最新广州市第一一三中学高三数学基础达标
2022-2023学年广东省广州市铁一,广附,广外高三上学期三校联考数学试卷含详解
17.记 内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ．已知 ， ．
（1）证明： ；
（2）求 面积的最大值．
18.数据显示，中国在线直播用户规模及在线直播购物规模近几年都保持高速增长态势，下表为2017－2021年中国在线直播用户规模（单位：亿人），其中2017年－2021年对应的代码依次为1－5．
13. 的展开式中的常数项为______14.若曲线 在点 处的切线与曲线 在点 的切线重合，则 ______.
15.在三棱锥 中， 底面 ， ， ， 为 的中点，球 为三棱锥 的外接球， 是球 上任一点，若三棱锥 体积的最大值是 ，则球 的体积为___________.
16.古希腊数学家阿波罗尼斯（约公元前262-190年)，与欧几里得、阿基米德并称古希腊三大数学家；他的著作《圆锥曲线论》是古代数学光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网络殆尽，几乎使后人没有插足的余地．他发现“平面内到两个定点 的距离之比为定值 的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．比如在平面直角坐标系中， 、 ，则点 满足 所得 点轨迹就是阿氏圆；已知点 ， 为抛物线 上的动点，点 在直线 上的射影为 ， 为曲线 上的动点，则 的最小值为___________．则 的最小值为____________．
9.分别抛掷两枚质地均匀的骰子（六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6），设事件 “第一枚骰子的点数为奇数”，事件 “第二枚骰子的点数为偶数”，则（）
A. 与 互斥B. C. 与 相互独立D.
BC
【分析】对于A，利用互斥事件的定义分析判断，对于B，由古典概型的概率公式求解即可，对于C，由独立事件的定义分析判断，对于D，利用对立事件的概率公式求解.
广州市第一一三中学2010届高三数学基础达标
广州市第一一三中学2010届高三数学基础达标训练（6）班级： 姓名： 计分：1. 化简31i i-=+（ ）. A. 1+2i B. 12i - C. 2+i D. 2i -2. 若110a b<<，则下列结论不正确．．．的是（ ）. A ．22a b < B ．2ab b < C ．2b a a b +> D ．a b a b -=- 3. 已知直线a 、b 和平面M ，则//a b 的一个必要不充分条件是（ ）.A. ////a M b M ，B. a M b M ⊥⊥，C. //a M b M ⊂，D. a b 、与平面M 成等角4. 下列四个个命题，其中正确的命题是（ ）.A. 函数y =tan x 在其定义域内是增函数B. 函数y =|sin(2x +3π)|的最小正周期是π C. 函数y =cos x 在每个区间[72,24k k ππππ++]（k z ∈）上是增函数 D. 函数y =tan(x +4π)是奇函数 5. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为1136n n S x -=⋅-，则x 的值为（ ）. A. 13B. 13-C. 12D. 12- 6. 已知()f x 定义在(,0)-∞上是减函数，且(1)(3)f m f m -<-，则m 的取值范围是（ ）. A ．m <2 B ．0<m <1 C ．0<m <2 D ．1<m <27. 将直线0x =绕原点按顺时针方向旋转30︒，所得直线与圆22(2)3x y -+=的位置关系是（ ）.A.直线与圆相切B.直线与圆相交但不过圆心C.直线与圆相离D.直线过圆心8. 与直线41y x =-平行的曲线32y x x =+-的切线方程是（ ）.A ．40x y -=B ．440x y --=或420x y --=C ．420x y --=D ．40x y -=或440x y --=9. （文）一组数据8,12，x ，11，9的平均数是10，则这样数据的方差是（ ）.A ．2BC ．D （理）由正方体的八个顶点中的两个所确定的所有直线中，取出两条，这两条直线是异面直线的概率为（ ）. A ．29189 B ．2963 C ． 3463D ．47 10. 椭圆M ：2222x y a b +=1 (a >b >0) 的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为椭圆M 上任一点，且12PF PF ⋅ 的最大值的取值范围是[2c 2，3c 2]，其中c 则椭圆M 的离心率e 的取值范围是（ ）.A. B.[ C. D. 11[,)3211. 已知单位向量i 和j 的夹角为60º，那么 (2j -i )•i = .12.（文）圆C ：1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）的普通方程为__________.（理）由抛物线2y x =和直线1x =所围成图形的面积为_____________.13. 设(,)P x y 是下图中四边形内的点或四边形边界上的点（即x 、y 满足的约束条件），则2z x y =+的最大值是__________.14. 棱长为1 cm 的小正方体组成如图所示的几何体，那么这个几何体的表面积是__________ 2cm .15. 已知函数f (x )=2a cos 2x +b sin x cos x ，且f (0)=2，f (3π)=12（1）求f (x )的最大值与最小值；（2）若α－β≠k π，k ∈Z ，且f (α)=f (β)，求tan(α+β)的值.16.随机抽取某中学甲乙两班各10名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得身高数据的茎叶图如下图.(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高;(2)计算甲班的样本方差(3)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm 的同学,求身高为176cm 的同学被抽中的概率.17．设{a n }为等差数列,{b n }为等比数列,且a 1=b 1=1,a 2+a 4=b 3, b 2b 4=a 3，分别求出{a n }及{b n }的前10项的和S 10及T 10．18.、已知圆C 同时满足下列三个条件：①圆心在直线03=-y x 上；②在直线x y =上截得弦长为72；③与y 轴相切.求圆C 的方程.达标训练（6）参考答案 1～5 BDDCC 6～10 DADA(B)A11. 0 12. 221)1x y (-+=（43） 13. 2 14. 36.15. 解：（1）f (0)=2a =2，∴a =1，f (3π)=2a b =12，∴b =2，∴f (x )=2cos 2x +sin2x =sin2x +cos2x x +4π)，∴f (x )max ，f (x )min =1（2）由f (α)=f (β)，得sin(2α+4π)=sin(2β+4π)， ∵α－β≠k π，(k ∈Z) ∴2α+4π=(2k +1)π－(2β+4π)，即α+β=k π+4π，∴tan(α+β)=1. 16.解析（1）由茎叶图可知：甲班身高集中于160179:之间，而乙班身高集中于170180: 之间。
广东省广州三中2025届高三3月份模拟考试数学试题含解析
广东省广州三中2025届高三3月份模拟考试数学试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}3|20,|0x P x x Q x x -⎧⎫=-≤=≤⎨⎬⎩⎭，则()R P Q 为（ ） A ．[0，2)B ．(2，3]C ．[2，3]D ．(0，2]2．已知函数()1ln11xf x x x+=++-且()()12f a f a ++>，则实数a 的取值范围是( ) A ．11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭3．双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左右焦点为12,F F ，一条渐近线方程为:b l y x a=-，过点1F 且与l 垂直的直线分别交双曲线的左支及右支于,P Q ，满足11122OP OF OQ =+，则该双曲线的离心率为（ ） AB ．3CD ．24．已知复数z 满足1z =，则2z i +-的最大值为（ ） A ．23+B．1C．2D ．65．已知命题p ：若1a >，1b c >>，则log log b c a a <；命题q ：()00,x ∃+∞，使得0302log xx <”，则以下命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧B ．()p q ∧⌝C ．()p q ⌝∧D ．()()p q ⌝∧⌝6．已知实数x ，y 满足约束条件2211x y y x y kx +≥⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，若2z x y =-的最大值为2，则实数k 的值为（ ）A ．1B ．53C ．2D ．737．若()*3nx n N ⎛+∈ ⎝的展开式中含有常数项，且n 的最小值为a，则aa-=（ ）A ．36πB ．812πC ．252πD ．25π8．若不等式32ln(1)20a x x x +-+>在区间(0,)+∞内的解集中有且仅有三个整数，则实数a 的取值范围是( )A ．932,2ln 2ln 5⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．932,2ln 2ln 5⎛⎫⎪⎝⎭C ．932,2ln 2ln 5⎛⎤⎥⎝⎦D ．9,2ln 2⎛⎫+∞⎪⎝⎭9．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出的a 的值为（ ）A ．2-3B ．3-2C ．52D ．2510．设x ∈R ，则“|1|2x -< “是“2x x <”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必条件11．若ABC ∆的内角A 满足2sin 23A =-，则sin cos A A -的值为（ ） A 15B ．15 C 5D ．5-312．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A ．{|0}A B x x =< B ．A B R = C ．{|1}AB x x =>D ．AB =∅二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023-2024学年广东省广州市三校(铁一、广外、广大)高三(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年广东省广州市三校（铁一、广外、广大）高三（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ＝{x |﹣1＜x ＜3}，B ＝{x ∈N |﹣1＜x ≤3}，则A ∩B ＝（ ） A ．（﹣1，3） B ．（﹣1，2） C ．{1，2} D ．{0，1，2}2．设z =11+i+i ，则|z |＝（ ） A ．12B ．√22 C ．√32 D ．2 3．