深度学习入门数学基础之线性代数篇

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线性代数在深度学习中的应用

线性代数在深度学习中的应用章节一：引言随着人工智能的发展，深度学习已成为目前最受欢迎的机器学习技术之一。

深度学习可以通过大规模的数据集和多层的神经网络来学习复杂的模型。

而线性代数则是深度学习的核心基础，深度学习中的许多算法都依赖于矩阵和向量的代数运算。

线性代数能够使神经网络更有效地学习和推理，从而实现更准确的预测和决策。

本文将探讨线性代数在深度学习中的应用。

章节二：向量和矩阵在深度学习中，向量和矩阵是常见的数据结构。

向量通常用于表示单个输入或输出，而矩阵通常用于表示输入数据的批量。

向量和矩阵的运算在深度学习中非常常见，例如加法、减法、乘法和除法等。

这些基本的向量和矩阵运算可以用线性代数来表示，线性代数提供了一种简单而强大的方法来描述和操作向量和矩阵。

向量和矩阵在深度学习中的应用非常广泛。

例如，在卷积神经网络中，滤波器是通过将一个二维矩阵应用于输入图像来计算的。

在循环神经网络中，隐藏状态可以表示为一个向量。

在多层感知器中，输入向量被映射到输出向量。

章节三：线性回归线性回归是深度学习中最简单和最常用的模型之一。

它的目的是寻找输入和输出之间的线性关系。

通过拟合输入和输出之间的线性方程，可以预测新的输出值。

线性回归可以用矩阵和向量代数来描述。

在单变量线性回归中，输入和输出都是一维向量，而在多变量线性回归中，输入和输出都是多维向量。

线性回归可以通过手动实现或使用现有的开源库来实现。

许多深度学习框架（如TensorFlow和PyTorch）都包含线性回归和相关工具。

这些框架的优势是可以加速计算和优化，同时还提供了许多高级特性，如自动微分和分布式训练。

章节四：矩阵分解矩阵分解是另一个常见的线性代数技术，在深度学习中应用广泛。

矩阵分解旨在将一个大型矩阵分解为小型矩阵，通常是两个或三个矩阵的乘积。

这种分解有助于减少计算量和存储开销，同时可以提高运行速度和准确性。

在深度学习中，最常见的矩阵分解技术是奇异值分解（SVD）和QR分解。

线性代数知识点全归纳

线性代数知识点全归纳线性代数是数学的一个重要分支，研究向量空间及其上的线性映射。

它广泛应用于物理、工程、计算机科学等领域。

下面将对线性代数的主要知识点进行全面归纳。

1.矩阵及其运算：矩阵是线性代数的基本概念之一，由若干行和列组成的方阵。

常见的矩阵运算有加法、减法、数乘、矩阵乘法和转置等。

2.向量及其运算：向量是一个有序数组，具有大小和方向。

常见的向量运算有加法、减法、数乘、点乘和叉乘等。

3.线性方程组：线性方程组是线性代数的核心内容之一、包括齐次线性方程组和非齐次线性方程组。

解线性方程组的方法有高斯消元法、克莱姆法则和矩阵求逆等。

4.向量空间与线性变换：向量空间是线性代数的基本概念之一，包含零向量、加法和数乘运算。

线性变换是一种保持向量空间结构的映射。

5.基与维度：基是向量空间的一组线性无关向量，可以由基线性组合得到向量空间中的任意向量。

维度是向量空间中基的数量。

6.线性相关与线性无关：向量组中的向量线性相关指存在非零的线性组合，其系数不全为零。

如果向量组中的向量线性无关，则任何线性组合的系数都为零。

7.线性变换与矩阵：线性变换可以用矩阵表示，矩阵的列向量表示线性变换作用于基向量上后的结果。

矩阵乘法可以将多个线性变换组合为一个线性变换。

8.特征值与特征向量：对于一个线性变换，如果存在一个非零向量，使得它在该线性变换下只发生伸缩而不发生旋转，那么这个向量称为该线性变换的特征向量，对应的伸缩比例为特征值。

9.二次型与正定矩阵：二次型是线性代数中的重要概念，是一个关于变量的二次函数。

正定矩阵是指二次型在所有非零向量上的取值都大于零。

10.内积与正交性：内积是向量空间中的一种运算，它满足线性性、对称性和正定性。

正交性是指两个向量的内积为零，表示两个向量互相垂直。

11.正交变换与正交矩阵：正交变换是指保持向量长度和向量之间夹角的变换。

正交矩阵是一种特殊的方阵，它的行向量和列向量两两正交，并且长度为112.奇异值分解与特征值分解：奇异值分解将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积，其中一个是正交矩阵，另外两个是对角矩阵。

