最新应用回归分析 第一章知识分享
第一章 回归分析概述
4 随机误差
由人们无法控制且难以解释的干 扰所导致的误差作为随机误差归入随 机误差项.
线性回归模型的一般形式为
y 0 1x1 2 x2 L p xp
其中0，1，2，L
，
为未知参数（称为回归参数）
p
如果（xi1,xi2,L ,xip;yi）,i=1,2,L ,n是变量
（x1,x2,L ,xp;y）的一组观测值，则线性回归模型的 数据形式可表示为
数据整理不仅要把一些数据进行换 算，差分，甚至将数据标准化，有时也要 剔除一些“异常值”或利用插值的方法补 齐空缺的数据。
（三）确定理论回归模型 的数学形式
要确定回归模型的数学形式，我们首
先 应 将 收 集 的 样 本 数 据 绘 制 关 于 yi 与 xi (i 1, 2,L , n) 的样本散点图。根据散点
yi 0 1xi1 2 xi2 L p xip i , i 1, 2,L , n
为了估计模型参数的需要,一般线 性回归模型应满足以下几个基本假设:
1
解释变量 x1, x2,L
,
x
是非随机变量；
p
2 高斯-马尔可夫条件(简称G-M条件)
E（i）=0,i=1,2,L ,n
Cov(
i
,j
)=
民的收入 x 与消费支出 y 就呈现出某种不确
定性。
我们将上海市城镇居民可支配收入与支 出的数据（1985 年~2001 年）用散点图表示，
可以发现居民的收入 x 与消费支出 y 基本上
呈现线性关系，但并不完全在一条直线上。 附数据与图形。
年份
1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993
第一章 回归分析概述
【分析】应用回归分析课后习题参考答案全部版何晓群刘文卿
【关键字】分析第一章回归分析概述1.2 返回分析与相关分析的联系与区别是什么？答：联系有返回分析和相关分析都是研究变量间关系的统计学课题。
区别有a.在返回分析中，变量y称为因变量，处在被解释的特殊地位。
在相关分析中，变量x和变量y处于平等的地位，即研究变量y与变量x的密切程度与研究变量x与变量y的密切程度是一回事。
b.相关分析中所涉及的变量y与变量x全是随机变量。
而在返回分析中，因变量y是随机变量，自变量x可以是随机变量也可以是非随机的确定变量。
C.相关分析的研究主要是为了刻画两类变量间线性相关的密切程度。
而返回分析不仅可以揭示变量x对变量y的影响大小，还可以由返回方程进行预测和控制。
1.3 返回模型中随机误差项ε的意义是什么？答：ε为随机误差项，正是由于随机误差项的引入，才将变量间的关系描述为一个随机方程，使得我们可以借助随机数学方法研究y与x1,x2…..xp的关系，由于客观经济现象是错综复杂的，一种经济现象很难用有限个因素来准确说明，随机误差项可以概括表示由于人们的认识以及其他客观原因的局限而没有考虑的种种偶然因素。
1.4 线性返回模型的基本假设是什么？答：线性返回模型的基本假设有：1.解释变量x1.x2….xp是非随机的，观测值xi1.xi2…..xip 是常数。
2.等方差及不相关的假定条件为{E(εi)=0 i=1,2…. Cov(εi,εj)=｛σ^23.正态分布的假定条件为相互独立。
4.样本容量的个数要多于解释变量的个数，即n>p.第二章一元线性返回分析思考与练习参考答案2.1 一元线性返回有哪些基本假定?答：假设1、解释变量X是确定性变量，Y是随机变量；假设2、随机误差项ε具有零均值、同方差和不序列相关性：E(εi)=0 i=1,2, …,nVar (εi)= 2 i=1,2, …,nCov(εi, εj)=0 i≠j i,j= 1,2, …,n假设3、随机误差项ε与解释变量X之间不相关：Cov(Xi, εi)=0 i=1,2, …,n假设4、ε服从零均值、同方差、零协方差的正态分布εi~N(0, 2 ) i=1,2, …,n2.3 证明（2.27式），ei =0 ，eiXi=0 。
回归分析应用PPT课件
回归分析的应用场景
A
经济预测
通过分析历史数据，预测未来的经济趋势，如 股票价格、GDP等。
市场营销
通过研究消费者行为和购买历史，预测未 来的销售趋势和客户行为。
B
C
医学研究
研究疾病与风险因素之间的关系，预测疾病 的发生概率。
科学研究
在各种科学领域中，如生物学、物理学、化 学等，回归分析被广泛应用于探索变量之间 的关系和预测结果。
06 回归分析的局限性
多重共线性问题
总结词
多重共线性问题是指自变量之间存在高 度相关关系，导致回归系数不稳定，影 响模型预测精度。
VS
详细描述
在回归分析中，如果多个自变量之间存在 高度相关关系，会导致回归系数的不稳定 性，使得模型预测精度降低。这种情况在 数据量较小或者自变量较多的情况下更容 易出现。为了解决这个问题，可以采用减 少自变量数量、使用主成分分析等方法。
预测能力评估
使用模型进行预测，并比较预 测值与实际观测值之间的误差
，评估模型的预测能力。
03 多元线性回归分析
多元线性回归模型
01
确定因变量和自变 量
在多元线性回归模型中，因变量 是我们要预测的变量，而自变量 是影响因变量的因素。
02
建立数学模型
03
模型参数解释
通过最小二乘法等估计方法，建 立因变量与自变量之间的线性关 系式。
