2015-2016学年哈尔滨市第三中学高一下学期数学期末试卷
哈尔滨市第三中学数学高一下期末基础卷(含答案)
一、选择题1．(0分)[ID ：12716]已知集合{}220A x x x =-->，则A =RA ．{}12x x -<< B ．{}12x x -≤≤C ．}{}{|12x x x x <-⋃D ．}{}{|1|2x x x x ≤-⋃≥2．(0分)[ID ：12702]已知D ，E 是ABC 边BC 的三等分点，点P 在线段DE 上，若AP xAB yAC =+，则xy 的取值范围是( )A ．14,99⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,94⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．21,92⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．21,94⎡⎤⎢⎥⎣⎦3．(0分)[ID ：12693](2015新课标全国I 理科)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有A ．14斛B ．22斛C ．36斛D ．66斛4．(0分)[ID ：12691]已知不等式220ax bx ++>的解集为{}12x x -<<，则不等式220x bx a ++<的解集为（ ）A ．112x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭B ．112x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或 C ．{}21x x -<<D ．{}21x x x <->或5．(0分)[ID ：12686]我国古代数学名著《九章算术》对立体几何也有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥．现有一如图所示的“堑堵”即三棱柱111ABC A B C -，其中AC BC ⊥，若11AA AB ==，当“阳马”即四棱锥11B A ACC -体积最大时，“堑堵”即三棱柱111ABC A B C -的表面积为A ．21+B ．31+C ．2232+ D ．33+ 6．(0分)[ID ：12684]设样本数据1210,,,x x x 的均值和方差分别为1和4，若(i i y x a a =+为非零常数，1,2,,10)i =，则1210,,,y y y 的均值和方差分别为（ ）A ．1,4a +B ．1,4a a ++C ．1,4D ．1,4a +7．(0分)[ID ：12683]为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下： 父亲身高x （cm ）174176176176178儿子身高y （cm ）175175176177177则y 对x 的线性回归方程为 A ．y = x-1B ．y = x+1C ．y =88+12x D ．y = 1768．(0分)[ID ：12673]在ABC 中，已知,2,60a x b B ===，如果ABC 有两组解，则x 的取值范围是( )A ．4323⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，B ．4323⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C ．4323⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭， D ．432,3⎛⎤⎥ ⎝⎦9．(0分)[ID ：12671]函数223()2xx xf x e +=的大致图像是（ ）A ．B ．C ．D ．10．(0分)[ID ：12661]记max{,,}x y z 表示,,x y z 中的最大者，设函数{}2()max 42,,3f x x x x x =-+---，若()1f m <，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(1,1)(3,4)-B ．(1,3)C ．(1,4)-D ．(,1)(4,)-∞-+∞11．(0分)[ID ：12656]某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是 A ．8号学生B ．200号学生C ．616号学生D ．815号学生12．(0分)[ID ：12655]如图，已知三棱柱111ABC A B C -的各条棱长都相等，且1CC ⊥底面ABC ，M 是侧棱1CC 的中点，则异面直线1AB 和BM 所成的角为( )A ．2π B ． C ． D ．3π 13．(0分)[ID ：12643]已知0.6log 0.5a =，ln0.5b =，0.50.6c =，则（ ） A ．a c b >>B ．a b c >>C ．c a b >>D ．c b a >>14．(0分)[ID ：12711]设集合{}1,2,4A =，{}240B x x x m =-+=．若{}1A B ⋂=，则B = ( ) A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,515．(0分)[ID ：12648]已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()32f x x =-，则不等式()0f x >的解集为（ ） A ．33,0,22⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭B ．33,,22⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．33,22⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．33,0,22⎛⎫⎛⎫-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭二、填空题16．(0分)[ID ：12818]在ABC ∆中，若3B π=，3AC =2AB BC +的最大值为__________．17．(0分)[ID ：12813]函数2sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭（[]0,x π∈）为增函数的区间是 ． 18．(0分)[ID ：12791]如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是1DD 、DC上靠近点D 的三等分点，则异面直线EF 与11A C 所成角的大小是______.19．(0分)[ID ：12780]如图，在等腰三角形ABC 中，已知1AB AC ==，120A ∠=︒，E F 、分别是边AB AC 、上的点，且,AE AB AF AC λμ==,其中(),0,1λμ∈且41λμ+=，若线段EF BC 、的中点分别为M N 、，则MN 的最小值是_____.20．(0分)[ID ：12775]已知圆的方程为x 2+y 2﹣6x ﹣8y ＝0，设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为21．(0分)[ID ：12739]设a ，b 是非零实数，且满足sincos1077tan 21cos sin 77a b a b πππππ+=-，则ba ＝_______．22．(0分)[ID ：12738]已知函数42,0()log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，若1[()]2f f a =-，则a 的值是________.23．(0分)[ID ：12736]函数sin 3y x x =-的图像可由函数2sin y x =的图像至少向右平移________个单位长度得到．24．(0分)[ID ：12753]在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=，12AA =，1AC BC ==，则异面直线1A B 与1AC 所成角的余弦值是_____________．25．(0分)[ID ：12760]△ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，2228b c a +-=，则△ABC 的面积为________． 三、解答题26．(0分)[ID ：12924]已知直线12:210:280,l x y l ax y a ，++=+++=且12l l //． （1）求直线12,l l 之间的距离；（2）已知圆C 与直线2l 相切于点A ，且点A 的横坐标为2-，若圆心C 在直线1l 上，求圆C 的标准方程．27．(0分)[ID ：12894]已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P （3455--，）． （Ⅰ）求sin （α+π）的值； （Ⅱ）若角β满足sin （α+β）=513，求cos β的值． 28．(0分)[ID ：12893]记n S 为公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，已知2219a a =，618S =.（1）求{}n a 的通项公式； （2）求n S 的最大值及对应n 的大小.29．(0分)[ID ：12832]ABC ∆中，三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若(cos ,cos )m B C =，(2,)n a c b =+，且m n ⊥.（1）求角B 的大小；（2）若7b =，8a c +=，求ABC ∆的面积.30．(0分)[ID ：12829]某校高一()1班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如图．(1)求分数在[)50,60的频数及全班人数；(2)求分数在[)80,90之间的频数，并计算频率分布直方图中[)80,90间矩形的高； (3)若要从分数在[)80,100之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在[)90,100之间的概率．【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案**科目模拟测试一、选择题1．B2．D3．B4．A5．C6．A7．C8．A9．B10．A11．C12．A13．A14．C15．A二、填空题16．【解析】【分析】【详解】设最大值为考点：解三角形与三角函数化简点评：借助于正弦定理三角形内角和将边长用一内角表示转化为三角函数求最值只需将三角函数化简为的形式17．【解析】试题分析：因为所以只要求函数的减区间即可解可得即所以故答案为考点：三角函数的图象和基本性质的运用【易错点晴】本题以函数的表达式的单调区间为背景考查的是三角函数中形如的正弦函数的图象和性质解答18．【解析】【分析】连接可得出证明出四边形为平行四边形可得可得出异面直线与所成角为或其补角分析的形状即可得出的大小即可得出答案【详解】连接在正方体中所以四边形为平行四边形所以异面直线与所成的角为易知为等19．【解析】【分析】根据条件及向量数量积运算求得连接由三角形中线的性质表示出根据向量的线性运算及数量积公式表示出结合二次函数性质即可求得最小值【详解】根据题意连接如下图所示:在等腰三角形中已知则由向量数20．20【解析】【分析】根据题意可知过（35）的最长弦为直径最短弦为过（35）且垂直于该直径的弦分别求出两个量然后利用对角线垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半求出即可【详解】解：圆的标准方程为（x﹣21．【解析】【分析】先把已知条件转化为利用正切函数的周期性求出即可求得结论【详解】因为（tanθ）∴∴tanθ＝tan（kπ）∴故答案为【点睛】本题主要考查三角函数中的恒等变换应用考查了两角和的正切公式22．-1或2【解析】【分析】根据函数值的正负由可得求出再对分类讨论代入解析式即可求解【详解】当时当当所以或故答案为:或【点睛】本题考查求复合函数值认真审题理解分段函数的解析式考查分类讨论思想属于中档题23．【解析】试题分析：因为所以函数的的图像可由函数的图像至少向右平移个单位长度得到【考点】三角函数图像的平移变换两角差的正弦公式【误区警示】在进行三角函数图像变换时提倡先平移后伸缩但先伸缩后平移也经常出24．【解析】【分析】先找出线面角运用余弦定理进行求解【详解】连接交于点取中点连接则连接为异面直线与所成角在中同理可得异面直线与所成角的余弦值是故答案为【点睛】本题主要考查了异面直线所成的角考查了空间想象25．【解析】【分析】首先利用正弦定理将题中的式子化为化简求得利用余弦定理结合题中的条件可以得到可以断定为锐角从而求得进一步求得利用三角形面积公式求得结果【详解】因为结合正弦定理可得可得因为结合余弦定理可三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．B 解析：B 【解析】分析：首先利用一元二次不等式的解法，求出220x x -->的解集，从而求得集合A ，之后根据集合补集中元素的特征，求得结果. 详解：解不等式220x x -->得12x x -或， 所以{}|12A x x x =<->或，所以可以求得{}|12R C A x x =-≤≤，故选B.点睛：该题考查的是有关一元二次不等式的解法以及集合的补集的求解问题，在解题的过程中，需要明确一元二次不等式的解集的形式以及补集中元素的特征，从而求得结果.2．D解析：D 【解析】 【分析】利用已知条件推出x +y ＝1，然后利用x ，y 的范围，利用基本不等式求解xy 的最值． 【详解】解：D ，E 是ABC 边BC 的三等分点，点P 在线段DE 上，若AP xAB yAC =+，可得x y 1+=，x ，12y ,33⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则2x y 1xy ()24+≤=，当且仅当1x y 2==时取等号，并且()2xy x 1x x x =-=-，函数的开口向下，对称轴为：1x 2=，当1x 3=或2x 3=时，取最小值，xy 的最小值为：29．则xy 的取值范围是：21,.94⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选D ． 【点睛】本题考查函数的最值的求法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．3．B解析：B 【解析】试题分析：设圆锥底面半径为r ，则12384r ⨯⨯=，所以163r =，所以米堆的体积为211163()5433⨯⨯⨯⨯=3209，故堆放的米约为3209÷1.62≈22，故选B. 