北航2010-2011年研究生数值分析期末模拟试卷1-3
北航研究生数值分析作业第一题
北航研究⽣数值分析作业第⼀题北航研究⽣数值分析作业第⼀题：⼀、算法设计⽅案1.要求计算矩阵的最⼤最⼩特征值，通过幂法求得模最⼤的特征值，进⾏⼀定判断即得所求结果；2.求解与给定数值接近的特征值，可以该数做漂移量，新数组特征值倒数的绝对值满⾜反幂法的要求，故通过反幂法即可求得；3.反幂法计算时需要⽅程求解中间过渡向量，需设计Doolite分解求解；4.|A|=|B||C|，故要求解矩阵的秩，只需将Doolite分解后的U矩阵的对⾓线相乘即为矩阵的Det。
算法编译环境：vlsual c++6.0需要编译函数：幂法，反幂法，Doolite分解及⽅程的求解⼆、源程序如下：#include#include#include#includeint Max(int value1,int value2);int Min(int value1,int value2);void Transform(double A[5][501]);double mifa(double A[5][501]);void daizhuangdoolite(double A[5][501],double x[501],double b[501]); double fanmifa(double A[5][501]); double Det(double A[5][501]);/***定义2个判断⼤⼩的函数，便于以后调⽤***/int Max(int value1,int value2){return((value1>value2)?value1:value2);}int Min(int value1,int value2){return ((value1}/*****************************************//***将矩阵值转存在⼀个数组⾥，节省空间***/void Transform(double A[5][501],double b,double c){int i=0,j=0;A[i][j]=0,A[i][j+1]=0;for(j=2;j<=500;j++)A[i][j]=c;i++;j=0;A[i][j]=0;for(j=1;j<=500;j++)A[i][j]=b;i++;for(j=0;j<=500;j++)A[i][j]=(1.64-0.024*(j+1))*sin(0.2*(j+1))-0.64*exp(0.1/(j+1)); i++;for(j=0;j<=499;j++)A[i][j]=b;A[i][j]=0;i++;for(j=0;j<=498;j++)A[i][j]=c;A[i][j]=0,A[i][j+1]=0;}/***转存结束***///⽤于求解模最⼤的特征值，幂法double mifa(double A[5][501]){int s=2,r=2,m=0,i,j;double b2,b1=0,sum,u[501],y[501];for (i=0;i<=500;i++){u[i] = 1.0;}do{sum=0;if(m!=0)b1=b2;m++;for(i=0;i<=500;i++)sum+=u[i]*u[i];for(i=0;i<=500;i++)y[i]=u[i]/sqrt(sum);for(i=0;i<=500;i++){u[i]=0;for(j=Max(i-r,0);j<=Min(i+s,500);j++)u[i]=u[i]+A[i-j+s][j]*y[j];}b2=0;for(i=0;i<=500;i++)b2=b2+y[i]*u[i];}while(fabs(b2-b1)/fabs(b2)>=exp(-12));return b2;}//带状DOOLITE分解，并且求解出⽅程组的解void daizhuangdoolite(double A[5][501],double x[501],double b[501]) { int i,j,k,t,s=2,r=2;double B[5][501],c[501];for(i=0;i<=4;i++){for(j=0;j<=500;j++)B[i][j]=A[i][j];}for(i=0;i<=500;i++)c[i]=b[i];for(k=0;k<=500;k++){for(j=k;j<=Min(k+s,500);j++){for(t=Max(0,Max(k-r,j-s));t<=k-1;t++)B[k-j+s][j]=B[k-j+s][j]-B[k-t+s][t]*B[t-j+s][j]; }for(i=k+1;i<=Min(k+r,500);i++){for(t=Max(0,Max(i-r,k-s));t<=k-1;t++)B[i-k+s][k]=B[i-k+s][k]-B[i-t+s][t]*B[t-k+s][k]; B[i-k+s][k]=B[i-k+s][k]/B[s][k];}}for(i=1;i<=500;i++)for(t=Max(0,i-r);t<=i-1;t++)c[i]=c[i]-B[i-t+s][t]*c[t];x[500]=c[500]/B[s][500];for(i=499;i>=0;i--){x[i]=c[i];for(t=i+1;t<=Min(i+s,500);t++)x[i]=x[i]-B[i-t+s][t]*x[t];x[i]=x[i]/B[s][i];}}//⽤于求解模最⼤的特征值，反幂法double fanmifa(double A[5][501]){int s=2,r=2,m=0,i;double b2,b1=0,sum=0,u[501],y[501];for (i=0;i<=500;i++){u[i] = 1.0;}do{if(m!=0)b1=b2;m++;sum=0;for(i=0;i<=500;i++)sum+=u[i]*u[i];for(i=0;i<=500;i++)y[i]=u[i]/sqrt(sum);daizhuangdoolite(A,u,y);b2=0;for(i=0;i<=500;i++)b2+=y[i]*u[i];}while(fabs(b2-b1)>=fabs(b1)*exp(-12));return 1/b2;}//⾏列式的LU分解，U的主线乘积即位矩阵的DET double Det(double A[5][501]) {int i,j,k,t,s=2,r=2;for(k=0;k<=500;k++){for(j=k;j<=Min(k+s,500);j++){for(t=Max(0,Max(k-r,j-s));t<=k-1;t++)A[k-j+s][j]=A[k-j+s][j]-A[k-t+s][t]*A[t-j+s][j];}for(i=k+1;i<=Min(k+r,500);i++){for(t=Max(0,Max(i-r,k-s));t<=k-1;t++)A[i-k+s][k]=A[i-k+s][k]-A[i-t+s][t]*A[t-k+s][k];A[i-k+s][k]=A[i-k+s][k]/A[s][k];}}double det=1;for(i=0;i<=500;i++)det*=A[s][i];return det;}void main(){double b=0.16,c=-0.064,p,q;int i,j;double A[5][501];Transform(A,b,c); //进⾏A的赋值cout.precision(12); //定义输出精度double lamda1,lamda501,lamdas;double k=mifa(A);if(k>0) //判断求得最⼤以及最⼩的特征值.如果K>0，则它为最⼤特征值值，//并以它为偏移量再⽤⼀次幂法求得新矩阵最⼤特征值，即为最⼤ //与最⼩的特征值的差{lamda501=k;for(i=0;i<=500;i++)A[2][i]=A[2][i]-k;lamda1=mifa(A)+lamda501;for(i=0;i<=500;i++)A[2][i]=A[2][i]+k;}else //如果K<=0，则它为最⼩特征值值，并以它为偏移量再⽤⼀次幂法//求得新矩阵最⼤特征值，即为最⼤与最⼩的特征值的差{lamda1=k;for(i=0;i<=500;i++)A[2][i]=A[2][i]-k;lamda501=mifa(A)+lamda1;for(i=0;i<=500;i++)A[2][i]=A[2][i]+k;}lamdas=fanmifa(A);FILE *fp=fopen("result.txt","w");fprintf(fp,"λ1=%.12e\n",lamda1);fprintf(fp,"λ501=%.12e\n",lamda501);fprintf(fp,"λs=%.12e\n\n",lamdas);fprintf(fp,"\t要求接近的值\t\t\t实际求得的特征值\n");for(i=1;i<=39;i++) //反幂法求得与给定值接近的特征值{p=lamda1+(i+1)*(lamda501-lamda1)/40;for(j=0;j<=500;j++)A[2][j]=A[2][j]-p;q=fanmifa(A)+p;for(j=0;j<=500;j++)A[2][j]=A[2][j]+p;fprintf(fp,"µ%d: %.12e λi%d: %.12e\n",i,p,i,q);}double cond=fabs(mifa(A)/fanmifa(A));double det=Det(A);fprintf(fp,"\ncond(A)=%.12e\n",cond);fprintf(fp,"\ndetA=%.12e\n",det);}三、程序运⾏结果λ1=-1.069936345952e+001λ501=9.722283648681e+000λs=-5.557989086521e-003要求接近的值实际求得的特征值µ1: -9.678281104107e+000 λi1: -9.585702058251e+000µ2: -9.167739926402e+000 λi2: -9.172672423948e+000µ3: -8.657198748697e+000 λi3: -8.652284007885e+000µ4: -8.146657570993e+000 λi4: -8.0934********e+000µ5: -7.636116393288e+000 λi5: -7.659405420574e+000µ6: -7.125575215583e+000 λi6: -7.119684646576e+000µ7: -6.615034037878e+000 λi7: -6.611764337314e+000µ8: -6.104492860173e+000 λi8: -6.0661********e+000µ9: -5.593951682468e+000 λi9: -5.585101045269e+000µ10: -5.0834********e+000 λi10: -5.114083539196e+000µ11: -4.572869327058e+000 λi11: -4.578872177367e+000µ12: -4.062328149353e+000 λi12: -4.096473385708e+000µ13: -3.551786971648e+000 λi13: -3.554211216942e+000µ14: -3.0412********e+000 λi14: -3.0410********e+000µ15: -2.530704616238e+000 λi15: -2.533970334136e+000µ16: -2.020*********e+000 λi16: -2.003230401311e+000µ17: -1.509622260828e+000 λi17: -1.503557606947e+000µ18: -9.990810831232e-001 λi18: -9.935585987809e-001µ19: -4.885399054182e-001 λi19: -4.870426734583e-001µ20: 2.200127228676e-002 λi20: 2.231736249587e-002µ21: 5.325424499917e-001 λi21: 5.324174742068e-001µ22: 1.043083627697e+000 λi22: 1.052898964020e+000µ23: 1.553624805402e+000 λi23: 1.589445977158e+000µ24: 2.064165983107e+000 λi24: 2.060330427561e+000µ25: 2.574707160812e+000 λi25: 2.558075576223e+000µ26: 3.0852********e+000 λi26: 3.080240508465e+000µ27: 3.595789516221e+000 λi27: 3.613620874136e+000µ28: 4.106330693926e+000 λi28: 4.0913********e+000µ29: 4.616871871631e+000 λi29: 4.603035354280e+000µ30: 5.127413049336e+000 λi30: 5.132924284378e+000µ31: 5.637954227041e+000 λi31: 5.594906275501e+000µ32: 6.148495404746e+000 λi32: 6.080933498348e+000µ33: 6.659036582451e+000 λi33: 6.680354121496e+000µ34: 7.169577760156e+000 λi34: 7.293878467852e+000µ35: 7.680118937861e+000 λi35: 7.717111851857e+000µ36: 8.190660115566e+000 λi36: 8.225220016407e+000µ37: 8.701201293271e+000 λi37: 8.648665837870e+000µ38: 9.211742470976e+000 λi38: 9.254200347303e+000µ39: 9.722283648681e+000 λi39: 9.724634099672e+000cond(A)=1.925042185755e+003detA=2.772786141752e+118四、分析如果初始向量选择不当,将导致迭代中X1的系数等于零.但是，由于舍⼊误差的影响,经若⼲步迭代后,.按照基向量展开时,x1的系数可能不等于零。
北航研究生数值分析编程大作业1
数值分析大作业一、算法设计方案1、矩阵初始化矩阵[]501501⨯=ij a A 的下半带宽r=2,上半带宽s=2，设置矩阵[][]5011++s r C ，在矩阵C 中检索矩阵A 中的带内元素ij a 的方法是：j s j i ij c a ,1++-=。
这样所需要的存储单元数大大减少，从而极大提高了运算效率。
2、利用幂法求出5011λλ，幂法迭代格式：0111111nk k k k kk T k k k u R y u u Ay y u ηηβ------⎧∈⎪⎪=⎪=⎨⎪=⎪⎪=⎩非零向量 当1210/-≤-k k βββ时，迭代终止。
