因子分析和典型相关分析

7.6典型相关分析

典型相关分析是用于分析两组随机变量之间的相关程度的一 种统计方法，它能够有效地揭示两组随机变量之间的相互线性依 赖关系，这一方法是由Hotelling(霍特林，1935)首先提出来的。 假设有两组随机变量X1，X2，……，Xp和Y1,Y2,……，Yp，研 究它们的相关关系，当p=q=1时，就是通常两个变量X与Y的相关 关系。当p>1,q>1时，采用类似与主成分分析的方法，找出第一 组变量的线性组合U和第二组变量的线性组合V，即
因子分析函数

1.factanal函数
factanal()函数完成因子分析的计算，它可以从样本、样本方差矩 阵或者是样本相关矩阵出发对数据做因子分析，采用极大似然法估计 参数，可以给出方差最大的载荷因子矩阵，其使用格式为
factanal(x,factors,data=NULL,covmat=NULL,n.obs=NA,
因子分析的计算

例7.21
对 55个国家和地区的男子竞赛记录作统计，每位运动员记录8项 指标： 100m 跑 (X1) 、 200m 跑 (X2) 、 400m 跑 (X3) 、 800m 跑 (X4) 、 1500m 跑 (X5)、 5000m跑(X6)、10000m跑(X7)、马拉松(X8).8项指标的相关矩阵R如 表7.18所 示.取因子个数为2，用factanal()函数计算因子载荷共性方差等指标， 参数选择 方差最大.

例7.22

现有 48 位应聘者应聘某公司的某职位，公司为这些应聘者的 15项指标 打分，这15项指标分别是：求职信的形式 (FL)、外貌(APP)、专业能力 (AA)、讨人喜欢(LA)、自信心(SC)、洞察力(LC)、诚实(HON)、推销能 力 (SMS) 、经验 (EXP) 、驾驶水平 (DRV) 、事 业心 (AMB) 、理解能力 (GSP) 、潜在能力 (POT) 、交际能力 (KJ) 和适应性 (SUIT) 。每项分数是 从 0 分到 10 分， 0 分最低， 10 分最高。每位求职者的 15 项指标列在表 7.19中。试用因子分析的方法对15项指标做因子分析，在因子分析中选 取5个因子。
cancor()函数的返回值为一个列表，有：cor表示典型相关系数，xcoef 表示变量X的典型相关系数，ycoef表示变量Y的典型相关系数，xcenter表 示变量X的样本均值，ycenter表示变量Y的样本均值。

例7.24 某康复俱乐部对 20名中年人测量了 3个生理指标：体重 (X1)、腰围 (X2) 、脉搏 (X3) 和 3 个训练指标：引体向上 (Y1) 、仰卧起坐次数 (Y2) 、 跳跃次数(Y3)。其数据列在表7.20中。是对这组数据进行典型相关分析。
subset,na.action,start=NULL. scores=c(“none”,”regression”,”Bartlett”), rotation=”varimax”,control=NULL,...)

2.varimax函数 varimax()函数可以完成因子载荷矩阵的旋转变换（或反射变换），其使用格式为 varimax(x,normalize=TRUE,eps=1e-5)
varimax() 函数的返回值为一个列表，有： loadings 表示旋转后的因子载荷矩阵， rotmat表示旋转矩阵。
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3.promax函数
在计算中，有时需要做斜交变换，得到的旋转矩阵允许彼此相关。promax()函数就 是完成一种斜交变换的方法，其使用格式为 pormax(x,m=4) promax()函数的返回值与varimax()函数相同，只是得到rotmat(旋转矩阵)，即矩阵T， 不再是正交阵，(T^TT)^(-1)为旋转因子的相关矩阵。


U=a1X1+a2X2+……+apXp, V=b1Y1+b2Y2+……+bqYq, 于是将两组变量的线性相关问题转化成研究两个变量的相 关性问题，并且可以适当的调整相应的系数a,b,使得变量U和V 的相关性达到最大，称这种相关为典型相关，基于这种原则的 分析方法称为典型相关分析。


7.6.1典型相关分析的数学模型

7.6.2典型相关分析的计算

在R中，cancor()函数完成典型相关分析的计算，其使用格式为 cancor(x,y,xcenter=TURE,ycenter=TURE)
参数 x,y 为两个随机变量样本构成的矩阵， xcenter,ycenter 为逻辑变量， 取TURE(默 认值)表示将数据中心化。

演讲者：王彤


因子分析是主成分分析的推广和发展，它也是多元统计分析中降维 的一种方法，是一种用来分析隐藏在表面现象背后的因子作用的一类统 计模型。因子分析是研究相关阵或协方差阵的内部依赖关系，它将多个 变量综合为少数几个因子，以再现原始变量与因子之间的相关关系。

因子分析起源于 20世纪初， K.Pearson 和 C.Spearman 等学者为定 义和测定智力所作的统计分析。目前因子分析在心理学、社会学、经济 学等学科取得了成功的应用。

解：读数据（数据放在数据文件employ.dat中），再调用factanal()函数进行因子分 析。

例7.23

（继例7.22）假如公司计划录用 6名最优秀的申请者，公司将如何挑选 这些应聘者？ 解： 简单的做法是计算每位申请者的总得分，按分数由高向低录取。 但这种做法并不是最合适的，应该根据不同部分的需要按照公共因子的 得分来录取。 计算因子得分