图，已知△ABC，P是AB上一点，连结CP，要使△ACP∽△ABC，只需添加条件______（只要写出一种合适的条件）．19．如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC，EF∥BC，AB＝15，AF ＝4，则DE的长等于________．题19 题20 题2120．如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，AE＝EC，AD＝18，BE ＝15，则△ABC的面积是______．21．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥AB，AD＝8，BC＝10，则梯形ABCD面积是_________．22．如图，已知AD∥EF∥BC，且AE＝2EB，AD＝8 cm，AD＝8 cm，BC＝14 cm，则S梯形AEFD︰S梯形BCFE＝____________．(三)认真答一答23.方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形．请你在图示的10×10的方格纸中，画出两个相似但不全等的格点三角形，并加以证明（要求所画三角形是钝角三角形，并标明相应字母）．24.如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E为BC中点，延长AC、DE相交于点F，求证＝．25.如图，在△ABC中，AB＝AC，延长BC至D，使得CD＝BC，CE⊥BD交AD于E，连结BE交AC于F，求证AF＝FC．26.已知：如图，F是四边形ABCD对角线AC上一点，EF∥BC，FG∥AD．求证：＋＝1．27.如图，BD、CE分别是△ABC的两边上的高，过D作DG⊥BC于G，分别交CE及BA的延长线于F、H，求证：（1）DG2＝BG·CG；（2）BG·CG＝GF·GH．28.如图，∠ABC＝∠CDB＝90°，AC＝a，BC＝b．（1）当BD与a、b之间满足怎样的关系时，△ABC∽△CDB？（2）过A作BD的垂线，与DB的延长线交于点E，若△ABC∽△CDB．求证四边形AEDC为矩形（自己完成图形）．29.如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，连结FC（AB＞AE）．（1）△AEF与△EFC是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；（2）设＝k，是否存在这样的k值，使得△AEF∽△BFC，若存在，证明你的结论并求出k的值；若不存在，说明理由．30.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6 cm，CA＝8 cm，动点PC出发，以每秒2 cm的速度沿CA、AB运动到点B，则从C点出发多少秒时，可使S△BCP＝S△ABC31. 如图，小华家（点A处）和公路（L）之间竖立着一块35m长且平 行于公路的巨型广告牌（DE）．广告牌挡住了小华的视线，请在图中画出视点A的盲区，并将盲区内的那段公路设为BC．一辆以60km/h匀速行驶的汽车经过公路段BC的时间是3s，已知广告牌和公路的距离是40m，求小华家到公路的距离（精确到1m）．32. 某老师上完“三角形相似的判定”后，出了如下一道思考题：如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于O，试问：△AOB和△DOC是否相似？某学生对上题作如下解答：答：△AOB∽△DOC．理由如下：在△AOB和△DOC中，∵AD∥BC，∴，∵∠AOB=∠DOC，∴△AOB∽△DOC．请你回答，该学生的解答是否正确？如果正确，请在每一步后面写出根据；如果不正确，请简要说明理由．33. 如图：四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，①过C作对角线BD的垂线交BD、AD于点E、F，求证：；②如图：若过BD上另一点E作BD的垂线交BA、BC延长线于F、G，又有什么结论呢？你会证明吗？34.阳光通过窗口照射到室内,在地面上留下2.7m宽的亮区(如图所示),已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m,窗口高AB=1.8m,求窗口底边离地面的高BC.35. （1）如图一，等边△ABC中，D是AB上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连结AE。
相似三角形基本知识点+经典例题(完美打印版)
相似三角形基本知识点+经典例题(完美打印版)相似三角形基本知识点+经典例题一、相似三角形的定义和性质相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。
它们的对应角度相等，对应边长成比例。
以下是相似三角形的基本知识点和性质：1. 相似三角形的定义：如果两个三角形对应角相等，且对应边成比例，则它们是相似三角形。
