五岳联考 2020年高考百校联考试卷 文科数学
2020年百校联考高考百日冲刺数学试卷(文科)(二)(全国Ⅰ卷)(含答案解析)
2020年百校联考高考百日冲刺数学试卷（文科）（二）（全国Ⅰ卷）一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.已知集合且，则A的非空真子集的个数为A. 30B. 31C. 62D. 632.复数z满足，则A. 2B. 4C.D. 53.▱ABCO，O为原点，，，则B点坐标为A. B. C. D.4.袋中有4个球，3个红色，1个黑色，从中任意摸取2个，则恰为2个红球的概率为A. B. C. D.5.已知，则A. B. C. D.6.若双曲线C：的渐近线与圆相切，则C的渐近线方程为A. B. C. D.7.已知等差数列的前n项和满足：，则A. 4aB.C. 5aD.8.李冶，真定栾城今河北省石家庄市栾城区人．金元时期的数学家．与杨辉、秦九韶、朱世杰并称为“宋元数学四大家”在数学上的主要贡献是天元术设未知数并列方程的方法，用以研究直角三角形内切圆和旁切圆的性质．李治所著测圆海镜中有一道题：甲乙同立于乾隅，乙向东行不知步数而立，甲向南直行，多于乙步，望见乙复就东北斜行，与乙相会，二人共行一千六百步，又云南行不及斜行八十步，问通弦几何．翻译过来是：甲乙两人同在直角顶点C 处，乙向东行走到B处，甲向南行走到A处，甲看到乙，便从A走到B处，甲乙二人共行走1600步，AB比AC长80步，若按如图所示的程序框图执行求AB，则判断框中应填入的条件为A. ？B. ？C. ？D. ？9.已知函数的图象在上有且仅有两条对称轴，则的取值范围为A. B. C. D.10.已知：在R上为增函数．，，则M，N的大小关系是A. B.C. D. M，N大小不能确定11.某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，最长的棱的长度为A.B.C. 3D.12.已知则A. 1B.C. 2D.二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13.过上一点作曲线的切线，则切线方程为______．14.已知x，y满足线性约束条件目标函数的最大值为2，则实数k的取值范围是______．15.已知椭圆C：，的左、右焦点分别为，，右焦点与抛物线E：的焦点重合．椭圆C与抛物线E交于A，B两点，A，，B三点共线，则椭圆C的离心率为______．16.数列满足：，且恒成立，则m的最小值为______．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.在中，．Ⅰ求角C；Ⅱ若，求周长的最大值．18.如图，在四棱锥中，，，，为锐角，平面平面PBD．Ⅰ证明：平面ABCD；Ⅱ与平面PBD所成角的正弦值为，求三棱锥的表面积．19.西部某贫困村，在产业扶贫政策的大力支持下，在荒山上散养优质鸡，城里有7个饭店且每个饭店一年有300天需要这种鸡，A饭店每天需要的数量是之间的一个随机数，去年A饭店这300天里每天需要这种鸡的数量单位：只如表：x1415161718频数4560756060厂和这7个饭店联营，每天出栏鸡是定数，送到城里的这7个饭店，从饲养到送到饭店，每只鸡的成本是40元，饭店给鸡厂结算每只70元，如果7个饭店用不完，即当天每个饭店的需求量时，剩下的鸡只能以每只元的价钱处理．Ⅰ若，求鸡厂当天在A饭店得到的利润单位：元关于A饭店当天需求量单位：只，的函数解析式；Ⅱ若，求鸡厂当天在A饭店得到的利润单位：元的平均值；Ⅲ时，以表中记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求鸡厂当天在A饭店得到的利润大于479元的概率．20.已知抛物线上有两点A，B，过A，B作抛物线的切线交于点，且．Ⅰ求p；Ⅱ斜率为1且过焦点的直线交抛物线于M，N两点，直线交抛物线于C，D 两点，求四边形MNDC面积的最大值．21.已知函数，，且与的图象有一个斜率为1的公切线为自然对数的底数．Ⅰ求；Ⅱ设函数，讨论函数的零点个数．22.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆C的极坐标方程为．Ⅰ当时，把直线l的参数方程化为普通方程，把椭圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；Ⅱ直线l交椭圆C于A，B两点，且A，B中点为，求直线l的斜率．23.已知函数．Ⅰ若恒成立，求实数a的取值范围；Ⅱ的解集为，求a和m．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：集合且，2，3，4，，故A的子集个数为，非空真子集个数为30．故选：A．求出集合且，2，3，4，，由此能求出A的非空真子集个数．本题考查集合的非空真子集的个数的求法，考查子真子集等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：C解析：解：由，得，．故选：C．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模的计算公式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3.答案：A解析：解：根据题意，▱ABCO中，有，又由，，则，，则，则；故选：A．根据题意，由向量加法的平行四边形法则可得，求出、的坐标，计算可得答案．本题考查向量的坐标计算，涉及向量的加法运算，属于基础题．4.答案：D解析：解：设3个红球分别为a，b，c，黑球为m．所有2个红球的取法有3种：ab，ac，bc．所有不同的取法有6种：ab，ac，bc，am，bm，cm，故所求概率为．故选：D．设3个红球分别为a，b，c，黑球为利用列举法能求出从中任意摸取2个，恰为2个红球的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.答案：B解析：解：，故．故选：B．利用两角和与差公式直接求解．本题考查三角函数值的求法，考查两角和与差公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．6.答案：B解析：【分析】本题主要考查双曲线的几何性质，涉及直线与圆的位置关系，属于基础题．根据题意，设双曲线C的渐近线为，由直线与圆的位置关系可得，解可得k的值，将k的值代入直线的方程即可得答案．【解答】解：根据题意，设双曲线C的渐近线为，即，若双曲线C：的渐近线与圆相切，则圆心到渐近线的距离，解可得，则C的渐近线方程为故选B．7.答案：B解析：解：，．故选：B．利用等差数列的通项公式求和公式及其性质即可得出．本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8.答案：A解析：解：由题知，，，，由勾股定理可知．故选：A．模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得判断框中应填入的条件．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．9.答案：C解析：解：令，解得，分别为的y轴右侧由左往右最近的三条对称轴．要满足图象在上有且仅有两条对称轴，只需，解得．故选：C．只要保证在y轴右侧的最近三条对称轴，左边两条对称轴落在内，第三条在外即可，由此构造不等式组．本题考查三角函数的图象与性质，注意结合正余弦函数的图象与性质解决的性质的基本路子，属于中档题．10.答案：B解析：解：由题意，，，又，且是R上的增函数，，即．故选：B．根据是R上的增函数即可得出，从而得出，并且可得出，从而可得出M与N的大小关系．本题考查了增函数的定义，分段函数的单调性，对数的运算性质，对数函数的单调性，基本不等式的应用，考查了计算能力，属于基础题．11.答案：C解析：解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为四面体ABCD，四面体所在正方体的棱长为2，则棱长分别为：，，，，．最长的棱的长度为3．故选：C．由三视图还原原几何体如图，该几何体为四面体ABCD，四面体所在正方体的棱长为2，分别求出六条棱的长度得答案．本题考查空间几何体的三视图，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．12.答案：B解析：解：，时，，，即，故，故．故选：B．时，，推导出，从而，由此能求出结果．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．13.答案：或解析：【分析】设切点为，然后利用表示切线方程，再根据切线过求出，进而得到切线方程．本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查了方程思想，属基础题．【解答】解：设上的切点为，则切线的斜率，在上，，切线方程为，在切线上，，或，切线方程为或，故答案为：或．14.答案：解析：解：x，y满足线性约束条件表示的可行域如图：目标函数化为，时，可知：最优解在直线上，而在可行域内，且满足故可知：实数k的取值范围是．故答案为：．画出约束条件的可行域，利用目标函数的最大值，结合直线系结果的定点，转化求解实数k的取值范围．本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．15.答案：解析：解：如图，根据题意可得抛物线准线l过左焦点，作交于点l于点，则则易得四边形是正方形，故椭圆C的离心率．故答案为：．作出图形，作准线l交于点l于点，则可得四边形是正方形，所以离心率即可．本题考查椭圆离心率的求法，数形结合思想，属于中档题．16.答案：9解析：解：由，得：．两式相减得：，故．令，则．两式相减得：，故．而当时，，故m的最小值为9．故答案为：9．先由题设条件求出，再求其前n项和，然后处理m的最小值．本题主要考查数列通项公式的求法及前n项和的最值，属于中档题．17.答案：解：Ⅰ由，可得：，可得，因为，可得．Ⅱ由题意可得：，可得：，当时，周长取最大值为．解析：Ⅰ利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可求，结合范围，可求C的值．Ⅱ由正弦定理，三角函数恒等变换的应用以及正弦函数的性质即可求解，即可得解周长的最大值．本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理以及正弦函数的性质在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和函数思想，属于中档题．18.答案：解：Ⅰ证明：作于M，则由平面平面平面．取AD中点为Q，则．又为锐角，点M与点B不重合．平面．又，DB与AD为平面ABCD内两条相交直线，故平面ABCD．Ⅱ解：由Ⅰ知：平面PBD，故即为AD与平面PBD所成角，．在中，，故，，，．而，故所求表面积为：．解析：Ⅰ作于M，则平面PBD，取AD中点为Q，推导出平面由此能证明平面ABCD．Ⅱ由平面PBD，得即为AD与平面PBD所成角，由此能求出三棱锥的表面积．本题考查空中线面平行、线面垂直、面面垂直、锥体表面积求法，考查空间想象能力、推理论证能力、考查运算求解能力，是中档题．19.答案：解：Ⅰ当时，，当时，，，由，得；Ⅱ由Ⅰ知，，，300天中，有45天的利润是420元天，有60天的利润是450元天，有195天的利润是480元天，鸡厂当天在A饭店得到的利润单位：元的平均值为元．Ⅲ当时，，当时，鸡厂当天在A饭店得到的利润元，鸡厂当天在A饭店得到的利润大于479元的概率为．解析：Ⅰ根据每只鸡的成本为40元，饭店给鸡场每只结算70元，如果每个饭店当天的需求量，剩下的鸡只能以每只元的价格处理，建立分段函数模型，再将代入求解；Ⅱ由Ⅰ知，将代入，得，根据表中记录，300天中，有45天的利润是420元天，有60天的利润是450元天，有195天的利润是480元天，再由平均数公式求解；Ⅲ当时，，把代入求得，再由表中记录，利用频率求概率．本题主要考查样本估计总体，考查分段函数的应用与运算求解能力，正确理解题意是关键，是中档题．20.答案：解：Ⅰ过点Q作的切线，方程设为，即，代入，由即，化为，由，可得两切线相互垂直，可得它们的斜率之积为，．Ⅱ由题意可得直线MN：，联立抛物线方程，可得，即有，故．由CD：，联立抛物线方程，可得，且由，由平行线之间的距离公式可得：梯形MNDC的高为，故，令，则，．在上，，S递增；在上，，S递减．故当时，S取最大值为．解析：Ⅰ设过Q的切线方程为，联立抛物线的方程，再由相切的条件：判别式为0，再由两直线相互垂直的条件：斜率之积为，结合韦达定理，可得所求值；Ⅱ由直线MN的方程和抛物线方程联立，求得，由CD的方程联立抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式可得，求得梯形MNDC的高，由梯形的面积公式可得四边形MNDC面积S，运用换元法和导数，求得单调性和最值．本题考查抛物线的方程和性质，考查直线和抛物线的位置关系，注意联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理，考查化简运算能力，属于中档题．21.答案：解：．在处的切线方程为，即，，．在处的切线方程为，故．，，令，则，当时，有两根，，且，，，在上，；在上，，此时，又时，，时，，故在和上，各有1个零点；当时，最小值为，故仅有1个零点．当时，，其中，同，在与上，各有1个零点，当时，，仅有1个零点，时，对方程，．方程有两个正根，，．在上，；在上，；在，．由，故，．，，，，故．故在上，，在上，；在上，有1个零点，当时，恒成立，为增函数，仅有1个零点．综上，或时，有1个零点，或时，有2个零点．解析：Ⅰ根据条件求出与的公切线方程，然后建立关于a，b的方程，再求出；Ⅱ先求出的解析式，然后令，得到，再对m分类，讨论函数的零点个数．本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，利用导数研究函数的单调性和函数零点的判断，考查了分类讨论思想和方程思想，属难题．22.答案：解：Ⅰ直线l的普通方程为：；椭圆C的直角坐标方程为：．Ⅱ将直线l的参数方程代入椭圆C的直角坐标方程整理得：，由题意得：，故，所以直线l的斜率为．解析：Ⅰ直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．Ⅱ利用一元二次方程根和系数的应用和三角函数关系式的恒等变换求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，三角函数关系式的恒等变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力生的运算能力，属于基础题型．23.答案：解：Ⅰ，当且仅当时取等号，故的最小值为，或．Ⅱ由不等式解集的意义可知：时，，即，解得或4．时，如图所示：不合题意，舍去；时，如图所示：由与，解得：．即，综上，，．解析：Ⅰ根据绝对值三角不等式，由，求得最小值，再由求解；Ⅱ不等式的解集与相应方程根的关系，当时，，即，解得或再分类求解．本题主要考查绝对值不等式和不等式的解集与相应方程根的关系，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题．。
2020年百校联考高考百日冲刺数学试卷(文科)(二)(全国ⅱ卷)