回归分析可以帮助我们理解数据的内在规律，预测未来的趋势，并优化决 策。
回归分析的分类
01
一元回归分析
研究一个自变量和一个因变量之间的关系。
02
多元回归分析
研究多个自变量和一个因变量之间的关系。
03
线性和非线性回归分析
应用第一章回归分析
−1
( )
−1
i
∑ (x
i
i
− x )E ( β 0 + xi β 1 − β 0 − x β 1 )
2 1
= sxx
∑( x − x ) β
i i
= β1
Ey = β 0 + β1 x
ˆ ˆ E β 0 = E ( y ) − xE β1 = β 0 + x β1 − x β1 = β 0
(
)
ˆ ˆ ˆ ˆ 另证：ei = yi − yi = yi − β0 − β1xi = yi − y − β1 ( xi − x )
2 n −1 1 −1 = − sxx ( xi − x ) yi − ∑ + s xx −1 ( xi − x ) ( x j − x ) y j n j ≠i n
n
= λ = s xx
n i =1
−1
ˆ 此时∑ ai yi = λ ∑ yi ( xi − x ) = sxx sxy = β1
−1 i =1
13
③在误差为正态分布假定下，最小二乘估计等价 于极大似然估计。 事实上，似然函数
1 n 2 L ( β0 , β1 ) = exp − 2 ∑( yi − β0 − β1xi ) n 2 2 σ i=1 2πσ ) ( 1
(
)
(
)
(
)
16
1 n ˆ E (σ ) = ∑ Var ( yi ) + Var βˆ0 + βˆ1 xi − 2Cov yi , βˆ0 + βˆ1 xi n − 2 i =1
2
(
)
(
回归分析的基本思想及其应用(一)
第40课时 回归分析基本思想及其初步应用（一）学习目标：1、了解相关关系的概念及其与函数关系的区别；2、掌握线性回归方程的求法及其步骤；3、了解线性回归模型及随机误差的含义。
教学重点； 线性回归方程 教学难点： 线性回归模型 教学工具： Powerpoint 教学过程：（一） 复习引入1、相关关系：对于两个变量，当自变量的取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系。
2、函数关系：两个变量之间是一种确定性关系；3、两个具有线性相关关系的变量的统计分析步骤（板书）： 设样本点（x 1,y 1）,(x 2,y 2),……,(x n ,y n ) （1） 画出散点图； （2） 求回归直线方程abx y+=∧，其中∑∑∑∑====∧--=---=ni i ni i i ni i ni i i xn x yx n y x x x y y x x b 1221121)())((………①xb y a ∧∧-= ………②（3） 利用线性回归方程进行预报 这种方法叫做回归分析，是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法。
板书：（y x ,）叫做样本点的中心，回归直线过样本点的中心。
（二）推进新课60.316kg 的女大学生的身高（精确到1cm ）。
解：由于问题中要求根据体重预报身高，因此选取体重为自变量x ，身高为因变量y.作出散点图如下：从图中可以看出，样本点呈条状分布，体重和身高有比较好的线必相关关系，因此可以用回归直线y=bx+a 来近似刻画它们之间的关系。
又据表中数据计算得：5.54=x ，25.165=y，24116812=∑=i i x ，218774812=∑=i i y ，7231581=∑=i i i y x于是根据前面的公式①②，可以得∧b=7514.05.54102411625.1655.5410723152=⨯-⨯⨯-xb y a ∧∧-==165.25-0.7514×54.5=124.3于是得到回归方程：124.30.7514x y+=∧∧b＝0.7514是回归直线的斜率的估计值，说明体重每增加1单位时，身高就增加0.7514个单位，这表明身高y 和体重x 具有正的线性相关关系.因此，对于体重为60.316kg 的女大学生，由回归方程可以预报其身高为：cm17062.169124.360.3160.7514y ≈=+⨯=∧探究（1）体重60.316kg 的女大学生的身高一定是170cm 吗？如果不是，其原因是什么？ 显然，体重60.316kg 的女大学生的身高不一定是170cm ，但一般可以认为她的身高在170cm 左右。
1.1回归分析的基本思想及其初步应用(1)
yˆ = 0.849×172 - 85.712 = 60.316(kg)
3.通过探究栏目引入“线性回归模型”。此处可以引 导学生们体会函数模型与回归模型之间的差别。
（2）从散点图还可以看到，样本点散布在某一条 直线的附近，而不是一条直线上，所以不能用一次 函数ｙ＝ｂｘ＋ａ来描述它们之间的关系。这时我 们用下面的线性回归模型来描述身高和体重的关系： ｙ＝ｂｘ＋ａ+ｅ其中ａ和ｂ为模型的未知参数，e
应用统计方法解决实际问题需要注意的问题：对 于同样的数据，有不同的统计方法进行分析， 我们要用最有效的方法分析数据。
现在有三个不同的回归模型可供选择来拟合 红铃虫的产卵数与温度数据，他们分别是：
y ax b e, y c1ec2xe ,
y x2 e.
