高三第二次月考数学试卷(理科)(附答案)
台州一中2012学年第一学期高三第二次月考数学(理)试卷(附答案)
台州一中2012学年第一学期高三第二次月考试卷数 学（理） 2012.10命题人 蒋健敏 审题人 汤香花 考试时间：120分钟 满分：150分一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合{|ln(1),}A x y x y R ==-∈，集合2{|,},B y y x x R A B ==∈⋂=则（ ）A ．φB ．[0,1)C ．（1，+∞）D ．（-∞，1）2． 函数3log ,0()2,0xx x f x x >⎧=⎨≤⎩，则(9)(0)f f +=( ) A ．0B ．1C ．2D ．33．为了得到函数sin(2)6y x π=+的图像，只需把函数sin(2)3y x π=-的图像（ ）A ．向左平移4π个长度单位 B .向右平移4π个长度单位 C.向左平移2π个长度单位 D.向右平移2π个长度单位4.已知条件2:340p x x --≤；条件22:690q x x m -+-≤，若p 是q 的充分不必要条件，则m 的取值范围是 （ ）A. [1,1]-B.[4,4]-C.(,1][1,)-∞-⋃+∞D. (,4][4,)-∞-⋃+∞5.设函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+≠><的图像关于直线23x π=对称，且它的最小正周期为π，则 （ ）A. ()f x 在区间52[,]123ππ上是减函数 B. ()f x 的图像经过点1(0,)2C.()f x 的图像的一个对称中心是5(,0)12π D. ()f x 的最大值为A 6.设双曲线C ：22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，左，右顶点分别为A 1，A 2．过F 且与双曲线C 的一条渐近线平行的直线l 与另一条渐近线相交于P ，若P 恰好在以A A 为直径的圆上，则双曲线C 的离心率为 （ ）A. B. 2 C. D. 37.从集合{-3-2-1,0,1,2,3}，，中，随机取出4个数组成子集，使得这4个数中的任何两个数之和不等于1，则取出这样的子集的概率是 （ ）A.435 B. 835 C. 1635D. 27358.若多项式1621601216(1)x a a x a x a x +=++++ ，则1238238a a a a ++++= （ ）A.182 B. 172 C. 162 D. 1529.设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且(2)(2)f x f x +=-，当[2,0]x ∈-时，()(1,2xf x =-若在区间[2,6]-内的关于x 的方程()log (2)0(0a f x x a -+=>且1)a ≠恰有4个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A. (8,)+∞B. (1,8)C. (1,4)D. 1(,1)410.已知函数1(),()ln 22xx f x e g x ==+，对任意,a R ∈存在(0,)b ∈+∞使()()f a g b =，则b a -的最小值为( )A. 1B. 212e - C.2ln 2- D. 2l n 2+二．填空题：本大题共7小题，每小题4分，满分28分. 11.已知复数i z =( i 为虚数单位)，则2z ＝ ▲ . 12.二项式6(ax 展开式中的常数项是60，则实数a = ▲ . 13.若(0,),2πα∈且21cos sin(2),22παα++=则tan α= ▲ ..14. 已知直线1:4360l x y -+=和直线0:2=x l ，抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是 .15．,,,,,A B C D E F 6个同学和1个数学老师站成一排合影留念，数学老师穿白色文化衫，,A B 和,C D 分别穿白色和黑色文化衫，E 和F 分别穿红色和橙色文化衫。
河南省周口市沈丘县长安高级中学2022-2023学年高三上学期第二次月考理科数学试题
B. a∈[ 3 ,1) 4
C. a∈(0, 1 ] 3
D. a∈[ 3 ,2) 4
8.
函数 y
3x 3x
cos
x
在区间
π 2
,
π 2
的图象大致为（）
1
A.
B.
C.
D.
9. 已知函数 f (x) sin 2x 3 cos 2x 的图象向左平移 个单位长度后，得到函数 g(x) 的图象，且 g(x) 的
三、解答题：共 70 分，解答必须写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤.
17.
已知幂函数 f x m2 m 1xm1 2在0,
上为增函数.
（1）求实数 m 的值；
（2）求函数 g x f 2x 3 4x 5 的值域.
18. 已知在锐角△ABC 中，角 A，B，C 所对
边分别为
a，b，c，且
A. 2, 4
B. 0, 2, 4
2 f x x2 x 3 ，则 f 1 （）
C. 1,3,5
D. 0, 2, 4,6
A. 6
B. 5
C. 3
D. 2
3. 设命题甲：“ x2 3x 0 ”，命题乙：“ x 1 3 ”，那么命题甲是命题乙的（）
A. 充分非必要条件 C. 充要条件
B. 必要非充分条件 D. 既不充分也不必要条件
为 22. 已知函数 f x 2x2ex ， gx ax2alnxaR．
（1）求函数 f x 的单调区间和极值；
（2）若函数 h x f x g x 有 2 个零点，求实数 a 的取值范围．
4
tan C
a2
ab b2
c2
．
（1）求角 C 大小；
2020-2021学年湖南省雅礼中学高三(下)第二次月考数学试卷(理科) Word版含解析
2022-2021学年湖南省雅礼中学高三（下）其次次月考数学试卷（理科）一．选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.把答案填在答题卡中对应题号的框框内.）1．已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合，则A∩B等于（）A．{﹣2，﹣1，0，1} B．{﹣1，0，1} C．{﹣1，0，1，2} D．{﹣1，0，1，2，3}2．若A、B均是非空集合，则A∩B≠∅是A⊆B的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．即不充分也不必要条件3．（中诱导公式、基本公式）已知，且，则tan（2π﹣α）的值为（）A．B．C．D．4．如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱AA1⊥面A1B1C1，正视图是边长为2的正方形，俯视图为一个等边三角形，该三棱柱的左视图面积为（）A．2B．C．2D．45．已知向量满足：，与的夹角为，则=（）A．2 B．4 C．2D．86．设x，y 满足约束条件，则目标函数z=的最小值为（）A．2 B．1 C．D．﹣27．设f（x）定义如下面数表，{x n}满足x0=5，且对任意自然数n均有x n+1=f（x n），则x2022的值为（）x 1 234 5f（x）4 135 2A．4 B．1 C．3 D．28．如图，长沙河西先导区某广场要划定一矩形区域ABCD，并在该区域内开拓出三块外形大小相同的矩形绿化区，这三块绿化区四周和绿化区之间设有1米宽的走道．已知三块绿化区的总面积为800平方米，则该矩形区域ABCD占地面积的最小值为（）平方米．A．900 B．920 C．948 D．9689．已知函数，若存在x1＜x2，使得f（x1）=f（x2），则x1•f（x2）的取值范围为（）A．B．C．D．10．设定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），f′（x）是f（x）的导函数，当x∈[0，1]时，0≤f（x）≤1；当x∈（0，2）且x≠1时，x（x﹣1）f′（x）＜0．则方程f（x）=lg|x|根的个数为（）A．12 B．1 6 C．18 D．20二．填空题：本大题共1小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．（一）选做题（请考生在第11、12、13题中任选两题作答，假如全做，则按前两题给分）【几何证明选讲】11．如图，PC切⊙O于点C，割线PAB经过圆心O，弦CD⊥AB于点E，已知⊙O的半径为3，PA=2，则OE=．【极坐标系与参数方程选讲】12．已知曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的极坐标方程为，它们的交点在平面直角坐标系中的坐标为．【不等式选讲】1011•天津）已知集合A={x∈R||x+3|+|x﹣4|≤9}，B=，则集合A∩B=．（二）必做题（14～16题）14．设（其中e为自然对数的底数），则的值为．15．动点A（x，y）在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间t=0时，点A的坐标是，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t（单位：秒）的函数的单调递增区间是．16．已知数列{a n}的前n项和S n=（﹣1）n •n，若对任意正整数n，（a n+1﹣p）（a n﹣p ）＜0恒成立，则实数P 的取值范围是．三．解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．设函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）当时，求函数f（x）的最大值和最小值．18．设数列{a n}的前n项和为S n，已知对任意正整数n，都有S n+2=2a n成立．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，数列{b n}的前n项和为T n，求证：T n＜3．19．如图所示，在平面四边形ABCD中，，与的夹角为，与的夹角为．（1）求△CDE的面积S；（2）求．20．已知函数f（x ）=lnx﹣ax+﹣1（a∈R）（1）当a=﹣1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（2）当a≤时，争辩f（x）的单调性．21．若数列{a n}（n∈N*）满足：①a n≥0；②a n﹣2a n+1+a n+2≥0；③a1+a2+…+a n≤1，则称数列{a n}为“和谐”数列．（1）已知数列{a n}，（n∈N*），推断{a n}是否为“和谐”数列，说明理由；（2）若数列{a n}为“和谐”数列，证明：．（n∈N*）22．已知函数f（x）=（1）当x＞0时，证明：f（x）＞；（2）当x＞﹣1且x≠0时，不等式f（x）＜恒成立，求实数k的值．2022-2021学年湖南省雅礼中学高三（下）其次次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.把答案填在答题卡中对应题号的框框内.）1．已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合，则A∩B等于（）A．{﹣2，﹣1，0，1} B．{﹣1，0，1} C．{﹣1，0，1，2} D．{﹣1，0，1，2，3}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：依据集合的基本运算进行求解即可．解答：解：∵A={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合，∴A∩B={﹣1，0，1}，故选：B点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．若A、B均是非空集合，则A∩B≠∅是A⊆B的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．即不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的推断．专题：规律型．分析：推断出“A∩B≠∅”成立推不出“A⊆B”反之，若“A⊆B”成立，则能推出A∩B≠∅”确定成立，利用充要条件的有关定义得到结论．解答：解：若“A∩B≠∅”成立推不出“A⊆B”反之，若“A⊆B”成立，则有A∩B=A≠∅，所以A∩B≠∅”确定成立，所以A∩B≠∅是A⊆B的必要不充分条件，故选B．点评：本题考查推断一个条件是另一个的什么条件，应当先化简各个条件，若条件是数集的形式，常转化为推断集合间的包含关系．3．（中诱导公式、基本公式）已知，且，则tan（2π﹣α）的值为（）A．B．C．D．考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：计算题．分析：先依据诱导公式化简已知条件，得到sinα的值，然后由α的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，把所求的式子利用诱导公式化简后，再依据同角三角函数间的基本关系把切化弦后，将sinα和cosα的值代入即可求出值．解答：解：由，又，得，则．故选B点评：此题考查同学机敏运用诱导公式及同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道中档题．同学在求cosα的值时应留意α的范围．4．如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱AA1⊥面A1B1C1，正视图是边长为2的正方形，俯视图为一个等边三角形，该三棱柱的左视图面积为（）A．2B．C．2D．4考点：简洁空间图形的三视图．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：三棱柱的左视图是一个矩形，矩形的长是三棱柱的侧棱长，宽是底面三角形的一条边上的高，在边长是2的等边三角形中做出底边上的高的长度，得到结果．解答：解：由题意知三棱柱的左视图是一个矩形，矩形的长是三棱柱的侧棱长，宽是底面三角形的一条边上的高，在边长是2的等边三角形中，底边上的高是，∴侧视图的面积是2故选：A．点评：本题考查简洁的空间图形三视图，考查三视图的面积的计算，考查通过原图观看三视图的大小，比较基础．5．已知向量满足：，与的夹角为，则=（）A．2 B．4 C．2D．8考点：平面对量数量积的运算．。
2019-2020学年云南师大附中高三(下)月考数学试卷(理科)(含答案)
2019－2020学年云南师大附中高三（下）月考数学试卷（理科）（六）一、选择题.1.（5分）已知集合2{|log 1}A x x =<，集合{|||2}B x N x =∈<，则(A B = )A .{|01}x x <<B .{|02}x x <C .{|22}x x -<<D .{0，1}2.（5分）已知i 为虚数单位，则复数3(1)(1)(i i --= )A .2iB .2i -C .2D .2-3.（5分）已知平面向量a ，b 的夹角为30︒，||1a =，1()2a a b -=-，则||(b = )AB .2C .3D .44.（5分）已知实数x ，y 满足约束条件()1221x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩，则yx 的最大值为( )A .2B .32C .1D .235.（5分）在区间(0,3)上随机地取一个数k ，则事件“直线y kx =与双曲线22:1C x y -=有两个不同的交点“发生的概率为( ) A .13B .12C .23D .16.（5分）已知3(21)()x x a -+展开式中各项系数之和为27，则其展开式中2x 项的系数为( )A .24B .18C .12D .47.（5分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，若sin A =，a =，c a >，则角C 的大小为( )A .3πB .2πC .23πD .34π8.（5分）在下面四个三棱柱中，A ，B 为三棱柱的两个顶点，E ，F ，G 为所在棱的中点，则在这四个三棱柱中，直线AB 与平面EFG 不平行的是( )A .B .C .D .9.（5分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>与抛物线2:2(0)E y px p =>有公共焦点F ，椭圆C 与抛物线E 交于A ，B 两点，且A ，B ，F 三点共线，则椭圆C 的离心率为( )A 21B .22C .3D .51-10.（5分）已知数列{}n a 满足：对*n N ∀∈，1log (2)n n a n +=+，设n T 为数列{}n a 的前n 项之积，则下列说法错误的是( ) A .12a a >B .17a a >C .63T =D .76T T <11.（5分）数学家托勒密从公元127年到151年在亚历山大城从事天文观测，在编制三角函数表过程中发现了很多重要的定理和结论，如图便是托勒密推导倍角公式“2cos212sin αα=-”所用的几何图形。
湖北省武汉市2023-2024学年高三下学期数学2月调研考试试卷(含答案)
湖北省武汉市2023-2024学年高三下学期数学2月调研考试试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2024高三下·武月考）已知集合A ={x|2x 2+x −1<0}，B ={y|y =lg(x 2+1)}，则A ∩B =（ ） A ．(−1，0]B ．[0，12)C ．(−12，0]D ．[0，1)2．（2024高三下·武汉月考）复数z 满足2z +3z̅=5−2i ，则|z|=（ ）A ．√3B ．2C ．√5D ．√63．（2024高三下·武汉月考）已知ab ≠1，log a m =2，log b m =3，则log ab m =（ ）A ．16B ．15C ．56D ．654．（2024高三下·武汉月考）将3个相同的红球和3个相同的黑球装入三个不同的袋中，每袋均装2个球，则不同的装法种数为（ ） A ．7B ．8C ．9D ．105．（2024高三下·武汉月考）设抛物线y 2=2x 的焦点为F ，过抛物线上点P 作其准线的垂线，设垂足为Q ，若∠PQF =30°，则|PQ|=（ ） A ．23B ．√33C ．34D ．√326．（2024高三下·武汉月考）法布里-贝罗研究多光束干涉在薄膜理论中的应用时，用光波依次透过n 层薄膜，记光波的初始功率为P 0，记P k 为光波经过第k 层薄膜后的功率，假设在经过第k 层薄膜时光波的透过率T k =P k P k−1=12k ，其中k =1，2，3…n ，为使得P n P 0≥2−2024，则n 的最大值为（ ）A ．31B ．32C ．63D ．647．（2024高三下·武汉月考）如图，在函数f(x)=sin(ωx +φ)的部分图象中，若TA ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则点A 的纵坐标为（ ）A ．2−√22B ．√3−12C ．√3−√2D ．2−√38．（2024高三下·武汉月考）在三棱锥P −ABC 中，AB =2√2，PC =1，PA +PB =4，CA −CB =2，且PC ⊥AB ，则二面角P −AB −C 的余弦值的最小值为（ ） A ．√23B ．34C ．12D ．√105二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分.9．（2024高三下·武汉月考）已知向量a⃗=(cosθ，sinθ)，b⃗=(−3，4)，则（）A．若a⃗//b⃗，则tanθ=−43B．若a⃗⊥b⃗，则sinθ=35C．|a−b⃗|的最大值为6D．若a⃗⋅(a⃗−b⃗)=0，则|a−b⃗|=2√610．（2024高三下·武汉月考）将两个各棱长均为1的正三棱锥D−ABC和E−ABC的底面重合，得到如图所示的六面体，则（）A．该几何体的表面积为3√32B．该几何体的体积为√36C．过该多面体任意三个顶点的截面中存在两个平面互相垂直D．直线AD//平面BCE11．（2024高三下·武汉月考）已知函数f(x)=a(e x+1)ln(1+x1−x)−e x+1恰有三个零点，设其由小到大分别为x1，x2，x3，则（）A．实数a的取值范围是(0，1e)B．x1+x2+x3=0C．函数g(x)=f(x)+kf(−x)可能有四个零点D．f′(x3)f′(x1)=e x3三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．（2024高三下·武汉月考）在△ABC中，其内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B=3π4，b=6，a2+c2=2√2ac，则△ABC的面积为．13．（2024高三下·武汉月考）设椭圆x29+y25=1的左右焦点为F1，F2，过点F2的直线与该椭圆交于A，B两点，若线段AF2的中垂线过点F1，则|BF2|=．14．（2024高三下·武汉月考）“布朗运动”是指微小颗粒永不停息的无规则随机运动，在如图所示的试验容器中，容器由三个仓组成，某粒子作布朗运动时每次会从所在仓的通道口中随机选择一个到达相邻仓或者容器外，一旦粒子到达容器外就会被外部捕获装置所捕获，此时试验结束．已知该粒子初始位置在1号仓，则试验结束时该粒子是从1号仓到达容器外的概率为．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．各项均不为0的数列{a n}对任意正整数n满足：1a1a2+1a2a3+⋯+1a n a n+1=1−12a n+1．（1）若{a n}为等差数列，求a1；（2）若a1=−27，求{a n}的前n项和S n．16．（2024高三下·武汉月考）如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PA=PB，DA= DB=√2，AB=2，PD=1，点E，F分别为AB和PB的中点．（1）证明：CF⊥PE；（2）若PE=1，求直线CF与平面PBD所成角的正弦值．17．（2024高三下·武汉月考）随着科技发展的日新月异，人工智能融入了各个行业，促进了社会的快速发展．其中利用人工智能生成的虚拟角色因为拥有更低的人工成本，正逐步取代传统的真人直播带货．某公司使用虚拟角色直播带货销售金额得到逐步提升，以下为该公司自2023年8月使用虚拟角色直播带货后的销售金额情况统计．若y 与x 的相关关系拟用线性回归模型表示，回答如下问题：附：经验回归方程y ̂=b ̂x +a ̂，其中b̂=∑(x i −x ̅)n i=1(y i−y ̅)∑(x i −x̅)2n i=1=∑x i ni=1y i −nx̅y ̅∑x i 2n i=1−nx ̅2，a ̂=y̅−b ̂x ̅， 样本相关系数r =i ̅ni=1i ̅√∑(x i −x̅)2i=1√∑(y i −y̅)2i=1=i ni=1i ̅̅√∑x i 2i=1−nx̅2√∑y i 2i=1−ny̅2；参考数据：∑x i 6i=1y i =2463.4，√∑(y i −y ̅)26i=1=20√70． （1）试求变量y 与x 的样本相关系数r （结果精确到0.01）；（2）试求y 关于x 的经验回归方程，并据此预测2024年2月份该公司的销售金额．18．（2024高三下·武汉月考）已知双曲线E ：x 2a 2−y 2b 2=1的左右焦点为F 1，F 2，其右准线为l ，点F 2到直线l 的距离为32，过点F 2的动直线交双曲线E 于A ，B 两点，当直线AB 与x 轴垂直时，|AB|=6．（1）求双曲线E 的标准方程；（2）设直线AF 1与直线l 的交点为P ，证明：直线PB 过定点．19．（2024高三下·武汉月考）已知函数f(x)=e x −1x．（1）求曲线y =f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； （2）证明：f(x)是其定义域上的增函数；（3）若f(x)>a x ，其中a >0且a ≠1，求实数a 的值．答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：由2x 2+x −1<0，解得−1<x <12，则集合A ={x|−1<x <12}，因为x 2+1≥1，所以lg(x 2+1)≥0，则集合B ={y|y =lg(x 2+1)}={y|y ≥0}，所以A ∩B =[0,12).故答案为：B.【分析】解一元二次不等式求得集合A ；求对数函数的值域得集合B ，再根据集合的交集运算求解即可.2．【答案】C【解析】【解答】解：设复数z =x +yi,x,y ∈R ，则2z +3z̅=2(x +yi)+3(x −yi)=5x −yi =5−2i ，所以5x =5,−y =−2，解得x =1,y =2，所以|z|=√12+22=√5. 故答案为：C.【分析】设复数z ，根据已知条件结合复数相等求得x,y ，再根据复数模长公式计算即可.3．【答案】D【解析】【解答】解：由换底公式可得：log m a =1log a m =12，log m b =1log b m =13，所以log ab m =1log m ab =1log m a+log mb =65.故答案为：D.【分析】根据对数的换底公式以及对数的运算性质求解即可.4．【答案】A【解析】【解答】解：先将3个红球分成3组，则有0，1，2和1，1，1两种分组形式；当红球分组形式为0，1，2时，将红球放入三个不同的袋中有A 33=3×2×1=6放法， 此时三个不同的袋中依次补充上黑球，使每个袋子中球的总个数为2个即可； 当红球分组形式为1，1，1时，将红球放入三个不同的袋中有1种放法， 此时三个不同的袋中依次补充上黑球，使每个袋子中球的总个数为2个即可，综上所述：将3个相同的红球和3个相同的黑球装入三个不同的袋中，每袋均装2个球，不同的装法种数为6+1=7种. 故答案为：A.【分析】先将红球分组，再分两类研究以上不同形式下红球放入三个不同的袋中的方法数，最后袋中不重上黑球，使每个袋子中球的总个数为2个，将两类情况的方法总数相加即可.5．【答案】A【解析】【解答】解：如图所示：M 为准线与x 轴的交点，因为∠PQF =30°，且|PF|=|PQ|，所以∠PFQ =30°,∠QPF =120°， 因为FM//PQ ，所以∠QFM =30∘，因为tan30∘=|QM||MF|=|QM|1=|QM|=√33，所以|QF|=2√33， 所以|PF|=|PQ|=|QF|21cos30∘=√33√32=23. 