2020年百校联考高考百日冲刺数学试卷（文科） （二）（全国H 卷） 12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的•4项，则的通项公式为（ ） 方程的方法），用以研究直角三角形内切圆和旁切圆的性质.李治所著《测圆海镜》中有一道题：甲乙同立于乾隅，乙向东行不知步数而立，甲向南直行，多于乙步，望见乙复就东北 斜行，与乙相会，二人共行一千六百步，又云南行不及斜行八十步，问通弦几何.翻译过来是：甲乙两人同在直角顶点 C 处，乙向东行走到 B 处，甲向南行走到 A 处，甲看到乙，便、选择题：本大题共 1. （5分） 已知集合A ｛x|x 6且x N ｝，则A 的非空真子集的个数为 （ 2. 3. A . 30 （5分） （5分） B . 31 C . 62 63 复数z 满足zg i ） 1 3i ，贝U |z| （ C . UCI 若正六边形 ABCDEF 边长为2,中心为O ，则| EB luir uuu OD CA| B . 2.3 C . 4 4. （5分） 从集合 A ｛1 , 2, 3, 4, 5｝中任取2个数，和为偶数的概率为 A . 1 5 B .2 5 5. （5分） 在（26. （5分）双曲线: 的直线交双曲线于B . 32占1（a 0,b 0），左、右焦点分别为R 、 bB 两点， ARB 90，则一条渐近线斜率为 F 2，过F 2且垂直于x 轴A . 2 23 C . 2 2、37. （ 5分）递减的等差数列｛ %｝满足: 1，且a ,a 2, a 8分别是A . 5 4nB . 4 3n 3 2n D . 2n 1& （ 5分）李冶，真定栾城（今河北省石家庄市栾城区）人.金元时期的数学家.与杨辉、秦九韶、朱世杰并称为“宋元数学四大家”.在数学上的主要贡献是天元术（设未知数并列x ）的x 值为（2 ）上，满足方程 sin （2x ） 2 -从A走到B处，甲乙二人共行走1600步，AB比AC长80步，若按如图所示的程序框图执行求AB，则判断框中应填入的条件为（）z2? C. y29. ( 5 分) 已知f(x) sin(2x25295则f(x)2在［0，265C.10. （5分）奇函数 f （x）满足：对任意都有则 f (log 2 2019)(2 ）上的所有解的和为（f(2 x) f(x)，在(0,1)上,xf(x) 2 ,A .型1024B .型1024 C.20192048D.竺204811. （5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体中, 最长的棱的长度为A . 23B . 2 2 D . -6B 为切点的切线相互垂直，则实数a 的取值范围是则实数k 的取值范围是点共线，则椭圆C 的离心率为16. （5 分）自然奇数列 佝｝排成如图数列，若第n 行有2n 1个数，则前n 行数字的总和为 3,5 7 J) J L15.17,19,21,23,25,27.29三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.在 ABC 中，a b 2c ，且 3ccosC(1 )求 cosC（n ） AD 与平面PBD 所成角的正弦值为—，求三棱锥P ABD 的表面积.412. (5 分)已知 f(x) 二、填空题：本大题共 13. (5 分)已知 f(x)Qx, 2 f (x 1) f(x 4小题，每小题3 2 x 3x ax(0 则 f(2019)( 2),x 2, C . 2 x 2），曲线y f （x ）上存在两点 A , B ，使以A ,(2)右 S ABC，求ABC 的周长. 2 18 .如图， 在四棱锥P ABCD 中 ,AD 2 , AB BC CD 1 , BC / /AD , PAD 90 . PBA 为锐角，平面PAB平面PBD . （I ）证明: PA 平面 ABCD ; 14. （ 5分）已知x , y 满足线性约束条件 x y x 2, kxy2-0,目标函数z2…0, 2x y 的最大值为2, 15.（ 5分）已知椭圆 2 x C : p a 2 詁 1(a b 0），的左、右焦点分别为 F , F 2，右焦点F 2与抛物线E : y 2px(p0）的焦点重合•椭圆 C 与抛物线E 交于A ,B 两点，A , F 2 , B 2acosB 2bcosA .。
2020年湖南省五岳高考数学模拟试卷(文科)(5月份)
2020年湖南省五岳高考数学模拟试卷（文科）（5月份）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）((1)(2)ii i =++ )A ．310i- B ．310i+ C ．310i-+ D ．310i-- 2．（5分）已知集合{|}A x y lnx ==，{|3}B x N x =∈…，则( ) A ．B A ⊆B ．{|0}A B x x =>UC ．A B ⊆D ．{1A B =I ，2，3}3．（5分）“民以食为天，食以安为先．”食品安全是关系人们身体健康的大事．某店有四类食品，其中果蔬类、粮食类、动物性食品类、植物油类分别有48种、24种、30种、18种，现从中抽取一个容量为40的样本进行食品安全检测．若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的动物性食品类种数是( ) A ．10B ．9C ．8D ．74．（5分）若向量(1,2)AC =u u u r ，(1,4)AB BC -=-u u u r u u u r ，则(AB =u u u r )A ．(1,1)-B ．(0,6)C ．(2,2)-D ．(0,3)5．（5分）已知圆221:1C x y +=，222:(2)1C x y -+=，223:(1)1C x y +-=，224:4C x y +=，若从这4个圆中任意选取2个，则这2个圆的半径相等的概率为( ) A ．16B ．13C ．12D ．236．（5分）《九章算术》大约成书于公元一世纪，是我国古代第一部数学著作，共收藏了246个与生产实践有关的应用问题，其中有一题：今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．问次一尺各重几何？其意：现有一根，五尺长，一头粗，一头细，在粗的一端截下一尺，重量为四斤，在细的一端截下一尺，重量为二斤．问依次每一尺各有多重？假设金杖由粗到细所截得的每尺的重量依次成等差数列{}n a ，14a =斤，则2(a = ) A ．2.5斤B ．2.75斤C ．3斤D ．3.5斤7．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点为F ，点A 的坐标为(0,2)b ，若直线AF 的倾斜角为45︒，则C 的离心率为( )A B C D ．28．（5分）函数2651()()2x x f x -+=的值域为( )A ．(0，16]B ．[16，)+∞C ．(0，1]16 D ．1[16，)+∞9．（5分）在底面为正三角形的三棱柱111ABC A B C -中，2AB =，13AA =，该三棱柱的体积的最大值为( ) A ．3B ．23C ．6D ．3310．（5分）已知函数()(1)(2)(3)(4)(5)f x x x x x x =-----，则曲线()y f x =在点(2,0)处的切线方程为( ) A ．36y x =-+B ．612y x =-+C ．36y x =-D ．612y x =-11．（5分）某几何体的三视图如图所示，俯视图为正三角形，则该几何体外接球的表面积为( )A ．254πB ．643πC ．25πD ．32π12．（5分）已知函数()|14sin cos |f x x x =-，现有下述四个结论： ①()f x 的最小正周期为π；②曲线()y f x =关于直线4x π=-对称；③()f x 在(4π，5)12π上单调递增；④方程()2f x 在[π-，]π上有4个不同的实根．其中所有正确结论的编号是( ) A ．②④B ．①③④C ．②③④D ．①②④二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13．（5分）若21xy =，则24x y +的最小值为 ．14．（5分）在3log 0.6，2log 5，0.43这3个数中，最大的是 ．15．（5分）在公比大于零的等比数列{2}n a n +，12a =，310a =，则4a = ，数列{}n a 的前n 项和n S = ．16．（5分）设1F ，2F 分别为椭圆2222:1(1)1x y C a a a +=>-的左、右焦点，(1,1)P 为C 内一点，Q 为C 上任意一点．若1||||PQ QF +的最小值为3，则C 的方程为 ．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）设a ，b ，c 分别为ABC ∆内角A ，B ，C 的对边．已知cos cos a B b A c =+， （1）证明：ABC ∆是直角三角形．（2）若D 是AC 边上一点，且3CD =，5BD =，6BC =，求ABD ∆的面积．18．（12分）如图，EA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，4AB =，3BC BD ==，AC AD =，32CD =． （1）证明：//BD 平面ACE ．（2）若几何体EABCD 的体积为10，求三棱椎E ABC -的侧面积．19．（12分）已知函数3()4f x x lnx x=--． （1）求()f x 的单调区间；（2）判断()f x 在(0，10]上的零点的个数，并说明理由．（提示：10 2.303)ln ≈20．（12分）某公司准备上市一款新型轿车零配件，上市之前拟在其一个下属4S 店进行连续30天的试销，定价为1000元/件．试销结束后统计得到该4S 店这30天内的日销售量（单位：件）的数据如表： 日销售量 40 60 80 100 频数91263（1）若该4S 店试销期间每个零件的进价为650元/件，求试销连续30天中该零件日销售总利润不低于24500元的频率．（2）试销结束后，这款零件正式上市，每个定价仍为1000元，但生产公司对该款零件不零售，只提供零件的整箱批发，大箱每箱有60件，批发价为550元/件；小箱每箱有45件，。
2020年百校联考高考百日冲刺数学试卷(文科)(一)(全国Ⅰ卷)(有答案解析)
2020年百校联考高考百日冲刺数学试卷（文科）（一）（全国Ⅰ卷）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，，则A. B. C. D.2.设复数，则复数z的虚部为A. B. C. D.3.为了调查某地区不同年龄、不同等级的教师的工资情况，研究人员在A学校进行抽样调查，则比较合适的抽样方法为A. 简单随机抽样B. 系统抽样C. 分层抽样D. 不能确定4.若双曲线的离心率为，则双曲线C的渐近线方程为A. B. C. D.5.执行如图所示的程序框图，若判断框中的条件为，则输出A的值为A.B. 2C.D.6.九章算术卷第五商功中有如下问题：“今有冥谷上广二丈，袤七丈，下广八尺，袤四丈，深六丈五尺，问积几何”译文为：“今有上下底面皆为长方形的墓坑，上底宽2丈，长7丈；下底宽8尺，长4丈，深6丈5尺，问它的容积量是多少？”则该几何体的容积为注：1丈尺．A. 45000立方尺B. 52000立方尺C. 63000立方尺D. 72000立方尺7.记单调递减的等比数列的前n项和为，且，若，则数列的公比为A. B. C. D.8.图中小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为A.B.C.D.9.设函数，则函数的图象大致为A. B.C. D.10.设抛物线C：的焦点F到其准线l的距离为2，点A，B在抛物线C上，且A，B，F三点共线，作，垂足为E，若直线EF的斜率为4，则A. B. C. D.11.记等差数列的前n项和为，且，若，，成等比数列，则A. 13B. 15C. 17D. 1912.已知，则a，b，c的大小关系为A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量，若，则实数的值为______．14.已知首项为1的数列满足，则数列的通项公式为______．15.已知函数，则函数在上的取值范围为______．16.已知函数，若直线l与曲线交于M，N，P三点，且，则点N的坐标为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在中，，，，M是线段AC上的一点，且．Ⅰ求AM的长度；Ⅱ求的面积．18.如图，在四棱锥中，，，．在线段AB上作出一点E，使得平面PDE，并说明理由；若，，求点B到平面PAD的距离．19.为了响应绿色出行，某市推出了一款新能源租赁汽车，并对该市市民对这款新能源租赁汽车的使用态度进行调查，具体数据如表1所示：愿意使用新能源租赁汽车不愿意使用新能源租赁汽车总计男性8001000女性600总计1200相关研究人员还调查了某一辆新能源租赁汽车一个月内的使用时间情况，统计如表2所示：时间分钟频数150********根据上述事实，研究人员针对租赁的价格作出如下调整，该价格分为两部分：根据行驶里程数按1元公里计费；行驶时间不超过45分钟，按元分计费；超过45分钟，超出部分按元分计费．是否有的把握认为该市市民对这款新能源租赁汽车的使用态度与性别有关；根据表中的数据求该辆汽车一个月内的平均使用时间；若小明的住宅距离公司20公里，且每天驾驶新能源租赁汽车到公司的时间在分钟之间，若小明利用滴滴打车到达公司需要27元，讨论：小明使用滴滴打车上班还是驾驶新能源租赁汽车上班更加合算．附：k20.已知中，，，，点Q在线段上，且Ⅰ求点Q的轨迹E的方程；Ⅱ若点M，N在曲线E上，且M，N，三点共线，求面积的最大值．21.已知函数．求曲线在处的切线方程；已知函数存在极大值和极小值，且极大值和极小值分别为M，N，若，，求的最大值．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数，点M是曲线C上的任意一点，将点M绕原点O逆时针旋转得到点以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．Ⅰ求点N的轨迹的极坐标方程；Ⅱ若曲线与曲线C，分别交于点A，B，点，求的面积．23.已知函数．Ⅰ求不等式的解集；Ⅱ若关于x的不等式在R上恒成立，求实数m的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：依题意，，，故．故选：D．可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．考查描述法、区间表示集合的定义，函数的定义域，不等式的解法以及交集的运算．2.答案：C解析：解：，复数z的虚部为．故选：C．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.答案：C解析：解：A学校不同年龄、不同等级的教师的工资情况相差较大，研究人员在A学校进行抽样调查时，则比较合适的抽样方法是按照年龄或等级，采取分层抽样的方法，故选：C．由题意利用分层抽样的定义和方法，得出结论．本题主要考查分层抽样的定义和方法，属于基础题．4.答案：C解析：解：双曲线的离心率为，可得，即，解得，双曲线C的渐近线方程为：．故选：C．利用双曲线的离心率求出a，b关系，即可区间双曲线的渐近线方程．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题．5.答案：B解析：解：由题意，模拟程序的运行，可得，满足条件，执行循环体，，满足条件，执行循环体，，满足条件，执行循环体，，观察规律可知A的取值周期为3，且，可得时，满足条件，执行循环体，，此时，不满足条件，退出循环，输出A的值为2．故选：B．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量A的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．6.答案：B解析：解：进行分割如图所示，故立方尺．故选：B．利用分割几何体为锥体，棱柱，然后求解几何体的体积即可．本题考查几何体的体积的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．7.答案：C解析：解：设单调递减的等比数列的公比为，，，，解得：，或舍去．则数列的公比为．故选：C．设单调递减的等比数列的公比为，由，，可得：，解得：q．本题考查了等比数列的通项公式、求和公式及其单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8.答案：C解析：解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为组合体，上面部分为两个四分之一圆锥，底面半径为2，高为2，中间部分为棱长是4的正方体，下面部分为直三棱柱．则其表面积：．故选：C．由三视图还原原几何体，该几何体为组合体，上面部分为两个四分之一圆锥，底面半径为2，高为2，中间部分为棱长是4的正方体，下面部分为直三棱柱，则其表面积可求．本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．9.答案：B解析：解：函数的定义域为R，，则函数为偶函数，可排除选项C；当时，，可排除选项D；又，可排除A．故选：B．根据函数解析式判断奇偶性，结合极限和特殊值进行排除选项，即可得解．本题考查根据函数解析式选择合适的函数图象，关键在于熟练掌握函数性质，结合特殊值与极限求解，此类问题常用排除法解决．10.答案：C解析：解：由抛物线的性质可得：焦点F到其准线l的距离为2，可得，所以抛物线的方程为：所以可得焦点，准线方程为，设，，由题意可得，可得，所以，将代入抛物线中，，，及，所以，所以直线AB的方程为：，与抛物线联立可得，所以，所以，所以，故选：C．由抛物线的性质，焦点到准线的距离为p，由题意可得p的值，可求出抛物线的方程，设A，B的坐标，由题意可得E的坐标，求出直线EF的斜率，由题意可得E的坐标，将E的纵坐标代入抛物线求出B的坐标，进而求出直线AB的斜率及方程，代入抛物线的方程求出A的横坐标，由抛物线的性质可得的值．本题考查抛物线的性质，及直线与抛物线的综合，属于中档题．11.答案：C解析：解：等差数列的公差设为d，前n项和为，由，可得，即，由，可得，即，解得，，则，，若，，成等比数列，则，即为，可得，则．故选：C．等差数列的公差设为d，运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，再由等比数列的中项性质，解方程可得m，进而得到所求值．本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，同时考查等比数列的中项性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．12.答案：A解析：解：由于，根据三角函数的值，则，由于，所以，根据近似值的运算，整理得．故．故选：A．直接利用三角函数的值和正弦函数的图象的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数的值的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．13.答案：解析：解：根据题意，向量，则，若，则，则；故答案为：．根据题意，由向量的坐标公式可得，由向量垂直与数量积的关系可得，解可得的值，即可得答案．