一元线性回归分析

（independent variable），也称为回归变量（regressor），它可以
是随机变量，也可以是非随机变量。
• 回归的类型
如果回归分析时只有一个自变量，则称为一元回归；含有两个或 两个以上回归变量时称为多元回归。
若响应变量与回归变量之间为线性关系就称为线性回归分析，否
则称为非线性回归分析。
居民受教育程度与收入的关系及相关关系。
➢ 由于客观上常会出现观察或测量上的误差等原因，函数关系在实际 工作中往往通过相关关系表现出来。而在研究相关关系时，为了找出 变量之间数量关系的内在联系和表现形式，又常常需要借助函数关系
的形式加以描述。
互动地带
8-3
第一节 相关分析
二、相关关系的种类 ❖ 根据相关变量之间的密切程度不同，可分为不相关、完
8-4
第一节 相关分析
❖ 散点图与相关的类型
互动地带
8-5
第一节 相关分析
❖ 相关系数（correlation coefficient） 是测度变量之间相关关系密切程度和相关方向的代表
性指标。 ➢ 对两个变量之间线性相关程度的度量称为简单相关系数。
➢ 若相关系数是根据总体全部数据计算的，称为总体相关系 数，记为 ；若是根据样本数据计算的，则称为样本相 关系数，记为 r 。
➢ 两个变量的线性相关系数
r sxy sx sy
n
1 1
(x
x
)(
y
y)
1 n 1
(x
x)2
n
1 1
(
y
y)2
或r
例8.1
n xy x y
n x2 x2 n y2 y2
8-6
第一节 相关分析
➢ 相关系数的取值范围在-1和+1之间，即：–1≤ r≤ 1。
若0＜ r≤ 1，表明和之间存在正线性相关关系； 若-1≤ r＜0，表明和之间存在负线性相关关系；
若 r =1，表明和之间是完全正线性相关关系；
若 r = -1，表明和之间是完全负线性相关关系。 ➢ r =0只表示两个变量之间不存在线性相关关系，并不说明变量之间
没有任何关系，比如它们之间可能存在非线性相关关系。
➢ 通常认为，当n较大时：0≤︱r︱＜0.3为微弱相关；0.3≤︱r︱＜0.5为 低度相关；0.5≤︱︱r ＜0.8为显著相关；0.8≤︱︱r ＜1为高度相关。
全相关和不完全相关。 ❖ 根据相关变量的变化方向划分，可分为正相关和负相关 ❖ 根据相关变量的多少划分，可分为单相关和复相关。 ❖ 根据变量间依存关系的形式划分，可分为直线相关和曲
线相关。 三、相关关系的描述与测度 ❖ 散点图（scatter diagram）
用直角坐标的横轴表示变量x的值，纵轴表示变量y的值，每组数据 在直角坐标系中用一个点表示，n组数据在直角坐标系中形成的n个数 据点称为散布点或散点，由坐标及其散点形成的二维数据图 。
不可观测的随机变量，表示 x 和 y 的关系中不确定因素的影响，我们 称之为随机误差；响应变量 y为随机变量。
❖ 模型的三个假定
1. 随机误差 e 的期望值为0，即 E(e) 0
2. 对于所有的x 值，e 的方差都相同 ；
3. 随机误差 e 是一个服从正态分布的随机变量，且各次观测的随机误
差 e1,e2 , ,en 相互独立。
H0
，表明不良贷款与贷款余
互动地带 附表6
8-7
8-8 第二节 一元线性回归分析
❖ 自变量与因变量
➢
在回归分析中，通常把被解释（预测）变量称为因变量
（dependent variable），也叫响应变量（response variable），一
般假设为Baidu Nhomakorabea机变量；
➢
把用来解释（预测）的一个或多个变量称为自变量
❖ 回归方程
E(y) A Bx
8-10 第二节 一元线性回归分析
❖ 估计的回归方程
总体回归参数A和B是未知的，我们必须利用样本数据去估计它们。
用样本统计量 和 a 代替b 回归方程中的未知参数A和B，可以得出估计
的一元线性回归方程式：
yˆ a bx
式中，a 是估计的回归直线在 y 轴上的截距；b 是直线的斜率；yˆ 是
• 相关系数的显著性检验
互动地带
H0 : 0； H1 : 0
统计量 t r
n2 1 r2
服从自由度为n-2的t分布
例8.2 根据对25家银行的调查数据计算不良贷款额与贷款余额的相 关系数为0.8436。试检验不良贷款额与贷款余额之间的相关系数是否显 著。
解：（1）提出原假设和备择假设
H0 : 0 ； H1 : 0
的 y估计值，也称 yˆ 为 y 的回归值(regressand value)或拟合值(fitted
value)。b 为x 每变动一个单位时，y 的平均变动值。
二、参数的最小二乘估计
互动地带
在根据散布点去拟合回归直线时，应使得直线 yˆ a bx 所代 表的估计值 yˆ 和与其对应的实际观测值 y 之间的差为最小，即残差
8-2
第一节 相关分析
一、变量间的关系
❖ 函数关系
是变量之间一种完全确定的关系。如，圆的面积与圆半径之间的关
系 s r 2 即函数关系。
❖ 相关关系（correlation）
指变量之间的数量变化受随机因素的影响而不能惟一确定的相互依
存关系，其一般数学表达式为 y f x ，其中代表随机因素。如，
• 回归模型(regression model) 描述响应变量与回归变量和误差项之间的因果关系的数学表达式
称为回归模型。
8-9 第二节 一元线性回归分析
一、一元线性回归模型
❖ 理论回归模型
y A Bx e
式中A和B是未知常数，称作回归系数（coefficient）；回归变量 x 可以是随机变量，也可以是可以控制其取值的非随机的普通变量；e 是
（residual）最小。 即：
Q(a,b) (y a bx)2 最小值
8-11 第二节 一元线性回归分析
利用数学求极值的方法，由条件
Q 0 且
a
（2）取显著性水平 =0.05，根据自由度 df n 2 25 2 23 ， 查 t 分布表得：临界值 t / 2,n2 t0.025,23 2.069
（3）计算检验的统计量
t r
n2 1 r2
0.8436
25 2 1 0.8436 2
7.5344
(4)由于 t ﹥ t / 2,n2 ，所以拒绝 额之间存在显著的正线性相关关系。