首先对于矩阵A 利用幂法迭代求出一个λ，然后求出矩阵B ，其中I A B λ-=(I 为单位矩阵），对矩阵B 进行幂法迭代，求出λ'，之后令λλλ+'=''，比较的大小与λλ''，大者为501λ，小者为1λ。
3、利用反幂法求出ik s λλ,反幂法迭代格式：0111111nk k k k kk T k k k u R y u Au y y u ηηβ------⎧∈⎪⎪=⎪=⎨⎪=⎪⎪=⎩非零向量 当1210/-≤-k k βββ时，迭代终止，1s k λβ=。
每迭代一次都要求解一次线性方程组1-=k k y Au ，求解过程为：（1）作分解LU A =对于n k ,...,2,1=执行[][]s k n r k k k i c c c c c n s k k k j c cc c k s ks k t k s k r i t t s t i k s k i k s k i js j t k s j r k t t s t k j s j k j s j k <+++=-=++=-=+++----=++-++-++-++----=++-++-++-∑∑);,min(,...,2,1/)(:),min(,...,1,:,1,11),,1max(,1,1,1,11),,1max(,1,1,1（2）求解y Ux b Ly ==,（数组b 先是存放原方程组右端向量，后来存放中间向量y))1,...,2,1(/)(:/:),...,3,2(:,1),min(1.1.11),1max(,1--=-===-=+++-++-+--=++-∑∑n n i c x c b x c b x n i b c b b i s t n s i i t t s t i i i ns n n ti r i t t s t i i i使用反幂法，直接可以求得矩阵按模最小的特征值s λ。
北航数值分析大作业三
一、题目：关于x, y, t, u, v, w 的下列方程组0.5cos 2.670.5sin 1.070.5cos 3.740.5sin 0.79t u v w x t u v w y t u v w x t u v w y +++-=⎧⎪+++-=⎪⎨+++-=⎪⎪+++-=⎩1、试用数值方法求出f(x, y)在区域 {(,)|00.8,0.5 1.5}D x y x y =≤≤≤≤上的一个近似表达式,0(,)kr s rsr s p x y cx y ==∑要求(,)p x y 一最小的k 值达到以下的精度10202700((,)(,))10i j i j i j f x y p x y σ-===-≤∑∑其中，0.08,0.50.05i j x i y j ==+。
2、计算****(,),(,)i j i j f x y p x y （i = 1, 2, …，8；j = 1, 2,…，5）的值，以观察(,)p x y 逼近(,)f x y 的效果，其中，*i x =0.1i , *j y =0.5+0.2j 。
说明：1、用迭代方法求解非线性方程组时，要求近似解向量()k x 满足()(1)()12||||/||||10k k k x x x --∞∞-≤2、作二元插值时，要使用分片二次代数插值。
3、要由程序自动确定最小的k 值。
4、打印以下内容：●算法的设计方案。
●全部源程序（要求注明主程序和每个子程序的功能）。
●数表：,,i j x y (,)i j f x y （i = 0,1,2,…,10；j = 0,1,2,…,20）。
●选择过程的,k σ值。
●达到精度要求时的,k σ值以及(,)p x y 中的系数rs c （r = 0,1,…,k;s = 0,1,…,k ）。
●数表：**,,i j x y ****(,),(,)i j i j f x y p x y （i = 1, 2, ...,8；j = 1, 2, (5)。
北航研究生数值分析试题
∗⎞ ⎟的 A1 ⎠
矩阵。
三、（12 分）试用高斯列主元素法求解线性方程组
⎡ 1 3 −2 −4 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡3 ⎤ ⎢ 2 6 −7 −10 ⎥ ⎢ x ⎥ ⎢ −2 ⎥ ⎢ ⎥⎢ 2⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ −1 −1 5 9 ⎥ ⎢ x3 ⎥ ⎢14 ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ x4 ⎦ ⎥ ⎣ −6 ⎦ ⎣ −3 −5 0 15 ⎦ ⎣ 四、（12 分）利用矩阵 A 的三角分解 A = LU 求解下列方程组 ⎛ 1 2 1 ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 2 2 3 ⎟ ⎜ x2 ⎟ = ⎜ 3 ⎟ ⎜ −1 −3 0 ⎟ ⎜ x ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎝ ⎠⎝ 3 ⎠ ⎝ ⎠
第一章
1、近似数 x = 0.231 关于真值 x = 0.229 有（ （1）1；（2）2；（3）3；（4）4。
∗
绪论
一、选择题（四个选项中仅有一项符合题目要求，每小题 3 分，共计 15 分) ）位有效数字。
2、取 3 ≈ 1.732 计算 x = ( 3 − 1) ，下列方法中哪种最好？（
4
）
Ax
∞和
A ∞ 的值分别为（
）
3
(1) 8 , 8 ；
(2) 8 , 7 ；
(3) 8 , 6 ；
(4) 7 , 7 。
5 、若解线性代数方程组的 Gauss 部分选主元方法第二步得到的系数矩阵的第三列向量为
(2
6 3 2 −5 4 2 ) ，则第三步主行是（
T
） (4) 第 6 行。
(1) 第 2 行；
1 − cos x , sin x
x ≠ 0且 x << 1 ；
（2）
1 1− x , − 1+ 2x 1+ x
北航数值分析大作业二
数值分析第二题1 算法设计方案要想得出该题的答案首先要将矩阵A 进行拟上三角化，把矩阵A 进行QR 分解。
要得出矩阵A 的全部特征值先对A 进行QR 的双步位移得出特征值。
采用列主元的高斯消元法求解特征向量。
1.1 A 的拟上三角化因为对矩阵进行QR 分解并不改变矩阵的结构，因此在进行QR 分解前对矩阵A 进行拟上三角化可以大大减少计算机的计算量，提高程序的运行效率。
具体算法如下所示，记A A =)1(，并记)(r A 的第r 列至第n 列的元素为()n r r j n i a r ij,,1,;,,2,1)( +==。
对于2,,2,1-=n r 执行1. 若()n r r i a r ir,,3,2)( ++=全为零，则令)()1(r r A A =+,转5；否则转2。
2. 计算()∑+==nr i r irr a d 12)(()()r r r r r r r r r r d c a d a c ==-=++则取,0sgn )(,1)(,1若 )(,12r rr r r r a c c h +-=3. 令()n Tr nrr r r r r r r r R a a c a u ∈-=++)()(,2)(,1,,,,0,,0 。
4. 计算r r T r r h u A p /)(= r r r r h u A q /)(=r r Tr r h u p t /=r r r r u t q -=ωTrr T r r r r p u u A A --=+ω)()1(5. 继续。
1.2 A 的QR 分解具体算法如下所示，记)1(1-=n A A ，并记[]nn r ij r a A ⨯=)(，令I Q =1 对于1,,2,1-=n r 执行1.若()n r r i a r ir,,3,1)( ++=全为零，则令r r Q Q =+1r r A A =+1,转5；否则转2。
2.计算()∑==nri r irr a d 2)(()()r r r r r r r r r r d c a d a c ==-=++则取,0sgn )(,1)(,1若)(,2r r r r r r a c c h -=3.令()n Tr nrr r r r r r r r R a a c a u ∈-=+)()(,2)(,,,,,0,,0 。
北航数值分析大作业3(学硕)
《数值分析》作业三院系：机械学院学号：SY1307145姓名：龙安林2013年11 月24 日1. 算法设计1) 开始；2) 计算数组[][]0.08,0.050.5,0,1,2,,10;0,1,2,,20x i i y j j i j ==+=⋯=⋯（）； 3) 将点[][],0,1,2,,10;0,1,2,,20x i y j i j =⋯=⋯（）,（）带入非线性方程组： 0.5cos 2.670.5sin 1.070.5cos 3.740.5sin 0.79t u v w x t u v w y t u v w x t u v w y +++-=⎧⎪+++-=⎪⎨+++-=⎪⎪+++-=⎩ 得出相应的点,t u （）； 4) 选择拉格朗日插值法，将,t u （）作为中间变量，在题目所给出的二维数表中进行二次代数插值，得到[][],)(z f x i y j =；5) 输出数表：[][][][]()()0,1,2,,10;0,1,2,,20,,,x i y j f x i y j i j =⋯=⋯； 6) 令k=0；7) 以()()(),,,0,1,r r r s x x y y r s ϕψ===…,k 为拟合基函数，将上述数表作为拟合条件，对于给定的k 值，得到矩阵B 、G 、U ；8) 令-1-1(),()T T T A B B B U C AG G G ==，用选主元的LU 分解法分别计算矩阵A 和C 的各列，最后得到系数矩阵C ；9) 以公式：()()()00,k ki j rs r i s j s r p x y C x y ϕψ===∑∑计算每个点的拟合值；10) 利用公式：()()()2102000,,i j i j i j f x y p x y σ===-∑∑计算拟合误差，当σ≤10-7时，循环结束，否则k=k+1，转（6）；11) 令[][]()**0.10.50.2 1,2,81,2,5x i i y j j i j ==+=⋯=⋯；，；，；12) 计算()()()******,,,,,i j i j i jf x y p x y delta x y ，输出数表，观察逼近效果； 13) 结束。
北航研究生数值分析大作业三
数值分析—计算实习作业三学院：17系专业：精密仪器及机械姓名：张大军学号：DY1417114一、程序设计方案程序设计方案流程图如图1所示。
（注：由本人独立完成，并且有几处算法很巧妙，但同时也有许多不足，可以优化和模块化，由于时间原因只实现了调试通过）图1.程序设计方案流程图二、程序源代码#include <iostream.h>#include <iomanip.h>#include <math.h>#include<stdio.h>#include <conio.h>#define M 10000#define N 4#define E 1.0e-12int zuixiaci;static double c[9][9];static double bijin[8][5];int main(){double X[N]={0,0,0,1};double T[11][21],U[11][21],xianshi[11][21];double diertX[N];double F[N];double f[N][N];double Max1=0,Max2=0;int k,i,j,t,tt=0,yao=0;void qiuF(double * X,double *F,int i,int j);void qiuF2(double *X,double *F,int i,int j);void qiuf(double * X,double (*f)[N]);void qiudiertX(double (*a)[N],double*b,double*X); double gouzaohs(double t,double u); void solve_C(double (*U)[21]); void pp(double (*U)[21],int k);for(i=0;i<11;i++)for(j=0;j<21;j++){for(k=0;k<M;k++){qiuF(X,F,i,j);qiuf(X,f);qiudiertX(f,F,diertX);for(t=0;t<N;t++){X[t]=X[t]+diertX[t];}Max1=0,Max2=0;for(t=0;t<N;t++){if(Max1<fabs(X[t]))Max1=fabs(X[t]);if(Max2<fabs(diertX[t]))Max2=fabs(diertX[t]);}if((Max2/Max1)<=E){k=M;yao=1;T[i][j]=X[0];U[i][j]=X[1];xianshi[i][j]=gouzaohs(X[0],X[1]);cout<<setiosflags(ios::scientific)<<setprecision(12);cout<<setprecision(2)<<"("<<setw(5)<<0.08*i<<","<<setw(5)<< (0.5+0.05*j)<<",";cout<<setprecision(12)<<setw(21)<<xianshi[i][j]<<") ";if(tt==3){tt=0;cout<<'\n';cout<<'\n';}else{tt++;}}}if(yao==0)cout<<"迭代不成功"<<endl; yao=0;}cout<<endl;solve_C(xianshi);pp(xianshi,zuixiaci);tt=0;for(i=1;i<9;i++)for(j=1;j<6;j++){for(k=0;k<M;k++){qiuF2(X,F,i,j);qiuf(X,f);qiudiertX(f,F,diertX);for(t=0;t<N;t++){X[t]=X[t]+diertX[t];}Max1=0,Max2=0;for(t=0;t<N;t++){if(Max1<fabs(X[t]))Max1=fabs(X[t]);if(Max2<fabs(diertX[t]))Max2=fabs(diertX[t]);}if((Max2/Max1)<=E){k=M;yao=1;xianshi[i-1][j-1]=gouzaohs(X[0],X[1]);cout<<setiosflags(ios::scientific)<<setprecision(12);cout<<setprecision(2)<<"("<<setw(5)<<0.1*i<<","<<setw(5)<<( 0.5+0.2*j)<<",";cout<<setprecision(12)<<setw(21)<<xianshi[i-1][j-1]<<","<<set w(21)<<bijin[i-1][j-1]<<") ";if(tt==2){tt=0;cout<<'\n';}else{tt++;}}}if(yao==0)cout<<"迭代不成功"<<endl;yao=0;}cout<<endl;return 