设某批电子手表正品率为34，次品率为14，现对该批电子手表进行测试，设第X 次首次测到正品，则P（X ＝3）等于（ ） A ．C 32(14)2×(34)B ．C 32(34)2×(14)C ．(14)2×(34)D ．(34)2×(14)4．设a →，b →为单位向量，a →在b →方向上的投影向量为−12b →，则|a →−2b →|＝（ ）A ．√2B ．√3C ．√5D ．√75．设a =(13)−0.6，b =tan(−130°)，c =log 1.30.4，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．b ＜a ＜cB ．a ＜c ＜bC ．c ＜b ＜aD ．a ＜b ＜c6．公元9世纪，阿拉伯计算家哈巴什首先提出正割和余割概念，1551年奥地利数学家、天文学家雷蒂库斯在《三角学准则》中首次用直角三角形的边长之比定义正割和余割，在某直角三角形中，一个锐角的斜边与其邻边的比，叫做该锐角的正割，用sec （角）表示；锐角的斜边与其对边的比，叫做该锐角的余割，用csc （角）表示，则√3csc20°−sec20°=（ ） A ．√3B ．2√3C ．4D ．87．双曲线E ：x 2a 2−y 2b2=1的一条渐近线与圆C ：（x ﹣3）2+y 2＝4相交于A ，B ，若△ABC 的面积为2，则双曲线E 的离心率为（ ） A ．3√55B ．7√55C ．3√77D ．11√778．若函数f(x)=12cos2x +3a(sinx +cosx)+(2a −1)x 在[0，π2]上单调递减，则实数a 的取值范围为（ ）A．[−1，15]B．[−15，1]C．(−∞，−15]∪[1，+∞)D．(−∞，−1]∪[15，+∞)二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．下列结论中，所有正确的结论是（）A．若a＞b＞0，c＜d＜0，则ac＜bdB．命题p：∃x0∈[1，+∞)，e x0≥x0+1的否定是：∀x∈[1，+∞），e x＜x+1C．若0＜a＜b且c＞0，则b+ca+c＞baD．若∀x∈（0，+∞），ax＜x2+1，则实数a∈（﹣∞，2]10．已知某圆锥的母线长为2，其轴截面为直角三角形，则下列关于该圆锥的说法中正确的有（）A．圆锥的体积为2√2 3πB．圆锥的表面积为2√2πC．圆锥的侧面展开图是圆心角为√2π的扇形D．圆锥的内切球表面积为(24−16√2)π11．过抛物线E：x2＝2py（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线E于A，B两点（点A在第一象限），M为线段AB的中点．若|AF|＝2|BF|＝4，则下列说法正确的是（）A．抛物线E的准线方程为y=−83B．过A，B两点作抛物线的切线，两切线交于点N，则点N在以AB为直径的圆上C．若O为坐标原点，则|OM|=√332D．若过点F且与直线l垂直的直线m交抛物线于C，D两点，则|AB|•|CD|＝28812．分形几何学是数学家伯努瓦•曼德尔布罗在20世纪70年代创立的一门新的数学学科，分形几何学不仅让人们感悟到数学与艺术审美的统一，而且还有其深刻的科学方法论意义．按照如图甲所示的分形规律可得如图乙所示的一个树形图：记图乙中第n行白圈的个数为a n，黑圈的个数为b n，则下列结论中正确的是（）A．a1÷a2÷a3＝9B．b n+1＝2b n+a nC．当k＝±1时，{a n÷kb n}均为等比数列D．b1+b2+⋯+b5＝58三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．今年3月23﹣24日东华港澳台高三年级与外校进行了一次联合联考模拟考试，这次测试的数学成绩X～N（90，δ2），且P（X＜60）＝0.15，规定这次测试的数学成绩高于120分为优秀．若此次联考共有900名学生参加测试，则数学成绩为优秀的人数是．14．(x2−2)(x−1x)6的展开式中x4的系数是（用数字作答）15．在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A处(√3−1)海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的缉私船奉命以10√3海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30°的方向逃窜，缉私船要最快追上走私船，所需的时间约是分钟．（注：√6≈2.5）16．已知函数f（x）＝（x2﹣2x）e x，若方程f（x）＝a有3个不同的实根x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），则a 2−x2的取值范围是．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）如图，已知直线l1∥l2，A是l1，l2之间的一定点，并且点A到l1，l2的距离分别为√2和2．C，B分别是直线l1，l2上的动点，且∠BAC=π3，设∠ABD＝x．（1）写出△ABC面积S关于x的函数解析式S（x）；（2）求函数S（x）的最小值及相对应的x的值：18．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABQ中，PB⊥平面ABQ，BA＝BP＝BQ＝2，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，AB⊥BQ，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH．（1）求证：AB ∥GH ；（2）求平面P AB 与平面PCD 所成角的余弦值； （3）求点A 到平面PCD 的距离．19．（12分）设{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，公比大于0．已知a 1＝b 1＝3，b 2＝a 3，b 3＝4a 2+3． （Ⅰ）求{a n }和{b n }的通项公式；（Ⅱ）设数列{c n }满足c n ={1，n 为奇数，b n 2，n 为偶数．求a 1c 1+a 2c 2+…+a 2n c 2n （n ∈N *）．20．（12分）根据社会人口学研究发现，一个家庭有X 个孩子的概率模型为：其中α＞0，0＜p ＜1．每个孩子的性别是男孩还是女孩的概率均为12且相互独立，事件A i 表示一个家庭有i 个孩子（i ＝0，1，2，3），事件B 表示一个家庭的男孩比女孩多（例如：一个家庭恰有一个男孩，则该家庭男孩多．）（1）为了调控未来人口结构，其中参数p 受到各种因素的影响（例如生育保险的增加，教育、医疗福利的增加等），是否存在p 的值使得E(X)=53，请说明理由．（2）若p =12，求α，并根据全概率公式P(B)=∑ 3i=0P(B|A i )P(A i )，求P （B ）． 21．（12分）已知函数f(x)=2lnx +1x−mx ，(m ∈R)．（1）讨论函数f （x ）的单调性；（2）若b ＞a ＞0，证明：lnb−lna b−a ＜a 2+b 2a 2b+ab 222．（12分）设动点M 与定点F （c ，0）（c ＞0）的距离和M 到定直线l ：x =4c 的距离的比是c 2．（1）求动点M 的轨迹方程，并说明轨迹的形状；（2）当c =√2时，记动点M 的轨迹为Ω，动直线m 与抛物线Γ：y 2＝4x 相切，且与曲线Ω交于点A ，B ．求△AOB 面积的最大值．2023-2024学年广东省广州市三校（铁一、广外、广大）高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ＝{x |﹣1＜x ＜3}，B ＝{x ∈N |﹣1＜x ≤3}，则A ∩B ＝（ ） A ．（﹣1，3）B ．（﹣1，2）C ．{1，2}D ．{0，1，2}解：A ＝{x |﹣1＜x ＜3}，B ＝{x ∈N |﹣1＜x ≤3}＝{0，1，2，3}，故A ∩B ＝{0，1，2}． 故选：D ． 2．设z =11+i+i ，则|z |＝（ ） A ．12B ．√22C ．√32D ．2解：z =11+i +i =1−i (1+i)(1−i)+i =12+12i ．故|z |=√14+14=√22． 故选：B ．3．设某批电子手表正品率为34，次品率为14，现对该批电子手表进行测试，设第X 次首次测到正品，则P（X ＝3）等于（ ） A ．C 32(14)2×(34)B ．C 32(34)2×(14)C ．(14)2×(34)D ．(34)2×(14)解：X ＝3表明前两次抽到的都是次品，第三次抽到的是正品．故P （X ＝3）=14×14×34=364， 故选：C ．4．设a →，b →为单位向量，a →在b →方向上的投影向量为−12b →，则|a →−2b →|＝（ ）A ．√2B ．√3C ．√5D ．√7解：因为a →在b →方向上的投影向量为−12b →，所以a →⋅b →|b →|⋅b →|b →|=−12b →，则a →⋅b →|b →|2=−12，又因为a →，b →为单位向量，所以|a →|=|b →|=1，所以cos ＜a →，b →＞=−12，所以|a →−2b →|=√(a →−2b →)2=√a →2−4a →⋅b →+4b →2=√1−4×(−12)+4=√7．故选：D ．5．设a =(13)−0.6，b =tan(−130°)，c =log 1.30.4，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．b ＜a ＜cB ．a ＜c ＜bC ．c ＜b ＜aD ．a ＜b ＜c解：∵(13)−0.6＞(13)−0.5=√3，b ＝tan （﹣130°）＝﹣tan130°＝tan50°，tan45°＜tan50°＜tan60°，即1＜b ＜√3，c ＝log 1.30.4＜log 1.31＝0， ∴c ＜b ＜a ． 故选：C ．6．公元9世纪，阿拉伯计算家哈巴什首先提出正割和余割概念，1551年奥地利数学家、天文学家雷蒂库斯在《三角学准则》中首次用直角三角形的边长之比定义正割和余割，在某直角三角形中，一个锐角的斜边与其邻边的比，叫做该锐角的正割，用sec （角）表示；锐角的斜边与其对边的比，叫做该锐角的余割，用csc （角）表示，则√3csc20°−sec20°=（ ） A ．√3B ．2√3C ．4D ．8解：依题意，20°角可视为某直角三角形的内角，由锐角三角函数定义及已知得csc20°=1sin20°，sec20°=1cos20°， 所以√3csc20°−sec20°=√3sin20°−1cos20°=√3cos20°−sin20°sin20°cos20°=2sin(60°−20°)12sin40°=4． 故选：C ．7．双曲线E ：x 2a 2−y 2b2=1的一条渐近线与圆C ：（x ﹣3）2+y 2＝4相交于A ，B ，若△ABC 的面积为2，则双曲线E 的离心率为（ ） A ．3√55B ．7√55C ．3√77D ．11√77解：双曲线E ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线：bx ﹣ay ＝0，与圆（x ﹣3）2+y 2＝4相交于A 、B 两点，圆的圆心（3，0），半径为2，圆心到直线的距离为：d =√a 2+b ，弦长|AB |＝2√4−9b2a 2+b 2=√22√a 2+b ， 可得：12×√a 2+b 2×22√a 2+b 2=2，整理得：2a 2＝7b 2，即2a 2＝7（a 2﹣c 2），解得双曲线E 的离心率为3√77． 故选：C ．8．若函数f(x)=12cos2x+3a(sinx+cosx)+(2a−1)x在[0，π2]上单调递减，则实数a的取值范围为（）A．