考点：圆锥的性质与圆锥的体积公式4．A解析：A 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系，结合韦达定理可构造方程求得,a b ；利用一元二次不等式的解法可求得结果.【详解】220ax bx ++>的解集为{}12x x -<<1∴-和2是方程220ax bx ++=的两根，且0a <1212122ba a⎧-=-+=⎪⎪∴⎨⎪=-⨯=-⎪⎩，解得：11a b =-⎧⎨=⎩ 222210x bx a x x ∴++=+-< 解得：112x -<<，即不等式220x bx a ++<的解集为112x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭故选：A 【点睛】本题考查一元二次不等式的解法、一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系等知识的应用；关键是能够通过一元二次不等式的解集确定一元二次方程的根，进而利用韦达定理构造方程求得变量.5．C解析：C 【解析】分析：由四棱锥11B A ACC -的体积是三棱柱体积的23，知只要三棱柱体积最大，则四棱锥体积也最大，求出三棱柱的体积后用基本不等式求得最大值，及取得最大值时的条件，再求表面积．详解：四棱锥11B A ACC -的体积是三棱柱体积的23，11111122ABC A B C V AC BC AA AC BC -=⋅⋅=⋅222111()444AC BC AB ≤+==，当且仅当AC BC ==时，取等号．∴121)12S =⨯+++⨯=故选C ．点睛：本题考查棱柱与棱锥的体积，考查用基本不等式求最值．解题关键是表示出三棱柱的体积．6．A解析：A 【解析】试题分析：因为样本数据1210,,,x x x 的平均数是1,所以1210,,...y y y 的平均数是121012101210.........1101010y y y x a x a x a x x x a a ++++++++++++==+=+；根据i i y x a =+（a 为非零常数，1,2,,10i =），以及数据1210,,,x x x 的方差为4可知数据1210,,,y y y 的方差为2144⨯=，综上故选A.考点：样本数据的方差和平均数．7．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：由已知可得176,176x y ==∴中心点为()176,176， 代入回归方程验证可知，只有方程y =88+12x 成立，故选C 8．A解析：A 【解析】 【分析】已知,,a b B ，若ABC 有两组解，则sin a B b a <<，可解得x 的取值范围.【详解】由已知可得sin a B b a <<，则sin602x x ︒<<，解得432x <<.故选A. 【点睛】本题考查已知两边及其中一边的对角，用正弦定理解三角形时解的个数的判断. 若ABC 中，已知,,a b B 且B 为锐角，若0sin b a B <<，则无解；若sin b a B =或b a ≥，则有一解；若sin a B b a <<，则有两解. 9．B 解析：B 【解析】由()f x 的解析式知仅有两个零点32x =-与0x =，而A 中有三个零点，所以排除A ，又()2232xx x f x e-++'=，由()0f x '=知函数有两个极值点，排除C ，D ，故选B ． 10．A解析：A 【解析】 【分析】画出函数的图象，利用不等式，结合函数的图象求解即可． 【详解】函数()f x 的图象如图，直线1y =与曲线交点(1,1)A -，()1,1B ，()3,1C ，()4,1D ， 故()1f m <时，实数m 的取值范围是11m -<<或34m <<. 故选A. 【点睛】本题考查函数与方程的综合运用，属于常考题型.11．C解析：C 【解析】 【分析】等差数列的性质．渗透了数据分析素养．使用统计思想，逐个选项判断得出答案． 【详解】详解：由已知将1000名学生分成100个组，每组10名学生，用系统抽样，46号学生被抽到，所以第一组抽到6号，且每组抽到的学生号构成等差数列{}n a ，公差10d =， 所以610n a n=+()n *∈N ，若8610n =+，则15n =，不合题意；若200610n =+，则19.4n =，不合题意； 若616610n =+，则61n =，符合题意；若815610n =+，则80.9n =，不合题意．故选C ． 【点睛】本题主要考查系统抽样.12．A解析：A 【解析】 【分析】由题意设棱长为a ，补正三棱柱ABC-A 2B 2C 2，构造直角三角形A 2BM ，解直角三角形求出BM ，利用勾股定理求出A 2M ，从而求解． 【详解】设棱长为a ，补正三棱柱ABC-A 2B 2C 2（如图）．平移AB 1至A 2B ，连接A 2M ，∠MBA 2即为AB 1与BM 所成的角， 在△A 2BM 中，22252()22a A B a BM a a ==+=，，222313()22a A M a a =+=，222222,2A B BM A M MBA π∴+=∴∠=， ． 故选A ． 【点睛】本题主要考查了异面直线及其所成的角和勾股定理的应用，计算比较复杂，要仔细的做．13．A解析：A 【解析】由0.50.6log 0.51,ln 0.50,00.61><<<，所以1,0,01a b c ><<<，所以a c b >>，故选A .14．C【解析】∵ 集合{}124A ，，=，{}2|40B x x x m =-+=，{}1A B ⋂= ∴1x =是方程240x x m -+=的解，即140m -+= ∴3m =∴{}{}{}22|40|43013B x x x m x x x =-+==-+==，，故选C15．A解析：A 【解析】 【分析】根据题意，结合函数的解析式以及奇偶性分析可得()f x 的图象，据此分析可得答案. 【详解】解：因为()f x 是定义在R 上的奇函数， 所以它的图象关于原点对称，且()00f =， 已知当0x >时，()32f x x =-， 作出函数图象如图所示， 从图象知：33022f f ⎛⎫⎛⎫=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则不等式()0f x >的解集为33,0,22⎛⎫⎛⎫-∞-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：A.【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，以及函数的解析式，考查数形结合思想.二、填空题16．【解析】【分析】【详解】设最大值为考点：解三角形与三角函数化简点评：借助于正弦定理三角形内角和将边长用一内角表示转化为三角函数求最值只需将三角函数化简为的形式解析：7【分析】 【详解】 设322sin 3sin 32AB BC A θθπθ====⎛⎫- ⎪⎝⎭22sin ,3AB πθ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭2sin BC θ=()222sin 4sin 27sin 3AB BC πθθθϕ⎛⎫∴+=-+=+ ⎪⎝⎭，最大值为27考点：解三角形与三角函数化简点评：借助于正弦定理，三角形内角和将边长用一内角表示，转化为三角函数求最值，只需将三角函数化简为()22sin cos sin a b a b θθθϕ+=++的形式17．【解析】试题分析：因为所以只要求函数的减区间即可解可得即所以故答案为考点：三角函数的图象和基本性质的运用【易错点晴】本题以函数的表达式的单调区间为背景考查的是三角函数中形如的正弦函数的图象和性质解答解析：5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】 试题分析：因为,所以只要求函数的减区间即可.解可得,即,所以,故答案为5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 考点：三角函数的图象和基本性质的运用．【易错点晴】本题以函数2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的表达式的单调区间为背景,考查的是三角函数中形如的正弦函数的图象和性质.解答时先从题设中的条件增函数入手,对函数2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭进行变形,将其变形为一般式,将其转化为求函数的减区间.最后将其转化为正弦函数的单调递减区间的求法.通过解不等式使得本题获解.18．【解析】【分析】连接可得出证明出四边形为平行四边形可得可得出异面直线与所成角为或其补角分析的形状即可得出的大小即可得出答案【详解】连接在正方体中所以四边形为平行四边形所以异面直线与所成的角为易知为等 解析：60【解析】连接1CD ，可得出1//EF CD ，证明出四边形11A BCD 为平行四边形，可得11//A B CD ，可得出异面直线EF 与11A C 所成角为11BA C ∠或其补角，分析11A BC ∆的形状，即可得出11BA C ∠的大小，即可得出答案.【详解】连接1CD 、1A B 、1BC ，113DEDF DD DC ==，1//EF CD ∴， 在正方体1111ABCD A B C D -中，11//A D AD ，//AD BC ，11//A D BC ∴， 所以，四边形11A BCD 为平行四边形，11//A B CD ∴， 所以，异面直线EF 与11A C 所成的角为11BA C ∠. 易知11A BC ∆为等边三角形，1160BA C ∴∠=.故答案为：60. 【点睛】本题考查异面直线所成角的计算，一般利用平移直线法，选择合适的三角形求解，考查计算能力，属于中等题.19．【解析】【分析】根据条件及向量数量积运算求得连接由三角形中线的性质表示出根据向量的线性运算及数量积公式表示出结合二次函数性质即可求得最小值【详解】根据题意连接如下图所示:在等腰三角形中已知则由向量数 7 【解析】 【分析】根据条件及向量数量积运算求得AB AC ⋅,连接,AM AN ,由三角形中线的性质表示出,AM AN .根据向量的线性运算及数量积公式表示出2MN ,结合二次函数性质即可求得最小值. 【详解】根据题意,连接,AM AN ,如下图所示:在等腰三角形ABC 中,已知1AB AC ==,120A ∠=︒则由向量数量积运算可知1cos 11cos1202AB AC AB AC A ⋅=⋅=⨯⨯=- 线段EF BC 、的中点分别为M N 、则()()1122AM AE AF AB AC λμ=+=+ ()12AN AB AC =+ 由向量减法的线性运算可得11112222MN AN AM AB AC λμ⎛⎫⎛⎫=-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以2211112222MN AB AC λμ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦222211111111222222222AB AC AB AC λμλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⨯-⨯-⨯⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭221111111112222222222λμλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⨯-⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为41λμ+=,代入化简可得22221312111424477MN μμμ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭因为(),0,1λμ∈ 所以当17μ=时, 2MN 取得最小值17因而min177MN==故答案为: 77【点睛】本题考查了平面向量数量积的综合应用,向量的线性运算及模的求法,二次函数最值的应用,属于中档题.20．20【解析】【分析】根据题意可知过（35）的最长弦为直径最短弦为过（35）且垂直于该直径的弦分别求出两个量然后利用对角线垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半求出即可【详解】解：圆的标准方程为（x ﹣解析：【解析】 【分析】根据题意可知，过（3，5）的最长弦为直径，最短弦为过（3，5）且垂直于该直径的弦，分别求出两个量，然后利用对角线垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半求出即可． 【详解】解：圆的标准方程为（x ﹣3）2+（y ﹣4）2＝52， 由题意得最长的弦|AC |＝2×5＝10，根据勾股定理得最短的弦|BD |＝=，且AC ⊥BD ， 四边形ABCD 的面积S ＝|12AC |•|BD |12=⨯10×=． 故答案为． 【点评】考查学生灵活运用垂径定理解决数学问题的能力，掌握对角线垂直的四边形的面积计算方法为对角线乘积的一半．21．【解析】【分析】先把已知条件转化为利用正切函数的周期性求出即可求得结论【详解】因为（tanθ）∴∴tanθ＝tan （kπ）∴故答案为【点睛】本题主要考查三角函数中的恒等变换应用考查了两角和的正切公式【解析】 【分析】先把已知条件转化为10721717b tana tan tanb tan a πππθπ+⎛⎫==+ ⎪⎝⎭-．利用正切函数的周期性求出3k πθπ=+，即可求得结论．【详解】因为10721717btana tan tanb tan a πππθπ+⎛⎫==+ ⎪⎝⎭-，（tanθb a =） ∴10721k ππθπ+=+ ∴3k πθπ=+．tanθ＝tan （k π3π+）=∴ba=． 【点睛】本题主要考查三角函数中的恒等变换应用，考查了两角和的正切公式，属于中档题．22．-1或2【解析】【分析】根据函数值的正负由可得求出再对分类讨论代入解析式即可求解【详解】当时当当所以或故答案为:或【点睛】本题考查求复合函数值认真审题理解分段函数的解析式考查分类讨论思想属于中档题解析：-1或2 【解析】 【分析】根据函数值的正负，由1[()]02f f a =-<，可得()0f a >，求出()f a ，再对a 分类讨论，代入解析式，即可求解. 【详解】当0x ≤时，()0,f x >1[()]02f f a =-<， 411[()]log (()),()22f f a f a f a ∴==-∴=，当410,()log ,22a f a a a >==∴=， 当10,()2,12aa f a a ≤==∴=-， 所以1a =-或2a =. 故答案为:1-或2. 【点睛】本题考查求复合函数值，认真审题理解分段函数的解析式，考查分类讨论思想，属于中档题.23．