故答案为：A.【分析】由题意得∠QFM =30∘，结合正切定义以及|FM|=1可得|QF|，求解即可.6．【答案】C【解析】【解答】解：由题意P n P n−1=12n ,P n−1P n−2=12n−1,⋯,P 1P 0=12，所以P n P 0=12n ×12n−1×⋯×12=12n(n+1)2≥2−2024， 所以n(n+1)2≤2024，即n(n +1)≤4048，易知f(n)=n(n +1)关于n 单调递增，其中n ∈N ∗，又因为f(63)=4032<4048<f(64)=4160，所以n 的最大值为63. 故答案为：C.【分析】通过累乘法以及等差数列求和公式得P n P 0=12n(n+1)2≥2−2024，进一步得 n(n +1)≤4048，再结合数列单调性求解即可. 7．【答案】B【解析】【解答】解：由图可知ωx T +φ=3π2，则x T =3π2ω−φω，则T(3π2ω−φω,0)， 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，因为TA ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以{x 2+3π2ω−φω2=x 1y 22=y 1，解得{x 2=2x 1−3π2ω+φωy 2=2y 1， 所以2y 1=y 2=f(x 2)=f(2x 1−3π2ω+φω)=sin(2ωx 1−3π2+2φ) =cos(2ωx 1+2φ)=1−2sin 2(ωx 1+φ)=1−2y 12， 所以2y 12+2y 1−1=0，又因为y 1>0，所以y 1=√3−12.故答案为：B.【分析】由题意求得得T(3π2ω−φω,0)，进一步得由TA ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 得{x 2=2x 1−3π2ω+φωy 2=2y 1，代入函数表达式结合诱导公式、余弦的二倍角公式求解即可.8．【答案】A【解析】【解答】解：因为PA +PB =4=2a ，所以a =2，点P 的轨迹方程为x 24+y 22=1（椭球），又因为CA −CB =2，所以点C 的轨迹方程为x 2−y 2=1，（双曲线的一支）过点P 作PH ⊥AB,AB ⊥PC ，而PH ∩PC =P,PF,PC ⊂面PHC ， 所以AB ⊥面PHC ，设O 为AB 中点，则二面角P −AB −C 为∠PHC ，所以设OH =2cosθ，θ∈(0,π2]，PH =√2sinθ，CH =√4cos 2θ−1，所以cos∠PHC =2sin 2θ+4cos 2θ−1−12√2sinθ√4cos θ−1=2cos 2θ2√2sinθ√4cos θ−1=√22⋅1−sin 2θsinθ√3−4sin θ，所以cos 2∠PHC =12⋅(1−sin 2θ)2sin 2θ(3−4sin 2θ)，令1−sin 2θ=t,0<t <1，所以cos 2∠PHC =12⋅(1−sin 2θ)2sin 2θ(3−4sin 2θ)=12⋅t 2(1−t)(4t−1)≥12⋅t 2(1−t+4t−12)2=29，当且仅当t =25=1−sin 2θ等号成立，所以当且仅当sinθ=√155,cosθ=√105时，(cos∠PHC)min =√23. 故答案为：A.【分析】根据已知条件求得点P,C 的轨迹方程，进一步作二面角P −AB −C 的平面角∠PHC ，结合轨迹的参数方程以及余弦定理、基本不等式求解即可.9．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：A 、若a ⃗ //b ⃗ ，则4cosθ=−3sinθ，解得tanθ=−43，故A 正确； B 、若a ⃗ ⊥b ⃗ ，则−3cosθ+4sinθ=0，解得tanθ=34， 所以sinθ=±35，故B 错误； C 、因为|a |=√cos 2θ+sin 2θ=1，|b ⃗ |=√(−3)2+42=5，而|a −b ⃗ |≤|a |+|b⃗ |=6， 当且仅当a ⃗，b ⃗ 反向时等号成立，在平面直角坐标系中，设向量a ⃗ ，b ⃗ 的起点为坐标原点， 向量a⃗ 的终点在以坐标原点为圆心，半径为1的圆上，向量b ⃗ =(−3,4)终点在第二象限， 当a⃗ ，b ⃗ 反向，则向量a ⃗ =(cosθ,sinθ)的终点应在第四象限，此时cosθ=35，sinθ=−45，故C 正确； D 、若a ⃗ ⋅(a ⃗ −b⃗ )=0，则cosθ(cosθ+3)+sinθ(sinθ−4)=0， 即cos 2θ+3cosθ+sin 2θ−4sinθ=0，所以4sinθ−3cosθ=1，|a −b ⃗ |=√(cosθ+3)2+(sinθ−4)2=√6cosθ−8sinθ+26，所以|a −b ⃗ |=√24=2√6，故D 正确. 故答案为：ACD.【分析】根据a ⃗ //b ⃗ ，有4cosθ=−3sinθ，即可判断A ；根据a ⃗ ⊥b ⃗ ，得−3cosθ+4sinθ=0，即可判断B ；根据向量减法三角形法则有|a −b ⃗ |≤|a |+|b ⃗ |=6，分别求出|a |，|b ⃗ |，有a ⃗ ，b ⃗ 反向时|a −b ⃗ |取得最大值，根据向量的几何意义即可判断C ；根据a ⃗ ⋅(a ⃗ −b⃗ )=0， 得4sinθ−3cosθ=1，又|a −b ⃗ |=√6cosθ−8sinθ+26，可计算|a −b⃗ |，即可判断D. 10．【答案】A,C【解析】【解答】解：A 、S △ABD =12×1×1×√32=√34，所以表面积为6×√34=3√32，故A 正确；B 、如图所示：设点D 在平面ABC 内的投影为O ，M 为BC 的中点，则由对称性可知O 为三角形ABC 的重心，所以AO =23AM =23×1×√32=√33，又因为AD =1，所以正三棱锥D −ABC 的高为DO =√AD 2−AO 2=√1−13=√63，所以几何体的体积为V =2V D−ABC =2×13×√63×√34=√26，故B 错误；C ，由B 选项可知DO ⊥面ABC ，由对称性可知D,O,E 三点共线，所以DE ⊥面ABC ，而DE ⊂面ADE ， 所以平面ADE ⊥平面ABC ，故C 正确；D 、建立如图所示的空间直角坐标系：其中Ox 轴平行BC ，因为AO =√33,OM =√32−√33=√36，所以B(12,√36,0),C(−12,√36,0),E(0,0,−√63),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,0),BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12,−√36,−√63)，设平面BCE 的法向量为n ⃗ =(x,y,z)，所以{−x =0−12x −√36y −√63z =0，不妨取z =1，解得y =−2√2,x =0，所以取n ⃗ =(0,−2√2,1)，又A(0,−√33,0),D(0,0,√63),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√33,√63)，而AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =−2√63+√63=−√63≠0，所以直线AD 与平面BCE 不平行，故D 错误.故答案为：AC.【分析】求其中一个正三角形的面积，即可求得几何体的表面积，判断A ；先求得V D−ABC ，进一步即可验算即可判断B ；证明面ADE ⊥面ABC 即可判断C ；建立适当的空间直角坐标系，验算平面法向量与直线方向向量是否垂直即可判断D.11．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：A 、aln(1+x 1−x)=−1−e x e x +1，设p(x)=aln(1+x 1−x ),m(x)=−1−e x e x +1，则p ′(x)=2a 1−x 2,m ′(x)=2e x (e x +1)2，所以p ′(0)=2a,m ′(0)=12，从而0<2a <12,0<a <14，故A 错误； B 、f(x)=0⇔aln(1+x 1−x)+1−e x e x +1=0，设ℎ(x)=aln(1+x 1−x)+1−e xe x +1，则它的定义域为(−1,1)，它关于原点对称，且ℎ(−x)=aln(1−x 1+x )+1−e −x e −x +1=−(aln(1+x 1−x )+1−e xe x +1)=−ℎ(x)，所以ℎ(x)是奇函数，由题意ℎ(x)=0有三个根x 1,x 2,x 3，则x 1+x 2+x 3=0，故B 正确；C 、由f(x)+kf(−x)=0⇒a(e x +1)ln(1+x 1−x )−e x +1+[a(e −x +1)ln(1−x 1+x)−e −x +1]=0，所以aln(1+x 1−x )+1−e x e x +1+k[a ln(1+x1−x )e x −1−e x e x (1+e x )]=0，所以aln(1+x 1−x )+1−e x e x +1=k e x [aln(1+x 1−x )+1−e x e x +1]，即[aln(1+x 1−x )+1−e x e x +1](1−k e x)=0已经有3个实根x 1,x 2,x 3， 当k >0时，令1−ke x =0，则x =lnk ，只需保证lnk ≠x 1,x 2,x 3可使得方程有4个实根，故C 正确；D 、由B 可知，x 1=−x 3，而f ′(x 3)f ′(x 1)=e x 3⇔f ′(x 3)=e x 3f ′(−x 3)，又f ′(x)=ae x ln 1+x 1−x +a(e x +1)21−x 2−e x ,e x 3f ′(−x 3)=aln 1−x 31+x 3+a(e x 3+1)21−x 32−1， 所以f ′(x 3)=ae x 3ln 1+x 31−x 3+a(e x 3+1)21−x 32−e x 3 =aln1−x 31+x 3+a(e x 3+1)21−x 32−1+ae x 3ln 1+x 31−x 3−aln 1−x 31+x 3−e x 3+1=e x 3f ′(−x 3)+a(e x 3+1)ln 1+x31−x 3−e x 3+1=e x 3f ′(−x 3)，故D 正确；故答案为：BCD.【分析】通过构造函数可得0<p ′(0)=2a <m ′(0)=12，由此即可判断A ；f(x)=0⇔ℎ(x)=0，证明函数ℎ(x)=aln(1+x 1−x )+1−e x e x +1是奇函数即可判断B ；将方程等价变形为[aln(1+x 1−x )+1−e x e x +1](1−k e x)=0，由此即可判断C ；由x 1=−x 3，而f ′(x 3)f ′(x 1)=e x 3⇔f ′(x 3)=e x 3f ′(−x 3)，进一步求导运算即可判断D.12．【答案】3【解析】【解答】解：在△ABC 中，B =3π4，b =6，a 2+c 2=2√2ac ，由余弦定理可得b 2=a 2+c 2−2accosB =2√2ac −2accos 3π4=3√2ac ，解得ac =6√2， 所以S △ABC =12acsinB =12×6√2×√22=3. 故答案为：3.【分析】根据B =3π4，b =6，a 2+c 2=2√2ac ，利用余弦定理求得ac =6√2，再由三角形面积公式求解即可.13．【答案】107【解析】【解答】解：设线段AF 2的中垂线与AF 2相交于点M ，易知a =3，b =√5，c =2；由已知可得|AF 1|=|F 1F 2|=2c =4，点A 在椭圆上， 由椭圆定义可得|AF 1|+|AF 2|=2a =6，所以|AF 2|=2，|AM|=|MF 2|=1，在Rt △F 1F 2M 中，cos∠F 1F 2M =|F 2M||F 1F 2|=14，∠F 1F 2M +∠F 1F 2B =π， cos∠F 1F 2B =−14，点B 在椭圆上，根据椭圆定义有：|BF 1|+|BF 2|=2a =6，设|BF 2|=m ，则|BF 1|=6−m ，|F 1F 2|=4，在△F 1F 2B 中由余弦定理有：cos∠F 1F 2B =|F 1F 2|2+|BF 2|2−|BF 1|22|F 1F 2|⋅|BF 2|=16+m 2−(6−m)28m =−14， 解得m =107，即|BF 2|=107. 故答案为：107. 【分析】由椭圆方程确定a ，b ，c 的值，结合已知条件及椭圆定义求出|AF 2|=2，在Rt △F 1F 2M 中，求出cos∠F 1F 2M =|F 2M||F 1F 2|=14，再由诱导公式求出cos∠F 1F 2B =−14，设|BF 2|=m ，则|BF 1|=6−m ，在△F 1F 2B 中由余弦定理构造方程16+m 2−(6−m)28m =−14，解出m 值即可. 14．【答案】1013【解析】【解答】解：设从i 出发最终从1号口出的概率为P i ，所以{P 1=23+13P 2P 2=13P 1+0+13P 3=13P 1+16P 2P 3=12P 2，解得P 1=1013. 故答案为：1013. 【分析】定义从i 出发最终从1号口出的概率为P i ，结合独立乘法、互斥加法列出方程组即可求解.15．【答案】（1）解：由题意1a 1a 2+1a 2a 3+⋯+1a n a n+1=1−12a n+1， 当n ≥2，n ∈N ∗时，1a 1a 2+1a 2a 3+⋯+1a n−1a n=1−12a n ， 两式相减得1a n a n+1=12a n −12a n+1⇒a n+1−a n =2，n ≥2， 因为{a n }为等差数列，在式子：1a 1a 2+1a 2a 3+⋯+1a n−1a n=1−12a n 中令n =1， 得1a 1a 2=1−12a 2，所以a 2=1a 1+12， 所以a 2−a 1=1a 1+12−a 1=2⇒a 1=−2或a 1=12， 若a 1=−2，则a 2=0，但这与a n ≠0矛盾，舍去，所以a 1=12. （2）解：因为a 1=−27，所以a 2=−72+12=−3， 而当n ≥2，n ∈N ∗时，a n+1−a n =2，所以此时a n =−3+2(n −2)=2n −7，所以此时S n =−27+(n−1)(−3+2n−7)2=n 2−6n +337， 而n =1也满足上式，综上所述，{a n }的前n 项和S n =n 2−6n +337. 【解析】【分析】（1）由递推关系求得1a n a n+1=12a n −12a n+1⇒a n+1−a n =2,n ≥2，结合已知数列{a n }为等差数列，再令n =1，求解即可；（2）先求a 2，由n ≥2，n ∈N ∗时，a n+1−a n =2，推出{a n }的通项，再根据等差数列的求和公式计算即可.16．【答案】（1）证明：取PE 的中点G ，连接DG ，FG ，由DA =DB =√2，AB =2，易知△DAB 为等腰直角三角形，此时DE =1，又PD =1，所以PE ⊥DG .因为PA =PB ，所以PE ⊥AB ，由FG//EB ，即FG//AB ，所以PE ⊥FG ，此时，CD//AB//FG ，有C ，D ，G ，F 四点共面，FG ∩DG =G ，所以PE ⊥平面CDGF ，又CF ⊂平面CDGF ，所以CF ⊥PE .（2）解：由AB ⊥PE ，AB ⊥DE ，且PE ∩DE =E ，所以AB ⊥平面PDE .由PE =DE =PD =1，得△PDE 为等边三角形，以E 为原点，EB ，ED 所在直线分别为x 轴，y 轴，过E 且与平面ABCD 垂直的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，P(0，12，√32)，D(0，1，0)，B(1，0，0)，C(2，1，0)，F(12，14，√34)，DP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，−12，√32)，DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1，−1，0)，设平面PBD 的法向量n ⃗ =(x ，y ，z) 由{n ⃗ ⋅DP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{−12y +√32z =0x −y =0，取z =1，n ⃗ =(√3，√3，1)， 又FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(32，34，−√34)，设直线CF 与平面PBD 所成角为θ， 则sinθ=|cos⟨n ⃗ ，FC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⟩|=|n ⃗⃗ ⋅FC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n⃗⃗ |⋅|FC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√37⋅3=2√77， 所以直线CF 与平面PBD 所成角的正弦值为2√77. 【解析】【分析】（1）取PE 的中点G ，连接DG ，FG ，通过证明PE ⊥平面CDGF ，再由线面垂直的性质定理证明即可；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求线面角的公式求解即可.17．【答案】（1）解：x ̅=1+2+3+4+5+66=72，y ̅=15.4+25.4+35.4+85.4+155.4+195.46=85.4， ∑x i 26i=1−6x ̅2=1+4+9+16+25+36−6×494=17.5， 所以r =∑x 6i=1y −6x ̅y ̅√∑x i 2i=1−6x ̅2√∑y i 2i=1−6y ̅2=2463.4−6×72×85.417.5×2070=67020×35≈0.96. （2）解：由题意b ̂=∑x i 6i=1y i−6x ̅y ̅∑x i 26i=1−6x ̅2=2463.4−6×72×85.417.5≈38.3， 所以a ̂=85.4−72×38.3=−48.7， 所以y 关于x 的经验回归方程为y =38.3x −48.7，所以预测2024年2月份该公司的销售金额为y =38.3×7−48.7=219.4万元.【解析】【分析】（1）由题意根据参考公式先分别算得x ̅,y ̅以及∑x i 26i=1−6x̅2，再代入相关系数公式求解即可；（2）根据（1）中的数据以及参数数据依次算得b ̂,a ̂，由此即可得经验回归方程并预测.18．【答案】（1）解：由题意{ c −a 2c =b 2c =322b 2a =6a 2+b 2=c 2⇒{a =1b =√3，所以双曲线E 的标准方程为x 2−y 23=1. （2）证明：由题意l ：x =12，设直线AB 的方程为x =my +2，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，F 1(−2，0)，{x =my +23x 2−y 2=3,⇒(3m 2−1)y 2+12my +9=0， 所以Δ=144m 2−36(3m 2−1)=36(m 2+1)>0，y 1y 2=93m 2−1，y 1+y 2=−12m 3m 2−1， 直线AF 1的方程为：y =y 1x 1+2(x +2)，∴P(12，5y 12(x 1+2))， 所以PB 的方程为y =y 2−5y 12(x 2+2)x 2−12(x −x 2)+y 2，由对称性可知PB 过的定点一定在x 轴上，令y =0⇒x =−y 2(x 2−12)y 2−5y 12(x 1+2)+x 2=−2y 2(x 1+2)(x 2−12)2x 1y 2+4y 2−5y 1+my 2+2 =−2y 2(my 1+4)(my 2+32)2(my 1+2)y 2+4y 2−5y 1+my 2+2 =−2y 2(m 2y 1y 2+32my 1+4my 2+6)+2m 2y 1y 22+8my 22−5my 1y 22my 1y 2+8y 2−5y 1+2 =−8my 1y 2−12y 22my 1y 2+8y 2−5y 1+2， 又{y 1y 2=93m 2−1y 1+y 2=−12m 3m 2−1⇒my 1y 2=−34(y 1+y 2)，所以x =6(y 1+y 2)−12y 2−32(y 1+y 2)+8y 2−5y 1+2=6y 1−6y 2132y 2−132y 1+2=1413， 所以直线PB 过定点(1413，0). 【解析】【分析】（1）由右焦点到右准线的距离以及通径长度，结合a,b,c 之间的平方关系求解即可； （2）设直线AB 的方程为x =my +2，A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),F 1(−2,0)，联立双曲线方程消元整理由韦达定理得my 1y 2=−34(y 1+y 2)，用m 以及A,B 的坐标表示出点P 以及PB 的方程，根据对称性可知，只需在PB 的直线方程中，令y =0，证明相应的x 为定值即可.19．【答案】（1）解：由题意f(1)=e −1，即切点为(1，e −1)，f ′(x)=xe x −e x +1x 2，k =f ′(1)=1， 所以曲线y =f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y =x −1+e −1，即y =x +e −2；（2）证明：由f ′(x)=(x−1)e x +1x 2，设g(x)=(x −1)e x +1，则g ′(x)=xe x ， 所以当x <0时，g ′(x)<0，g(x)单调递减，当x >0时，g ′(x)>0，g(x)单调递增， 又g(0)=0，所以对于任意的x ≠0有g(x)>0，即f ′(x)>0，因此f(x)在(−∞，0)单调递增，在(0，+∞)单调递增，即ℎ(x)=e x −x −1，则ℎ′(x)=e x −1，所以x <0时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减，所以ℎ(x)>ℎ(0)=0，即e x −1>x ，即e x −1x<1， x >0时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增，所以ℎ(x)>ℎ(0)=0，即e x −1>x ，即e x −1x>1， 所以f(x)是其定义域上的增函数.（3）解：由（2）可知，x <0时，f(x)<1，所以a x <1，故a >1，令a =e k ，k >0，F(x)=e (1−k)x −e −kx −x ，由题意x <0时，F(x)<0，x >0时，F(x)>0，若k ≥1，则当x >1时，F(x)=e (1−k)x −e −kx −x ≤1−e −kx −x <0，不满足条件， 所以0<k <1，而F ′(x)=(1−k)e (1−k)x +ke −kx −1，令G(x)=F ′(x)，则G ′(x)=(1−k)2e (1−k)x −k 2e −kx =e −kx [(1−k)2e x −k 2]， 令G ′(x)=0，得x =2ln k 1−k， F ′(x)在(−∞，2ln k 1−k )单调递减，在(2ln k 1−k ，+∞)单调递增，若2ln k 1−k <0，则当2ln k 1−k<x <0时，F ′(x)<F ′(0)=0，F(x)单调递减，此时F(x)>F(0)=0，不满足题意；若2ln k1−k >0，则当0<x<2lnk1−k时，F′(x)<F′(0)=0，F(x)单调递减，此时F(x)<F(0)=0，不满足题意；若2ln k1−k=0，则当x<0时，F′(x)>F′(0)=0，F(x)单调递增，此时F(x)<F(0)=0，且当x>0时，F′(x)>F′(0)=0，F(x)单调递增，此时F(x)>F(0)=0，满足题意，所以2ln k1−k =0，解得k=12，综上所述，a=√e.【解析】【分析】（1）由题意f(1)=e−1求得切点坐标，再求出切点处的导数值得切线斜率，即可求得切线方程；（2）对f(x)求导后，令g(x)=(x−1)e x+1，对g(x)继续求导发现，对于任意的x≠0有f′(x)>0，故只需要证明x<0时，e x−1x<1，x>0时，ex−1x>1即可；（3）由（2）得a>1，进一步令a=e k,k>0，F(x)=e(1−k)x−e−kx−x，结合题意知x<0时，F(x)<0，x>0时，F(x)>0，对k分类讨论即可求解.。
2021-2022年高三上学期第二次月考数学(理)试题含答案