[−1，15]B．[−15，1]C．(−∞，−15]∪[1，+∞)D．(−∞，−1]∪[15，+∞)解：函数f(x)=12cos2x+3a(sinx+cosx)+(2a−1)x，∴f′（x）＝﹣sin2x+3a（cos x﹣sin x）+2a﹣1，由于函数在[0，π2]上单调递减，∴f'（x）≤0在[0，π2]上恒成立，令t＝cos x﹣sin x，因为x∈[0，π2]，∴t∈[﹣1，1]，则sin2x＝﹣t2+1，f'（t）＝t2+3at+2a﹣2，f'（t）≤0在[﹣1，1]上恒成立，∴{3a2≥1f′(1)≤0或{−1＜3a2＜1f′(3a2)≤0或{3a2≤−1f′(−1)≤0，解得−1≤a≤15．∴实数a的取值范围为[−1，15 ]．故选：A．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．下列结论中，所有正确的结论是（）A．若a＞b＞0，c＜d＜0，则ac＜bdB．命题p：∃x0∈[1，+∞)，e x0≥x0+1的否定是：∀x∈[1，+∞），e x＜x+1C．若0＜a＜b且c＞0，则b+ca+c＞baD．若∀x∈（0，+∞），ax＜x2+1，则实数a∈（﹣∞，2]解：对于A，∵c＜d＜0，∴﹣c＞﹣d＞0，∵a＞b＞0，∴﹣ac＞﹣bd，∴ac＜bd，∴正确，B，∵命题p：∃x0∈[1，+∞)，e x0≥x0+1的否定是：∀x∈[1，+∞），e x＜x+1，∴正确，C，∵0＜a＜b且c＞0，∴b+ca+c −ba=(a−b)c(a+c)a＜0，∴b+ca+c＜ba，∴错误，D，∵∀x∈（0，+∞），ax＜x2+1，∴a＜x2+1x=x+1x，∵x＞0，∴x+1x≥2√1=2，当且仅当x＝1时取等号，∴x+1x≥2，∴a ＜2，即实数a ∈（﹣∞，2），∴错误． 故选：AB ．10．已知某圆锥的母线长为2，其轴截面为直角三角形，则下列关于该圆锥的说法中正确的有（ ） A ．圆锥的体积为2√23πB ．圆锥的表面积为2√2πC ．圆锥的侧面展开图是圆心角为√2π的扇形D ．圆锥的内切球表面积为(24−16√2)π解：已知某圆锥的母线长为2，其轴截面为直角三角形，所以底面半径r 为√2，圆锥的高h 为√2， 对于A 选项，圆锥的体积为13×πr 2×ℎ=2√23π，故A 正确；对于B 选项，圆锥的表面积为12×2π×√2×2+π(√2)2=（2√2+2）π，故B 错误；对于C 选项，侧面展开图中，扇形的半径为2，弧长为2πr ＝2√2π，由弧长公式有圆心角为√2π，故C 正确；对于D 选项，设圆锥的内切球的半径为r ，圆锥的内切球的球心为轴截面三角形的内心． 根据三角形面积相等可得：12×2√2r +12×2r +12×2r =12×2×2，∴r ＝2−√2，圆锥的内切球表面积为4π(2−√2)2=（24﹣16√2）π，故D 正确． 故选：ACD ．11．过抛物线E ：x 2＝2py （p ＞0）的焦点F 的直线l 交抛物线E 于A ，B 两点（点A 在第一象限），M 为线段AB 的中点．若|AF |＝2|BF |＝4，则下列说法正确的是（ ） A ．抛物线E 的准线方程为y =−83B ．过A ，B 两点作抛物线的切线，两切线交于点N ，则点N 在以AB 为直径的圆上C ．若O 为坐标原点，则|OM|=√332D ．若过点F 且与直线l 垂直的直线m 交抛物线于C ，D 两点，则|AB |•|CD |＝288 解：对于A 项，由题意可设过点F （0，p 2）的直线l 的方程为y ＝kx +p2（k ＞0），设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 联立方程组{x 2=2pyy =kx +p 2，消去x 整理y 2−(2k 2+1)py +p 24=0，可得y 1y 2=p 24，因为|AF |＝2|BF |＝4，所以{y 2+p 2=2y 1+p 2=4，则y 1y 2=(2−p 2)(4−p 2)=p 24，解得p =83，所以抛物线E ：x 2=163y ，故抛物线E 的准线方程为y =−43，故A 项错误； 对于B 项，x 2=163y ，y =316x 2，y ′=38x ，则k NA =38x 1，k NB =38x 2， 所以k NA ⋅k NB =964x 1x 2=−964√4p 2y 1y 2=−1， 所以直线NA ，NB 垂直，所以点N 在以AB 为直径的圆上，故B 项正确； 对于C 项，由A 项知，抛物线E ：y 1y 2=p 24=163，y 1+y 2=83(2k 2+1)，又因为|AF |＝2|BF |＝4，所以AF |＝4，|BF |＝2，|AB |＝6， 所以|AF|+|BF|=p 2+y 1+p 2+y 2=83+83(2k 2+1)=6，解得k =√24， 则y 1+y 2=103，x 1+x 2=y 1−p 2k +y 2−p2k =y 1+y 2−p k =4√23， 线段AB 的中点M(2√23，53)， 所以|OM|=√89+259=√333，故C 项错误；对于D 项，由C 项知，|AB |＝|AF |+|BF |=83+83(2k 2+1)，又因为直线l 垂直于直线m ， 所以|CD |=83+83[2(−1k )2+1]=1443，所以|AB |•|CD |＝6•1443=288，故D 项正确． 故选：BD ．12．分形几何学是数学家伯努瓦•曼德尔布罗在20世纪70年代创立的一门新的数学学科，分形几何学不仅让人们感悟到数学与艺术审美的统一，而且还有其深刻的科学方法论意义．按照如图甲所示的分形规律可得如图乙所示的一个树形图：记图乙中第n 行白圈的个数为a n ，黑圈的个数为b n ，则下列结论中正确的是（ ） A ．a 1÷a 2÷a 3＝9B ．b n +1＝2b n +a nC ．当k ＝±1时，{a n ÷kb n }均为等比数列D ．b 1+b 2+⋯+b 5＝58解：依题意得a n +b n ＝3n ﹣1，a n +1＝2a n +b n ，b n +1＝2b n +a n ，且a 1＝1，b 1＝0，∴{a n+1+b n+1=3(a n +b n )a n+1−b n+1=a n −b n，∴{a n +b n }是以a 1+b 1＝1为首项，3为公比的等比数列，{a n ﹣b n }是常数列，且a 1﹣b 1＝1，∴{a n ﹣b n }以a 1﹣b 1＝1为首项，1为公比的等比数列，∴{a n +b n =3n−1a n −b n =1，∴a n =3n−1+12，b n =3n−1−12，故B ，C 都正确；a 1+a 2+a 3＝1+31+12+32+12=8，故A 错误；b 1+b 2+⋯+b 5=30−12+31−12+32−12+33−12+34−12+35−12=12（1−361−3−6）＝179，故D 正确．故选：BCD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．今年3月23﹣24日东华港澳台高三年级与外校进行了一次联合联考模拟考试，这次测试的数学成绩X ～N （90，δ2），且P （X ＜60）＝0.15，规定这次测试的数学成绩高于120分为优秀．若此次联考共有900名学生参加测试，则数学成绩为优秀的人数是 135 ． 解：由X ～N （90，δ2），得正态分布曲线的对称轴为x ＝90，因为P （X ＜60）＝0.15，所以P （X ＞120）＝0.15，则数学成绩为优秀的人数是900×0.15＝135． 故答案为：135．14．(x 2−2)(x −1x)6的展开式中x 4的系数是 27 （用数字作答）解：（x −1x ）6展开式的通项公式为T k +1=C 6k x 6﹣k （−1x）k =C 6k（﹣1）k x 6﹣2k ，若第一个因式是x 2，则第二个因式也是x 2， 若第一个因式是﹣2，则第二个因式是x 4，由6﹣2k ＝2，得2k ＝4，k ＝2，此时x 2•C 62•x 2＝15x 4， 由6﹣2k ＝4，得2k ＝2，k ＝1，此时﹣2•C 61•（﹣1）x 4＝12x 4，则x 4的系数是15+12＝27， 故答案为：27．15．在海岸A 处，发现北偏东45°方向，距A 处(√3−1)海里的B 处有一艘走私船，在A 处北偏西75°方向，距A 处2海里的C 处的缉私船奉命以10√3海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度从B 处向北偏东30°的方向逃窜，缉私船要最快追上走私船，所需的时间约是 15 分钟．（注：√6≈2.5）解：设缉私艇最快在D处追上走私船，追上走私船需t小时，则BD＝10t，CD=10√3t，∴在△ABC中，已知AB=√3−1，AC＝2，∵∠BAC＝45°+75°＝120°，由余弦定理得，BC2＝AB2+AC2﹣2AB•AC•cos∠BAC=(√3−1)2+22−2×(√3−1)×2×cos120°=6，即BC=√6，由正弦定理得ACsin∠ABC=BCsin∠BAC，则sin∠ABC=AC⋅sin∠BACBC=2sin120°√6=√22，∴∠ABC＝45°，∴BC为东西走向，∴∠CBD＝120°，在△BCD中，由正弦定理得BDsin∠BCD=CDsin∠CBD，则sin∠BCD=BD⋅sin∠CBDCD=10t⋅sin120°10√3t=12，且∠BCD为锐角，∴∠BCD＝30°，∴∠BDC＝30°∴BD=BC=√6，即10t=√6，∴t=√610≈2.510=14小时，即15分钟．故答案为：15．16．已知函数f（x）＝（x2﹣2x）e x，若方程f（x）＝a有3个不同的实根x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），则a 2−x2的取值范围是(0，1e]．解：因为f（x）＝（x2﹣2x）e x，所以f′（x）＝（x2﹣2）e x，令f′（x）＝0，得x=−√2或x=√2，又f′(x)＞0⇒x＜−√2或x＞√2，f′(x)＜0⇒−√2＜x＜√2，所以f（x）在(−∞，−√2)上单调递增，在(−√2，√2)上单调递减，在(√2，+∞)上单调递增，又因为f(−√2)=√2√2，f(√2)=(2−2√2)e√2，当x趋近于负无穷时，f（x）趋近于零，所以f（x）的图象如图所示，所以若方程f（x）＝a有3个不同的实根，则a∈(0√2√2)，又因为f(x 2)=(x 22−2x 2)e x 2=a ，x 2∈(−√2，0)，所以a 2−x 2=(x 22−2x 2)e x 22−x 2=−x 2e x 2，不妨令h （x ）＝xe x ，x 2∈(−√2，0)，则h ′（x ）＝e x （x +1）， 由ℎ′(x)＜0⇒−√2＜x ＜−1，由h ′（x ）＞0⇒﹣1＜x ＜0， 所以h （x ）在(−√2，−1)上单调递减，在（﹣1，0）上单调递增， 所以ℎ(x)min =ℎ(−1)=−1e，又因为ℎ(−√2)=√22，h （0）＝0，所以−1e ≤ℎ(x)＜0，所以a 2−x 2∈(0，1e ]．故答案为：(0，1e]．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）如图，已知直线 l 1∥l 2，A 是l 1，l 2之间的一定点，并且点A 到l 1，l 2的距离分别为√2和2．C ，B 分别是直线l 1，l 2上的动点，且∠BAC =π3，设∠ABD ＝x ．