学思苑教育求数列通项方法

数列通项问题 （一）基本方法 （19）（本题满分14分）已知公差不为0的等差数列{}n a 的首项1a 为a(a R ∈),设数列的前n 项和为n S ， 且11a ，21a ，41a 成等比数列 （1）求数列{}n a 的通项公式及n S

（2）记1231111...n n A S S S S =++++，212221111...n

n B a a a a =++++，当2n ≥时，试比较n A 与n B 的大小. （二）常考模型

类型一：迭加法求数列通项公式

1． 在数列

中，，，求.

总结升华：

1. 在数列中，，若

为常数，则数列是等差数列；若不是一个常数， 而是关于的式子，则数列不是等差数列.

2.当数列的递推公式是形如

的解析式，而的和是可求的， 则可用多式累（迭）加法得

. 举一反三：

【变式1】已知数列

，，，求.

【变式2】数列中，，求通项公式.

类型二：迭乘法求数列通项公式

2．设是首项为1的正项数列，且，求它的通项公式.

总结升华：

1. 在数列中，，若为常数且，则数列是等比数列；若不是一个常数，

而是关于的式子，则数列不是等比数列.

2．若数列有形如的解析关系，而的积是可求的，则可用多式累（迭）乘法求得.

举一反三：

【变式1】在数列中，，，求.

【变式2】已知数列中，，，求通项公式.

类型三：倒数法求通项公式

3．数列中，,，求.

总结升华：

1．两边同时除以可使等式左边出现关于和的相同代数式的差，右边为一常数，这样把数列的每一项都取倒数，这又构成一个新的数列，而恰是等差数列.其通项易求，先求的通项，再求的通项.

2．若数列有形如的关系，则可在等式两边同乘以，先求出，再求得.

举一反三：

【变式1】数列中，，，求.

【变式2】数列中，,，求.

类型四：待定系数法求通项公式

4．已知数列中，，，求.

总结升华：

1．一般地，对已知数列的项满足，（为常数，）,则可设得

，利用已知得即，从而将数列转化为求等比数列的通项.第二种方法

利用了递推关系式作差，构造新的等比数列.这两种方法均是常用的方法.

2．若数列有形如（k、b为常数）的线性递推关系，则可用待定系数法求得.

举一反三：

【变式1】已知数列中，，求

【变式2】已知数列满足,而且，求这个数列的通项公式.

类型五：和的递推关系的应用

5．已知数列中，是它的前n项和，并且,.

(1)设,求证：数列是等比数列；

(2)设，求证：数列是等差数列；

(3)求数列的通项公式及前n项和.

总结升华：该题是着眼于数列间的相互关系的问题，解题时，要注意利用题设的已知条件，通过合理转换，将非等差、等比差、等比数列，求得问题的解决利用等差（比）数列的概念，将已知关系式进行变形，变形成能做出判断的等差或等比数列，这的常见策略.

举一反三：

【变式1】设数列首项为1，前n项和满足.

（1）求证：数列是等比数列；

（2）设数列的公比为，作数列，使，，求的通项公式.

【变式2】若,()，求.

【变式3】等差数列中，前n项和，若.求数列的前n项和.