解析几何知识点总结

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抛物线的标准方程、图象及几何性质:0>p

关于抛物线知识点的补充:

1、定义:

2、几个概念:

① p 的几何意义:焦参数p 是焦点到准线的距离,故p 为正数;

② 焦点的非零坐标是一次项系数的1

4

③ 方程中的一次项的变量与对称轴的名称相同,一次项的系数符号决定抛物线的开口方向。 ④ 通径:2p

3、如:AB 是过抛物线)0(22

>=p px y 焦点F 的弦,M 是AB 的中点,l 是抛物线的准线,l MN ⊥,N 为垂足,l BD ⊥,l AH ⊥,D ,H 为垂足,求

证:

(1)DF HF ⊥; (2)BN AN ⊥; (3)AB FN ⊥;

(4)设MN 交抛物线于Q ,则Q 平分MN ; (5)设),(),,(2211y x B y x A ,则2

21p y y -=,2

214

1p x x =

(6)p

FB FA 2|

|1

|

|1=

+; (7)D O A ,,三点在一条直线上

(8)过M 作AB ME ⊥,ME 交x 轴于E ,求证:||2

1||AB EF =,||||||2

FB FA ME ⋅=;

关于双曲线知识点的补充:

1、 双曲线的定义:平面与两个定点21,F F 的距离的差的绝对值等于常数(小于||21F F )的点的轨迹。

第二定义:平面与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数)1(>e e 的点的轨迹。两个定点为双曲线的焦点,焦点间距离叫做焦距;定直线叫做准线。常数叫做离心率。

注意:

a PF PF 2||||21=-与a PF PF 2||||12=-(||221F F a <)表示双曲线的一支。 ||221F F a =表示两条射线;||221F F a >没有轨迹;

2、 双曲线的标准方程

①焦点在x 轴上的方程:22221x y a b -=(a>0,b>0); ②焦点在y 轴上的方程:22

221y x a b

-= (a>0,b>0);

③当焦点位置不能确定时,也可直接设椭圆方程为:mx 2-ny 2=1(m ·n<0); ④双曲线的渐近线:改1为0,分解因式则可得两条渐近线之方程. 3、双曲线的渐近线:

①求双曲线12

2

22=-b y a x 的渐近线,可令其右边的1为0,即得02222=-b y a x ,因式分解得到。②与双曲线122

2

2

=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程是λ=-2222b

y a x ; 4、等轴双曲线: 为2

2

2

t y x =-,其离心率为2 5、共轭双曲线: 6、几个概念:

①焦准距:b 2c ; ②通径:2b 2a ; ③等轴双曲线x 2-y 2

=λ (λ∈R,λ≠0):渐近线是y=±x,离心率为:2 ;④22221x y a b -=焦点三角形的面积:b 2cot θ2 (其中∠F 1PF 2=θ);

⑤弦长公式:

c 2=a 2-b 2,而在双曲线中:c 2=a 2+b 2,

双曲线的图象及几何性质:

7、直线与双曲线的位置关系:讨论双曲线与直线的位置关系时通常有两种处理方法:①代数法:②、数形结合法。 8、双曲线中的定点、定值及参数的取值围问题:

①定点、定值问题:通常有两种处理方法:第一种方法⇒是从特殊入手,先求出定点(或定值),再证明这个点(值)与变量无关;第二种方法⇒是直接推理、计算;并在计算的过程中消去变量,从而得到定点(定值)。

②关于最值问题:常见解法有两种:代数法与几何法。若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义,则考虑利用图形的性质来解决,这就是几何法;若题目中的条件和结论难以体现一种明确的函数关系,则可首先建立目标函数,再求这个函数的最值,求函数的最值常用的方法有配方法、判别式法、重要不等式法、函数的单调性法等。 ③参数的取值围问题:此类问题的讨论常用的方法有两种:第一种是不等式(组)求解法⇒根据题意结合图形列出所讨论的参数适合的不等式(组),通过解不等式再得出参数的变化围;第二种是函数的值域求解法:把所讨论的参数表示为某个变量的函数,通过讨论函数的值域求得参数的变化围。

关于椭圆知识点的补充: 1、椭圆的标准方程:

① 焦点在x 轴上的方程:22221x y a b += (a>b>0); ②焦点在y 轴上的方程:22

221y x a b

+= (a>b>0);

③当焦点位置不能确定时,也可直接设椭圆方程为:mx 2+ny 2=1(m>0,n>0); ④、参数方程:cos sin x a y b φ

φ

=⎧⎨=⎩

2、椭圆的定义:平面与两个定点21,F F 的距离的和等于常数(大于||21F F )的点的轨迹。

第二定义:平面与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数)10(<

d =

e (椭圆的焦半径公式:|PF 1|=a+ex 0, |PF 2|=a-ex 0)

其中:两个定点叫做椭圆的焦点,焦点间的距离叫做焦距;定直线叫做准线。 常数叫做离心率。 注意: ||221F F a >表示椭圆;||221F F a =表示线段21F F ;||221F F a <没有轨迹;

3、 焦准距:b 2c ;

4、通径:2b 2a ;

5、点与椭圆的位置关系;

6、2

2221x y a b +=焦点三角形的面积:b 2tan θ

2 (其中∠F 1PF 2=θ);

7、弦长公式:; 8、 椭圆在点P (x 0,y 0)处的切线方程:

00221x x y y

a b

+=; 9、直线与椭圆的位置关系:

凡涉及直线与椭圆的问题,通常设出直线与椭圆的方程,将二者联立,消去x 或y ,得到关于y 或x 的一元二次方程,再利用根与系数的关系及根的判别式等知识来解决,需要有较强的综合应用知识解题的能力。

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