线性代数在深度学习中的应用研究

线性代数在深度学习中的应用研究第一章简介线性代数作为一门数学基础课，是现代数学的一个重要分支，线性代数的基本思想和方法在很多自然科学和工程学科中都有广泛的应用。

深度学习是机器学习的一种方法，是通过构建神经网络实现对数据的学习和处理。

本文将分析线性代数在深度学习中的应用研究。

第二章神经网络的数学基础神经网络是一个输入输出关系的模型，用于解决分类、回归、聚类等问题。

在神经网络中，每个节点的输入是所连接节点的输出，这种关系可以由矩阵乘法和非线性函数实现。

因此，矩阵乘法是神经网络的核心操作，而线性代数的基础知识对于理解矩阵乘法和神经网络的结构至关重要。

第三章线性代数在深度学习中的应用3.1 矩阵乘法矩阵乘法是神经网络中最基础和最重要的运算之一。

在神经网络的训练过程中，我们需要将输入数据通过神经网络前向传递、反向传递，并更新网络的权重。

矩阵乘法就是实现这些操作的基础。

3.2 矩阵分解矩阵分解是将一个矩阵拆分成多个矩阵的乘积的过程。

矩阵分解在深度学习中有广泛的应用，如奇异值分解、QR分解等。

其中，奇异值分解可以用于降维和数据压缩，QR分解可以用于减少矩阵求逆所需的计算量。

3.3 矩阵求逆矩阵的逆是实现神经网络训练中反向传递时必要的操作。

矩阵逆的求解是一个比较耗时的过程，而如果数据集很大，这个过程会变得非常复杂。

因此，研究如何高效地求解矩阵逆是深度学习中的一个重要问题。

3.4 特征值和特征向量特征值和特征向量是矩阵分析中的基础概念，可用于对数据进行降维、聚类和分类等操作。

在深度学习中，特征值和特征向量可以用于对神经网络的权重进行分析和优化。

第四章案例分析4.1 手写数字识别手写数字识别是计算机视觉中一个重要的问题。

在深度学习中，使用卷积神经网络结合线性代数知识可以实现对手写数字的快速识别。

4.2 小麦病害检测小麦病害检测是农业中的一个重要问题。

利用深度学习技术实现对小麦图像的分类和识别，在现代农业中有着广泛的应用。

线性代数基础知识

线性代数基础知识导言：线性代数是现代数学的重要分支之一，广泛应用于数学、物理、工程、计算机科学等领域。

本文将介绍线性代数的基本概念、运算规律和应用，以帮助读者建立对线性代数的基础知识。

一、向量与向量空间1.1 向量的定义与性质向量是具有大小和方向的量，可以用有序数对或矩阵形式表示。

向量的加法与数量乘法满足交换律、结合律和分配律等基本性质。

1.2 向量空间的定义与性质向量空间是由一组向量和运算规则构成的数学结构，包括加法和数量乘法运算。

向量空间满足加法和数量乘法的封闭性、结合律、分配律以及零向量和负向量的存在等性质。

二、矩阵与线性方程组2.1 矩阵的定义与性质矩阵是由一组数按照矩形排列组成的数学对象，可以表示为一个二维数组。

矩阵的加法与数量乘法满足交换律、结合律和分配律等基本性质。

2.2 线性方程组的表示与求解线性方程组可以用矩阵和向量表示，形式为Ax=b。

其中，A为系数矩阵，x为未知向量，b为常数向量。

线性方程组的解可以通过消元法、矩阵的逆或行列式等方法求得。

三、线性变换与特征值特征向量3.1 线性变换的定义与性质线性变换是指一个向量空间到另一个向量空间的映射，保持向量加法和数量乘法运算。

线性变换满足加法封闭性、乘法封闭性和保持零向量不变等性质。

3.2 特征值与特征向量线性变换的特征值和特征向量是线性变换的重要性质。

特征值为标量，特征向量为非零向量，满足Av=λv。

其中，A为线性变换的矩阵表示，λ为特征值，v为对应的特征向量。

四、内积空间与正交性4.1 内积空间的定义与性质内积空间是一个向量空间，具有额外定义的内积运算。

内积满足对称性、线性性、正定性和共轭对称性等性质。

4.2 正交性与正交基在内积空间中，若两个向量的内积为零，则它们互为正交。

正交基是一个向量空间中的基，其中任意两个基向量互相正交。

五、特殊矩阵与特殊向量5.1 对称矩阵与正定矩阵对称矩阵是满足A^T=A的矩阵，其中A^T为A的转置矩阵。

深度学习方法的数学基础

深度学习方法的数学基础深度学习近年来受到越来越多的关注，它在图像识别、语音识别、自然语言处理等领域取得了很好的成果。

深度学习算法的发展，离不开数学基础的支撑。

本文将从数学角度来探讨深度学习方法的数学基础。

1. 线性代数深度学习中的神经网络是由若干个层次组成的，每个层次由若干个神经元组成。

神经元之间的联系形成了一个网络，图像、语音等数据也通过这个网络进行处理。

在深度学习中，神经网络是通过矩阵计算实现的，因此线性代数是深度学习的重要基础。

在神经网络中，每个神经元都有一个权重，它决定了该神经元对输入数据的贡献。

神经元会对输入数据进行加权求和，然后通过激活函数得到输出。

这个过程可以看作是一个矩阵乘法的过程。

因此，矩阵乘积是深度学习中的重要数学基础。

在深度学习中，常用的优化算法如梯度下降法也涉及到了线性代数。

在优化过程中，需要求出参数的梯度，这个过程也可以通过矩阵计算来实现。

因此，矩阵求导也是深度学习中的基础数学。

2. 概率论概率论是深度学习中的另一个重要基础，它为深度学习提供了统计学的理论基础。

在深度学习中，很多问题都可以归结为概率分布的问题。

例如，有一个分类问题，需要将一张图像分类成不同的类别。

可以使用概率分布来描述每个类别的概率。

给定一张图像，可以计算出属于每个类别的概率，然后选择概率最大的类别作为分类结果。

在深度学习中，还需要解决很多其他的问题，比如说回归问题、聚类问题等等，这些问题都可以通过概率论来描述。

3. 微积分微积分是进一步探索深度学习算法的重要基础，它提供了梯度、偏导数等数学工具。

在深度学习中，很多算法都需要对函数求导数。

例如，在反向传播算法中，需要对代价函数求导数，从而更新神经网络的参数。

而神经网络的参数又决定了每个神经元的输出。

因此，在深度学习中，求导数是一个非常重要的问题。

4. 数值计算数值计算是深度学习中的一个重要组成部分，它涉及到了很多数值计算技术。

在深度学习中，很多算法都需要迭代求解，例如梯度下降法等。

线性代数基础

线性代数基础线性代数是数学的一个分支，它研究包括向量空间在内的线性相关概念。

线性代数广泛应用于各个领域，如物理学、工程学、计算机科学以及经济学等。

在本文中，我们将介绍线性代数的基础概念和应用。

1. 向量和向量空间在线性代数中，向量是指具有大小和方向的量。

我们通常表示向量为箭头，其长度表示向量大小，方向表示向量的方向。

一个向量可以在坐标系中表示，坐标系是由基向量组成的。

任意一个向量都可以通过基向量的线性组合来表示。

向量空间是一个包含向量的集合，它满足一定的条件，包括加法和数乘运算。

向量空间包括了所有可以用基向量表示的向量，例如二维平面上的向量空间可以由两个基向量来表示。

2. 矩阵和矩阵运算矩阵是一个由数值组成的矩形数组。

一个矩阵可以表示为一个$m\times n$的矩阵，其中$m$表示矩阵的行数，$n$表示矩阵的列数。

矩阵和向量之间可以进行乘法运算。

向量和矩阵的乘法及矩阵和矩阵的乘法分别称为矩阵向量乘积和矩阵乘积。

矩阵乘积是矩阵运算中最基本也是最重要的运算之一，有着广泛的应用。

3. 线性方程组线性方程组是形如$a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + ... + a_{1n}x_n =b_1$的方程组，其中$x_1,x_2,...,x_n$是未知数，$a_{11},a_{12},...,a_{1n},b_1$是已知数。

