结构动力学4-1

1 多自由度体系的自振振型和自振频率
&& [ M ]{u(t )} + [ K ]{u(t )} = {0}
m12 m22 M mN 2 L m1N ⎤ L m2 N ⎥ ⎥ O M ⎥ ⎥ L mNN ⎦ ⎡ k11 ⎢k K ] = ⎢ 21 [ ⎢ M ⎢ ⎣kN 1
⎡ m11 ⎢m M ] = ⎢ 21 [ ⎢ M ⎢ ⎣ mN 1
算例1 如图(a)所示三层框架结构，各楼层的质量和层间 刚度示于图中，确定结构的自振频率和振型。 结构模型及各刚度元素：
1.0 600 1.5 1200 2.0 1800 (a) (b) u1 1 k11=3000 k12=－1200 k13=0 u2 k21=－1200 u 1=1 u3 k31=0 k 32=－600 1 k 33=600 u2=1 u3=1
1
k22=1800
k23=－600
(c)
(d)
1 多自由度体系的自振振型和自振频率
算例1 结构的质量阵、刚度阵：
1.0 u 1=1 u3 600 1.5 1200 2.0 1800 (a) (b) u1 1 k11=3000 k12=－1200 k13=0 u2 k21=－1200 k31=0 k 32=－600 1 k 33=600 u2=1 u3=1
1 多自由度体系的自振振型和自振频率
算例1 运动方程的特征方程：
0⎤ ⎡ 2. 0 0 ⎢ 0 1. 5 0 ⎥ [M ] = ⎢ ⎥ ⎢0 0 1 .0 ⎥ ⎦ ⎣ 0 ⎤ ⎡ 3000 − 1200 ⎢− 1200 1800 − 600⎥ [K ] = ⎢ ⎥ ⎢ 0 − 600 600 ⎥ ⎦ ⎣
1 多自由度体系的自振振型和自振频率
把相应的自振频率ωn代入运动方程的特征方程得到振型
([K ] − ω
2 n
[M ]){φ}n = {0}
{φ}n={φ1n, φ2n , …, φNn }T—体系的n阶振型。 由于特征方程的齐次性(线性方程组是线性相关的)，振 型向量是不定的，只有人为给定向量中的某一值，例 如令φ1n=1，才能确定其余的值。 实际求解时就是令振型向量中的某一分量取定值后才 能求解。虽然令不同的分量等于不同的量，得到的振 型在量值上会不一样，但其比例关系是不变的。 所谓振型就是结构不同点(自由度)变化时的比例关系。
0⎤ ⎡ 2 .0 0 ⎢ 0 1 .5 0 ⎥ [M ] = ⎢ ⎥ ⎢0 0 1 .0 ⎥ ⎣ ⎦ ⎡ k11 ⎢k [K ] = ⎢ 21 ⎢ k 31 ⎣ k12 k 22 k 32
1
k22=1800
k23=－600
(c)
(d)
0 ⎤ k13 ⎤ ⎡ 3000 − 1200 ⎥ = ⎢− 1200 1800 − 600⎥ k 23 ⎥ ⎢ ⎥ 600 ⎥ k 33 ⎥ ⎢ 0 − 600 ⎦ ⎣ ⎦
([K ] − ωn 2 [M ]){φ }n = {0}
设φ3n=1，则
{φ }n
⎧φ1n ⎫ ⎧φ1n ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ = ⎨φ 2 n ⎬ = ⎨φ 2 n ⎬ ⎪φ ⎪ ⎪ 1 ⎪ ⎩ 3n ⎭ ⎩ ⎭
−2 3 − 1.5 B n −1 0 ⎤ ⎧φ1n ⎫ ⎧0⎫ ⎥ ⎪φ ⎪ = ⎪0⎪ − 1 பைடு நூலகம் ⎨ 2n ⎬ ⎨ ⎬ 1 − Bn ⎥ ⎪ 1 ⎪ ⎪0⎪ ⎦⎩ ⎭ ⎩ ⎭
1 多自由度体系的自振振型和自振频率 结构的自振振型和频率，可通过分析结构的无阻 尼自由振动方程获得。 多自由度体系无阻尼自由振动的方程为：
&& [ M ]{u(t )} + [ K ]{u(t )} = {0}
其中[M]、[K]为N×N阶的质量和刚度矩阵，{u(t)} 和{ü(t)}是N阶位移和加速度（或广义坐标）向 量，{0}是N阶零向量。 上式是体系作自由振动时必须满足的控制方程。
1 多自由度体系的自振振型和自振频率
([K ] − ω 2 [M ]){φ } = {0}
特征方程存在非零解的充分必要条件是系数行列式等于 零： 2
[K ] − ω [M ]
=0
是一关于ω的多项式，称为频率方程。 将刚度阵和质量阵代入得频率方程的具体形式：
k11 − ω m11 k 21 − ω 2 m21 M k N 1 − ω 2 mN 1