本题考查向量数量积的计算，涉及向量的坐标计算，属于基础题．14.答案：解析：解：，，又，数列是首项为，公比为5的等比数列，，，故答案为：．由可得，所以构造出等比数列，再利用等比数列的通项公式即可求出．本题主要考查了数列的递推式，以及构造等比数列求数列的通项，是中档题．15.答案：解析：解：，当时，，，则当时，函数取得最大值，最大值为，当时，函数取得最小值，最小值为，即的取值范围是，故答案为：．利用三角函数的倍角公式，以及辅助角公式进行化简，求出角的范围，结合三角函数的单调性和最值关系求出最大值和最小值即可．本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式进行化简，求出角的范围，结合三角函数的单调性和最值关系是解决本题的关键．难度不大．16.答案：解析：解：函数，若直线l与曲线交于M，N，P三点，且，所以N是MP的中点，因为函数，可得，，令，解得，此时，所以函数的对称中心的坐标．所以，故答案为：．利用已知条件说明N是函数的对称中心的坐标，通过平方转化求解即可．本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及函数的对称中心的关系，是基本知识的考查．17.答案：解：Ⅰ；，；由正弦定理，，即，解得；由余弦定理，，即，解得；Ⅱ，，在中，由余弦定理，有，．解析：Ⅰ先求出的正弦值和余弦值，利用正弦定理求出BM的长，利用余弦定理求出AM 的长；Ⅱ利用正弦定理求出的值，利用余弦定理求出CM的值，最后使用公式求出的面积．本题考查了利用正弦定理和余弦定理解三角形，已知条件较多，难度不大，但是计算量较大，属中档题．18.答案：解：取AB的中点E，连接PE，DE，，，又，，则四边形DCBE为平行四边形，可得．平面PDE，平面PDE，则平面PDE；，，且，平面PCD，又平面ABCD，平面平面ABCD，平面平面，在平面PCD内过P作，可得平面ABCD，在与中，，，又由题意，，，由已知求得．．连接BD，则，又求得，设B到平面PAD的距离为h，则由，得，即．解析：取AB的中点E，连接PE，DE，可证四边形DCBE为平行四边形，得，由直线与平面平行的判定可得平面PDE；由已知证明平面PCD，可得平面平面ABCD，在平面PCD内过P作，得平面ABCD，求解三角形求得，再由等体积法求点B到平面PAD的距离．本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求点到面的距离，是中档题．19.答案：解：补充完整的列联表如下所示，愿意使用新能源租赁汽车不愿意使用新能源租赁汽车合计男性 800 200 1000女性 400 600 1000合计 1200 800 2000，故有的把握认为该市市民对这款新能源租赁汽车的使用态度与性别有关．表2中的数据整理如下，时间分钟频数 150 200 100 50频率所求的平均使用时间为分钟．设小明驾驶新能源租赁汽车到达公司需要y元，上班所用的时间为t分钟，当时，；当时，．故，当时，；当时，，令，解得，综上所述：当时，使用驾驶新能源租赁汽车上班更加合算；当时，使用滴滴打车上班更加合算；当时，两种方案情况相同．解析：先根据现有数据补充完整列联表，再利用的公式计算出其观测值，并与附表中的临界值进行对比即可作出判断；根据表格2中的频数分布，计算出每一组的频率，再利用平均数的计算方法求解即可；设小明驾驶新能源租赁汽车到达公司需要y元，上班所用的时间为t分钟，写出y关于t的分段函数，并求出每段中对应的y的取值范围，便于知道滴滴打车花费的27元在租赁新能源汽车花费中对应的上班时间，然后，解得，最后分类说明哪种方式上班更合算即可．本题考查独立性检验，根据频数分布表计算平均数，利用函数模型来解决优化问题等，解题的关键是熟练掌握相关计算公式，考查学生对数据的分析能力、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．20.答案：解：Ⅰ设，，，点Q在线段上，且，点Q为焦点在x轴上，长轴长，焦距的椭圆上的点，且，点Q的轨迹E的方程为；Ⅱ设直线MN的方程为，联立可得，设，，则，．，点到直线MN的距离，，令，则在上单调递减，故当也即时，面积的最大值为3．解析：Ⅰ先设点Q的坐标，再由椭圆的定义求得其轨迹方程；Ⅱ先设出直线MN的方程与椭圆方程联立求得，，进而求得与点到直线MN的距离d，找出面积的表达式，最后解决其最值问题．本题主要考查椭圆的定义及圆锥曲线中的最值问题，属于中档题．21.答案：解：依题意，函数的定义域为，，故，而，故所求切线方程为，即；依题意，，故，显然，令，解得或，因为极大值，故，此时，函数，所以，令，得，当a变化时，，，变化情况如下表：a2e增极大值减所以函数的最大值为．解析：根据导函数求出切线斜率，利用点斜式写出直线方程化简得解；根据导函数讨论单调性求出极大值，讨论的单调性即可求得最值．本题考查导数的几何意义，求解切线方程，利用导函数讨论函数单调性，求解极值和最值问题，属于中档题．22.答案：解：Ⅰ依题意，曲线C的普通方程为，即，整理可得：，故曲线C的极坐标方程为，设，则，则有，故点N的轨迹的极坐标方程为．Ⅱ曲线的极坐标方程为，D到曲线的距离为，曲线与曲线C交点，曲线与曲线交点，，故的面积．解析：Ⅰ直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．Ⅱ利用直线和圆的位置关系的应用和极径的应用及三角形的面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，直线和圆的位置关系的应用，极径的应用，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．23.答案：解：Ⅰ依题意，，当时，原式化为，解得，故，当时，原式化为，解得，故无解，当时，原式化为，解得，故，综上所述，不等式的解集为．Ⅱ依题意，，则，即，即，则只需，解得，实数m的取值范围是．解析：Ⅰ依题意，，运用零点分区间和绝对值的定义，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集；Ⅱ依题意可得，即，再由二次函数的性质，结合判别式小于等于0，解不等式可得所求范围．本题考查绝对值不等式的解法，注意运用分类讨论思想，考查不等式恒成立问题解法，注意运用绝对值不等式的解法和二次函数的性质，考查运算能力和推理能力，属于中档题．。
湖南省百所重点高中2020届高三大联考文科数学试卷(word档含答案)
高三数学试卷（文科）考生注意：1. 本试卷共150分，考试时间120分钟.2. 请将各题答案填写在答题卡上.3. 本试卷主要考试内容：集合、函数、导数、三角函数、向量、数列、不等式、立体几何.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}|25A x N x =∈>，()(){}|270B x x x =--≤，则A B I 的元素的个数为（ ） A. 3B. 4C. 5D. 62. 若向量()3,2a =r ，()1,b m =-r，且//a b r r ，则m =（ ）A.23B. 23-C.32D. 32-3. 若x ，y 满足约束条件04x y x y -≤⎧⎨+≥⎩，且2z x y =+，则（ ）A. z 的最大值为6B. z 的最大值为8C. z 的最小值为6D. z 的最小值为84. 设函数()()()ln ,01,0x x g x x f x -<⎧⎪=⎨+>⎪⎩，若()f x 是奇函数，则()2g e =（ ）A. -3B. -2C. -1D. 15. 已知α，β，γ是三个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，下列判断正确的是（ ） A. 若αγ⊥，βγ⊥，则//αβB. 若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m nC. 若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥D. 若m γ⊥，n γ⊥，则//m n6. 函数()348xxf x =+-的零点所在的区间为（ ） A. ()0,1B. 31,2⎛⎫⎪⎝⎭C. 3,22⎛⎫⎪⎝⎭D. 52,2⎛⎫ ⎪⎝⎭7. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且54S =，1010S =，则15S =（ ） A. 16B. 19C. 20D. 258. 已知函数()()sin30,f a x a R x b a x -++>∈=的值域为[]5,3-，函数()cos g x b ax =-，则()g x 的图象的对称中心为（ ） A. (),54k k Z π⎛⎫-∈⎪⎝⎭B. (),548k k Z ππ⎛⎫+-∈⎪⎝⎭C. (),45k k Z π⎛⎫-∈⎪⎝⎭D. (),4510k k Z ππ⎛⎫+-∈⎪⎝⎭9. 设tan 211a ︒=，则sin17cos17sin17cos17︒+=︒-︒︒（ ）A.221aa - B. 221a a - C. 21a a - D.241aa - 10. 若函数()()211ln 2x a x x x a f =+--没有极值，则（ ） A. 1a =- B. 0a ≥ C. 1a <-D. 10a -<<11. 在直角坐标系xOy 中，直线l ：4y kx =+与抛物线C ：21y x =-相交于A ，B 两点，()0,1M ，且MA MB MA MB +=-u u u r u u u r u u u r u u u r，则OA OB ⋅=u u u r u u u r （ ）A. 7B. 8C. 9D. 1012. 棱长为a 的正四面体ABCD 与正三棱锥E BCD -的底面重合，若由它们构成的多面体ABCDE 的顶点均在一球的球面上，则正三棱锥E BCD -的内切球半径为（ ）A.12aB.12aC. aD.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13. 设向量(1,a =r ，2b =r ，1cos ,3a b =-r r ，则()a ab ⋅+=r r r ______.14. 若函数()xf x e mx =-在[]2,0-上为减函数，则m 的取值范围为______.15. 现有下列四个结论，其中所有正确结论的编号是______. ①若01x <<，则lg log 10x x +的最大值为-2；②若a ，31a -，1a -是等差数列{}n a 的前3项，则41a =-； ③“23x >”的一个必要不充分条件是“2log 3x >”；④“0x Z ∃∈，0tan x Z ∈”的否定为“x Z ∀∈，tan x Z ∉”. 16. 若函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在()0,2π内存在唯一的0x ，使得()01f x =-，则()f x 的最小正周期的取值范围为______.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 设函数()1xf x e =-.（1）若曲线()y f x =与x 轴的交点为A ，求曲线()y f x =在点A 处的切线方程； （2）证明：()f x x ≥.18. 设*n N ∈，向量()31,3AB n =+u u u r ，()0,32BC n =-u u u r，n a AB AC =⋅u u u r u u u r .（1）试问数列{}1n n a a +-是否为等差数列？为什么？ （2）求数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S . 19. 已知四棱锥P ABCD -的直观图如图所示，其中AB ，AP ，AD 两两垂直，2AB AD AP ===，且底面ABCD 为平行四边形.（1）证明：PA BD ⊥.（2）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是该四棱锥的正视图与俯视图，请在网格纸上用粗线画出该四棱锥的侧视图，并求四棱锥P ABCD -的表面积. 20. 在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos 2cos a Ab c C=-. （1）求角A 的大小；（2）求2sin sin B C -的取值范围.21. 如图，在各棱长均为4的直四棱柱1111ABCD A B C D -中，60BAD ∠=︒，E 为棱1BB 上一点.（1）证明：平面ACE ⊥平面11BDD B .（2）在图中作出点A 在平面1A BD 内的正投影H （说明作法及理由），并求三棱锥B CDH -的体积. 22. 已知函数()()2ln f x ax x a R =-+∈.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()1,x ∃∈+∞，()f x a >-，求a 的取值范围.高三数学试卷参考答案（文科）一、选择题 1-5：CBCAD6-10：BBBAA11-12：CD1. C ∵[]2,7B =，∴{}3,4,5,6,7A B =I .2. B 因为//a b r r ，所以32m =-，则23m =-.3. C 作出约束条件表示的可行域（图略），由图可知，当直线2z x y =+经过点()2,2时，z 取得最小值6，z 无最大值.4. A ∵()()222ln 2f e f e e =--=-=-，∴()()2213f e g e =-=-. 5. D 因为同时垂直于一个平面的两条直线互相平行，故D 正确.6. B 因为()110f =-<，302f ⎛⎫=>⎪⎝⎭，且()f x 为增函数，所以()f x 的零点所在的区间为31,2⎛⎫⎪⎝⎭. 7. B 因为等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，所以5S ，105S S -，1510S S -成等比数列，因为54S =，1010S =，所以1056S S -=，15109S S -=，故1519S =.8. B 因为()[],2f x b a b ∈+，又依题意知()f x 的值域为[]5,3-，所以4a =，5b =-，所以()5cos4g x x =--.令()42x k k Z ππ=+∈，得()48k x k Z ππ=+∈，则()g x 的图象的对称中心为(),548k k Z ππ⎛⎫+-∈⎪⎝⎭. 9. Asin17cos17tan171sin17cos17tan171︒+︒︒+=︒-︒︒-()tan 1745tan62=-︒+︒=-︒，tan 211tan31a ︒=︒=，222tan 312tan 621tan 311a a ︒︒==-︒-，故2sin17cos172sin17cos171aa ︒+︒=︒-︒-. 10. A ()()'11a f x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，0x >， 当0a ≥时，10ax+>.令()'0f x <，得01x <<；令()'0f x >，得1x >. 当0a <时，方程10ax+=必有一个正数解x a =-，（1）若1a =-，此正数解为1x =，此时()()21'0x f x x-=≥，()f x 在()0,+∞上单调递增，无极值.（2）若1a ≠-，此正数解为1x ≠，()'0f x =必有2个不同的正数解，()f x 存在2个极值. 综上，1a =-. 11. C 由241y kx y x =+⎧⎨=-⎩，得250x kx --=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则12x x k +=，125x x =-. 因为MA MB MA MB +=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以0MA MB ⋅=u u u r u u u r ，则()()121233MA MB x x kx kx ⋅=+++u u u r u u u r()()()222121213951390k x x k x x k k =++++=-+++=，所以22k =.所以1212x x y y OA OB ⋅=+u u u r u u u r()()212121416k x x k x x =++++()358169=⨯-++=.12. D 由题意，多面体ABCDE 的外接球即正四面体ABCD 的外接球，且其外接球的直径为AE ，易求正四面体ABCD 的高为，外接球的半径为.设正三棱锥E BCD -的高为h ，因为AE h ==+，所以h =.因为底面BCD ∆的边长为a ，所以2EB EC ED a ===，则正三棱锥E BCD -的三条侧棱两两垂直.易求正三棱锥E BCD -的表面积2S =，体积3113222224E BCD V a a a -=⋅⋅⋅⋅=.设正三棱锥E BCD -的内切球的半径为r ，由31324S r a ⋅=，得12r a =.二、填空题13. 7 14. [)1,+∞ 15. ①④ 16. 1212,115ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭13. 