（1）写出△ABC 面积S 关于x 的函数解析式S （x ）； （2）求函数S （x ）的最小值及相对应的x 的值：解：（1）∵∠ABD ＝x ，∴∠DAB =π2−x ， 又∵∠BAC =π3，∴∠CAE =π−(π2−x)−π3=x +π6，∴S （x ）=12AB •AC •sin ∠BAC =12AD sinx ⋅AEcos(x+π6)×√32=√62sinxcos(x+π6)，x ∈（0，π3）； （2）S （x ）=√62sinxcos(x+π6)=√62sinx(32cosx−12sinx) =√6√3sinxcosx−sin 2x =√632sin2x−12(1−cos2x) =√6sin(2x+π6)−12， ∵x ∈（0，π3），∴2x +π6∈（π6，5π6），当2x +π6=π2，即x =π6时，S （x ）取得最小值为：2√6． 18．（12分）如图，在三棱锥P ﹣ABQ 中，PB ⊥平面ABQ ，BA ＝BP ＝BQ ＝2，D ，C ，E ，F 分别是AQ ，BQ ，AP ，BP 的中点，AB ⊥BQ ，PD 与EQ 交于点G ，PC 与FQ 交于点H ，连接GH ． （1）求证：AB ∥GH ；（2）求平面P AB 与平面PCD 所成角的余弦值； （3）求点A 到平面PCD 的距离．解：（1）证明：D ，C ，E ，F 分别是AQ ，BQ ，AP ，BP 的中点， 所以EF ∥AB ，DC ∥AB ，所以DC ∥EF ． 又因为EF ⊄平面PCD ，DC ⊂平面PCD ， 所以EF ∥平面PCD ．又因为EF ⊂平面EFQ ，平面EFQ ∩平面PCD ＝GH ， 所以EF ∥GH ，又EF ∥AB ，所以AB ∥GH ．（2）因为AB ⊥BQ ，PB ⊥平面ABQ ，所以BA ，BQ ，BP 两两垂直． 分别以BA ，BQ ，BP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建系如图，由BA ＝BP ＝BQ ＝2，则A （2，0，0），D （1，1，0），C （0，1，0），P （0，0，2）， 所以AD →=(−1，1，0)，DP →=(−1，−1，2)，CP →=(0，−1，2)． 易知平面P AB 的一个法向量为m →=(0，1，0)，设平面PDC 的一个法向量为n →=(x ，y ，z)，则{n →⋅DP →=−x −y +2z =0n →⋅CP →=−y +2z =0，取n →=(0，2，1)， 所以cos〈m →，n →〉=|m →⋅n →||m →||n →|=1×5=2√55，所以平面P AB 与平面PDC 所成角的余弦值为2√55． （3）由点到平面的距离公式可得，点A 到平面PCD 的距离为d =|AD →⋅n →||n →|=|0+2+0|5=2√55．19．（12分）设{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，公比大于0．已知a 1＝b 1＝3，b 2＝a 3，b 3＝4a 2+3． （Ⅰ）求{a n }和{b n }的通项公式；（Ⅱ）设数列{c n }满足c n ={1，n 为奇数，b n 2，n 为偶数．求a 1c 1+a 2c 2+…+a 2n c 2n （n ∈N *）．解：（Ⅰ）{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，公比大于0． 设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，q ＞0． 由题意可得：3q ＝3+2d ①；3q 2＝15+4d ② 解得：d ＝3，q ＝3，故a n ＝3+3（n ﹣1）＝3n ，b n ＝3×3n ﹣1＝3n（Ⅱ）数列{c n }满足c n ={1，n 为奇数，b n 2，n 为偶数，a 1c 1+a 2c 2+…+a 2n c 2n （n ∈N *）＝（a 1+a 3+a 5+…+a 2n ﹣1）+（a 2b 1+a 4b 2+a 6b 3+…+a 2n b n ） ＝[3n +n(n−1)2×6]+（6×3+12×32+18×33+…+6n ×3n ） ＝3n 2+6（1×3+2×32+…+n ×3n ） 令T n ＝（1×3+2×32+…+n ×3n ）①， 则 3T n ＝1×32+2×33+…+n 3n +1②， ②﹣①得：2T n ＝﹣3﹣32﹣33 (3)+n 3n +1＝﹣3×1−3n 1−3+n 3n +1=(2n−1)3n+1+32；故a 1c 1+a 2c 2+…+a 2n c 2n ＝3n 2+6T n ＝3n 2+3×2T n =(2n−1)3n+2+6n 2+92（n ∈N *）20．（12分）根据社会人口学研究发现，一个家庭有X 个孩子的概率模型为：其中α＞0，0＜p ＜1．每个孩子的性别是男孩还是女孩的概率均为12且相互独立，事件A i 表示一个家庭有i 个孩子（i ＝0，1，2，3），事件B 表示一个家庭的男孩比女孩多（例如：一个家庭恰有一个男孩，则该家庭男孩多．）（1）为了调控未来人口结构，其中参数p 受到各种因素的影响（例如生育保险的增加，教育、医疗福利的增加等），是否存在p 的值使得E(X)=53，请说明理由．（2）若p =12，求α，并根据全概率公式P(B)=∑ 3i=0P(B|A i )P(A i )，求P （B ）． 解：（1）不存在p 的值使得E(X)=53，理由如下：由题意得，αp +α+α(1−p)+α(1−p)2=1①，且αp +2α+3α(1−p)+0×α(1−p)2=53②，由②得到α=53(1p +5−3p)，将其代入①，整理得到5p 3﹣6p 2+2＝0，令f （p ）＝5p 3﹣6p 2+2，0＜p ＜1，则f ′（p ）＝15p 2﹣12p ，当0＜p ＜45时，f ′（p ）＜0，f （p ）单调递减，当45＜p ＜1时，f ′（p ）＞0，f （p ）单调递增，故f （p ）在p =45处取得极小值，也是最小值，又f(45)=6425−9625+2=1825＞0，故5p 3﹣6p 2+2＝0无解，所以不存在p 的值使得E(X)=53；（2）若p =12，则αp +α+α(1−p)+α(1−p)2=2α+α+12α+14α=1，解得α=415，P(B|A 1)=C 11×12=12，P(B|A 2)=C 22×(12)2=14，P(B|A 3)=C 32×(12)2×12+C 33×(12)3=12， 由全概率公式可得P(B)=∑ 3i=0P(B|A i )P(A i )=12×αp +14α+12α(1−p)， 因为α=415，p =12，所以P(B)=415+115+115=25． 21．（12分）已知函数f(x)=2lnx +1x−mx ，(m ∈R)．（1）讨论函数f （x ）的单调性；（2）若b ＞a ＞0，证明：lnb−lna b−a ＜a 2+b 2a 2b+ab 2解：（1）f ′(x)=2x −1x 2−m =−mx 2−2x+1x 2（x ＞0）， 令g （x ）＝mx 2﹣2x +1（x ＞0），判别式为Δ＝4﹣4m ，当m ＝0时，f （x ）在(0，12) 上单调递减，在(12，+∞)上单调递增；当m ＜0时，方程有一个正根1+√1−mm， f （x ）在(0，1+√1−m m )上单调递减，在(1+√1−mm，+∞)上单调递增； 当0＜m ＜1时，方程有两个正根，分别为x 1=1−√1−m m ，x 2=1+√1−mm， 所以f （x ）在（0，1−√1−m m），(1+√1−mm ，+∞)上单调递减，在(1−√1−m m ，1+√1−mm)上单调递增； 当m ≥1时，f ′（x ）≤0恒成立，所以f （x ）在（0，+∞）上单调递减； 证明：（2）要证lnb−lnab−a ＜a 2+b 2a 2b+ab 2，只需证lnb−lna b−a ＜(a+b)2−2abab(a+b)，只需证lnb−lna b−a＜a+b ab−2a+b，只需证lnb −lna ＜b 2−a 2ab −2.b−aa+b，只需证ln b a ＜b a −ab −2⋅ba −1b a+1， 设t =b a ＞1，则需证lnt ＜t −1t −2⋅t−1t+1(t ＞1)，只需证2lnt −lnt ＜t −1t −2，t−1t+1（t ＞1），由（1）知，2lnt ＜t −1t（t ＞1），所以只需−lnt ＜t −2(t−1)t+1（t ＞1）， 即证lnt ＞2(t−1)t+1（t ＞1）， 令g(t)=lnt −2(t−1)t+1（t ＞1）， 则g ′(t)=(t−1)2t(t+1)2≥0恒成立，所以当t ＞1时，g （t ）在（1，+∞）上单调递增， 所以g （t ）＞g （1）＝0，所以lnt ＞2(t−1)t+1+(t ＞1)成立， 因此，原不等式得证．22．（12分）设动点M 与定点F （c ，0）（c ＞0）的距离和M 到定直线l ：x =4c 的距离的比是c 2．（1）求动点M 的轨迹方程，并说明轨迹的形状；（2）当c =√2时，记动点M 的轨迹为Ω，动直线m 与抛物线Γ：y 2＝4x 相切，且与曲线Ω交于点A ，B ．求△AOB 面积的最大值． 解：（1）设M （x ，y ），则√(x−c)2+y 2|x−4c|=c 2， 化简得4−c 24x 2+y 2=4−c 2，c ＞0，当c ＝2时，y ＝0，轨迹为一条直线；当0＜c ＜2时，x 24+y 24−c 2=1，此时轨迹为焦点在x 轴上的椭圆；当c ＞2时，x 24−y 2c 2−4=1，此时轨迹为焦点在x 轴上的双曲线；综上：当c ＝2时，轨迹方程为y ＝0，轨迹为一条直线，当0＜c ＜2时，轨迹方程为x 24+y 24−c 2=1，轨迹为焦点在x 轴上的椭圆；当c ＞2时，轨迹方程为x 24−y 2c 2−4=1，轨迹为焦点在x 轴上的双曲线；（2）当c =√2时，Ω：x 24+y 22=1，当直线m 斜率不存在时，又与y 2＝4x 相切，故此时直线m ：x ＝0，此时O ，A ，B 三点共线，不合要求，舍去， 设直线m ：x ＝ky +b ，联立y 2＝4x 得y 2﹣4ky ﹣4b ＝0， 由Δ＝16k 2+16b ＝0得b ＝﹣k 2，显然b ＜0， 联立{x =ky +bx 24+y 22=1得，（k 2+2）y 2+2kby +b 2﹣4＝0，由Δ＝4k 2b 2﹣4（k 2+2）（b 2﹣4）＞0，结合b ＝﹣k 2， 解得0＜k 2＜1+√5， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 则y 1+y 2=−2kb k 2+2，y 1y 2=b 2−4k 2+2，设直线m：x＝ky+b与x轴交于点D，则D（b，0），则S△AOB=12|OD|⋅|y1−y2|=−b2√(y1+y2)2−4y1y2=−b2√(−2kbk2+2)2−4b2−16k2+2=−b√4k2−2b2+8k2+2，将b＝﹣k2代入得S△ABC=k2√−2k4+4k2+8k2+2，因为0＜k2＜1+√5，令k2+2＝t，则2＜t＜3+√5，S△ABC=(t−2)√−2t2+12t−8t，设f(t)=(t−2)√−2t2+12t−8t，则f′(t)=(√−2t2+12t−8+(t−2)(−4t+12)2√−2t+12t−8)t−(t−2)√−2t2+12t−8t2=t(t−2)(−2t+6)+2(−2t2+12t−8)t√−2t+12t−8=−2(t3−3t2−6t+8)t√−2t+12t−8=−2[(t3+8)−(3t2+6t)] t√−2t+12t−8=−2[(t+2)(t2−2t+4)−3t(t+2)]t√−2t+12t−8=−2(t+2)(t−4)(t−1)t√−2t+12t−8，2＜t＜3+√5，当2＜t＜4时，f′（t）＞0，当4＜t＜3+√5时，f′（t）＜0，故f（t）在t∈（2，4）上单调递增，在t∈(4，3+√5)上单调递减，故f（t）在t＝4处取得极大值，也是最大值，故S△ABC最大值为(4−2)√−32+12×4−84=√2．。
广州天河区一一三中2025届数学高二上期末学业质量监测试题含解析
所以“ a 1”是“直线 l1 : ax 3y 4 0 与 l2 : a 2 x y 1 0 互相垂直”的充分不必要条件.