2. 相似三角形的性质：a. 对应角相等：两个相似三角形的对应角是相等的。
b. 对应边成比例：两个相似三角形的对应边的比值相等。
3. 相似三角形的判定条件：a. AA判定：如果两个三角形的两对对应角相等，则它们是相似三角形。
b. AAA判定：如果两个三角形的对应角相等，则它们是相似三角形。
二、相似三角形的比例关系相似三角形的对应边长之间存在一定的比例关系。
如果两个三角形是相似的，则对应边的比值相等。
以∆ABC∼∆DEF为例，A与D为对应顶角，AB与DE、BC与EF、AC与DF分别为对应边长。
则有以下比例关系：AB/DE = BC/EF = AC/DF三、相似三角形的应用相似三角形在几何学中有广泛的应用，下面通过一些经典例题来进一步了解相似三角形的应用。
例题一：已知∆ABC与∆DBC是相似三角形，AB = 3cm, BC = 4cm, AC = 5cm, DB = 2cm，求DC的长度。
解析：根据相似三角形的性质，可以得到以下比例关系：AB/DB = AC/DC3/2 = 5/DCDC = 10/5 = 2cm因此，DC的长度为2cm。
例题二：在平行四边形ABCD中，∠B的度数是∠D的度数的2倍。
若AB= 10cm，BC = 15cm，求AD的长度。
解析：由于ABCD是平行四边形，所以∠B = ∠D。
根据题目条件可得：∠B = 2∠D∠B + ∠D = 180°（平行四边形的内角和为180°）将∠B代入上式得：2∠D + ∠D = 180°3∠D = 180°∠D = 60°由相似三角形的性质可得AB/AD = BC/CD，代入已知值可得：10/AD = 15/CD将CD表示为AD的式子，并代入已知条件可得：10/AD = 15/(2AD)10AD = 30AD = 3cm因此，AD的长度为3cm。
相似三角形中考复习(知识点+题型分类练习)
相似三角形一、知识概述1.平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其它直线上截得的线段也相等。
2.平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
３.相似三角形的定义对应边成比例、对应角相等的两个三角形叫做相似三角形.４．相似三角形的基本性质①相似三角形的对应边成比例、对应角相等.②相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。
③相似三角形的周长比等于相似比④面积比等于相似比的平方温馨提示：①全等三角形一定是相似三角形,其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例.其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．②相似比具有顺序性．例如△ABC∽△A′B′Ｃ′的对应边的比,即相似比为k，则△Ａ′B′Ｃ′∽△ＡBＣ的相似比，当且仅当它们全等时,才有k＝ｋ′＝1.③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数,这一点借助相似三角形可观察得出．5. 相似三角形的判定定理①平行于三角形一边的直线和其他两边或其延长线相交，所得的三角形与原三角形相似；②三边对应成比例的两个三角形相似;③两角对应相等的两个三角形相似;④两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。
温馨提示：（１)判定三角形相似的几条思路：①条件中若有平行,可采用判定定理1；②条件中若有一对角相等(包括隐含的公共角或对顶角),可再找一对角相等或找夹边对应成比例；③条件中若有两边对应成比例,可找夹角相等;但是，在选择利用判定定理２时，一对对应角相等必须是成比例两边的夹角对应相等.④条件中若有等腰关系，可找顶角相等或底角相等,也可找腰和底对应成比例。
（2）在综合题中,注意相似知识的灵活运用，并熟练掌握线段代换、等比代换、等量代换技巧的应用,培养综合运用知识的能力。
(3）运用相似的知识解决一些实际问题，要能够在理解题意的基础上，把它转化为纯数学知识的问题，要注意培养当数学建模的思想。
初三相似三角形知识点以及经典例题
相似三角形知识点以及典例知识点1 有关相似形的概念(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.(2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)．知识点2 比例线段的相关概念（1）在四条线段中，如果a 和b 的比等于c 和d 的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简,,,a b c d ,,,a b c d 称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说是的第四比例项，那么应得比例式为：a d c b ,,a d c b =②在比例式中，a 、d 叫比例外项，b 、c 叫比例内项, a 、c 叫比例前项，b 、d 叫(::)a c a b c d b d==比例后项,如果b=c ，即 那么b 叫做a 、d 的比例中项， 此时有。