7 ()21183273a a b a a b ⎛⎫=++⨯⨯-= ⎪⋅+⋅⎭+=⎝r r r r r r .14. [)1,+∞ 由题意可知()'0xf x e m =-≤，即x m e ≥对[]2,0x ∈-恒成立，所以01m e ≥=.15. ①④ 若01x <<，则lg 0x <，11lg log 10lg lg 2lg lg x x x x x x ⎛⎫+=+=--+≤- ⎪-⎝⎭，当且仅当110x =时，等号成立，所以①正确；若a ，31a -，1a -是等差数列{}n a 的前3项，则()112314a a a a +-=-⇒=，()()4521314a a a =---=-，所以②不正确；因为2443log 3log 9log 82=>=，所以③不正确；因为特称命题的否定是全称命题，所以④也正确.故所有正确结论的编号是①④. 16. 1212,115ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭因为()0,2x π∈，0ω>，所以,2666x πππωπω⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭.依题意可得372,622ππππω⎛⎤-∈ ⎥⎝⎦，解得511,66ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则21212,115T πππω⎡⎫=∈⎪⎢⎣⎭. 三、解答题17.（1）解：令()10xf x e =-=，得0x =，所以A 的坐标为()0,0.因为()'xf x e =，所以()'01f =，故曲线()y f x =在点A 处的切线方程为y x =.（2）证明：设函数()()1xg x f x x e x =-=--，()'1xg x e =-，令()'0g x <，得0x <；令()'0g x >，得0x >. 所以()()min 00g x g ==， 从而()0g x ≥，即()f x x ≥.18. 解：（1）∵()31,31AC AB BC n n =+=++u u u r u u u r u u u r，∴()()()()2313313134n a n n n n =+++=++.∵()()()()134373134n n a a n n n n +-=++-++()634n =+， ∴()()21118n n n n a a a a +++---=为常数， ∴{}1n n a a +-是等差数列. （2）∵111133134n a n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭， ∴11111113477103134n S n n ⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪++⎝⎭11134341216nn n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭. 19.（1）证明：因为AB ，AP ，AD 两两垂直，所以PA AB ⊥，PA AD ⊥. 因为AB AD A =I ， 所以PA ⊥平面ABCD .因为BD ⊂平面ABC ，所以PA BD ⊥. （2）解：该四棱锥的侧视图如图所示：依题意可得四边形ABCD 为正方形，易证CD ⊥平面PAD ，BC ⊥平面PAB ，所以CD PD ⊥，BC PB ⊥，所以PCD ∆与PBC ∆的面积均为122⨯=四棱锥P ABCD -的表面积为211222222822+⨯⨯++⨯⨯=+.20. 解：（1）由cos 2cos a A b c C =-，结合正弦定理可得sin cos 2sin sin cos A AB C C=-， 即sin cos 2cos sin cos sin A C A B A C =-， 即sin cos cos sin 2cos sin A C A C A B +=， 即()sin 2cos sin A C A B +=， 所以()sin 2cos sin B A B π-=，即sin 2cos sin B A B =.因为()0,B π∈，所以sin 0B >，所以1cos 2A =. 又()0,A π∈，所以3A π=.（2）22sin sin 2sin sin 3B C C C π⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭12sin sin 22C C C C ⎛⎫=+-= ⎪ ⎪⎝⎭，因为20,3C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以1cos ,12C ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭， 又cos 0C ≠，所以()1cos ,00,12C ⎛⎫∈-⎪⎝⎭U . 所以2sin sin B C -的取值范围是(⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭U . 21.（1）证明：∵底面ABCD 为菱形，∴AC BD ⊥.在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，1BB ⊥底面ABCD ，∴1BB AC ⊥. ∵1BB BD B =I ，∴AC ⊥平面11BDD B ， 又AC ⊂平面ACE ，∴平面ACE ⊥平面11BDD B . （2）解：设AC 与BD 交于点O ，连接1A O ，过A 作1AH A O ⊥，H 为垂足，H 即为A 在平面1A BD 内的正投影.（若只是作图而不写作法，则不给分） 理由如下：∵1AA ⊥平面ABCD ，∴1AA BD ⊥，又BD AO ⊥，1AO AA A =I ，∴BD ⊥平面1A AO ，∴BD AH ⊥，又1AO BD O =I ，∴AH ⊥平面1A BD .∵4sin 60AO =︒=14AA =，∴1AO =，由21AO OH A O =⨯，得OH = 过H 作HK AO ⊥，垂足为K ，由11HK OH AA A O =，得127HK =.∴111244sin 603277B CDH H BCD V V --=⨯⨯⨯⨯︒⨯==.22. 解：（1）()211'22ax ax x xf x -=-+=，当0a ≤时，()'0f x >，则()f x 在()0,+∞上单调递增. 当0a >时，令()'0f x =，得x =令()'0f x >，得x ⎛∈ ⎝；令()'0f x <，得x ⎫∈+∞⎪⎭. 故()f x 在⎛ ⎝上单调递增，在⎫+∞⎪⎭上单调递减. （2）由()f x a >-，得()21ln 0a x x --<.∵()1,x ∈+∞，∴ln 0x -<，210x ->. 当0a ≤时，()21ln 0a x x --<，满足题意.当12a ≥时，设()()()21ln 1g x x a x x =-->，()2'210ax g x x -=>， ∴()g x 在()1,+∞上单调递增，∴()()10g x g >=，不合题意. 当102a <<时，令()'0g x >，得x ⎫∈+∞⎪⎭；令()'0g x <，得x ⎛∈ ⎝. ∴()()min 10g g g x =<=，则()1,x ∃∈+∞，()0g x <. 综上，a 的取值范围为1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.。
2020年百校联考高考百日冲刺数学试卷(文科)(三)(全国Ⅰ卷) (含答案解析)
2020年百校联考高考百日冲刺数学试卷(文科)(三)(全国Ⅰ卷)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={x|2x>1}，B={y|y=x2−1,x∈R}，则(∁U A)∩B=()A. (−1,1)B. [−1,0]C. [−1,0)D. (−∞,0]2.已知i为虚数单位，在复平面内复数2i1+i对应点的坐标为()A. (1,1)B. (−1,1)C. (2,2)D. (−2,2)3.设O是坐标原点，F是椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点，点M在C外，且MO⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3OF⃗⃗⃗⃗⃗ ，P是过点M的直线l与C的一个交点，△PMF是有一个内角为120°的等腰三角形，则C的离心率等于()A. √34B. √33C. √3+14D. √324.如图，正方形BCDE和正方形ABFG的边长分别为2a，a，连接CE和CG，在两个正方形区域内任取一点，则该点位于阴影部分的概率是()A. 35B. 38C. 310D. 3205.在ΔABC中，AC=√7,BC=2,B=60∘，则BC边上的中线AD的长为()A. 1B. √3C. 2D. √76.设函数f(x)=sin2x，将y=f(x)的图像向左平移π8个单位，再将图像上所有点的横坐标不变纵坐标变为原来的3倍得到y=g(x)的图像，则y=g(x)在[−π12,π4]上的最大值为()A. 3B. 3√22C. √22D.17.某三棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A. 2B. 43C. 23D. 138.函数y=ln(2−|x|)的大致图象为()A. B.C. D.9.已知a=(13)x，b=x3，c=lnx，当x>2时，a，b，c的大小关系为()A. a<b<cB. a<c<bC. c<b<aD. c<a<b10.执行如图所示的程序框图，则输出的数的个数是()A. 7B. 6C. 5D. 411.三棱柱ABC−A1B1C1中，△ABC为等边三角形，AA1⊥平面ABC，AA1=AB，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，则BM与AN所成角的余弦值为()A. 110B. 35C. 710D. 4512.已知函数f(x)满足f(2x)=2x2−2x−mln2x，若曲线y=f(x)存在垂直于y轴的切线，则m的取值范围是()A. [1,+∞)B.C. (0,+∞)D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量a⃗=(x−5,3),b⃗ =(2,x)且a⃗⊥b⃗ 则x=______．14.已知cos(π6−α)=√33，则sin(5π6−2α)=______．15.过点P(a,5)作圆(x+2)2+(y−1)2=4的切线，切线长为2√3，则a等于______ ．16.某运输公司承担了每天至少搬运280吨水泥的任务，已知该公司有6辆A型卡车和8辆B型卡车．又已知A型卡车每天每辆的运载量为30吨，成本费为0.9千元；B型卡车每天每辆的运载量为40吨，成本费为1千元，则该公司所花的最小成本费是______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知正项等比数列{a n}满足a4=2a2+a3，a32=a6．(Ⅰ)求{a n}的通项公式；(Ⅱ)求a n⋅log2(a n)的前n项和T n．18.某手机厂商推出一款6吋大屏手机，现对500名该手机使用者(200名女性，300名男性)进行调查，对手机进行打分，打分的频数分布表如下：女性用户：分值区间[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]频数2040805010男性用户：分值区间[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]频数4575906030(Ⅰ)完成下列频率分布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的波动大小(不要求计算具体值，给出结论即可)；(Ⅱ)分别求女性用户评分的众数，男性用户评分的中位数；(Ⅲ)如果评分不低于70分，就表示该用户对手机“认可”，否则就表示“不认可”，完成下列2×2列联表，并回答是否有95%的把握认为性别和对手机的“认可”有关；女性用户男性用户合计“认可”手机______ ______ ______“不认可”手机______ ______ ______合计______ ______ ______P(K2≥x0)0.050.01x0 3.841 6.635．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)19.如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，ABCD是正方形，E是CD的中点，点F在BC上，且BF=3FC．(Ⅰ)证明：EF⊥平面PAE；(Ⅱ)若PA=AB=4，求点C到平面PEF所成的距离．20.过点E(−1,0)的直线l与抛物线C：y2=4x交于A，B两点，F是C的焦点．(1)若线段AB中点的横坐标为3，求|AF|+|BF|的值；(2)求|AF|·|BF|的取值范围．21. 已知函数f(x)=(2−a)lnx +1x +2ax ．(1)当a =2时，求函数f(x)的极值； (2)当a <0时，讨论函数f(x)的单调性．22. 在平面直角坐标系中，曲线C 1:{x =2cosαy =2sinα(α为参数)经过伸缩变换{x ′=x y′=y 2得到曲线C 2.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． (Ⅰ)求C 2的普通方程；(Ⅱ)设曲线C 3的极坐标方程为2ρsin(π3−θ)=√3，且曲线C 3与曲线C 2相交于M ，N 两点，点P(1,0)，求1|PM|+1|PN|的值．23. 已知函数f(x)=|x −2m|−|x +4m|(m >0)．(1)当m =2时，求不等式f(x)≤0的解集；(2)若关于x不等式f(x)≤|t−2|+|t+1|(t∈R)的解集为R，求m的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：本题考查了交、并、补集的混合运算，属于基础题． 求出集合A ，∁U A ，B ，由此能求出(∁U A)∩B ． 解：∵集合A ={x|2x >1}={x|x >0}， ∁U A ={x|x ≤0}，B ={y|y =x 2−1,x ∈R}={x|≥−1}， ∴(∁U A)∩B =[−1,0]． 故选：B ．2.答案：A解析：根据复数的几何意义，即可得到结论． 本题主要考查复数的几何意义，比较基础． 解：2i1+i =2i(1−i)(1+i)(1−i)=2i−2i 22=1+i ，则对应的点的坐标为(1,1)， 故选：A ．3.答案：B解析：解：如图，∵MO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3OF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴MO =3c ， ∵△PMF 是有一个内角为120°的等腰三角形， ∴MF =4c ，∠PMF =30°．∴P(−c,2c√3)．∵点P在椭圆上，∴c2a2+4c23b2=1，∴4c23b2=1−c2a2=b2a2，∴3a2−2√3ac−3c2=0．∴e=ca=−√3或√33又e>0，故e=ca =√33则椭圆C的离心率等于ca =√33．故选：B．根据题意可得MF=4c，∠PMF=30°，即可求得P的坐标．把P坐标代入椭圆即可得ca =√33，即可求得离心率．本题本题考查了椭圆的离心率，考查了转化思想、计算能力，属于中档题．4.答案：C解析：本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．根据几何概型的概率公式求出阴影部分的面积与两个正方形面积和的比即可．解：如图所示，正方形BCDE和正方形ABFG的边长分别为2a和a，∴S阴影=S正方形ABFG+S△BCE−S△ACG=a2+12⋅2a⋅2a−12⋅a⋅3a=32a2；∴该平面图形内随机取一点P，则点P来自阴影部分区域的概率是P=32a2a2+(2a)2=310．故选：C．5.答案：D解析：本题主要考查的是余弦定理的有关知识，先利用余弦定理求出AB ，再在△ABD 中利用余弦定理进行求解即可． 解：如图在△ABC 中，AC =√7,BC =2,B =60∘， ∴cosB =AB 2+BC 2−AC 22×AB×BC，∴cos60°=AB 2+22−(√7)22×AB×2，解得AB =3，∵AD 为BC 边上的中线， ∴BD =12BC =12×2=1，在△ABD 中，AB =3，BD =1，B =60°， ∴cosB =AB 2+BD 2−AD 22×AB×BD ，∴cos60°=32+12−AD 22×3×1，解得AD =√7， 故选D ．6.答案：A解析：本题考查正弦函数图象的平移伸缩变换问题，正弦函数在闭区间上的最值问题，属于中档题． 由已知函数y =f(x)图象的平移伸缩变换，得到，再得到，由x ∈[−π12,π4]，即可求出g(x)在[−π12,π4]上的最大值．解：由函数y=f(x)图象向左平移π8个单位，得到，再将图象上所有点的横坐标不变纵坐标变为原来的3倍，得到，由x∈[−π12,π4 ]，得到，故g(x)在[−π12,π4]上的最大值为3．故选A．7.答案：C解析：本题考查通过三视图求解几何体的体积，考查空间想象能力以及计算能力，属于基础题．通过三视图画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的体积即可．