故选：A.
9、8
【解析】由已知条件中的偶函数即可计算出结果，
2
【详解】 f (x) 为偶函数，且 f (x)dx 4 ， 0
2
2
f (x)dx 2 f (x)dx 2 4 8 .
离心率为 c 1 ，D 选项正确. a2
故选：D
4、D
【解析】利用 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率计算公式直接求解.
【详解】解：将一枚均匀的筛子先后抛掷 3 次，每次出现点数为 3 的概率都是 1 6
至少出现两次点数为
3
的概率为：
P=C32
1 6
2
5 6
+
1 6
3
（2）设过点 M 0,3 的直线 l 与圆 C 交于不同的两点 A 、 B ，以 OA 、 OB 为邻边作平行四边形 OADB ．是否存在
这样的直线 l ，使得直线 OD 与 MC 恰好平行？如果存在，求出 l 的方程，如果不存在，请说明理由
参考答案
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、C
A. 3, 2 5
C. 4, 6
B. 4, 2 5
D. 2 5,6
7．用 2, 3, 4 这 3 个数组成没有重复数字的三位数，则事件“这个三位数是偶数”与事件“这个三位数大于 342” （）
A.是互斥但不对立事件 C.是对立事件
B.不是互斥事件 D.是不可能事件
8． “ a 1”是“直线 l1 : ax 3y 4 0 与 l2 : a 2 x y 1 0 互相垂直”的（）
广州市第一一三中学2010届高三数学基础达标训练(3)
广州市第一一三中学2010届高三数学基础达标训练（3）班级： 姓名： 计分：1．设集合{|1A x =-≤x ≤2}，B ={x |0≤x ≤4}，则A ∩B =（ ）.A ．［0,2］B ．［1,2］C ．［0,4］D ．［1,4］ 2．计算31ii-=+（ ）. A ．1+2i B ． 1–2i C ．2+i D ．2–i3．如果点P (sin cos ,2cos )θθθ位于第三象限，那么角θ所在的象限是（ ）.A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．原命题：“设a 、b 、c R ∈，若22ac bc >,则a b >”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题共有（ ）.A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个5．已知平面向量(21,3),(2,)a m b m =+=，且a ∥b ，则实数m 的值等于（ ）. A ．2或32- B ．32 C ．2-或32 D ．27-6．等差数列{}n a 中，10120S = ，那么29a a +的值是（ ）.A ． 12B ． 24C ．16D ． 487．如图，该程序运行后输出的结果为（ ）. A ．36 B ．56 C ．55 D ．458．如果椭圆221169x y +=上一点P 到它的右焦点是3，那么点P 到左焦点的距离为（ ）.A.5B.1 C 9．（文）某次考试，班长算出了全班40人数学成绩的平均分M ，如果把M 当成一个同学的成绩与原来的40个分数加在一起，算出这41个分数的平均值为N ，那么M ：N 为（ ）.A ．40：41B ．41：40C ．2D ．1（理）从6人中选出4人分别到巴黎、伦敦、香港、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只能游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有（ ）.A ．240种 Ｂ．300种 Ｃ．144种 Ｄ．96种10．设奇函数f (x )在[—1，1]上是增函数，且f (—1)= 一1．若函数，f (x )≤t 2一2 a t +l 对所有的x ∈[一1．1]都成立，则当a ∈[1，1]时，t 的取值范围是（ ）.A ．一2≤t ≤2B ． 12-≤t ≤12C ．t ≤一2或t = 0或t ≥2D ．t ≤12-或t=0或t ≥1211. 规定记号“⊗”表示一种运算，即2(,)a b ab a b a b ⊗=++为正实数，若13k ⊗=，则k 的值为 .12. （文）过曲线32y x x =+上一点(1,3)的切线方程是___________（理）关于二项式2006(1)x -，有下列三个命题：①.该二项式展开式中非常数项的系数和是1-； ②.该二项式展开式中第10项是1019962006C x ；③.当2006x =时，2006(1)x -除以2006的余数是1．其中正确命题的序号是 （把你认为正确的序号都填上）．13. 设a ，b ，c 是空间的三条直线，下面给出四个命题： ①若a b ⊥，b c ⊥，则//a c ；②若a 、b 是异面直线，b 、c 是异面直线，则a 、c 也是异面直线； ③若a 和b 相交，b 和c 相交，则a 和c 也相交； ④若a 和b 共面，b 和c 共面，则a 和c 也共面． 其中真命题的个数是________个.14. 圆C ：1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩，，（θ为参数）的普通方程为 ，设O 为坐标原点，点00()M x y ，在C 上运动，点()P x y ，是线段OM 的中点，则点P 的轨迹方程为 ．15. 已知(sin ,3cos )a x x =，(cos ,cos )b x x =，()f x a b =⋅. （1）若a b ⊥，求x 的解集；（2）求()f x 的周期及增区间．16．已知ABC ∆中∠ACB=90°SA ⊥面ABC ，AD ⊥SC 于D ，求证： AD ⊥面SBC ．SD17．(本小题满分12分)数列｛a n ｝中，a 1=1，n ≥2时，其前n 项的和S n 满足S n 2=a n (S n －21). (1)求S n 的表达式；(2)设b n =12 n S n，求数列｛b n ｝的前n 项和T n .18.根据空气质量指数API （为整数）的不同，可将空气质量分级如下表：对某城市一年（365天）的空气质量进行监测，获得的API 数据按照区间]50,0[，]100,50(，]150,100(，]200,150(，]250,200(，]300,250(进行分组，得到频率分布直方图如图5.（1）求直方图中x 的值；（2）计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数；（3）求该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染的概率.（结果用分数表示．已知7812557=，12827=，++36521825318257 91251239125818253=++，573365⨯=）达标训练（3）参考答案 1～5 ABBBC 6～10 BDAD(A)C11. 1 12. 520x y --=（①、③） 13. 0 14. 221)1x y (-+=、22(21)41x y -+=. 15. 解：（1）a b ⊥， 0a b ∴⋅=．a b ∴⋅2sin cos x x x =⋅+1sin 22x x =+sin(2)03x π=+=42233x k πππ∴+=+或2233x k πππ+=-+, 2x k ππ∴=+ 或 3k ππ-+.∴所求解集为{,}23x x k k k Z ππππ=+-+∈或（2）()f x a b =⋅sin(2)32x π=++，22T ππ∴==. 222232k x k πππππ∴-≤+≤+，∴原函数增区间为5[,]1212k k ππππ-+ ()k Z ∈16.证明：90ACB ∠= BC AC ∴⊥ （2分）又SA ⊥面ABC SA BC ∴⊥ （5分）又AC ∩SA=A, （6分）BC ∴⊥面SAC （9分）∵ AD ⊂平面SAC ，BC AD ∴⊥ （11分）又,SC AD SCBC C ⊥=AD ∴⊥面SBC （14分）17.解：(1)n ≥2，S n 2=(S n －S n －1)(S n －21)， ∴S n =1211+--n n S S ， 即n S 1－11-n S =2(n ≥2).∴n S 1=2n －1，∴S n =121-n .6分(2)b n =)121121(21)12)(12(112+--=-+=+n n n n n S n ， T n =21 (1－31+31－51+51－71+…+121-n －121+n ) =21 (1－121+n )=12+n n . 12分18.（09广东卷理.满分12分） 解：（1）由图可知-=150x ++365218253(182********123150)9125818253⨯-=⨯++，解得SDCBA18250119=x ；（2）219)5036525018250119(365=⨯+⨯⨯；（3）该城市一年中每天空气质量为良或轻微污染的概率为533652195036525018250119==⨯+⨯，则空气质量不为良且不为轻微污染的概率为52531=-，一周至少有两天空气质量为良或轻微污染的概率为7812576653)53()52()53()52(116670777=--C C .。
2023年广东省广州市第一一三中学中考三模数学试题
2023年广东省广州市第一一三中学中考三模数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题A．66．将等腰直角三角形纸片和长方形纸片按如下图方式叠放，若为（）20︒上的点，DE AB⊥A．4.8B．4.5 3.28．已知，如图，点C是以AB CD，BD⊥于点D，若∠DCB=50°，则∠50°为圆心，以大于12 AC，F，则AE25上运动，连接A．5425B．1257225二、填空题用科学记数法表示边形．．某中学开展劳动实习，学生到教具加工厂制作圆锥，他们制作的圆锥，母线长为．的值是为边在BC的同从点B运动到三、解答题17．解不等式组：21452xx x-⎧⎨++⎩＜＞并把解集在数轴上表示出来.18．已知：如图，E为BC上一点，AC∥BD．AC=BE．BC=BD．求证：AB=DE．阅读四类社团．将调查结果绘制成如图所示的(1)求本次调查的学生人数，并补全条形统计图；(2)若全校共有学生3600人，求愿意参加劳动类社团的学生人数；(3)甲、乙两名同学决定在阅读、美术、劳动社团中选择参加一种社团，请用树状图或列表法表示出所有等可能结果，并求出恰好选中同一社团的概率．21．五一节前，某商店拟用1000元的总价购进A B、两种品牌的电风扇进行销售，为更好的销售，每种品牌电风扇都至少购进1台．已知购进3台A种品牌电风扇所需费用与B种品牌电种品牌电风扇定价为250台，为能在销售完这两种电风扇后获得最大的利润，该商店应采用哪种进货方案？2，ED= (1)求证：ABE ADB；∠的值．(2)求tan ADB，与B，与反比例(1)求一次函数和反比例函数的表达式；OCD绕点A按逆时方向匀速运动，速度为PQ交AC于点⊥时，求t的值；(1)当EQ AD(2)设四边形PCDQ的面积为S(3)是否存在某一时刻t，使PQ的值；若不存在，请说明理由．在点B左侧），若存在，求出点M，请直接写参考答案：为了解长沙市中学生的睡眠情况，应该采用抽样调查的方式，不符合题意；由题意可知，ABC 是等腰直角三角形，∴1(1802ACB ABC ∠=∠=⨯︒-又∵由题意可知，AD CE ∥，的形式，1803（2）解：愿意参加劳动社团的学生人数：（3）解：根据题意，画出树状图，如下图：共有9种等可能的结果，选中同一社团的结果有3种．∴恰好选中同一社团的概率为31 93=．2（2）解：分别过点C ，P 作CM ∵90,B BAC CAM ∠+∠=∠+︒∴B CAM∠=∠又90BCA AMC ∠=∠=︒∴213714210S t t =-+（3）解：假设存在某一时刻∵125,5AD AM ==∴121355DM AD AM =-=-=∵PQ CD∥的外接圆的圆心，。
广州市第一一三中学2008届高三数学基础达标训练(9)