1;}void qiuF(double *X,double *F,int i,int j){F[0]=-(0.5*cos(X[0])+X[1]+X[2]+X[3]-0.08*i-2.67);F[1]=-(X[0]+0.5*sin(X[1])+X[2]+X[3]-(0.5+0.05*j)-1.07);F[2]=-(0.5*X[0]+X[1]+cos(X[2])+X[3]-0.08*i-3.74);F[3]=-(X[0]+0.5*X[1]+X[2]+sin(X[3])-(0.5+0.05*j)-0.79); }void qiuF2(double *X,double *F,int i,int j){F[0]=-(0.5*cos(X[0])+X[1]+X[2]+X[3]-0.1*i-2.67);F[1]=-(X[0]+0.5*sin(X[1])+X[2]+X[3]-(0.5+0.2*j)-1.07);F[2]=-(0.5*X[0]+X[1]+cos(X[2])+X[3]-0.1*i-3.74);F[3]=-(X[0]+0.5*X[1]+X[2]+sin(X[3])-(0.5+0.2*j)-0.79); }void qiuf(double *X,double (*f)[N]){f[0][0]=-0.5*sin(X[0]);f[0][1]=1;f[0][2]=1;f[0][3]=1;f[1][0]=1;f[1][1]=0.5*cos(X[1]);f[1][2]=1;f[1][3]=1;f[2][0]=0.5;f[2][1]=1;f[2][2]=-sin(X[2]);f[2][3]=1;f[3][0]=1;f[3][1]=0.5;f[3][2]=1;f[3][3]=cos(X[3]);}//求解关于变化X的线性方程组void qiudiertX(double (*a)[N],double*b,double*X) {double H[N][N]={0},l[N]={0};double B;double sum;int i,j,m,k,z;for(k=0;k<N-1;k++){for(j=k;j<N;j++){l[j]=a[k][j];}z=k;for(m=k;m<N;m++){if(fabs(a[z][k])<fabs(a[m][k]))z=m;}for(j=k;j<N;j++){a[k][j]=a[z][j];a[z][j]=l[j];}B=b[k];b[k]=b[z];b[z]=B;for(i=k+1;i<N;i++){H[i][k]=a[i][k]/a[k][k];for(j=k+1;j<N;j++)a[i][j]=a[i][j]-H[i][k]*a[k][j];b[i]=b[i]-H[i][k]*b[k];}}if(a[N-1][N-1]==0){cout<<"算法失效，停止计算"<<endl; }else{X[N-1]=b[N-1]/a[N-1][N-1];for(k=N-2;k>=0;k--){sum=0;for(j=k+1;j<N;j++){sum=sum+a[k][j]*X[j];}X[k]=(b[k]-sum)/a[k][k];}}}//作二元差值，使用分片二次代数插值double gouzaohs(double t,double u){double T[6]={0,0.2,0.4,0.6,0.8,1},U[6]={0,0.4,0.8,1.2,1.6,2};double Z[6][6]={-0.5,-0.34,0.14,0.94,2.06,3.5,-0.42,-0.5,-0.26,0.3,1.18,2.38,-0.18,-0.5,-0.5,-0.18,0.46,1.42,0.22,-0.34,-0.58,-0.5,-0.1,0.62,0.78,-0.02,-0.5,-0.66,-0.5,-0.02,1.5,0.46,-0.26,-0.66,-0.74,-0.5};double g=0,sum=0,sum1=1,sum2=1;int i=0,j=0,k=0,r=0,kk=0,rr=0;for(i=1;(i<6)&&(T[i]-0.1<t);i++){}for(j=1;(j<6)&&(U[j]-0.2<u);j++){}if(i==1)i=2;if(i==6)i=5;if(j==1)j=2;if(j==6)j=5;sum=0;for(k=i-2;k<i+1;k++)for(r=j-2;r<j+1;r++){sum1=1;sum2=1;for(kk=i-2;kk<i+1;kk++){if(k!=kk){sum1=sum1*(t-T[kk])/(T[k]-T[kk]);}}for(rr=j-2;rr<j+1;rr++){if(r!=rr){sum2=sum2*(u-U[rr])/(U[r]-U[rr]);}}sum=sum+sum1*sum2*Z[k][r];}g=sum;return g;}//求r*s阶矩阵A与s*t阶矩阵B的乘积矩阵Cvoid Multi(double *a, double *b, double *c, int la, int lb, int lc, int r, int s, int t){int i, j, k;for (i=0; i<r; i++)for (j=0; j<t; j++){*(c+i*lc+j)=0;for (k=0; k<s; k++)*(c+i*lc+j)+=*(a+i*la+k)*(*(b+k*lb+j));}}//求n阶方阵A的逆矩阵Bdouble Inverse(double *a, double *b, int la, int lb, int n){int i, j, k;double temp;for(i=0; i<n; i++)for(j=0; j<n; j++)if (i==j)*(b+i*lb+j)=1;else*(b+i*lb+j)=0;for (k=0; k<n; k++){j=k;for (i=k+1; i<n; i++)if (fabs(*(a+i*la+k))>fabs(*(a+j*la+k))) j=i;if (j!=k)for (i=0; i<n; i++){temp=*(a+j*la+i);*(a+j*la+i)=*(a+k*la+i);*(a+k*la+i)=temp;temp=*(b+j*lb+i);*(b+j*lb+i)=*(b+k*lb+i);*(b+k*lb+i)=temp;}if (*(a+k*la+k)==0)return 0;if ((temp=*(a+k*la+k))!=1)for (i=0; i<n; i++){*(a+k*la+i)/=temp;*(b+k*lb+i)/=temp;}for (i=0; i<n; i++)if ((*(a+i*la+k)!=0) && (i!=k)){temp=*(a+i*la+k);for (j=0; j<n; j++){*(a+i*la+j)-=temp*(*(a+k*la+j));*(b+i*lb+j)-=temp*(*(b+k*lb+j));}}}return 0;}void solve_C(double (*U)[21]){int i,j,r,s,k;double t1[21][21], t2[21][21], t3[21][21],d[9][9],e[9][9];double B[11][9], B_T[9][11], G[21][9], G_T[9][21],P[11][21];double temp, FangCha;for(i=0;i<9;i++){for(j=0;j<11;j++){B[j][i]=pow(0.08*j,i);B_T[i][j]=pow(0.08*j,i);}for(j=0;j<21;j++){G[j][i]=pow(0.5+0.05*j,i);G_T[i][j]=pow(0.5+0.05*j,i);}}for (k=0; k<9; k++){FangCha=0;Multi(B_T[0], B[0], t1[0], 11, 9, 21, k+1, 11, k+1);Inverse(t1[0], c[0], 21, 9, k+1);Multi(e[0], c[0], d[0], 9, 9, 9, k+1, k+1, k+1);Multi(c[0], B_T[0], t1[0], 9, 11, 21, k+1, k+1, 11);Multi(t1[0], U[0], t2[0], 21, 21, 21, k+1, 11, 21);Multi(G_T[0], G[0], t1[0], 21, 9, 21, k+1, 21, k+1);Inverse(t1[0], c[0], 21, 9, k+1);Multi(G[0], c[0], t3[0], 9, 9, 21, 21, k+1, k+1);Multi(t2[0], t3[0], c[0], 21, 21, 9, k+1, 21, k+1);for(i=0;i<11;i++)for(j=0;j<21;j++){temp=0;for(r=0;r<k+1;r++)for(s=0;s<k+1;s++)temp+=c[r][s]*B[i][r]*G[j][s];P[i][j]=temp;FangCha+=(U[i][j]-temp)*(U[i][j]-temp);}cout<<"k="<<setw(5)<<k<<";"<<setw(5)<<"Sigma="<<FangCha<<" ;\n"<<'\n';if(FangCha<=1.0e-7){zuixiaci=k;cout<<"达到精度要求时: k="<<setw(5)<<k<<";"<<setw(5)<<"Sigma="<<FangCha<<";\n";cout<<" 系数c(r,s)如下：\n";for(i=0;i<k+1;i++){for(j=0;j<k+1;j++){cout<<"C("<<i<<","<<j<<")="<<setw(21)<<c[i][j]<<"; ";}cout<<endl<<'\n';}cout<<endl;return;}}cout<<"经过8次拟合没有达到所需精度；"<<endl;//最高可拟合10次return;}void pp(double (*U)[21],int k){int i,j,r,s;double B[8][9],G[5][9],temp;for(i=0;i<k+1;i++){for(j=0;j<8;j++){B[j][i]=pow(0.1*(j+1),i);}for(j=0;j<5;j++){G[j][i]=pow(0.5+0.2*(j+1),i);}}for(i=0;i<8;i++)for(j=0;j<5;j++){temp=0;for(r=0;r<k+1;r++)for(s=0;s<k+1;s++)temp+=c[r][s]*B[i][r]*G[j][s];bijin[i][j]=temp;}}三、程序运行结果显示程序运行结果显示如图2。
北航-工科数学分析2010-2011期末试题
A一、计算题（每小题6分，共60分）1、已知函数2u x yz =+，求梯度grad u 及其梯度的散度().div grad u 解：,2,,u u u x z y x y z∂∂∂===∂∂∂{2,,},grad u x z y =---------------------------------------------------------3分()()()() 2.grad u grad u grad u div grad u x y z∂∂∂=++=∂∂∂--------------------3分2、设曲线22:=14x L y +的周长为l ，求2(2).Lx y ds +⎰ 解：222(2)(4)444.LLLLx y ds x y ds xyds ds l +=++==⎰⎰⎰⎰ 3、设D 是由1,0==y x 及x y =围成的区域，计算22.y Dx e dxdy -⎰⎰解：因为2_y e dy ⎰无法用初等函数表示，所以积分时必须考虑次序，2222321112_2200..3312(1).3yy y y y Dy y x edxdy dy x edx ee dy e---====-⎰⎰⎰⎰⎰⎰4、设222:,r D x y r +≤求22201lim cos().rx y r D ex y dxdy r+-→+⎰⎰解：由积分中值定理，存在(,),r D ξη∈使得22222cos()cos().rx y D e x y dxdy e r ξηξηπ--+=+⎰⎰于是原式=2220lim cos()..r e r ξηξηππ+-→+=5、设Ω为椭球体,1222222≤++c z b y a x 计算2().x y z dxdydz Ω++⎰⎰⎰解法一：作广义极坐标变换：Asin cos :sin sin cos x ar T y br z cr ϕθϕθϕ=⎧⎪=⎨⎪=⎩则T 的Jacobi 行列式为2J(,,)sin r abcr ϕθϕ=所以2222222()[()222]()x y z dxdydzx y z xy xz yz dxdydz x y z dxdydzΩΩΩ++=+++++=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2122222222402222222222002222220222(sin cos sin sin cos )sin 2(sin cos sin sin cos )sin 52(2cos 2sin )54().15d d a b c abcr drabc d a b c d abc a b c d abc a b c πππππθϕϕθϕθϕϕθϕθϕθϕϕϕθθθπ=++=++=++=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰解法二因为2222()()222,x y z x y z xy xz yz ++=+++++且,,xy xz yz 分别关于,,x y z 的奇函数，所以20,20,20.xydxdydz xzdxdydz yzdxdydz ΩΩΩ===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰于是2222222()[()222]()x y z dxdydzx y z xy xz yz dxdydz x y z dxdydzΩΩΩ++=+++++=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰又因为22zccD z dxdydz z dz dxdy-Ω=⎰⎰⎰⎰⎰⎰其中222222{(,)|1}.z x y z D x y a b c=+≤-于是2222324(1),15zccc c D z z dxdydz z dz dxdy ab z dz abc c ππ--Ω==-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰同理，232344,1515x dxdydz a bc y dxdydz ab c ππΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰故22224()().15x y z dxdydz abc a b c πΩ++=++⎰⎰⎰6、计算积分22(),x y dxdydz Ω+⎰⎰⎰其中Ω是由2z z ==围成的区域.