解：如图所示，由三视图可知，在三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，底面△ABC为等腰三角形，且底边长为2，高为1，故三棱锥的体积为V P−ABC=13⋅S△ABC⋅PA=13×12×2×1×2=23．故选C．8.答案：A解析：本题考查函数图像的识别，属于基础题．从函数的奇偶性上排除C，D，从特殊值上排除B．解：令f(x)=ln(2−|x|)，易知函数f(x)的定义域为{x|−2<x <2}，且f(−x)=ln(2−|−x|)=ln(2−|x|)=f(x)，所以函数f(x)为偶函数，排除选项C ，D ．当x =32时，f (32)=ln 12<0，排除选项B ，故选A ． 9.答案：B解析：本题考查了函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．解：当x =e 时，a =(13)e <1，b =e 3>1，c =lne =1，∴a <c <b ．故选B ． 10.答案：A解析：解：由题意，即求n ≤100(n ∈N)，满足log 2n ∈N 的n 的个数，∴n =1，2，4，8，16，32，64，故选：A ．由题意，即求n ≤100(n ∈N)，满足log 2n ∈N 的n 的个数．本题考查了程序框图中的循环结构的应用，解题的关键是由框图的结构判断出框图的计算功能 11.答案：C解析：本题考查了向量夹角公式、数量积运算性质、异面直线所成的角，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．如图所示，取AC 的中点为D ，建立空间直角坐标系．利用cos <AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BM >=AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，即可得出． 解：如图所示，取AC 的中点为D ，建立空间直角坐标系．不妨设AC =2.则A(0,−1,0)，N(0,0，2)，B(−√3,0，0)， M(−√32,−12,2)． 则AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1，2)，BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,−12,2)． ∴cos <AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=72√5×√5=710．故选：C ． 12.答案：D解析：本题考查函数的解析式，导数的应用，比较基础．根据题意可得f′(x )=x −1−m x =0在(0,+∞)上有解，即m =x 2−x ，求解即可．解：令t =2x ，则x =t 2，所以，即， 因为曲线y =f(x)存在垂直于y 轴的切线，则f′(x )=x −1−m x =0在(0,+∞)上有解，即m =x 2−x则m 的取值范围是． 故选D ．13.答案：2解析：解：向量a⃗=(x−5,3),b⃗ =(2,x)且a⃗⊥b⃗ ，则2(x−5)+3x=0，解得x=2，故答案为：2．根据两个向量垂直的坐标表示建立关于m的方程，解之即可得到实数m的值．本题给出两个向量互相垂直，求参数x的值．着重考查了向量垂直的坐标表示的知识，属于基础题．14.答案：−13解析：解：∵已知cos(π6−α)=√33，则sin(5π6−2α)=sin[2(π6−α)+π2]=cos2(π6−α)=2cos2(π6−α)−1=2×13−1=−13，故答案为：−13．由条件利用诱导公式、二倍角公式，求得sin(5π6−2α)=sin[2(π6−α)+π2]的值．本题主要考查诱导公式、二倍角公式的应用，属于基础题．15.答案：−2解析：解：∵(x+2)2+(y−1)2=4的圆心为C(−2,1)、半径r=2，∴点P(a,5)到圆心的距离为|CP|=√(a+2)2+(5−1)2=√(a+2)2+16．∵过切点的半径与切线垂直，∴根据勾股定理，得切线长为2√3=√(a+2)2+16−4．解得：a=−2故答案为：−2．算出圆心为C(−2,1)、半径r=2，根据两点间的距离公式，算出圆心到点P的距离|CP|.再由切线的性质利用勾股定理加以计算，可得a的值．本题考查求圆的经过点P的切线长．着重考查了圆的标准方程、两点间的距离公式、切线的性质与勾股定理等知识，属于中档题．16.答案：7千元解析：解：设公司每天派出A 型卡车x 辆，B 型卡车y 辆，公司所花的成本费为z 千元，根据题意，得{ 30x +40y ≥2800≤x ≤60≤y ≤8x 、y ∈N ∗，目标函数z =0.9x +y ， 作出该不等式组表示的可行域，如下图：考虑z =0.9x +y ，变形为y =−0.9x +z ，这是以−0.9为斜率，z 为y 轴上的截距的平行直线族． 经过可行域，平行移动直线，当直线经过点(0,7)时，直线在y 轴上的截距最小，即z 取最小值，为7， 故答案为：7千元．先根据题意，列出不等式组、目标函数，作出可行域，利用图象可求公司所花的成本费最小． 本题考查利用数学知识解决实际问题，考查线性规划知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．17.答案：解：(Ⅰ)设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q(q >0)，则∵a 4=2a 2+a 3，a 32=a 6，∴a 1q 3=2a 1q +a 1q 2，a 12q 4=a 1q 5，∴a 1=2，q =2，故a n =2n ．(Ⅱ)a n ⋅log 2(a n )=n ⋅2n ，∴T n =1⋅2+2⋅22+⋯+n ⋅2n ，∴2T n =1⋅22+2⋅23+⋯+n ⋅2n+1，两式相减，整理可得−T n =−(n −1)2n+1−2，Tn =(n −1)2n+1+2．解析：(Ⅰ)利用方程组，即可求{a n}的通项公式；(Ⅱ)利用错位相减法，求a n⋅log2(a n)的前n项和T n．本题考查等比数列的通项，考查数列求和，考查学生的计算能力，属于中档题．18.答案：140；180；320；60；120；180；200；300；500解析：解：(Ⅰ)女性用户和男性用户的频率分布表分别如下左、右图：由图可得女性用户的波动小，男性用户的波动大．(Ⅱ)由女性用户频率分布直方图知，女性用户评分的众数为75；在男性用户频率分布直方图中，中位数两边的面积相等．设中位数为x，则70<x<80．于是10×0.015+10×0.025+(x−70)×0.03=0.5，解得x=7313(Ⅲ)2×2列联表如下图：女性用户男性用户合计“认可”手机140180320“不认可”手机60120180合计200300500K2=500(140×120−180×60)2≈5.208>3.841，所以有95%的把握认为性别和对手机的“认可”有200×300×320×180关．(Ⅰ)利用所给数据，可得频率分布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的波动大小；(Ⅱ)由女性用户频率分布直方图知，女性用户评分的众数；在男性用户频率分布直方图中，中位数两边的面积相等，求出男性用户评分的中位数；(Ⅲ)求出K2，与临界值比较，即可得出结论．本题考查频率分布直方图，考查独立性检验知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19.答案：(Ⅰ)证明：PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥EF ，在正方形ABCD 中，∵E 是CD 的中点，点F 在BC 上，且BF =3FC ，设AB =4，则ED =EC =2，BF =3，FC =1，∴AE 2=42+22=20，EF 2=22+12=5，AF 2=42+32=25，∴AE 2+EF 2=AF 2，即EF ⊥AE ，又PA ∩AE =A ，∴EF ⊥平面PAE ；(Ⅱ)解：连接PC ，由PA =AB =4，结合(Ⅰ)可得PF =√42+25=√41，PE =√42+20=6，EF =√5， ∴cos∠EPF =2×√41×6=6√4141，则sin∠EPF =√20541． ∴S △PEF =12×√41×6×√20541=3√5，S △EFC =12×2×1=1．设点C 到平面PEF 所成的距离为h ．则由V P−EFC =V C−PEF ，得13×3√5×ℎ=13×1×4，解得ℎ=4√515． 即点C 到平面PEF 所成的距离为4√515．解析：(Ⅰ)由PA ⊥平面ABCD ，得PA ⊥EF ，再由已知解三角形证明EF ⊥AE ，可得EF ⊥平面PAE ； (Ⅱ)连接PC ，由PA =AB =4，结合(Ⅰ)求得三角形PEF 与三角形EFC 的面积，然后利用等积法求点C 到平面PEF 所成的距离．本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．20.答案：解：(1)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，因为线段AB 中点的横坐标为3，所以x 1+x 2=6，由抛物线的定义知|AF|=x 1+1，|BF|=x 2+1，则|AF|+|BF|=x 1+x 2+2=8．(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，直线l 的方程为x =my −1，由{x =my −1,y 2=4x,得y 2−4my +4=0.即y 1+y 2=4m ，y 1y 2=4． 由Δ=16m 2−16>0，得m 2>1．由抛物线的定义知|AF|=x 1+1，|BF|=x 2+1，则|AF|·|BF|=(x 1+1)(x 2+1)=m 2y 1y 2=4m 2.因为m 2>1，所以|AF|·|BF|>4．故|AF|·|BF|的取值范围是(4,+∞)．解析：本题考查抛物线的性质运用以及直线与抛物线的位置关系；(1)由线段AB 中点的横坐标为3，以及抛物线的定义得到|AF|+|BF|=x 1+x 2+2=8．(2)将直线方程与抛物线方程联立方程组，利用韦达定理结合抛物线定义得到|AF|·|BF|=(x 1+1)(x 2+1)=m 2y 1y 2=4m 2，利用m 范围解得所求．21.答案：解：(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞)，当a =2时，函数f(x)=1x +4x ，所以f′(x)=−1x 2+4=4x 2−1x 2，令f′(x)>0，所以x >12，令f′(x)<0，所以0<x <12，所以函数f(x)单调增区间是(12,+∞)，单调减区间是(0,12)，所以函数f(x)在x =12处取得极小值，f(12)=4，无极大值；(2)f′(x)=2−a x −1x 2+2a =(2x−1)(ax+1)x 2， 令f′(x)=0，得x 1=12，x 2=−1a ，当a =−2时，f′(x)≤0，函数f(x)在定义域(0,+∞)单调递减；当−2<a <0时，在区间(0,12)，(−1a ,+∞)上f′(x)<0，f(x)单调递减，在区间(12,−1a )上f′(x)>0，f(x)单调递增；当a <−2时，在区间(0,−1a )，(12,+∞)上f′(x)<0，f(x)单调递减，在区间(−1a ,12)上f′(x)>0，f(x)单调递增；综上所述，当a =−2时，函数f(x)的在定义域(0,+∞)内单调递减；当−2<a <0时，f(x)在区间(0,12)，(−1a ,+∞)内单调递减，在区间(12,−1a )内单调递增； 当a <−2时，f(x)在区间(0,−1a )，(12,+∞)内单调递减，在区间(−1a ,12)内单调递增．解析：本题考查了利用导数判断函数的单调性问题，也考查了分类讨论思想的应用问题，是综合性题目．(1)当a =2时，求出函数f(x)的导数，利用导数判断函数f(x)的单调性与极值；(2)求出f(x)的导数f′(x)，讨论a 的取值范围，利用导数即可判断函数f(x)在定义域(0,+∞)的单调性．22.答案：解：(Ⅰ)曲线C 1：{x =2cosαy =2sinα(α为参数)转换为直角坐标方程为x 2+y 2=4，经过伸缩变换{x′=x y′=y 2得到曲线C 2．得到：x 24+y 2=1．(Ⅱ)曲线C 3的极坐标方程为2ρsin(π3−θ)=√3，转换为直角坐标方程为√3x −y −√3=0，由于点P(1,0)在直线l 上，故{x =1+12t y =√32t (t 为参数)．所以把直线的参数方程代入x 24+y 2=1，得到13t 2+4t −12=0，(t 1和t 2为M 、N 对应的参数) 所以t 1+t 2=−1413，t 1⋅t 2=−1213，所以1|PM|+1|PN|=|t 1−t 2||t 1t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2|t 1t 2|=2√103．解析：本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． (Ⅰ)直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． (Ⅱ)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．23.答案：解：(1)当m =2时，f(x)=|x −4|−|x +8|={−12,x ≥4−2x −4,−8<x <412,x ≤−8，由不等式f(x)≤0，可得：−8<x <4时：−2x −4≤0，解得−2≤x <4，x ≥4时，−12≤0恒成立；综上所述，不等式f(x)≤0的解集为{x|x ≥−2}；(2)关于x 的不等式f(x)≤|t −2|+|t +1|(t ∈R)的解集为R ，等价于对任意的实数x，f(x)≤[|t−2|+|t+1|]min恒成立，即[f(x)]max≤[|t−2|+|t+1|]min，∵f(x)=|x−2m|−|x+4m|≤|(x+4m)−(x−2m)|=6m，|t−2|+|t+1|≥|(t+1)−(t−2)|=3，∴6m≤3，又m>0，∴0<m≤1，2].即m的取值范围是(0,12解析：(1)m=2时利用分段函数写出f(x)，再求不等式f(x)≤0的解集；(2)由题意把问题转化为对任意的实数x，f(x)≤[|t−2|+|t+1|]min恒成立，即[f(x)]max≤[|t−2|+|t+1|]min，由此列出不等式求得m的取值范围．本题考查了不等式恒成立问题，也考查了绝对值不等式的解法与应用问题，是中档题．。
五岳联考·河南广东等省2020届高三普通高等学校招生全国统一考试4月联考数学(文)(含答案)
绝密★启用前 试卷类型：B2020年普通高等学校招生全国统一考试·联考文科数学本试卷共5页，23小题（含选考题），满分150分，考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上用2B 铅笔将试卷类型（B ）填在答题卡相应位置上，将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”．2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．4选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．5．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合{}02=-=x x x A ,则集合A 的真子集的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 2.如图,复数21,z z 在复平面上分别对应点A,B,则21z z ⋅=（ ） A.0 B.2+i C.-2-i D.-1+2i3.若向量a =(x-4,2)与向量b =(1,-1)平行,则|a |=（ ）A.22.B.2C.2D.84.若函数f(x)=122+-x x a的图像关于y 轴对称, 则常数a=（ ）A.-1B.1C. 1或-1D.05.某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2016年1月至2018年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图.根据该折线图,判断下列结论: (1)月接待游客量逐月增加; (2)年接待游客量逐年增加;(3)各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月；(4)各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小，变化比较平稳. 其中正确结论的个数为（ ）A.1B.2C.3D.46.若抛物线)0(22>=p px y 的焦点是双曲线1322=-py p x 的一个焦点,则p=（ ） A.2 B.4 C.8 D.16 7.函数xx x y 2)(3⋅-=的图象大致是（ ）8.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”。
湖南省五岳2020届高三5月联考文科数学试题
考生注意：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试时间 120 分钟. 2．请将各题答案填写在答题卡上. 3．本试卷主要考试内容：高考全部内容.