【解析】试题分析：因为所以函数的的图像可由函数的图像至少向右平移个单位长度得到【考点】三角函数图像的平移变换两角差的正弦公式【误区警示】在进行三角函数图像变换时提倡先平移后伸缩但先伸缩后平移也经常出 解析：3π【解析】试题分析：因为sin 2sin()3y x x x π==-，所以函数sin y x x =的的图像可由函数2sin y x =的图像至少向右平移3π个单位长度得到． 【考点】三角函数图像的平移变换、两角差的正弦公式【误区警示】在进行三角函数图像变换时，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也经常出现在题目中，所以也必须熟练掌握，无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x而言，即图像变换要看“变量”变化多少，而不是“角”变化多少．24．【解析】【分析】先找出线面角运用余弦定理进行求解【详解】连接交于点取中点连接则连接为异面直线与所成角在中同理可得异面直线与所成角的余弦值是故答案为【点睛】本题主要考查了异面直线所成的角考查了空间想象解析：3010【解析】【分析】先找出线面角，运用余弦定理进行求解【详解】连接1AB交1A B于点D，取11B C中点E，连接DE，则1DE AC，连接1A E1A DE∴∠为异面直线1A B与1AC所成角在111Rt AC B中，111AC=，1111122C E C B==152A E∴=,同理可得162A D=,52DE=222165530cos652A DE+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭∠==⨯⨯,∴异面直线1A B与1AC30故答案为3010【点睛】本题主要考查了异面直线所成的角，考查了空间想象能力，运算能力和推理论证能力，属于基础题．25．【解析】【分析】首先利用正弦定理将题中的式子化为化简求得利用余弦定理结合题中的条件可以得到可以断定为锐角从而求得进一步求得利用三角形面积公式求得结果【详解】因为结合正弦定理可得可得因为结合余弦定理可解析：3. 【解析】【分析】首先利用正弦定理将题中的式子化为sin sin sin sin 4sin sin sin B C C B A B C +=，化简求得1sin 2A =，利用余弦定理，结合题中的条件，可以得到2cos 8bc A =，可以断定A 为锐角，从而求得cos A =，进一步求得3bc =，利用三角形面积公式求得结果. 【详解】因为sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，结合正弦定理可得sin sin sin sin 4sin sin sin B C C B A B C +=， 可得1sin 2A =，因为2228b c a +-=， 结合余弦定理2222a b c bccosA =+-，可得2cos 8bc A =，所以A 为锐角，且cos 2A =，从而求得bc =，所以ABC ∆的面积为111sin 22323S bc A ==⋅⋅=，故答案是3. 【点睛】本题主要考查余弦定理及正弦定理的应用，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cos a b c bc A =+-；（2）222cos 2b c a A bc+-=，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30、45、60等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.三、解答题 26．（12）22x (y 1)5++=． 【解析】 【分析】()1先由两直线平行解得a 4=，再由平行直线间的距离公式可求得；()2代x 2=-得()A 2,2--，可得AC 的方程，与1l 联立得()C 0,1-，再求得圆的半径，从而可得圆的标准方程．【详解】解：()121l //l ，a 28a 211+∴=≠，解得a 4=， 1l ∴：2x y 10++=，2l ：2x y 60++=， 故直线1l 与2l的距离d === ()2当x 2=-代入2x y 60++=，得y 2=-，所以切点A 的坐标为()2,2--，从而直线AC 的方程为()1y 2x 22+=+，得x 2y 20--=， 联立2x y 10++=得()C 0,1-．由()1知C所以所求圆的标准方程为：22x (y 1)5++=．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，考查了两条平行线的距离公式，属中档题． 27．（Ⅰ）45；（Ⅱ）5665- 或1665. 【解析】【分析】 分析：（Ⅰ）先根据三角函数定义得sin α，再根据诱导公式得结果，（Ⅱ）先根据三角函数定义得cos α，再根据同角三角函数关系得()cos αβ+，最后根据()βαβα=+-，利用两角差的余弦公式求结果.【详解】详解：（Ⅰ）由角α的终边过点34,55P ⎛⎫--⎪⎝⎭得4sin 5α=-， 所以()4sin πsin 5αα+=-=. （Ⅱ）由角α的终边过点34,55P ⎛⎫--⎪⎝⎭得3cos 5α=-， 由()5sin 13αβ+=得()12cos 13αβ+=±. 由()βαβα=+-得()()cos cos cos sin sin βαβααβα=+++， 所以56cos 65β=-或16cos 65β=. 点睛：三角函数求值的两种类型(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.28．（1）*(2)10n a n n ∈=-N （2）当4n =或5n =时,n S 有最大值为20．【解析】【分析】（1）将已知条件转化为1,a d 的形式列方程，由此解得1,a d ，进而求得{}n a 的通项公式. （2）根据等差数列前n 项和公式求得n S ，利用配方法，结合二次函数的性质求得n S 的最大值及对应n 的大小.【详解】（1）设{}n a 的公差为d ，且0d ≠．由2219a a =，得140a d +=，由618S =，得1532a d +=， 于是18a =,2d =-．所以{}n a 的通项公式为*(2)10n a n n ∈=-N ．（2）由（1）得(1)8(2)2n n n S n -=+⨯- 29n n =-+2981()24n =--+ 因为*n ∈N ，所以当4n =或5n =时,n S 有最大值为20．【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式和前n 项和公式基本量的计算，考查等差数列前n 项和的最值的求法，属于基础题.29．（1）23π；（2. 【解析】试题分析：（1）根据题意，由向量数量积的坐标计算公式可得若m n ⊥，则有cosB•（2a+c ）+cosC•b=0，结合正弦定理可得cosB•（2sinA+sinC ）+cosC•sinB=0，将其整理变形可得1cos 2B =-，由B 的范围分析可得答案；（2）结合题意，根据余弦定理分析可得49=a 2+c 2+ac ，又由a+c=8，变形可得ac=15，由三角形面积公式计算可得答案． 详解： （1）∵m n ⊥，∴()cos 2cos 0B a c C b ⋅++⋅=，∴()cos 2sin sin cos sin 0B A C C B ⋅++⋅=，∴()2cos sin sin cos cos sin B A C B C B =-⋅+⋅ ()sin sin B C A =-+=-， ∴1cos 2B =-，∴23B π=. （2）根据余弦定理可知2222cos b a c ac B =+-，∴2249a c ac =++， 又因为8a c +=，∴()264a c +=，∴22264a c ac ++=，∴15ac =，则1sin 2S ac B =⋅= 点睛：本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答. 30．（1）2，25；（2）0.012；（3）0.7.【解析】【分析】(1)先由频率分布直方图求出[)50,60的频率，结合茎叶图中得分在[)50,60的人数即可求得本次考试的总人数；(2)根据茎叶图的数据，利用(1)中的总人数减去[)50,80外的人数，即可得到[)50,80内的人数，从而可计算频率分布直方图中[)80,90间矩形的高；(3)用列举法列举出所有的基本事件，找出符合题意得基本事件个数，利用古典概型概率计算公式即可求出结果．【详解】(1)分数在[)50,60的频率为0.008100.08⨯=，由茎叶图知：分数在[)50,60之间的频数为2， ∴全班人数为2250.08=． (2)分数在[)80,90之间的频数为25223-=；频率分布直方图中[)80,90间的矩形的高为3100.01225÷=． (3)将[)80,90之间的3个分数编号为1a ，2a ，3a ，[)90,100之间的2个分数编号为1b ，2b ，在[)80,100之间的试卷中任取两份的基本事件为： ()12a ,a ，()13a ,a ，()11a ,b ，()12a ,b ，()23a ,a ，()21a ,b ，()22a ,b ，()31a ,b ，()32a ,b ，()12b ,b 共10个，其中，至少有一个在[)90,100之间的基本事件有7个，故至少有一份分数在[)90,100之间的概率是70.710=． 【点睛】本题考查了茎叶图和频率分布直方图的性质，以及古典概型概率计算公式的应用，此题是基础题．对于古典概型，要求事件总数是可数的，满足条件的事件个数可数，使得满足条件的事件个数除以总的事件个数即可.。
2015-2016学年哈尔滨市第三中学高二下学期数学(理)期末试卷
6． 函数 f ( x ) x 3ax a 在 (0,1) 内有最小值，则 a 的取值范围是 A.
0 a 1
B. D.
*
0 a 1
0a 1 2
C. 1 a 1
7. 已知 an log n 1 (n 2)(n N ) ，观察下列算式： a1a2 log 2 3 log3 4 2 ,
x 1 cos ．以 O 为极点， x 轴的 ( 为参数） y sin
与圆 C 的交 3
23．(本题满分 12 分)选修 4—5:不等式选讲
已知函数 f ( x ) | x a | . （Ⅰ）若 f ( x ) m 的解集为 { x | 1 x 5} ，求实数 a , m 的值; （Ⅱ）当 a 2 时，解关于 x 的不等式 f ( x ) 1 f ( x 2) .
2 2
高二数学（理）第 2 页
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D．由向量加法的几何意义，可以类比得到复数加法的几何意义. 10．若不等式 a b 2 ( a b) 对任意正数 a, b 恒成立，实数 的取值范围是
2 2
A． ( , )
1 2
B． ( ,1)
C． ( ,2)
D． ( ,3)
最小值为 A． (1 ln 3)
1 3
B. ln 3
1 3
C. (1 ln 3)
1 3
D. ln 3 1
9. 下面使用类比推理正确的是 A．直线 a, b, c ，若 a // b, b // c ,则 a // c ，类推出：向量 a, b, c ，若 a // b, b // c ，则 a // c B．同一平面内，直线 a, b, c ，若 a c, b c ，则 a // b ，类推出：空间中，直线 a, b, c ， 若 a c, b c ，则 a // b C．实数 a, b ，若方程 x 2 ax b 0 有实数根，则 a 2 4b ，类推出：复数 a, b ，若方 程 x ax b 0 有实数根，则 a 4b
黑龙江省哈尔滨市第三中学近年-近年学年高一数学下学期第一次阶段性测试试题(含解析)(最新整理)
【解析】
试题分析：将实际问题转化为解三角形问题,找到对应的边角以及所求的边，利用正弦定理余弦定理求得边长,即航行的距离，得到航速
试题解析:轮船从C到B用时80分钟，从B到E用时20分钟,
而船始终匀速前进，由此可见：BC=4EB,设EB= ，则
则BC=4 ,由已知得 2分
△AEC中，由正弦定理得:
【详解】根据“有两个角两角相等，且有一边相等的两个三角形全等”可知A选项有一个解.根据“两边对应相等,且这两边的夹角相等,则这两个三角形全等”可知B选项有一个解.由于 为锐角，且 ，故C选项有一个解。对于D选项,由于 ，所以D选项有两个解。故选B.
【点睛】本小题主要考查解三角形过程中,三角形解得个数的判断，属于中档题.
【点睛】本小题主要考查平面向量加法、减法运算，考查平面向量数量积运算，考查两个向量垂直的表示，考查余弦定理，属于中档题.
三、解答题：本大题共4小题，共40分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
17。在 中，内角 的对边分别为 , ， ，已知 ．
(1）求 的值；
(2)若 ， ，求 的面积．
【答案】(1）2；（2）
1.在 中，若 ， ， ，则
A。 B。 C. D.
【答案】B
【解析】
试题分析：在 中，由正弦定理可知 ，∴ .
考点:正弦定理的应用。
2。在平行四边形 中，下列结论错误的是
A。 B. C. D。
【答案】C
【解析】
分析】
画出图像，根据向量加法运算，对选项逐一分析判断,由此得出正确选项.
【详解】画出图像如下图所示。对于A选项， 大小相等方向相反， ,结论正确.对于B选项，根据向量加法的平行四边形法则可知， ，结论正确。对于C选项，由于 ，故结论错误.对于D选项， ，大小相等方向相反， ，结论正确.故选C。
2019-2020学年黑龙江省哈尔滨市第三中学高一下学期期末考试数学试题(解析版)
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）先证明线面垂直，再利用面面垂直的判定定理，即可得答案；
（2）作出线面角的平面角，再求正弦值，即可得答案；
【详解】
（1） 四边形 为菱形， ，
又 ， ， ，
， 平面 ，
平面 ， 平面 平面 ；
（2）设 交 于点 ，连结 ，
8．函数 的最小值是（）
A．4B．6C．8D．10
【答案】C
【解析】将 变形为 ，然后根据基本不等式求解出 的最小值即可.
【详解】
因为 ，
所以 ，
取等号时 ，即 ，
所以 .
故选：C.
【点睛】
本题考查利用配凑法以及基本不等式求解最小值，利用基本不等式求解最值时注意说明取等号的条件，属于基础题目.
9．已知圆锥的轴截面为正三角形，且边长为2，则圆锥的表面积为（）
4．已知 是公差为2的等差数列，且 ，则 （）
A．12B．14C．16D．18
【答案】C
【解析】根据题意，结合等差数列项之间的关系，建立等量关系式，求得 的值，进而求得结果.
【详解】
是公差为 的等差数列， ，
，即 ，
，
故选：C.
【点睛】
该题考查的是有关等差数列的问题，涉及到的知识点有等差数列通项公式基本量的计算，属于基础题目.
①若 ， ，则 ；
②若 ， ， ，则 ；
③若 ， ，则 ；
④若直线m用与平面 内的无数条直线垂直，则 .
A．①②B．②③C．①③D．②④
【答案】B
【解析】对各个命题逐个分析，结合面面平行的性质，线面平行的判定，以及线面垂直的判定和性质，得到结果.