解：作柱面坐标变换:cos ,sin ,T x r y r z zθθ===则积分区域Ω的表达式变为{(,,)|2,02,02},r z r z r θθπΩ=≤≤≤≤≤≤因此222223016().5rx y dxdydz dr d r dz πθπΩ+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰7、计算22,Lxydx x dy +⎰其中L 为有向折线OAB ，这里,,O A B 依次是点(0,0),(1,0),(1,1).解：222222LOAABxydx x dy xydx x dy xydx x dy+=+++⎰⎰⎰100(2.01)1.y dy=++=⎰8、设Ω是由球面2224x y z ++=和平面0,0,0x y z ===所围成的在第一卦限的空间区域，则三重积分222()d f x y z V Ω++⎰⎰⎰在球坐标系下的累次积分为解222220()sin d d f r r drππϕθθ⎰⎰⎰9、计算曲面积分222,x dydz y dzdx z dxdy ∑++⎰⎰其中∑是球面2222(0)x y z R z ++=≥的上侧.解法一：因为∑是关于Oyz 平面对称的上半球面，所以∑上关于Oyz 平面对称的元素i ∆∑在Oyz 平面上的有向投影i σ∆正好抵消，被积函数关于x 是偶函数，故由定义可得，20.x dydz ∑=⎰⎰同理，20.y dzdx ∑=⎰⎰所以原式=22222222224()().2Rx y R z dxdy R x y dxdy d R r rdr R π∑πθ+≤=--=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰解法二222222224()().2xyxyD D Rz dxdy z dxdy R x y dxdyd R r rdr R ∑ππθ==--=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰又2222222()()0,yzyzD D x dydz R z y dydz R z y dydz ∑=-----=⎰⎰⎰⎰⎰⎰同理,2222222()()0,zxzxD D x dydz R z x dydz R z x dydz ∑=-----=⎰⎰⎰⎰⎰⎰所以，原式4.2R π=解法三原式=22222222222240{((}00()().2xyD Rx y Rx y z dxdyR x y dxdy d R r rdr ππθ+≤+-+=++--=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰10求向量场222(,,)A x yz xy z xyz =的旋度.解：222222222((),(),())ij k rotA x z y y x z z y x x y z x yzx y zx yz ∂∂∂==---∂∂∂二、（本题满分10分）设(,)f x y 在2214x y +≤上具有连续的二阶偏导数，L 是椭圆2214x y +=的顺时针方向，求[3(,)](,)xyLy f x y dx fx y dy ++⎰的值.（利用Green 公式）解：(,)3(,),(,)(,),x y P x y y f x y Q x y f x y =+=---------------------------------------2分则(,)(,)3(,),(,),xy yx P x y Q x y f x y f x y yx∂∂=+=∂∂----------------------------4分由Green 公式得,[3(,)](,)36.xyLDy f x y dx fx y dy dxdy π ++=--=⎰⎰⎰-----------------------10分三、（本题满分10分）利用Gauss 公式计算32222cos cos cos ,()x y z dS x y z αβγ∑++++⎰⎰其中∑是包含原点的曲面222(1)(2)(3)191625x y z ---++=的外侧，cos ,cos ,cos αβγ是其外法线向量的方向余弦.解：332222222232222(,,)(,,),()()(,,)()x y P x y z Q x y z x y z x y z z R x y z x y z ==++++=++-----------------------2分对充分小的0,ε>取22221:x y z ε∑++=（取内侧），-------------------------------4分使1∑位于∑内的内区域中，记Ω为∑与1∑所围有界区域，则11332222222232222cos cos cos cos cos cos ()()cos cos cos ()x y z x y z dS dSx y z x y z x y z dS x y z αβγαβγαβγ∑∑+∑∑++++=++++++-++⎰⎰⎰⎰⎰⎰-------7分1222233++10(cos cos cos )134.x y z dV x y z dSdV εαβγεπεΩ∑≤=-++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰---------------------------------------------10分四、（本题满分10分）利用Stokes 公式计算积分222222()()()I y z dx z x dy x y dz Γ=-+-+-⎰ ，其中Γ为平面1x y z ++=与三个坐标平面的交线，从第一卦限向原点看逆时针方向．四、解：222222P(,,)=,(,,)R(,,)=,x y z y z Q x y z x z x y z y x +=++，且cos αβγ===---------------------------------------------4分则222222cos cos cos 3().2SSI dS x y z dS dS xyzy z z x x yαβγ∂∂∂==-++=-=-∂∂∂---⎰⎰-------10分或222222Sdydzdzdx dxdyI x y z y z z x x y∂∂∂∴=∂∂∂---⎰⎰2()()()...S y z dydz z x dzdx x y dxdy =-+++++=⎰⎰．五、（本题满分10分）设曲线积分2()Lxy dx yf x dy +⎰与路径无关，其中()f x 具有连续导数，且(0)0,f =求()f x 的表达式并计算(2,2)2(0,0)()xy dx yf x dy +⎰的值.解：令2P(,)=,(,)()x y xy Q x y yf x =则'P(,)(,)2,()x y Q x y xy y f x y x∂∂==∂∂------------------------------------2分因为P(,)(,),x y Q x y y x∂∂=∂∂所以有'2(),x f x =-------------------------------------------------4分解得，2(),f x x C =+又由于(0)0,f =知20,().C f x x ==----------------------------------------------------------6分(2,2)(2,2)222(0,0)(0,0)222()(..)8.xy dx yf x dy xy dx yx dyx x x x dx +=+=+=⎰⎰⎰-------------------------------------------10分六、（附加题满分10分）设22:0L x y x y +++=的方向为逆时针方向，证明：22sin +cos 2L y x dx x y dy π≤-≤⎰证明：令由22:0L x y x y +++=围成的区域为,D 由GREEN 公式得222222sin +cos (sin cos )sin cos LDDDy x dx x y dy x y dxdyx dxdy x dxdy-=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰---------4分2),4Dx dxdy π=+⎰⎰-----------------------------------------6分又(,),x y D ∈于是有1||,2x ≤从而2,2x π≤所以23,444x πππ<+≤------------------------------------------------------8分于是2sin(1,24x π<+≤且2(),2S D ππ==---------------------------------------10分故命题得证.。
2010-2011学年北京理工大学硕士研究生数值分析期末试卷
T
1 2 Байду номын сангаас 2
1 2 3 3
1 2 ，b=（4，3，2，1） 3 4
1. 用平方根法解线性方程组。 2. 对上述方程组构造收敛的迭代格式，说明其收敛原因，取初始值 X（0）=（0,0,0,0）T 用所给的迭代格式计算迭代序列的前两项（用分数表示） 。 二（15 分）已知sin （0.32）=0.314567，sin （0.34）=0.333487 均具有 6 位有效 数字。 1. 请用线性插值求sin （0.33）的近似值。 2. 证明在区间[0.32,0.34]上用线性插值求sin x的近似值时至少有 4 位有效数字。 三（20 分）长半轴为 2，短半轴为 1 的椭圆的周长 s 为 s=8
h
π 2 0
1−
3 cos x 4
2
dx，
用数值积分的方法求其近似值（要求计算结果具有四位有效数字） 。 2 四（15 分）用迭代法求 x +10x-18=0 在[1,2]内的根，取初值为 1.5 1. 构造一个收敛的迭代格式，并证明此格式的收敛性。 2. 先用上述迭代格式计算 2 步，然后采用 Aitken 加速算法再计算一步是否能得 到更精确的近似值？计算过程中小数点后保留 4 位。 五（10 分）求函数 ex 在区间[0,1]上的一次最佳平方逼近多项式。 y ′ + y = 0, xϵ[0,1] 六（20 分）对初值问题 y 0 =1 1. 求此微分方程的精确解。 2. 证明：用格式yn+1 = yn + 2 (−yn − yn+1 )所求得的近似解在步长 h0 时收敛 于精确解。 3. 写出上述格式的 Matlab 程序源代码， 要求： 输出近似解曲线图和误差曲线图。
北航数值分析大作业第一题
1 算法方案 1.1 λ1，λ501，λs 的计算
(1) (2) (3) (4) (5) 将矩阵 A[501][501]以压缩存储后的形式 C[5][501]输入 使用一次幂法得到按模最大的特征值 矩阵向左平移 λm 距离（A-λmI） ，再使用一次幂法得到按模最大的特征值 s，则 λm1=s-λm1 比较 λm1 和 λm2 的大小与正负，得到 λ 和 λ501 对 A 使用一次反幂法得到按模最小的特征值 λs
while (e>=pow(10,-12)); return 1/be;//返回 1/be2 作为矩阵 m[5][501]的按模最小向量 } //333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 33333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 double det(double c[1+r+s][q]) { int max3(int a,int b,int c); int fmax2(int a,int b); int fmin2(int a,int b); int i,j,k,t; double sum,det=1; for(k=1;k<=q;k++) { for(j=k;j<=fmin2(k+s,q);j++)//求 ukj { sum=0; for(t=max3(1,k-r,j-s);t<=k-1;t++) { sum=sum+c[k-t+s][t-1]*c[t-j+s][j-1]; } c[k-j+s][j-1]=c[k-j+s][j-1]-sum; }
2011年秋研究生数值分析试题A卷答案
2011年秋研究生数值分析期末考试试题答案一、单选题（4*5=20分）1、B;2、D ；3、D ；4、B ；5、C 。
二、填空题（4*5=20）1、2；2、()()1k k k k f x x x f x +=-'，平方收敛；3、8，8；4、9； 5、a <。
三、（10分）解：构造3次Lagrange 插值多项式3001001201()()(,)()(,,)()()L x f x f x x x x f x x x x x x x =+-+--0123012(,,,)()()()f x x x x x x x x x x +--- 3’利用待定系数法，令430123()()()()()()H x L x A x x x x x x x x =+----， 5’同时， '''14131101213()()()()()()f x H x L x A x x x x x x ==+--- 7’解出A 即可。
8’ 考虑余项4()()()E x f x H x =-，如果5()[,],,0,1,2,3i f x C a b a x b i ∈≤≤=，那么，当a x b ≤≤时()()5240123()()()()()()()5!f E x f x H x x x x x x x x x ξ=-=----. 0 10’ 四、（10分）解：设所求多项式为23202)(x C x C C x P ++=，10=ϕ，x =1ϕ，22x =ϕ，11),(10++==⎰+k j dx e k j k j ϕϕ，1),(100-==⎰e dx e f x ϕ， 1),(101==⎰dx xe f xϕ，2),(1022-==⎰e dx e x f x ϕ 5’ 所以有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡21151413141312131211210e e C C C ，求解得到 8’ ⎪⎩⎪⎨⎧===83917.085114.001299.1321C C C ，所求最佳平方逼近多项式为:2283917.085114.001299.1)(x x x P ++=。
北航数值分析B自测题1-3章
D.2
10.若f (x)在区间[a, b]内单调有限，二分k 次后区间记为[ak , bk ],且每次 取xk+1 = ak 近似代替精确解x∗ ,则最小的绝对误差限为（ ） A.|xk+1 − x∗ | ≤ C.|xk+1 − x∗ | ≤ 二、 填空题 1.设π 的近似数π ∗ 有4位有效数字，则其相对误差限为 √ 2. x∗ 的相对误差约是x∗ 的相对误差的 倍。
(2)a=6,b=2; (3)a=2,b=3; (4)a=-1,b=2.