2021-2022年高三上学期第二次月考数学（理）试题含答案一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知全集为R ，集合A={x|（）x ≤1}，B={x|x 2﹣6x+8≤0}， 则A∩（）=（ ）A ．{x|x ≤0}B ．{x|2≤x ≤4}C ．{x|0≤x ＜2或x ＞4}D ．{x|0＜x ≤2或x ≥4}2.下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是( ) (A)y=tanx (B)y=3x (C)y= (D)y=lg|x|3.下列四种说法中,错误的个数是( ) ①A={0,1}的子集有3个;②“若am 2<bm 2,则a<b ”的逆命题为真;③“命题p ∨q 为真”是“命题p ∧q 为真”的必要不充分条件;④命题“∀x ∈R,均有x 2-3x-2≥0”的否定是:“∃x 0∈R,使得x 02-3x 0-2≤0”. (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 4.已知函数则f(f())的值是( ) (A)9(B)(C)-9(D)-5.若a=log 20.9,则( )(A)a<b<c (B)a<c<b (C)c<a<b(D)b<c<a6.若函数y=-x 2+1(0<x<2)的图象上任意点处切线的倾斜角为α,则α的最小值是( )()()()()53A B C D 4664ππππ7.已知命题p:函数f(x)=2ax 2-x-1(a ≠0)在(0,1)内恰有一个零点;命题q:函数y=x 2-a 在(0,+∞)上是减函数.若p 且﹁q 为真命题,则实数a 的取值范围是 ( ) (A)a>1(B)a ≤2 (C)1<a ≤2(D)a ≤1或a>28.函数f(x)=的大致图象为( )9．设函数f （x ）=x 2+xsinx ，对任意x 1，x 2∈（﹣π，π）， 若f （x 1）＞f （x 2），则下列式子成立的是（ ） A ．x 1＞x 2B ．C ．x 1＞|x 2|D ．|x 1|＜|x 2|10函数y=f(x)(x ∈R)满足f(x+1)=-f(x)，且x ∈［-1,1］时f(x)=1-x 2，函数()lg x,x 0,g x 1,x 0,x>⎧⎪=⎨-<⎪⎩则函数h(x)=f(x)-g(x)在区间［-5，4］内的零点的个数为( ) (A)7(B)8(C)9(D)10二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.请把正确答案填在题中横线上)11．已知集合M={y|y=x 2﹣1，x ∈R}，，则M∩N=_____ 12．已知函数f （x ）=a x +b （a ＞0，a ≠1）的定义域和值域都是 [﹣1，0]，则a+b= ．13.已知p:≤x ≤1,q:(x-a)(x-a-1)>0,若p 是﹁q 的充分不必要条件,则实数a 的取值范围是 .14．若f （x ）=是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围为 ． 15.若方程有正数解，则实数的取值范围是_______三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16．（12分）已知p ：∀x ∈R ，2x ＞m （x 2+1），q ：∃x 0∈R ， x+2x 0﹣m ﹣1=0，且p ∧q 为真，求实数m 的取值范围．17、（12分）已知函数．（1）求f（x）的定义域；（2）讨论f（x）的奇偶性；（3）证明f（x）在（0，1）内单调递减．18．（12分）已知函数f（x）=x3﹣ax2﹣3x（1）若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围；（2）若x=﹣是f（x）的极值点，求f（x）在[1，4]上的最大值．19．(12分)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．（Ⅰ）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；（Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•v（x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）．20. （13分）已知函数f(x)满足()()()x 121f x f 1e f 0x x .2-='-+(1)求f(x)的解析式及单调区间.(2)若f(x)≥x 2+ax+b,求(a+1)b 的最大值.21、 (14分)已知函数21()(21)2ln ()2f x ax a x x a R =-++∈．（Ⅰ）若曲线y=f （x ）在x=1和x=3处的切线互相平行，求a 的值； （Ⅱ）求f （x ）的单调区间；（Ⅲ）设g （x ）=x 2﹣2x ，若对任意x 1∈（0，2]，均存在x 2∈（0，2]，使得 f （x 1）＜g （x 2），求a 的取值范围．高三数学第一次检测题答案解析1. C ．2.C.3.D.4.B.5.B.6.D.7.C 8、D.9.【解析】∵f （﹣x ）=（﹣x ）2﹣xsin （﹣x ）=x 2+xsinx=f （x ），∴函数f （x ）=x 2+xsinx 为偶函数，又f′（x ）=2x+sinx+xcosx ，∴当x ＞0时，f′（x ）＞0，∴f （x ）=xsinx 在[0，π]上单调递增，∴f （﹣x ）=f （|x|）；∵f （x 1）＞f （x 2），∴结合偶函数的性质得f （|x 1|）＞f （|x 2|），∴|x 1|＞|x 2|，∴x 12＞x 22．故选B ．10.选A.由f（x＋1）＝－f（x），可得f（x＋2）＝－f（x＋1）＝f（x），所以函数f（x）的周期为2，求h（x）＝f（x）－g（x）的零点，即求f（x）＝g（x）在区间［－5,4］的解的个数.画出函数f（x）与g（x）的图象，如图，由图可知两图象在［－5,4］之间有7个交点，所以所求函数有7个零点，选A.11、解：∵集合M={y|y=x2﹣1，x∈R}={y|y≥﹣1}，={x|﹣}，∴M∩N=．故答案为：．12、解：当a＞1时，函数f（x）=a x+b在定义域上是增函数，所以，解得b=﹣1，=0不符合题意舍去；当0＜a＜1时，函数f（x）=a x+b在定义域上是减函数，所以，解得b=﹣2，a=，综上a+b=，故答案为：13.q:x>a+1或x<a,从而﹁q:a≤x≤a+1.由于p是﹁q的充分不必要条件,故a111a2≥⎧⎪⎨≤⎪⎩＋，，即0≤a≤.答案:[0,]14、解：∵f（x）=是R上的单调函数，∴，解得：a≥，故实数a的取值范围为[，+∞），故答案为：[，+∞）15.16、解：不等式2x＞m（x2+1），等价为mx2﹣2x+m＜0，若m=0，则﹣2x＜0，即x＞0，不满足条件．若m≠0，要使不等式恒成立，则，即，解得m＜﹣1．即p：m＜﹣1．———————————————————————4分若∃x0∈R，x+2x﹣m﹣1=0，则△=4+4（m+1）≥0，解得m≥﹣2，即q：m≥﹣2．———————————————————————8分若p∧q为真，则p与q同时为真，则，即﹣2≤m＜﹣1————12分17、解：（1）⇔﹣1＜x＜0或0＜x＜1，故f（x）的定义域为（﹣1，0）∪（0，1）；————————————4分（2）∵，∴f（x）是奇函数；————————————————————————————6分（3）设0＜x1＜x2＜1，则∵0＜x1＜x2＜1，∴x2﹣x1＞0，x1x2＞0，（1﹣x1）（1+x2）=1﹣x1x2+（x2﹣x1）＞1﹣x1x2﹣（x2﹣x1）=（1+x1）（1﹣x2）＞0∴，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）∴f（x）在（0，1）内递减——————————————————12分另解：∴当x∈（0，1）时，f′（x）＜0故f（x）在（0，1）内是减函数．—————————————————12分18、解：（1）求导函数，可得f′（x）=3x2﹣2ax﹣3，∵f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，∴f′（x）≥0在区间[1，+∞）上恒成立∴3x2﹣2ax﹣3≥0在区间[1，+∞）上恒成立∴且f′（1）=﹣2a≥0∴a≤0———4分（2）∵x=﹣是f（x）的极值点，∴∴∴a=4——6分∴f（x）=x3﹣4x2﹣3x，f′（x）=3x2﹣8x﹣3，∴x1=﹣，x2=3令f′（x）＞0，1＜x＜4，可得3＜x＜4；令f′（x）＜0，1＜x＜4，可得1＜x＜3；∴x=3时，函数取得最小值﹣18∵f（1）=﹣6，f（4）=﹣12∴f（x）在[1，4]上的最大值为﹣6．————————————————12分19、解：（Ⅰ）由题意：当0≤x≤20时，v（x）=60；当20＜x≤200时，设v （x）=ax+b再由已知得，解得故函数v（x）的表达式为．——————4分（Ⅱ）依题并由（Ⅰ）可得当0≤x＜20时，f（x）为增函数，故当x=20时，其最大值为60×20=1200当20≤x≤200时，当且仅当x=200﹣x，即x=100时，等号成立．所以，当x=100时，f（x）在区间（20，200]上取得最大值．综上所述，当x=100时，f（x）在区间[0，200]上取得最大值为，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．—————————————————————————10分答：（Ⅰ）函数v（x）的表达式（Ⅱ）当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．——————————————————————————12分20.(1)∵f(x)=f′(1)e x-1-f(0)x+x2,∴f′(x)=f′(1)e x-1-f(0)+x,令x=1得：f(0)=1,∴f(x)=f′(1)e x-1-x+x2,∴f(0)=f′(1)e-1=1,∴f′(1)=e得：f(x)=e x-x+x2.—————————4分设g(x)=f′(x)=e x-1+x,g′(x)=e x+1>0,∴y=g(x)在R上单调递增.令f′(x)>0=f′(0)，得x>0,令f′(x)<0=f′(0)得x<0，∴f(x)的解析式为f(x)=e x-x+x2且单调递增区间为（0，+∞),单调递减区间为（-∞,0).————————————-4分(2)由f(x)≥x2+ax+b得e x-(a+1)x-b≥0，令h(x)=e x-(a+1)x-b,则h′(x)=e x-(a+1).①当a+1≤0时，h′(x)>0⇒y=h(x)在x∈R上单调递增.x→-∞时，h(x)→-∞与h(x)≥0矛盾.——————————6分②当a+1>0时，由h′(x)>0得x>ln(a+1),由h′(x)<0得x<ln(a+1)=(a+1)-(a+1)ln(a+1)-b≥0.———8分得当x=ln(a+1)时，h(x)min（a+1)b≤(a+1)2-(a+1)2ln(a+1) (a+1>0).令F(x)=x2-x2ln x(x>0)，则F′(x)=x（1-2ln x),——————10分由F′(x)>0得0<x<,由F′(x)<0得x>,当x=时，F（x)=,∴当a=-1,b=时，（a+1)b的最大值为.—————————max—————————————13分21、解：（Ⅰ）∵函数，∴（x＞0）．∵曲线y=f（x）在x=1和x=3处的切线互相平行，∴f'（1）=f'（3），即，解得．————————————4分（Ⅱ）（x＞0）．①当a≤0时，x＞0，ax﹣1＜0，在区间（0，2）上，f'（x）＞0；在区间（2，+∞）上f'（x）＜0，故f（x）的单调递增区间是（0，2），单调递减区间是（2，+∞）．②当时，，在区间（0，2）和上，f'（x）＞0；在区间上f'（x）＜0，故f（x）的单调递增区间是（0，2）和，单调递减区间是③当时，，故f（x）的单调递增区间是（0，+∞）．④当时，，在区间和（2，+∞）上，f'（x）＞0；在区间上f'（x）＜0，故f（x）的单调递增区间是和（2，+∞），单调递减区间是．————————————8分（Ⅲ）由已知，在（0，2]上有f（x）max ＜g（x）max．由已知，g（x）max=0，由（Ⅱ）可知，①当时，f（x）在（0，2]上单调递增，故f（x）max=f（2）=2a﹣2（2a+1）+2ln2=﹣2a﹣2+2ln2，所以，﹣2a﹣2+2ln2＜0，解得a＞ln2﹣1，故．——————————————————12分②当时，f（x）在上单调递增，在上单调递减，故．由可知，2lna＞﹣2，﹣2lna＜2，所以，﹣2﹣2lna＜0，f（x）max＜0，综上所述，a＞ln2﹣1．————————————————14分21072 5250 剐31873 7C81 粁31426 7AC2 竂z33043 8113 脓e35722 8B8A 變 39463 9A27 騧K34467 86A3 蚣38124 94EC 铬=40272 9D50 鵐。
高三第二次月考数学试卷(附答案)
高三第二次月考数学试卷（卷面150分,考试时间120分钟）卷Ⅰ一. 选择题:(共12小题,每小题5分共60分,每小题只有一个正确选项)1. 定义{}A B x x A x B -=∈∉且,若{}1,2,3,4,5M =,{}2,3,6N =,则N M -等于 A. M B. N C. {}1,4,5 D.{}62. 非空数集{}1,2,3,4,5S ⊆ ,且S 还满足条件:若,a S ∈则 6a S -∈ ,则符合上述条件的S 集合的个数为A. 4B. 5C. 6D. 73. 设集合{}22,A x x x R =-≤∈,{}2,12B y y x x ==--≤≤, 则()R C A B ⋂等于 A. R B. {}0x x R x ∈≠且 C. {}0 D. ∅4. 已知函数()2f x x bx c =++ 对任意实数x 都有()()1f x f x +=- ,则下面不等式成立的是 A. ()()()202f f f - B. ()()()220f f f - C. ()()()022f f f - D. ()()()202f f f -5. 函数()3,f x x x x R =+∈,当02πθ≤≤时,()()sin 10f m f m θ+-恒成立,则实数m 的取值范围是A. ()0,1B. (),0-∞C. 1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ D. (),1-∞6. 数列{}n a 为等差数列,n S 为其n 前项的和,147a a a ++=21 ,3699a a a ++=,则9S 等于A. 15B. 40C. 45D. 50 7. 在等比数列{}n a 中,7114146,5a a a a ⋅=+=,则2010a a = A.2332或 B. 23 C. 32 D. 131或-2 8. 化简()11111121231234123n N n*+++++∈+++++++++的结果是 A. 1n n + B.21n n + C. 221n n + D. 21nn +9.已知[)1sin cos ,,tan 5αααπα+=∈且0,则的值为A. 43-B. 34-C. 34D. 4310. 函数()()sin 0y x ωω=在区间[]0,1上存在对称轴,则ω的最小值为A.4π B. 2πC. πD. 2π 11. 如果4x π≤ , ,那么函数()2cos sinf x x x =+的最小值是A.12 B. 12- C. 1- D. 12. 函数()f x 在R 上是增函数, ()0,2A ,()4,2B 是其图象上的两个点,则不等式()22f x +的解集是A. ()(),22,-∞-⋃+∞B.()2,2-C. ()(),04,-∞+∞D.()0,4二.填空题:(共4小题,每小题5分,共20分,请将答案直接填在题中的横线上)13.若y = 的定义域为R ，则a 的取值范围 . 14.已知()()l o g 2a fx a x =-在[]0,1上是减函数,则a 的取值范围是 .15. 设数列{}n a 的通项为()27n a n n N *=-∈,则1215a a a +++=16. 在ABC ∆3中，已知sinB=5,5cos 13A =,则cos C = .三.解答题:(共6小题,共70分,解答应写出文字说明,推导过程或演算步骤)17.(本题满分10分)已知向量()()sin ,0,cos ,1a x b x →→==，其中203xπ，求12a →的取值范围。
湖南省长沙市长郡中学2023届高三月考试卷(二)数学试题及答案
长郡中学2023届高三月考试卷（二）数学本试卷共8页。
时量120分钟。
满分150分。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
已知全集U =R ,集合{}2,3,4A =,结合{}02,45B =，，，则图中阴影部分表示的集合为A. {}2,4B. {}0C. {}5D. {}0,52.若1a iz i+=-（i 为虚数单位）是纯虚数，则a =A. -1B. 0C. 1D. 23.已知函数()y f x =的图象在点(3,(3))P f 处的切线方程式27y x =-+，则'(3)(3)f f -=A. -2B. 2C. -3D. 34.命题p ：“2,240x ax ax ∃∈+≥R ”为假命题的一个充分不必要条件是A.40a -<≤ B. 40a -≤< C. 30a -≤≤ D. 40a -≤≤5. 当102x ……时,4log x a x <, 则a 的取值范围是A. ⎛ ⎝B. ⎫⎪⎪⎭C. D. 2)6. 已知函数()sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有 3 个零点, 则ω的取值范围是A. 81114,4,333⎡⎫⎛⎫⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭ B. 111417,4,333⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭ C. 111417,5,333⎡⎫⎛⎫⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭D. 141720,5,333⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭7.南宋数学家杨辉在《详解九章算术法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般的等差数列不同，前后两项之差并不相等,但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.如数列1,3,6,10,前后两项之差组成新数列2,3,4,新数列2,3,4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列.现有高阶等差数列,其前7项分别为1，4, 8，14, 23，36，54，则该数列的第19项为（注：222(1)(21)126n n n n ++++=……）A. 1624 B. 1024 C. 1198 D. 15608. 已知函数312(),,.,(,)f x x ax b a b x x m n =++∈∈R 且满足()()12(),()f x f n f x f m ==, 对任意的[,]x m n ∈恒有()()()f m f x f n ……, 则当,a b 取不同的值时A. 12n x +与22m x -均为定值B. 12n x -与22m x +均为定值C. 12n x -与22m x -均为定值D. 12n x +与22m x +均为定值二、选择题: 本题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 5 分, 部分选对的得 2 分, 有选错的得 0 分.9.已知奇函数())cos()(0,0)f x x x ωϕωϕωϕπ=+-+><<的最小正周期为π，将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度，可的导函数()y g x =的图象，则下列结论正确的是A. 函数()2sin(23g x x π=-B. 函数()g x的图象关于点⎛⎫⎪⎝⎭对称C. 函数()g x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增D. 当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()g x10.正四棱锥P ABCD -的所有棱长为2，用垂直于侧棱PC 的平面α截该四棱锥，则A. PC BD⊥B. 四棱锥外接球的表面积为8πC. PA 与底面ABCD 所成的角为60︒D. 当平面α经过侧棱PC 中点时,截面分四棱锥得到的上、下两部分几何体体积之比为3: 111.已知数列{}n a 满足1222,8,1,,n n n n a n a a a T a n +--⎧===⎨⎩为偶数，为奇数为数列{}n a 的前n 项和,则下列说法正确的有A. n 为偶数时, 22(1)n n a -=- B. 229n T n n =-+C. 992049T =- D. n T 的最大值为 2012.设定义在R 上的函数()f x 与()g x 的导函数分别为'()f x 和'()g x ，若(2)(1)2f x g x +--=，''()(1)f x g x =+，且(1)g x +为奇函数，则下列说法中一定正确的是A.(1)0g =B.函数'()g x 的图象关于2x =对称C.20221()0k g k ==∑ D. 20211()()0k f k g k ==∑三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13. 若22log log 6a b +=, 则a b +的最小值为_____.14. 已知边长为 2 的菱形ABCD 中, 点F 为BD 上一动点, 点E 满足22,3BE EC AE BD =⋅=- , 则AF EF ⋅的最小值为_____.15. 已知等差数列{}n a 和正项等比数列{}n b 满足117332,2a b a b a ====,则数列{}2(2)nn a b -的前n 项和为_____.16. 已知函数ln (),()e x x xf xg x x==, 若存在120,x x >∈R , 使得()()120f x g x =<成立,则12x x 的最小值为_____.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
高三数学上学期第二次月考试卷 理(含解析)-人教版高三全册数学试题
2015-2016学年某某省马某某市红星中学高三（上）第二次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集U是实数集R，M={x|y=ln（x2﹣2x） }，N={y|y=}，则图中阴影部分表示的集合是( )A．{x|﹣2≤x＜2} B．{x|1＜x≤2}C．{x|1≤x≤2}D．{x|x＜1}2．已知函数f（x）=且f（a）=﹣3，则f（6﹣a）=( ) A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣3．给出如下命题，正确的序号是( )A．命题：∀x∈R，x2≠x的否定是：∃x0∈R，使得x02≠xB．命题：若x≥2且y≥3，则x+y≥5的否命题为：若x＜2且y＜3，则x+y＜5C．若ω=1是函数f（x）=cosωx在区间[0，π]上单调递减的充分不必要条件D．命题：∃x0∈R，x02+a＜0为假命题，则实数a的取值X围是a＞04．已知某几何体的三视图如图所示，其中，正（主）视图，侧（左）视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为( )A．B．C．D．5．设F1、F2为椭圆+y2=1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P、Q两点，当四边形PF1QF2面积最大时，•的值等于( )A．0 B．2 C．4 D．﹣26．设a=log37，b=21.1，c=0.83.1，则( )A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜c＜b7．执行如图所示的程序框图，如果输入P=153，Q=63，则输出的P的值是( )A．2 B．3 C．9 D．278．若点（16，tanθ）在函数y=log2x的图象上，则=( ) A．B．C．4 D．49．已知函数f（x）=（）x﹣log3x，若实数x0是方程f（x）=0的解，且x0＜x1，则f（x1）的值( )A．恒为负B．等于零C．恒为正D．不大于零10．已知数列{a n}的前n项和为S n，过点P（n，S n）和Q（n+1，S n+1）（n∈N*）的直线的斜率为3n﹣2，则a2+a4+a5+a9的值等于( )A．52 B．40 C．26 D．2011．函数y=e|lnx|﹣|x﹣1|的图象大致是( )A．B． C．D．12．已知定义在R上的奇函数f（x），其导函数为f′（x），对任意正实数x满足xf′（x）＞2f（﹣x），若g（x）=x2f（x），则不等式g（x）＜g（1﹣3x）的解集是( )A．（，+∞）B．（﹣∞，）C．（0，）D．（﹣∞，）∪（，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．计算：（）+lg+lg70+=__________．14．设变量x，y满足约束条件，则z=x﹣3y的最小值是__________．15．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x﹣4）=﹣f（x），且在区间[0，2]上是增函数．若方程f（x）=m（m＞0）在区间[﹣8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4=__________．16．关于函数f（x）=（x≠0），有下列命题：①f（x）的最小值是lg2；②其图象关于y轴对称；③当x＞0时，f（x）是增函数；当x＜0时，f（x）是减函数；④f（x）在区间（﹣1，0）和（1，+∞）上是增函数，其中所有正确结论的序号是__________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知p：|1﹣|≤2；q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），若￢p是￢q的必要不充分条件，某某数m的取值X围．18．已知函数f（x）=﹣x2+2ex+m﹣1，g（x）=x+（x＞0）．（1）若y=g（x）﹣m有零点，求m的取值X围；（2）确定m的取值X围，使得g（x）﹣f（x）=0有两个相异实根．19．已知函数f（x）=log a（x+1）（a＞1），若函数y=g（x）的图象上任意一点P关于原点的对称点Q的轨迹恰好是函数f（x）的图象．（1）写出函数g（x）的解析式；（2）当x∈[0，1）时，总有f（x）+g（x）≥m成立，求m的取值X围．20．某机床厂今年初用98万元购进一台数控机床，并立即投入使用，计划第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年的维修、保养修费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，设使用x年后数控机床的盈利总额y元．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）从第几年开始，该机床开始盈利？（3）使用若干年后，对机床的处理有两种方案：①当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该机床；②当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该机床．问哪种方案处理较为合理？请说明理由．21．已知函数f（x）=+xlnx，g（x）=x3﹣x2﹣3．（1）讨论函数h（x）=的单调性；（2）如果对任意的s，t∈[，2]，都有f（s）≥g（t）成立，某某数a的取值X围．四、选做题：请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．已知曲线C1的参数方程是（θ为参数）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=﹣4cosθ．