详解数列求和的方法+典型例题

详解数列求和的常用方法

数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧。

第一类：公式法

利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。 1、等差数列的前n 项和公式

2

)1(2)(11d

n n na a a n S n n -+=+=

2、等比数列的前n 项和公式

⎪⎩

⎪

⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n n n

3、常用几个数列的求和公式 （1）、)1(21

3211+=+⋯+++==

∑=n n n k S n

k n

（2）、)12)(1(6

1

321222212++=

+⋯+++==

∑=n n n n k S n

k n （3）、2

33331

3)]1(21[321+=+⋯+++==∑=n n n k S n

k n

第二类：乘公比错项相减（等差⨯等比）

这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列

}{n n b a ⨯的前n 项和，其中}{n a ，}{n b 分别是等差数列和等比数列。

例1：求数列}{1

-n nq

(q 为常数)的前n 项和。

解：Ⅰ、若q =0， 则n S =0

Ⅱ、若q =1，则)1(2

1

321+=+⋯+++=n n n S n Ⅲ、若q ≠0且q ≠1，

则1

2321-+⋯+++=n n nq q q S ①

n n nq q q q qS +⋯+++=3232 ②

①式—②式：n

n n nq q q q q S q -+⋯++++=--1321)1(

⇒)1(11

132n n n nq q q q q q

S -+⋯++++-=

- ⇒)11(11n n

n nq q

q q S ----=

⇒q

nq q q S n

n n ----=1)1(12

综上所述：⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧

≠≠----=+==)10(1)1(1)1)(1(21

)0(02

q q q nq q q q n n q S n

n n 且

解析：数列}{1

-n nq

是由数列{}n 与{}1-n q 对应项的积构成的，此类型的才适应错位相减，

（课本中的的等比数列前n 项和公式就是用这种方法推导出来的），但要注意应按以上三种

情况进行分类讨论，最后再综合成三种情况。

第三类：裂项相消法

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。

裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的通项分解（裂项）如：

1、乘积形式，如：

（1）、1

1

1)1(1+-=+=

n n n n a n

（2）、)1

21

121(211)12)(12()2(2+--+=+-=

n n n n n a n （3）、])

2)(1(1

)1(1[21)2)(1(1++-+=++=n n n n n n n a n

（

4

）

、

n

n

n n n n n n S n n n n n n n n n a 2)1(1

1,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-⋅=⋅+-+=⋅++=

-则

2、根式形式，如：

n n n

n a n -+=++=

111

例2：求数列

211⨯，321⨯，4

31

⨯，…，)1(1+n n ，…的前n 项和n S

解：∵

)1(1+n n =1

1

1+-n n

11

1313121211+-

+⋯++-+-

=n n S n ⇒1

11+-

=n S n 例3：求数列

311⨯，421

⨯，5

31⨯，…，)2(1+n n ，…的前n 项和n S

解：由于：

)2(1+n n =2

1

1(21+-n n ）

则：⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+-+⋅⋅⋅+-+-=

)211()4121()311(21n n S n ⇒ )21

11211(21+-+-

-=n n S n ⇒ 4

21

22143+-+-

=n n S n 解析：要先观察通项类型，在裂项求和时候，尤其要注意：究竟是像例2一样剩下首尾两项，还是像例3一样剩下四项。

第四类：倒序相加法

这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +。

例4：若函数)(x f 对任意R x ∈都有2)1()(=-+x f x f 。 （1）)1()1

()2()1

()0(f n

n f n f n f f a n +-+⋯+++=，数列}{n a 是等差数列吗？是证明你的结论；

（2）求数列}1

{

1

+⨯n n a a 的的前n 项和n T 。