a b b d =：：2b ad =知识点3 比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0）（1） 基本性质：①；②．bc ad d c b a =⇔=::2::a b b c b a c =⇔=⋅注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如，除了可化为bc ad =等。
d c b a ::=（2） 更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()a b c d a c d c b d ba dbc a ⎧=⎪⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪=⎪⎩（3）反比性质(把比的前项、后项交换)： ．a c b d b d a c=⇔=（4）合、分比性质：．a c a b c d b d b d ±±=⇔=典型例题：例题1：已知线段a ＝6 cm ，b ＝2 cm ，则a 、b 、a ＋b 的第四比例项是________cm ，a ＋b 与a －b 的比例中项是_________cm ．例题2：若＝＝＝－m 2，则m ＝______．c b a +a c b +bc a +知识点4 比例线段的有关定理1.三角形中平行线分线段成比例定理:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.重要结论：平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例.(相似)2.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例. 知识点5 相似三角形的概念对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于” ．相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)．相似三角形对应角相等，对应边成比例．注：①对应性：即两个三角形相似时，一定要把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边． ②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的．知识点6 三角形相似的等价关系与三角形相似的判定定理的预备定理(1)相似三角形的等价关系：①反身性：对于任一有∽．ABC ∆ABC ∆ABC ∆②对称性：若∽，则∽．ABC ∆'''C B A ∆'''C B A ∆ABC ∆③传递性：若∽，且∽，则∽ABC ∆C B A '∆''C B A '∆''C B A ''''''∆ABC ∆C B A ''''''∆(2) 三角形相似的判定定理的预备定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．定理的基本图形：用数学语言表述是：， ∴ ∽．BC DE //Q ADE ∆ABC ∆知识点7 三角形相似的判定方法1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．3、判定定理1：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．5、判定定理3：：三边对应成比例，两三角形相似．6、判定直角三角形相似的方法：(1)以上各种判定均适用．(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．（射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
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相似三角形知识点及典型例题知识点归纳：1、三角形相似的判定方法（1）定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。
（2）平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似。
（3）判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
简述为：两角对应相等，两三角形相似。
（4）判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。
简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。
（5）判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。
简述为：三边对应成比例，两三角形相似。
（6）判定直角三角形相似的方法：①以上各种判定均适用。