【详解】
2015-2016年黑龙江省哈尔滨六中高一下学期数学期末试卷及答案解析
2015-2016学年黑龙江省哈尔滨六中高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）原点到直线x+y﹣2=0的距离为（）A．B．0 C．2 D．12．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边为a，b，c，若b=，∠B=，cosA=，则边a等于（）A．1 B．C．3 D．53．（5分）圆心为（1，2）且过原点的圆的方程是（）A．（x﹣1）2+（y﹣2）2=5 B．（x+1）2+（y+2）2=5 C．（x﹣1）2+（y﹣2）2=3 D．（x+1）2+（y+2）2=34．（5分）若实数x，y满足，则z=x﹣2y的最大值为（）A．﹣2 B．0 C．2 D．45．（5分）若直线ax﹣by=1（a＞0，b＞0）过点（1，﹣1），则+的最小值为（）A．3 B．4 C．5 D．86．（5分）椭圆的长轴长与短轴长之和等于其焦距的倍，且一个焦点的坐标为（，0），则椭圆的标准方程为（）A．+y2=1B．+x2=1 C．+=1 D．+=17．（5分）已知数列{a n}是由正数组成的等比数列，S n为其前n项和．已知a2a4=16，S3=7，则S5=（）A．15 B．17 C．31 D．338．（5分）设F1、F2是椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（）A．B．C．D．9．（5分）已知数列{a n}是等差数列，其前n项和为S n，若首项a1＞0且﹣1＜＜0，有下列四个命题：P1：d＜0；P2：a1+a12＜0；P3：数列{a n}的前7项和最大；P4：使S n＞0的最大n值为12；其中正确的命题为（）A．P1，P2B．P1，P4C．P2，P3D．P3，P410．（5分）已知点P（x，y）满足条件：，若z=x+3y的最大值为8，则k的值为（）A．﹣6 B．6 C．8 D．不确定11．（5分）已知正实数a，b满足a+2b=1，则+的最小值为（）A．1+2B．1+C．4 D．212．（5分）设点P是椭圆+=1（a＞b＞0）与圆x2+y2=3b2的一个交点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，且|PF1|=3|PF2|，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在机读卡上相应的位置．13．（5分）已知过点A（﹣2，m）和（m，10）的直线与直线2x﹣y﹣1=0平行，则m的值为．14．（5分）已知点P（1，1）是直线l被椭圆+=1所截得的线段的中点，则直线l的方程为．15．（5分）在△ABC中，角A，B，C的所对边分别为a，b，c，若a2﹣b2=c2，则的值为．16．（5分）已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0的两条切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值为．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）过点P（1，1）作直线l，分别交x，y正半轴于A，B两点．（1）若直线l与直线x﹣3y+1=0垂直，求直线l的方程；（2）若直线l在y轴上的截距是直线l在x轴上截距的2倍，求直线l的方程．18．（12分）设{a n}是公比大于1的等比数列，S n为数列{a n}的前n项和．已知S3=7，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=（n+1）log2a n+1．证明：++…++＜1．19．（12分）已知A（0，2），圆C：（x﹣a）2+y2=1．（1）当a=1时，求直线2x﹣y﹣1=0被圆C截得的弦长；（2）若圆C上存在点M，满足条件|MA|=3，求实数a的取值范围．20．（12分）已知三角形△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且2acosC=2b ﹣c．（1）求角A的大小；（2）若b+c=2，求a的取值范围．21．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且短轴长为2．（1）求椭圆的方程；（2）若直线l：y=x+与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，求△AOB的面积．22．（12分）设椭圆C：+=1的左、右焦点分别为F1，F2，直线y=x﹣1过椭圆的右焦点F2且与椭圆交于P，Q两点，若△F1PQ的周长为4．（1）求椭圆C的方程；（2）过点M（2，0）的直线l与椭圆C交于不同两点E，F，求•取值范围．2015-2016学年黑龙江省哈尔滨六中高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）原点到直线x+y﹣2=0的距离为（）A．B．0 C．2 D．1【解答】解：∵原点O（0，0），直线x+y﹣2=0，∴原点到直线l的距离为d==1，故选：D．2．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边为a，b，c，若b=，∠B=，cosA=，则边a等于（）A．1 B．C．3 D．5【解答】解：在△ABC中，∵cosA=，A∈（0，π），∴sinA==．由正弦定理可得：a===3．故选：C．3．（5分）圆心为（1，2）且过原点的圆的方程是（）A．（x﹣1）2+（y﹣2）2=5 B．（x+1）2+（y+2）2=5 C．（x﹣1）2+（y﹣2）2=3 D．（x+1）2+（y+2）2=3【解答】解：由题意可得圆的半径r=，又圆心为（1，2），可得圆的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=5．故选：A．4．（5分）若实数x，y满足，则z=x﹣2y的最大值为（）A．﹣2 B．0 C．2 D．4【解答】解：由z=x﹣2y得y=x﹣，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）平移直线y=x﹣，由图象可知当直线，过点A时，直线的截距最小，此时z最大，由，得，即A（2，0），代入目标函数z=x﹣2y，得z=2，∴目标函数z=x﹣2y的最大值是2，故选：C．5．（5分）若直线ax﹣by=1（a＞0，b＞0）过点（1，﹣1），则+的最小值为（）A．3 B．4 C．5 D．8【解答】解：由题意可得：直线ax﹣by=1（a＞0，b＞0）过点（1，﹣1），所以a+b=1．所以+=（a+b）（+）=2++≥2+2=4，当且仅当a=b=时取等号．∴+的最小值为4故选：B．6．（5分）椭圆的长轴长与短轴长之和等于其焦距的倍，且一个焦点的坐标为（，0），则椭圆的标准方程为（）A．+y2=1B．+x2=1 C．+=1 D．+=1【解答】解：由题意，c=，a+b=3，∵a2=b2+c2，∴a=2，b=1，∴椭圆的标准方程为+y2=1，故选：A．7．（5分）已知数列{a n}是由正数组成的等比数列，S n为其前n项和．已知a2a4=16，S3=7，则S5=（）A．15 B．17 C．31 D．33【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q＞0．∵a2a4=16，S3=7，∴q≠1，=16，a1（1+q+q2）=7，解得a1=1，q=2，则S5==31，故选：C．8．（5分）设F1、F2是椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，∴|PF2|=|F2F1|∵P为直线x=上一点∴∴故选：C．9．（5分）已知数列{a n}是等差数列，其前n项和为S n，若首项a1＞0且﹣1＜＜0，有下列四个命题：P1：d＜0；P2：a1+a12＜0；P3：数列{a n}的前7项和最大；P4：使S n＞0的最大n值为12；其中正确的命题为（）A．P1，P2B．P1，P4C．P2，P3D．P3，P4【解答】解：数列{a n}是等差数列，其前n项和为S n，首项a1＞0，且﹣1＜＜0，则d＜0．∴a6＞0，a7＜0，且a6+a7＞0．则P1：d＜0，正确；P2：a1+a12=a6+a7＞0，因此不正确；P3：数列{a n}的前6项和最大，因此不正确；P4：S12=＞0，=13a7＜0．因此正确．综上可得：正确的命题为P1，P4．故选：B．10．（5分）已知点P（x，y）满足条件：，若z=x+3y的最大值为8，则k的值为（）A．﹣6 B．6 C．8 D．不确定【解答】解：由约束条件：作出可行域如图，联立，解得A（，），化目标函数z=x+3y为y=﹣+，由图可知，当直线y=﹣+，过A（，），时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为=8，解得k=6．故选：B．11．（5分）已知正实数a，b满足a+2b=1，则+的最小值为（）A．1+2B．1+C．4 D．2【解答】解：∵正实数a，b满足a+2b=1，则+=+=1++≥1+2=1+2，当且仅当a=b=﹣1时取等号．故选：A．12．（5分）设点P是椭圆+=1（a＞b＞0）与圆x2+y2=3b2的一个交点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，且|PF1|=3|PF2|，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：依据椭圆的定义：|PF1|+|PF2|=2a，又∵|PF1|=3|PF2|，∴|PF1|=a，|PF2|=a，∵圆x2+y2=3b2的半径r=b，∴三角形F1PF2中有余弦定理可得：，，可得7a2=8c2，得e=．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在机读卡上相应的位置．13．（5分）已知过点A（﹣2，m）和（m，10）的直线与直线2x﹣y﹣1=0平行，则m的值为2．【解答】解：由直线2x﹣y﹣1=0化为y=2x﹣1，可知其斜率为2．∵过A（﹣2，m），B（m，10）两点的直线与直线2x﹣y+1=0平行，∴k AB=2，∴=2，解得m=2．故答案为：214．（5分）已知点P（1，1）是直线l被椭圆+=1所截得的线段的中点，则直线l的方程为x+2y﹣3=0．【解答】解：设l与椭圆的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），由中点坐标公式可知：=1，=1，则：，k AB==﹣=﹣，直线l的方程为y﹣1=﹣（x﹣1），即x+2y﹣3=0，故答案为：x+2y﹣3=0．15．（5分）在△ABC中，角A，B，C的所对边分别为a，b，c，若a2﹣b2=c2，则的值为．【解答】解：∵a2﹣b2=c2，∴===．故答案为：．16．（5分）已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0的两条切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值为．【解答】解：∵圆的方程为：x2+y2﹣2x﹣2y+1=0∴圆心C（1，1）、半径r为：1根据题意，若四边形面积最小当圆心与点P的距离最小时，距离为圆心到直线的距离时，切线长PA，PB最小圆心到直线的距离为d=3∴|PA|=|PB|=∴故答案为：三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）过点P（1，1）作直线l，分别交x，y正半轴于A，B两点．（1）若直线l与直线x﹣3y+1=0垂直，求直线l的方程；（2）若直线l在y轴上的截距是直线l在x轴上截距的2倍，求直线l的方程．【解答】解：（1）设直线l的斜率为k，∵直线l与直线x﹣3y+1=0垂直，∴k=﹣1，解得k=﹣3．∴直线方程为y﹣1=﹣3（x﹣1），化为3x+y﹣4=0．（2）经过原点的直线：y=x也满足条件．直线l不经过原点时，设直线l：y﹣1=k（x﹣1）（k＜0）；y轴上的截距为：y=1﹣k，x轴上的截距为：．∵，解得k=﹣2；∴直线方程为：2x+y﹣3=0．综上可得：直线方程为：2x+y﹣3=0或y=x．18．（12分）设{a n}是公比大于1的等比数列，S n为数列{a n}的前n项和．已知S3=7，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=（n+1）log2a n+1．证明：++…++＜1．【解答】（1）解：∵数列{a n}是等比数列，S3=7=a1+a2+a3，又∵a1+3，3a2，a3+4构成等差数列，∴6a2=a1+3+a3+4=a1+a3+（a1+a2+a3），即5a2=2a1+2a3，记数列{a n}的公比为q，则5a1q=2a1+2a1q2，∴2q2﹣5q+2=0，即（2q﹣1）（q﹣2）=0，解得：q=2或q=（舍），又∴S3=7=a1（1+2+4），即a1=1，∴数列{a n}的通项公式a n=2n﹣1；（2）证明：由（1）可知b n=（n+1）log2a n+1=n（n+1），∵==﹣，∴．19．（12分）已知A（0，2），圆C：（x﹣a）2+y2=1．（1）当a=1时，求直线2x﹣y﹣1=0被圆C截得的弦长；（2）若圆C上存在点M，满足条件|MA|=3，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a=1时，圆的圆心坐标为（1，0），半径为1，圆心到直线的距离d=，∴直线2x﹣y﹣1=0被圆C截得的弦长=2=；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（2）|MA|=3⇐x2+（y﹣2）2=9，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）所以点M的轨迹是圆，则两个圆有公共点，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）所以﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）20．（12分）已知三角形△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且2acosC=2b ﹣c．（1）求角A的大小；（2）若b+c=2，求a的取值范围．【解答】解：（1）∵2acosC=2b﹣c，∴2a×=2b﹣c，化为：b2+c2﹣a2=bc．∴cosA==，又A∈（0，π）．∴．（2）∵，∴，∴，sinB+sinC=sinB+sin=sinB+cosB+sinB==sin．∴，∵，∴a∈[1，2）．21．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且短轴长为2．（1）求椭圆的方程；（2）若直线l：y=x+与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，求△AOB的面积．【解答】解：（1）短轴长2b=2，b=1，…（2分）又a2=b2+c2，所以，所以椭圆的方程为…（5分）（2）设直线l的方程为，A（x1，y1），B（x2，y2），∴，消去y得，，由韦达定理可知：，由弦长公式可知：丨AB丨=•=•=…（7分）根据点到直线的距离公式：d==1，S△AOB=×d×丨AB丨=×1×=，∴…（12分）22．（12分）设椭圆C：+=1的左、右焦点分别为F1，F2，直线y=x﹣1过椭圆的右焦点F2且与椭圆交于P，Q两点，若△F1PQ的周长为4．（1）求椭圆C的方程；（2）过点M（2，0）的直线l与椭圆C交于不同两点E，F，求•取值范围．【解答】解：（1）由直线y=x﹣1，令x﹣1=0，解得x=1，∴F2（1，0）．∵△F1PQ的周长为4，∴4=4a，解得a=，∴b2=a2﹣c2=1．∴椭圆C的方程为：=1．（2）由题意直线l的斜率存在，y=k（x﹣2），设E（x1，y1），F（x2，y2），，化为（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0，△＞0，解得，∴x1+x2=，x1x2=．∵•=（x1﹣2）（x2﹣2）+y1y2=（1+k2）[x1x2﹣2（x1+x2）+4]=（1+k2）==+1，∵，∴∈．∴．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O DAB CEAOD CB2.如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC ⊥BD 于P ，设⊙O 的半径是2。