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.
15．在公比大于零的等比数列 an 2n ， a1 2 ， a3 10 ，则 a4 _______，数列an 的前
n 项和 Sn _______.（本题第一空 2 分，第二空 3 分）
16．设 F1 ，F2
分别为椭圆 C
:
x2 a2
a
y
2
2
1
1(a
1)
的左、右焦点，P(1,1) 为 C
内一点，Q 为 C
假设金杖由粗到细所截得的每尺的重量依次成等差数列 an ，a1 4 斤，则 a2 （ ）
A． 2.5 斤
B． 2.75 斤
C． 3 斤
D． 3.5 斤
7．已知双曲线 C :
x2 a2
y2 b2
1
(a
0,b 0)
的左焦点为 F
，点
A 的坐标为 (0, 2b) ，若直线
AF
的倾斜角为 45 ，则 C 的离心率为（ ）
A．
25π 4
B．
64π 3
C． 25π
D． 32π
2
12．已知函数 f (x) 1 4sin x cos x ，现有下述四个结论：
① f (x) 的最小正周期为 ；②曲线 y f (x) 关于直线 x 对称； 4
③
f
(x)
在
4
湖南省五岳2020届高三5月联考文科数学试题281C Word版含答案
湖南省五岳2020届高三5月联考文科数学试题高三数学试卷（文科）考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟. 2．请将各题答案填写在答题卡上. 3．本试卷主要考试内容：高考全部内容.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．i(1i)(2i)=++（ ）A ．3i10- B ．3i10+ C ．3i10-+ D ．3i10-- 2．已知集合{}ln A x y x ==，{}3B x x =∈≤N ，则（ ）A ．B A ⊆B ．{}0A B x x =>UC ．A B ⊆D ．{}1,2,3A B =I3．“民以食为天，食以安为先.”食品安全是关系人们身体健康的大事.某店有四类食品，其中果蔬类、粮食类、动物性食品类、植物油类分别有48种、24种、30种、18种，现从中抽取一个容量为40的样本进行食品安全检测.若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的动物性食品类种数是（ ）A ．10B ．9C ．8D ．74．若向量(1,2)AC =u u u r ，(1,4)AB BC -=-u u u r u u u r ，则AB =u u u r（ ）A ．(1,1)-B ．(0,6)C ．(2,2)-D ．(0,3)5．已知圆221:1C x y +=，222:(2)1C x y -+=，223:(1)1C x y +-=，224:4C x y +=，若从这4个圆中任意选取2个，则这2个圆的半径相等的概率为（ ） A ．16 B ．13C ．12D ．236．《九章算术》大约成书于公元一世纪，是我国古代第一部数学著作，共收藏了246个与生产实践有关的应用问题，其中有一题：今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何？其意：现有一根，五尺长，一头粗，一头细，在粗的一端截下一尺，重量为四斤，在细的一端截下一尺，重量为二斤.问依次每一尺各有多重？假设金杖由粗到细所截得的每尺的重量依次成等差数列{}n a ，14a =斤，则2a =（ ）A ．2.5斤B ．2.75斤C ．3斤D ．3.5斤7．已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的左焦点为F ，点A 的坐标为(0,2)b ，若直线AF的倾斜角为45︒，则C 的离心率为（ ）A B C D ．28．函数2651()2x x f x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为（ ）A ．(]0,16B ．[16,)+∞C ．10,16⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1,16⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭9．在底面为正三角形的三棱柱111ABC A B C -中，2AB =，13AA =，该三棱柱的体积的最大值为（ ）A ．3B ．C ．6D ．10．已知函数()(1)(2)(3)(4)(5)f x x x x x x =-----，则曲线()y f x =在点(2,0)处的切线方程为（ ）A ．36y x =-+B ．612y x =-+C ．36y x =-D ．612y x =-11．某几何体的三视图如图所示，俯视图为正三角形，则该几何体外接球的表面积为 A ．25π4B ．64π3C ．25πD ．32π12．已知函数()14sin cos f x x x =-，现有下述四个结论：①()f x 的最小正周期为π；②曲线()y f x =关于直线4x π=-对称；③()f x 在5,412ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增；④方程()f x =在[,]-ππ上有4个不同的实根.其中所有正确结论的编号是（ ） A ．②④B ．①③④C ．②③④D ．①②④第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13．若21xy =，则24x y +的最小值为_______.14．在3log 0.6，2log 5，0.43这3个数中，最大的是_______.15．在公比大于零的等比数列{}2n a n +，12a =，310a =，则4a =_______，数列{}n a 的前n 项和n S =_______.（本题第一空2分，第二空3分）16．设1F ，2F 分别为椭圆2222:1(1)1x y C a a a +=>-的左、右焦点，(1,1)P 为C 内一点，Q 为C上任意一点.若1PQ QF +的最小值为3，则C 的方程为_______.三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17-21题为必考题，每个试题考生都必须做答. 第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17．（12分）设a ，b ，c 分别为ABC △内角A ，B ，C 的对边．已知cos cos a B b A c =+， （1）证明：ABC △是直角三角形．（2）若D 是AC 边上一点，且3CD =，5BD =，6BC =，求ABD △的面积．18．（12分）如图，EA ACE ⊥平面，AB BC ⊥，4AB =，3BC BD ==，AC AD =，CD =（1）证明：//BD ACE 平面.（2）若几何体EABCD 的体积为10，求三棱椎E ABC -的侧面积.19．（12分）已知函数3()4ln f x x x x=--. （1）求()f x 的单调区间；（2）判断()f x 在(0,10]上的零点的个数，并说明理由.（提示：ln10 2.303≈）20．（12分）某公司准备上市一款新型轿车零配件，上市之前拟在其一个下属4S 店进行连续30天的试销，定价为1000元/件.试销结束后统计得到该4S 店这30天内的日销售量（单位：件）的数据如下表：（1）若该4S 店试销期间每个零件的进价为650元/件，求试销连续30天中该零件日销售总利润不低于24500元的频率.（2）试销结束后，这款零件正式上市，每个定价仍为1000元，但生产公司对该款零件不零售，只提供零件的整箱批发，大箱每箱有60件，批发价为550元/件；小箱每箱有 45件，批发价为600元/件，该4S 店决定每天批发两箱，根据公司规定，当天没销售 出的零件按批发价的9折转给该公司的另一下属4S 店，假设该4S 店试销后的连续30 天的日销售量（单位：件）的数据如下表：（i ）设该4S 店试销结束后连续30天每天批发两大箱，求这30天这款零件的总利润； （ii ）以总利润作为决策依据，该4S 店试销结束后连续30天每天应该批发两大箱还是两小箱？21．（12分）设抛物线22(0)y px p =>点为F ，直线l 与抛物线交于M ，N 两点.（1）若l 过点F ，且3MN p =，求l 的斜率；（2）若,2p P p ⎛⎫⎪⎝⎭，且l 的斜率为－1，当P l ∉时，求l 在y 轴上的截距的取值范围（用p 表示），并证明MPN ∠的平分线始终与y 轴平行. （二）选考题：共10分. 请考生在第22、23两题中任选一题作答. 如果多做，则按所做的第一题计分.22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为4cos 4sin x r y r θθ=+⎧⎨=+⎩（0r >，θ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线M 的极坐标方程为286ρρ+=.（1）若r =C 的极坐标方程；（2）若C 与M 恰有4个公共点，求r 的取值范围. 23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）已知函数()42f x x =--.（1）求不等式()f x >（2）证明：2()2sin x f x x --≤.。
2020年五岳高考数学模拟试卷(文科)(3月份)(含答案解析)
2020年五岳高考数学模拟试卷(文科)(3月份)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|1<x2<4}，B={x|x≥1}，则A∩B=()A. {x|1<x<2}B. {x|1≤x<2}C. {x|−1<x<2}D. {x|−1≤x<2}2.已知2a+i=1−i，其中i为虚数单位，a∈R，则a=()A. −1B. 1C. 2D. −23.双曲线x2m2+5−y24−m2=1的焦距是()A. 4B. 2√5C. 6D. 与m有关4.设x，y满足约束条件{0≤x≤30≤y≤42x+y≥6，则z=3x+y的最大值为()A. 7B. 9C. 13D. 155.执行如图所示的程序框图，如果输出的A=28，那么在图中的判断框中可以填入A. n≥5？B. n>5？C. A≤7？D. A≥7？6.已知在正方体ABCD−A1B1C1D1中，P，Q分别为A1B1，CC1的中点，则异面直线B1C和PQ所成的角为()A. π6B. π4C. π3D. π27.某单位对职工进行技能测试，测试成绩分为优秀、良好、合格三个等级，测试结果如下表(单位：人):用分层抽样的方法从中抽取40人，成绩为良好的有24人，则a 等于( )A. 10B. 15C. 20D. 308. 已知2tanθ−tan(θ+π4)=7，则tanθ=( )A. −2B. −1C. 1D. 29. 将函数f(x)=sin(2x +π3)的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数g(x)的图象，且g(−x)=−g(x)，则φ的一个可能值为( )A. π6B. π4C. π3D. 5π1210. 圆柱的底面半径为r ，高为h ，体积为2，表面积为24，则1r +1ℎ的值是( )A. 6B. 8C. 12D. 2411. 函数f(x)=2x 2−mx +3，在(−∞,−2]上单调递减，在(−2,+∞)上单调递增，则f(1)=( )A. −3B. 7C. 13D. 不能确定12. 已知函数f(x)=e x −mx +1的图象为曲线C ，若曲线C 存在与直线y =ex 垂直的切线，则实数m 的取值范围是( )A. (−∞,1e )B. (1e ,+∞)C. (1e ,e)D. (e,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为60°，且|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2，则|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |= ______ ． 14. 如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数.从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为________．15. △ABC 中，若sin 2A −sin 2B +sin 2C =sinAsinC ，那么∠B = ______ ．16. 已知直线l 过抛物线C ：y 2=4x 的焦点F ，且与C 相交于A ，B 两点，则A ，B 两点间距离的最小值为________；当直线l 的斜率k(k ≠0)存在时，|AB|的值为________(结果用k 表示)． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 某大学学生会为了调查了解该校大学生参与校健身房运动的情况，随机选取了100位大学生进行调查，调查结果统计如下：参与不参与总计男大学生30女大学生50总计45100(1)根据已知数据，把表格数据填写完整；(2)能否有99.5％的把握认为参与校健身房运动与性别有关？请说明理由．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．P(K2≥k0)0.0500.0250.0100.0050.001 k0 3.841 5.024 6.6357.87910.82818.在数列{a n}，a1=1，2+a n+11+a n+1=11+a n+32(n∈N∗)．求数列{a n}的通项公式，设b n=1+a2n(n∈N∗)，求数列{2nb n}的前n项和S n．19.在底面为正方形的四棱锥S−ABCD中，SD⊥平面ABCD，E、F是AS、BC的中点，(Ⅰ)求证：BE//平面SDF；(Ⅱ)若AB=5，求点E到平面SDF的距离．20.已知椭圆C ：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，且过点P(−1,32)．(1)求椭圆C 的方程；(2)过右焦点F 的两条直线l1，l2分别与椭圆交于A ，B ，C ，D ．AB 的中点为M ，CD 中点为N ，O 为坐标原点，若OM⊥ON.则直线MN 是否经过定点，如果是，求出这个定点坐标，如果不是，请说明理由．21.已知函数f(x)=2lnx+x2−mx(m∈R).(1)若f(x)是单调函数，求实数m的取值范围；(2)若5<m<172，且f(x)有两个极值点x1，x2(x1<x2)，求f(x1)−f(x2)取值范围．22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是{x=14+12cosα,y=√34+12sinα(α是参数)，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C的极坐标方程；(2)在曲线C上取一点M，直线OM绕原点O逆时针旋转π3，交曲线C于点N，求|OM|·|ON|的最大值．23.已知f(x)=|x+1|+|x−2|．(Ⅰ)求不等式f(x)≤x+4的解集；(Ⅱ)若f(x)的最小值为m，正实数a，b，c满足a+b+c=m，求证：1a+b +1b+c+1c+a≥m2．【答案与解析】1.答案：A解析：本题考查了解不等式与交集的运算问题，是基础题．解不等式求出集合A，根据交集的定义求出A∩B．解：集合A={x|1<x2<4}={x|−2<x<−1或1<x<2}，B={x|x≥1}，则A∩B={x|1<x<2}．故选：A．2.答案：B解析：解：由2a+i=1−i，得2=(1−i)(a+i)=a+1+(1−a)i，∴{a+1=21−a=0，即a=1．故选：B．把已知等式变形，利用复数代数形式的乘法运算化简，再由复数相等的条件列式求得a值．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件，是基础题．3.答案：C解析：解：由双曲线x2m2+5−y24−m2=1，可得4−m2>0，即有a2=5+m2，b2=4−m2，可得c2=a2+b2=9，解得c=3，即有双曲线的焦距为2c=6．故选：C．求出双曲线的a，b，由c2=a2+b2，解得c，即可得到双曲线的焦距2c．本题考查双曲线的焦距的求法，注意运用双曲线的基本量的关系，考查运算能力，属于基础题．4.答案：C解析：本题考查简单的线性规划，是基础题．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合定点最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案． 