3.设矩阵A ∈ Rn∗n , Q ∈ Rn∗n ,且QT Q=E，则下列关系式不成立的是（ ） (1) A
2
= AQ ; (2) QA
2 F
= A
F
; (3) Qx
2
= x , 其中x ∈ Rn ;
2
(4)cond∞ ( ) = cond∞ ( Q).
8
3 −1 4 1 4.设矩阵A=−1 2 −2 ，x=−1 ，则 Ax 2 −3 −2 1 （ ） (1)8,8; (2)8,7; (3)8,6; (4)7,7.
A. 7 3
B.− 7 3
7 C. 6
D.− 7 6
8.追赶法适用于求解（ ）线性方程组. A.上三角 B.下三角 C.对角 D.三对角 二.填空 题：
2 1 0 1.设A=1 2 a，为使A 可分解为A=LLT ，其中L是 对角元素为正的下 0 a 2 三角矩阵 范围是 ，则a的取值 .
1 (s∗ ) s∗
≈
27 110×80
= 0.31% = max 1 ≤ j ≤ n{1, 2, 4} = 4;
北航数值分析大作业3
数值分析第三次作业1. 设计方案对Fredholm 积分方程，用迭代法进行求解：()'(())u x A u x =，其中11(())()(,)()A u x g x K x y u y dy -=-⋅⎰对于公式中的积分部分用数值积分方法。
复化梯形积分法，取2601个节点，取迭代次数上限为50次。
实际计算迭代次数为18次，最后算得误差为r= 0.97E-10。
复化Simpson 积分法，取迭代次数上限为50次，取2*41+1，即83个节点时能满足精度要求。
实际计算迭代次数为17次，最后的误差为 r= 0.97E-10。
Guass 积分法选择的Gauss —Legendre 法，取迭代次数上限为50次，直接选择8个节点，满足精度要求。
实际计算迭代次数为24次，最后算得误差为r= 0.87E-10。
2. 全部源程序 module integral implicit none contains!//////////复化梯形 subroutine trapezoid(m) implicit none integer :: i,j,k,mreal*8 :: x(m+1),u(m+1) real*8 :: sum,sum1,g,r,h real*8 :: e=1.0e-10h=2./m do i=1,m+1x(i)=-1.+(i-1)*h end dou=0.02 do k=1,50 do i=1,m+1 sum1=0.g=dexp(x(i)*4.)+(dexp(x(i)+4.)-dexp(-4.-x(i)))/(x(i)+4.) do j=2,m sum1=sum1+dexp(x(i)*x(j))*u(j) end do sum=h/2.*(dexp(x(i)*-1.)*u(1)+dexp(x(i)*1.)*u(m+1)+2*sum1) u(i)=g-sum end dor=h/2.*((dexp(x(1)*4)-u(1))**2+(dexp(x(m+1)*4)-u(m+1))**2) do i=2,mr=r+h*(dexp(x(i)*4)-u(i))**2end doif(dabs(r)<=e) exitend dowrite(*,*) kopen(1,file="trapezoid.txt")do i=1,m+1write(1,'(3(f18.12))') x(i),u(i),dexp(x(i)*4.)end dowrite(1,'(4x,a2,e9.2)') "r=",rclose(1)returnend subroutine trapezoid!///////////复化simpsonsubroutine simpson(m)implicit noneinteger :: i,j,k,mreal*8 :: x(2*m+1),u(2*m+1)real*8 :: sum,sum1,sum2,g,r,hreal*8 :: e=1.0e-10h=2./(2.*m)do i=1,2*m+1x(i)=-1.+(i-1)*hend dou=0.02do k=1,50do i=1,2*m+1sum1=0.sum2=0.g=dexp(x(i)*4.)+(dexp(x(i)+4.)-dexp(-4.-x(i)))/(x(i)+4.)do j=1,msum1=sum1+dexp(x(i)*x(2*j))*u(2*j)end dodo j=1,m-1sum2=sum2+dexp(x(i)*x(2*j+1))*u(2*j+1)sum=h/3.*(dexp(x(i)*-1.)*u(1)+dexp(x(i)*1.)*u(2*m+1)+4*sum1+2*sum2) u(i)=g-sumend dor=h/3.*((dexp(x(1)*4)-u(1))**2+(dexp(x(2*m+1)*4)-u(2*m+1))**2)do i=1,mr=r+4.*h/3.*(dexp(x(2*i)*4)-u(2*i))**2end dodo i=1,m-1r=r+2.*h/3.*(dexp(x(2*i+1)*4)-u(2*i+1))**2end doif(dabs(r)<=e) exitend dowrite(*,*) kopen(2,file="simpson.txt")do i=1,2*m+1write(2,'(3(f18.12))') x(i),u(i),dexp(x(i)*4.)end dowrite(2,'(4x,a2,e9.2)') "r=",rclose(2)returnend subroutine simpson!///////////Gauss_Legendre法subroutine Gaussimplicit noneinteger,parameter :: m=8integer :: i,j,kreal*8 :: x(m),u(m),a(m)real*8 :: sum,g,rreal*8 :: e=1.0e-10data x /-0.9602898565,-0.7966664774,-0.5255324099,-0.1834346425,&0.1834346425,0.5255324099,0.7966664774,0.9602898565/data a /0.1012285363,0.2223810345,0.3137066459,0.3626837834,&0.3626837834,0.3137066459,0.2223810345,0.1012285363/u=0.02do k=1,50do i=1,mg=dexp(x(i)*4.)+(dexp(x(i)+4.)-dexp(-4.-x(i)))/(x(i)+4.)do j=1,msum=sum+dexp(x(i)*x(j))*u(j)*a(j)end dou(i)=g-sumend dor=0.do i=1,mr=r+a(i)*(dexp(x(i)*4)-u(i))**2end doif(dabs(r)<=e) exitend dowrite(*,*) kopen(3,file="Gauss.txt")do i=1,mwrite(3,'(3(f18.12))') x(i),u(i),dexp(x(i)*4.)end dowrite(3,'(4x,a2,e9.2)') "r=",rclose(3)returnend subroutine Gaussend module!//////////主程序program mainuse integralimplicit noneinteger :: code1=2600integer :: code2=41call trapezoid(code1)call simpson(code2)call Gaussend program3.各种积分方法的节点和数值解（由于数据太多，在打印时用了较计算时少的有效数字）复化Simpson法4.各方法所得曲线（由于所取节点太多，且精度高，所以图中很难看出各曲线的区别。
北京航空航天大学《工科数学分析》考试试题及参考答案(2012-2013第一学期)
f x e
'
e
cos x ln sin x
cos 2 x sin x cos x sin x ln sin x . sin x
dy dy dx cos t t sin t 4）解： . dx cos t t sin t dt dt
m 满足什么条件，函数在 x 0 可导.
2. 证明下面问题（10 分） 设 s 0, x1 0, xn1
1 s x , 证明数列 xn 单调有界，且极限为 s . n 2 x n
1 , 用 Cauchy 收敛定理证明 xn 收敛. 2n
5.
1) 用反证法证明. 假设存在 q a, b , g q 0 . 则根据拉格朗日中值定理
' g a g q g ' x1 a q 0 得到 g x1 0, x1 a, q
g b g q g ' x2 b q 0 得到 g ' x2 0, x2 q , b
7.
(10 分）证明下面问题 设 f x 定义在 a, b 上. 如果对 a, b 内任何收敛的点列 xn 都有 lim f xn 存在, 则
n
f 在 a, b 上一致连续.