线性方程组的解是指满足所有方程的解，可以用行列式、矩阵、向量等方式表示。

4. 特征值和特征向量在矩阵中，特征向量是指任意非零向量$V$，当被某个矩阵$A$线性变换时，$V$仅被缩放而不改变方向。

特征值是指对于某个矩阵$A$的特定向量，通过线性变换后与原向量方向相同但长度发生改变的倍数。

特征向量和特征值有着广泛的应用。

例如，在图像处理中，特征向量和特征值可以用于图像压缩和模式识别。

5. 应用案例线性代数的应用非常广泛。

下面我们列举一些实际应用案例。

(1)平面几何。

向量通常用于二维平面上的几何中，例如用于描述线段的位置和方向。

线性代数学习方法

线性代数学习方法（实用版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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高等数学中的线性代数初步讲解

高等数学中的线性代数初步讲解近几年，线性代数已成为高等数学课程中必修的一门学科。

与其他数学分支不同，线性代数在实际生活中占据着重要的角色。

它不仅是数学基础中的重要组成部分，也在计算机科学、化学、物理学、社会科学、经济学等各个领域得到了广泛应用。

本文旨在初步讲解高等数学中的线性代数内容，帮助读者更好地理解这一学科。

一、向量和矩阵线性代数以向量和矩阵为其基本的概念。

向量简单的理解就是有方向的线段。

我们可以使用坐标来描述每个向量的位置。

假设在平面直角坐标系中有两个向量，分别表示为向量$u$和向量$v$，那么它们的坐标表示分别是:$u = (u_1, u_2), v = (v_1, v_2)$两个向量的和是它们的坐标分别相加:$u + v = (u_1 + v_1, u_2 + v_2)$与此同时，矩阵也是线性代数中的重要概念。

矩阵是一个由数值排列成的矩阵。

例如下面的2x2的矩阵:$\begin{bmatrix}1 & 2 \\3 & 4\end{bmatrix}$矩阵的上下文语境是重要的，它可以表示线性映射、方程组、向量空间等概念。

二、线性变换和线性方程组线性变换是指一种将每个向量映射到另一个向量的映射方法。

它是一种线性的映射方法，遵循以下原则：（1）变换不改变向量的零长度；（2）变换不改变两向量之间的距离或角度；（3）变换不改变向量的方向。

线性变化有一个特殊的矩阵形式，称之为变换矩阵，利用这个矩阵可以表示线性变化。

例如，下面的矩阵：$\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 0\end{bmatrix}$其中零在最后一行最后一个位置上。

这个变换矩阵表示将三维空间中的向量映射到二维空间中。

线性方程组在实际应用中也非常广泛。

我们可以使用矩阵和向量表示线性方程组。

例如，下面的二元一次方程：$ax + by = c \\dx + ey = f$可以表达为如下矩阵形式：$\begin{bmatrix}a & b \\d & e\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}c \\f\end{bmatrix}$当然，这样表示的优势不仅仅在于简化表达，也在于简化解决问题的方法。

线性代数

九章算术线性代数作为一个独立的分支在20世纪才形成，然而它的历史却非常久远。“鸡兔同笼”问题实际上就是一个简单的线性方程组求解的问题。最古老的线性问题是线性方程组的解法，在中国古代的数学著作《九章算术·方程》章中，已经作了比较完整的叙述，其中所述方法实质上相当于现代的对方程组的增广矩阵的行施行初等变换，消去未知量的方法。
凯莱矩阵论始于凯莱，在十九世纪下半叶，因若当的工作而达到了它的顶点。1888年，皮亚诺以公理的方式定义了有限维或无限维线性空间。托普利茨将线性代数的主要定理推广到任意体（domain）上的最一般的向量空间中。线性映射的概念在大多数情况下能够摆脱矩阵计算而不依赖于基的选择。
学术地位
线性代数在数学、物理学和技术学科中有各种重要应用，因而它在各种代数分支中占居首要地位。在计算机广泛应用的今天，计算机图形学、计算机辅助设计、密码学、虚拟现实等技术无不以线性代数为其理论和算法基础的一部分。线性代数所体现的几何观念与代数方法之间的联系，从具体概念抽象出来的公理化方法以及严谨的逻辑推证、巧妙的归纳综合等，对于强化人们的数学训练，增益科学智能是非常有用的。随着科学的发展，我们不仅要研究单个变量之间的关系，还要进一步研究多个变量之间的关系，各种实际问题在大多数情况下可以线性化，而由于计算机的发展，线性化了的问题又可以被计算出来，线性代数正是解决这些问题的有力工具。线性代数的计算方法也是计算数学里一个很重要的内容。
所谓“线性”，指的就是如下的数学关系：。其中，f叫线性算子或线性映射。所谓“代数”，指的就是用符号代替元素和运算，也就是说：我们不关心上面的x，y是实数还是函数，也不关心f是多项式还是微分，我们统一把他们都抽象成一个记号，或是一类矩阵。合在一起，线性代数研究的就是：满足线性关系的线性算子f都有哪几类，以及他们分别都有什么性质。

