留数理论及其应用

Res f(z)= 1
z=p
1-pz
z=p
=
1
2
1-p
.
所以，由留数定理得
I=
1 i
·2πi·
1
2
1-p
=
2π
2
1-p
Σ 0≤
p
<1 Σ 3
乙 例 2 计算积分 I= π cosmx dx,m 为正整数. 0 5-4cosx
乙 1 f(z)dz(Γ:|z-a|=ρ,0<ρ<R)
2πi Γ
为 f(z)在点 a 的留数，记为Res f(z). z=a
定 理 1 f(z)在 周 线 C 所 范 围 的 区 域 D 内 ，除 a1,a2,…an 外 解 析 ，在
闭域D軍=D+C 上除 a1,a2,…an 外连续，则（“大范围”积分）1
解 命 z=eiθ，则 dθ= dz ,当 p≠0 时， iz
1-2pcosθ+p2=1-p(z+z-1)+p2= (z-p)(1-pz) . z
这样就有
乙 I= 1
dz .
i z =1 (z-p)(1-pz)
且在圆|z|<1 内
f(z)=
1 (z-p)(1-pz)
.
只以 z=p 为一阶极点，在|z|=1 上无奇点，
Γ
k = 1 z=ak
两边除以 2πi，并移项即得
n
Σ 乙 Res f(z)+ 1 f(z)dz=0.
k = 1 z=ak
2πi
-
Γ
n
亦即ΣRes f(z)+Res f(z)=0.
k = 1 z=ak
z=∞
要 特 别 注 意 ：虽 然 在 f(z)的 有 限 可 去 奇 点 a 处 ，必 有Res f(z)=0，但 z=∞
是，如果点 ∞ 为 f(z)的可去奇 点 （或 解 析 点 ），则Res f(z)可 以 不 是 零 例 z=∞
如 f(z)=2+ 1 以 z=∞ 为可去奇点，但Res f(z)=-1
z
z=∞
下面引入计算留数 f(z)的另一公式
令 t= 1 z
于是
φ(t)=f(
1 t
)=f(z)
且 z 平面上无穷远点的去心邻域 N-{∞}:0≤γ<|z|<+∞ 被变成 t 平
2009 年 第 33 期
设 f(x)在 0≤γ< z <+∞ 内的洛朗展式为
f(z)=…+
c-n
n
z
+…+
c-1 z
n
+c0 +c1 z+…+cn z +…，
由逐项积分定理，即知
乙 Res f(z)= 1
z=a
2πi
f(z)dz=-c-1.
-
Γ
也就是说，Res f(z)等于 f(z)在点 ∞ 的洛朗展式中 1 这一项的系数
证明
(n-1)
乙 Res f(z)= 1
z=a
2πi
Γ
φ(z)
n
(z-a)
dz=
φ (a) (n-1)!
.
定理 3
设
a
为
f(z)=
φ(z) ψ(z)
的
一阶
极
点（只
要
φ (z) 及
ψ (z) 在
点
a
解
析，且 φ(a)≠0，ψ(a)=0，ψ'(a)≠0），
则 Res f(z)= φ(a) .
z=a
ψ'(a)
0≤γ< z <+∞ 内解析，则称
乙 1 f(z)dz,(Γ： z =ρ>r).
2πi
-
Γ
为 f(z)在点 ∞ 的留数，记为Res f(z)，这里 Γ-是指顺时针方向（这个 z=a
方向很自然地可以看作是绕无穷远点的正向）
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科技信息
○高校讲坛○
SCIENCE &amON
【关键词】留数理论； 泰勒级数； 积分 Residue Theory and Its Application LU Sheng-qi
（Sanjiang University, Nanjing Jiangsu，210012） 【Abstract】Residue theorem is a complex series points and complex product of the combination of theory, the need to correctly understand the concept of an isolated singular point singular point with the isolation of the classification and function in the isolated singular point of the concept of residue. Have left the number of calculations, especially Department to stay the number of poles for law, in practice .Will remain a few points for some of it. To stay the number of complex function theory, one important concept, it is analytic function in the isolated singular point Laurent expansions, Cauchy's theorem, such as closed-circuit complex are closely linked. Research now is to stay a few theories Cauchy integral theory is the continuation of the middle insert Taylor series and Laurent's series is to study a powerful tool for analytic functions. Stay a few in the complex function theory and practical application in itself is very important and calculation of weeks of its line integral (or attributed to inspect weeks line integral) is closely related to the problem. In addition the application of residue theory, we have the conditions to solve the "wide range" of the integral calculation can also visit the region function against distribution. 【Key words】Cauchy integral theory; Theory of Taylor ;Series to stay a few points
面 上 原 点 的 去 心 邻 域 R-{0}:0<|t|< 1 （如 γ=0，规 定 1 =∞）；圆 周 Γ：|
γ
γ
z|=ρ>γ ，被变成圆周 γ:|t|=λ= 1 < 1 ，从而易证 ργ
乙 乙 1
2πi
f(z)dz=- 1
-
Γ
2πi
f( 1 vt
)
dy dx
·
1
2
t
dt.
所以
Σ Σ Res f(z)=-Res
z=a
z
反号
定义 3 如果函数 f(z)在扩充 z 平面上只有有限个孤立奇 点 （包 括
无穷远点在内）设为 a1,a2,…an 则 f(z)在各点的留数总和为零 证 以 原 点 为 心 作 圆 周 Γ，使 a1,a2,…an 皆 含 于 Γ 内 部 ，则 由 留 数
定理得
∞
乙f(z)dz=2πiΣRes f(z).
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○高校讲坛○
SCIENCE & TECHNOLOGY INFORMATION
2009 年 第 33 期
留数理论及其应用
陆生琪 （三江学院 江苏 南京 210012）
【摘 要】 留数定理是复积分和复级数理论相结合的产物， 需要正确理解孤立奇点的概念与孤立奇点的分类和函数在孤立奇点的留数概 念.掌握留数的计算法，特别是极点处留数的求，实际中会用留数求一些实积分. 留数是复变函数论中重要的概念之一，它与解析函数在孤立奇 点处的洛朗展开式、柯西复合闭路定理等都有密切的联系.现在研究的留数理论就是是柯西积分理论的继续，中间插入的泰勒级数和洛朗级数 是研究解析函数的有力工具.留数在复变函数论本身及实际应用中都是很重要的它和计算 周 线 积 分 （或 归 结 为 考 察 周 线 积 分 ）的 问 题 有 密 切 关 系.此外应用留数理论，我们已有条件去解决“大范围”的积分计算问题，还可以考察区域内函数的零点分布状况.
-1
-1
则 cosθ= z+z ,sinθ= z-z ,dθ= dz
2
2
iz
当 θ 经历变成[0,2π]时，z 沿圆周|z|=1 的正方向绕行一周 因此有
乙 乙 2π R(cosθ,sinθ)dθ =
-1
-1
R( z+z , z-z ) dz .