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2015-2016学年黑龙江省哈尔滨六中高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）原点到直线x+y﹣2=0的距离为（）A．B．0 C．2 D．12．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边为a，b，c，若b=，∠B=，cosA=，则边a等于（）A．1 B．C．3 D．53．（5分）圆心为（1，2）且过原点的圆的方程是（）A．（x﹣1）2+（y﹣2）2=5 B．（x+1）2+（y+2）2=5 C．（x﹣1）2+（y﹣2）2=3 D．（x+1）2+（y+2）2=34．（5分）若实数x，y满足，则z=x﹣2y的最大值为（）A．﹣2 B．0 C．2 D．45．（5分）若直线ax﹣by=1（a＞0，b＞0）过点（1，﹣1），则+的最小值为（）A．3 B．4 C．5 D．86．（5分）椭圆的长轴长与短轴长之和等于其焦距的倍，且一个焦点的坐标为（，0），则椭圆的标准方程为（）A．+y2=1B．+x2=1 C．+=1 D．+=17．（5分）已知数列{a n}是由正数组成的等比数列，S n为其前n项和．已知a2a4=16，S3=7，则S5=（）A．15 B．17 C．31 D．338．（5分）设F1、F2是椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（）A．B．C．D．9．（5分）已知数列{a n}是等差数列，其前n项和为S n，若首项a1＞0且﹣1＜＜0，有下列四个命题：P1：d＜0；P2：a1+a12＜0；P3：数列{a n}的前7项和最大；P4：使S n＞0的最大n值为12；其中正确的命题为（）A．P 1，P2B．P1，P4C．P2，P3D．P3，P410．（5分）已知点P（x，y）满足条件：，若z=x+3y的最大值为8，则k的值为（）A．﹣6 B．6 C．8 D．不确定11．（5分）已知正实数a，b满足a+2b=1，则+的最小值为（）A．1+2B．1+C．4 D．212．（5分）设点P是椭圆+=1（a＞b＞0）与圆x2+y2=3b2的一个交点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，且|PF1|=3|PF2|，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在机读卡上相应的位置．13．（5分）已知过点A（﹣2，m）和（m，10）的直线与直线2x﹣y﹣1=0平行，则m的值为．14．（5分）已知点P（1，1）是直线l被椭圆+=1所截得的线段的中点，则直线l的方程为．15．（5分）在△ABC中，角A，B，C的所对边分别为a，b，c，若a2﹣b2=c2，则的值为．16．（5分）已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0的两条切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值为．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）过点P（1，1）作直线l，分别交x，y正半轴于A，B两点．（1）若直线l与直线x﹣3y+1=0垂直，求直线l的方程；（2）若直线l在y轴上的截距是直线l在x轴上截距的2倍，求直线l的方程．18．（12分）设{a n}是公比大于1的等比数列，S n为数列{a n}的前n项和．已知S3=7，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=（n+1）log2a n+1．证明：++…++＜1．19．（12分）已知A（0，2），圆C：（x﹣a）2+y2=1．（1）当a=1时，求直线2x﹣y﹣1=0被圆C截得的弦长；（2）若圆C上存在点M，满足条件|MA|=3，求实数a的取值范围．20．（12分）已知三角形△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且2acosC=2b ﹣c．（1）求角A的大小；（2）若b+c=2，求a的取值范围．21．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且短轴长为2．（1）求椭圆的方程；（2）若直线l：y=x+与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，求△AOB的面积．22．（12分）设椭圆C：+=1的左、右焦点分别为F1，F2，直线y=x﹣1过椭圆的右焦点F2且与椭圆交于P，Q两点，若△F1PQ的周长为4．（1）求椭圆C的方程；（2）过点M（2，0）的直线l与椭圆C交于不同两点E，F，求•取值范围．2015-2016学年黑龙江省哈尔滨六中高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）原点到直线x+y﹣2=0的距离为（）A．B．0 C．2 D．1【解答】解：∵原点O（0，0），直线x+y﹣2=0，∴原点到直线l的距离为d==1，故选：D．2．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边为a，b，c，若b=，∠B=，cosA=，则边a等于（）A．1 B．C．3 D．5【解答】解：在△ABC中，∵cosA=，A∈（0，π），∴sinA==．由正弦定理可得：a===3．故选：C．3．（5分）圆心为（1，2）且过原点的圆的方程是（）A．（x﹣1）2+（y﹣2）2=5 B．（x+1）2+（y+2）2=5 C．（x﹣1）2+（y﹣2）2=3 D．（x+1）2+（y+2）2=3【解答】解：由题意可得圆的半径r=，又圆心为（1，2），可得圆的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=5．故选：A．4．（5分）若实数x，y满足，则z=x﹣2y的最大值为（）A．﹣2 B．0 C．2 D．4【解答】解：由z=x﹣2y得y=x﹣，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）平移直线y=x﹣，由图象可知当直线，过点A时，直线的截距最小，此时z最大，由，得，即A（2，0），代入目标函数z=x﹣2y，得z=2，∴目标函数z=x﹣2y的最大值是2，故选：C．5．（5分）若直线ax﹣by=1（a＞0，b＞0）过点（1，﹣1），则+的最小值为（）A．3 B．4 C．5 D．8【解答】解：由题意可得：直线ax﹣by=1（a＞0，b＞0）过点（1，﹣1），所以a+b=1．所以+=（a+b）（+）=2++≥2+2=4，当且仅当a=b=时取等号．∴+的最小值为4故选：B．6．（5分）椭圆的长轴长与短轴长之和等于其焦距的倍，且一个焦点的坐标为（，0），则椭圆的标准方程为（）A．+y2=1B．+x2=1 C．+=1 D．+=1【解答】解：由题意，c=，a+b=3，∵a2=b2+c2，∴a=2，b=1，∴椭圆的标准方程为+y2=1，故选：A．7．（5分）已知数列{a n}是由正数组成的等比数列，S n为其前n项和．已知a2a4=16，S3=7，则S5=（）A．15 B．17 C．31 D．33【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q＞0．∵a2a4=16，S3=7，∴q≠1，=16，a1（1+q+q2）=7，解得a1=1，q=2，则S5==31，故选：C．8．（5分）设F1、F2是椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，∴|PF2|=|F2F1|∵P为直线x=上一点∴∴故选：C．9．（5分）已知数列{a n}是等差数列，其前n项和为S n，若首项a1＞0且﹣1＜＜0，有下列四个命题：P1：d＜0；P2：a1+a12＜0；P3：数列{a n}的前7项和最大；P4：使S n＞0的最大n值为12；其中正确的命题为（）A．P1，P2B．P1，P4C．P2，P3D．P3，P4【解答】解：数列{a n}是等差数列，其前n项和为S n，首项a1＞0，且﹣1＜＜0，则d＜0．∴a6＞0，a7＜0，且a6+a7＞0．则P1：d＜0，正确；P2：a1+a12=a6+a7＞0，因此不正确；P3：数列{a n}的前6项和最大，因此不正确；P4：S12=＞0，=13a7＜0．因此正确．综上可得：正确的命题为P1，P4．故选：B．10．（5分）已知点P（x，y）满足条件：，若z=x+3y的最大值为8，则k的值为（）A．﹣6 B．6 C．8 D．不确定【解答】解：由约束条件：作出可行域如图，联立，解得A（，），化目标函数z=x+3y为y=﹣+，由图可知，当直线y=﹣+，过A（，），时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为=8，解得k=6．故选：B．11．（5分）已知正实数a，b满足a+2b=1，则+的最小值为（）A．1+2B．1+C．4 D．2【解答】解：∵正实数a，b满足a+2b=1，则+=+=1++≥1+2=1+2，当且仅当a=b=﹣1时取等号．故选：A．12．（5分）设点P是椭圆+=1（a＞b＞0）与圆x2+y2=3b2的一个交点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，且|PF1|=3|PF2|，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：依据椭圆的定义：|PF1|+|PF2|=2a，又∵|PF1|=3|PF2|，∴|PF1|=a，|PF2|=a，∵圆x2+y2=3b2的半径r=b，∴三角形F1PF2中有余弦定理可得：，，可得7a2=8c2，得e=．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在机读卡上相应的位置．13．（5分）已知过点A（﹣2，m）和（m，10）的直线与直线2x﹣y﹣1=0平行，则m的值为2．【解答】解：由直线2x﹣y﹣1=0化为y=2x﹣1，可知其斜率为2．∵过A（﹣2，m），B（m，10）两点的直线与直线2x﹣y+1=0平行，∴k AB=2，∴=2，解得m=2．故答案为：214．（5分）已知点P（1，1）是直线l被椭圆+=1所截得的线段的中点，则直线l的方程为x+2y﹣3=0．【解答】解：设l与椭圆的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），由中点坐标公式可知：=1，=1，则：，k AB==﹣=﹣，直线l的方程为y﹣1=﹣（x﹣1），即x+2y﹣3=0，故答案为：x+2y﹣3=0．15．（5分）在△ABC中，角A，B，C的所对边分别为a，b，c，若a2﹣b2=c2，则的值为．【解答】解：∵a2﹣b2=c2，∴===．故答案为：．16．（5分）已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0的两条切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值为．【解答】解：∵圆的方程为：x2+y2﹣2x﹣2y+1=0∴圆心C（1，1）、半径r为：1根据题意，若四边形面积最小当圆心与点P的距离最小时，距离为圆心到直线的距离时，切线长PA，PB最小圆心到直线的距离为d=3∴|PA|=|PB|=∴故答案为：三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）过点P（1，1）作直线l，分别交x，y正半轴于A，B两点．（1）若直线l与直线x﹣3y+1=0垂直，求直线l的方程；（2）若直线l在y轴上的截距是直线l在x轴上截距的2倍，求直线l的方程．【解答】解：（1）设直线l的斜率为k，∵直线l与直线x﹣3y+1=0垂直，∴k=﹣1，解得k=﹣3．∴直线方程为y﹣1=﹣3（x﹣1），化为3x+y﹣4=0．（2）经过原点的直线：y=x也满足条件．直线l不经过原点时，设直线l：y﹣1=k（x﹣1）（k＜0）；y轴上的截距为：y=1﹣k，x轴上的截距为：．∵，解得k=﹣2；∴直线方程为：2x+y﹣3=0．综上可得：直线方程为：2x+y﹣3=0或y=x．18．（12分）设{a n}是公比大于1的等比数列，S n为数列{a n}的前n项和．已知S3=7，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=（n+1）log2a n+1．证明：++…++＜1．【解答】（1）解：∵数列{a n}是等比数列，S3=7=a1+a2+a3，又∵a1+3，3a2，a3+4构成等差数列，∴6a2=a1+3+a3+4=a1+a3+（a1+a2+a3），即5a2=2a1+2a3，记数列{a n}的公比为q，则5a1q=2a1+2a1q2，∴2q2﹣5q+2=0，即（2q﹣1）（q﹣2）=0，解得：q=2或q=（舍），又∴S3=7=a1（1+2+4），即a1=1，∴数列{a n}的通项公式a n=2n﹣1；（2）证明：由（1）可知b n=（n+1）log2a n+1=n（n+1），∵==﹣，∴．19．（12分）已知A（0，2），圆C：（x﹣a）2+y2=1．