广州市第一一三中学2008届高三数学基础达标训练（9）班级： 姓名： 计分：1． 设全集为 R ，A =1{|0}x x<，则R C A =（ ）. A. 1{|0}x x > B. ｛x | x ＞0｝ C. ｛x | x 0≥｝ D. 1{|0}x x≥ 2． 2(1)i i ⋅-等于（ ）.A. 2-2iB. 2+2iC. -2D. 23． 抛物线24(0)y ax a =<的焦点坐标是（ ）.A. （a , 0）B. (-a , 0)C. （0, a ）D. （0, - a ）4．若函数32的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：那么方程的一个近似根（精确到0.1）为（ ）. A. 1.2 B. 1.3 C. 1.4 D. 1.55．已知m 、n 是两条不同直线，α、β是两个不同平面，有下列4个命题：① 若//,m n n α⊂，则m ∥α； ② 若,,m n m n αα⊥⊥⊄，则//n α； ③ 若,,m n αβαβ⊥⊥⊥，则m n ⊥；④ 若m n 、是异面直线，,,//m n m αββ⊂⊂，则//n α. 其中正确的命题有（ ）.A. ①②B. ②③C. ③④D. ②④6． 若框图所给程序运行的结果为S=90，那么判断框中应填入的关于k的判断条件是（ ）.A. 8k ≤B. 7k ≤C. 8k ≥D. 7k ≥7． 如图，垂直于x 轴的直线EF 经坐标原点O 向右移动. 若E 是EF 与x 轴的交点，设OE =x (0x a ≤≤)，EF 在移动过程中扫过平行四边形OABC 的面积为y (图中阴影部分)，则函数()y f x =的图象大致是（ ）.8． ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列，且2c a =，则cos B =（）.A. 14B. 34C. D. 9．（文）已知函数2(4),()(1)(4)x x f x f x x ⎧<=⎨-≥⎩，那么(5)f 的值为（ ）.A. 32B. 16C. 8D. 64（理）函数2()276f x x x =-+-与()g x x =-的图象所围成封闭图形的面积为（ ）.A. 43B. 83C. 53D. 103第7题图俯视图10．已知点F 1、F 2分别是椭圆22221x y a b+=的左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与椭圆交于A 、B 两点，若△ABF 2为正三角形，则该椭圆的离心率e 为（ ）.A. 12B. C. 13D.11. 如果实数,a b R +∈,且a b >,那么b 1()2a b + 由大到小的顺序是 .12．（文）用一根长为12m 的铝合金条做成一个“目”字形窗户的框架(不计损耗)，要使这个窗户通过的阳光最充足，则框架的长与宽应为 .（理）61()x x-的展开式中的常数项是 （用数字作答）.13．已知点(1,0)A ，P 是曲线2cos 1cos2x y θθ=⎧⎨=+⎩()R θ∈上任一点，设P 到直线l ：12y =-的距离为d ，则||PA d +的最小值是 .14．如图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图是边长为2的正三角形、俯视图轮廓为正方形，则其体积是 . 15. 已知，圆C ：228120x y y +-+=，直线l ：20ax y a ++=. （1）当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；（2）当直线l 与圆C 相交于A、B 两点，且AB =l 的方程.16．（天津卷）已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球.现在从甲、乙两个盒内各任取2个球. (I)求取出的4个球均为黑色球的概率； (II)求取出的4个球中恰有1个红球的概率；(III)设ξ为取出的4个球中红球的个数，求ξ的分布列和数学期望.17.如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为正方形，侧棱SD ⊥底面ABCDE F ，，分别为AB SC ，的中点．（1）证明EF ∥平面SAD ；（2）设2SD DC =，求二面角A EF D --的大小的余弦．18.已知函数x x x f ln 21)(2+=（1）求函数)(x f 在区间[1，e ]上的最大值、最小值；（2）求证：在区间（1，∞+）上，函数)(x f 图象在函数332)(x x g =图象的下方； （3）（理科）设函数)()(x f x h '=，求证：2)]([+n x h ≥n n x h 2)(+．A E BC F S D达标训练（9）参考答案1～5 CDACB 6～10 AABC(B)D11. b1()2a b + 12. 3m 与1.5m （20-）13.14. 15. 解：将圆C 的方程228120x y y +-+=配方得标准方程为22(4)4x y +-=，则此圆的圆心为（0 , 4），半径为2.（1）若直线l 与圆C2=. 解得34a =-. （2）解法一：过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质，得22222,12CD CD DA AC DA AB ⎧=⎪⎪⎪+==⎨⎪⎪==⎪⎩解得7,1a =--. （解法二：联立方程2220,8120ax y a x y y ++=⎧⎨+-+=⎩并消去y ，得 22222(1)4(2)4(43)0a x a x a a ++++++=.设此方程的两根分别为1x 、2x，则用AB ==a .） ∴直线l 的方程是7140x y -+=和20x y -+=.16.解：(I)设“从甲盒内取出的2个球均黑球”为事件A ，“从乙盒内取出的2个球为黑球”为事件B.由于事件A ，B 相互独立，且2234224612(),()25C C P A P B C C ====.故取出的4个球均为黑球的概率为121()()()255P A B P A P B ==⨯= . (II)解：设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件C ，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件D.由于事件C ，D 互斥，且211123324422224646.41().,().155C C C C C P C P D C C C C ====.故取出的4个球中恰有1个红球的概率为417()()()15515P C D P C P D +=+=+=. (III)解：ξ可能的取值为0,1,2,3.由(I)，(II)得17(0),(1),515P P ξξ====又13224611(3).,30C P C C ξ=== 从而3(2)1(0)(1)(3)10P P P P ξξξξ==-=-=-==.ξ的分布列为ξ的数学期望17317012351510306E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=.17.解法一：（1）作FG DC ∥交SD 于点G ，则G 为SD 的中点．连结12AG FG CD∥，，又CD AB∥， 故FG AE AEFG∥，为平行四边形． EF AG ∥，又AG ⊂平面SAD EF ⊄，平面SAD ． 所以EF ∥平面SAD ．（2）不妨设2DC =，则42SD DG ADG ==，，△为等腰直角三角形． 取AG中点H ，连结DH ，则DHAG ⊥．又AB ⊥平面SAD ，所以AB DH ⊥，而AB AG A = ，所以DH ⊥面AEF ．取EF 中点M ，连结MH ，则HM EF ⊥． 连结DM ，则DM EF ⊥．故DMH ∠为二面角A EF D --的平面角tan 1DH DMH HM ∠===所以二面角A EF D --的大小为的余弦为33． 解法二：（1）如图，建立空间直角坐标系D xyz -．设(00)(00)A a S b ，，，，，，则(0)(0B a aC ，，，，00222a a b E a F ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，， 02b EF a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，，．AEBCFSD H G M取SD 的中点002b G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，则02b AG a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，，．EF AG EF AG AG =⊂，∥，平面SAD EF ⊄，平面SAD ，所以EF ∥平面SAD ．（2）不妨设(100)A ，，，则11(110)(010)(002)100122B C S E F ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，，，，，，，．EF 中点111111(101)0222222M MD EF MD EF MD EF ⎛⎫⎛⎫=---=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，，，⊥又1002EA ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，，0EA EF EA EF =，⊥，所以向量MD 和EA的夹角等于二面角A EF D --的平面角．cos 3MD EA MD EA MD EA<>==，． 所以二面角A EF D --的大小的余弦为33． 18. （1）x x x f 1)(+='=xx 12+，当∈x [1，e ]时，0)(>'x f ，则)(x f 在区间[1，e ]上是增函数∴ 当1=x 时，)(x f 有最小值21；当e x =时，)(x f 有最大值122+e （2）设)(x F =3232ln 21x x x -+，则xx x x x x x x F )21)(1(21)(22++-=-+='∵ 1>x ， 0)(<'x F ∴ )(x F 在区间（1，∞+）上是减函数又∵ 061)1(<-=F ∴ 3232ln 21x x x -+0<，即3232ln 21x x x <+，),1(∞+∈x∴在区间（1，∞+）上，函数)(x f 图象在函数332)(x x g =图象的下方（3）当1=n 时，左边=21++x x ，右边=21++xx ，不等式成立；当2=n 时，)1()1()()]([n n n n n x x x x x h x h +-+=-=)]1()1()1([21221442221-------++++++n n n n n n n n n n x xC x x C x xC 由已知，0>x∴ )()]([n n x h x h -≥22121-=+++-n n n n n C C C∴ 2)]([+n x h ≥n n x h 2)(+．。
2025届广东省广州三中高三数学第一学期期末教学质量检测试题含解析
2025届广东省广州三中高三数学第一学期期末教学质量检测试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为 A ． B ． C ． D ．2．设a ，b ，c 分别是ABC ∆中A ∠，B ，C ∠所对边的边长，则直线sin 0A x ay c ⋅--=与sin sin 0bx B y C +⋅+=的位置关系是（ ）A ．平行B ．重合C ．垂直D ．相交但不垂直3．公比为2的等比数列{}n a 中存在两项m a ，n a ，满足2132m n a a a =，则14m n +的最小值为（ ） A ．97 B ．53 C ．43 D ．13104．设m ，n 为直线，α、β为平面，则m α⊥的一个充分条件可以是( )A ．αβ⊥，n αβ=，m n ⊥B ．//αβ，m β⊥C ．αβ⊥，//m βD ．n ⊂α，m n ⊥ 5．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中，如图，白圈为阳数，黑点为阴数，若从阴数和阳数中各取一数，则其差的绝对值为5的概率为A ．15B ．625C ．825D ．256．如图，在三棱锥S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，现从该三棱锥的4个表面中任选2个，则选取的2个表面互相垂直的概率为（ ）A ．12B ．14C ．13D ．237．若双曲线22214x y a -=的离心率为3，则双曲线的焦距为（ ） A ．26B ．25C ．6D ．8 8．已知抛物线C ：()220y px p =>，直线()02p y k x k ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭与C 分别相交于点A ，M 与C 的准线相交于点N ，若AM MN =，则k =（ ） A ．3 B ．223 C ．22 D ．139．已知集合{}1,3,5,7A =，{}2,3,4,5B =，则AB = A ．{}3 B ．{}5C ．{}3,5D ．{}1,2,3,4,5,7 10．中国的国旗和国徽上都有五角星，正五角星与黄金分割有着密切的联系，在如图所示的正五角星中，以A 、B 、C 、D 、E 为顶点的多边形为正五边形，且512PT AP -=，则512AT ES --=（ ）A ．512QRB ．512RQ C ．512RD D ．512RC 11．已知函数()3sin ,f x x a x x R =+∈，若()12f -=，则()1f 的值等于（ ）A ．2B ．2-C ．1a +D ．1a - 12．曲线312ln 3y x x =+上任意一点处的切线斜率的最小值为（ ）A ．3B ．2C ．32D ．1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2024届广东省广州市第三中学数学高一下期末监测模拟试题含解析
2024届广东省广州市第三中学数学高一下期末监测模拟试题考生须知： 1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，若2cos a b C =，则ABC ∆的形状是（ ） A ．等腰三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．锐角三角形2．数列{}n a 中，22211201620172n n n a n n n n⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪>⎪-⎩，则数列{}n a 的极限值（ ） A ．等于0B ．等于1C ．等于0或1D ．不存在3．公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若4a 是37a a 与的等比中项, 13a =-，则10S 等于 （ ） A ．18B ．24C ．60D ．904．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为6，圆心角为3π的扇形，则圆锥的高为（ ）A．BCD ．55．下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数的是（ ） A ．2cos y x =B ．2sin y x =C ．cos 13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．cot y x =-6．已知集合A ={x ︱x >－2}且A B A ⋃=，则集合B 可以是（ ） A ．{x ︱x 2>4 }B ．{x︱y = }C ．{y ︱22,y x x R =-∈}D ．{}1,0,1,2,3-7．ABC 中，30A =︒，105B =︒，2a =，则c =（） A ．1BC．D ．48．已知数列{}n a 是各项均为正数且公比不等于1的等比数列()n N*∈，对于函数()f x ，若数列{(n )l }n f a 为等差数列，则称函数()f x 为“保比差数列函数”，现有定义在(0)+∞，上的如下函数：①1()f x x=，②()2f x x =，③()xf x e =；④()f x x =，则为“保比差数列函数”的所有序号为（ ） A ．①②B ．①②④C ．③④D ．①②③④9． 下列函数中，图象的一部分如图所示的是 （ ）A ．sin 6y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．cos 43y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭10．设函数是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（ ） A ．B ．C ．D ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