线性代数入门

线性代数入门线性代数是数学的一个分支，主要研究向量空间（或称线性空间）及其变换。

它广泛应用于科学、工程、计算机科学等领域，是现代科技不可或缺的数学工具。

本文档旨在为初学者提供线性代数的基础知识入门，帮助理解其基本概念和运算规则。

向量与向量空间在线性代数中，向量是一个基本概念。

一个向量可以视为在n维空间中的一个点，由一组有序的数构成，这些数称为向量的分量。

例如，二维空间中的点(x, y)可以表示为向量[x, y]。

向量空间则是所有向量的集合，满足某些特定的运算规则，如加法和标量乘法。

矩阵与矩阵运算矩阵是线性代数中另一个核心概念，它是一个由数字排成的矩形阵列。

矩阵可以用来表示线性变换，即一种将向量空间中的每个向量映射到另一个向量的规则。

基本的矩阵运算包括矩阵加法、矩阵乘法以及矩阵与向量之间的乘法。

行列式与逆矩阵行列式是与方阵相关的一个标量值，它在解线性方程组、计算矩阵的可逆性等方面有重要作用。

一个方阵如果其行列式非零，则这个矩阵是可逆的，存在一个逆矩阵使得原矩阵与其逆矩阵相乘得到单位矩阵。

线性方程组与解的结构线性方程组是由若干线性方程构成的集合，形式上通常写作Ax = b，其中A是系数矩阵，x是未知向量，b是常数向量。

解线性方程组是线性代数的一个重要应用，涉及到求解未知向量x的值。

根据系数矩阵的性质，解可以是唯一的，也可以是无解，或者是无数多个解。

特征值与特征向量特征值和特征向量是描述线性变换特性的重要工具。

一个矩阵的特征值是满足方程Av = λv的标量λ，其中v是非零向量，称为特征向量。

特征值和特征向量可以帮助我们理解矩阵表示的变换的本质。

总结来说，线性代数提供了一套强大的工具来处理与向量空间及其变换相关的问题。

通过学习向量、矩阵、行列式、线性方程组以及特征值等概念，我们可以更好地理解和解决实际问题。

希望本文能够为初学者提供一个清晰的线性代数入门路径，并激发进一步学习的兴趣。

线性代数主要知识点

《线性代数》的主要知识点第一部分行列式概念：1． n 阶行列式展开式的特点：①共有n!项，正负各半；②每项有n 个元素相乘，且覆盖所有的行与列；③每一项的符号为（列）行）ττ+-()1(2．元素的余子式以及代数余子式 ij ji ij M )1(A +-=3．行列式的性质计算方法：1．对角线法则2．行列式的按行（列）展开 (另有异乘变零定理)第二部分矩阵1．矩阵的乘积注意：①不满足交换率（一般情况下B A A B ≠）②不满足消去率（由AB=AC 不能得出B=C ）③由AB=0不能得出A=0或B=0④若AB=BA ，则称A 与B 是可换矩阵2．矩阵的转置满足的法则：T T T B A )B A (+=+，T T T T T A B AB kA kA ==)(,)(3．矩阵的多项式设nn x a x a a x +++= 10)(ϕ，A 为n 阶方阵，则n n A a A a E a A +++= 10)(ϕ称为A 的n 次多项式。

对与对角矩阵有关的多项式有结论如下：（1）如果 1-Λ=P P A ，则nn A a A a E a A +++= 10)(ϕ11110---Λ++Λ+=P Pa P Pa EP Pa nn = 1)(-ΛP P ϕ（2）若),,(21n a a a diag =Λ，则))(),(),(()(21n a a a diag ϕϕϕϕ =Λ4．逆矩阵：n 阶矩阵A,B ，若E BA AB ==，则A,B 互为逆矩阵。

n 阶矩阵A 可逆0A ≠⇔；n A r =⇔)( （或表示为n A R =)(）即A 为满秩矩阵；⇔A 与E 等价；⇔A 可以表示成若干个初等矩阵的乘积；⇔A 的列（行）向量组线性无关；⇔A 的所有的特征值均不等于零求法：①伴随矩阵法：*11A AA ⋅=- ②初等变换法：()()1,,-−−−→−A E E A 初等行变换或⎪⎪⎭⎫⎝⎛−−−→−⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1A E E A 初等列变换， E 是单位矩阵性质：（1）矩阵A 可逆，则A 的逆矩阵是唯一的（2）设A 是n 阶矩阵，则有下列结论 ①若A 可逆，则1-A 也可逆，且A A =--11)( ②若A 可逆，则T A 也可逆，且T T A A )()(11--=③若A 可逆，数0≠k ，则kA 可逆，且111)(--=A kkA ④若B A .为同阶矩阵且均可逆，则B A .也可逆，且111)(---=A B AB5．方阵A 的行列式：满足下述运算规律（设B A ,为n 阶方阵，λ为数） ①A A T = ②A A n λλ= ③B A AB =6．伴随矩阵：行列式A 的各个元素的代数余子式ij A 所构成的如下的矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n n n A A A A A A A A A A 212221212111*，称为矩阵A 的伴随矩阵（注意行与列的标记的不同）伴随矩阵具有性质：E A A A AA ==** 常见的公式有：①1*-=n A A ②1*-⋅=A A A ③A AA 1)(1*=- ④=-1*)(A *1)(-A 等 7．初等矩阵：由单位矩阵E 经过一次初等变换后所得的矩阵称为初等矩阵。

深度学习课件-第2讲：深度学习基础

=
1
exp
2 2
1
− 2
2
−
2
由精度参数化（Parametrized by precision）:

; , −1

=

exp
2
1
−
2
−
2
高斯分布
多元高斯分布
由协方差矩阵参数化（Parametrized by covariance
matrix）:
1
exp
(2) det(σ)
摩尔-彭若斯广义逆
+
=
• 方程组解的情况包括:
― 仅有一个解：此时摩尔-彭若斯广义逆矩阵与逆矩阵相
同
― 无解：此时会给出解的最小误差 −
― 多个解：此时会给出范数最小的解
2
迹（Trace）
= ෍ ,
矩阵的迹的性质：

+ = +
自信息:
= −log ()
信息熵:
H = ~
= ~ log ()
KL散度:

∥ = ~

= ~ − ()
KL散度是不对称的
∗ = ∥
∗ = ∥
1979 – deep neocognitron, convolution, Fukushima
1987 – autoencoder, Ballard
1989 – convolutional neural networks (CNN), Lecun
1991 – deep recurrent neural networks (RNN), Schmidhuber