（1）当a=1时，求直线2x﹣y﹣1=0被圆C截得的弦长；（2）若圆C上存在点M，满足条件|MA|=3，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a=1时，圆的圆心坐标为（1，0），半径为1，圆心到直线的距离d=，∴直线2x﹣y﹣1=0被圆C截得的弦长=2=；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（2）|MA|=3⇐x2+（y﹣2）2=9，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）所以点M的轨迹是圆，则两个圆有公共点，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）所以﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）20．（12分）已知三角形△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且2acosC=2b ﹣c．（1）求角A的大小；（2）若b+c=2，求a的取值范围．【解答】解：（1）∵2acosC=2b﹣c，∴2a×=2b﹣c，化为：b2+c2﹣a2=bc．∴cosA==，又A∈（0，π）．∴．（2）∵，∴，∴，sinB+sinC=sinB+sin=sinB+cosB+sinB==sin．∴，∵，∴a∈[1，2）．21．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且短轴长为2．（1）求椭圆的方程；（2）若直线l：y=x+与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，求△AOB的面积．【解答】解：（1）短轴长2b=2，b=1，…（2分）又a2=b2+c2，所以，所以椭圆的方程为…（5分）（2）设直线l的方程为，A（x1，y1），B（x2，y2），∴，消去y得，，由韦达定理可知：，由弦长公式可知：丨AB丨=•=•=…（7分）根据点到直线的距离公式：d==1，S△AOB=×d×丨AB丨=×1×=，∴…（12分）22．（12分）设椭圆C：+=1的左、右焦点分别为F1，F2，直线y=x﹣1过椭圆的右焦点F2且与椭圆交于P，Q两点，若△F1PQ的周长为4．（1）求椭圆C的方程；（2）过点M（2，0）的直线l与椭圆C交于不同两点E，F，求•取值范围．【解答】解：（1）由直线y=x﹣1，令x﹣1=0，解得x=1，∴F2（1，0）．∵△F1PQ的周长为4，∴4=4a，解得a=，∴b2=a2﹣c2=1．∴椭圆C的方程为：=1．（2）由题意直线l的斜率存在，y=k（x﹣2），设E（x1，y1），F（x2，y2），，化为（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0，△＞0，解得，∴x1+x2=，x1x2=．∵•=（x1﹣2）（x2﹣2）+y1y2=（1+k2）[x1x2﹣2（x1+x2）+4]=（1+k2）==+1，∵，∴∈．∴．赠送初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型：图形特征：运用举例：1.如图，若点B在x轴正半轴上，点A(4，4)、C(1，－1)，且AB＝BC，AB⊥BC，求点B的坐标；xyBCAO2.如图，在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S、2S、3S、4S，则14S S+=．ls4s3s2s13213. 如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC上运动（不与点B，C重合），过D作∠ADE=45°，DE交AC于E．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．B4.如图，已知直线112y x=+与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线212y x bx c=++与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为(1，0)。
黑龙江省哈尔滨市第三中学2019-2020学年高一下学期期末考试数学试卷
黑龙江省哈尔滨市第三中学2019-2020学年高一下学期期末考试数学试卷学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________一、单选题1. 下列说法正确的是（）A．通过圆台侧面上一点可以做出无数条母线B．直角三角形绕其一边所在直线旋转一周得到的几何体是圆锥C．圆柱的上底面下底面互相平行D．五棱锥只有五条棱2. 如果，那么下列不等式中正确的是（）A．B．C．D．3. 已知一个水平放置的平面四边形ABCD的直观图是面积为2的正方形，则原四边形ABCD的面积为（）A．2B．C．D．4. 已知是公差为2的等差数列，且，则（）A．12 B．14 C．16 D．185. 在ΔABC中，若，则ΔABC是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形6. 已知m，n为两条不同的直线，，，为三个不同的平面，下列命题正确的是（）①若，，则；②若，，，则；③若，，则；④若直线m用与平面内的无数条直线垂直，则.A．①②B．②③C．①③D．②④7. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．4 C．2D．8. 函数的最小值是（）A．4 B．6 C．8 D．109. 已知圆锥的轴截面为正三角形，且边长为2，则圆锥的表面积为（）A．B．C．D．10. 在正方体中，，则点到平面的距离为（）A．B．C．D．11. 已知A，B，C为直线l上的不同三点，O为l外一点，存在实数，使得成立，则的最小值为（）A．36 B．72 C．144 D．16912. 锐角△中，角A、B、C所对边分别为a、b、c，若，则范围为（）A．B．C．D．二、填空题13. 已知，满足，，的夹角为，则__________.14. 在三棱锥中，平面，，则该三棱锥的外接球的表面积为__________.15. 空间四边形ABCD的两条对角线AC、BD所成角为，设，，则过AB的中点E且平行于BD、AC的截面四边形的面积为__________.16. 已知数列的前n项和为，点在的图像上，，数列通项为__________.三、解答题17. 已知，.（1）求证：；（2）若，求ab的最小值.18. 在正方体中，求证：（1）求异面直线与所成角；（2）平面平面.19. 已知数列满足，.（1）数列通项，证明：为等比数列；（2）求前n项和.20. 在平行六面体中，，，.（1）求证：平面平面；（2）求直线AC与平面所成角的大小.21. 中，角A、B、C所对边分别为a、b、c，.（1）求的值；（2）若，，求△的面积.22. 已知直角三角形的两直角边，，点P是斜边AB上一点，现沿CP所在直线将折起，使得平面平面ACP；当AB的长度最小时，求：（1）四面体ABCP的体积；（2）二面角的余弦值.。
2015-2016学年黑龙江省哈尔滨三中高一(下)期末物理试卷
2015-2016学年黑龙江省哈尔滨三中高一（下）期末物理试卷一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分）1．（4分）关于万有引力公式F=G，以下说法中正确的是（）A．公式只适用于星球之间的引力计算，不适用于质量较小的物体B．当两物体间的距离趋近于0时，万有引力趋近于无穷大C．两物体间的万有引力与地球使苹果下落的力是同一种性质的力D．公式中引力常量G的值是牛顿测定的2．（4分）如图所示，质量为m的小球，从桌面H高处由静止下落，桌面离地面高度为h．若以静止下落处所在平面为参考面，那么小球落地时的机械能是（）A．mgh B．0 C．﹣mgh D．﹣mg（H+h）3．（4分）如图所示，A、B是在地球大气层外圆形轨道上运行的两颗人造卫星，B离地面的高度小于A离地面的高度，A、B质量相等．下列说法中正确的是（）A．B的线速度小于A的线速度B．B的向心加速度小于A的向心加速度C．B运行周期小于A的运行周期D．B的向心力小于A的向心力4．（4分）下列关于功、功率的说法，正确的是（）A．只要力作用在物体上，则该力一定对物体做功B．由P=知，只要知道W和t就可求出任意时刻的功率C．摩擦力一定对物体做负功D．由P﹣Fv知，当汽车发动机功率一定时，牵引力与速度成反比5．（4分）物体做匀速圆周运动时，下列说法正确的是（）A．所受合力全部用来提供向心力B．是匀变速曲线运动C．速度的大小和方向都改变D．向心加速度不变6．（4分）如图所示，在抗震救灾中，一架直升机通过绳索，用恒力F竖直向上拉起一个放在地面上的木箱，使其由地面开始加速上升到某一高度，若考虑空气阻力而不考虑空气浮力，则在此过程中，木箱机械能的增量应等于（）A．力F对木箱做的功B．木箱克服重力所做的功C．力F、重力、空气阻力的合力对木箱所做的功D．力F和阻力的合力对木箱所做的功7．（4分）真空中，A、B两点与点电荷Q的距离分别为r和3r，则A、B两点的电场强度大小之比为（）A．3：1 B．1：3 C．9：1 D．1：98．（4分）如图所示，一根不可伸长的轻绳跨过定滑轮悬挂两物体M和m，且M＞m，滑轮质量和摩擦力不计，系统由静止开始运动的过程中（）A．M、m各自的机械能分别守恒B．拉力对M做正功，对m做负功C．M减少的重力势能等于m增加的重力势能D．M减少的机械能等于m增加的机械能9．（4分）a、b两个物体做平抛运动的轨迹如图所示，设它们抛出的初速度分别为v a、v b，从抛出至碰到台上的时间分别为t a、t b，则（）A．v a＞v b B．v a＜v b C．t a＞t b D．t a＜t b10．（4分）如图所示，木块B上表面是水平的，木块A置于B上并与B保持相对静止，一起沿固定的光滑斜面由静止开始下滑，在下滑过程中（）A．A所受的合外力对A不做功B．B所受的合外力对B做正功C．B对A的摩擦力对A做正功D．B对A的弹力对A做正功11．（4分）光滑水平面上静止的物体，受到一个水平拉力作用开始运动，拉力F 随时间t变化的图象如图所示，用Ek、v、x、P分别表示物体的动能、速度、位移和拉力F的功率，下列四个图象分别定性描述了这些物理量随时间变化的情况，其中正确的是（）A．B．C．D．12．（4分）如图所示，轻质弹簧的一端与固定的竖直板P栓接，另一端与物体A 相连，物体A静止于光滑水平桌面上，A右端连接一细线，细线绕过光滑的定滑轮与物体B相连．开始时用手托住B，让细线恰好伸直，然后由静止释放B，直至B获得最大速度．下列有关该过程的分析正确的是（）A．B物体受到绳的拉力保持不变B．B物体机械能的减少量小于弹簧弹性势能的增加量C．A物体动能的增量等于B物体重力做功与弹簧对A的弹力做功之和D．A物体与弹簧所组成的系统机械能的增加量等于细线拉力对A做的功二、实验题（共16分）13．（6分）某同学做探究合力的功和物体速度变化的实验，如图所示，图中小车在一条橡皮筋作用下弹出沿木板滑行，这时橡皮筋对小车做的功记为W．当用2条、3条…完全相同的橡皮筋并在一起进行第2次、第3次…实验时，使每次实验中橡皮筋伸长的长度都保持一致．每次实验中小车获得的速度由打点计时器所打的纸带测出．依据此实验方案，回答下列两个问题：（1）实验中每次橡皮筋的拉伸长度都保持不变，这样每次：A．所有橡皮筋对小车做的功之和相同B．每条橡皮筋做的功相同C．小车获得的动能相同D．小车获得的速度相同（2）用橡皮筋探究功与速度变化的实验中小车会受到阻力，可以使木板倾斜作为补偿，在不挂橡皮筋的前提下，使得小车重力沿斜面向下的分量平衡掉阻力．关于平衡阻力的过程，下面操作正确的一项是A．小车拖着纸带加速下滑即可B．小车拖着纸带匀速下滑即可C．小车不用挂纸带，能加速下滑即可D．小车不用挂纸带，能匀速下滑即可．14．（10分）在利用自由落体运动验证机械能守恒定律的实验中（图1为装置图）：（1）下列叙述正确的一项是A．实验中应用秒表测出重物下落的时间B．可用自由落体运动的规律计算重物的瞬时速度C．实验时要求先释放纸带，在接通打点计时器电源D．释放重物前应手提纸带的上端，使纸带竖直通过限位孔（2）质量m=1kg的物体自由下落，得到如图2所示的纸带，相邻计数点间的时间间隔为0.04s，那么从打点计时器打下起点O到打下B点的过程中，物体重力势能的减少量Ep=，此过程中物体动能的增加量Ek=（g=9.8m/s2，计算结果保留三位有效数字），由此可见，在误差允许的范围内，重物机械能守恒。
2015-2016学年黑龙江省哈尔滨三中高一上学期期中数学试卷和解析
2015-2016学年黑龙江省哈尔滨三中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合A={1，2，3，4}，B={2，4，5}，则A∪B=（）A．{2}B．{2，4}C．{2，4，5}D．{1，2，3，4，5}2．（5分）函数y=+的定义域是（）A．{x|x≥﹣} B．{x|x≥﹣且x≠0}C．{x|x≤}D．{x|x≤且x≠0} 3．（5分）已知函数f（x）满足f（x+1）=x2﹣1，则（）A．f（x）=x2﹣2x B．f（x）=x2+2x C．f（x）=x2﹣4x D．f（x）=x2+4x4．（5分）已知a=（），b=2，c=（），则下列关系式中正确的是（）A．c＜a＜b B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．a＜b＜c5．（5分）函数f（x）=的单调递增区间为（）A．[2，+∞）B．（﹣∞，]C．[，+∞）D．（﹣∞，﹣1]6．（5分）设集合A={x|﹣1≤x＜2}，B={x|x＜a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是（）A．﹣1＜a≤2 B．a＞2 C．a≥﹣1 D．a＞﹣17．（5分）若函数y=（a2+4a﹣5）x2﹣4（a﹣1）x+3的图象恒在x轴上方，则a 的取值范围是（）A．{a|1≤a≤19}B．{a|＜a＜19}C．{a|1≤a＜19}D．{a|1＜a≤19} 8．（5分）下列函数是偶函数且值域为[0，+∞）的是（）①y=|x|；②y=x3；③y=2|x|；④y=x2+|x|A．①②B．②③C．①④D．③④9．（5分）如图所示的韦恩图中，A，B是非空集合，定义集合A#B为阴影部分表示的集合．若x，y∈R，A={x|y=}，B={y|y=3x，x＞0}，则A#B=（）A．{x|0＜x＜2}B．{x|1＜x≤2}C．{x|0≤x≤1或x≥2} D．{x|0≤x≤1或x＞2} 10．（5分）二次函数y=ax2+bx与指数函数y=（﹣）x的图象只可能是（）A．B．C．D．11．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在[0，+∞）上单调递增，若f（﹣1）=0，则不等式f（2x﹣1）＞0解集为（）A．（﹣∞，0）∪（1，+∞）B．（﹣6，0）∪（1，3）C．（﹣∞，1）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）12．（5分）设f（x）是定义在[1，+∞）的函数，对任意正实数x，f（3x）=3f （x），且f（x）=1﹣|x﹣2|，1≤x≤3，则使得f（x）=f（2015）的最小实数x 为（）A．172 B．415 C．557 D．89二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上）13．（5分）化简：（2）（﹣6）÷（﹣3）=．14．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=x2+x，则当x＜0时，f（x）的解析式为．