广东省广州三中2025届高考数学倒计时模拟卷含解析
广东省广州三中2025届高考数学倒计时模拟卷注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若各项均为正数的等比数列{}n a 满足31232a a a =+，则公比q =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．42．已知实数,x y 满足不等式组10240440x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则34x y +的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．53．若[]x 表示不超过x 的最大整数(如[]2.52=，[]44=，[]2.53-=-)，已知2107n n a ⎡⎤=⨯⎢⎥⎣⎦，11b a =，()*110,2n n n b a a n n -=-∈≥N ，则2019b =（ ）A ．2B ．5C ．7D ．84．阅读下面的程序框图，运行相应的程序，程序运行输出的结果是（ ）A ．1．1B ．1C ．2．9D ．2．85．如图，矩形ABCD 中，1AB =，2BC =E 是AD 的中点，将ABE △沿BE 折起至A BE '，记二面角A BE D '--的平面角为α，直线A E '与平面BCDE 所成的角为β，A E '与BC 所成的角为γ，有如下两个命题：①对满足题意的任意的A '的位置，αβπ+≤；②对满足题意的任意的A '的位置，αγπ+≤，则( )A ．命题①和命题②都成立B ．命题①和命题②都不成立C ．命题①成立，命题②不成立D ．命题①不成立，命题②成立6．要排出高三某班一天中，语文、数学、英语各2节，自习课1节的功课表，其中上午5节，下午2节，若要求2节语文课必须相邻且2节数学课也必须相邻（注意：上午第五节和下午第一节不算相邻），则不同的排法种数是（ ） A ．84B ．54C ．42D ．187．已知正项等比数列{}n a 中，存在两项,m n a a 13m n a a a ⋅=，65423a a a =+，则14m n+的最小值是（ ） A ．32B ．2C ．73D ．948．设a R ∈，0b >，则“32a b >”是“3log a b >”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．已知函数()sin 3f x a x x =的图像的一条对称轴为直线56x π=，且12()()4f x f x ⋅=-，则12x x +的最小值为( ) A ．3π-B ．0C ．3π D ．23π 10．已知P 为圆C ：22(5)36x y -+=上任意一点，(5,0)A -，若线段PA 的垂直平分线交直线PC 于点Q ，则Q 点的轨迹方程为( )A ．221916x y +=B ．221916x y -=C ．221916x y -=（0x <）D ．221916x y -=（0x >）11．已知纯虚数z 满足()122i z ai -=+，其中i 为虚数单位，则实数a 等于（ ） A ．1-B ．1C ．2-D ．212．若不等式22ln x x x ax -+对[1,)x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,0)-∞B ．(,1]-∞C ．(0,)+∞D ．[1,)+∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
广州天河区一一三中2024届高一数学第二学期期末质量跟踪监视模拟试题含解析
广州天河区一一三中2024届高一数学第二学期期末质量跟踪监视模拟试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．设向量(2,0)a =，333,22b ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，则向量a 与b 的夹角为( )A ．6πB ．3π C ．23π D ．34π 2．将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（ ） A ．在区间上单调递增 B ．在区间上单调递增 C ．在区间上单调递增 D ．在区间上单调递增3．点()3,2A -，()3,2B ，直线10ax y --=与线段AB 相交，则实数a 的取值范围是（ ） A ．4132a -≤≤ B ．1a ≥或1a ≤- C ．11a -≤≤D ．43a ≥或12a ≤4．如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以,OA OB 为直径作两个半圆，在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A ．21π-B ．122π- C ．2πD ．1π5．米勒问题，是指德国数学家米勒1471年向诺德尔教授提出的有趣问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长（即可见角最大？）米勒问题的数学模型如下：如图，设,M N 是锐角ABC ∠的一边BA 上的两定点，点P 是边BC 边上的一动点，则当且仅当PMN ∆的外接圆与边BC 相切时，MPN ∠最大．若()()0,1,2,3M N ，点P 在x 轴上，则当MPN ∠最大时，点P 的坐标为（ ）A ．(61,0)-B ．(16,0)-±C ．(17,0)-±D ．(71,0)-6．已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()2f x x =+，那么不等式2()10f x -<的解集是（） A ．5|02x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭B ．35| 022x x x ⎧⎫<-≤<⎨⎬⎩⎭或 C ．3|2x x ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭D ．35| 022x x x ⎧⎫<-<<⎨⎬⎩⎭或 7．若110b a<<，则下列不等式不成立．．．的是( ) A ．11a b a>- B ．a b <C ．a b >D ．22a b >8．某市电视台为调查节目收视率，想从全市3个县按人口数用分层抽样的方法抽取一个容量为n 的样本，已知3个县人口数之比为2:3:5，如果人口最多的一个县抽出60人，那么这个样本的容量等于（ ） A ．96 B ．120C ．180D ．2409．若集合，则的真子集的个数为（ ）A ．3B ．4C ．7D ．810．设R a ∈，若不等式221148x x ax x x x++-+≥-恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．[2,12]-B ．[2,10]-C ．[4,4]-D ．[4,12]-二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2018年高三最新 广州市第一一三中学高三数学(理)十月考试参考答案 精品
广州市第一一三中学高三数学（理）十月考试参考答案一、选择题：本大题共 8 小题；每小题 5 分，满分 40 分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
请将答案填入答题卡中。
1．函数1)1ln(-+=x x y 的定义域是（ ）BA ．}1|{->x xB ．}1|{>x xC ．}1|{-≥x xD ．}1|{≥x x2. “21sin =A ”是“A=30º”的（ ）B A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 3．过曲线331x y =上点)38,2(的切线方程是 （ ）A A ．016312=--y x B ．016312=+-y xC ．016312=--x yD ．016312=+-x y4．已知集合}032|{|,4|{22<--=<=x x x N x x M ，则集合N M ⋂=（ ）CA ．{2|-<x x }B ．{3|>x x }C ．{21|<<-x x }D ． {32|<<x x }5. 设向量和的长度分别为4和3，夹角为60°，则|+|的值为（ ）CA.37B.13C.37D.136. 若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ ）D A ．2- B ．2 C ．4- D ．47.袋中有大小相同的5只钢球，分别标有1、2、3、4、5五个号码.在有放回的抽取条件下依次取出2个球，设两个球号码之和为随机变量ξ，则ξ所有可能值的个数是（ ）CA.25B.10C.9D.58.某种游戏中，黑、黄两个“电子狗”从棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A 出发沿棱向前爬行，每爬完一条棱称为“爬完一段”，黑“电子狗”爬行的路线是AA 1→A 1D 1→…，黄“电子狗”爬行的路线是AB →BB 1→…，它们都遵循如下规则：所爬行的第i +2段与第i 段所在直线必须成异面直线(其中i 是正整数).设黑“电子狗”爬完2018段、黄“电子狗”爬完2018段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、黄“电子狗”间的距离是（ ）D A .0B .1C .2D .3二、填空题：本大题共有6小题，每小题5分，满分30分。
广东省广州市第一一三中学2022届高三数学押题二
广州市第一一三中学2022届高三数学猜题二一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知复数1z i =+，则21z z+=（ ） A ．12i - B ．12i + C ．12i -- D ．12i -+2、已知01a <<，则函数|||log |x a y a x =-的零点的个数为 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．43、二项式1022⎪⎪⎭⎫⎝⎛+x x 展开式中常数项是A 第10项B 第9项C 第8项D 第7项4、下列结论错误的是（ ） （1） A．若“⌝01,:2<+-∈∃x x R x P 01,:2≥+-∈∀⌝x x R x P 1214|21)62cos(|++=πx y 2π{}n a n a a a n n +==+11,1n n n n )3sin(2φ+=x y 4π0,3π||φ4π3π2π43πABC ∆2AO AB AC =+OA AB =BA BC32-3212-124πACD ABD ABC ∆∆∆、、ACDABD ABC S S S ∆∆∆++)()(32Z n x x f nn ∈=-)(x f y =(0,)+∞()322()log 1f x x x x =+++2()(2)0f m f m +-≥m R∈22221x y a b +=12||2F F c =2112120AF F F AF AF c ==且210≤≤x 21|2|3≤-x ax AP xAB yAC=+1l 1,3.x t y a t =+⎧⎨=+⎩t 2l sin 3cos 40ρθρθ-+=1l 2l 10a PO PDO D O 12,43PF PD ==EFD∠R x x x x f ∈--+=,12cos 3)4(sin 2)(2π)()(t x f x h +=)0,6(π-),0(π∈t t ,3)(:,2,4:<-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈m x f q x p ππq p 是m224x y +≤U 1x y +≤V U V U V X X ABC ∠ACA 1∠60ABCD 11平面平面⊥C C AA 1AA BD ⊥CAA D --1BP23AC =22154x y +=l 1-=y 3(0,)2F 12,l l 、N 和R 、Q ，求四边形MRNQ 面积的最小值。
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广州市第一一三中学2010届高三数学基础达标训练（5）
班级： 姓名： 计分：
1. 已知21
{|log ,1},{|(),1}2
x A y y x x B y y x ==<==>，则A B =I （ ）. A ．φ B ．（,0-∞） C ．1(0,)2 D ．（1,2
-∞）
2. 3
(1)(2)
i i i --+=（ ）.