线性代数ppt课件

VS
线性代数的特点
线性代数具有抽象性、实用性、广泛性等特点，是数学中重要的分支之一。
线性代数的历史背景
线性代数的起源
线性代数起源于17世纪，主要目的是为了解决线性方程组的问题。
线性代数的发展
随着数学的发展，线性代数逐渐成为一门独立的数学分支，并在20世纪得到了广泛的应用和发展。
线性代数的应用领域
转置矩阵
一个矩阵A的转置矩阵是满足$A^T_{ij}=A_{ ji}$的矩阵
行列式与高斯消元
03
法
行列式的定义及性质
总结词
行列式是线性代数中重要的工具之一，它具有特殊的性质和计算规则。
详细描述
行列式是由一组方阵中的元素按照一定规则组成的，它是一个方阵是否可逆的判断标准，同时也有一些重要的性质和计算规则，如交换两行或两列、对角线上的元素相乘等。了解行列式的定义和性质是学习线性代数的基础。
矩阵的运算规则
加法
两个相同大小的矩阵，对应位置的元素相加
数乘
用一个数乘以矩阵的每一个元素
减法
两个相同大小的矩阵，对应位置的元素相减
乘法
要求两个矩阵满足乘法运算的规则，即第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数
矩阵的逆与转置
逆矩阵
一个矩阵A的逆矩阵是满足$AA^{-1}=I$的矩阵，其中$I$是单位矩阵
高斯消元法的原理
总结词
高斯消元法是一种解线性方程组的直接方法，其原理是将方程组转化为阶梯形矩阵。
详细描述
高斯消元法的基本思想是通过一系列的行变换将线性方程组转化为阶梯形矩阵，这样就可以直接求解方程组。高斯消元法包括三种基本的行变换：将两行互换、将一行乘以非零常数、将一行加上另一行的若干倍。通过这些行变换，我们可以将矩阵转化为阶梯形矩阵，从而求解方程组。

线性代数的心得体会(优秀5篇)

线性代数的心得体会(优秀5篇)线性代数的心得体会篇1线性代数是一门研究线性方程组、向量空间、矩阵等概念的数学分支，它是现代数学的基础，同时也在科学、工程、计算机科学等领域中有广泛应用。

在我学习线性代数的过程当中，我不仅收获了知识，更深入地理解了数学的本质和它在各个领域的重要性。

首先，线性代数的学习过程让我深刻地理解了数学符号和公式的力量。

线性代数中的符号和公式虽然简洁，但却具有强大的表达能力。

通过这些符号和公式，我们可以准确地描述和解决问题，从而更好地理解数学的本质。

其次，线性代数的学习过程也让我体验到了数学思维的乐趣。

在学习过程中，我逐渐养成了用数学思维去解决问题的习惯。

通过抽象、归纳、推理等数学思维方法，我能够更准确地理解问题，并找到有效的解决方法。

再者，我了解到线性代数在各个领域的应用价值。

在科学、工程、计算机科学等领域中，线性代数是必不可少的数学工具。

通过学习线性代数，我能够更好地理解实际问题，找到合适的解决方法，并在实际应用中取得成功。

最后，我认为在学习线性代数的过程中，要注重理解和应用。

只有真正理解了线性代数的概念和公式，才能在实际问题中灵活应用。

此外，我们还需要注重练习，通过大量的习题训练，提高自己的解题能力。

总之，学习线性代数是一个不断积累知识和提高自己的过程。

在这个过程中，我收获了知识、提高了解决问题的能力，也更好地理解了数学的本质和它在各个领域的重要性。

我相信，通过不断的学习和探索，我会在数学领域中取得更大的进步。

线性代数的心得体会篇2线性代数是一门非常重要的数学分支，它为解决许多实际问题提供了有力的工具。

在这篇*中，我将分享我的心得体会，包括学习线性代数的过程、对我产生影响的关键点和所学到的教训。

1.学习背景和过程我开始学习线性代数的原因是我对计算机科学和数据科学感兴趣。

在我开始接触线性代数之前，我学习了大量的基础数学知识，如微积分、线性方程组、几何学等。

这些知识为理解线性代数提供了坚实的基础。

线性代数入门

线性代数入门线性代数是数学的一个重要分支，主要研究向量空间、线性映射以及这些概念的推广。

它广泛应用于科学和工程领域，包括计算机科学、物理学、工程学、经济学等。

本文旨在为初学者提供线性代数的基础概念和入门知识。

基本概念在线性代数中，向量是一个基本的概念。

一个向量可以视为在多维空间中的一个点，或者从原点指向该点的箭头。

向量通常用括号包围的数字序列表示，如( \mathbf{v} = (1, 2, 3) )。

矩阵矩阵是一个由数字组成的矩形阵列，可以用于表示线性方程组的系数。

例如，一个简单的2x2矩阵可以写作：[ A = \begin{bmatrix} a & b \ c & d \end{bmatrix} ]其中，( a, b, c, d )是矩阵的元素。

行列式行列式是一个将方阵映射到实数的函数，它在解决线性方程组和计算矩阵的逆等问题中扮演着重要角色。

对于一个2x2矩阵( A = \begin{bmatrix} a & b \ c & d \end{bmatrix} )，其行列式定义为：[ \text{det}(A) = ad - bc ]线性方程组线性方程组是由多个线性方程构成的集合。

例如，下面的系统：[ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} ]可以通过矩阵和向量的形式重新写为( A\mathbf{x} = \mathbf{b} )，其中( A )是系数矩阵，( \mathbf{x} )是未知向量，( \mathbf{b} )是常数向量。