解：由约束条件{0≤x ≤30≤y ≤42x +y ≥6得出可行域，联立{x =3y =4，得A(3,4)，化目标函数z =3x +y 为y =−3x +z ，当直线y =−3x +z 过点A 时，直线在y 轴上的截距最大， z 有最大值为13． 故选C ．5.答案：B解析：本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答． 由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量A 的值，模拟程序的运行过程，可得答案． 解：模拟执行程序，n =0，A =1，不满足判断框中条件，继续循环；n=1，A=1，不满足判断框中条件，继续循环；n=2，A=0，不满足判断框中条件，继续循环；n=3，A=−1，不满足判断框中条件，继续循环；n=4，A=0，不满足判断框中条件，继续循环；n=5，A=7，不满足判断框中条件，继续循环；n=6，A=28，满足判断框中条件，退出循环，所以在图中的判断框中可以填入n>5？，故选B．6.答案：A解析：本题考查异面直线所成的角，属基础题．先找出异面直线B1C和PQ所成的角，再计算即可．解：取C1B1的中点为R，连接PR，QR．因为Q为CC1的中点，所以RQ//B1C，所以异面直线B1C和PQ所成角为∠PQR或其补角．设正方体的棱长为2，经过计算可得，PR=RQ=√2，PQ=√6，所以cos∠PQR=√62√2=√32，所以∠PQR=π6．故选A．7.答案：A解析：本题主要考查分层抽样，属于基础题．利用分层抽样的计算公式即可求出a的值．解：由题意，知2440=12040+a+120+30，解得a=10．故选A．8.答案：D解析：本题主要考查三角函数值的化简和求解，结合两角和差的正切公式以及配方法是解决本题的关键．基础题．利用两角和差的正切公式进行展开化简，结合一元二次方程的解法进行求解即可．解：由2tanθ−tan(θ+π4)=7，得2tanθ−tanθ+11−tanθ=7，即2tanθ−2tan2θ−tanθ−1=7−7tanθ，得2tan2θ−8tanθ+8=0，即tan2θ−4tanθ+4=0，即(tanθ−2)2=0，则tanθ=2，故选：D．9.答案：A解析：本题主要考查函数的图象变换规律，考查函数的奇偶性，属于中档题．根据题意，得出函数g(x)为奇函数，即可求出结果．解：由题意，将函数f(x)=sin(2x+π3)的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数g(x)的图象，所以g(x)=sin[2(x−φ)+π3]=sin(2x−2φ+π3)，因为g(−x)=−g(x)，可知函数g(x)的定义域为R，函数g(x)的定义域关于原点对称，所以函数g(x)为奇函数，所以π3−2φ=kπ,(k∈Z),解得φ=π6−kπ2,k∈Z,当k=0时，φ=π6，所以φ的一个可能值为π6，。
湖南省五岳2020届高三下学期5月联考文科数学试题 Word版含解析
高三数学试卷（文科）考生注意：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.2. 请将各题答案填写在答题卡上.3. 本试卷主要考试内容：高考全部内容.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.()()12ii i =++（ ）A.310i- B.310i+ C.310i-+ D.310i-- 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出分母的计算结果，即(1)(2)13i i i ++=+，然后由复数的除法可对其进行化简，(13)1310i i i i -=+，从而可选出正确答案. 【详解】解：(13)3(1)(2)131010i i i i ii i i -+===+++.故选:B.【点睛】本题考查了复数的乘法运算，考查了复数的除法运算.本题的易错点为计算的准确性，易将2i 当做1进行计算.2.已知集合{}|ln A x y x ==，{}|3B x N x =∈≤，则（ ） A. B A ⊆B. {}|0A B x x ⋃=>C. A B ⊆D.{}1,2,3A B =【答案】D 【解析】 【分析】由对数函数的定义域可得{}|0A x x =>，用列举法表示出{}0,1,2,3B =，从而可选出正确选项.【详解】解：因为{}|0A x x =>，{}0,1,2,3B =，所以{}1,2,3A B =，{}|0A B x x ⋃=≥.故选:D.【点睛】本题考查了集合的化简，考查了两集合的关系，考查了集合的交集运算，考查了集合的并集运算.本题的关键和易错点是对集合A 的化简.3.“民以食为天，食以安为先.”食品安全是关系人们身体健康的大事.某店有四类食品，其中果蔬类、粮食类、动物性食品类、植物油类分别有48种、24种、30种、18种，现从中抽取一个容量为40的样本进行食品安全检测.若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的动物性食品类种数是（ ） A. 10 B. 9C. 8D. 7【答案】A 【解析】 【分析】首先计算出抽样比为4048243018+++，即可计算出抽取的动物性食品类种数.【详解】解：因为40401482430181203==+++，所以抽取的动物性食品类的种数是130103⨯=.故选:A.【点睛】本题考查了分层抽样.本题的关键是计算抽样比. 4.若向量()1,2AC =，()1,4AB BC -=-，则AB =（ ） A. ()1,1- B. ()0,6 C. ()2,2- D. ()0,3【答案】D 【解析】 【分析】求得AB BC +，由此求得AB .【详解】依题意()1,2AB BC AC +==，所以()()1,21,4AB BC AB BC ⎧+=⎪⎨-=-⎪⎩， 两式相加得()20,6AB =， 所以()0,3AB =. 故选：D【点睛】本小题主要考查向量加法和减法的坐标运算，属于基础题.5.已知圆1C ：221x y +=，2C ：()2221x y -+=，3C ：()2211x y +-=，4C ：224x y +=，若从这4个圆中任意选取2个，则这2个圆的半径相等的概率为（ ） A.16B.13C.12D.23【答案】C 【解析】 【分析】列举出四个圆中任意选取两个所有的情况，从中找出半径相同的情况，即可计算概率. 【详解】解：由题意知，123,,C C C 的半径均为1，4C 的半径为2，则从这4个圆中任意选取2个，所有的情况为()12,C C ，()13,C C ，()14,C C ，()23,C C ，()24,C C ，()34,C C ，共6种， 其中，这2个圆的半径相等的有()12,C C ，()13,C C ，()23,C C 共3种，故所求概率3162P ==. 故选:C. 【点睛】本题考查了圆的标准方程，考查了古典概型.求古典概型概率时，可将所有的基本事件列举出，结合古典概型概率公式进行计算；有时也可结合排列、组合的思想进行求解. 6.《九章算术》大约成书于公元一世纪，是我国古代第一部数学著作，共收藏了246个与生产实践有关的应用问题，其中有一题：今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何？其意：现有一根金杖，五尺长，一头粗，一头细，在粗的一端截下一尺，重量为四斤，在细的一端截下一尺，重量为二斤.问依次每一尺各有多重？假设金杖由粗到细所截得的每尺的重量依次成等差数列{}n a ，14a =斤，则2a =（ ）A. 2.5斤B. 2.75斤C. 3斤D. 3.5斤【答案】D 【解析】 【分析】由题意可求出等差数列的公差，结合等差数列的通项公式，即可求出第二项的值. 【详解】解：由题意可知，14a =斤，52a =斤，则公差510.551a a d -==--斤， 故21 3.5a a d =+=斤. 故选:D.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式.本题的关键是公差的求解.7.已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点为F ，点A 的坐标为()0,2b ，若直线AF的倾斜角为45︒，则C 的离心率为（ ） A.3223 C.33D. 2【答案】C 【解析】 【分析】由直线AF 的倾斜角为45︒可求出直线的斜率，结合两点间直线的斜率公式可得2c b =，由椭圆中222a b c =+，可得2234c a =，从而可求出离心率的值. 【详解】解：依题意得2tan 451AF bk c==︒=，所以2c b =，即()222244c b c a ==-，即2234c a =，所以23c e a ==. 故选:C.【点睛】本题考查了直线的斜率公式，考查了椭圆的焦点坐标，考查了椭圆离心率的求解.本题的关键是由直线的倾斜角求出,b c 的关系.一般求圆锥曲线的离心率时，由题意列出关于,,a b c 三个参数的式子，从而进行求解.8.函数()26512x x f x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为（ ）A. (]0,16B. [)16,+∞C. 10,16⎛⎤⎥⎝⎦D.1,16⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】A 【解析】 【分析】利用换元法，设265u x x =-+，则()1,42uf u u ⎛⎫=≥- ⎪⎝⎭，结合指数函数的单调性及值域，可求出()()0416f u f <≤-=，从而可求本题函数的值域.【详解】解:设2265(3)44u x x x =-+=--≥-，则()1,42uf u u ⎛⎫=≥- ⎪⎝⎭， 因为12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭为减函数，所以()()0416f u f <≤-=，即值域为(]0,16. 故选:A.【点睛】本题考查了函数值域的求解.本题的难点是利用换元法，结合函数的性质求值域.一般地，求函数的值域时，常结合函数的图像、导数、函数的性质、基本不等式进行求解. 9.在底面为正三角形的三棱柱111ABC A B C -中，2AB =，13AA =，该三棱柱的体积的最大值为（ ） A. 3 B. 3 C. 6D. 33【答案】D 【解析】 【分析】由题意知，三棱柱高最大为3，求出底面三角形的面积，结合柱体的体积公式，即可求出体积的最大值.【详解】解：设三棱柱111ABC A B C -的高为h ，则h 的最大值为3，所以该三棱柱的体积的最大值为2max max 32333ABC V S h =⋅=⨯⨯=. 故选:D.【点睛】本题考查了柱体体积的求解.本题的易错点是混淆了柱体、椎体的体积公式.本题的关键是分析出高的最大值.10.已知函数()(1)(2)(3)(4)(5)f x x x x x x =-----，则曲线()y f x =在点(2,0)处的切线方程为（ ） A. 36y x =-+B. 612y x =-+C. 36y x =-D.612y x =-【答案】B 【解析】 【分析】对多项式函数求导，结合导数的几何意义，即可容易求得结果. 【详解】设函数()(1)(3)(4)(5)g x x x x x =----，则()(2)()(2)()()(2)()f x x g x x g x g x x g x ''''=-+-=+-， 所以(2)(2)6f g '==-，则曲线()y f x =在点(2,0)处的切线方程为612y x =-+. 故选：B.【点睛】本题考查利用导数的几何意义求切线方程，属基础题.11.某几何体的三视图如图所示，俯视图为正三角形，则该几何体外接球的表面积为（ ）A.254πB.643πC. 25πD. 32π【答案】B 【解析】【分析】根据三视图知几何体是一个三棱锥，画出直观图，AB ⊥平面,PAC且2,4PA PC AC AB ====得到球心在过PAC 外心且与AB 平行的线段上，且到底面的距离是AB 的一半，利用直角三角形勾股定理求出球半径，得解. 【详解】由三视图可知，该几何体为如图所示的三棱锥B PAC -， 其中AB ⊥平面,PAC .作三角形PAC 重心E ， 过E 作//OE BA 且12OE BA =(如图) 则OE ⊥平面,PAC PE CE AE ==，所以OP OC OA == 作BA 中点G 连结OG ,则OEAG是矩形，OG AB ⊥ 所以OA OB =OP OC OA OB ∴===，O ∴是球心，2,4PA PC AC AB ====设外接球的半径为,R PAC △外接圆的半径233PE =， 则222163R PE OE =+=，所以外接球的表面积26443S R ππ==.故选：B.【点睛】本题考查三视图及几何体的外接球问题.（1）几何体三视图还原其直观图时，要熟悉柱、锥、球、台的三视图，结合空间想象将三视图还原为直观图．（2）与球有关外接问题关键是找到由球的半径构成的三角形，解三角形即可． 12.已知函数()14sin cos f x x x =-，现有下述四个结论： ①()f x 的最小正周期为π；②曲线()y f x =关于直线4πx =-对称；③()f x在5,412ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增；④方程()2f x=在[],ππ-上有4个不同的实根.其中所有正确结论的编号是（）A. ②④B. ①③④C. ②③④D. ①②④【答案】D【解析】【分析】结合二倍角公式对函数进行变形可得112sin2,sin22()12sin21,sin22x xf xx x⎧-<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩，作出()f x在[],ππ-上的图象，可知四个命题的正确性.【详解】解：()112sin2,sin2214sin cos12sin212sin21,sin22x xf x x x xx x⎧-<⎪⎪=-=-=⎨⎪-≥⎪⎩，作出()f x在[],ππ-上的图象（先作出2sin2y x=-的图象，再利用平移变换和翻折变换得到12sin2y x=-的图象），如图所示，由图可知①②④正确，③错误.故所有正确结论的编号是①②④.故选:D.【点睛】本题考查了二倍角公式，考查了分段函数的图像的做法，考查了三角函数的图像，考查了三角函数的性质，考查了数形结合.本题的关键是对已知函数进行整理变形后，画出其函数的图像.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.若21xy =，则24x y +的最小值为_______. 【答案】4 【解析】 【分析】结合基本不等式可得224244x y xy +=≥.【详解】解：因为21xy =，20y ≥，所以0x >，20y >，则224244x y xy +=≥， 当且仅当24x y =，即21,22x y ==时，等号成立，所以24x y +的最小值为4.故答案为:4.【点睛】本题考查了基本不等式.运用基本不等式求解最值时，需要注意一正二定三相等. 14.在3log 0.6，2log 5，0.43这3个数中，最大的是_______. 【答案】2log 5 【解析】 【分析】由对数函数的单调性可知，3log 0.60<，2log 52>，由指数函数的单调性可知，0.4033<<从而可求出三个数中的最大值.【详解】解：由33log 0.6log 10<=，22log 5log 42>=，0.40.50333<<=是2log 5. 故答案为: 2log 5.【点睛】本题考查了指数函数单调性的应用，考查了对数函数单调性的应用.本题的关键是利用性质求出三个数和中间值0,23的大小关系.15.在公比大于零的等比数列{}2n a n +，12a =，310a =，则4a =_______，数列{}n a 的前n 项和n S =______.【答案】 (1). 24 (2). 2224n n n +--- 【解析】【分析】由已知12a =，310a =，可求出{}2n a n +的公比为2q ，从而可得122n n a n +=-，则可求出4a 的值，结合分组求和法，可求出n S .【详解】解：设等比数列{}2n a n +的公比为q ，则231616424a q a +===+，因为0q >，所以2q ，所以()111222n n n n a a q -+=+=+，则122n n a n +=-，所以5422424a =-⨯=，则()12312242222 (2)24...2(1)2412n n n n S n n n n n +++-⨯=+++-+++=-+=----.故答案为:24;2224n n n +---.