8. (10 分）附加题 (下面两个题目任选其一) 1) 设函数 f
n 1 2 n cos x Cn cos 2 x 1 Cn cos n x , x Cn n1
二、第一次考试题目及答案
1. 计算下面各题（满分 40 分，每个题目 5 分） 1) 2) 计算极限 lim
x 0
北航数值分析大作业题目三
1、 算法的设计方案： （一）、总体方案设计：
（1）解非线性方程组。将给定的当作已知量代入题目给定的非线性方程组，求得与相对应 的数组t[i][j],u[i][j]。 （2）分片二次代数插值。通过分片二次代数插值运算，得到与数组t[11][21],u[11][21]] 对应的数组z[11][21]，得到二元函数z=。 （3）曲面拟合。利用x[i],y[j],z[11][21]建立二维函数表，再根据精度的要求选择适当k 值，并得到曲面拟合的系数矩阵C[r][s]。 （4）观察和的逼近效果。观察逼近效果只需要重复上面（1）和（2）的过程，得到与新的 插值节点对应的，再与对应的比较即可，这里求解可以直接使用（3）中的C[r][s]和k。
{ temp=0; for(l=k+1;l<=3;l++) {temp=temp+dF[k][l]*dx[l]/dF[k][k];} dx[k]=-F[k]/dF[k][k]-temp; } temp=0; for(l=0;l<=3;l++) /*求解矩阵范数，用无穷范数*/ { if(temp<fabs(dx[l])) temp=fabs(dx[l]); } fx=temp; temp=0; for(l=0;l<=3;l++) { if(temp<fabs(X[l])) temp=fabs(X[l]); } fX=temp; if(fabs(fx/fX)<Epsilon1) /*判断是否成立*/ { t[i][j]=X[0]; u[i][j]=X[1]; goto loop4;} else { for(l=0;l<=3;l++) {X[l]=X[l]+dx[l];} n=n+1; goto loop3;} } loop3:{if(n<M) /*判断是否超出规定迭代次数*/ goto loop1; else printf("迭代不成功\n"); goto loop4; } loop4:{continue;} } } } void fpeccz(double t[11][21],double u[11][21])/*分片二次代数插值子程序*/ { int s[11][21],r[11][21]; int i,j,i1,j1,m; double z0[6][6]={{-0.5,-0.34,0.14,0.94,2.06,3.5}, {-0.42,-0.5,-0.26,0.3,1.18,2.38}, {-0.18,-0.5,-0.5,-0.18,0.46,1.42},
北航数值分析大作业一
北航数值分析大作业一————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期：ﻩ《数值分析B》大作业一ＳY110３1２0 朱舜杰一．算法设计方案：1.矩阵A的存储与检索将带状线性矩阵A［501］[5０1]转存为一个矩阵MatｒixC[5][501] . 由于C语言中数组角标都是从0开始的,所以在数组MatｒixＣ[５][501]中检索A的带内元素a ij的方法是：Ａ的带内元素aｉｊ＝C中的元素ｃｉ-j＋２，ｊ2.求解λ１,λ5０1,λｓ①首先分别使用幂法和反幂法迭代求出矩阵按摸最大和最小的特征值λmaｘ和λmｉｎ。
λmｉn即为λs;如果λmａx>0，则λ５01=λmax;如果λmax<０，则λ１=λmaｘ。
②使用带原点平移的幂法（mｉfa(）函数)，令平移量p=λmａx,求出对应的按摸最大的特征值λ，max,如果λmaｘ>０,则λ1=λ，mａｘ+p；如果λｍax<０,则λ５01=λ，mａx+p。
3.求解A的与数μk＝λ1+k（λ50１-λ1）/4０的最接近的特征值λiｋ（ｋ=1，2,…,3９)。
使用带原点平移的反幂法,令平移量ｐ＝μｋ,即可求出与μk最接近的特征值λｉk。
4.求解A的(谱范数)条件数cｏnd（A）２和行列式detA。
①ｃond（A）2=｜λ1/λn|，其中λ１和λn分别是矩阵Ａ的模最大和最小特征值。
②矩阵A的行列式可先对矩阵A进行LU分解后,ｄetＡ等于U所有对角线上元素的乘积。
二．源程序#includｅ＜ｓtdio.ｈ>＃incｌｕde<iostrｅaｍ.h>#incluｄｅ<ｓｔdｌib.h>#inｃlude<ｍath．h>#iｎclude<flｏat.ｈ＞#include<iomanip.h>＃inｃlude<tiｍｅ.h>#define E １.0e-１2/*定义全局变量相对误差限*/int maｘ２(intａ，ｉｎｔb）ﻩ／＊求两个整型数最大值的子程序*／｛ﻩif(a>b)retｕrn a；elｓeretｕrn b;｝int mｉn2(iｎt a,ｉnｔｂ) /*求两个整型数最小值的子程序＊／{iｆ(a>ｂ)rｅtuｒn b；eｌsereｔurn ａ;｝int mａx3(iｎt ａ，ｉnt ｂ,ｉｎｔc)／＊求三整型数最大值的子程序＊/｛int t;ﻩif(a>b）ﻩt=a;ﻩelsｅt=ｂ;ﻩif(t＜c) ｔ＝c;reｔｕｒｎ（t)；}voiｄasｓignment（dｏuble aｒray[5][5０1]) /*将矩阵A转存为数组Ｃ[５][501]*／{iｎt ｉ，j,ｋ;/／所有元素归零fｏｒ(i＝0;i<=4;){for(j=0;j<=5００;){arｒay[i][j]＝0;ﻩj++;}ﻩ i+＋;}//第0,4行赋值fｏr(ｊ＝２;j＜=５00;){ﻩk＝500-ｊ;arraｙ[0][ｊ]=－０.06４;arraｙ[4][k］=-0．064；ﻩｊ++；｝//第１,３行赋值ｆor(j＝1;ｊ<=５0０；)｛ﻩﻩｋ＝500-j;array[1][j]＝0.１6;arraｙ［3][ｋ]=0.1６;ﻩ j++；}//第2行赋值fｏr(j＝0;j<＝5０0;){k=j;ﻩﻩj++;arraｙ［2][k]＝(１．６4－０．０2４*j)*sin((doublｅ)(0．2*ｊ))-０．6４*exp((do ｕble)(0.1／ｊ）)；}}doublｅｍifa(douｂle u[５01］,ｄouble arraｙ[5][5０1］,dｏuｂle p) ／*带原点平移的幂法*/{int ｉ,j; /* u[５01]为初始迭代向量*/double a，ｂ，c=０; ／* arｒaｙ[5][５01]为矩阵A的转存矩阵*／ﻩdｏｕｂle y[501]; /＊ｐ为平移量＊／ﻩfor(；;)｛a=0；ﻩｂ=０；/*选用第一种迭代格式*／/／求ηk-1fｏｒ(ｉ=０；ｉ<=50０；ｉ＋+){ﻩa=a+u[i]*u[i］;ﻩ}ａ=sqrｔ(a);//求y k-1ｆoｒ(i=0;i<=5０0;i++){ﻩﻩｙ[i］=u[i］/a；}/／求u kｆor(i＝0;i<=500;i++)ﻩ{ﻩu［ｉ］=０；foｒ(j＝max2(i-2,0)；j<=min2(i+２,50０）;ｊ+＋）ﻩ{ｕ[i］＋=arrａy[ｉ-j+2][j]*y[j];ﻩ}ﻩｕ[i]=u[i]－p*ｙ[i］; /*引入平移量＊/ﻩ}/／求βkﻩfor（i=0;i<=50０；i++)ﻩ{ﻩﻩb+＝ｙ［ｉ]*u[i］;ﻩ｝ﻩif(faｂs(（b-c)/b)<=Ｅ) /＊达到精度水平,迭代终止＊/ ﻩｂreak;c＝b；ﻩ}returｎ（b+p)；／*直接返回A的特征值*/｝ｖoiｄchuｚhi(doｕble a[]) /＊用随机数为初始迭代向量赋值＊／{ｉｎｔi；srａnd((ｉnt)time（0));ｆｏr（i=0;i<=500;i+＋)ﻩ{ﻩﻩa[i]=(１0.0*rand（）/ＲAND＿MAＸ)；/*生成0~1０的随机数*/ }}void chｕzｈi2(double a[],ｉnt j）/*令初始迭代向量为e i*/{int i；ﻩfｏr（ｉ=0;i<=500；i++）ﻩ{a[i]＝0;ﻩ｝a[j]=1;}voｉd LU(dｏｕble ａrrａｙ[5][501]) /＊对矩阵A进行Doolittle分解＊／｛／*矩阵A转存在C［5][５0１]中*／ﻩint j,k,t;/*分解结果L，Ｕ分别存在C[５］[501]的上半部与下半部*/ﻩfｏｒ(k=0；k<=5０0;k+＋)ﻩ{ﻩﻩfor(j=k;j<＝min２(（k+2），500）;ｊ+＋)ﻩﻩ{ﻩﻩfor(t=maｘ3(0,ｋ-2，j－2)；ｔ＜=(k-1)；ｔ++)ﻩ｛ﻩﻩaｒraｙ[ｋ－ｊ+2]［j]－=ａrraｙ［ｋ－t+2］[ｔ]*aｒraｙ[ｔ-j+2]［j]; ﻩﻩ}ﻩ}ﻩiｆ(ｋ<５00)ﻩfor(j=ｋ+1;j＜=min２(（k+2),5００）;j+＋){ﻩﻩfｏr（ｔ＝maｘ3(0，k－2，ｊ-2);t<=(k－1)；t++){ﻩﻩarray[j-ｋ+２][k]-＝aｒrａｙ[j-t＋２][t]*arｒay［t－ｋ+2][k]；ﻩﻩ}array[j-ｋ+2]［ｋ]=array[j-k+2][k]／arｒay[2][ｋ];}ﻩ}}dｏuｂｌe fmｉfa(double u[5０１],double array［５][501],dｏｕｂle p）{ /*带原点平移的反幂法*/ﻩｉｎｔi，j;ﻩdｏｕbｌｅa,b，c=0;ﻩdｏublｅｙ［501］;//引入平移量fｏr(ｉ=0；i<=50０;i＋＋)ﻩ{ａｒrａy［2]［i]－＝p；ﻩ}//先将矩阵Dｏｏlittlｅ分解LＵ(array);ﻩｆｏr(;;){a=0;b=0;／/求ηk-1foｒ（ｉ＝０;i<＝５00;i++){ﻩﻩa＝ａ+u[i］*ｕ［i］;}a=sqrt(a）;/／求ｙk－1ﻩfor(i＝0;ｉ<=50０;ｉ＋+)ﻩ{ｙ[i]=u[i]/a;ﻩ}//回带过程,求解u kfor(i=0;i＜＝500;i++)ﻩ{ﻩu[i］=y[i];ﻩ｝for（i=1;i＜＝５00;i++）ﻩ｛ﻩfor(j=ｍaｘ2（0,(i－２）);j＜＝(ｉ-1）;j+＋)ﻩ{ﻩﻩu[i]－=arrａy［ｉ-j+2][ｊ]*u[j];ﻩ}ﻩﻩ}ﻩu[50０]=u[5０0]/ａｒray[2][500];for（i=４９9；i>=0;i－－)ﻩ｛foｒ(ｊ=i+1;ｊ＜=min２((i＋2）,５00）;j+＋)ﻩﻩ｛ﻩﻩu［ｉ]－＝aｒraｙ[i-j+2][j]＊u[j］;ﻩ}ﻩﻩu[ｉ]=u[ｉ］／ａrrａy［２][ｉ];ﻩ}／／求βｋfor(ｉ=0;i＜=500；i＋+){ﻩﻩb+=y[i]*u［ｉ];}if（faｂｓ((b-c)/b)<=E) /*达到精度要求,迭代终止*/bｒeａk;ﻩc＝b;}reｔurｎ(ｐ＋(1／ｂ)）; ／＊直接返回距离原点Ｐ最接近的A的特征值*／｝//主函数ｍain(){ int i;douｂｌe ｄ1，d501,dｓ,d,a；ﻩdouｂle u[５0１];ﻩdouｂlｅMatrｉxC[５][501];prinｔｆ(" 《数值分析》计算实习题目第一题\n＂);ﻩprintｆ（＂SＹ１1０312０朱舜杰\n＂);／/将矩阵A转存为MatrixＣassiｇｎment(MatrixＣ);/／用带原点平移的幂法求解λ1,λ５01chｕzhi(u）;ﻩd=mifａ（u,MaｔrixＣ,0）;chuzhｉ(u）；ﻩa=ｍifa(u，MatｒｉxC,d）；ﻩiｆ(d<0)ﻩ｛ﻩﻩｄ1=d;ﻩｄ５０1=a；ﻩ}elseﻩ｛ﻩﻩﻩｄ50１=d;ﻩﻩd1=a;ﻩ｝prｉnｔf(＂λ1=%.12e\ｎ＂,ｄ1）;ﻩpｒinｔｆ(＂λ５01=%.1２ｅ\n"，d５０1）;／/用反幂法求λｓchuｚhi(u);ｄs=fmｉfa(u,MaｔrixC,０）;ｐrintf("λs＝%.１2e＼ｎ",ds)；//用带原点平移的反幂法求λikfｏr(i=1;i＜＝3９;i++){ﻩa=d1＋（i＊（ｄ501-d1）)/40;ﻩﻩasｓigｎment(MatrixC）;ﻩｃhｕzhi(u）;ﻩﻩd=fｍifa（u,MａtriｘC，a);ﻩﻩprinｔｆ("与μ%02ｄ=%＋.12e最接近的特征值λｉ%02d=%+．1２e\n",i,a,i,d); ﻩ}//求A的条件数d=fabｓ((d1/ds))；ﻩpriｎtf("Ａ的(谱范数）条件数coｎｄ＜A>2=%.12e\n",ｄ)；//求ｄetAﻩaｓsignment（ＭaｔｒｉｘC）;LU(MatrixC);ﻩa=1;fｏr(i=0;i＜=５00;ｉ+＋）{a*=MatrixＣ[2][i];｝ｐrintｆ（"行列式deｔＡ＝％.12e\n",a);/／测试不同迭代初始向量对λ１计算结果的影响。
北航20102011年分析研究生数值期末模拟历年考试13