（1）求曲线C1与C2交点的极坐标；（2）A、B两点分别在曲线C1与C2上，当|AB|最大时，求△OAB的面积（O为坐标原点）．23．已知不等式|2x+2|﹣|x﹣1|＞a．（1）当a=0时，求不等式的解集（2）若不等式在区间[﹣4，2]内无解．某某数a的取值X围．2015-2016学年某某省马某某市红星中学高三（上）第二次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集U是实数集R，M={x|y=ln（x2﹣2x） }，N={y|y=}，则图中阴影部分表示的集合是( )A．{x|﹣2≤x＜2} B．{x|1＜x≤2}C．{x|1≤x≤2}D．{x|x＜1}【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【专题】应用题；集合思想；定义法；集合．【分析】由图知，阴影部分表示的集合中的元素是在集合N中的元素但不在集合M中的元素组成的，即N∩C U M．【解答】解：由韦恩图知阴影部分表示的集合为N∩（C U M）M={x|y=ln（x2﹣2x） }∴x2﹣2x＞0，解得x＜0，或x＞2，∴M={x|x＜0，或x＞2}，∴C U M={x|0≤x≤2}=[0，2]，N={y|y=}={y|y≥1}=[1，+∞），∴N∩（C U M）=[1，2]，故选：C【点评】本小题主要考查Venn图表达集合的关系及运算、二次不等式的解法等基础知识，属于基础题2．已知函数f（x）=且f（a）=﹣3，则f（6﹣a）=( ) A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣【考点】分段函数的应用；函数的零点．【专题】函数的性质及应用．【分析】由f（a）=﹣3，结合指数和对数的运算性质，求得a=7，再由分段函数求得f（6﹣a）的值．【解答】解：函数f（x）=且f（a）=﹣3，若a≤1，则2a﹣1﹣2=﹣3，即有2a﹣1=﹣1＜0，方程无解；若a＞1，则﹣log2（a+1）=﹣3，解得a=7，则f（6﹣a）=f（﹣1）=2﹣1﹣1﹣2=﹣．故选：A．【点评】本题考查分段函数的运用：求函数值，主要考查指数和对数的运算性质，属于中档题．3．给出如下命题，正确的序号是( )A．命题：∀x∈R，x2≠x的否定是：∃x0∈R，使得x02≠xB．命题：若x≥2且y≥3，则x+y≥5的否命题为：若x＜2且y＜3，则x+y＜5C．若ω=1是函数f（x）=cosωx在区间[0，π]上单调递减的充分不必要条件D．命题：∃x0∈R，x02+a＜0为假命题，则实数a的取值X围是a＞0【考点】命题的真假判断与应用．【专题】计算题；规律型；简易逻辑．【分析】利用命题的否定判断A的正误；四种命题的逆否关系判断B的正误；充要条件判断C 的正误；命题的真假判断D的正误；【解答】解：对于A，命题：∀x∈R，x2≠x的否定是：∃x0∈R，使得x02≠x0，不满足命题的否定形式，所以不正确；对于B，命题：若x≥2且y≥3，则x+y≥5的否命题为：若x＜2且y＜3，则x+y＜5，不满足否命题的形式，所以不正确；对于C，若ω=1是函数f（x）=cosx在区间[0，π]上单调递减的，而函数f（x）=cosωx在区间[0，π]上单调递减的，ω≤1，所以ω=1是函数f（x）=cosωx在区间[0，π]上单调递减的充分不必要条件，正确．对于D，命题：∃x0∈R，x02+a＜0为假命题，则命题：a≥0，∀x∈R，x2+a≥0是真命题；所以，命题：∃x0∈R，x02+a＜0为假命题，则实数a的取值X围是a＞0，不正确；故选：C．【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，基本知识的考查．4．已知某几何体的三视图如图所示，其中，正（主）视图，侧（左）视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为( )A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】图表型．【分析】先由三视图还原成原来的几何体，再根据三视图中的长度关系，找到几何体中的长度关系，进而可以求几何体的体积．【解答】解：由三视图可得该几何体的上部分是一个三棱锥，下部分是半球，所以根据三视图中的数据可得：V=××=，故选C．【点评】本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是组合体的体积，一般组合体的体积要分部分来求．三视图的投影规则是：“主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等”．三视图是高考的新增考点，不时出现在高考试题中，应予以重视．5．设F1、F2为椭圆+y2=1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P、Q两点，当四边形PF1QF2面积最大时，•的值等于( )A．0 B．2 C．4 D．﹣2【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题．【分析】通过题意可推断出当P、Q分别在椭圆短轴端点时，四边形PF1QF2面积最大．进而可根据椭圆的方程求得焦点的坐标和P的坐标，进而求得和，则•的值可求得．【解答】解：根据题意可知当P、Q分别在椭圆短轴端点时，四边形PF1QF2面积最大．这时，F1（﹣，0），F2（，0），P（0，1），∴=（﹣，﹣1），=（，﹣1），∴•=﹣2．故选D【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质．考查了学生数形结合的思想和分析问题的能力．6．设a=log37，b=21.1，c=0.83.1，则( )A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜c＜b【考点】对数值大小的比较．【专题】函数的性质及应用．【分析】分别讨论a，b，c的取值X围，即可比较大小．【解答】解：1＜log37＜2，b=21.1＞2，c=0.83.1＜1，则c＜a＜b，故选：B．【点评】本题主要考查函数值的大小比较，根据指数和对数的性质即可得到结论．7．执行如图所示的程序框图，如果输入P=153，Q=63，则输出的P的值是( )A．2 B．3 C．9 D．27【考点】程序框图．【专题】图表型；算法和程序框图．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的R，P，Q的值，当Q=0时，满足条件Q=0，退出循环，输出P的值为3．【解答】解：模拟执行程序，可得P=153，Q=63不满足条件Q=0，R=27，P=63，Q=27不满足条件Q=0，R=9，P=27，Q=9不满足条件Q=0，R=0，P=9，Q=0满足条件Q=0，退出循环，输出P的值为9．故选：C．【点评】本题主要考查了程序框图和算法，依次写出每次循环得到的R，P，Q的值是解题的关键，属于基本知识的考查．8．若点（16，tanθ）在函数y=log2x的图象上，则=( ) A．B．C．4 D．4【考点】三角函数的化简求值．【专题】计算题；转化思想；转化法；三角函数的求值．【分析】先根据对数的运算性质求出tanθ，再化简代值计算即可．【解答】解：点（16，tanθ）在函数y=log2x的图象上，∴tanθ=log216=4，∴====，故选：B．【点评】本题考查了二倍角公式，函数值的求法，以及对数的运算性质，属于基础题．9．已知函数f（x）=（）x﹣log3x，若实数x0是方程f（x）=0的解，且x0＜x1，则f（x1）的值( )A．恒为负B．等于零C．恒为正D．不大于零【考点】函数的零点与方程根的关系．【专题】函数的性质及应用．【分析】由函数的性质可知，f（x）=（）x﹣log3x在（0，+∞）上是减函数，且可得f（x0）=0，由0＜x0＜x1，可得f（x1）＜f（x0）=0，即可判断【解答】解：∵实数x0是方程f（x）=0的解，∴f（x0）=0．∵函数y（）x，y=log3x在（0，+∞）上分别具有单调递减、单调递增，∴函数f（x）在（0，+∞）上是减函数．又∵0＜x0＜x1，∴f（x1）＜f（x0）=0．∴f（x1）的值恒为负．故选A．【点评】本题主要考查了函数的单调性的简单应用，解题的关键是准确判断函数f（x）的单调性并能灵活应用．10．已知数列{a n}的前n项和为S n，过点P（n，S n）和Q（n+1，S n+1）（n∈N*）的直线的斜率为3n﹣2，则a2+a4+a5+a9的值等于( )A．52 B．40 C．26 D．20【考点】数列的求和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】首先根据题中的已知条件已知数列{a n}的前n项和为S n，过点P（n，S n）和Q（n+1，S n+1）（n∈N*）的直线的斜率为3n﹣2，进一步求出数列的通项公式，然后根据通项公式求出各项的值，最后确定结果．【解答】解：已知数列{a n}的前n项和为S n，过点P（n，S n）和Q（n+1，S n+1）（n∈N*）的直线的斜率为3n﹣2则：∴a n=3n﹣5a2+a4+a5+a9=40故选：B【点评】本题考查的知识点：根据点的斜率求出数列的通项公式，由通项公式求数列的项．11．函数y=e|lnx|﹣|x﹣1|的图象大致是( )A．B． C．D．【考点】对数的运算性质；函数的图象与图象变化．【分析】根据函数y=e|lnx|﹣|x﹣1|知必过点（1，1），再对函数进行求导观察其导数的符号进而知原函数的单调性，得到答案．【解答】解：由y=e|lnx|﹣|x﹣1|可知：函数过点（1，1），当0＜x＜1时，y=e﹣lnx﹣1+x=+x﹣1，y′=﹣+1＜0．∴y=e﹣lnx﹣1+x为减函数；若当x＞1时，y=e lnx﹣x+1=1，故选D．【点评】本题主要考查函数的求导与函数单调性的关系．12．已知定义在R上的奇函数f（x），其导函数为f′（x），对任意正实数x满足xf′（x）＞2f（﹣x），若g（x）=x2f（x），则不等式g（x）＜g（1﹣3x）的解集是( )A．（，+∞）B．（﹣∞，）C．（0，）D．（﹣∞，）∪（，+∞）【考点】函数奇偶性的性质．【专题】转化思想；数学模型法；函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】f（x）是定义在R上的奇函数，可得：f（﹣x）=﹣f（x）．对任意正实数x满足xf′（x）＞2f（﹣x），可得：xf′（x）+2f（x）＞0，由g（x）=x2f（x），可得g′（x）＞0．可得函数g（x）在（0，+∞）上单调递增．即可得出．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x）．对任意正实数x满足xf′（x）＞2f（﹣x），∴xf′（x）+2f（x）＞0，∵g（x）=x2f（x），∴g′（x）=2xf（x）+x2f′（x）＞0．∴函数g（x）在（0，+∞）上单调递增．又g（0）=0，g（﹣x）=x2f（﹣x）=﹣g（x），∴函数g（x）是R上的奇函数，∴g（x）是R上的增函数．由不等式g（x）＜g（1﹣3x），∴x＜1﹣3x，解得．∴不等式g（x）＜g（1﹣3x）的解集为：．故选：B．【点评】本题考查了函数的奇偶性与单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．计算：（）+lg+lg70+=．【考点】对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值．【专题】计算题；函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】根据对数和幂的运算性质计算即可．【解答】解：（）+lg+lg70+=+lg（）+1﹣lg3=+lg+1=+1+1=，故答案为：．【点评】本题考查了对数和幂的运算性质，关键是掌握性质，属于基础题．14．设变量x，y满足约束条件，则z=x﹣3y的最小值是﹣8．【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】将z=x﹣3y变形为，此式可看作是斜率为，纵截距为的一系列平行直线，当最大时，z最小．作出原不等式组表示的平面区域，让直线向此平面区域平移，可探求纵截距的最大值．【解答】解：由z=x﹣3y，得，此式可看作是斜率为，纵截距为的直线，当最大时，z最小．画出直线y=x，x+2y=2，x=﹣2，从而可标出不等式组表示的平面区域，如右图所示．由图知，当动直线经过点P时，z最小，此时由，得P（﹣2，2），从而z min=﹣2﹣3×2=﹣8，即z=x﹣3y的最小值是﹣8．故答案为：﹣8．【点评】本题考查了线性规划的应用，为高考常考的题型，求解此类问题的一般步骤是：（1）作出已知不等式组表示的平面区域；（2）运用化归思想及数形结合思想，将目标函数的最值问题转化为平面中几何量的最值问题处理．15．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x﹣4）=﹣f（x），且在区间[0，2]上是增函数．若方程f（x）=m（m＞0）在区间[﹣8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4=﹣8．【考点】奇偶性与单调性的综合；函数的周期性．【专题】数形结合．【分析】由条件“f（x﹣4）=﹣f（x）”得f（x+8）=f（x），说明此函数是周期函数，又是奇函数，且在[0，2]上为增函数，由这些画出示意图，由图可解决问题．【解答】解：此函数是周期函数，又是奇函数，且在[0，2]上为增函数，综合条件得函数的示意图，由图看出，四个交点中两个交点的横坐标之和为2×（﹣6），另两个交点的横坐标之和为2×2，所以x1+x2+x3+x4=﹣8．故答案为﹣8．【点评】数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷．16．关于函数f（x）=（x≠0），有下列命题：①f（x）的最小值是lg2；②其图象关于y轴对称；③当x＞0时，f（x）是增函数；当x＜0时，f（x）是减函数；④f（x）在区间（﹣1，0）和（1，+∞）上是增函数，其中所有正确结论的序号是①②④．【考点】命题的真假判断与应用；奇偶性与单调性的综合．【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】是结合复合函数单调性的关系进行判断．②根据基本由函数奇偶性的定义判断函数为偶函数判断；③利用对勾函数的单调性判断；④由对勾函数的最值及函数奇偶性的性质进行判断即可．【解答】解：①函数f（x）=lg，（x∈R且x≠0）．∵=2，∴f（x）=lg≥2，即f（x）的最小值是lg2，故①正确，②∵f（﹣x）==f（x），∴函数f（x）为偶函数，图象关于y轴对称，故②正确；③当x＞0时，t（x）=，在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上得到递增，∴f（x）=lg在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上得到递增，故③错误；④∵函数f（x）是偶函数，由③知f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上得到递增，∴在（﹣1，0）上单调递增，在（﹣∞，﹣1）上得到递减，故④正确，故答案为：①②④【点评】本题考查了命题的真假判断与应用，考查了函数奇偶性的性质，考查了复合函数的单调性，是中档题．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知p：|1﹣|≤2；q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），若￢p是￢q的必要不充分条件，某某数m的取值X围．【考点】必要条件；绝对值不等式的解法．【专题】规律型．【分析】先求出命题p，q的等价条件，利用￢p是￢q的必要不充分条件转化为q是p的必要不充分条件，建立条件关系即可求出m的取值X围．【解答】解：由||=，得|x﹣4|≤6，即﹣6≤x﹣4≤6，∴﹣2≤x≤10，即p：﹣2≤x≤10，由x2+2x+1﹣m2≤0得[x+（1﹣m）][x+（1+m）]≤0，即1﹣m≤x≤1+m，（m＞0），∴q：1﹣m≤x≤1+m，（m＞0），∵￢p是￢q的必要不充分条件，∴q是p的必要不充分条件．即，且等号不能同时取，∴，解得m≥9．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，将￢p是￢q的必要不充分条件转化为q 是p的必要不充分条件是解决本题的关键．18．已知函数f（x）=﹣x2+2ex+m﹣1，g（x）=x+（x＞0）．（1）若y=g（x）﹣m有零点，求m的取值X围；（2）确定m的取值X围，使得g（x）﹣f（x）=0有两个相异实根．【考点】函数零点的判定定理；根的存在性及根的个数判断．【专题】计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．【分析】（1）由基本不等式可得g（x）=x+≥2=2e，从而求m的取值X围；（2）令F（x）=g（x）﹣f（x）=x++x2﹣2ex﹣m+1，求导F′（x）=1﹣+2x﹣2e=（x﹣e）（+2）；从而判断函数的单调性及最值，从而确定m的取值X围．【解答】解：（1）∵g（x）=x+≥2=2e；（当且仅当x=，即x=e时，等号成立）∴若使函数y=g（x）﹣m有零点，则m≥2e；故m的取值X围为[2e，+∞）；（2）令F（x）=g（x）﹣f（x）=x++x2﹣2ex﹣m+1，F′（x）=1﹣+2x﹣2e=（x﹣e）（+2）；故当x∈（0，e）时，F′（x）＜0，x∈（e，+∞）时，F′（x）＞0；故F（x）在（0，e）上是减函数，在（e，+∞）上是增函数，故只需使F（e）＜0，即e+e+e2﹣2e2﹣m+1＜0；故m＞2e﹣e2+1．【点评】本题考查了基本不等式的应用及导数的综合应用，同时考查了函数零点的判断与应用，属于中档题．19．已知函数f（x）=log a（x+1）（a＞1），若函数y=g（x）的图象上任意一点P关于原点的对称点Q的轨迹恰好是函数f（x）的图象．（1）写出函数g（x）的解析式；（2）当x∈[0，1）时，总有f（x）+g（x）≥m成立，求m的取值X围．【考点】求对数函数解析式；函数解析式的求解及常用方法；函数最值的应用．【专题】计算题；转化思想．【分析】（1）由已知条件可知函数g（x）的图象上的任意一点P（x，y）关于原点对称的点Q （﹣x，﹣y）在函数f（x）图象上，把Q（﹣x，﹣y）代入f（x），整理可得g（x）（2）由（1）可令h（x）=f（x）+g（x），先判断函数h（x）在[0，1）的单调性，进而求得函数的最小值h（x）min，使得m≤h（x）min【解答】解：（1）设点P（x，y）是g（x）的图象上的任意一点，则Q（﹣x，﹣y）在函数f （x）的图象上，即﹣y=log a（﹣x+1），则∴（2）f（x）+g（x）≥m 即，也就是在[0，1）上恒成立．设，则由函数的单调性易知，h（x）在[0，1）上递增，若使f（x）+g（x）≥m在[0，1）上恒成立，只需h（x）min≥m在[0，1）上成立，即m≤0．m的取值X围是（﹣∞，0]【点评】本题（1）主要考查了函数的中心对称问题：若函数y=f（x）与y=g（x）关于点M （a，b）对称，则y=f（x）上的任意一点（x，y）关于M（a，b）对称的点（2a﹣x，2b﹣y）在函数y=g（x）的图象上．（2）主要考查了函数的恒成立问题，往往转化为求最值问题：m≥h（x）恒成立，则m≥h（x）m≤h（x）恒成立，max则m≤h（x）min20．某机床厂今年初用98万元购进一台数控机床，并立即投入使用，计划第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年的维修、保养修费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，设使用x年后数控机床的盈利总额y元．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）从第几年开始，该机床开始盈利？（3）使用若干年后，对机床的处理有两种方案：①当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该机床；②当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该机床．问哪种方案处理较为合理？请说明理由．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【专题】计算题．【分析】（1）赢利总额y元即x年中的收入50x减去购进机床的成本与这x年中维修、保养的费用，维修、保养的费用历年成等差数增长，，（2）由（1）的结论解出结果进行判断得出何年开始赢利．（3）算出每一种方案的总盈利，比较大小选择方案．【解答】解：（1）y=﹣2x2+40x﹣98，x∈N*．（2）由﹣2x2+40x﹣98＞0解得，，且x∈N*，所以x=3，4，，17，故从第三年开始盈利．（3）由，当且仅当x=7时“=”号成立，所以按第一方案处理总利润为﹣2×72+40×7﹣98+30=114（万元）．由y=﹣2x2+40x﹣98=﹣2（x﹣10）2+102≤102，所以按第二方案处理总利润为102+12=114（万元）．∴由于第一方案使用时间短，则选第一方案较合理．【点评】考查审题及将题中关系转化为数学符号的能力，其中第二问中考查了一元二次不等式的解法，第三问中考查到了基本不等式求最值，本题是一个函数基本不等式相结合的题．属应用题中盈利最大化的问题．21．已知函数f（x）=+xlnx，g（x）=x3﹣x2﹣3．（1）讨论函数h（x）=的单调性；（2）如果对任意的s，t∈[，2]，都有f（s）≥g（t）成立，某某数a的取值X围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【专题】综合题；导数的综合应用．【分析】（1）求导数，利用导数的正负，即可讨论函数h（x）=的单调性；（2）求出g（x）max=g（2）=1，当x∈[，2]时，f（x）=+xlnx恒成立，等价于a≥x﹣x2lnx 恒成立，然后利用导数求函数u（x）=x﹣x2lnx在区间[，2]上取得最大值，则实数a的取值X围可求．【解答】解：（1）h（x）==+lnx，h′（x）=，①a≤0，h′（x）≥0，函数h（x）在（0，+∞）上单调递增②a＞0时，h'（x）＞0，则x∈（，+∞），函数h（x）的单调递增区间为（，+∞），h'（x）＜0，则x∈（0，），函数h（x）的单调递减区间为（0，），．（2）g（x）=x3﹣x2﹣3，g′（x）=3x（x﹣），x 2g′（x）0 ﹣0 +g（x）﹣递减极小值递增 13由上表可知，g（x）在x=2处取得最大值，即g（x）max=g（2）=1所以当x∈[，2]时，f（x）=+xlnx≥1恒成立，等价于a≥x﹣x 2lnx恒成立，记u（x）=x﹣x2lnx，所以a≥u（x）max，u′（x）=1﹣x﹣2xlnx，可知u′（1）=0，当x∈（，1）时，1﹣x＞0，2xlnx＜0，则u′（x）＞0，∴u（x）在x∈（，2）上单调递增；当x∈（1，2）时，1﹣x＜0，2xlnx＞0，则u′（x）＜0，∴u（x）在（1，2）上单调递减；故当x=1时，函数u（x）在区间[，2]，上取得最大值u（1）=1，所以a≥1，故实数a的取值X围是[1，+∞）．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了导数在最大值、最小值问题中的应用，考查了数学转化思想方法和函数构造法，训练了利用分离变量法求参数的取值X围，属于中档题．四、选做题：请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．已知曲线C1的参数方程是（θ为参数）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=﹣4cosθ．（1）求曲线C1与C2交点的极坐标；（2）A、B两点分别在曲线C1与C2上，当|AB|最大时，求△OAB的面积（O为坐标原点）．【考点】参数的意义；简单曲线的极坐标方程．【专题】选作题；转化思想；综合法；坐标系和参数方程．【分析】（1）把参数方程和极坐标方程化为直角坐标方程，联立方程组求出交点的坐标，再把交点的直角坐标化为极坐标；（2）画出图象，由平面几何知识可知，A，C1，C2，B依次排列且共线时|AB|最大．【解答】解：（1）由（θ为参数），消去参数得：x2+（y﹣2）2=4，即x2+y2﹣4y=0；由ρ=﹣4cosθ，得ρ2=﹣4ρcosθ，即x2+y2=﹣4x．两式作差得：x+y=0，代入C1得交点为（0，0），（﹣2，2）．其极坐标为（0，0），（2，）；（2）如图，由平面几何知识可知，A，C1，C2，B依次排列且共线时|AB|最大．此时|AB|=2+4，O到AB的距离为．∴△OAB的面积为S=×（2+4）×=2+2．【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．23．已知不等式|2x+2|﹣|x﹣1|＞a．（1）当a=0时，求不等式的解集（2）若不等式在区间[﹣4，2]内无解．某某数a的取值X围．【考点】绝对值不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】（1）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（2）求得f（x）=|2x+2|﹣|x﹣1|=在区间[﹣4，2]内的值域，结合|2x+2|﹣|x﹣1|＞a无解，求得a的X围．【解答】解：（1）当a=0时，不等式即|2x+2|﹣|x﹣1|＞0，可得①，或②，或③．解①求得 x＜﹣3，解②求得﹣＜x＜1，解③求得x≥1．综上可得，原不等式的解集为{x|x＜﹣3，或x＞﹣}．（2）当x∈[﹣4，2]，f（x）=|2x+2|﹣|x﹣1|=的值域为[﹣2，3]，而不等式|2x+2|﹣|x﹣1|＞a无解，故有a≤3．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想；还考查了分段函数的应用，求函数的值域，属于中档题．。
2022-2023学年福建省福州格致中学高三上学期第二次月考(10月)数学试卷带讲解
11.已知 是平面向量， 是单位向量，非零向量 与 的夹角为 ，向量 满足 ，则 可能取到的值为（）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】建立平面直角坐标系，由给定条件，确定 ， 的终点的轨迹即可求解作答.