【点睛】本题考查了等比数列的通项公式，考查了分组求和，考查了等差数列的前n 项和，考查了等比数列的前n 项和.本题的关键是由已知条件，求出等比数列的公比.求数列的前n 项和时，常用的方法有公式法、分组求和法、错位相减法、裂项相消法等.16.设1F ，2F 分别为椭圆C ：22221(1)1x y a a a +=>-的左、右焦点，()1,1P 为C 内一点，Q 为C 上任意一点.若1PQ QF +的最小值为3，则C 的方程为_______.【答案】22143x y +=【解析】 【分析】由题意知，()21,0F ，则21PF =；由三角形的三边关系可知221PQ QF PF -≤=，从而可求出21PQ QF -≥-，由椭圆的定义知，122123PQ QF PQ QF a a -+≥-==+， 从而可求出2a =，进而可求出椭圆的标准方程.【详解】解：由椭圆定义可知122PQ QF PQ QF a +=-+，且()21,0F ，则21PF =， 因为221PQ QF PF -≤=，所以21PQ QF -≥-，所以22213PQ QF a a -+≥-=，所以2a =.故C 的方程为22143x y +=.故答案为: 22143x y +=. 【点睛】本题考查了椭圆的定义，考查了椭圆焦点坐标的求解.本题的难点是分析出何时1PQ QF +可取得最小值.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17-21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.设,,a b c 分别为ABC 内角,,A B C 的对边.已知cos cos a B b A c =+.（1）证明：ABC 是直角三角形.（2）若D 是AC 边上一点，且3,5,6CD BD BC ===，求ABD△的面积. 【答案】（1）证明见解析；（2214 【解析】【分析】(1)用正弦定理化简cos cos a B b A c =+可得.（2）用余弦定理求出cos BDC ∠ ,利用已知数据和利用三角形面积公式. 【详解】（1）证明：因为cos cos a B b A c =+，所以sin cos sin cos sin A B B A C =+. 又sin sin()C A B =+，所以2sin cos 0B A =.因为sin 0B >，所以cos 0A =，则2A π=，故ABC 是直角三角形. （2）解：因为2221cos 215BD CD BC BDC BD CD +-∠==-⨯， 所以1cos cos 15BDA BDC ∠=-∠=. 又2A π=，所以1cos 3AD BD BDA =∠=. 因为1cos 15BDA ∠=，所以414sin BDA ∠=故ABD △的面积为1214sin 2AD BD BDA ⨯∠=. 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理和面积公式解三角形，考查计算求解能力，属于基础题..18.如图，EA ⊥平面,,4,3,,32ABC AB BC AB BC BD AC AD CD ⊥=====.（1）证明：BD //平面ACE . （2）若几何体EABCD 的体积为10，求三棱锥E ABC -的侧面积.【答案】（1）证明见解析；（2）935+【解析】【分析】（1）先证BD ⊥平面ABC ，结合EA ⊥平面ABC ，即可求得；（2）根据几何体的体积求得EA ，再求侧面积即可.【详解】（1）证明：因为,BC BD AC AD ==，所以ABC ABD △≌△.因为AB BC ⊥，所以AB BD ⊥.因为222BD BC CD +=，所以BD BC ⊥.又AB BC B ⋂=，所以BD ⊥平面ABC .因为EA ⊥平面ABC ，所以EA //BD .因为BD ⊄平面,ACE AE ⊂平面ACE ，所以BD //平面ACE .（2）因为ABC 的面积13462S =⨯⨯=， 所以几何体EABCD 的积1()2(3)103V S EA BD EA =+=+=， 所以2EA =.因为EA ⊥平面,ABC BC ⊂平面ABC ，则BC EA ⊥，又因为BC AB ⊥，又,EA AB ⊂平面ABE ，故BC ⊥平面ABE ，则BC BE ⊥，所以BCE 的面积为221324352⨯+= 所以三棱锥E ABC -的侧面积为2211352423493522+⨯⨯+⨯+=+【点睛】本题考查线面垂直的证明，棱锥体积的求解，属综合基础题.19.已知函数()34ln f x x x x=--. （1）求()f x 的单调区间；（2）判断()f x 在(]0,10上的零点的个数，并说明理由.（提示：ln10 2.303≈）【答案】（1）()f x 的单调递增区间是()0,1和()3,+∞，单调递减区间是()1,3.（2）()f x 在(]0,10上的零点的个数为1.理由见解析【解析】【分析】（1）令导数234()10f x x x'=+-=，解出方程后，结合函数的定义域，探究()(),f x f x '随x 的变化，即可求出函数的单调区间.（2）结合函数的单调性可判断出函数在(]0,3上无零点，又由()()30,100f f <>，结合函数在(]3,10上的单调性及零点存在定理，可判断出()f x 在(]0,10上的零点的个数.【详解】解：（1）由题意知，()f x 的定义域为()0,∞+，则令2223443()10x x f x x x x -+'=+-==， 解得1x =或3x =，当01x <<或3x >时，()0f x '>，则此时()f x 单调递增；当13x <<时，()0f x '<，则此时()f x 单调递减.故()f x 的单调递增区间是()0,1和()3,+∞，单调递减区间是()1,3.（2）由函数在()0,1上单调递增，在()1,3上单调递减，则当03x <≤时，()()12f x f ≤=-，故()f x 在(]0,3上无零点；又()324ln30f =-<，当310x <≤时，因为3(10)104ln10100.34 2.3030.488010f =--≈--⨯=>， 又()f x 在(]3,10上单调递增，所以()f x 在(]3,10上仅有一个零点.综上，()f x 在(]0,10上的零点的个数为1.【点睛】本题考查了函数单调性区间的求解，考查了函数零点个数的判断.本题的难点在于第二问中，需要结合函数的单调性、零点存在定理进行判断.求解函数的单调性时，可结合函数的图像、导数、函数的性质等进行判断.20.某公司准备上市一款新型轿车零配件，上市之前拟在其一个下属4S 店进行连续30天的试销.定价为1000元/件.试销结束后统计得到该4S 店这30天内的日销售量（单位：件）的数据如下表：日销售量40 60 80 100 频数9 12 6 3（1）若该4S 店试销期间每个零件的进价为650元/件，求试销连续30天中该零件日销售总利润不低于24500元的频率；（2）试销结束后，这款零件正式上市，每个定价仍为1000元，但生产公司对该款零件不零售，只提供零件的整箱批发，大箱每箱有60件，批发价为550元/件；小箱每箱有45件，批发价为600元/件.该4S 店决定每天批发两箱，根据公司规定，当天没销售出的零件按批发价的9折转给该公司的另一下属4S 店.假设该4店试销后的连续30天的日销售量（单位：件）的数据如下表：日销售量50 70 90 110 频数5 15 8 2（ⅰ）设该4S 店试销结束后连续30天每天批发两大箱，这30天这款零件的总利润；（ⅱ）以总利润作为决策依据，该4S店试销结束后连续30天每天应该批发两大箱还是两小箱？【答案】（1）0.3（2）（ⅰ）93.32万元（ⅱ）每天应该批发两大箱【解析】【分析】（1）求出日销售总利润不低于24500元所需的日销售件数，得出符合要求的天数，可求对应频率；（2）每天的利润等于销售额加九折的转让费减成本，分别算出两大箱和两小箱30天的总利润作比较.【详解】解：（1）∵试销期间每个零件的利润为1000650350-=元，所以要使得日销售总利润不低于24500元，则日销售零件的件数不能少于2450070 350=，∴所求频率为630.3 30+=.（2）（ⅰ）批发两大箱，则批发成本为60255066000⨯⨯=元，当日销售量为50件时，当日利润为5010000.9(12050)5506600018650⨯+⨯-⨯-=元；当日销售量为70件时，当日利润为7010000.9(12070)5506600028750⨯+⨯-⨯-=元；当日销售量为90件时，当日利润为9010000.9(12090)5506600038850⨯+⨯-⨯-=元；当日销售量量为110件时，当日利润为11010000.9(120110)5506600048950⨯+⨯-⨯-=元；所以这30天这款零件的总利润为186505287501538850848950293.32⨯+⨯+⨯+⨯=万元. （ⅱ）若批发两小箱，则批发成本为45260054000⨯⨯=元，当日销售量为50件时，当日利润为5010000.9(9050)6005400017600⨯+⨯-⨯-=元；当日销售量为70件时，当日利润为7010000.9(9070)6005400026800⨯+⨯-⨯-=元；当日销售量为90件或110件时，当日利润为9010005400036000⨯-=元.所以这30天这款零件的总利润为1760052680015360001085⨯+⨯+⨯=万元，∵93.32万元85>万元，∴每天应该批发两大箱.【点睛】本题考查频率的计算，销售利润的计算，运算难度不大，但是需要认真审题，考查数据处理能力和运算求解能力，是基础题.21.设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，直线l 与抛物线交于,M N 两点. （1）若l 过点F ，且||3MN p =，求l 的斜率；（2）若(,)2p P p ，且l 的斜率为1-，当P l ∉时，求l 在y 轴上的截距的取值范围（用p 表示），并证明MPN ∠的平分线始终与y 轴平行. 【答案】（1）2±；（2）33(,)(,)222p p p -⋃+∞，证明见解析 【解析】【分析】（1）设直线l 的方程为()(0)2p y k x k =-≠与抛物线方程联立求解，得到12x x +，12x x ， 利用||3MN p =转化求k 即可.（2）直线l 的方程为,y x m =-+与抛物线方程联立求解，利用根与系数的关系可得y 轴上的截距的取值范围；要证明MPN ∠的平分线与y 轴平行，则只需要直线,PM PN 的斜率互补，即证明0PM PN k k +=.【详解】解：（1）当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为2p x =，代入抛物线方程可得22y p =，即y p =±，所以||2MN p =，但||3MN p =，故直线l 的斜率存在，设其方程为(0)2p y k x k ⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭. 由2(),22,p y k x y px ⎧=-⎪⎨⎪=⎩得22222(2)04k p k x k p p x -++=， 设()()1122,,,M x y N x y ，则21222k p p x x k ++=， 所以2121222||||||322p p k p p MN MF NF x x x x p p p k+=+=+++=++=+=， 解得2k =l 的斜率为2±（2）设直线l 的方程为()()1122,,,,y x m M x y N x y =-+. 由2,2,y x m y px =-+⎧⎨=⎩得22(22)0x m p x m -++=， 则2121222,x x m p x x m +=+=. 由22(22)40m p m ∆=+->，得2p m >-.又2p m p -+≠，所以32p m ≠，从而l 在y 轴上的截距的取值范围为33(,)(,)222p p p -⋃+∞. ()()1221121212()()22()()2222PM PN p p y p x y p x y p y p k k p p p p x x x x --+----+=+=---- ()()111222()()22()()22p p x m p x x m p x p p x x -+--+-+--=-- 1212212()()()2()()22p x x m x x p m p p p x x -+-+--=-- 2122()(22)()2()()22p m m m p p m p p p x x -+-+--=--222212220()()22m m pm p pm p p p x x -++--+==--， 所以直线,PM PN 的倾斜角互补，从而MPN ∠的平分线始终与y 轴平行.【点睛】利用抛物线的定义解决问题时，应灵活地进行抛物线上的点到焦点距离与其到准线距离间的等价转化．“看到准线应该想到焦点，看到焦点应该想到准线”，这是解决抛物线距离有关问题的有效途径．（二）选考题：共10分. 请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4－4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为4cos 4sin x r y r θθ=+⎧⎨=+⎩（0r >，θ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线M 的极坐标方程为286ρρ+=.（1）若42r =C 的极坐标方程；（2）若C 与M 恰有4个公共点，求r 的取值范围.【答案】（1）8cos 8sin ρθθ=+（2）422422r <<【解析】【分析】（1）由参数方程消参后，可得其普通直角坐标方程，结合cos ,sin x y ρθρθ==可求出其极坐标方程.（2）由题意首先确定曲线M 的形状为原点为圆心，半径为2和4的两个同心圆，由公共点个数判断出C 与圆224x y +=相交，即可得关于半径的不等式，从而求出半径的取值范围. 【详解】解：（1）由44242x y θθ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（θ为参数），得22(4)(4)32x y -+-=， 即22880x y x y +--=，得28cos 8sin 0ρρθρθ--=，即8cos 8sin ρθθ=+，所以C 的极坐标方程为8cos 8sin ρθθ=+.（2）由题意可知222(4)(4)x y r -+-=，则曲线C 表示圆心为()4,4，半径为r 的圆，由286ρρ+=，得2ρ=或4ρ=，则M 由两个同心圆组成，原点为圆心，半径为2和4； 因为C 与M 恰有4个公共点，所以圆C 与圆224x y +=相交， 所以222442r r -<+<+，解得422422r <<.【点睛】本题考查了参数方程和普通直角坐标方程的转化，考查了极坐标方程和普通直角坐标方程的互化，考查了两圆的位置关系.本题的关键是由交点个数判断出两圆的位置关系.[选修4－5：不等式选讲] 23.已知函数()42f x x =--.（1）求不等式()f x x > （2）证明：()228172sin x f x x x x --≤<-+. 【答案】（1）[)()0,19,+∞.（2）见解析【解析】【分析】 （1）通过讨论4x ≥，04x ≤<，去掉绝对值号，结合一元二次不等式的求解方法，可求出不等式的解集.（2）由绝对值三角不等式可知242x x -+-≥，从而可证()2x f x --≤，通过放缩可知22817(4)4x x x x -+>-=-，2sin 2x ≤，可证明()28172sin f x x x x <-+，从而证出()228172sin x f x x x x --≤<-+.【详解】（1）解：当4x ≥时，()6f x x x =->即)320x x >，30x >，即9x >；当04x ≤<时，()2f x x x =->()120x x <，解得01x ≤<. 综上，不等式()f x x >[)()0,19,+∞.（2）证明：因为()24242x x x x -+-≥---=，所以()2x f x --≤. 222817(4)1(4)4x x x x x -+=-+>-=-，2sin 2x ≤，即2sin 2x -≥-， 28172sin 42x x x x -+>--，即()28172sin f x x x x <-+，综上，()228172sin x f x x x x --≤<-+.【点睛】本题考查了含绝对值不等式的求解，考查了不等式的证明.本题的难点是在证明第二问时，()28172sin f x x x x <-+的证明.求含绝对值的不等式时，常用的方法有分类讨论法、几何意义法、函数图象法.高考资源网（）您身边的高考专家版权所有@高考资源网- 21 -。