五年级奥数春季实验班第12讲 计算综合之不定方程

第十二讲计算综合之不定方程模块一、基础不定方程的解法

例1．不定方程x+y=2有组解，有组自然数解，有组正整数解。

解：不定方程x+y=2有无穷组解，对于自然数有0+2=2，1+1=2，2+0=2，

所以自然数解有3组，正整数解有1组。

例2．求不定方程的正整数解：2x+3y=8.

解：不定方程2x+3y=8，两边取模2的运算得，y≡0 (mod 2)，取y=2，x=1，

所以方程的解是

1

2 x

y

=

⎧

⎨

=

⎩

。

例3．求不定方程的正整数解：3x+5y=31.

解：方程3x+5y=31，两边取模3运算，2y≡1 (mod 3)，得到y=2，x=7

所以方程的解是

7

2

x

y

=

⎧

⎨

=

⎩

或

2

5

x

y

=

⎧

⎨

=

⎩

。

例4．已知5x−14y=11，x和y都是正整数，x+y的最小值是。

解：方程5x−14y=11，两边取模5的运算，y≡1 (mod 3)，解得x=5，

所以方程的解是

5

1

x

y

=

⎧

⎨

=

⎩

，

19

6

x

y

=

⎧

⎨

=

⎩

，……，

514

15

x k

y k

=+

⎧

⎨

=+

⎩

（k为自然数）。

所以x+y的最小值是6.

模块二、复杂不定方程的解法

例5．小张带了5元钱去买橡皮和圆珠笔，橡皮每块3角，圆珠笔每支1元1角，问5元钱刚好买块橡皮和支圆珠笔。

解：设买了x块橡皮，y支圆珠笔，

所以3x+11y=50，两边取模3的运算得2y≡2 (mod 3)，所以y=1，x=13，或x=2，y=4，

即方程的解是

13

1

x

y

=

⎧

⎨

=

⎩

或

2

4

x

y

=

⎧

⎨

=

⎩

。所以买13块橡皮和1支圆珠笔或2块橡皮和4支圆珠笔。

例6．今有鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一，凡百钱买鸡百只，则鸡翁、鸡母、鸡雏各只。解：设买到x只鸡翁，y只鸡母，则有100−x−y只鸡雏，

则5x+3y+100

3

x y

--

=100，整理得7x+4y=100，两边取模4的运算3x≡0 (mod 4)，所以x=0，y=25，

方程的解为

4

18

x

y

=

⎧

⎨

=

⎩

，解得z=100−x−y=78，或

8

11

x

y

=

⎧

⎨

=

⎩

，z=81，或

12

4

x

y

=

⎧

⎨

=

⎩

，z=84.

例7．现有一架天平和很多3克和4克的砝码，用这些砝码，不能称出的最大整数克质量是克。（砝码只能放在天平的一边）

解：由于4−3=1，3×3−4×2=1，即如果称出的重量中有1个3，则将3换成4，则能称出下一个重量；

如果称出的重量中有2个4，则可以将2个4换成3个3，也能称出下一个重量，

从6以后的所有重量都可以称出来，所以不能称出的最大重量是5克。

1 2 3

456

789

10 11 12

13 14 15

……

其中第三列中都能被3整除的都可以称出来；

对第一列中4可以称出来，4往下的各数，只要再加若干个3克就能称出；

对第二列中4的倍数8可以称出来，8往下的各数，只要再加若干个3克就能称出；

所以不能称出的最大克重数是5克。

例8．现有一架天平和很多17克和19克的砝码，用这些砝码，不能称出的最大整数克质量是克。（砝码只能放在天平的一边）

解：解方程17x −19y =1，解得98x y =⎧⎨=⎩，解方程19m −17n =1，解得910m n =⎧⎨=⎩

， 所以17×9−19×8=1， 19×16−17=287，

287+b =17×(9b −1)+19×(16−8b )，(b ≥1)，

或287+b =17×18−19+(19×9b −17×10b)=19×(9b −1)+17×(18−10b )，

即大于287的整数都可以写成17与19的线性组合，

因此当b =0时，用这些砝码不能称出的最大克重是287克。

1、 2、 3、 4、……16、17

18、19、20、21、……33、34

35、36、37、38、……50、51

……

其中第17列中都能被若干个17克的砝码称出来；

对第2列中19可以称出来，19往下的各数，只要再加若干个17克就能称出；

对第4列中38可以用2个19可以称出来，38往下的各数，只要再加若干个17克就能称出；

……

由此可以看出，在前16列中，分别可以找到19、38、57、……、19×(17−1)克数，它们都可以称出来，它们往下排列的各数，也都可以称出来，于是无法称出的最大整数是19×(17−1)−17.

所以不能称出的最大克重数是19×(17−1)−17=19×17−19−17=287克。

一般情况：现有一架天平和很多m 克和n 克的砝码（m ，n 互质），用这些砝码，不能称出的最大整数克质量是克。（砝码只能放在天平的一边）

答案：mn −m −n ；

设不能称出的最大克质量为M 克，即对于不定方程mx +ny =M 没有自然数解，

即求得的整数解为1x a y =⎧⎨=-⎩，或11

x a n y m =-=-⎧⎨=-⎩，所以a =n −1，

把x =n −1，y =−1，代入得到M =m ×(n −1)−n ，即方程mx +ny =mn −m −n 无自然数解。 研究不定方程mx +ny =mn −m −n 有无正整数解，0

1mn m n n n m m --=--

(1)n y m

+，m −1是整数，m ，n 互质， 所以为使x 为整数，只有1+y =m 、m 2、……，当1+y =m 时，x =n −1−n =−1，不符合要求，

当1+y =m 2时，x =n −n −mn <0，……，所以该不定方程没有正整数解，