数值分析模拟试卷1一、填空（共30分，每空3分） 1 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1511A ，则A 地谱半径=)(a ρ______，A 地条件数)(1A cond =________. 2设,2,1,0,,53)(2==+=k kh x x x f k ，则],,[21++n n n x x x f ＝________,],,[321+++n n n n x x x x f ，＝________.3 设⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-++≤≤+=21,1210,)(2323x cx bx x x x x x S ，是以0，1，2为节点地三次样条函数，则b=________,c=________.4设∞=0)]([k k x q 是区间［0，1］上权函数为x x =)(ρ地最高项系数为1地正交多项式族，其中1)(0=x q ，则⎰=1)(dx x xqk________，=)(2x q ________.5设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11001a a a a A ，当∈a ________时，必有分解式，其中L 为下三角阵，当其对角线元素)3,2,1(=i L ii 满足条件________时，这种分解是唯一地.二、（14分）设49,1,41,)(21023====x x x x x f , （1）试求)(x f 在]49,41[上地三次Hermite 插值多项式)(x H 使满足2,1,0),()(==i x f x H i i ，)()(11x f x H '='.（2）写出余项)()()(x H x f x R -=地表达式.三、（14分）设有解方程0cos 2312=+-x x 地迭代公式为n n x x cos 3241+=+， （1） 证明R x ∈∀0均有∙∞→=x x n x lim （∙x 为方程地根）；（2） 取40=x ，用此迭代法求方程根地近似值，误差不超过，列出各次迭代值；（3）此迭代地收敛阶是多少？证明你地结论.四、(16分) 试确定常数A ，B ，C 和，使得数值积分公式有尽可能高地代数精度. 试问所得地数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss 型地？五、（15分） 设有常微分方程地初值问题⎩⎨⎧=='00)(),(y x y y x f y ，试用Taylor 展开原理构造形如)()(11011--++++=n n n n n f f h y y y ββα地方法，使其具有二阶精度，并推导其局部截断误差主项.六、（15分） 已知方程组b Ax ＝，其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=21,13.021b A ， （1） 试讨论用Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法求解此方程组地收敛性. （2） 若有迭代公式)()()()1(b Ax a x xk k k ++=+，试确定一个地取值范围，在这个范围内任取一个值均能使该迭代公式收敛.七、（8分） 方程组，其中，A 是对称地且非奇异.设A 有误差，则原方程组变化为，其中为解地误差向量，试证明.其中1λ和2λ分别为A 地按模最大和最小地特征值.数值分析模拟试卷2填空题（每空2分，共30分）1. 近似数231.0=*x 关于真值229.0=x 有____________位有效数字；设)(x f 可微，求方程)(x f x =根地牛顿迭代格式是_______________________________________________；3. 对1)(3++=x x x f ，差商=]3,2,1,0[f _________________；=]4,3,2,1,0[f ________； 4. 已知⎪⎪⎭⎫⎝⎛-='-=1223,)3,2(A x ，则=∞||||Ax ________________，=)(1A Cond ______________________ ；用二分法求方程01)(3=-+=x x x f 在区间[0,1]内地根，进行一步后根所在区间为_________，进行二步后根所在区间为_________________；求解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+04511532121x x x x 地高斯—赛德尔迭代格式为_______________________________________；该迭代格式迭代矩阵地谱半径=)(G ρ_______________；为使两点数值求积公式：⎰-+≈111100)()()(x f x f dx x f ωω具有最高地代数精确度，其求积节点应为=0x _____ ,=1x _____,==10ωω__________.8. 求积公式)]2()1([23)(3f f dx x f +≈⎰是否是插值型地__________，其代数精度为___________.二、（12分）(1)设LU A =，其中L 为下三角阵，U 为单位上三角阵.已知⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=210012*********2A ，求L ，U .(2)设A 为66⨯矩阵，将A 进行三角分解：LU A =，L 为单位下三角阵，U 为上三角阵，试写出L 中地元素65l 和U 中地元素56u 地计算公式.三、（12分）设函数)(x f 在区间[0,3]上具有四阶连续导数,试确定一个次数不超过3地多项式)(x H ，满足3)1()1(,1)2()2(,1)1()1(,0)0()0(='='======f H f H f H f H ，并写出插值余项. （12分）线性方程组⎩⎨⎧=+=-22112122b x x b x x ρρ （1） 请写出解此方程组地赛德尔迭代法地迭代格式，并讨论收敛性. （2） 设2=ρ，给定松弛因子21=ω，请写出解此方程组地SOR 方法地迭代格式，并讨论收敛性.五、（7分）改写方程042=-+x x为2ln /)4ln(x x -=地形式，问能否用迭代法求所给方程在[1,2]内地实根？六、（7分）证明解方程0)(23=-a x 求3a 地牛顿迭代法仅为线性收敛.七、（12分）已知.43,21,41210===x x x （1）推导以这3个点作为求积节点在[0,1]上地插值型求积公式；（2）指明求积公式具有地代数精度；（3） 用所求公式计算⎰12dx x.八、（8分）若i n x x x x x x x x f ),())(()(10---= 互异，求],,,[10p x x x f 地值，这里.1+≤n p数值分析模拟试卷3一、填空题（每空3分，共30分）1． 设1234)(248+++=x x x x f ，则差商=]2,,2,2[81f ； 2．在用松弛法(SOR)解线性方程组b Ax =时，若松弛因子ω满足1|1|≥-ω，则迭代法 ；3．设,0)(,0)(**≠'=x f x f 要使求*x 地Newton 迭代法至少三阶收敛，)(x f 需要满足 ；4. 设)133)(2()(23-+-+=x x x x x f ,用Newton 迭代法求21-=x 具有二阶收敛地迭代格式为________________ ；求12=x 具有二阶收敛地迭代格式为___________________；5．已知⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=1327A ，则=)(A ρ__________,=∞)(A Cond ______ 6. 若1>>x ，改变计算式1lglg 2--x x =___________________，使计算结果更为精确；7．过节点())3,2,1,0(,3=i x x i i 地插值多项式为_____________ ；8. 利用抛物(Simpson)公式求⎰212dx x =.二、（14分）已知方阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=123111122A ，(1) 证明： A 不能被分解成一个单位下三角阵L 和一个上三角阵U 地乘积；(2) 给出A 地选主元地Doolittle 分解，并求出排列阵； (3) 用上述分解求解方程组b Ax =，其中Tb )4,2,5.3(=.三、（12分）设函数)(x f 在区间[0,3]上具有四阶连续导数,试确定一个次数不超过3地多项式)(x H ，满足40)1()1(,10)1()1(,1)1()1(,0)0()0(=''=''='='-====f H f H f H f H ，并写出插值余项.四、（10分）证明对任意地初值0x ，迭代格式n n x x cos 1=+均收敛于方程x x cos =地根，且具有线性收敛速度.五、（12分） 在区间[-1,1]上给定函数14)(3+=x x f ，求其在},,1{2x x Span =φ中关于权函数1)(=x ρ地最佳平方逼近多项式.（可用数据：2123)(,)(,1)(2210-===x x p x x p x p ） 六、(12分)(1)试导出切比雪夫(Chebyshev)正交多项式])1,1[,,2,1,0)(arccos cos()(-∈==x n x n x T n 地三项递推关系式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-===-+),2,1()()(2)(,)(,1)(1110 n x T x xT x T x x T x T n n n （2）用高斯—切比雪夫求积公式计算积分dx x x x I ⎰--=22)2(1，问当节点数n 取何值时，能得到积分地精确值？并计算它.七、（10分）验证对⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+-+=++==++=∀+))1(,)1((),(),()(2,13121311hK t y h t x f K thK y th x f K y x f K K K h y y t n n n n n n n n 为2阶格式.参考答案1 一、1．6)(=a ρ，)(1A cond =6.2．],,[21++n n n x x x f =3，],,[321+++n n n n x x x x f ，=0. 3．b =－2，c=3.4．⎪⎩⎪⎨⎧≠=0,00,21k k ；10356)(22+-=x x x q .5．)3,2,1(0);21,21(=>-∈i l a ii二、(1) 25145023345026322514)(23-++-=x x x x H (2) ).49,41(),49()1)(41(169!41)(225∈---=-ξξx x x x R 三、（1）32=L ;（2）347.3≈∙x ;（3）线性收敛. 四、512,916,910-====αB C A ;求积公式具有5次代数精度，是Gauss 型地. 五、41472110＝－，＝，＝ββα；截断误差主项为)(833n x y h '''. 六、（1）,16.0)(,6.0)(<==GS J B B ρρ因此两种迭代法均收敛.（2）当06.011>>+a 时，该迭代公式收敛.参考答案2 一、1．22．),1,0()()(1 ='-=+n x f x f x x n n n n 3．1, 0 4．7,725 5．)43,21(),1,21( 6. 121,2013531)1(1)1(2)(2)1(1⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+++k k k k x x x x 7. 32,3210=-=x x ; 18. 是, 1二、(1) ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=100431000321000211,4510003410002310002U L (2))(;)(4654356532652165155565545643563256215616565u l u l u l u l a u u u l u l u l u l a l +++-=+++-=三、)2()1(!4)()(),2)(1(2)(2)4(--=---=x x x f x R x x x x x H ξ 四、(1) ⎪⎩⎪⎨⎧-=+=+++)1(12)1(2)(21)1(12k k k k x b x x b x ρρ, 1<ρ 时收敛(2) ⎪⎩⎪⎨⎧-+=++=+++)1(1)(22)1(2)(2)(11)1(1214212k k k k k k x x b x x x b x , 收敛 五、收敛 七、（1）)43(32)21(31)41(32f f f +- （2）2 (3)31 八、110时为时为+=≤n ，p n p参考答案3 一、1．42．发散3．0)(*=''x f4．),1,0()()(1 ='-=+n x f x f x x n n n n ,),1,0()()(31 ='-=+n x f x f x x n n n n 5．2608+, 49 6.1lg2-x x7. 3x 8.37 二、(2) 先交换2、3两行，交换1、2两行，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=010001100,5.0003333.06667.00123,15.03333.0016667.0001P U L(3) )5.4,1,5.1('-三、3)4(2)1(!4)()(,)1(9)1(11)(-=-+-+-=x x f x R x x x x x x H ξ 五、10512p p + 六、1=n ，2π版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理.版权为个人所有This article includes some parts, including text, pictures, and design. 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数值分析模拟试卷1一、填空（共30分，每空3分） 1 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1511A ，则A 的谱半径=)(a ρ______，A 的条件数=________. 