15．（5分）若函数f（x）=是（﹣∞，+∞）上的减函数，则实数a的取值范围是．16．（5分）下列四个说法：（1）y=x+1与y=是相同的函数；（2）若函数f（x）的定义域为[﹣1，1]，则f（x+1）的定义域为[0，2]；（3）函数f（x）在[0，+∞）时是增函数，在（﹣∞，0）时也是增函数，所以f（x）是（﹣∞，+∞）上的增函数；（4）函数f（x）=（）在区间[3，+∞）上单调递减．其中正确的说法是（填序号）．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知集合A={x|（x﹣1）（x+2）＞0}，B={x|2﹣3x≤0}，C={y|y=x2}，求：①A∪C；②（∁U A）∩B．18．（12分）用单调性定义证明函数f（x）=在区间（1，+∞）上是减函数．19．（12分）已知函数，求（1）的值；（2）若f（a）＞2，则a的取值范围．20．（12分）要建造一个容量为1200m3，深为6m的长方体无盖蓄水池，池壁的造价为95元/m2，池底的造价为135元/m2，求当水池的长在什么范围时，才能使水池的总造价不超过61200元（规定长大于等于宽）．21．（12分）设x1，x2是方程x2﹣2mx+4m2﹣4m+1=0的两个不等实根，（Ⅰ）将x12+x22表示为m的函数g（m），并求其定义域；（Ⅱ）设f（m）=，求f（m）的值域．22．（12分）已知函数f（x）=2x﹣2﹣x，定义域为R；函数g（x）=2x+1﹣22x，定义域为[﹣1，1]．（Ⅰ）判断函数f（x）的单调性（不必证明）并证明其奇偶性；（Ⅱ）若方程g（x）=t有解，求实数t的取值范围；（Ⅲ）若不等式f（g（x））+f（3am﹣m2﹣1）≤0对一切x∈[﹣1，1]，a∈[﹣2，2]恒成立，求m的取值范围．2015-2016学年黑龙江省哈尔滨三中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合A={1，2，3，4}，B={2，4，5}，则A∪B=（）A．{2}B．{2，4}C．{2，4，5}D．{1，2，3，4，5}【解答】解：因为集合A={1，2，3，4}，B={2，4，5}，所以A∪B={1，2，3，4，5}．故选：D．2．（5分）函数y=+的定义域是（）A．{x|x≥﹣} B．{x|x≥﹣且x≠0}C．{x|x≤}D．{x|x≤且x≠0}【解答】解：由题意得：，解得：x≥﹣且x≠0，故选：B．3．（5分）已知函数f（x）满足f（x+1）=x2﹣1，则（）A．f（x）=x2﹣2x B．f（x）=x2+2x C．f（x）=x2﹣4x D．f（x）=x2+4x【解答】解：f（x+1）=x2﹣1=（x+1）2﹣2（x+1）；∴f（x）=x2﹣2x．故选：A．4．（5分）已知a=（），b=2，c=（），则下列关系式中正确的是（）A．c＜a＜b B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．a＜b＜c【解答】解：b=，∵y=（）x是减函数，∴＜（）＜（）．故选：B．5．（5分）函数f（x）=的单调递增区间为（）A．[2，+∞）B．（﹣∞，]C．[，+∞）D．（﹣∞，﹣1]【解答】解：设t=x2﹣x﹣2，则y=为增函数，由t=x2﹣x﹣2≥0得x≥2或x≤﹣1，要求函数f（x）的单调递增区间，则等价为求函数t=x2﹣x﹣2的单调递增区间，当x≥2时，函数t=x2﹣x﹣2为增函数，故函数t=x2﹣x﹣2的单调递增区间为[2，+∞），故函数f（x）的单调递增区间为[2，+∞），故选：A．6．（5分）设集合A={x|﹣1≤x＜2}，B={x|x＜a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是（）A．﹣1＜a≤2 B．a＞2 C．a≥﹣1 D．a＞﹣1【解答】解：∵A∩B≠∅，∴A，B有公共元素∵集合A={x|﹣1≤x＜2}，B={x|x＜a}，∴a＞﹣1故选：D．7．（5分）若函数y=（a2+4a﹣5）x2﹣4（a﹣1）x+3的图象恒在x轴上方，则a 的取值范围是（）A．{a|1≤a≤19}B．{a|＜a＜19}C．{a|1≤a＜19}D．{a|1＜a≤19}【解答】解：当a2+4a﹣5=0时，解得a=﹣5或a=1，若a=1，则原函数化为y=3，满足题意；当a2+4a﹣5≠0时，要使函数y=（a2+4a﹣5）x2﹣4（a﹣1）x+3的图象恒在x轴上方，则，即，解①得a＜﹣5或a＞1；解②得1＜a＜19．取交集得：1＜a＜19．综上，a的取值范围是{a|1≤a＜19}．故选：C．8．（5分）下列函数是偶函数且值域为[0，+∞）的是（）①y=|x|；②y=x3；③y=2|x|；④y=x2+|x|A．①②B．②③C．①④D．③④【解答】解：①函数y=f（x）=|x|，可得f（﹣x）=|﹣x|=f（x），故函数为偶函数且|x|≥0，故①正确；②函数y=f（x）=x3，可得f（﹣x）=（﹣x）3=﹣x3=﹣f（x），故函数为奇函数；③y=2|x|是非奇非偶函数；④y=x2+|x|，可得f（﹣x）=（﹣x）2+|﹣x|=f（x），故函数为偶函数且y=x2+|x|≥0，故④正确．故选：C．9．（5分）如图所示的韦恩图中，A，B是非空集合，定义集合A#B为阴影部分表示的集合．若x，y∈R，A={x|y=}，B={y|y=3x，x＞0}，则A#B=（）A．{x|0＜x＜2}B．{x|1＜x≤2}C．{x|0≤x≤1或x≥2} D．{x|0≤x≤1或x＞2}【解答】解：依据定义，A#B就是指将A∪B除去A∩B后剩余的元素所构成的集合；对于集合A，求的是函数的定义域，解得：A={x|0≤x≤2}；对于集合B，求的是函数y=3x（x＞0）的值域，解得B={y|y＞1}；依据定义，借助数轴得：A#B={x|0≤x≤1或x＞2}，故选：D．10．（5分）二次函数y=ax2+bx与指数函数y=（﹣）x的图象只可能是（）A．B．C．D．【解答】解：根据指数函数y=（﹣）x可知a，b异号且不相等，则二次函数y=ax2+bx的对称轴﹣＞0可排除A与C；选项D，﹣＞0，a+b＞0，a＜0，∴﹣＞1，则指数函数单调递增，故D不正确．故选：B．11．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在[0，+∞）上单调递增，若f（﹣1）=0，则不等式f（2x﹣1）＞0解集为（）A．（﹣∞，0）∪（1，+∞）B．（﹣6，0）∪（1，3）C．（﹣∞，1）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）【解答】解：∵f（﹣1）=0，∴不等式f（2x﹣1）＞0等价为f（2x﹣1）＞f（﹣1），∵f（x）是定义在R上的偶函数，且在[0，+∞）上单调递增，∴不等式等价为f（|2x﹣1|）＞f（1），即|2x﹣1|＞1，即2x﹣1＞1或2x﹣1＜﹣1，即x＞1或x＜0，则不等式的解集为（﹣∞，0）∪（1，+∞），故选：A．12．（5分）设f（x）是定义在[1，+∞）的函数，对任意正实数x，f（3x）=3f （x），且f（x）=1﹣|x﹣2|，1≤x≤3，则使得f（x）=f（2015）的最小实数x 为（）A．172 B．415 C．557 D．89【解答】解：因为f（x）对于所有的正实数x均有f（3x）=3f（x），所以f（x）=3f（），所以f（2015）=3f（）=32f（）=…=3n f（），当n=6时，∈（1，3），所以f（2015）=36[1﹣+2]=37﹣2015=172，同理f（x）=3n f（）==，（n∈N*）∵f（2）=1，∴f（6）=3f（2）=3，f（18）=3f（6）=32=9，f（54）=3f（18）=33=27，f（162）=3f（54）=34=81，f（486）=3f（162）=35=243，即此时由f（x）=35f（）=35（﹣1）=x﹣35=172得x=35+172=243+172=415，即使得f（x）=f（2015）的最小实数x为415，故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上）13．（5分）化简：（2）（﹣6）÷（﹣3）=4a．【解答】解：原式==4a．故答案为：4a．14．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=x2+x，则当x＜0时，f（x）的解析式为f（x）=x2﹣x．【解答】解：若x＜0，则﹣x＞0，∵当x≥0时，f（x）=x2+x，∴当﹣x＞0时，f（﹣x）=x2﹣x，∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（﹣x）=f（x），即f（﹣x）=x2﹣x=f（x），解得f（x）=x2﹣x，x＜0，故答案为：f（x）=x2﹣x，15．（5分）若函数f（x）=是（﹣∞，+∞）上的减函数，则实数a的取值范围是[﹣2，0）．【解答】解：若函数f（x）=是（﹣∞，+∞）上的减函数，则，解得：a∈[﹣2，0），故答案为：[﹣2，0）16．（5分）下列四个说法：（1）y=x+1与y=是相同的函数；（2）若函数f（x）的定义域为[﹣1，1]，则f（x+1）的定义域为[0，2]；（3）函数f（x）在[0，+∞）时是增函数，在（﹣∞，0）时也是增函数，所以f（x）是（﹣∞，+∞）上的增函数；（4）函数f（x）=（）在区间[3，+∞）上单调递减．其中正确的说法是（4）（填序号）．【解答】解：y==|x+1|，两函数的解析式不一致，故不是相同的函数，故（1）错误；则x+1∈[﹣1，1]得x∈[﹣2，0]，即f（x+1）的定义域为[﹣2，0]，故（2）错误；函数f（x）在[0，+∞）时是增函数，在（﹣∞，0）时也是增函数，但f（x）是（﹣∞，+∞）上可能不具单调性，故（3）错误；当x∈[3，+∞）时，t=x2﹣2x+3为增函数，y=为减函数，故函数f（x）=（）在区间[3，+∞）上单调递减，故（4）正确；故答案为：（4）三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知集合A={x|（x﹣1）（x+2）＞0}，B={x|2﹣3x≤0}，C={y|y=x2}，求：①A∪C；②（∁U A）∩B．【解答】解：由集合A={x|（x﹣1）（x+2）＞0}，B={x|2﹣3x≤0}，C={y|y=x2}，解得：A={x|x＜﹣2或x＞1}=（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞），，C=[0，+∞）①A∪C=（﹣∞，﹣2）∪[0，+∞）；②∁U A=[﹣2，1]，∴（∁U A）∩B=[，1]．18．（12分）用单调性定义证明函数f（x）=在区间（1，+∞）上是减函数．【解答】解：在（1，+∞）内任取两数x1，x2，且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）==，∵1＜x1＜x2，∴x2﹣x1＞0，x1﹣1＞0，x2﹣1＞0，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，∴f（x1）＞f（x2），∴f（x）在（1，+∞）上为单调递减函数．19．（12分）已知函数，求（1）的值；（2）若f（a）＞2，则a的取值范围．【解答】解：（1）；f（f（﹣1））=f（﹣3+5）=f（2）=﹣4+8=4；（2）由知f（x）的值域情况为：，由题意知f（a）＞2，当a≤0时，3a+5＞2⇒a＞﹣1，﹣1＜a≤0；当0＜a≤1时，a+5＞2⇒a＞﹣3，此时0＜a≤1；当a＞1时，﹣2a+8＞2⇒a＜3，此时1＜a＜3．故所求a的取值范围是﹣1＜a＜3．20．（12分）要建造一个容量为1200m3，深为6m的长方体无盖蓄水池，池壁的造价为95元/m2，池底的造价为135元/m2，求当水池的长在什么范围时，才能使水池的总造价不超过61200元（规定长大于等于宽）．【解答】解：设池底的长为x米，泳池的造价为y元，则由长大于等于宽可得x ≥，∴x≥10．由题意可得总造价y=135×+95×（6x+6x+×6×2）=27000+95•12x+95•≤61200，即57x+≤1710，即x﹣30+≤0，求得10≤x≤20，答：水池长在[10，20]米范围内，满足题意．21．（12分）设x1，x2是方程x2﹣2mx+4m2﹣4m+1=0的两个不等实根，（Ⅰ）将x12+x22表示为m的函数g（m），并求其定义域；（Ⅱ）设f（m）=，求f（m）的值域．【解答】解：（I）对于x2﹣2mx+4m2﹣4m+1=0，△＞0得（﹣2m）2﹣4×（4m2﹣4m+1）＞0即=，其定义域为．（II），令则，则f（m）的值域为∪（）．22．（12分）已知函数f（x）=2x﹣2﹣x，定义域为R；函数g（x）=2x+1﹣22x，定义域为[﹣1，1]．（Ⅰ）判断函数f（x）的单调性（不必证明）并证明其奇偶性；（Ⅱ）若方程g（x）=t有解，求实数t的取值范围；（Ⅲ）若不等式f（g（x））+f（3am﹣m2﹣1）≤0对一切x∈[﹣1，1]，a∈[﹣2，2]恒成立，求m的取值范围．【解答】解：（I）f（x）=2x﹣2﹣x在R上单调递增，因为f（﹣x）=2﹣x﹣2x=﹣f（x），所以f（x）为奇函数；（II）可知t的范围与g（x）的值域相同，g（x）=2x+1﹣22x，令t=2x∈[，2]，则g（x）=﹣t2+2t的值域为[0，1]；（III）由f（g（x））+f（3am﹣m2﹣1）≤0得f（g（x））≤﹣f（3am﹣m2﹣1），由（I）得f（g（x））≤f（﹣3am+m2+1），即有g（x）≤﹣3am+m2+1对一切x∈[﹣1，1]，a∈[﹣2，2]恒成立，则（g（x））max≤（﹣3am+m2+1）min，设h（a）=﹣3am+m2+1，则h（a）≥1对一切a∈[﹣2，2]恒成立，若m=0则恒成立；若m≠0则，即，解得m∈（﹣∞，﹣6]∪[6，+∞）．综上所述m的取值范围是（﹣∞，﹣6]∪[6，+∞）∪{0}．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。
2015-2016年黑龙江省哈尔滨三中高一下学期期末数学试卷及答案