②如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
③直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。
#直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：（1）（AD）2=BD·DC，（2）（AB）2=BD·BC ，（3）（AC）2=CD·BC 。
注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。
即（AB）2+（AC）2=（BC）2。
典型例题：例1 如图，已知等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，CG ‖AB ，BG 分别交AD ，AC 于E 、 F ，求证：BE2＝EF·EG 证明：如图，连结EC ，∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ， ∴∠ABC ＝∠ACB ，AD 垂直平分BC ∴BE ＝EC ，∠1＝∠2，∴∠ABC-∠1＝∠ACB-∠2， 即∠3＝∠4，又CG ∥AB ，∴∠G ＝∠3，∴∠4＝∠G又∵∠CEG ＝∠CEF ，∴△CEF ∽△GEC ，∴EG CE =CE EF∴EC 2＝EG· EF ，故EB 2=EF·EG 【解题技巧点拨】本题必须综合运用等腰三角形的三线合一的性质，线段的垂直平分线的性质和相似三角形的基本图形来得到证明．而其中利用线段的垂直平分线的性质得到BE=EC ，把原来处在同一条直线上的三条线段BE ，EF ，EC 转换到相似三角形的基本图形中是证明本题的关键。
例2 已知：如图，AD 是Rt △ABC 斜BC 上的高，E 是AC 的中点，ED 与AB 的延长线相交于F ，求证：BA FB =AC FD证法一：如图，在Rt △ABC 中，∵∠BAC ＝Rt ∠，AD ⊥BC ， ∴∠3＝∠C ，又E 是Rt △ADC 的斜边AC 上的中点，∴ED=21AC ＝EC ，∴∠2＝∠C ，又∠1＝∠2，∴∠1＝∠3， ∴∠DFB ＝∠AFD ，∴△DFB ∽△AFD ，∴FD FB ＝AD BD（1）又AD 是Rt △ABC 的斜边BC 上的高，∴Rt △ABD ∽Rt △CAD ，∴AD BD =AC BA（2） 由（1）（2）两式得FD FB =AC BA ，故BA FB =AC FD证法二：过点A 作AG ∥EF 交CB 延长线于点G ，则BA FB =AG FD（1）∵E 是AC 的中点，ED ∥AC ，∴D 是GC 的中点，又AD ⊥GC ，∴AD 是线段GC 的垂直平分线，∴AG ＝AC （2）由（1）（2）两式得：BA FB =AC FD，证毕。
【解题技巧点拨】本题证法中，通过连续两次证明三角形相似，得到相应的比例式，然后通过中间比“AD BD”过渡，使问题得证，证法二中是运用平行线分线段成比例定理的推论，三角形的中位线的判定，线段的垂直平分线的判定与性质使问题得证．一、如何证明三角形相似例1、如图：点G 在平行四边形ABCD 的边DC 的延长线上,AG 交BC 、BD 于点E 、F ，则△AGD ∽ ∽ 。
例2、已知△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，BD 是角平分线， 求证：△ABC ∽△BCD例3：已知，如图，D 为△ABC 内一点连结ED 、AD ，以BC 为边在△ABC 外作 ∠CBE=∠ABD ，∠BCE=∠BAD 求证：△DBE ∽△ABC例4、矩形ABCD 中，BC=3AB ，E 、F ，是BC 边的三等分点，连结AE 、AF 、AC ，问图中是否存在非全等的相似三角形？请证明你的结论。
二、如何应用相似三角形证明比例式和乘积式例5、△ABC 中，在AC 上截取AD ，在CB 延长线上截取BE ，使AD=BE ，求证：DF •AC=BC •FE例6：已知：如图，在△ABC 中，∠BAC=900，M 是BC 的中点，DM ⊥BC 于点E ，交BA 的延长线于点D 。
求证：（1）MA 2=MD •ME ；（2）MD MEADAE =22例7：如图△ABC 中，AD 为中线，CF 为任一直线，CF 交AD 于E ，交AB 于F ，求证：AE ：ED=2AF ：FB 。
ABCDEM12A B C D E FG1234A B C DAB CDEF K A B C D E F三、如何用相似三角形证明两角相等、两线平行和线段相等。
例8：已知：如图E 、F 分别是正方形ABCD 的边AB 和AD 上的点，且31==AD AF AB EB 。