2 设,2,1,0,,53)(2==+=k kh x x x f k ，则],,[21++n n n x x x f ＝________,],,[321+++n n n n x x x x f ，＝________.3 设⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-++≤≤+=21,1210,)(2323x cx bx x x x x x S ，是以0，1，2为节点的三次样条函数，则b=________,c=________.4 设∞=0)]([k k x q 是区间［0，1］上权函数为x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x q ，则⎰=1)(dx x xq k________，=)(2x q ________.5 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11001a a a a A ，当∈a ________时，必有分解式，其中L 为下三角阵，当其对角线元素)3,2,1(=i L ii 满足条件________时，这种分解是唯一的. 二、（14分）设49,1,41,)(21023====x x x x x f , （1）试求)(x f 在]49,41[上的三次Hermite 插值多项式)(x H 使满足2,1,0),()(==i x f x H i i ，)()(11x f x H '='.（2）写出余项)()()(x H x f x R -=的表达式.三、（14分）设有解方程0cos 2312=+-x x 的迭代公式为n n x x cos 3241+=+， （1） 证明R x ∈∀0均有∙∞→=x x n x lim （∙x 为方程的根）；（2） 取40=x ，用此迭代法求方程根的近似值，误差不超过，列出各次迭代值；（3）此迭代的收敛阶是多少？证明你的结论.四、(16分) 试确定常数A ，B ，C 和，使得数值积分公式有尽可能高的代数精度. 试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss 型的？五、（15分） 设有常微分方程的初值问题⎩⎨⎧=='00)(),(y x y y x f y ，试用Taylor 展开原理构造形如)()(11011--++++=n n n n n f f h y y y ββα的方法，使其具有二阶精度，并推导其局部截断误差主项.六、（15分） 已知方程组b Ax ＝，其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=21,13.021b A ， （1） 试讨论用Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法求解此方程组的收敛性.（2） 若有迭代公式)()()()1(b Ax a x x k k k ++=+，试确定一个的取值范围，在这个范围内任取一个值均能使该迭代公式收敛. 七、（8分） 方程组，其中，A 是对称的且非奇异.设A 有误差，则原方程组变化为，其中为解的误差向量，试证明.其中1λ和2λ分别为A 的按模最大和最小的特征值.数值分析模拟试卷2填空题（每空2分，共30分）1. 近似数231.0=*x 关于真值229.0=x 有____________位有效数字；2. 设)(x f 可微，求方程)(x f x =根的牛顿迭代格式是_______________________________________________；3. 对1)(3++=x x x f ，差商=]3,2,1,0[f _________________；=]4,3,2,1,0[f ________；4. 已知⎪⎪⎭⎫⎝⎛-='-=1223,)3,2(A x ，则=∞||||Ax ________________，=)(1A Cond ______________________ ；5. 用二分法求方程01)(3=-+=x x x f 在区间[0,1]内的根，进行一步后根所在区间为_________，进行二步后根所在区间为_________________；6. 求解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+04511532121x x x x 的高斯—赛德尔迭代格式为_______________________________________；该迭代格式迭代矩阵的谱半径=)(G ρ_______________；7. 为使两点数值求积公式：⎰-+≈111100)()()(x f x f dx x f ωω具有最高的代数精确度，其求积节点应为=0x _____ , =1x _____,==10ωω__________. 8. 求积公式)]2()1([23)(3f f dx x f +≈⎰是否是插值型的__________，其代数精度为___________。
二、（12分）(1)设LU A =，其中L 为下三角阵，U 为单位上三角阵。
已知⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=2100121001210012A ，求L，U 。
(2)设A 为66⨯矩阵，将A 进行三角分解：LU A =，L 为单位下三角阵，U 为上三角阵，试写出L 中的元素65l 和U 中的元素56u 的计算公式。
三、（12分）设函数)(x f 在区间[0,3]上具有四阶连续导数,试确定一个次数不超过3的多项式)(x H ，满足3)1()1(,1)2()2(,1)1()1(,0)0()0(='='======f H f H f H f H ，并写出插值余项。
（12分）线性方程组⎩⎨⎧=+=-22112122b x x b x x ρρ（1） 请写出解此方程组的赛德尔迭代法的迭代格式，并讨论收敛性。
（2） 设2=ρ，给定松弛因子21=ω，请写出解此方程组的SOR 方法的迭代格式，并讨论收敛性。
五、（7分）改写方程042=-+x x为2ln /)4ln(x x -=的形式，问能否用迭代法求所给方程在[1,2]内的实根？六、（7分）证明解方程0)(23=-a x 求3a 的牛顿迭代法仅为线性收敛。
七、（12分）已知.43,21,41210===x x x （1）推导以这3个点作为求积节点在[0,1]上的插值型求积公式；（2）指明求积公式具有的代数精度；（3） 用所求公式计算⎰12dx x。
八、（8分）若i n x x x x x x x x f ),())(()(10---= 互异，求],,,[10p x x x f 的值，这里.1+≤n p数值分析模拟试卷3一、填空题（每空3分，共30分）1． 设1234)(248+++=x x x x f ，则差商=]2,,2,2[810 f ； 2．在用松弛法(SOR)解线性方程组b Ax =时，若松弛因子ω满足1|1|≥-ω，则迭代法 ；3．设,0)(,0)(**≠'=x f x f 要使求*x 的Newton 迭代法至少三阶收敛，)(x f 需要满足 ；4. 设)133)(2()(23-+-+=x x x x x f ,用Newton 迭代法求21-=x 具有二阶收敛的迭代格式为________________ ；求12=x 具有二阶收敛的迭代格式为___________________； 5．已知⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=1327A ，则=)(A ρ__________,=∞)(A Cond ______ 6. 若1>>x ，改变计算式1lg lg 2--x x =___________________，使计算结果更为精确； 7．过节点())3,2,1,0(,3=i x x i i 的插值多项式为_____________ ； 8. 利用抛物(Simpson)公式求⎰212dx x = 。
二、（14分）已知方阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=123111122A ，(1) 证明： A 不能被分解成一个单位下三角阵L 和一个上三角阵U 的乘积；(2) 给出A 的选主元的Doolittle 分解，并求出排列阵；(3) 用上述分解求解方程组b Ax =，其中Tb )4,2,5.3(=。
三、（12分）设函数)(x f 在区间[0,3]上具有四阶连续导数,试确定一个次数不超过3的多项式)(x H ，满足40)1()1(,10)1()1(,1)1()1(,0)0()0(=''=''='='-====f H f H f H f H ，并写出插值余项。
四、（10分）证明对任意的初值0x ，迭代格式n n x x cos 1=+均收敛于方程x x cos =的根，且具有线性收敛速度。
五、（12分） 在区间[-1,1]上给定函数14)(3+=x x f ，求其在},,1{2x x Span =φ中关于权函数1)(=x ρ的最佳平方逼近多项式。
（可用数据：2123)(,)(,1)(2210-===x x p x x p x p ） 六、(12分)(1)试导出切比雪夫(Chebyshev)正交多项式])1,1[,,2,1,0)(arccos cos()(-∈==x n x n x T n 的三项递推关系式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-===-+),2,1()()(2)(,)(,1)(1110 n x T x xT x T x x T x T n n n （2）用高斯—切比雪夫求积公式计算积分dx x x x I ⎰--=22)2(1，问当节点数n 取何值时，能得到积分的精确值？并计算它。
七、（10分）验证对⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+-+=++==++=∀+))1(,)1((),(),()(2,13121311hK t y h t x f K thK y th x f K y x f K K K h y y t n n n n n n n n 为2阶格式.参考答案1 一、1．6)(=a ρ，)(1A cond =6.2．],,[21++n n n x x x f =3，],,[321+++n n n n x x x x f ，=0. 3．b =－2，c=3.4．⎪⎩⎪⎨⎧≠=0,00,21k k ；10356)(22+-=x x x q .5．)3,2,1(0);21,21(=>-∈i l a ii二、(1) 25145023345026322514)(23-++-=x x x x H (2) ).49,41(),49()1)(41(169!41)(225∈---=-ξξx x x x R三、（1）32=L ;（2）347.3≈∙x ;（3）线性收敛. 四、512,916,910-====αB C A ;求积公式具有5次代数精度，是Gauss 型的. 五、41472110＝－，＝，＝ββα；截断误差主项为)(833n x y h '''. 六、（1）,16.0)(,6.0)(<==G S J B B ρρ因此两种迭代法均收敛.（2）当06.011>>+a 时，该迭代公式收敛.参考答案2 一、1．22．),1,0()()(1 ='-=+n x f x f x x n n n n3．1, 0 4．7,725 5．)43,21(),1,21( 6. 121,2013531)1(1)1(2)(2)1(1⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+++k k k k x x x x 7. 32,3210=-=x x ; 1 8. 是, 1二、(1) ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=100431000321000211,4510003410002310002U L (2))(;)(4654356532652165155565545643563256215616565u l u l u l u l a u u u l u l u l u l a l +++-=+++-=三、 )2()1(!4)()(),2)(1(2)(2)4(--=---=x x x f x R x x x x x H ξ 四、(1) ⎪⎩⎪⎨⎧-=+=+++)1(12)1(2)(21)1(12k k k k x b x x b x ρρ, 1<ρ 时收敛(2) ⎪⎩⎪⎨⎧-+=++=+++)1(1)(22)1(2)(2)(11)1(1214212k k k k k k x x b x x x b x , 收敛 五、收敛 七、（1）)43(32)21(31)41(32f f f +- （2）2 (3)31 八、110时为时为+=≤n ，p n p参考答案3 一、1．42．发散3．0)(*=''x f4．),1,0()()(1 ='-=+n x f x f x x n n n n ,),1,0()()(31 ='-=+n x f x f x x n n n n5．2608+, 49 6.1lg2-x x7. 3x 8.37 二、(2) 先交换2、3两行，交换1、2两行，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=010001100,5.0003333.06667.00123,15.03333.0016667.0001P U L(3) )5.4,1,5.1('-三、3)4(2)1(!4)()(,)1(9)1(11)(-=-+-+-=x x f x R x x x x x x H ξ 五、10512p p +六、1=n ，2π。