2015-2016学年黑龙江省哈尔滨三中高一（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）若a＞b，c＞d，则一定有（）A．a﹣c＞b﹣d B．a+c＞b+d C．ac＞bd D．a+d＞b+c2．（5分）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α3．（5分）若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是（）A．l1⊥l4B．l1∥l4C．l1与l4既不垂直也不平行D．l1与l4的位置关系不确定4．（5分）如图，水平放置的三角形的直观图，A′C′∥y′轴，则原图形中△ABC是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．任意三角形5．（5分）函数y=x+（x＞1）的最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．66．（5分）某四面体的三视图如图所示，则该四面体的体积是（）A．8 B．16 C．24 D．487．（5分）两个平面互相垂直，下列说法中正确的是（）A．一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面C．过其中一个平面内一点作与它们交线垂直的直线，必垂直于另一个平面D．一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线8．（5分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A 1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1、AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于（）A．B．C．D．9．（5分）正△ABC中，过其中心G作边BC的平行线，分别交AB，AC于点B1，C1，将△AB1C1沿B1C1折起到△A1B1C1的位置，使点A1在平面BB1C1C上的射影恰是线段BC的中点M，则二面角A1﹣B1C1﹣M的平面角大小是（）A．B．C．D．10．（5分）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，高为5，则一质点自A 点出发，沿着三棱柱的侧面绕行一周到达点A1的最短路线的长为（）A．10 B． C．6 D．11．（5分）三棱锥P﹣ABC中，△ABC为等边三角形，PA=PB=PC=1，PA⊥PB，三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为（）A．12πB．3πC．D．2π12．（5分）如图，ABCD﹣A′B′C′D′为正方体，任作平面α与对角线AC′垂直，使得α与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S，周长为l，则（）A．S为定值，l不为定值B．S不为定值，l为定值C．S与l均为定值D．S与l均不为定值二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）三条平行直线最多能确定的平面个数为．14．（5分）圆台上、下底面半径长分别是3和4，母线长为6，则其侧面积等于．15．（5分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，∠BAD=∠ABC=90°，BC=2AD，△PAB和△PAD都是等边三角形，则异面直线CD与PB所成角的大小为．16．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，=，=，则平面AKM与平面ABCD所成的锐二面角的正切值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分。
黑龙江省哈尔滨市高一数学下学期期末考试试题(含解析)-人教版高一全册数学试题
某某市2016—2017学年度下学期期末考试高一数学试题考试时间：120分钟满分：150分一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
请把答案一律用2B铅笔涂在答题卡上）1. 双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】A2. 给出下列命题：①；②；③；④．其中正确的命题是（）A. ①②B. ②③C. ③④D. ①④【答案】C【解析】当时，命题①错误；当时，命题②错误；据此排除ABD选项.本题选择C选项.3. 焦点在轴上，焦距等于，离心率等于的椭圆的标准方程是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设椭圆方程为：，由题意可得：，解得：，则椭圆的标准方程为：.本题选择D选项.4. 若，则直线必不经过（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】令x=0，得y=sinα<0，令y=0，得x=cosα>0，直线过(0,sinα)，(cosα,0)两点，因而直线不过第二象限。
本题选择B选项.5. 在中，角的对边满足，且，则的面积等于（）A. B. 4 C. D. 8【答案】A【解析】因为，所以，，三角形面积S=，故选A．6. 等差数列的首项为1，公差不为0，若成等比数列，则前6项的和为（）A. B. C. D. 8【答案】A【解析】∵等差数列{a n}的首项为1,公差不为0.a2,a3,a6成等比数列，∴a23=a2⋅a6，∴(a1+2d)2=(a1+d)(a1+5d),且a1=1，d≠0，解得d=−2，∴{a n}前6项的和为 .本题选择A选项.点睛：(1)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，a n，d，n，S n，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．7. 已知直线与垂直，则的值是（）A. 或B.C.D. 或【答案】C【解析】由题意得，选C.8. 直线被圆截得的弦长为，则直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意，得，即，解得，则直线的倾斜角为或，故选A.9. 下列函数中，的最小值为的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】当时，，选项A错误；当时，，选项B错误；当时，，选项C错误；本题选择D选项.10. 已知圆的圆心位于直线上，且圆与直线和直线均相切，则圆的方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】设圆心坐标为，由题意可得：，解得：，圆的半径为：，据此可得圆的方程为：.本题选择B选项.+点睛：求圆的方程，主要有两种方法：(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．11. 椭圆焦点在轴上，离心率为，过作直线交椭圆于两点，则周长为（）A. 3B. 6C. 12D. 24【答案】B【解析】由题意可得：，由椭圆的定义可得：题中三角形的周长为 .本题选择B选项.12. 已知点、是椭圆的左右焦点，过点且垂直于轴的直线与椭圆交于、两点，若为锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值X围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由于为锐角三角形，则，，，或，又，则，选.【点睛】列出一个关于的等式，可以求离心率；列出一个关于的不等式，可以求离心率的取值X围.本题根据等腰三角形为锐角三角形，只需顶角为锐角，所以顶角的一半小于，利用正切函数在是单调增的，列出一个关于的等式，求出离心率.二、填空题（本大题共4题，每题5分，共20分。
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（Ⅰ）求证:平面 A1 ED 平面 A1 AEF ； （Ⅱ）求三棱锥 F A1ED 与 F A1D1D 的体积之比； (III) 求直线 AD 与平面 A1 ED 所成的角的正弦值.
APD 为等腰直角三角形， PA PD ，平面 PAD 平面 ABCD．
（Ⅰ）求证： PA 面 PCD ； （Ⅱ）求二面角 A PB C 的余弦值．
数学试卷
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共8页
21． （本大题 12 分） 如 图 , 四 棱 柱 ABCD A1 B1C1 D1 的 底 面 ABCD 是 平 行 四 边 形 , 且 AA 1 底 面
A． 8
B． 6 2
C． 24
D． 10
7． 两个平面互相垂直，下列说法中正确的是 A. 一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面 B. 分别在这两个平面内且互相垂直的两直线，一定分别与另一平面垂直 C. 过其中一个平面内一点作与它们交线垂直的直线，必垂直于另一个平面 D. 一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线
D1 A1 D A B B1
C1
C
18． （本大题 12 分） 如 图 ， 四 棱 锥 P ABCD 中 ， 底 面 ABCD 为 正 方 形 , PD ⊥ 平 面
ABCD , PD AB 2 , E 、 F 、 G 分 别为 PD 、 PC 、 BC 的中点．
（Ⅰ）求证： PA
// 平面 BDF ；
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8. 如图， 在棱长为 a 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中，O 是底面 ABCD 的中心，E , F 分 别是 CC1 , AD 的中点，那么异面直线 OE 和 FD1 所成角的余弦值为 A．
15 5
D1 A1
D A F
C1 B1
E
10 B． 5 6 C． 3
D．
哈三中 2015—2016 学年度下学期 高一学年第二模块数学试卷
考试说明： （1）本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分, 满分 150 分．考试时间 为 120 分钟。 （2）第 I 卷，第 II 卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡．
第 I 卷 （选择题, 共 60 分）
6
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D． 2
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12．正方体 ABCD A1 B1C1 D1 中，任作平面 与对角线 AC1 垂直，使得 与正方体的 每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为 S，周长为 l ，则 A．S 为定值， l 不为定值 C．S 与 l 均为定值 B．S 不为定值， l 为定值 D．S 与 l 均不为定值
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三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17． （本大题 10 分） 已知正方体 ABCD A1 B1C1 D1 的棱长为 a ． （Ⅰ）求证：平面 A1 BC1 // 平面 AD1C ； （Ⅱ）求正方体夹在平面 A1 BC1 与平面 AD1C 之间的几何体的体积．
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1． 若 a b ， c d ，则一定有 A． a c b d B． a c b d C． ac bd D． a d b c
2．已知 m ， n 表示两条不同直线， 表示平面，下列说法正确的是 A．若 m / / , n / / , 则 m / / n C．若 m ， m n ，则 n / / B．若 m ， n ，则 m n D．若 m / / ， m n ，则 n
6
B．
4
C．
3
D．
2
10．已知正三棱柱 ABC A1 B1C1 的底面边长为 2 ，高为 5 ，则一质点自 A 点出发，沿 着三棱锥的侧面绕行一周到达点 A1 的最短路线的长为 A． 10 C． 6 B． 41 D． 61
11. 三棱锥 P ABC 中， ABC 为等边三角形， PA PB PC 1 ， PA PB ，三棱 锥 P ABC 的外接球的表面积为 A． 12 B． 3 数学试卷 C．
P F
（Ⅱ）求异面直线 PB 与 EG 所成角的正弦值．
E D A
C
B
G
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19． （本大题 12 分） 已知 a 0, b 0 ，且
1 2 2. a b
（Ⅰ）求 ab 的最小值； （Ⅱ）求 a 2b 的最小值，并求出 a ， b 相应的取值.
20． （本大题 12 分） 如图，四棱锥 P ABCD 中， AD // BC ， AD DC ， AD 2 BC 2CD 2 ，侧面
3． 若空间中四条两两不同的直线 l1 , l2 , l3 , l4 ，满足 l1 l2 , l2 //l3 , l3 l4 ，则下列结论一定 正确的是 A． l1 l4 C. l1 , l4 既不垂直也不平行 B. l1 //l4 D. l1 , l4 的位置关系不确定
数学试卷
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C O
B
6 5
9． 正三角形 ABC 的边长为 3 ，过其中心 G 作边 BC 的平行线，分别交 AB ， AC 于点
B1 ， C1 ．将 AB1C1 沿 B1C1 折起到 A1 B1C1 的位置，使点 A1 在平面 BB1C1C 上的射影
恰是线段 BC 的中点 M ，则二面角 A1 B1C1 M 的平面角大小是 A．
（Ⅰ）求侧棱 AA 1 的长； （Ⅱ）侧棱 CC1 上是否存在点 D ，使得直线 AD 与平面 A1 BC 所成角的正切值为 若存在，判断点的位置并证明；若不存在，说明理由．
6 ， 3
C1
A1 C
B1
A
B
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第Ⅱ卷 （非选择题, 共 90 分）
二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．将答案填在答题卡相 应的位置上)
13．三条平行直线最多能确定的平面个数为 ． ．
14．圆台的上、下底面半径长分别是 3 和 4 ， B 母线长为 6 ，则其侧面积等于
15. 如图，四棱锥 P ABCD 中， ABC BAD 90 ， BC 2 AD ， PAB 和
共8页
4． 如图，水平放置的三角形的直观图， AC A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．任意三角形 5． 函数 y x A． 3
// y 轴，则原图形中 ABC 是
y
C B x
O
A
4 ( x 1) 的最小值为 x 1
B． 4 C． 5 D． 6
6． 某四面体的三视图如图所示，该四面体的体积是
A1 B1
F
D1 C1
A B E
D
C
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22． （本大题 12 分） 三 棱 柱 ABC A1 B1C1 中 ， AB AC，AB AC 2 ， 侧 面 BCC1 B1 为 矩 形 ，
A1 AB
1 2 ，二面角 A BC A1 的正切值为 ． 3 2
PAD 都是等边三角形，则异面直线 CD 与 PB 所成角的大小为 P
．
D
A
C
16．正方体 ABCD A1 B1C1 D1 中， BK 面 ABCD所成的锐二面角的正切值为
1 1 BB1 ， CM CC1 ，则平面 AKM 与平 4 2
．
数学试卷