求证：∠AEF=∠FBD例9、在平行四边形ABCD 内，AR 、BR 、CP 、DP 各为四角的平分线， 求证：SQ ∥AB ，RP ∥BC例10、已知A 、C 、E 和B 、F 、D 分别是∠O 的两边上的点，且AB ∥ED ，BC ∥FE ，求证：AF ∥CD例11、直角三角形ABC 中，∠ACB=90°，BCDE 是正方形，AE 交BC 于F ，FG ∥AC 交AB 于G ，求证：FC=FG例12、Rt △ABC 锐角C 的平分线交AB 于E ，交斜边上的高AD 于O ，过O 引BC 的平行线交AB 于F ，求证：AE=BFAB C DEFG A B C DS P RQ OA B C D EFAEFO 12A BC DF G E课后作业一、填空题1.已知：在△ABC 中，P 是AB 上一点，连结 CP ，当满足条件∠ACP=____或∠APC= _____或 AC 2=______时， △ACP ∽△ABC ．2.两个相似三角形周长之比为4∶9，面积之和为291，则面积分别是____________。
3.如图，DEFG 是Rt △ABC 的内接正方形，若CF ＝8，DG ＝42，则BE ＝__________。
4．如图，直角梯形 ABCD 中，AD ‖BC ，AD ⊥CD ，AC ⊥AB ，已知AD ＝4，BC ＝9，则 AC ＝____________。
5．△ABC 中，AB ＝15，AC ＝9，点D 是AC 上的点，且AD=3，E 在AB 上，△ADE 与△ABC 相似，则AE 的长等于_____________。
6.如图，在正方形网格上画有梯形ABCD ，则∠BDC 的度数为______________。
7.△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，BC ＝1，BD 平分∠ABC 交于D ，则BD ＝_______，AD ＝______，设AB ＝x,则关于x 的方程是______________.8．如图，已知D 是等边△ABC 的BC 边上一点，把△ABC 向下折叠，折痕为MN ，使点A 落在点D 处，若BD ∶DC ＝2∶3，则AM ∶MN=_________________。
二、选择题9.如图，在正△ABC 中，D 、E 分别在AC 、AB 上，且31AC AD ，AE=BE ，则有（） A ．△AED ∽△BEDB ．△AED ∽△CBDC ．△AED ∽△ABDD ．△BAD ∽△BCD10．如图，在△ABC 中，D 为AC 边上一点，∠DBC ＝∠A ，BC=6，AC ＝3，则CD 的长为（ ） A.1B.23 C.2 D.25 11．如图，□ABCD 中，G 是 BC 延长线上一点，AG 与 BD 交于点E ，与DC 交于点F ，则图中相似三角形共有（ ） A ．3对 B ．4对 C ．5对 D ．6对12．P是Rt△ABC的斜边BC上异于B、C的一点，过点P作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，满足这样条件的直线共有（）A．1条 B.2条C．3条D．4条13．如图，在直角梯形ABCD中，AB＝7，AD＝2，BC=3，若在AB上取一点P，使以P、A、D为顶点的三角形和以P、B、C为顶点的三角形相似，这样的P点有（）A．1个B．2个C．3个D．4个三、解答下列各题14.如图，长方形ABCD中，AB=5，BC＝10，点P从A点出发，沿AB作匀速运动，1分钟可以到达B点，点Q 从B点出发，沿BC作匀速直线运动，1分钟可到C点，现在点P点Q同时分别从A点、B点出发，经过多少时间，线段PQ恰与线段BD垂直？15．已知：如图，正方形DEFG内接于Rt△ABC，EF在斜边BC上，EH⊥AB于H．求证：（1）△ADG≌△HED；（2）EF2＝BE·FC（答案）例1分析：关键在找“角相等”，除已知条件中已明确给出的以外，还应结合具体的图形，利用公共角、对顶角及由平行线产生的一系列相等的角。
本例除公共角∠G外,由BC∥AD可得∠1=∠2，所以△AGD∽△EGC。
再∠1=∠2（对顶角），由AB∥DG可得∠4=∠G，所以△EGC∽△EAB。
例2分析：证明相似三角形应先找相等的角，显然∠C是公共角，而另一组相等的角则可以通过计算来求得。
借助于计算也是一种常用的方法。
证明：∵∠A=36°，△ABC是等腰三角形，∴∠ABC=∠C=72°又BD平分∠ABC，则∠DBC=36°在△ABC和△BCD中，∠C为公共角，∠A=∠DBC=36°∴△ABC∽△BCD例3分析：由已知条件∠ABD=∠CBE，∠DBC公用。
所以∠DBE=∠ABC，要证的△DBE和△ABC，有一对角相等，要证两个三角形相似，或者再找一对角相等，或者找夹这个角的两边对应成比例。
从已知条件中可看到△CBE∽△ABD，这样既有相等的角，又有成比例的线段，问题就可以得到解决。
证明：在△CBE和△ABD中，∠CBE=∠ABD, ∠BCE=∠BAD∴△CBE∽△ABD∴BCAB=BEBD即：BCBE=ABBD△DBE和△ABC中，∠CBE=∠ABD, ∠DBC公用∴∠CBE+∠DBC=∠ABD+∠DBC∴∠DBE=∠ABC且BC BE =ABBD∴△DBE∽△ABC例4分析：本题要找出相似三角形，那么如何寻找相似三角形呢？下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形：（1）如图：称为“平行线型”的相似三角形(2)如图：其中∠1=∠2，则△ADE∽△ABC称为“相交线型”的相似三角形。