【详解】将向量 平移到共起点O，以点O为原点，单位向量 的方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系，如图，
又因为C选项 ，
所以 ，故 ，D正确.
故选：ACD.
【点睛】注意将问题化为 在 上有两个变号零点求参数范围问题，由此得到的 的单调性和零点情况判断 的单调性和零点，根据零点得到 ，利用对数均值不等式求证不等式.
三、填空题
13.若 为纯虚数（ 为虚数单位），则实数 ___________；
【答案】-1
12.已知函数 有两个极值点 ， ，则下列选项正确的有（）
A. B.函数 有两个零点
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】问题化为 在 上有两个变号零点，讨论参数a研究 的单调性，结合零点存在性定理判断区间零点情况，进而求出a的范围，再研究 的单调性，结合零点存在性定理判断 零点个数，且可得 ，最后应用对数均值不等式 判断C、D.
夜晚天气
日落云里走
下雨
未下雨
出现
25
5
未出现
25
45
附： ，其中 ．
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
A.夜晚下雨的概率约为
B.未出现“日落云里走”，夜晚下雨的概率约为
C.依据 的独立性检验，认为“日落云里走”是否出现与夜晚天气有关
天津市南开大学附属中学2021届高三上学期第二次月考数学试卷(理科) Word版含解析
天津市南开高校附属中学2021届高三上学期其次次月考数学试卷（理科）一、选择题（每题5分，共40分）1．（3分）已知复数z满足（3+4i）z=25，则z=（）A．3﹣4i B．3+4i C．﹣3﹣4i D．﹣3+4i2．（3分）“a3＞b3”是“log3a＞log3b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（3分）设变量x，y 满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最小值为（）A．2B．3C．4D．54．（3分）若﹣9、a、﹣l成等差数列，﹣9、m、b、n、﹣1成等比数列，则ab=（）A．15 B．﹣l5 C．±l5 D．105．（3分）已知函数y=2sinx的定义域为[a，b]，值域为[﹣2，1]，则b﹣a的值不行能是（）A．B．πC．2πD ．6．（3分）已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A．若m⊥α，n⊥m则n∥αB．若α⊥β，β⊥γ则α∥βC．若m⊥β，n⊥β则m∥n D．若m∥α，m∥β，则α∥β7．（3分）已知f（x）=bx+1为x的一次函数，b为不等于1的常数，且g（n）=，设a n=g（n）﹣g（n﹣1）（n∈N*），则数列{a n}是（）A．等差数列B．等比数列C．递增数列D．递减数列8．（3分）在平面四边形ABCD中，AB=3，BC=4，∠ABC=90°，△ACD 是正三角形，则•的值为（）A．﹣2 B．2C．D ．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）为了解某校高中同学的近视眼发病率，在该校同学中进行分层抽样调查，已知该校2022-2021学年高一、2022-2021学年高二、2021届高三分别有同学800名、600名、500名．若2021届高三同学共抽取25名，则2022-2021学年高一同学共抽取名．10．（5分）如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积大小为．11．（5分）已知=（3，﹣2）.=（1，0），向量λ与﹣2垂直，则实数λ的值为．12．（5分）对于任意x∈R，满足（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0恒成立的全部实数a构成集合A，使不等式|x ﹣4|+|x﹣3|＜a的解集为空集的全部实数a构成集合B，则A∩∁R B=．13．（5分）如图，圆O的直径AB=8，C为圆周上一点，BC=4，过C作圆的切线l，过A作直线l的垂线AD，D为垂足，AD与圆O交于点E，则线段AE的长为．14．（5分）若a是1+2b与1﹣2b 的等比中项，则的最大值为．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（16分）已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和图象的对称轴方程；（Ⅱ）求函数f（x ）在区间上的值域．16．（16分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a＞c ，已知•=2，cosB=，b=3，求：（Ⅰ）a和c的值；（Ⅱ）cos（B﹣C）的值．17．（16分）如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，PA⊥CD，PA=1，PD=，E为PD 上一点，PE=2ED．（Ⅰ）求证：PA⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角D﹣AC﹣E的余弦值；（Ⅲ）在侧棱PC上是否存在一点F，使得BF∥平面AEC？若存在，指出F点的位置，并证明；若不存在，说明理由．18．（16分）已知单调递增的等比数列{a n}满足：a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设的前n项和S n．19．（16分）已知数列{a n}，a1=1，前n项和S n满足nS n+1﹣（n+3）S n=0，（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=4（）2，求数列{（﹣1）n b n}的前n项和T n；（Ⅲ）设C n=2n （﹣λ），若数列{C n}是单调递减数列，求实数λ的取值范围．20．（16分）已知函数f（x）=（x2﹣3x+3）•e x定义域为[﹣2，t]（t＞﹣2），设f（﹣2）=m，f（t）=n．（Ⅰ）试确定t的取值范围，使得函数f（x）在[﹣2，t]上为单调函数；（Ⅱ）求证：n＞m；（Ⅲ）求证：对于任意的t＞﹣2，总存x0∈（﹣2，t），满足，并确定这样的x0的个数．天津市南开高校附属中学2021届高三上学期其次次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每题5分，共40分）1．（3分）已知复数z满足（3+4i）z=25，则z=（）A．3﹣4i B．3+4i C．﹣3﹣4i D．﹣3+4i考点：复数相等的充要条件．专题：数系的扩充和复数．分析：依据题意利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，计算求得z的值．解答：解：∵复数z满足（3+4i）z=25，则z====3﹣4i，故选：A．点评：本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．2．（3分）“a3＞b3”是“log3a＞log3b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的推断．专题：函数的性质及应用；简易规律．分析：依据指数函数和对数函数的图象和性质，求出两个命题的等价命题，进而依据充要条件的定义可得答案．解答：解：“a3＞b3”⇔“a＞b”，“log3a＞log3b”⇔“a＞b＞0”，故“a3＞b3”是“log3a＞log3b”的必要不充分条件，故选：B点评：推断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤推断命题p与命题q所表示的范围，再依据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，推断命题p与命题q的关系．3．（3分）设变量x，y 满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最小值为（）A．2B．3C．4D．5考点：简洁线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的学问，通过平移即可求z的最大值．解答：解：作出不等式对应的平面区域，由z=x+2y，得y=﹣，平移直线y=﹣，由图象可知当直线y=﹣经过点B（1，1）时，直线y=﹣的截距最小，此时z最小．此时z的最小值为z=1+2×1=3，故选：B．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．4．（3分）若﹣9、a、﹣l成等差数列，﹣9、m、b、n、﹣1成等比数列，则ab=（）A．15 B．﹣l5 C．±l5 D．10考点：等比数列的性质；等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：利用等差数列与等比数列的性质可求得a=﹣5，b=﹣3，从而可得答案．解答：解：∵﹣9、a、﹣l成等差数列，﹣9、m、b、n、﹣1成等比数列，∴2a=﹣1﹣9=﹣10，b2=9，∴a=﹣5，b=﹣3（b为第三项，b＜0），∴ab=15．故选：A．点评：本题考查等差数列与等比数列的性质，b=﹣3的确定是易错点，属于中档题．5．（3分）已知函数y=2sinx的定义域为[a，b]，值域为[﹣2，1]，则b﹣a的值不行能是（）A．B．πC．2πD ．考点：三角函数的最值．专题：计算题．分析：结合三角函数R上的值域[﹣2，2]，当定义域为[a，b]，值域为[﹣2，1]，可知[a，b]小于一个周期，从而可得．解答：解：函数y=2sinx在R上有﹣2≤y≤2函数的周期T=2π值域[﹣2，1]含最小值不含最大值，故定义域[a，b]小于一个周期b﹣a＜2π故选C点评：本题考查了正弦函数的图象及利用图象求函数的值域，解题的关键是生疏三角函数y=2sinx的值域[﹣2，2]，而在区间[a，b]上的值域[﹣2，1]，可得函数的定义域与周期的关系，从而可求结果．6．（3分）已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A．若m⊥α，n⊥m则n∥αB．若α⊥β，β⊥γ则α∥βC．若m⊥β，n⊥β则m∥n D．若m∥α，m∥β，则α∥β考点：空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：对选项逐一分析，依据空间线面关系，找出正确选项．解答：解：对于A，直线n有可能在平面α内；故A 错误；对于B，α，γ还有可能相交，故B 错误；对于C，依据线面垂直的性质以及线线平行的判定，可得直线m，n平行；对于D，α，β有可能相交．故选C．点评：本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，考查空间想象力量、运算力量和推理论证力量，属于基础题．7．（3分）已知f（x）=bx+1为x的一次函数，b为不等于1的常数，且g（n）=，设a n=g（n）﹣g（n﹣1）（n∈N*），则数列{a n}是（）A．等差数列B．等比数列C．递增数列D．递减数列考点：等比关系的确定．专题：计算题．分析：依据g（n）的通项公式可求得g（1），g（2），g（3）直至g（n），进而可求a1，a2，a3，┉，a n进而发觉数列{a n}是等比数列解答：解：已知f（x）=bx+1为x的一次函数，b为不等于1的常数，且g（n）=，则g（1）=b+1，g（2）=b2+b+1，g（3）=b3+b2+b+1，┉，g（n）=b n+┉+b2+b+1．a1=b，a2=b2，a3=b3，┉，a n=b n故数列{a n}是等比数列点评：本题主要考查等比关系的确定．属基础题．8．（3分）在平面四边形ABCD中，AB=3，BC=4，∠ABC=90°，△ACD 是正三角形，则•的值为（）A．﹣2 B．2C．D ．考点：平面对量数量积的运算．专题：平面对量及应用．分析：如图所示，建立直角坐标系．取AC的中点E，连接DE，BE．由A（0，3），C（4，0），可得．由于，可得=0．利用•==即可得出．解答：解：如图所示，建立直角坐标系．取AC的中点E，连接DE，BE．∵A（0，3），C（4，0），∴．∵，∴=0．∴•====8﹣=．故选：C．点评：本题考查了向量垂直与数量积的关系、数量积运算性质、向量的三角形法则，考查了推理力量与计算力量，属于中档题．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）为了解某校高中同学的近视眼发病率，在该校同学中进行分层抽样调查，已知该校2022-2021学年高一、2022-2021学年高二、2021届高三分别有同学800名、600名、500名．若2021届高三同学共抽取25名，则2022-2021学年高一同学共抽取40名．考点：分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：依据分层抽样在各部分抽取的比例相等求解．解答：解：依据分层抽样在各部分抽取的比例相等，分层抽样抽取的比例为=，∴2022-2021学年高一应抽取的同学数为800×=40．故答案为：40．点评：本题考查了分层抽样的定义，娴熟把握分层抽样的特征是关键．10．（5分）如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积大小为．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：由三视图可知，该几何体时一个边长为2，2，1的长方体挖去一个半径为1的半球．代入长方体的体积公式和球的体积公式，即可得到答案．解答：由三视图可知，该几何体时一个边长为2，2，1的长方体挖去一个半径为1的半球．所以长方体的体积为2×2×1=4，半球的体积为，所以该几何体的体积为．故答案为：．点评：本题考查的学问点是由三视图求体积，其中依据已知中的三视图推断出几何体的外形是解题的关键．11．（5分）已知=（3，﹣2）.=（1，0），向量λ与﹣2垂直，则实数λ的值为．考点：数量积推断两个平面对量的垂直关系．专题：计算题．分析：由题意得（λ）•（﹣2）=λ+（1﹣2λ）﹣2=13λ+3（1﹣2λ）﹣2=0，解得λ值，即为所求．解答：解：由题意得（λ）•（﹣2）=λ+（1﹣2λ）﹣2=13λ+3（1﹣2λ）﹣2=0，解得λ=﹣，故答案为﹣．点评：本题考查两个向量的数量积公式的应用，两个向量垂直的性质，求得13λ+3（1﹣2λ）﹣2=0，是解题的关键．12．（5分）对于任意x∈R，满足（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0恒成立的全部实数a构成集合A，使不等式|x ﹣4|+|x﹣3|＜a的解集为空集的全部实数a构成集合B，则A∩∁R B=（1，2]．考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：分a﹣2为0与不为0两种状况求出（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0恒成立a的范围，确定出A ，求出访不等式|x﹣4|+|x﹣3|＜a的解集为空集的全部实数a的集合确定出B，求出B补集与A的交集即可．解答：解：（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0，当a﹣2=0，即a=2时，﹣4＜0，满足题意；当a﹣2≠0，即a≠2时，依据题意得到二次函数开口向下，且与x轴没有交点，即a﹣2＜0，△=4（a﹣2）2+16（a﹣2）＜0，解得：a＜2，﹣2＜a＜2，综上，a的范围为﹣2＜a≤2，即A=（﹣2，2]，使不等式|x﹣4|+|x﹣3|＜a的解集为空集的全部实数a构成的B=（﹣∞，1），∴∁R B=[1，+∞），则A∩∁R B=（1，2]．故答案为：（1，2]点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，娴熟把握各自的定义是解本题的关键．13．（5分）如图，圆O的直径AB=8，C为圆周上一点，BC=4，过C作圆的切线l，过A作直线l的垂线AD，D为垂足，AD与圆O交于点E，则线段AE的长为4．考点：与圆有关的比例线段．专题：计算题．分析：连接OC，BE，由圆角定定理，我们可得BE⊥AE，直线l是过C的切线，故OC⊥直线l，△OBC 为等边三角形，结合等边三角形的性质及30°所对的直角边等于斜边的一半，我们易求出线段AE的长．解答：解：连接OC，BE，如下图所示：则∵圆O的直径AB=8，BC=4，∴△OBC为等边三角形，∠COB=60°又∵直线l是过C的切线，故OC⊥直线l又∵AD⊥直线l∴AD∥OC故在Rt△ABE中∠A=∠COB=60°∴AE=AB=4故答案为：4点评：本题考查的学问点是切线的性质，圆周角定理，其中依据切线的性质，圆周角定理，推断出△ABE 是一个∠B=30°的直角三角形是解答本题的关键．14．（5分）若a是1+2b与1﹣2b的等比中项，则的最大值为．考点：等比数列的性质．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：由a是1+2b与1﹣2b的等比中项得到4|ab|≤1，再由基本不等式法求得的最大值．解答：解：a是1+2b与1﹣2b的等比中项，则a2=1﹣4b2⇒a2+4b2=1≥4|ab|．∴．∵a2+4b2=（|a|+2|b|）2﹣4|ab|=1．∴≤=∵∴≥4，∴的最大值为=．故答案为：．点评：本题考查等比中项以及不等式法求最值问题，考查同学分析解决问题的力量，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（16分）已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和图象的对称轴方程；（Ⅱ）求函数f（x ）在区间上的值域．考点：三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域；正弦函数的对称性．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）先依据两角和与差的正弦和余弦公式将函数f（x）开放再整理，可将函数化简为y=Asin（wx+ρ）的形式，依据T=可求出最小正周期，令，求出x的值即可得到对称轴方程．（2）先依据x的范围求出2x ﹣的范围，再由正弦函数的单调性可求出最小值和最大值，进而得到函数f（x）在区间上的值域．解答：解：（1）∵=sin2x+（sinx﹣cosx）（sinx+cosx）===∴周期T=由∴函数图象的对称轴方程为（2）∵，∴，由于在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以当时，f（x）取最大值1，又∵，当时，f（x ）取最小值，所以函数f（x ）在区间上的值域为．点评：本题主要考查两角和与差的正弦公式和余弦公式，以及正弦函数的基本性质﹣﹣最小正周期、对称性、和单调性．考查对基础学问的把握状况．16．（16分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a＞c ，已知•=2，cosB=，b=3，求：（Ⅰ）a和c的值；（Ⅱ）cos（B﹣C）的值．考点：余弦定理；平面对量数量积的运算；两角和与差的余弦函数．专题：三角函数的求值．分析：（Ⅰ）利用平面对量的数量积运算法则化简•=2，将cosB的值代入求出ac=6，再利用余弦定理列出关系式，将b，cosB以及ac的值代入得到a2+c2=13，联马上可求出ac的值；（Ⅱ）由cosB的值，利用同角三角函数间基本关系求出sinB的值，由c，b，sinB，利用正弦定理求出sinC的值，进而求出cosC的值，原式利用两角和与差的余弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出值．解答：解：（Ⅰ）∵•=2，cosB=，∴c•acosB=2，即ac=6①，∵b=3，∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB，即9=a2+c2﹣4，∴a2+c2=13②，联立①②得：a=3，c=2；（Ⅱ）在△ABC中，sinB===，由正弦定理=得：sinC=sinB=×=，∵a=b＞c，∴C为锐角，∴cosC===，则cos（B﹣C）=cosBcosC+sinBsinC=×+×=．点评：此题考查了正弦、余弦定理，平面对量的数量积运算，以及同角三角函数间的基本关系，娴熟把握定理是解本题的关键．17．（16分）如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，PA⊥CD，PA=1，PD=，E为PD 上一点，PE=2ED．（Ⅰ）求证：PA⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角D﹣AC﹣E的余弦值；（Ⅲ）在侧棱PC上是否存在一点F，使得BF∥平面AEC？若存在，指出F点的位置，并证明；若不存在，说明理由．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．专题：计算题；证明题；综合题．分析：（I）依据勾股定理的逆定理，得到△PAD是以PD为斜边的直角三角形，从而有PA⊥AD，再结合PA⊥CD，AD、CD 相交于点D，可得PA⊥平面ABCD；（II）过E作EG∥PA 交AD于G，连接BD交AC于O，过G作GH∥OD，交AC于H，连接EH．利用三垂线定理结合正方形ABCD的对角线相互垂直，可证出∠EHG为二面角D﹣AC﹣E的平面角．分别在△PAB中和△AOD中，求出EH=，GH=，在Rt△EHG中利用三角函数的定义，得到tan∠EHG==．最终由同角三角函数的关系，计算得cos∠EHG=．（III）以AB，AD，PA为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．分别给出点A、B、C、P、E的坐标，从而得出=（1，1，0），=（0，，），利用向量数量积为零的方法，列方程组可算出平面AEC的一个法向量为=（﹣1，1，﹣2 ）．假设侧棱PC上存在一点F，使得BF∥平面AEC ，则=+=（﹣λ，1﹣λ，λ），且有⋅=0．所以⋅=λ+1﹣λ﹣2λ=0，解之得λ=，所以存在PC的中点F，使得BF∥平面AEC．解答：解：（Ⅰ）∵PA=AD=1，PD=，∴PA2+AD2=PD2，可得△PAD是以PD为斜边的直角三角形∴PA⊥AD﹣﹣﹣（2分）又∵PA⊥CD，AD、CD 相交于点D，∴PA⊥平面ABCD﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（Ⅱ）过E作EG∥PA 交AD于G，∵EG∥PA，PA⊥平面ABCD，∴EG⊥平面ABCD，∵△PAB中，PE=2ED∴AG=2GD，EG=PA=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）连接BD交AC于O，过G作GH∥OD，交AC于H，连接EH．∵OD⊥AC，GH∥OD∴GH⊥AC∵EG⊥平面ABCD，HG是斜线EH在平面ABCD内的射影，∴EH⊥AC，可得∠EHG为二面角D﹣AC﹣E的平面角．﹣﹣﹣﹣﹣（6分）∴Rt△EGH中，HG=OD=BD=，可得tan∠EHG==．由同角三角函数的关系，得cos∠EHG==．