z c2x b e
10 20 30 40 50
施化肥量 x
n
Q(a,b)= (yi - bxi - a)2 取最小值时,a,b的值. i=1
3、回归直线方程：
1、所求直线方程 yˆ = bˆ x + aˆ 叫做回归直
---线方程；其中
n
n
y bˆ =
(xi - x)(yi - y)
i=1 n
=
(xi - x)2
种分析工作称为残差分析，我们可以通过残差图 来分析残差的特性，作图时纵坐标为残差，横坐 标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计 值等，这样作出的图形成为残差图。
• 若模型选择的正确，残差图中的点应该分布在以横轴为心的 带形区域；对于远离横轴的点，要特别注意。如第1个样本点 和第6个样本点的残差比较大，需要确认在采集这两个样本点 的过程中是否有人为的错误。如果数据采集有错误应纠正然 后再重新利用线性回归模型拟合数据；如果数据采集没有错 误，应寻找其他原因，这样的带状区域的宽度越窄说明模型 拟合精度越高，回归方程的预报精度越高。
回归分析学习课件PPT课件
为了找到最优的参数组合，可以使用网格搜索方 法对参数空间进行穷举或随机搜索，通过比较不 同参数组合下的预测性能来选择最优的参数。
非线性回归模型的假设检验与评估
假设检验
与线性回归模型类似，非线性回归模型也需要进行假设检验，以检验模型是否满足某些统计假 设，如误差项的独立性、同方差性等。
整估计。
最大似然法
03
基于似然函数的最大值来估计参数，能够同时估计参数和模型
选择。
多元回归模型的假设检验与评估
线性假设检验
检验回归模型的线性关系 是否成立，通常使用F检 验或t检验。
异方差性检验
检验回归模型残差的异方 差性，常用的方法有图检 验、White检验和 Goldfeld-Quandt检验。
多重共线性检验
检验回归模型中自变量之 间的多重共线性问题，常 用的方法有VIF、条件指数 等。
模型评估指标
包括R方、调整R方、AIC、 BIC等指标，用于评估模 型的拟合优度和预测能力。
05
回归分析的实践应用
案例一：股票价格预测
总结词
通过历史数据建立回归模型，预测未来股票 价格走势。
详细描述
利用股票市场的历史数据，如开盘价、收盘价、成 交量等，通过回归分析方法建立模型，预测未来股 票价格的走势。
描述因变量与自变量之间的非线性关系，通过变 换或使用其他方法来适应非线性关系。
03 混合效应回归模型
同时考虑固定效应和随机效应，适用于面板数据 或重复测量数据。
多元回归模型的参数估计
最小二乘法
01
通过最小化残差平方和来估计参数，是最常用的参数估计方法。
加权最小二乘法
02
适用于异方差性数据，通过给不同观测值赋予不同的权重来调
回归分析(第一讲)
例如： 研究产品的销量与用于产品宣传的广告 费之间的关系；
因变量——销售量 自变量——广告费
我们用Y代表因变量， X代表自变量。 如果有多个解释变量，我们将用适当的 下标，表示各个不同的X。
例如，X1，X2，X3等等。
概念:总体回归线
下面通过一个例子予以说明。
某城市A产品生产企业共有5 5个（总体）， 下表给出了这些企业产品价格（元）与A 产品月销量（万件）的有关数据。
例如，当X＝10.1时，有7个Y值与之对应 当X＝10.4时，相应地有6个Y值，等等。
对每个X，计算出一个Y的均值。将这些 均值点连起来，构成一条直线。 我们称该直线为总体回归直线 (Population Regression Line，PRL)。
（销量）
（各平均值连成的直线）
（售价）
概念要点：总体回归线
总体回归线： Y =β0+β1X 它描述的是X与Y的均值之间的关系。
概念：随机误差
每个个体的Y值与总体回归线之间的距离 （可正可负）
（销量）
每个点都有一个随机误差，以该点为例。
ε
i
（售价）
概念：回归模型（一元线性回归）
总体 Y的截距 总体 斜率 随机 误差
i
Yi 0 1Xi ε
因变量 Dependent Variable
自变量 Independent Variables
概念：回归模型（多元线性回归）
总体 Y的截距 总体 斜率 随机 误差
Y 0 1X1 2 X2 P X P
因变量 Dependent Variable 自变量 Independent Variables
线性回归分析
01-03 回归分析的应用
• 多元线性回归 如果在回归分析中包括一个因变量和多个自变量，且因变量和自变量
的关系可用函数y=k1x1+k2x2+…+knxn+b来模拟，这种回归分析称为多元线 性回归分析。
事实上，一种现象常常与多个因素相关，所以，由多个自变量的最优 组合来估计和预测因变量，比只用一个自变量进行估计和预测更有效、更 有实际意义。
例1：李明想开一家社区超市， 前期去了很多小区做实地调查 。经调研得到小区超市的年销 售额（百万元）与小区常住人 口数（万人）的数据资料如表 所示，请对超市的年销售额与 小区常住人口数进行回归分析 ，帮助李明进行选址决策。
10
01-03 回归分析的应用
案例分析：
表：小区超市的年销售额（百万元）与小区常住人口数（万人）统计表
23
01-03 回归分析的应用
想一想 做一做：
已 知 2009 — 2015 年 淘 宝 “ 双 11 ” 当天销量统计如图所示，请利用散 点图进行回归分析，模拟淘宝“双 11 ” 的 销 量 变 化 规 律 ， 并 预 测 2016年的销量。