则振型方程为：
⎡5 − 2 Bn 600 ⎢ − 2 ⎢ ⎢ 0 ⎣
1 多自由度体系的自振振型和自振频率
算例1
⎡5 − 2 Bn 振型方程： 600 ⎢ − 2 ⎢ ⎢ 0 ⎣ −2 3 − 1 .5 B n −1 0 ⎤ ⎧φ1n ⎫ ⎧0⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ − 1 ⎥ ⎨φ 2 n ⎬ = ⎨0⎬ ⎥ 1 − Bn ⎥ ⎪ 1 ⎪ ⎪0⎪ ⎦⎩ ⎭ ⎩ ⎭
以上三个代数方程中仅有两个是独立的，可以采用任意 两个方程求得φ1n和φ2n，通过观察发现，用第一个方 程和第三个方程求解将避免求联立方程组。 由第一个方程： φ1n = 2φ 2 n (5 − 2 Bn ) 由第三个方程： φ2 n = 1 − Bn 一阶振型：将B1=0.3515 (ω1=14.522rad/s) 代入上式得
B = ω 600
频率方程： [K ] − ω 2 [M ] = 0
B − 5 .5 B + 7 .5 B − 2 = 0
3 2
1 多自由度体系的自振振型和自振频率
算例1 由频率方程
B 3 − 5 .5 B 2 + 7 .5 B − 2 = 0
得到三个根 ： B1 = 0.3515, B2 = 1.6066, B3 = 3.5420 利用关系式
[Φ ] = [{φ }1 {φ }2
⎡ω1 0 ⎢0 ω 2 ⎢ [Ω] = ⎢ M M ⎢ ⎣0 0
L
{φ }N ]
L 0 ⎤ ⎥ L 0 ⎥ O M ⎥ ⎥ L ωN ⎦
其中，ωn— n阶自振频率，{φ}n— n阶振型。 [Φ]和[Ω]也分别称为振型矩阵和谱矩阵。
1 多自由度体系的自振振型和自振频率
2
k12 − ω m12 k 22 − ω 2 m22 M k N 2 − ω 2 mN 2
2
L k1N − ω m1N L k 2 N − ω 2 m2 n =0 O M L k NN − ω 2 mNN
2
1 多自由度体系的自振振型和自振频率
对于N个自由度的体系，频率方程是关于ω2的N次方程，
aN (ω ) + aN −1 (ω )
Bn = ω n 2 600
可得结构的三个自振频率：
ω12 = 210.88 ω 2 2 = 963.96 ω3 2 = 2125.20
⇒
ω1 = 14.522 ω 2 = 31.048 (rad / s ) ω3 = 46.100
1 多自由度体系的自振振型和自振频率
算例1 根据运动方程的特征方程求振型 ：
采用等效单自由度方法可以将多自由度体系化为等效的 单自由度问题求解。例如多层结构抗震设计时采用的 简化分析方法—基底剪力法。 对于均匀多层结构或烟囱，也可以采用如下形函数，
ψ ( z ) = 1 − cos
π
2H
z
将结构的位移表示为u(x,t)=ψ(z)q(t)，使问题化为一个单 自由度问题。如果形函数取得好，而外荷载又按某一 简单形式分布，则用等效单自由度方法也可以得到相 当好的近似解。 但是，当结构体系复杂或外荷载变化复杂时，用等效的 单自由度方法得到的解可能会导致相当大的误差。这 时就必须直接采用多自由度体系分析方法解决问题， 即必须采用更多自由度来描述体系的运动状态。
{φ } ={φ}
n
n
Mn , Mn = {φ}n [ M]{φ}n , n =1, 2, L, N
T
以后讲到振型正交性时可以发现按(3)定义的振型满足关 于质量矩阵[M]的内积为1的条件，即振型质量等于1。
1 多自由度体系的自振振型和自振频率
以上分析方法即为代数方程中的特征值分析，自振频率 相应于特征值，而振型即是特征向量。 得到体系的N个自振频率和振型后，可以把振型和自振频 率分别写成矩阵的形式，
⎡3000 − 2ω 2 ⎤ ⎧φ1 ⎫ 0 −1200 ⎢ ⎥⎪ ⎪ 2 2 ([ K ] − ω [ M ]) {φ } = ⎢ −1200 1800 − 1.5ω −600 ⎥ ⎨φ2 ⎬ ⎪ ⎪ ⎢ 0 600 − ω 2 ⎥ ⎩φ3 ⎭ −600 ⎣ ⎦ 0 ⎤ ⎧φ1 ⎫ ⎧0 ⎫ −2 ⎡5 − 2 B ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 3 − 1.5B −1 ⎥ ⎨φ2 ⎬ = ⎨0 ⎬ = 600 ⎢ −2 ⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ 0 1 − B ⎥ ⎩φ3 ⎭ ⎩0 ⎭ −1 ⎣ ⎦ 2