∴二面角D﹣AC﹣E 的平面角的余弦值为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）（Ⅲ）以AB，AD，PA为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），P（0，0，1），E（0，，），=（1，1，0），=（0，，）﹣﹣﹣（9分）设平面AEC 的法向量=（x，y，z），依据数量积为零，可得，即：，令y=1，得=（﹣1，1，﹣2 ）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）假设侧棱PC上存在一点F ，且=λ，（0≤λ≤1），使得：BF∥平面AEC ，则⋅=0．又∵=+=（0，1，0）+（﹣λ，﹣λ，λ）=（﹣λ，1﹣λ，λ），∴⋅=λ+1﹣λ﹣2λ=0，∴λ=，所以存在PC的中点F，使得BF∥平面AEC．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）点评：本题给出一个特殊的棱锥，通过证明线面垂直和求二面角的大小，着重考查了用空间向量求平面间的夹角、直线与平面平行的判定与性质和直线与平面垂直的判定与性质等学问点，属于中档题．18．（16分）已知单调递增的等比数列{a n}满足：a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设的前n项和S n．考点：等差数列与等比数列的综合；数列的求和．专题：计算题．分析：（I）依据a3+2是a2，a4的等差中项和a2+a3+a4=28，求出a3、a2+a4的值，进而得出首项和a1，即可求得通项公式；（II）先求出数列{b n}的通项公式，然后求出﹣S n﹣（﹣2S n），即可求得的前n项和S n．解答：解：（I）设等比数列{a n}的首项为a1，公比为q∵a3+2是a2，a4的等差中项∴2（a3+2）=a2+a4代入a2+a3+a4=28，得a3=8∴a2+a4=20∴∴或∵数列{a n}单调递增∴a n=2n（II）∵a n=2n∴b n ==﹣n•2n∴﹣s n=1×2+2×22+…+n×2n①∴﹣2s n=1×22+2×23+…+（n﹣1）×2n+n2n+1②∴①﹣②得，s n=2+22+23+…+2n﹣n•2n+1=2n+1﹣n•2n+1﹣2点评：本题考查了等比数列的通项公式以及数列的前n项和，对于等差数列与等比数列乘积形式的数列，求前n项和一般实行错位相减的方法．19．（16分）已知数列{a n}，a1=1，前n项和S n满足nS n+1﹣（n+3）S n=0，（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=4（）2，求数列{（﹣1）n b n}的前n项和T n；（Ⅲ）设C n=2n （﹣λ），若数列{C n}是单调递减数列，求实数λ的取值范围．考点：数列的求和；数列的函数特性；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）对已知等式整理成数列递推式，然后用叠乘法，求得S n，最终利用a n=S n﹣S n﹣1求得答案．（Ⅱ）依据（Ⅰ）中a n，求得b n，设出C n，分n为偶数和奇数时的T n．（Ⅲ）依据数列为递减数列，只需满足C n+1﹣C n＜0，求得﹣的最大值，即可求得λ的范围．解答：解：（Ⅰ）由已知=，且S1=a1=1，当n≥2时，S n=S1••…•=1•••…•=，S1也适合，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=，且a1也适合，∴a n =．（Ⅱ）b n=4（）2=（n+1）2，设C n=（﹣1）n（n+1）2，当n为偶数时，∵C n﹣1+C n=（﹣1）n﹣1•n2+（﹣1）n•（n+1）2=2n+1，T n=（C1+C2）+（C3+C4）+…（C n﹣1+C n）=5+9+…+（2n﹣1）==，当n为奇数时，T n=T n﹣1+C n =﹣（n+1）2=﹣，且T1=C1=﹣4也适合．综上得T n =（Ⅲ）∵C n=2n （﹣λ），使数列{C n}是单调递减数列，则C n+1﹣C n=2n （﹣﹣λ）＜0，对n∈N*都成立，则（﹣）max＜λ，∵﹣==，当n=1或2时，（﹣）max =，∴λ＞．点评：本题主要考查了数列的求和问题，求数列通项公式问题．对于利用a n=S n﹣S n﹣1肯定要a1对进行验证．20．（16分）已知函数f（x）=（x2﹣3x+3）•e x定义域为[﹣2，t]（t＞﹣2），设f（﹣2）=m，f（t）=n．（Ⅰ）试确定t的取值范围，使得函数f（x）在[﹣2，t]上为单调函数；（Ⅱ）求证：n＞m；（Ⅲ）求证：对于任意的t＞﹣2，总存x0∈（﹣2，t），满足，并确定这样的x0的个数．考点：利用导数争辩函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：压轴题．分析：（Ⅰ）首先求出函数的导数，然后依据导数与函数单调区间的关系确定t的取值范围，（Ⅱ）运用函数的微小值进行证明，（Ⅲ）首先对关系式进行化简，然后利用根与系数的关系进行判定．解答：（Ⅰ）解：由于f′（x）=（2x﹣3）e x+（x2﹣3x+3）e x，由f′（x）＞0⇒x＞1或x＜0，由f′（x）＜0⇒0＜x＜1，∴函数f（x）在（﹣∞，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减，∵函数f（x）在[﹣2，t]上为单调函数，∴﹣2＜t≤0，（Ⅱ）证：由于函数f（x）在（﹣∞，0）∪（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减，所以f（x）在x=1处取得微小值e，又f（﹣2）=13e﹣2＜e，所以f（x）在[﹣2，+∞）上的最小值为f（﹣2），从而当t＞﹣2时，f（﹣2）＜f（t），即m＜n，（Ⅲ）证：由于，∴，即为x02﹣x0=，令g（x）=x2﹣x ﹣，从而问题转化为证明方程g（x）==0在（﹣2，t）上有解并争辩解的个数，由于g（﹣2）=6﹣（t﹣1）2=﹣，g（t）=t（t﹣1）﹣=，所以当t＞4或﹣2＜t＜1时，g（﹣2）•g（t）＜0，所以g（x）=0在（﹣2，t）上有解，且只有一解，当1＜t＜4时，g（﹣2）＞0且g（t）＞0，但由于g（0）=﹣＜0，所以g（x）=0在（﹣2，t）上有解，且有两解，当t=1时，g（x）=x2﹣x=0，解得x=0或1，所以g（x）=0在（﹣2，t）上有且只有一解，当t=4时，g（x）=x2﹣x﹣6=0，所以g（x）=0在（﹣2，t）上也有且只有一解，综上所述，对于任意的t＞﹣2，总存在x0∈（﹣2，t），满足，且当t≥4或﹣2＜t≤1时，有唯一的x0适合题意，当1＜t＜4时，有两个x0适合题意．点评：本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数争辩函数单调性的方法及推理和运算力量．。
湖南省长沙市雅礼中学2023届高三月考试卷(二)数学试题含答案
雅礼中学2023届高三月考试卷(二)数学本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,时量120分钟，满分150分.第I 卷一、选择题:本题共8小题 ,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}220,{2}M x x x N =--=<∣, 则M N ⋂= A. (0,2) B. [0,2] C. [-1,4) D. [-1,2]2. 在平面直角坐标系xOy 中, 以点(0，1)为圆心且与直线10x y --=相切的圆的标准方程为A. 22(1)2x y +-=B. 22(1)1x y -+=C. 22(1)x y +-=D. 22(1)4x y -+=3．Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数()I t （t 的单位：天）的Logistic 模型：-0.23(-53)()1t K I t e=+，其中K 为最大确诊病例数.当()*0.95I t K =时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为(ln193)≈ A ．60B ．63C ．66D ．694．在某种信息传输过程中，用6个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，例如001100就是一个信息.在所有信息中随机取一信息，则该信息恰有2个1的概率是 A ．516B ．1132 C ．1532D ．15165. 已知圆锥的母线长为 2 , 轴截面顶角的正弦值是12, 过圆锥的母线作截面,则截面面积的最大值是A. 1 C. 1 或 2 D. 2 6. 设函数2()(,,)f x ax bx c a b c =++∈R , 若1x =-为函数()()x g x e f x =的一个极值点, 则下列图象不可能为()y f x =的图象的是7. 已知12,F F 分别是双曲线22:221(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点, 过2F 的直线与双曲线C 的左支相交于P 、Q 两点, 且1PQ PF ⊥. 若1||PQ PF =, 则双曲线C 的离心率为 63522- 522+ D.122+8. 在棱长为 6 的正方体1111ABCD A B C D -中,M 是BC 的中点, 点P 是面11DCC D 内的动点, 且满足 APD MPC ∠=∠, 则三棱锥D PBC -体积的最大值是A. 3B. 24C. 3D. 36 二、选择题:本题共4小题，每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分,有选错的得0分，部分选对的得2分. 9.关于统计数据的分析,有以下几个结论，其中正确的是A.利用残差进行回归分析时，若残差点比较均匀地落在宽度较窄的水平带状区域内，则说明线性回归模型的拟合精度较高B.将一组数据中的每个数据都减去同一个数后， 期望与方差均没有变化C.调查剧院中观众观后感时,从50排(每排人数相同)中任意抽取一排的人进行调查是分层抽样法D.样本数据9,3,5,7,12,13,1,8,10,18的第80百分位数是12.510．1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写下公式i e cos isin x x x =+（,i x ∈R 为虚数单位），这个公式在复变函数中有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，据此公式，则有 A ．e 10i π+=B ．20221312⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭C ．i -i e e 2x x+≤D ．i -i 2e e 2x x -≤-≤11. 已知函数()sin(cos )cos(sin )f x x x =+, 则下列结论正确的是A. ()f x 是偶函数B. ()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递㖪C. ()f x 的周期是πD. ()f x 的最大值为 212. 下列不等关系正确的是A. 33e 3e π<<B. 3e e e ππ<<C. 3e e πππ≤<D.333e ππ<<第Ⅱ卷三、填空题: 本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. 已知||2||=b a 且()0⋅-=b a a , 则,b a 的夹角是_____.14. 已知函数()x x f x e ae -=+(a 为常数)为奇函数, 且()()g x f x mx =-为增函数, 则实数m 的取值范围是_____.15. 已知抛物线2:4E y x =, 直线:(1)l y k x =-与E 相交于,A B 两点, 若(1,1)M -使90AMB ︒∠=, 则 k =_____. 16. 已知三角形数表:现把数表按从上到下、从左到右的顺序展开为数列{}n a ，记此数列的前n 项和为n S .若()277tm S t m m =∈∈>Z N ，且，则m 的最小值是_____.四、解答题:本题共6小题,共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分10分)已知*n ∈N ,抛物线2y x n =-+与x 轴正半轴相交于点A .设n a 为该拋物线在点A 处的切线在y 轴上的截距. (1)求数列{}n a 的通项公式;(2) 设2n n na b =, 求证: 1211112n b b b n +++<-（*n ∈N 且2n ）.18.（本小题满分 12 分)在ABC 中, 角,,A B C 的对边分别为,,a b c , 若2A C B +.(1) 求证: B 3π;(2) 对*n ∈N , 请你给出一个n 的值, 使不等式2n n n a c b +成立或不成立,并证明你的结论.19. (本小题满分 12 分)如图 1, 在ABC 中,2,90,30,AC ACB ABC P ︒︒=∠=∠=是AB 边的中点. 现把ACP 沿CP 折成如图 2所示的三棱锥A BCP -, 使得10AB =(1)求证: 平面ACP ⊥平面BCP ; (2)求二面角B AC P --的余弦值.20. (本小题满分 12 分)品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，一种通常采用的测试方法如下：拿出n 瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这n 瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试．根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评级．现设4n =，分别以1234,,,a a a a 表示第一次排序时被排为1,2,3,4的四种酒在第二次排序时的序号，并令12341234X a a a a =-+-+-+-， 则X 是对两次排序的偏离程度的一种描述．(1)假设1234,,,a a a a 等可能地为1,2,3,4的各种排列，写出X 的可能值集合，并求X 的分布列；(2)某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有2X ≤，①试按(1)中的结果，计算出现这种现象的概率（假定各轮测试相互独立）； ②你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何？说明理由． 21. (本小题满分 12 分)已知(1,0),A B -是圆22:2150F x x y -+-=上的任意一点, 线段AB 的垂直平分线交BF 于点P .(1) 求动点P 的轨迹C 的方程;(2) 设,PA PF 交轨迹C 于另两点,D E . 记PAF 和PDE 的面积分别为12,S S . 求12SS 的取值范围. 22. (本小题满分 12 分)已知函数11()t tttf x x x x +=+- (0, x t >为正有理数). (1) 求函数()f x 的单调区间;(2) 证明: 当2x 时,()0f x .雅礼中学2023届高三月考试卷(二)数学参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112 答案B ACD C D B A ADABC ABABD13.3π 14.(],2-∞ 15. 2 16. 95四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.【解析】(1) 抛物线在点,0)A n 处的切线方程为2()y n x n =--, 所以它在y 轴上的截距 2n a n =.(2)222121*********12121223(1)n b b b n n n n +++=++⋅<++++=-⨯⨯-. 18.【解析】(1) 由A B C π++=且2A C B +得23B B B ππ-⇒.(2) 当2n =时, 不等式成立, 即有2222a c b +. 证明如下: 由余弦定理有()()()2222222222cos b a c a c ac B a c -+=++--224cos 24cos 2(12cos )a c ac B ac ac B ac B =+--=-由 (1) 知1,cos cos 12cos 0332B B B πππ<∴=⇒-, 所以()22220b a c -+, 即2222a c b +.或当1n =时, 不等式成立, 即有2a c b +. 证明如下: 由正弦定理有2()2[2sin (sin sin )]24sin cos 2sin cos 2222B B A C A C b a c R B A C R +-⎛⎫-+=-+=- ⎪⎝⎭4cos 2sin cos 222B B A C R -⎛⎫=- ⎪⎝⎭ (其中R 是ABC 外接圆的半径)由 (1) 知1,sin sin 2sin 136222622B B BB πππππ<∴<⇒=⇒. 而cos 12AC -, 所以2sin cos 022B A C --, 又cos 02B>, 所以2()0b a c -+, 即2a c b +.或222()(2)a c b a c b +⇔+,而由余弦定理 ()()222222(2)()42cos 2b a c a c ac B a c ac-+=+--+-()2238cos 268cos 24(12cos )a c ac B ac ac ac B ac ac B =+----=- 由 (1) 知1,cos cos12cos 0332B B B πππ<∴=⇒-, 所以22(2)()0b a c -+, 即2a c b +.或当5n =时, 不等式不成立, 即5552a c b +不成立. 证明如下:取,23A B ππ==, 则有555sin 2sin 3a A b B ⎛⎫⎛⎫=> ⎪ ⎪⎭⎝⎭=⎝, 所以552a c b b ⎛⎫⎛⎫+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 即5552a c b +>.说明此时5552a c b +≤不成立19.【解析】（1）在图1中，取CP 的中点O ，连接AO 交CB 于E ，则AE CP ⊥.在图2中，取CP 的中点O,连接AO,OB, 因为2AC AP CP ===, 所以AO CP ⊥且 3AO =在OCB 中, 由余弦定理有2221(23)21237OB ︒=+-⨯⨯=, 所以22210AO OB AB +==, 所以AO OB ⊥, 又,AO CP CP OB O ⊥⋂=, 所以AO ⊥面PCB , 又AO ⊂面ACP , 所以平面ACP ⊥平面CPB .（2）因为AO ⊥面PCB 且OC OE ⊥，故可建立如图2空间直角坐标系， 则(0,0,0),(1,0,0),(0,0,3),(1,0,0),(3,0)O C A P B --(2,3,3),(1,0,3)AB AC =--=.设平面ABC 的法向量为(,,)x y z =m , 则由0,0,AB AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 得(3,3,1)=m又平面ACP 的法向量为(0,1,0)=n .所以313cos ||||13131θ⋅===⋅⨯m n m n . 因此, 二面角B AC P --的余弦值为1313.20.【解析】(1) X 的可能取值集合为{0,2,4,6,8},在1,2,3,4中奇数与偶数各有两个, 所以24,a a 中奇数个数等于13,a a 中偶数个数, 因此1313a a -+-与2424a a -+-的奇偶性相同, 从而X 必为偶数.X 的值非负, 且易知其值不大于 8 .容易举出使得X 的值等于0,2,4,6,8各值的排列的例子.可以用列表或者树状图列出1、2、3、4的一共24种排列，计算每种排列下的X 的值，在等可能的假定下， 得到X 的分布列为X 0 2 4 6 8P124 324 724924 424（2）①首先(2)(0)(2)246P X P X P X ≤==+=== 将三轮测试都有X ≤2的概率记做P ,有上述结果和独立性假设得311P 6216⎛⎫==⎪⎝⎭ ②由于15P 2161000=<是一个很小的概率, 这表明仅凭随机猜测得到三轮测试都有X ≤2的结果的可能性很小， 所以我们认为该品酒师确实有良好的鉴别功能,不是靠随机猜测.21.【解析】(1) 由题意可知||||||||||42||PA PF PB PF FB AF +=+==>=, 所以动点P 的轨迹是以A 、F 为焦点且长轴长为 4 的椭圆, 因此C 方程为22143x y += 设||(13),PA x x PAF θ=<<∠=, 则在PAF 中, 由余弦定理得32cos x θ=-,则有3cos 2xθ=-. 同理33||2cos()2cos AD πθθ==--+.所以22212124||||||4cos 43342x PD PA AD x x θ=+===--⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 设||PF y =, 则4x y +=. 同理可得24||43y PE y =-所以12||(43)(43)391||||1616S PA PF x y S PD PE xy xy ⋅--===-⋅∣. 易知(4)(3,4]xy x x =-∈,所以12S S 的取值范围是325,1664⎛⎤ ⎥⎝⎦.22.【解析】(1) 函数的定义域为(0,)+∞.()111111111111()11t t t t t t t t f x txx t x tx x x x t t t-+--'--⎛⎫⎛⎫=+-+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 当01x <<时, ()0f x '>; 当1x >时, ()0f x '<. 所以函数()f x 的单调区间为(0,1),(1,)+∞且()f x 在(0,1)上单调递增, 在(1,)+∞上单调递减. (2) 因为()f x 在[2,)+∞单调递减, 所以11()(2)222t tttf x f +=+-.记11(0)()222t tttg t t +=+>-，因此要证()0f x ≤，只要证()0g t ≤即可而1()g t g t ⎛⎫= ⎪⎝⎭且(1)0g =,因此只要证明: 当1t 时,()0g t .而1111()2222221t t tt tt ttg t +-⎛⎫=+--+ ⎪⎝⎭=.令122)1(1)(t t t h t t -+=-≥1121()2(ln 2)12t t t h t t -'⎛⎫=+- ⎪⎝⎭, 令1m t =, 则01m <. 令2()12(01)m F m m m =++<,2()22ln 2,()22ln 2(01),()22(ln 2)0m m m F m m G m m m G x ''=-=-<=->令, 所以()G m 在(0,1]上单调递增, 又(0)ln 20,(1)22ln 20G G =-<=->, 又()G m 在(0,1]上连续, 故存在0(0,1]x ∈, 使得()00,x x ∈时,(]0()0,,1G m x x <∈时, $G(m)>0$. 所以()F m 在()00,x 上单调递减, 在(]0,1x 单调递增. 又(0)(1)0F F ==, 所以()0F m .即()0h t ', 所以()h t 在[1,)+∞单调递减, 所以()(1)0h t h =, 即()0g t . 综上所述, 当2x 时,()0f x .。
2021-2022学年安徽省六安市裕安区新安中学普通班高三(上)第二次月考数学试卷(理科)(解析版)