向量空间向量空间是一个数学结构，它允许我们对向量进行加法和标量乘法操作。

例如，欧几里得空间( \mathbb{R}^n )就是一个典型的向量空间。

线性变换线性变换是向量空间到自身的一种特殊映射，它保持了向量加法和标量乘法的结构。

线性变换可以用矩阵表示，而矩阵的乘法对应于变换的组合。

(完整版)线性代数知识点全归纳

1线性代数知识点1、行列式1.n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式；2. 代数余子式的性质：①、ij A 和ij a 的大小无关；②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3.代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ijij ijM A A M ++=-=-4. 设n 行列式D ：将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)21(1)n n D D -=-；将D 顺时针或逆时针旋转90，所得行列式为2D ，则(1)22(1)n n D D -=-；将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =；将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =；5. 行列式的重要公式：①、主对角行列式：主对角元素的乘积；②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2(1)n n -⨯ -；③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2(1)n n -⨯ -；⑤、拉普拉斯展开式：A O A C AB CB O B==、(1)m n CA OA AB B OB C==-⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值；6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)nnk n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式；7. 证明0A =的方法：①、A A =-； ②、反证法；③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值；22、矩阵1.A 是n 阶可逆矩阵：⇔0A ≠（是非奇异矩阵）； ⇔()r A n =（是满秩矩阵） ⇔A 的行（列）向量组线性无关； ⇔齐次方程组0Ax =有非零解； ⇔n b R ∀∈，Ax b =总有唯一解；⇔A 与E 等价；⇔A 可表示成若干个初等矩阵的乘积； ⇔A 的特征值全不为0； ⇔T A A 是正定矩阵；⇔A 的行（列）向量组是n R 的一组基； ⇔A 是n R 中某两组基的过渡矩阵；2. 对于n 阶矩阵A ：**AA A A A E == 无条件恒成立；3.1**111**()()()()()()T T T T A A A A A A ----===***111()()()T T T AB B A AB B A AB B A ---===4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均A 、B 可逆：若12s A A A A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则： Ⅰ、12s A A A A =；Ⅱ、111121s A A A A ----⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； ②、111A O A O O B OB ---⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（主对角分块） ③、111O A O B B O A O ---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（副对角分块） ④、11111A C A A CB O B OB -----⎛⎫-⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（拉普拉斯） ⑤、11111A O A O C B B CAB -----⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭；（拉普拉斯）33、矩阵的初等变换与线性方程组1. 一个m n ⨯矩阵A ，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：rm nEO F OO ⨯⎛⎫= ⎪⎝⎭；等价类：所有与A 等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；对于同型矩阵A 、B ，若()()r A r B A B = ⇔ ；2. 行最简形矩阵：①、只能通过初等行变换获得；②、每行首个非0元素必须为1；③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；3. 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）①、若(,)(,)rA E E X ，则A 可逆，且1X A -=；②、对矩阵(,)A B 做初等行变化，当A 变为E 时，B 就变成1A B -，即：1(,)(,)cA B E A B - ~ ；③、求解线形方程组：对于n 个未知数n 个方程Ax b =，如果(,)(,)rA b E x ，则A 可逆，且1x A b -=；4. 初等矩阵和对角矩阵的概念：①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；②、12n ⎛⎫⎪⎪Λ= ⎪ ⎪⎝⎭λλλ，左乘矩阵A ，i λ乘A 的各行元素；右乘，iλ乘A 的各列元素；③、对调两行或两列，符号(,)E i j ，且1(,)(,)E i j E i j -=，例如：1111111-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；④、倍乘某行或某列，符号(())E i k ，且11(())(())E i k E i k-=，例如：1111(0)11kk k -⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪=≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ⑤、倍加某行或某列，符号(())E ij k ,且1(())(())E ij k E ij k -=-，如：11111(0)11k k k --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；5. 矩阵秩的基本性质：①、0()min(,)m n r A m n ⨯≤≤；②、()()T r A r A =； ③、若AB ，则()()r A r B =；④、若P 、Q 可逆，则()()()()r A r PA r AQ r PAQ ===；（可逆矩阵不影响矩阵的秩） ⑤、max((),())(,)()()r A r B r A B r A r B ≤≤+；（※） ⑥、()()()r A B r A r B +≤+；（※） ⑦、()min((),())r AB r A r B ≤；（※）4⑧、如果A 是m n ⨯矩阵，B 是n s ⨯矩阵，且0AB =，则：（※） Ⅰ、B 的列向量全部是齐次方程组0AX =解（转置运算后的结论）；Ⅱ、()()r A r B n +≤⑨、若A 、B 均为n 阶方阵，则()()()r AB r A r B n ≥+-；6. 三种特殊矩阵的方幂：①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）⨯行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；②、型如101001a c b ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭的矩阵：利用二项展开式；二项展开式：01111110()nn n n m n m mn n n n m m n mn n n n n n m a b C a C a b C a b C a b C b C a b-----=+=++++++=∑；注：Ⅰ、()n a b +展开后有1n +项；Ⅱ、0(1)(1)!1123!()!--+====-m n n n n n n n m n C C C m m n mⅢ、组合的性质：111102---+-===+==∑nmn m mm m r nr r nnn n nnn n r C C CC CCrC nC ；③、利用特征值和相似对角化：7. 