24
01-03 回归分析的应用
两种回归分析工具使用总结： • 利用回归分析工具进行线性回归的优缺点如下： ① 优点：可以进行一元线性回归，也可以进行多元线性回归。 ② 缺点：只能进行线性回归，不能直接进行非线性回归。 • 利用散点图和趋势线进行回归分析的优缺点如下： ① 优点：不仅能进行线性回归，还能进行非线性回归。 ② 缺点：只能进行一元回归，不能进行多元回归。
15
01-03 回归分析的应用
案例分析：李明应该怎么做？（下）
例2：用多元回归分析法分析上一案 例中超市的销量与超市的面积大小 、促销费用、所在地理位置的关系 ，并根据回归方程预测一家在二类 地段、面积为1000平方米、月促销 费5万元的超市月销售额将会是多少 。
最新人教版高中数学选修1-2《回归分析的基本思想及其初步应用》教材梳理
庖丁巧解牛知识·巧学 一、回归分析回归分析是根据变量观测数据分析变量间关系的常用统计分析方法.通常把变量观测数据称为样本.1.散点图与回归方程(1)设对y 及x 做n 次观测得数据(x i ,y i )(i=1,2,…,n).以(x i ,y i )为坐标在平面直角坐标系中描点,所得到的这张图便称之为散点图.其中x 是可观测、可控制的普通变量，常称它为自变量，y 为随机变量，常称其为因变量.知识拓展 散点图是直观判断变量x 与y 是否相关的有效手段. (2)a 与回归系数b 的计算方法若散点呈直线趋势,则认为y 与x 的关系可以用一元回归模型来描述.设线性回归方程为y=a+bx+ε.其中a 、b 为未知参数，ε为随机误差，它是一个分布与x 无关的随机变量.最小二乘估计aˆ和b ˆ是未知参数a 和b 的最好估计. x b y aˆˆ-=,b ˆ=∑∑==---ni ini i ix xy y x x121)())((.深化升华 bˆ的计算还可以用公式b ˆ=∑∑==--ni ini ii x n xyx n yx 1221来计算，这时只需列表求出相关的量代入即可. 2.相关性检验如下图中的两个散点图，很难判断这些点是不是分布在某条直线附近.假如不考虑散点图，按照最小二乘估计计算a 与b ，我们可以根据一组成对数据，求出一个回归直线方程.但它不能反映这组成对数据的变化规律.为了解决上述问题，我们有必要对x 与y 作线性相关性的检验，简称相关性检验.对于变量x 与y 随机抽取到的n 对数据(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，…，(x n ,y n )，检验统计量是样本相关系数r.r=∑∑∑∑∑∑======---=----ni i ni i ni ii ni i n i i ni i iy n y x n x yx n yx y y x x y y x x122122112121)()()()())((.r 具有以下性质:当r 大于0时，表明两个变量正相关，当r 小于0时，表明两个变量负相关；|r|≤1；|r|越接近1，线性相关程度越强；|r|越接近0，线性相关程度越弱.通常当|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关关系.相关性检验临界值如下表所示.相关性检验的临界值表深化升华 相关性检验的步骤也可如下: (1)作统计假设:X 与Y 不具有线性相关关系.(2)根据小概率0.05与n-2在相关性检验的临界值表中查出r 的一个临界值r 0.05. (3)根据样本相关系数计算公式算出r 的值.(4)作出统计推断.如果|r|＞r 0.05，表明有95％的把握认为X 与Y 之间具有线性相关关系.如果|r|≤r 0.05，我们没有理由拒绝原来的假设.这时寻找回归直线方程是没有意义的. 3.回归分析的基本概念(1)在数学上，把每个效应(观测值减去总的平均值)的平方和加起来，即用∑=-ni iy y12)(表示总的效应，称为总偏差平方和.(2)数据点和它在回归直线上相应位置的差异(y i －i yˆ)是随机误差的效应，称i e ˆ=(y i -i y ˆ)为残差.(3)分别将残差的值平方后回来，用数学符号表示为∑=-ni i iy y12)(称为残差平方和.它代表了随机误差的效应.(4)总偏差平方和与残差平方和的差称为回归平方和.(5)回归效果的刻画我们可以用相关指数R 2反映.R 2=1-∑∑==--n i ini i iy y yy1212)()ˆ(.显然，R 2的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型的拟合效果越好.4.非线性回归问题 在实际问题中，当变量之间的相关关系不是线性相关关系时，不能用线性回归方程描述它们之间的相关关系，需要进行非线性回归分析，然而非线性回归方程一般很难求，因此把非线性回归化为线性回归应该说是解决问题的好方法.首先，所研究对象的物理背景或散点图可帮助我们选择适当的非线性回归方程yˆ=μ(x；a，b).其中a及b为未知参数，为求参数a及b的估计值，往往可以先通过变量置换，把非线性回归化为线性回归，再利用线性回归的方法确定参数a及b的估计值.问题·探究问题函数关系是一种确定性关系，而对一种非确定性关系——相关关系，我们如何研究？导思:由于相关关系不是一种确定性关系，我们经常运用统计分析的方法，即回归分析，按照画散点图，求回归方程，用回归方程预报等步骤进行.