2021-2022学年安徽省六安市裕安区新安中学普通班高三（上）第二次月考数学试卷（理科）一、单选题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．设集合A＝{x|﹣2＜x＜4}，B＝{2，3，4，5}，则A∩B＝（）A．{2}B．{2，3}C．{3，4}D．{2，3，4} 2．设x∈R，则“x3＞8”是“|x|＞2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．已知函数f（x）＝，则f（f（﹣1））的值为（）A．﹣1B．0C．1D．24．下列函数中，既是奇函数又在定义域内递增的是（）A．f（x）＝x3+x B．f（x）＝x3﹣1C．D．f（x）＝log3|x| 5．函数y＝的一段大致图象是（）A．B．C．D．6．已知f（x）＝sin x﹣cos x，则＝（）A．0B．C．D．17．已知a＝（），b＝log23，c＝log47，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．a＜c＜b8．函数的单调递增区间是（）A．（﹣∞，+∞）B．[1，+∞）C．（0，1]D．（0，+∞）9．函数f（x）＝lnx+ax存在与直线2x﹣y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2]B．（﹣∞，2﹣）∪（2﹣，2）C．（2，+∞）D．（0，+∞）10．如果幂函数y＝（m2﹣3m+3）的图象不过原点，则m取值是（）A．﹣1≤m≤2B．m＝1或m＝2C．m＝2D．m＝111．函数y＝ax3﹣x在（﹣∞，+∞）上的减区间是[﹣1，1]，则（）A．a＝B．a＝1C．a＝2D．a≤012．已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），且满足f（x）+xf′（x）＞0（f′（x）是f（x）的导函数），则不等式（x﹣1）f（x2﹣1）＜f（x+1）的解集为（）A．（﹣∞，2）B．（1，+∞）C．（﹣1，2）D．（1，2）二、填空题（每题5分，合计20分）13．计算求值：+lg5+lg2+e ln2lg0.01＝．14．已知函数y＝f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程是x﹣2y+1＝0，则f（1）+2f′（1）的值是．15．若关于x的不等式ax2+ax+2≥0的解集为R，则a的取值范围为．16．已知函数f（x）＝log a（2x﹣a）在区间上恒有f（x）＞0，则实数a的取值范围为．三、解答题（17题10分，18-22每题12分，共70分）17．已知关于x的不等式（a﹣x）（x+1）≥0的解集为A，不等式|x﹣1|＜1的解集为B．（1）若a＝3，求A；（2）若A∪B＝A，求正数a的取值范围．18．已知函数f（x）＝a x+log a x（a＞0，a≠1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为6+log a2．（1）求实数a的值；（2）对于任意的x∈[2，+∞），不等式kf（x）﹣1≥0恒成立，求实数k的取值范围．19．函数f（x）是实数集R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝log2x+x﹣3．（1）求f（﹣1）的值和函数f（x）的表达式；（2）求方程f（x）＝0在R上的零点个数．20．已知函数f（x）＝是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且f（）＝．（1）求函数的解析式；（2）判断函数f（x）在（﹣1，1）上的单调性，并用定义证明；（3）解关于t的不等式：f（t+）+f（t﹣）＜0．21．已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+c，曲线y＝f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程为y ＝﹣4x+1，y＝f（x）在x＝3处有极值．（1）求f（x）的解析式．（2）求y＝f（x）在[0，4]上的最小值．22．已知函数f（x）＝+alnx﹣2（a＞0）．（1）若曲线y＝f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线y＝x+2垂直，求函数y＝f （x）的单调区间；（2）记g（x）＝f（x）+x﹣b（b∈R）．当a＝1时，函数g（x）在区间[e﹣1，e]上有两个零点，求实数b的取值范围．参考答案一、单选题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．设集合A＝{x|﹣2＜x＜4}，B＝{2，3，4，5}，则A∩B＝（）A．{2}B．{2，3}C．{3，4}D．{2，3，4}【分析】直接利用交集运算得答案．解：∵A＝{x|﹣2＜x＜4}，B＝{2，3，4，5}，∴A∩B＝{x|﹣2＜x＜4}∩{2，3，4，5}＝{2，3}．故选：B．2．设x∈R，则“x3＞8”是“|x|＞2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】由x3＞8得到|x|＞2，由|x|＞2不一定得到x3＞8，然后结合查充分条件、必要条件的判定方法得答案．解：由x3＞8，得x＞2，则|x|＞2，反之，由|x|＞2，得x＜﹣2或x＞2，则x3＜﹣8或x3＞8．即“x3＞8”是“|x|＞2”的充分不必要条件．故选：A．3．已知函数f（x）＝，则f（f（﹣1））的值为（）A．﹣1B．0C．1D．2【分析】利用分段函数的性质先求f（﹣1）的值，再求f（f（﹣1））的值．解：∵函数f（x）＝，∴f（﹣1）＝3﹣（﹣1）＝4，f（f（﹣1））＝f（4）＝＝2．故选：D．4．下列函数中，既是奇函数又在定义域内递增的是（）A．f（x）＝x3+x B．f（x）＝x3﹣1C．D．f（x）＝log3|x|【分析】由常见函数的奇偶性和单调性，可得结论．解：f（x）＝x3+x，由f（﹣x）＝﹣x3﹣x＝﹣f（x），可得f（x）为奇函数，且f（x）在R上递增，故A符合题意；而f（x）＝x3﹣1不为奇函数；f（x）＝﹣是奇函数，但在定义域内不单调；f（x）＝log3|x|为偶函数．故BCD不符题意．故选：A．5．函数y＝的一段大致图象是（）A．B．C．D．【分析】根据函数的奇偶性和特殊值即可判断．解：f（﹣x）＝﹣＝﹣f（x），∴y＝f（x）为奇函数，∴图象关于原点对称，∴当x＝π时，y＝﹣＜0，故选：A．6．已知f（x）＝sin x﹣cos x，则＝（）A．0B．C．D．1【分析】根据题意，求出函数的导数，将x＝代入计算可得答案．解：f（x）＝sin x﹣cos x，则f′（x）＝cos x+sin x，则f′（）＝cos+sin＝，故选：C．7．已知a＝（），b＝log23，c＝log47，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．a＜c＜b【分析】利用对数函数、指数函数的单调性直接求解．解：∵，∴0＜a＝（）＜（）0＝1，b＝log23＝log49＞c＝log47＞log44＝1，∴a，b，c的大小关系为a＜c＜b．故选：D．8．函数的单调递增区间是（）A．（﹣∞，+∞）B．[1，+∞）C．（0，1]D．（0，+∞）【分析】化简函数的解析式，可得它的单调性．解：∵函数＝，故它的单调递增区间为[1，+∞），故选：B．9．函数f（x）＝lnx+ax存在与直线2x﹣y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2]B．（﹣∞，2﹣）∪（2﹣，2）C．（2，+∞）D．（0，+∞）【分析】问题等价于f′（x）＝2在（0，+∞）上有解，分离出参数a，转化为求函数值域问题即可．解：函数f（x）＝lnx+ax存在与直线2x﹣y＝0平行的切线，即f′（x）＝2在（0，+∞）上有解，而f′（x）＝+a，即k＝2在（0，+∞）上有解，a＝2﹣，因为x＞0，所以2﹣＜2，所以a＜2．所以a的取值范围是（﹣∞，2）．当直线2x﹣y＝0就是f（x）＝lnx+ax的切线时，设切点坐标（m，lnm+am），可得，解得m＝e，a＝2﹣．所以实数a的取值范围是：（﹣∞，2﹣）∪（2﹣，2）．故选：B．10．如果幂函数y＝（m2﹣3m+3）的图象不过原点，则m取值是（）A．﹣1≤m≤2B．m＝1或m＝2C．m＝2D．m＝1【分析】幂函数的图象不过原点，所以幂指数小于等于0，系数为1，建立不等式组，解之即可．解：幂函数的图象不过原点，所以解得m＝1或2，符合题意．故选：B．11．函数y＝ax3﹣x在（﹣∞，+∞）上的减区间是[﹣1，1]，则（）A．a＝B．a＝1C．a＝2D．a≤0【分析】由f（x）＝ax3+x的减区间为[﹣1，1]，得f′（x）＝3ax2﹣1＝0的两个根为﹣1，1，解出a即可．解：f′（x）＝3ax2﹣1由题意得3ax2﹣1＝0的根为﹣1，1则3a﹣1＝0，所以a＝．故选：A．12．已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），且满足f（x）+xf′（x）＞0（f′（x）是f（x）的导函数），则不等式（x﹣1）f（x2﹣1）＜f（x+1）的解集为（）A．（﹣∞，2）B．（1，+∞）C．（﹣1，2）D．（1，2）【分析】根据条件构造函数g（x）＝xf（x），求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行转化求解即可．解：设g（x）＝xf（x），则g′（x）＝f（x）+x•f'（x），∵f（x）+x•f'（x）＞0，∴g′（x）＞0，即g（x）在（0，+∞）为增函数，则不等式（x﹣1）f（x2﹣1）＜f（x+1）等价为（x﹣1）（x+1）f（x2﹣1）＜（x+1）f（x+1），即（x2﹣1）f（x2﹣1）＜（x+1）f（x+1），即g（x2﹣1）＜g（x+1），∵g（x）在（0，+∞）为增函数，∴，即，即1＜x＜2，故不等式的解集为（1，2），故选：D．二、填空题（每题5分，合计20分）13．计算求值：+lg5+lg2+e ln2lg0.01＝3．【分析】由指数与对数的运算性质求解即可．解：+lg5+lg2+e ln2lg0.01＝+lg5×2+2+lg10﹣2＝2﹣1+lg10+2+×（﹣2）＝+3﹣＝3．故答案为：3．14．已知函数y＝f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程是x﹣2y+1＝0，则f（1）+2f′（1）的值是2．【分析】因为切点坐标一定满足切线方程，所以据此可以求出f（1）的值，又因为切线的斜率是函数在切点处的导数，就可求出f′（1）的值，把f（1）和f′（1）代入f（1）+2f'（1）即可．解：∵点（1，f（1））是切点，∴在切线上，∴1﹣2f（1）+1＝0，f（1）＝1∵函数y＝f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程是x﹣2y+1＝0，∴切线斜率是即f′（1）＝∴f（1）+2f'（1）＝1+2×＝2故答案为215．若关于x的不等式ax2+ax+2≥0的解集为R，则a的取值范围为[0，8]．【分析】分a＝0和a≠0两种情况，并结合二次函数的图象与性质，即可得解．解：当a＝0时，不等式为2≥0，满足题意；当a≠0时，要使不等式的解集为R，则，解得0＜a≤8，综上所述，a的取值范围为[0，8]．故答案为：[0，8]．16．已知函数f（x）＝log a（2x﹣a）在区间上恒有f（x）＞0，则实数a的取值范围为（，）．【分析】由题意利用对数函数的单调性和特殊点，函数的恒成立问题，求得实数a的取值范围．解：函数f（x）＝log a（2x﹣a）在区间上恒有f（x）＞0，即当a＞1时，2x﹣a＞1，或当0＜a＜1时，0＜2x﹣a＜1．∴①，或②．由①求得a∈∅，由②求得＜a＜．综合可得实数a的取值范围为（，），故答案为：（，）．三、解答题（17题10分，18-22每题12分，共70分）17．已知关于x的不等式（a﹣x）（x+1）≥0的解集为A，不等式|x﹣1|＜1的解集为B．（1）若a＝3，求A；（2）若A∪B＝A，求正数a的取值范围．【分析】（1）当a＝3时，可得不等式（3﹣x）（x+1）≥0，解不等式即可得到集合A；（2）由A∪B＝A，得B⊆A，所以a＞0，此时A＝{x|﹣1≤x≤a}．由B是A的子集，得a≥2．解：（1）a＝3，由（3﹣x）（x+1）≥0，得（x﹣3）（x+1）≤0，解得﹣1≤x≤3，所以A＝{x|﹣1≤x≤3}．（2）B＝{x||x﹣1|＜1}＝{x|0＜x＜2}．由A∪B＝A，得B⊆A，所以a＞0，此时A＝{x|﹣1≤x≤a}，所以a≥2，即a的取值范围为[2，+∞）．18．已知函数f（x）＝a x+log a x（a＞0，a≠1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为6+log a2．（1）求实数a的值；（2）对于任意的x∈[2，+∞），不等式kf（x）﹣1≥0恒成立，求实数k的取值范围．【分析】（1）由函数f（x）在[1，2]上是单调函数，从而可得f（x）在[1，2]上的最大值与最小值之和为a+a2+log a2＝6+log a2，计算即可求解a的值；（2）将已知不等式转化为对于任意的x∈[2，+∞），k≥恒成立，求出的最大值，即可求解k的取值范围．解：（1）因为函数y＝a x，y＝log a x（a＞0，a≠1）在[1，2]上的单调性相同，所以函数f（x）＝a x+log a x（a＞0，a≠1）在[1，2]上是单调函数，所以函数f（x）在[1，2]上的最大值与最小值之和为a+a2+log a2＝6+log a2，所以a2+a﹣6＝0，解得a＝2或a＝﹣3（舍），所以实数a的值为2．（2）由（1）可知f（x）＝2x+log2x，因为对于任意的x∈[2，+∞），不等式kf（x）﹣1≥0恒成立，所以对于任意的x∈[2，+∞），k≥恒成立，当x∈[2，+∞）时，f（x）＝2x+log2x为单调递增函数，所以f（x）≥f（2）＝5，所以≤，即k≥，所以实数k的取值范围是[，+∞）．19．函数f（x）是实数集R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝log2x+x﹣3．（1）求f（﹣1）的值和函数f（x）的表达式；（2）求方程f（x）＝0在R上的零点个数．【分析】（1）根据题意，由函数的解析式求出f（1）的值，结合函数的奇偶性可得f（﹣1）的值，设x＜0，则﹣x＞0，结合函数的解析式和奇偶性分析可得f（x）的表达式，又由f（0）＝0，综合3种情况即可得函数的解析式；（2）根据题意，由函数的解析式分段分析：当x＞0时，易得f（x）为增函数，由解析式可得f（1）＜0，f（3）＞0，由函数零点判定定理可得f（x）在（0，+∞）上有唯一的零点，结合函数的奇偶性可得f（x）在（﹣∞，0）上也有唯一的零点以及f（0）＝0，综合即可得答案．解：（1）由题知，当x＞0时，f（x）＝log2x+x﹣3，则f（1）＝log21+1﹣3＝﹣2，又由函数f（x）是实数集R上的奇函数，则有f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣（﹣2）＝2；设x＜0，则﹣x＞0，f（﹣x）＝log2（﹣x）+（﹣x）﹣3＝log2（﹣x）﹣x﹣3，又由f（x）为奇函数，则f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣log2（﹣x）+x+3，又由f（0）＝0，则f（x）＝；（2）根据题意，由（1）的结论，f（x）＝；当x＞0时，f（x）＝log2x+x﹣3，易得f（x）为增函数，又由f（1）＝﹣2＜0，f（3）＝log23＞0，则f（x）在（0，+∞）上有唯一的零点，又由函数f（x）为奇函数，则f（x）在（﹣∞，0）上也有唯一的零点，又由f（0）＝0，综合可得：方程f（x）＝0在R上有3个零点．20．已知函数f（x）＝是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且f（）＝．（1）求函数的解析式；（2）判断函数f（x）在（﹣1，1）上的单调性，并用定义证明；（3）解关于t的不等式：f（t+）+f（t﹣）＜0．【分析】（1）由奇函数的性质可知，f（0）＝0，代入可求b，然后根据，代入可求a；（2）任取﹣1＜x1＜x2＜1，然后利用作差法比较f（x1）与f（x2）的大小即可判断；（3）结合（2）的单调性即可求解不等式．解：（1）由奇函数的性质可知，f（0）＝0，∴b＝0，f（x）＝，∵＝．∴a＝1，f（x）＝；（2）函数f（x）在（﹣1，1）上是增函数．证明：任取﹣1＜x1＜x2＜1，则，所以函数f（x）在（﹣1，1）上是增函数；（3）由，∴．故不等式的解集为（﹣，0）．21．已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+c，曲线y＝f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程为y ＝﹣4x+1，y＝f（x）在x＝3处有极值．（1）求f（x）的解析式．（2）求y＝f（x）在[0，4]上的最小值．【分析】（1）由题意得到关于a，b的方程组，求解方程组即可确定函数的解析式；（2）结合（1）中求得的函数解析式研究函数的极值和函数在端点处的函数值确定函数的最小值即可．解：（1）f′（x）＝3x2+2ax+b，f′（1）＝3+2a+b．∴k＝f′（1）＝3+2a+b＝﹣4 ①曲线y＝f（x）在点P处的切线方程为y﹣f（1）＝﹣4（x﹣1），即y＝﹣4x+4+f（1）＝﹣4x+1∴f（1）＝﹣3＝1+a+b+c②∵y＝f（x）在x＝3处有极值，所以f′（3）＝0，∴27+6a+b＝0 ③由①②③得，a＝﹣5，b＝3，c＝﹣2所以f（x）＝x3﹣5x2+3x﹣2…（2）由（1）知f′（x）＝3x2﹣10x+3＝（3x﹣1）（x﹣3）．令f′（x）＝0，得x1＝3，x2＝．当x∈[0，）时，f′（x）＞0；当x∈时，f′（x）＜0；当x∈[3，4]时，f′（x）＞0，∴f（x）极小值＝f（3）＝﹣11．又因f（0）＝﹣2，所以f（x）在区间[0，4]上的最小值为﹣11．22．已知函数f（x）＝+alnx﹣2（a＞0）．（1）若曲线y＝f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线y＝x+2垂直，求函数y＝f （x）的单调区间；（2）记g（x）＝f（x）+x﹣b（b∈R）．当a＝1时，函数g（x）在区间[e﹣1，e]上有两个零点，求实数b的取值范围．【分析】（I）先求出函数f（x）的定义域和导函数f′（x），再由f′（1）＝﹣1求出a的值，代入f′（x），由f′（x）＞0和f′（x）＜0进行求解，即判断出函数的单调区间；（II）由（I）和题意求出g（x）的解析式，求出g′（x），由g′（x）＞0和g′（x）＜0进行求解，即判断出函数的单调区间，再由条件和函数零点的几何意义列出不等式组，求出b的范围．解：（I）由题意得，f（x）的定义域为（0，+∞），∵f′（x）＝，∴f′（1）＝﹣2+a，∵直线y＝x+2的斜率为1，∴﹣2+a＝﹣1，解得a＝1，所以f（x）＝，∴f′（x）＝，由f′（x）＞0解得x＞2；由f′（x）＜0解得0＜x＜2．∴f（x）的单调增区间是（2，+∞），单调减区间是（0，2）（II）依题得g（x）＝，则＝．由g′（x）＞0解得x＞1；由g′（x）＜0解得0＜x＜1．∴函数g（x）在区间（0，1）为减函数，在区间（1，+∞）为增函数．又∵函数g（x）在区间[，e]上有两个零点，∴，解得1＜b≤，∴b的取值范围是（1，]．。
高三第二次月考(数学)试题含答案
高三第二次月考（数学）（考试总分：150 分）一、 单选题 （本题共计12小题，总分60分） 1.（5分）1．如果复数21iz =-+，则 A ．z 的共轭复数为1i + B ．z 的实部为1 C ．2z =D ．z 的虚部为1-2.（5分）2．已知集合{}0 1 2A =，，，集合{}|2B x x =>，则A B ⋂= A ．{}2B ．{}0 1 2，，C ．{}|2x x >D ．∅3.（5分）3．不等式组220y x y ≤⎧⎨-+≥⎩，表示的平面区域是图中的（ ）A ．B ．C ．D ．4.（5分）4．已知集合{}3,M a =，{}22,3,2N a a =--，若M N ⊆，则实数a 的值是（ ） A ．±1B ．1或2C ．2D ．±1或25.（5分）5．在一次投篮训练中，某队员连续投篮两次.设命题p 是“第一次投中”，q 是“第二次投中”，则命题“两次都没有投中目标”可表示为 A ．()p q ⌝∧ B ．()()p q ⌝∧⌝C ．p q ∧D ．()()p q ⌝∨⌝6.（5分）6．下列说法中正确的是（ ）A ．若0a b <<，则a b >B ．若a b >，则11a b< C ．若a b >，则22ac bc > D ．若ac bc >，则a b >7.（5分）7．关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集为()3,1-，则不等式20bx ax c ++<的解集为（ ） A ．()1,2?B ．()1,2-C ．3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭8.（5分）8．的一个必要不充分条件是A ．-1<<6B ．C ．D ．9.（5分）9．若不等式2(1)(1)20m x m x -+-+>的解集是R ，则m 的范围是A ．[1,9)B ．(1,9)C ．(,1](9,)-∞⋃+∞D ．(,1)(9,)-∞⋃+∞10.（5分）10．在下列函数中，最小值是2的函数是（ ）A ．()1f x x x=+ B ．1cos 0cos 2y x x x π⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭ C ．()223f x x =+D ．()42x xf x e e =+- 11.（5分）11．已知命题p ：“[]x 0,1∀∈，x a e ≥”，命题q ：“x R ∀∈，2x 4x a 0++≠”，若命题p q ∧￢是真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．[]1,4B ．[]e,4C ．()4,∞+D ．(],1∞-12.（5分）12．以下有关命题的说法错误的是A ．“03x <<”是“11x -<”的必要不充分条件B ．命题“若2x ≠或3y ≠，则5x y +≠”的否命题为真命题C ．若p q ∨是真命题，则p q ∧也是真命题D ．对于命题:p x R ∃∈，使得210x x ++<，则:p x R ⌝∀∈，均有210x x ++≥二、 填空题 （本题共计4小题，总分20分）13.（5分）13．若变量x 、y 满足约束条件12x y x x y ≥-⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则2z x y =+的最大值为________．14.（5分）14．已知0x >，0y >，且21x y +=，则112x y+的最小值是______．15.（5分）15．当x∈（1，3）时，不等式x 2+mx+4＜0恒成立，则m 的取值范围是 ．16.（5分）16．已知命题p ：24x -≤≤，命题q ：实数x 满足()20x m m -≤>，若p⌝是q ⌝的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是________.三、 解答题 （本题共计6小题，总分70分） 17.（10分）17．（10分）解下列关于x 的不等式：（1）(2)1(3)x x x x +-≥-；（2）2112x x +≤+ 18.（12分）18．（12分）已知集合{}2|514A x y x x ==--，集合，集合．（1）求∁R (A ∪B)； （2）若，求实数m 的取值范围．