k12 k22 M kN 2
L k1N ⎤ L k2 N ⎥ ⎥ O M ⎥ ⎥ L k NN ⎦
⎧ u1 (t ) ⎫ ⎪ u (t ) ⎪ ⎪ 2 ⎪ {u(t )} = ⎨ ⎬ ⎪ M ⎪ ⎪u N (t ) ⎪ ⎩ ⎭
&& ⎧ u1 (t ) ⎫ ⎪ u (t ) ⎪ ⎪ &&2 ⎪ && {u(t )} = ⎨ ⎬ ⎪ M ⎪ ⎪uN (t ) ⎪ ⎩ && ⎭
2 N
2 N −1
+ L+ a1ω + a0 = 0
2
对于稳定结构体系，其质量阵与刚度阵具有实对称性和 正定性，所以相应的频率方程的根都是正实根。由此 可以解得N个根： ω12< ω22< ω32…< ωN2 。 ωn( n=1, 2, …, N )即为体系的自振频率。其中量值最小的 频率ω1叫基本频率(相应的周期T1=2π/ω1叫基本周期)。 从以上分析可知，多自由度体系在做自由振动时，只能 按一些特定的频率，即按自振频率进行振动。 当结构按某一自振频率振动时，结构将保持一固定的形 状，称为自振振型，或简称振型。
4.1 两自由度体系的振动分析
PASS！
4.2 多自由度体系的 无阻尼自由振动
1 多自由度体系的自振振型和自振频率
在多自由度体系动力反应分析中，最常用的是振型叠加 法。 振型：结构体系自由振动时的位移形态。N个自由度体系 有N个不同的振型。
当结构按某一振型振动时，自振频率是与之相对应的常 量。对N个自由度体系，一般情况下有个N个自振频率。 多自由度结构的振型和自振频率是结构的固有特性，和 单自由度一样是反映结构动力特性的主要量。因此在 介绍结构动力特性时，首先提及的就是结构的自振频 率和振型。
&& [ M ]{u(t )} + [ K ]{u(t )} = {0}
(−ω 2 [M ] + [K ]){φ }sin(ωt + θ ) = {0}
因为sin(ωt + θ)为任意的，可以消去，因此，
([K ] − ω [M ]){φ } = {0}
2
上式是关于{φ}的N阶齐次线性方程组，表征了振型和自 振频率的关系 ，称为运动方程的特征方程。 由特征方程可解得自振频率ω和振型{φ}。
⎧0 ⎫ ⎪0 ⎪ ⎪ ⎪ {0} = ⎨ ⎬ ⎪M ⎪ ⎪0 ⎪ ⎩ ⎭
下面分析当位移向量{u(t)}是什么形式时可以满足以上运 动方程。
1 多自由度体系的自振振型和自振频率
根据单自由度体系自由振动的经验，设多自由度体系在 进行自由振动时也是在作简谐振动，多自由度体系的 振动形式可写为：
{u(t )} = {φ}sin(ωt + θ )
{φ}—表示体系位移形状向量，它仅与坐标位置有关， 不随时间变化，称为振型。 ω —简谐振动的频率， θ —相位角。 上式对时间求两次导数可得
&& {u(t )} = −ω {φ}sin(ωt + θ )
2
1 多自由度体系的自振振型和自振频率
将位移向量{u}和加速度向量{ü}代入无阻尼自由振动方 程：{u(t )} = −ω 2 {φ}sin(ωt + θ ) {u (t )} = {φ }sin(ωt + θ ) &&
1 多自由度体系的自振振型和自振频率
在结构动力分析中，有时需要按某一标准将振型归一化， 或称标准化，给出标准振型或归一化振型，通常有三 种方法： (1) 特定坐标的归一化方法。指定振型向量中的某一坐标 值为1，其它元素值按比例确定。 (2) 最大位移值的归一化方法，将振型向量中各元素除以 最大值。 (3) 正交归一化。
结构动力学
清华大学土木工程系 刘晶波 2005年秋
结构动力学
第4章 多自由度体系
多自由度体系
前面讨论了单自由度体系，它的运动仅需一个运 动方程来描述，求解这个运动方程，就可以得 到单自由度体系的位移、速度和加速度以及能 量等。 工程中所涉及的结构一般都是多自由度的，例如 单层的三维空间结构、多层框架结构、大跨桥 梁结构、空间网架结构、大坝、核电站等等。 为合理反映振动过程中惯性力的影响，需要采 用更多的自由度描述结构体系的质量分布并确 定体系的变形。