探究:我们可以知道，相关关系中，由部分观测值得到的回归直线，可以对两个变量间的线性相关关系进行估计，这实际上是将非确定性问题转化成确定性问题来研究.由于回归直线将部分观测值所反映的规律性进行了延伸，它在情况预报、资料补充等方面有着广泛的应用，从某种意义上看，函数关系是一种理想的关系模型，而相关关系是一种更为一般的情况.因此研究相关关系，不仅可使我们处理更为广泛的数学应用问题，还要使我们对函数关系的认识上升到一种新的高度.典题·热题思路解析：散点图是表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形.解：散点图如下:例2每立方米混凝土的水泥用量x(单位:kg)与2８天后混凝土的抗压强度(单位:kg/cm2)之间的关系有如下数据:(2)如果y与x之间具有线性相关关系，求回归直线方程.思路解析：求回归直线方程和相关系数，可以用计算器来完成.在有的较专门的计算器中，可通过直接按键得出回归直线方程的系数和相关系数，而如果要用一般的科学计算器进行计算，则要先列出相应的表格，有了表格中的那些相关数据，回归方程中的系数和相关系数就都容易求出了.解：(1)r=)6.721294.64572)(20512518600(6.722051218294322⨯-⨯-⨯⨯-≈0.999>0.75.说明变量y 与x 之间具有显著的线性正相关关系.bˆ=143004347205125186006.72205121829432=⨯-⨯⨯-≈0.304, x b y aˆˆ-==72.6－0.304×205=10.28. 于是所求的线性回归方程为yˆ=0.304x+10.28. 深化升华 为了进行相关性检验，通常将有关数据列成表格，然后借助于计算器算出各个量，为求回归直线方程扫清障碍.若由资料知y 对x 有线性相关关系.试求:(1)线性回归方程yˆ=b ˆx+a ˆ的回归系数a ˆ,b ˆ. (2)使用年限为10年时，估计维修费用是多少？思路解析：因为y 对x 有线性相关关系，所以可以用一元线性相关的方法解决问题.利用公式bˆ=∑∑==--ni i ni ii x n x yx n yx 1221,aˆ=y -b ˆx 来计算回归系数.有时为了方便常列表对应写出x i y i ，x i 2,以利于求和.解：(1)x =4，y =5，∑=ni ix12=90，∑=ni ii yx 1=112.3，于是bˆ=245905453.112⨯-⨯⨯-=1.23，aˆ=y -b ˆx =5-1.23×4=0.08. (2)回归直线方程为yˆ=1.23x+0.08.当x=10年时，y ˆ=1.23×10+0.08=12.38(万元)，即估计使用10年的维修费用是12.38万元.方法归纳 知道y 与x 呈线性相关关系，就无需进行相关性检验，否则，应首先进行相关性检验.如果本身两个变量不具有相关关系，或者说，它们之间相关关系不显著，即使求出了回归方程也是毫无意义的，而且估计和预测的量也是不可信的.例4一只红铃虫的产卵数y与x有关，现收集了7组观测数据列于表中，试建立y与x之间思路解析：首先要作出散点图，根据散点图判定y与x之间是否具有线性相关关系，若具有线性相关关系，再求线性回归方程.在散点图中，样本点并没有分布在某个带状区域内，因此两个变量不呈线性相关关系，所以不能直接利用线性回归方程来建立两个变量之间的关系.根据已有的函数知识，可以发现样本分布在某一指数函数曲线的周围.解：散点图如下所示:由散点图可以看出:这些点分布在某一条指数函数y=pe qx(p,q为待定的参数)的周围.现在，问题变为如何估计待定的参数p和q，我们可以通过对数变换把指数关系变为线性关系.令z=lny,则变换后样本点应该分布在直线z=bx+a(a=lnp,b=q)周围.这样就可以利用线性回归模型来建立y与x之间的非线性回归方程了.由下图可看出，变换后的样本点分布在一条直线的附近，因此可以用线性回归方程来拟合.经过计算得到线性回归方程为zˆ=0.272x－3.843.因此红铃虫的产卵数对温度的非线性回归方程为yˆ=e0.272x－3.843.方法归纳线性回归问题在解决前可以先画散点图，通过散点图判断是否为线性回归，如果不是线性回归,要先转换为线性回归问题.。
应用回归分析第一章-第二章
不相关，或者在时间域观测响应变量和解释变量时，扰动项非自相关
cov(ε i ,ε j ) = 0,
i≠
j ，方差有限且相同，即满足
，
E
ε
2 i
=σ
2,
i = 1,2 ," n ，
一般σ 2 未知。如使用极大似然估计法，我们通常还需假设随机误差服从正态分布，即
ε i ～பைடு நூலகம்N (0,σ 2 ), i = 1,2,", n
知密度函数，则相应的计量经济模型为非参数的。非参数密度估计要解决的就是在一定的条件下，
对未知密度函数 f (x) 的估计。由于预先并不假设 f (x) 有具体的函数形式，故称为非参数密度估
计。这是我们首先要在第二章中介绍的，它的发展对后来的非参数回归估计起到了重要的推动作 用。
其次，我们要谈的是非参数回归估计，这可以说是非线性回归模型讨论的一个延伸。考察被
法。其原理是：对形同(1.1)并满足假设 I，II 和 III 的计量经济模型, 如改写(1.1)为 ε = y − χβ ， 我们可以这样来解释误差 ε ，即从观察向量 y 中扣除模型(1.1)的主要部分 χβ 后的剩余，因而也
最新《1.1回归分析的基本思想及其初步应用》ppt课件课件PPT
差.