A ．3i +
B ．3i --
C ．3i -+
D ．3i -
3. 已知等差数列}{n a 中，1,16497==+a a a ，则12a 的值是（ ）. A ．15
B ．30
C ．31
D ．64
4. 正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为（ ）.
A ．75°
B ．60°
C ．45°
D ．30°
5. 已知平面上三点A 、B 、C 满足3AB =u u u r ，4BC =u u u r ，5CA =u u u r
，则AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 的值等于（ ）.
A ．25
B ．24
C ．－25
D ．－24
6．点P 在曲线32
3
y x x =-+上移动，在点P 处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围是（ ）. A ．[0,)2π B ．3[0,)[,)24πππU C ．3[,)4ππ D ．3[0,)(,]224
πππU
7．在ABC ∆中，已知2222()sin()()sin()a b A B a b A B +-=-+，则ABC ∆的形状（ ）.
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形
D.等腰三角形或直角三角形
8．若函数f(x)=x 2+bx +c 的图象的顶点在第四象限，则函数f /(x)的图象是（ ）.
A. B. C. D.
9．（文）已知函数y =f (x )，x ∈｛1,2,3｝，y ∈｛－1,0,1｝，满足条件f (3)=f (1)+f (2)的映射的个数是（ ）. A. 2 B. 4 C. 6 D. 7
（理）已知随机变量ξ服从二项分布，且E ξ＝2.4，D ξ＝1.44，则二项分布的参数n ，p 的值为（ ）. A ．n =4，p ＝0.6 B ．n ＝6，p ＝0.4 C ．n ＝8，p ＝0.3 D ．n ＝24，p =0.1
10．椭圆221ax by +=与直线1y x =-交于A 、B 两点，过原点与线段AB 3
，则 a b
值为（ ）.
A ．
32 B ．233 C ．932 D ．23
27
11. A 、B 是x 轴上两点，点P 的横坐标为2，且｜PA ｜=｜PB ｜，若直线PA 的方程为x －y +1=0，则直线PB 的方程为 12．（文）调查某单位职工健康状况，其青年人数为300，中年人数为150，老年人数为100，现考虑采用分层抽
样，抽取容量为22的样本，则青年、中年、老年各层中应抽取的个体数分别为_____________
（理）5人站成一排，甲、乙两人之间恰有1人的不同站法的种数有 .
13．在条件02021x y x y ≤≤⎧⎪
≤≤⎨⎪-≥⎩
下, 22(1)(1)Z x y =-+-的取值范围是 .
14．设函数f (x )的图象与直线x =a ，x =b 及x 轴所围成图形的面积称为函数f (x )在[a ，b]上的面积，已知函数y
＝sinn x 在[0,
n
π
]上的面积为2n （n ∈N * ），
（i ）y ＝sin3x 在[0,23
π
]上的面积为 ；
（ii ）（理）y ＝sin （3x －π）＋1在[3π,43
π
]上的面积为 .
15. 小明、小华用4张扑克牌（分别是黑桃2、黑桃4，黑桃5、梅花5）玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，小明先抽，小华后抽，抽出的牌不放回，各抽一张. （1）若小明恰好抽到黑桃4；
①请绘制出这种情况的树状图；②求小华抽出的牌的牌面数字比4大的概率.
（2）小明、小华约定：若小明抽到的牌的牌面数字比小华的大，则小明胜，反之，则小明负，你认为这个游戏是否公平，说明你的理由.
16．已知函数f x x x ()=-+3
3（I ）证明：函数f x ()是奇函数；（II ）求f x ()的单调区间。
17.某养殖厂需定期购买饲料，已知该厂每天需要饲料200公斤，每公斤饲料的价格为1.8元，饲料的保管与其他费用为平均每公斤每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元．（Ⅰ）求该厂多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最小；（Ⅱ）若提供饲料的公司规定，当一次购买饲料不少5吨时其价格可享受八五折优惠（即原价的85%）．问该厂是否考虑利用此优惠条件，请说明理由．
18、如图，几何体ABCDE中，△ABC是正三角形，EA和DC都垂直于平面ABC，且EA=AB=2a，DC=a，
F、G分别为EB和AB的中点.
（1）求证：FD∥平面ABC；
（2）求直线BD与平面ACF所成的角的正弦值；
(3) 求几何体ABCDE的体积和表面积.
达标训练（5）参考答案 1～5 ABACC 6～10 BDAD(B)A 11. x +y －5=0 12. 12、6、4（36） 13. 1[,2]2 14.
43 （2
3
π+）. 15. 解：（1）① 小明抽出的牌 小华抽出的牌 结果 2 （4，2） 4 5 （4，5） 5 （4，5） ② 由①可知小华抽出的牌面数字比4大的概率为：
23
. （2）小明获胜的情况有：（4，2）、（5，4）、（5，4）、（5，2）、（5，2）, 故小明获胜的概率为：512 ， 因为571212
<，所以不公平.
16.解：（I ）证明：显然f x ()的定义域是R 。
设任意x R ∈， Θf x x x x x f x ()()()()()-=--+-=--+=-3
3
33， 4分 ∴函数f x ()是奇函数
6分 （II ）解：Θy x '=-+332，
8分 令y '>0，由-+>3302
x ，解得-<<11x
10分
由此可知，当-<<11x 时，y '>0，
所以函数f x x x ()=-+3
3的单调增区间是（-1，1）； 12分
当x <-1或x >1时，y '<0，
所以函数f x x x ()=-+3
3的单调减区间分别是（-∞，-1），（1，+∞）
14分
（写出的区间，无论是否包含端点均可给分。
）
17.解：（Ⅰ）设该厂应()x x N +∈天购买一次饲料，平均每天支付的总费用为1y …1分
∵饲料的保管与其它费用每天比前一天少200×0.03=6（元），
∴x 天饲料的保管与其它费用共是
26(1)6(2)633()x x x x -+-++=-L 元
………………4分
从而有211
(33300)200 1.8y x x x =
-++⨯ …………5分
3003357417x x
=++≥
………………7分
当且仅当
300
3x x
=，即10x =时，1y 有最小值………………8分 即每隔10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最小.
（Ⅱ）若厂家利用此优惠条件，则至少25天购买一次饲料，设该厂利用此优惠条件，每x 天(25x ≥)购买一次
饲料，平均每天支付的总费用为2y ，则
221
(33300)200 1.80.85y x x x =
-++⨯⨯ 3003303(25)x x x
=++≥
……………10分
∵22300
3y x
'=-
+ ∴当25x ≥时，02>'
y ，即函数2y 在[)25+∞，上是增函数…………12分 ∴当25x =时，2y 取得最小值为390，而390417<
……………13分
∴该厂应接受此优惠条件
……………14分
18.解: ∵F 、G 分别为EB 、AB 的中点，
∴FG=2
1
EA ，又EA 、DC 都垂直于面ABC, FG=DC ，
∴四边形FGCD 为平行四边形，∴FD ∥GC ，又GC ⊂面ABC ， ∴FD ∥面ABC.
（2）以G 为原点，GB 为X 轴、GC 为Y 轴、GF 为Z 轴建立空间直角坐标系，F （0，0，a ），D(0，),3a a ，
A(-a,0,0)，C （0，)0,3a ，平面ACF 的一个法向量)3,1,3(--=n ，
),3,(a a a BD -，35
105
3sin ,3510535733=
∴-
=-=
∴θa
a （3）23)636(,3a S a V V V BCD E ABC E ABCDE ++==+=--。