伴随矩阵：①、伴随矩阵的秩：*()()1()10()1n r A n r A r A n r A n = ⎧⎪==-⎨⎪<-⎩； ②、伴随矩阵的特征值：*1*(,)AAAX X A A A A X X λλλ- == ⇒ =；③、*1A A A -=、1*n A A-=8. 关于A 矩阵秩的描述：①、()r A n =，A 中有n 阶子式不为0，1n +阶子式全部为0；（两句话）②、()r A n <，A 中有n 阶子式全部为0； ③、()r A n ≥，A 中有n 阶子式不为0；9. 线性方程组：Ax b =，其中A 为m n ⨯矩阵，则：①、m 与方程的个数相同，即方程组Ax b =有m 个方程；②、n 与方程组得未知数个数相同，方程组Ax b =为n 元方程；10. 线性方程组Ax b =的求解：①、对增广矩阵B 进行初等行变换（只能使用初等行变换）；②、齐次解为对应齐次方程组的解； ③、特解：自由变量赋初值后求得；511. 由n 个未知数m 个方程的方程组构成n 元线性方程：①、11112211211222221122n n n n m m nm n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++= ⎧⎪+++= ⎪⎨⎪⎪+++=⎩； ②、1112111212222212n n m m mn m m a a a x b a a a x b Ax b a a a x b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪=⇔= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（向量方程，A 为m n ⨯矩阵，m 个方程，n 个未知数）③、()1212n n x x aa a x β⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭（全部按列分块，其中12n b b b β⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭）； ④、1122n n a x a x a x β+++=（线性表出）⑤、有解的充要条件：()(,)r A r A n β=≤（n 为未知数的个数或维数）4、向量组的线性相关性1.m 个n 维列向量所组成的向量组A ：12,,,m ααα构成n m ⨯矩阵12(,,,)m A =ααα；m 个n 维行向量所组成的向量组B ：12,,,T TTm βββ构成m n ⨯矩阵12T T T m B βββ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；2. ①、向量组的线性相关、无关 0Ax ⇔=有、无非零解；（齐次线性方程组）②、向量的线性表出 Ax b ⇔=是否有解；（线性方程组） ③、向量组的相互线性表示 AX B ⇔=是否有解；（矩阵方程）3. 矩阵m n A ⨯与l n B ⨯行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组0Ax =和0Bx =同解；(101P 例14)4.()()T r A A r A =；(101P 例15)5.n 维向量线性相关的几何意义：①、α线性相关⇔0α=； ②、,αβ线性相关 ⇔,αβ坐标成比例或共线（平行）；③、,,αβγ线性相关 ⇔,,αβγ共面；6. 线性相关与无关的两套定理：若12,,,s ααα线性相关，则121,,,,s s αααα+必线性相关；若12,,,s ααα线性无关，则121,,,s ααα-必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）若r 维向量组A 的每个向量上添上n r -个分量，构成n 维向量组B ：6若A 线性无关，则B 也线性无关；反之若B 线性相关，则A 也线性相关；（向量组的维数加加减减）简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；7. 向量组A （个数为r ）能由向量组B （个数为s ）线性表示，且A 线性无关，则r s ≤；向量组A 能由向量组B 线性表示，则()()r A r B ≤；向量组A 能由向量组B 线性表示AX B ⇔=有解； ()(,)r A r A B ⇔=向量组A 能由向量组B 等价()()(,)r A r B r A B ⇔ ==8. 方阵A 可逆⇔存在有限个初等矩阵12,,,l P P P ，使12l A P P P =；①、矩阵行等价：~rA B PA B ⇔=（左乘，P 可逆）0Ax ⇔=与0Bx =同解 ②、矩阵列等价：~cA B AQ B ⇔=（右乘，Q 可逆）； ③、矩阵等价：~A B PAQ B ⇔=（P 、Q 可逆）；9. 对于矩阵m n A ⨯与l n B ⨯：①、若A 与B 行等价，则A 与B 的行秩相等；②、若A 与B 行等价，则0Ax =与0Bx =同解，A 与B 的任何对应的列向量组有相同的线性相关性； ③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩； ④、矩阵A 的行秩等于列秩；10. 若m s s n m n A B C ⨯⨯⨯=，则：①、C 的列向量组能由A 的列向量组线性表示，B 为系数矩阵； ②、C 的行向量组能由B 的行向量组线性表示，T A 为系数矩阵；（转置）11. 齐次方程组0Bx =的解一定是0ABx =的解，【考试中可以直接作为定理使用，而无需证明】 ①、0ABx = 只有零解0Bx ⇒ =只有零解；②、0Bx = 有非零解0ABx ⇒ =一定存在非零解；12. 设向量组12:,,,n r r B b b b ⨯可由向量组12:,,,n s s A a a a ⨯线性表示为：1212(,,,)(,,,)r s b b b a a a K =（B AK =）其中K 为s r ⨯，且A 线性无关，则B 组线性无关()r K r ⇔=；（B 与K 的列向量组具有相同线性相关性）（必要性：()()(),(),()r r B r AK r K r K r r K r ==≤≤∴=；充分性：反证法）注：当r s =时，K 为方阵，可当作定理使用；13. ①、对矩阵m n A ⨯，存在n m Q ⨯，m AQ E = ()r A m ⇔=、Q 的列向量线性无关；②、对矩阵m n A ⨯，存在n m P ⨯，n PA E = ()r A n ⇔=、P 的行向量线性无关；14. 12,,,s ααα线性相关⇔存在一组不全为0的数12,,,s k k k ，使得11220s s k k k ααα+++=成立；（定义）⇔1212(,,,)0s s x xx ααα⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭有非零解，即0Ax =有非零解；⇔12(,,,)s r s ααα<，系数矩阵的秩小于未知数的个数；715. 设m n ⨯的矩阵A 的秩为r ，则n 元齐次线性方程组0Ax =的解集S 的秩为：()r S n r =-；16. 若*η为Ax b =的一个解，12,,,n r ξξξ-为0Ax =的一个基础解系，则*12,,,,n r ηξξξ-线性无关；5、相似矩阵和二次型1. 正交矩阵T A A E ⇔=或1T A A -=（定义），性质：①、A 的列向量都是单位向量，且两两正交，即1(,1,2,)0T i j i j a a i j n i j=⎧==⎨≠⎩；②、若A 为正交矩阵，则1T A A -=也为正交阵，且1A =±； ③、若A 、B 正交阵，则AB 也是正交阵；注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化；2. 施密特正交化：12(,,,)r a a a11b a =；1222111[,][,]b a b a b b b =-121121112211[,][,][,][,][,][,]r r r r r r r r r b a b a b a b a b b b b b b b b b ----=----;3. 对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交；4. ①、A 与B 等价 ⇔A 经过初等变换得到B ；⇔=PAQ B ，P 、Q 可逆； ()()⇔=r A r B ，A 、B 同型；②、A 与B 合同 ⇔=T C AC B ，其中可逆； ⇔T x Ax 与T x Bx 有相同的正、负惯性指数； ③、A 与B 相似 1-⇔=P AP B ；5. 相似一定合同、合同未必相似；若C 为正交矩阵，则T C AC B =⇒A B ，（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）；6. A 为对称阵，则A 为二次型矩阵；7.n 元二次型T x Ax 为正定：A ⇔的正惯性指数为n ；A ⇔与E 合同，即存在可逆矩阵C ，使T C AC E =； A ⇔的所有特征值均为正数；A ⇔的各阶顺序主子式均大于0；0,0ii a A ⇒>>；(必要条件)8第一章随机事件互斥对立加减功，条件独立乘除清；全概逆概百分比，二项分布是核心；必然事件随便用，选择先试不可能。