n
(yi－y^ i)2
称为残差平方和
i＝1
利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为 残差 ，横 残差图 坐标可以选为样本编号 ，或 身高数据 ，或体重估计值
等，这样作出的图形称为残差图
残差 图法
残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选 用的模型比较适合，这样的带状区域的宽度越窄， 说明模型拟合精度越高
(3)求线性回归方程的步骤： ①先把数据制成表，从表中计算出 x ， y ， x12＋x22＋…＋x2n，x1y1＋x2y2＋…＋xnyn 的值； ②计算未知参数a^，b^； ③写出线性回归方程^y＝b^x＋a^.
2．线性回归分析 (1)由线性回归方程给出的是一个预报值而非精确值． (2)随机误差的主要来源 ①线性回归模型与真实情况引起的误差； ②省略了一些因素的影响产生的误差； ③观测与计算产生的误差． (3)残差分析是回归分析的一种方法． (4)用相关指数R2来刻画回归效果． R2越大，意味着残差平方和越小，即模型的拟合效果越好；R2 越小，残差平方和越大，即模型的拟合效果越差．
e为
随机误．差
(2)对参数 a 和 b 的估计，由《数学必修 3》可知：最小二乘法估 计a^和b^就是未知参数 a、b 的最好估计，其计算公式为
n
n
xi－ x yi－ y xiyi－n x y
i＝1
b^ ＝
i＝1
＝
，a^ ＝ y －b^ x ，
n
xi－ x 2
n
x2i －n x 2
i＝1
i＝1
3．建立回归模型的基本步骤 (1)确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报 变量． (2)画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间 的关系(如是否存在线性关系等)． (3)由经验确定回归方程的类型(如我们观察到数据呈线性关系， 则选用线性回归方程)． (4)按一定规则(如最小二乘法)估计回归方程中的参数． (5)得出结果后分析残差图是否有异常(如个别数据对应残差过大 或残差呈现不随机的规律性等)．若存在异常，则检查数据是否 有误，或模型是否合适等．
知识讲解 回归分析的基本思想及其初步应用(文、理)
回归分析的基本思想及其初步应用编稿：赵雷 审稿：李霞【学习目标】1. 通过对实际问题的分析，了解回归分析的必要性与回归分析的一般步骤。
2. 能作出散点图，能求其回归直线方程。
3. 会用所学的知识对简单的实际问题进行回归分析。
【要点梳理】要点一、变量间的相关关系1. 变量与变量间的两种关系：（1） 函数关系：这是一种确定性的关系，即一个变量能被另一个变量按照某种对应法则唯一确定．例如圆的面积．S 与半径r 之间的关系S=πr 2为函数关系．（2）相关关系：这是一种非确定性关系．当一个变量取值一定时，另一个变量的取值带有一定的随机性，这两个变量之间的关系叫做相关关系。
例如人的身高不能确定体重，但一般来说“身高者，体重也重”，我们说身高与体重这两个变量具有相关关系． 2. 相关关系的分类：（1）在两个变量中，一个变量是可控制变量，另一个变量是随机变量，如施肥量与水稻产量； （2）两个变量均为随机变量，如某学生的语文成绩与化学成绩． 3. 散点图：将两个变量的各对数据在直角坐标系中描点而得到的图形叫做散点图．它直观地描述了两个变量之间有没有相关关系．这是我们判断的一种依据．4. 回归分析：与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系，对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫做回归分析。
要点二、线性回归方程：1．回归直线如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫作回归直线。
2．回归直线方程ˆˆˆybx a =+ 对于一组具有线性相关关系的数据11(,)x y ，22(,)x y ，……，(,)n n x y ，其回归直线ˆˆˆybx a =+的截距和斜率的最小二乘法估计公式分别为：121()()ˆ()niii nii x x y y bx x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =- 其中x 表示数据x i （i=1，2，…，n ）的均值，y 表示数据y i （i=1，2，…，n ）的均值，xy 表示数据x i y i （i=1，2，…，n ）的均值．a 、b 的意义是：以a 为基数，x 每增加一个单位，y 相应地平均变化b 个单位．要点诠释：①回归系数121()()ˆ()niii nii x x y y bx x ==--=-∑∑，也可以表示为1221ˆni ii nii x y nx ybxnx==-=-∑∑，这样更便于实际计算。