19.（12分）19．（12分）已知命题p ：2,10x R ax ax ∀∈++>，命题:213q a -<．(1)若命题p 是真命题，求实数a 的取值范围；(2)若p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题，求实数a 的取值范围．20.（12分）20．（12分）当0x >时，解关于x 的不等式2(1)0()aax a a R x-++≥∈ 21.（12分）21. （12分）设函数()12f x x m x =+--.（1）若1m =，求函数()f x 的值域； （2）若1m =-，求不等式()3f x x >的解集.22.（12分）22．（12分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos 23sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 224πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（1）求C 与l 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，点(2,2)P -，求11||||PM PN +的值答案一、 单选题 （本题共计12小题，总分60分） 1.（5分）Ｄ 2.（5分）Ｄ 3.（5分）Ｃ 4.（5分）Ｂ 5.（5分）Ｂ 6.（5分）Ａ 7.（5分）Ｃ 8.（5分）Ａ 9.（5分）Ａ 10.（5分）Ｄ 11.（5分）Ｂ 12.（5分）Ｃ二、 填空题 （本题共计4小题，总分20分） 13.（5分）13. 3【详解】画出可行域和目标函数，如图所示：2z x y =+，则2y x z =-+，z 表示直线在y 轴的截距， 根据图像知：当1x y ==时，函数有最大值为3. 故答案为：3.14.（5分）14．4【详解】由题意，知0x >，0y >，且21x y +=，则111122()()222422222y x y xx y x y x y x y x y+=+=++≥+⋅=+， 当且仅当22y x x y =，即11,24x y ==时等号成立， 所以112x y +的最小值是4.故答案为：4.15.（5分）15．（﹣∞，﹣5]．【详解】利用函数f （x ）=x 2+mx+4的图象，∈x∈（1，3）时，不等式x 2+mx+4＜0恒成立， ∈，即，解得m≤﹣5．∈m 的取值范围是（﹣∞，﹣5]． 故答案为（﹣∞，﹣5]．16.（5分）故答案为：[4，)+∞．三、 解答题 （本题共计6小题，总分70分）17.（10分）17．（1）[)1,1,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦；（2）{}|21x x -<≤【详解】（1）原不等式可化为2210x x --≥，即()()2110x x +-≥， 解得12x ≤-或1≥x ，所以原不等式的解集为[)1,1,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦.（2）不等式2112x x +≤+可化为102x x -≤+，等价于(1)(2)020x x x -+≤⎧⎨+≠⎩， 解得212x x -≤≤⎧⎨≠-⎩，所以不等式的解集为{}|21x x -<≤.18.（12分）18．（1）(2,7)-；（2）2m <或6m ≥．（注意书写形式）试题解析：（1）25140x x --≥72x x ∴≥≤-或 ∈又()27120,43,4,3x x x B --->∴-<<-=--(][),27,A B ∴⋃=-∞-⋃+∞ ()()2,7R C A B ∴⋃=-（2） ∈ ∈． ∈,,∈．∈,则或．∈．综上，或19.（12分）19．(1) [)0,4 (2) ()[)1,02,4-【详解】根据复合命题真假，讨论p 真q 假，p 假q 真两种情况下a 的取值范围． （1）命题p 是真命题时，21>0ax ax ++在R 范围内恒成立， ∈∈当0a =时，有10≥恒成立；∈当0a ≠时，有2040a a a >⎧⎨∆=-<⎩，解得：04a <<； ∈a 的取值范围为：[)0,4.（2）∈p q ∨是真命题，p q ∧是假命题，∈p ，q 中一个为真命题，一个为假命题， 由q 为真时得由213a -<，解得1a 2-<<，故：∈p 真q 假时，有041a a ≤<⎧⎨≤-⎩或042a a ≤<⎧⎨≥⎩，解得：24a ≤<；∈p 假q 真时，有012a a <⎧⎨-<<⎩或412a a ≥⎧⎨-<<⎩，解得：10a -<<；∈a 的取值范围为：()[)1,02,4-.20.（12分）20．【详解】∈0x >故原不等式等价于()()()221010ax a x a ax x a -++≥⇔--≥当0a ≤时，10ax 恒成立此时不等式解集为 Φ ； 当0a >时，由()()10ax x a --=，有1x x a a==或，则 当01a <<时，解集为：(]10,,a a ⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭当1a =时，解集为R +;当1a >时，解集为：[)10,,a a ⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦21.（12分）21．（1）[3,3]-（2）(),1-∞详解：（1）当1m =时，()12f x x x =+--3,121,123,2x x x x -≤-⎧⎪=--<≤⎨⎪>⎩，当12x -<≤时，3213x -≤-<，∈函数值域为[3,3]-．（2）当1m =-时，不等式()f x 即123x x x +-->.∈当1x <-时，得123x x x ---->，解得15x <，所以1x <-；∈当12x -≤<时，得123x x x +-+>，解得1x <，所以11x -≤<； ∈当2x ≥时，得123x x x ++->，解得1x <-，所以无解； 综上所述，原不等式的解集为(),1-∞.22.（12分）22．（1）22(2)9x y +-=，40x y -+=；（2. 【详解】解：（1）因为曲线C 的参数方程为3cos 23sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），所以其直角坐标方程为22(2)9x y +-=，∈直线l的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭∈sin cos 4ρθρθ-=，∈其直角坐标方程为40x y -+=；（2）直线l 过点(2,2)P -且参数方程可表示为222x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），代入曲线C的方程，得250t --=，则12t t +=125t t =-，∈121211||||t t PM PN t t -+==。
长沙市一中2025届高三月考试卷(二)数学
长沙市一中2025届高三月考试卷（二）数学时量：120分钟满分：150分一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{}|2ln 2A x x =-<≤，{}2,1,0,1,2,3B =--，则A B = （）A ．{1,0}-B ．{1,2}C ．{1,0,1}-D ．{1,2,3}2．已知i 为虚数单位，12ii z-=-，则z 的共轭复数z =（）A ．2i-B ．2i +C ．2i--D ．2i-+3．已知曲线()2ln f x ax x =+在点()()1,1f 处的切线与x 轴相交于点1,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，则实数a =（）A ．-2B ．-1C ．1D ．24．已知向量(1,)OA k =- ，(1,2)OB =，(2,0)OC k =+ 且实数0k ≥，若A ，B ，C 三点共线．则k =（）A ．0B ．1C ．2D ．35．已知过坐标原点O 的直线PO 与焦点为F 的抛物线2:2(0)C y px p =>在第一象限交于点P ，与C 的准线l 交于点Q ，若4PO OQ =，则直线PF 的斜率为（）A ．43B ．23C ．1D ．136．已知函数()sin f x x x =-与直线(02)y a a =<<在第一象限的交点横坐标从小到大依次分别为12,,,,n x x x ，则()12323f x x x --=（）A ．1-B ．0C ．1D7．定义：min{,}x y 为实数x ，y 中较小的数，已知22min ,9b h a a b ⎧⎫=⎨⎬+⎩⎭，其中a ，b 均为正实数，则h 的最大值是（）A ．16B ．13C D8．若不等式ln 0a x x -≥有且仅有三个整数解，则实数a 的取值范围是（）A ．25,ln 2ln5⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．25,ln 2ln5⎛⎤⎝⎦C ．35,ln 3ln5⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．35,ln 3ln 5⎛⎤⎥⎝⎦二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，至少有两项是符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分）9．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，若109a =，20200S =，则（）A ．2=d B ．n S 的最小值为5S C ．19a =D ．使0n S >的n 的最小值为1110．若随机变量()2~0,X N σ，()()f x P X x =≤，则（）A ．()()1f x f x -=-B ．()()22f x f x =C ．()()()210P X x f x x <=->D ．若()121x f f x +⎛⎫> ⎪-⎝⎭，则113x <<11．如图，在锐二面角AB αβ--的半平面β内有一个四边形MENF ，点M 在AB 上，EF =2MN =，MEF 和NEF 的面积均为12，点N 到平面α的距离为2，点E 到平面α）A ．EF AB∥B ．直线MN 与AB 所成的角为45︒C ．直线MN 与平面α所成的角为30︒D ．二面角AB αβ--的大小为60︒三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）12．设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两条渐近线的倾斜角分别为,αβ，若5αβ=，则C 的离心率为．13．已知正三棱柱111ABC A B C -中，12AC CC =，动点P 在侧面11ACC A 内，且10PC PB ⋅=．若点P ，则该正三棱柱的体积为．14．记不超过x 的最大整数为[]x ．若函数()|2[2]|f x x x t =-+既有最大值也有最小值，则实数t 的取值范围是．四、解答题（本大题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．现有一种不断分裂的细胞X ，每个时间周期内分裂一次，一个X 细胞每次分裂能生成一个或两个新的X 细胞，每次分裂后原X 细胞消失．设每次分裂成一个新X 细胞的概率为p ，分裂成两个新X 细胞的概率为1p -；新细胞在下一个周期内可以继续分裂，每个细胞分裂相互独立．设有一个初始的X 细胞，从第一个周期开始分裂．(1)当34p =时，求3个周期结束后X 细胞数量为2个的概率；(2)设2个周期结束后，X 细胞的数量为ξ，求ξ的分布列和数学期望．16．如图，AB 是半球O 的直径，4,,AB M N =是底面半圆弧 AB 上的两个三等分点，P 是半球面上一点，且60PON ∠=︒．(1)证明：PB ⊥平面PAM ：(2)若点P 在底面圆内的射影恰在ON 上，求直线PM 与平面PAB 所成角的正弦值．17．已知函数()()()1ln 1f x ax x x =-+-．(1)当2a =-时，求()f x 的极值；(2)当0x ≥时，()0f x ≥，求a 的取值范围．18．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦距为4，离心率为122,,F F 分别为C 的左､右焦点，两点()()1122,,,A x y B x y 都在C 上.(1)求C 的方程；(2)若222AF F B =，求直线AB 的方程；(3)若1AF ∥2BF 且12120,0x x y y <>，求四个点12,,,A B F F 所构成的四边形的面积的取值范围.19．已知数列{}n a 满足：13a =，m ∀，*n ∈N ，当n m >时，2n m n m a a a -+=+．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)当6n ≥时，求证：11112nn a ⎛⎫-< ⎪+⎝⎭；(3)求解方程：1231n n n n nn n a a a a a +++++= ．。
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高三第二次月考数学试卷（理科）一、选择题：（每小题5分，共60分）1. 集合 x │0＜│x-1│＜4，x ∈N 的真子集的个数为（ ）A. 32B. 31C. 16D. 152. 复数632)1()31()2(34i i i i -⋅---+-的值为（ ） A. –2i B. 0 C. 2i D. -i3. 已知集合A=（x ，y ）│x+y=1 ，映射：f ∶A →B ，在f 作用下，点（x ，y ）的象为（2x ，2y ），则集合B 为（ ）A.（x ，y ）│x+y=2，x ＞0，y ＞0B. （x ，y ）│x ·y=1，x ＞0，y ＞0C. （x ，y ）│x ·y=2，x ＜0 ，y ＜0D. （x ，y ）│x ·y=2，x ＞0，y ＞0 4. 采用简单随机抽样从含有6个个体的总体中抽取一个容量为3的样本，个体a 前两次未被抽到，第3次被抽到的概率为（ ） A.21 B. 31 C. 61 D. 41 5. 已知f （x ）=x 2+2x ·f ＇（1），则f ＇（0）等于（ ） A. 0 B. –4 C. –2 D. 26. 函数f （x ），g （x ）在区间[a ，b]上恒有：g （x ）＞0及f ＇(x)·g （x ）＞g （x ）·g ＇(x)，则对任意x ∈（a ，b ）都有（ ）A. f （x ）·g （x ）＞f （a ）·g （a ）B. f （x ）·g （x ）＞f （b ）·g （b ）C. f （x ）·g （a ）＞f （a ）·g （x ）D. f （x ）·g （b ）＞f （b ）·g （x ）7. 数列{a n }是公差不为零的等差数列，并且a 5，a 8，a 13是等比数列{b n }相邻三项，若b 2=5，则b n 等于（ ）A. 5·135-⎪⎭⎫⎝⎛n B. 3·135-⎪⎭⎫⎝⎛n C. 3·153-⎪⎭⎫⎝⎛n D. 5·153-⎪⎭⎫⎝⎛n8. 已知a ＞0，a ≠1，函数y=a │x 2-x-2│的图象与函数y=│log a x │的图像的交点个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个9. 已知f （x ）=log 3x+2，x ∈[1，3]，则函数F （x ）=[f （x ）]2+f （x 2）的最大值为（ ） A. 13 B. 16 C. 18 D.43710.数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，5，5，5，5，6，……的第1000项的值是（ ） A. 42 B. 44 C. 45 D. 51 11. 某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物： ①如不超过200元，则不予优惠；②如超过200元，但不超过500元，按9折优惠；③如超过500元，其中500元的按9折给予优惠，超过500元的部分按8折给予优惠， 某人两次去购物，分别付款168元和423元，若他只去一次购买同样价值的商品，则应付款（ ）A. 472.8B. 510.4C. 522.8D. 560.412. 在任意两个正整数m ，n 间定义某种运算（用○×表示运算符号），当m ，n 都为正偶数或都为正奇数时，m ○×n=m+n ，如4○×6=4+6=10，3○×7=3+7=10，当m ，n 中一个为正奇数，另一个为偶数时，m ○×n=mn ，如3○×4=3⨯4=10，4○×3=4⨯3=12则上述定义下，集合 M=（a ，b ）│a ○×b=36，a ，b ∈N* 中元素个数为（ ） A. 24 B. 35 C. 41 D. 23 二、填空题：（每小题4分，共16分）13. 函数f （x ）=log 31（x 2-5x+6）的单调递增区间为_________________.14. 一个盒子装有8个红球和2个白球，从中每次取出一个球，取后放回，共取两次，若取出红球的次数为ξ，且η=2ξ+1，则E η=_____________D η=_____________. 15. 在数列{a n }中，a n +s n =n （n ≥1），其中s n =a 1+a 2+…a n ， 则a n =_________________.n n a ∞→lim =_______________.16. 设数集M= x │m ≤x ≤m+43 ，N==x │n-31≤x ≤n ，且M ，N 都有是集合x │0≤x ≤1 的子集，如果把b-a 叫做集合x │a ≤x ≤b 的“长度”，那么集合M ∩N 的“长度”的最小值是________________. 三、解答题：（共74分）17. （本题12分）一批零件有5个合格品及2个次品，安装机器后，从这批零件中任意取出1个，如果每次取出的次品不再放回去，已知取得合格品之前已取出的次品率为ξ， 求（Ⅰ）ξ的概率分布列； （Ⅱ）E ξ。
18.（本题12分）定义在R 上的单调函数f （x ）满足f （3）=log 23，且对任意x ，y ∈R 都有f （x+y ）=f （x ）+f （y ）, （1）求证f （x ）为奇函数；（2）若f （k ·3x ）+f （3x -9x -2）＜0对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围。
19. （本题12分）这是一个计算机程序的操作说明： ①初始值x=1，y=1，z=0，n=0； ②n=n+1（将当前n+1的值赋予新的n ） ③x=x+2（将当前x+2的值赋予新的x ） ④y=2y （将当前2y 的值赋予新的y ） ⑤z=z+xy （将当前z+xy 的值赋予新的z ）⑥如果z ＞7000则执行语句⑦，否则回到语句②继续进行：⑦打印n ，z; ⑧程序终止。
由语句⑦打印出的数值为_____________、_______________ 并写出计算过程。
20.（本题12分）已知31≤a ≤1，若函数f （x ）=ax 2-2x+1在区间[1，3]上的最大值为M （a ），最小值为N （a ），令g （a ）=M （a ）-N （a ） （Ⅰ）求g （a ）的函数表达式； （Ⅱ）判断函数g （a ）在区间[31，1]上的单调性，并求出g （a ）的最小值。
21. （本题12分）已知f （x ）=2)1(1++ax bx ，（x ≠-a1，a ＞0），f （1）=log 162，f （-2）=1,（Ⅰ）求f （x ）得表达式；（Ⅱ）若数列{x n }满足x n =[1-f （1）]·[1-f （2）]…[1-f （n ）]，试求x 1，x 2，x 3，x 4的值，并由此猜想出x n 的表达式，并证明你的结论。
22. （本题14分）已知f （x ）=x 3+bx 2+cx+d 在（-∞，0）上是增函数，在[0，2]上是减函数，且方程f （x ）=0有三个根，它们分别为α，2，β。
（Ⅰ）求c 的值； （Ⅱ）求证f （1）≥2;（Ⅲ）求│α-β│的取值范围。
参考答案：一、选择题：二、填空题：13.（-∞，2）。
14. E η=21/5 ；D η=32/25。
15 a n =1-n 21；.1lim =∞→n n a 16. 1/12。
三、解答题：17. （Ⅰ） （Ⅱ）E ξ=3118. （Ⅰ）令x=y=0，得f （0）=0；令y= -x ，则f （x-x ）=f （x ）+f （-x ）=f （0）=0， 得函数f （x ）为奇函数；（Ⅱ）单调函数f （x ）满足f （3）=log 23＞0 = f （0），函数f （x ）为单调递增函数，f （k ·3x ）＜f （-3x +9x +2），k ·3x ＜9x -3x +2，k ＜3x +x 32-1 设u （x ）=3x +x32-1≥22-1 得k ＜22-1 19.设n=Ii 时，x ，y ，z 的值分别为x i ，y i ，z i ，依题意，x 0=1，x n =x n -1+2，所以{x n }是等差数列，且x n =2n+1，Y 0=1，y n =2y n-1，所以{y n }是等比数列，且y n =2n ，z 0=0，z n =z n-1+x n y n ， 所以z n =x 1y 1+x 2y 2+…+x n y n =3×2+5×22+7×23+…（2n+1）×2n 用错位相减法求和得：z n =（2n-1）2n+1+2当z n =（2n-1）2n+1+2＞7000时，取n=8，此时z=7682。
20. （Ⅰ）f （x ）=a （x-a 1）2+1-a 1，由于31≤a ≤1，所以1≤a1≤3，y 小=N （a ）=1-a 1，当21≤a ≤1，即1≤a1≤2时，y 大=f （3）=9a-5， 当31≤a ≤21，即2≤a 1≤3时，y 大=f （1）=a-1，g （a ）=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤+-≤≤+-)121(169)2131(12a a a a a a（Ⅱ）g ＇（a ）=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤〈〉-≤≤〈-)121(019)2131(01122a a a aa ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,31时，g （a ）为减函数；a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,21时，g （a ）为增函数，（也可以利用函数y=x+x 1的图像及性质来判断此函数的单调性）。
当a=21时，g （a ）的最小其值为21。
21. （Ⅰ）f （1）=log 162=2)1(141++=a b f （-2）=2)12(12+-+-a b =1，得a=1，b=0， f （x ）=2)1(1+x ，（x ≠-1）； （Ⅱ）x 1=3/4，x 2=4/6，x 3=5/8，x 4=6/10。
猜想x n =)1(22++n n ，并用数学归纳法证明（略）22. （Ⅰ）f ＇（x ）=3x 2+2bx+c │x=0=c=0；（Ⅱ）f （2）=0，8+4b+d=0，d=-8-4b,f ＇（x ）=3x 2+2bx=x （3x+2b ） 因为f （x ）在（-∞，0）上是增函数，在[0，2]上是减函数，所以2≤-32b，b ≤-3， f （1）=1+b-8-4b=-3b-7≥2。
（Ⅲ）f （x ）=x 3+bx 2-4b-8=（x-2）[x 2+（b+2）x+4+2b] │α-β│=(),316)23(16)2()24(42222=---≥--=+-+b b b│α-β│的取值范围为[3，+∞）。