数列求和与求通项方法汇总与经典例题

15 数列求通项问题

数列求通项方法一：累加法，解决形如型数列通项问题)(1n f a a n n =-+. 例．设数列}{a n 的前n 项和为S n ，}{a n }满足a 1＝1，a n +1﹣a n ＝n d ，n ∈N *．若n d ＝3n ，求数列}{a n 的通项公式；

解：（1）若a n +1﹣a n ＝d n ＝3n ，则a 2﹣a 1＝3，

a 3﹣a 2＝32，a 4﹣a 3＝33，……a n ﹣a n ﹣1＝3n ﹣1， 累加得：a n ﹣a 1＝＝，又由a 1＝1，∴a n ＝. 数列求和方法二：构造法，解决形如型或接近于等差或d pa n n +=+1a .等比数列型

例．已知数列{a n }满足a 1＝1且a n +1＝2a n +1，求a n ； 解：∵a n +1＝2a n +1，∴a n +1+1＝2a n +2＝2（a n +1），又a 1+1＝2≠0，所以，

∴数列{a n +1}是等比数列，公比q ＝2，首项为2．则， ∴； 例 数列{a n }中，a 1＝1，a n +1＝2a n +n ﹣1．求数列{a n }的通项公式． 解：根据题意，a n +1＝2a n +n ﹣1，则a n +1+n +1＝2a n +n ﹣1+n +1＝2a n +2n ＝2（a n +n ） 所以，所以数列{a n +n }为等比数列． 数列{a n +n }为以2为公比的等比数列，又a 1＝1，所以a 1+1＝2． 所以，所以．

例．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝﹣1，a n +1＝S n •S n +1,求{a n }的通项公式． 解：因为a n +1＝S n +1﹣S n ，所以S n +1﹣S n ＝S n •S n +1． 两边同除以S n •S n +1得﹣＝﹣1．因为a 1＝﹣1，所以＝﹣1． 因此数列{

}是首项为﹣1，公差为﹣1的等差数列． 得＝﹣1+（n ﹣1）（﹣1）＝﹣n ，S n ＝﹣．

当n ≥2时，a n ＝S n ﹣1•S n ＝

． 于是a n ＝

（首项不符合通项）， 故． 数列求通项方法三：累乘法，解决形如型数列通项问题)(a 1n f a n n =+ 数列求通项方法四：作差法，解决形如型数列通项问题0),(=n n S a f . 例 已知数列{a n }的前n 项和S n 满足3S n +a n ﹣1＝0，求{a n }的通项公式. 解：由题意，当n ＝1时，3S 1+a 1﹣1＝4a 1﹣1＝0，解得a 1＝． 当n ≥2时，由3S n +a n ﹣1＝0，可得3S n +1+a n +1﹣1＝0， 两式相减，可得a n +1＝a n ．∴数列{a n }是以为首项，为公比的等比数列． ∴a n ＝•（）n ﹣1＝（）n ，n ∈N *．

16 数列求和问题

数列求和方法一：裂项相消法

例．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且

． （1）求数列{a n }的通项公式；

（2）设，求数列{b n }的前n 项和T n ． 解：（1）由题意，设等比数列{a n }的公比为q ，则 S n ＝＝﹣•q n +＝a •2n ﹣1．故q ＝2，

＝﹣1，解得a 1＝1．a ＝﹣＝﹣1．

∴数列{a n }的通项公式为a n ＝1•2n ﹣1＝2n ﹣1，n ∈N *．

（2）由（1）知，a n +1＝2n ，S n ＝2n ﹣1．

＝＝﹣．

∴T n＝b1+b2+…+b n＝﹣+﹣+…+﹣

＝﹣＝1﹣．

数列求和方法二：错位相消法

例．已知等差数列{a n}中，S n为其前n项和，a2•a4＝8，S5＝15；等比数列{b n}的前n项和．

（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；

（2）当{a n}各项为正时，设c n＝a n•b n，求数列{c n}的前n项和．

解：（1）由题意，设等差数列{a n}的公差为d，则

，解得，或．

∴数列{a n}的通项公式为a n＝n，或a n＝6﹣n．对于等比数列{b n}，当n＝1时，b1＝21﹣1＝1，

当n≥2时，b n＝T n﹣T n﹣1＝2n﹣1﹣2n﹣1﹣1＝2n﹣1．∴数列{b n}的通项公式为

b n＝2n﹣1．

（2）由题意即（1）知，a n＝n，则c n＝a n•b n＝n•2n﹣1．

设数列{c n}的前n项和为X n，则

X n＝c1+c2+…+c n＝1•1+2•2+3•22+…+n•2n﹣1．

2X n＝1•2+2•22+…+（n﹣1）•2n﹣1+n•2n

两式相减，可得

﹣X n＝1+2+22+…+2n﹣1﹣n•2n＝﹣n•2n＝（1﹣n）•2n﹣1，∴X n＝（n﹣1）•2n+1．

数列求和方法三：分组求和法

例．已知各项均为正数的数列{a n}的前n项和S n满足4S n＝（a n+1）2（n∈N*）．（1）证明：数列{a n}是等差数列，并求其通项公式；

（2）设b n＝a n+2，求数列{b n}的前n项和T n．

解：（1）各项均为正数的数列{a n}的前n项和S n满足4S n＝（a n+1）2（n∈N*）．当n＝1时，解得a1＝1．

由4S n＝（a n+1）2．和4S n+1＝（a n+1+1）2．两式相减，得：

，

整理得（a n+1+a n）（a n+1﹣a n﹣2）＝0．所以a n+1﹣a n＝2，

故数列{a n}是以1为首项，2为公差的等差数列，所以：a n＝2n﹣1．

（2）由于b n＝a n+2＝2n﹣1+22n﹣1，

所以，

＝＝．