第一章 课后习题解答(应用回归分析)
1、变量间统计关系和函数关系的区别是什么？答：函数关系是一种确定性的关系，一个变量的变化能完全决定另一个变量的变化；统计关系是非确定的，尽管变量间的关系密切，但是变量不能由另一个或另一些变量唯一确定。
2、回归分析与相关分析的区别和联系是什么？答：联系：刻画变量间的密切联系；区别：一、回归分析中，变量y 称为因变量，处在被解释的地位，而在相关分析中，变量y 与x 处于平等地位；二、相关分析中y 与x 都是随机变量，而回归分析中y 是随机的，x 是非随机变量。
三、回归分析不仅可以刻画线性关系的密切程度，还可以由回归方程进行预测和控制。
3、回归模型中随机误差项ε的意义是什么？主要包括哪些因素？答：随机误差项ε的引入，才能将变量间的关系描述为一个随机方程。
主要包括：时间、费用、数据质量等的制约；数据采集过程中变量观测值的观测误差；理论模型设定的误差；其他随机误差。
4、线性回归模型的基本假设是什么？答：1、解释变量非随机；2、样本量个数要多于解释变量(自变量)个数；3、高斯-马尔科夫条件；4、随机误差项相互独立，同分布于2(0,)N σ。
5、回归变量设置的理论根据？在设置回归变量时应注意哪些问题？答：因变量与自变量之间的因果关系。
需注意问题：一、对所研究的问题背景要有足够了解；二、解释变量之间要求不相关；三、若某个重要的变量在实际中没有相应的统计数据，应考虑用相近的变量代替，或者由其他几个指标复合成一个新的指标；四、解释变量并非越多越好。
6、收集、整理数据包括哪些内容？答：一、收集数据的类型（时间序列、截面数据）；二、数据应注意可比性和数据统计口径问题（统计范围）；三、整理数据时要注意出现“序列相关”和“异方差”的问题；四、收集数据的样本量应大于解释变量；四、整理数据包括：拆算、差分、对数化、标准化以及提出极端值，有缺失值时的处理。
7、构造回归理论模型的基本根据是什么?答：收集到的数据变量之间的数学关系（线性、非线性）以及所研究问题背景的相关模型，例如数理经济中的投资函数、生产函数、需求函数、消费函数等。
第一章：一元回归(9.23最新)
普通最小二乘法的历史
随后全世界的科学 家利用皮亚齐的观 测数据开始寻找谷 神星。。。 但是根据大多数人 计算的测算结果都 找不到这颗神秘的 星星。。。
普通最小二乘法的历史
时年24岁的高斯也计 算了谷神星的轨道。 奥地利天文学家根据 高斯计算出来的轨道重新发 现了谷神星。
高斯使用的方法就是 “最小二乘法”
现实中，我们不知道总体的信息。
我们只能观察到一些样本。例如，只
有10个样本。
彩票的购买支出
Y
总体回归线 PRL
支 出
样本回归线 SRL
用SRL去 估计PRL
X 50 100 150 500 周收入
二、参数的估计
1、对B0、B1的估计 利用观察值，拟合一条直线：
ˆ b b X Y i 0 1 i
var( 1 ) var( ci i )
0 var[ ( wi di ) i ]
56
ˆ ) var( c ) var( i i 1 1
var( 1 ) var( ci i )
0 var[ ( wi di ) i ]
第一章：一元回归
第一章：一元回归
一、回归方程的意义 二、参数的估计 三、判断参数估计值好与坏的标准 四、一元线性回归的统计检验
一个假想的案例
彩票 研究的问题：一个人的“周收入”与“每 周购买彩票的支出”之间有什么关系。
一个假想的案例
假设：
全社会总共就100个人买彩票 这100个人的收入可分为10档
*
矩估计*
二、参数的估计
普通最小二乘(OLS) 选择合适的参数使得观察值的残差平方和 最小。
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回归常数
回归系数
α
(1.3)
y x
经验线性回归方程
回归分析的一般形式：
回归函数
y = f ( x1 , x2 ,，x p ) + ε
随机误差
y = β0+β1x1+β2x2+…+βpxp+ε
随机误差项主要包括下列因素：
在解释变量中被忽略的因素的影响； 变量观测值的观测误差的影响； 模型关系的设定误差的影响； 其他随机因素的影响。
线性回归模型应满足以下基本假设：
自变量 x1, x2 ,..., xp 是非随机变量，它们的观测值 xi1,xi2,...x, ip 是常数。
等方差及不相关的假定条件：
方差相等
E(i)0, i1,2, ,n
Gauss-Markov 条件
covi,(j) 02,,
ij ij
i, j1,2, ,n
0 0
y = 1000x
1
2
3
4
5
6
x（万辆）
图1.1 函数关系图
这说明： 变量x 与y之 间存在 确定性 关系
1.1 变量间的统计关系
2. 相关关系 （变量间有密切关系，
但不能用完全确定的函数形式表示）