线性代数的基本概念

线性代数的基本概念线性代数是数学的一个重要分支，研究向量空间和线性变换等代数结构及其应用。

在许多领域，如物理学、计算机科学、经济学等，线性代数都扮演着重要的角色。

本文将介绍线性代数的基本概念，包括向量、矩阵、线性变换和特征值等内容。

1. 向量向量是线性代数中的基本概念之一。

向量可以表示具有大小和方向的量，常用于描述力、速度和位移等物理量。

在数学上，向量通常用一组有序数列来表示，如 (x1, x2, ..., xn)。

向量具有加法和数乘的运算规则。

向量加法指的是将两个向量的对应分量相加，数乘是将向量的每个分量乘以一个数。

这些运算满足交换律、结合律和分配律等性质。

2. 矩阵矩阵是由一组数排成的矩形阵列。

矩阵的大小由行数和列数决定。

例如，一个 m×n 的矩阵有 m 行 n 列。

矩阵可以表示线性方程组，用于求解多个变量之间的关系。

通过矩阵的运算，可以进行加法、数乘和乘法等操作。

矩阵乘法是将一个矩阵的每一行与另一个矩阵的每一列进行对应元素相乘，并将结果相加得到新矩阵的元素。

3. 线性变换线性变换是指一个向量空间到另一个向量空间的映射，保持向量加法和数乘运算。

线性变换可以用矩阵来表示。

设有一个线性变换 T，向量 v 和矩阵 A，则有 T(v) = Av，其中 A 是线性变换的矩阵表示。

线性变换具有许多重要的性质，如保持零向量不变、保持向量长度比例不变等。

线性变换还可以进行复合和逆运算，这样可以构成一个线性变换的代数结构。

4. 特征值和特征向量特征值和特征向量是线性代数中重要的概念，常用于描述线性变换的性质。

对于一个线性变换 T，若存在一个非零向量 v 和一个实数λ，使得T(v) = λv，则λ 是 T 的特征值，v 是对应的特征向量。

特征值和特征向量可以帮助我们理解线性变换对向量空间的影响。

特征值表示了变换的缩放比例，特征向量表示了在变换中不变的方向。

通过求解特征值和特征向量，可以对线性变换进行分析和应用。

人工智能中的数学基础之一(线性代数篇)

61人工智能中的数学基础之一（线性代数篇）人工智能技术是建立在数学模型之上，包含有许多数学基础知识，其中线性代数研究的是以向量和矩阵的形式来研究抽象化的万事万物的变化规律.来看两个问题：（1）特征值和特征向量的意义；（-）范数的意义.可以这样来描述向量和矩阵：向量x是n维线性空间中的静止点；线性变换描述了向量的变化，用矩阵A表示，则有y=Ax；向量y是其变换后的点.特征值和特征向量是满足（1）中的A和x（"0）"x=X（1）图1特征值和特征向量的意义,其中y="x=x其中"是n阶方阵x是非零向量•它所涵盖的意义就是如图1所示（以二维为例）：线性变换对某一向量（或某些向量）仅仅发生了伸缩变换,伸缩比例就是特征值•特征值和特征向量表达了一个线性变换的特征•特征向量之间是线性无关的，它们对应了最主要的变换方向.（注：大家下来可以用MATLAB语言体验一下矩阵的特征值和特征向量和其他向量的关系•）那么这样定义的特征值和特征向量有什么实际用途呢？我们来看一个主要应用，即采用PCA（主成分分析）方法来进行数据分析•假设我们有如图-所示的信息，它体现出了在不同系统中的表达方式，我们希望能找到其最主要的特征来描述它或近似描述它•这相当于用低维的特征来描述高维的物体.图-信息的不同体现由于数据从n维降到-维必然会有损失，我们的目的就是希望损失尽可能的小.那么如何让这k维的数据尽可能表示原来的数据呢？对于图-中的3来说，保留X1方向的信息，对于4来说，保留X-方向的信息，对于c来说，我们选择的应该是如图-（〃）所示的X方向，这个方向能最大的保留数据的特征•而这些方向恰恰是最大特征值对应的特征向量方向•依次递推，我们选择前k个最大特征值的方向作为我们选择的向量，数据在这些方向上的投影最能代表原来的数据特征.可见，特征值和特征向量不是凭空想出纯粹为数学表示而产生的数学名词•感兴趣的同学也可以关注微62信推文“3个搞物理的颠覆了数学常识”，据说北京大学徐树芳老师的关于矩阵计算的书中有此方法来计算特征向量.矩阵范数反映了线性映射把一个向量映射为另一个向量，向量的“长度”缩放的比例.矩阵的范数有各种定义，按照向量范数的定义方式，我们有71—,F—,8f—范数，为了保证对单位矩阵的度量为1的性质，又有了从向量范数导出的从属矩阵范数1—,2—,f—范数.由几何意义可知，矩阵的范数必然大于等于矩阵的谱半径P（A），且不同的矩阵范数是等价的.那么定义这么多的矩阵范数的意义在哪里？其主要目的是用于寻求一种简单的方法来度量经过变换的向量.例如数值计算中计算矩阵的算法中常常要判断算法的解是否收敛？这时最准确的方法是判断矩阵的最大特征值，但是矩阵的特征值的计算有时相当麻烦，为了简单的判断是否收敛，可以近似的用范数代替.虽然不够精确，但是方法很高效•05048!我们举个简单例子来说明这个问题.已知"=•■，我们想知道（"k,是否收敛.我们只需计算0.30.6]k-0||"||1—0.9,而p（"））||"||1）1,即可得到其矩阵级数是收敛的.再比如线性方程组解的误差分析时所采用的矩阵的条件数cond=||A||•||A T G，可以判别出解的稳定与否.矩阵范数的应用还在机器学习、模式识别方面有着广泛地应用.（西北工业大学数学与统计学院林伟）长安大学2019年学生培养教学成果——喜报在2018-2019学年的学生培养中，经过长安大学各位数学学院老师的努力，获得了喜人成果.在2019年陕西高校第十二次大学生高等数学竞赛中，长安大学获得特等奖的同学22人（孙建峰、陈光、刘园、尹奥奇、朱继超、陈淼、王孝宇、龚柯阳、贾宇飞、王子川、秦枭、宋洋、杨思源、焦岚馨、周彦冰、张浩、李海林、徐少杰、侯丽蓉、徐炎珂、张璐珂、李喜鹏），一等奖66人，二等奖133人.在2019高教社杯全国大学生数学建模竞赛中，长安大学获得国家一等奖3项（队员：杨润佳、李向东、杨晓萌，指导教师：任丽梅；队员：施洋、包一峰、钱兴邦，指导教师：杨淑云；队员：邓煜生、张辽、何思佳，指导教师：程晓皓），国家二等奖3项（队员：王燕翔、邓莹、黄菲雨，指导教师：王维琼；队员：孙建峰、刘盼、黄昕珂，指导教师:薛宏智；队员：赵森森、张元博、陈炳衡,指导教师：张萌）,陕西省一等奖21项,陕西省二等奖23项,另外,我校还获得优秀组织奖.（长安大学薛1智供稿）勘误2019年第5期第20页正数第11行：（1+z）"—1〜1z应该为（1+z）"—1〜3z.3非常感谢西北工业大学2019级的同学卢军汀来信订正.。