▪ 商品的消费量(y)与价格高低、对其他商品的喜好等
注意 Attention
①不线性相关并不意味着不相关。
②有相关关系并不意味着一定有因果关系。
③Correlation analysis 对称地对待任何（两个） 变量，两个变量都被看作是随机的。Regression analysis 对变量的处理方法存在不对称性，即区分 因变量（被解释变量）是随机变量和自变量（解释变 量）是非随机的确定变量。
正相关 线性相关 不相关 相关系数：
负相关 1 XY 1
正相关 非线性相关 不相关
负相关
有因果关系 无因果关系
回归分析 相关分析
Correlation analysis 主要研究变量间线性相关的密切程度， Regression analysis 不仅可以揭示变量 x 对变量 y 的影响大小，还可以 利用回归方程进行预测和控制！
正态分布的假定条件：
随机变量不相关
1i
~
,
N (0, 2 )
2
,...,
相互独立
n
样本量的个数要多于解释变量的个数，即 n p
1.4 建立实际问题回归模型的过程
实际问题
时间序列数据 &
横截面数据
t 检验 F 检验
设置指标变量
收集整理数据
构造理论模型
估计模型参数
N
模型
修改
检验
Y
模型运用
样本散点图 的形状
1.2 回归方程与回归名称的由来
Francis.Galton (1822-1911)
英国统计学家F. Galton和他的学生、 现代统计学的奠基者之一 K.Pearson 在研究父母身高与其子女身高的遗传 问题时,观察了1078对夫妇,
Karl.Pearson (1856—1936)
y ˆ3.3 73 0.51x6
y= f(x)
S=R2
▪原材料消耗额 y 与产量(x1) 、单位产量消耗(x2) 、原材料 价格(x3)之间的关系
y = x1 x2 x3
yf(x 1,x2, ,xp)
1.1 变量间的统计关系
【例】保险公司承保汽车，每辆汽车保费收入1000元，设承 保总收入为 y，承保汽车辆数为 x：
y（万元）
6000 5000 4000 3000 2000 1000
应用回归分析 第一章
本课程授课与考核方式
讲授为主，结合习题作业、上机作业
目录 Contents
第1章 回归分析概述 第2章 一元线性回归 第3章 多元线性回归 第4章 违背基本假定的情况 第5章 自变量选择与逐步回归 第6章 多重共线性的情形及其处理 第7章 岭回归 第8章 主成分回归与偏最小二乘 第9章 非线性回归 第10章 含定性变量的回归模型
Chapter
01
回归分析概述
Introduction: Regression Analysis
本章主要内容： 1 .1 变量间的统计关系 1 .2 回归方程与回归名称的由来 1 .3 回归分析的主要内容及其一般模型 1 .4 建立实际问题回归模型的过程 1 .5 回归分析应用与发展述评
回归分析处理的是变量与变量间的关系
在推断统计中，我们把上述变量间具有密切关联而又不 能由某一个或某一些变量唯一确定另外一个变量的关系， 称为变量间的统计关系或相关关系。
对变量间统计依赖关系的考察主要是通过 相关分析(correlation analysis) 回归分析(regression analysis)
来完成的。
统计依赖关系
最小二乘估计 最大似然估计
经济因素分析 经济变量控制
经济决策预测
01 ADD YOUR TITLE HERE 02 ADD YOUR TITLE HERE 03 ADD YOUR TITLE HERE 04 ADD YOUR TITLE HERE
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成年儿子身高
父母平均身高
当给定 x 的值，y 作为随机变量，它的取值不能确定，只能通 过一定的概率分布来描述。
(1.1)
f ( x ) = E( y | x ) 给定 x 时 y 的条件期望
利用样本观测值 （x1, y1） （ , x2 , y2）,....（ , xn , yn） 建立函数关系。 将样本观测点描绘在直角坐标系中，根据样本点的分布特点， 确定大致的函数关系：
确定性关系
即： 函数关系
变量之间的关系
用完全确切的函数形式表示
不确定性关系 或：相关关系
不能用完全确切的函数形式表示， 但在平均意义下有一定的定量关系表达式
1.1 变量间的统计关系
1. 函数关系(确定性关系)
▪商品的销售额 y 与销售量 x 之间的关系
y = px 线性关系
▪圆的面积与半径之间的关系
▪ 商品销售额(y)与广告费支出(x)之间的关系
消费习惯、价格高低、对该商品的喜好等 ▪ 粮食亩产量(y)与施肥量(x) 之间的关系
降雨量、田间管理、自然灾害等
1.1 变量间的统计关系
y
x
图1. 2 y 与x 非确定性关系图
特点：各对应点并不完全落在直线上！ y 与 x 的关系不能完全确定的函数形式给出