高三第二次月考数学试卷(理科)(附答案)

高三第二次月考数学试卷（理科）
一、选择题：（每小题5分，共60分）
1. 集合 x │0＜│x-1│＜4，x ∈N 的真子集的个数为（ ）
A. 32
B. 31
C. 16
D. 15
2. 复数6
32)
1()31()2(34i i i i -⋅---+-的值为（ ） A. –2i B. 0 C. 2i D. -i
3. 已知集合A=（x ，y ）│x+y=1 ，映射：f ∶A →B ，在f 作用下，点（x ，y ）的象为（2x ，2y ），则集合B 为（ ）
A.（x ，y ）│x+y=2，x ＞0，y ＞0
B. （x ，y ）│x ·y=1，x ＞0，y ＞0
C. （x ，y ）│x ·y=2，x ＜0 ，y ＜0
D. （x ，y ）│x ·y=2，x ＞0，y ＞0 4. 采用简单随机抽样从含有6个个体的总体中抽取一个容量为3的样本，个体a 前两次未被抽到，第3次被抽到的概率为（ ） A.
21 B. 31 C. 61 D. 4
1 5. 已知f （x ）=x 2+2x ·f ＇（1），则f ＇（0）等于（ ） A. 0 B. –4 C. –
2 D. 2
6. 函数f （x ），g （x ）在区间[a ，b]上恒有：g （x ）＞0及f ＇(x)·g （x ）＞g （x ）·g ＇(x)，则对任意x ∈（a ，b ）都有（ ）
A. f （x ）·g （x ）＞f （a ）·g （a ）
B. f （x ）·g （x ）＞f （b ）·g （b ）
C. f （x ）·g （a ）＞f （a ）·g （x ）
D. f （x ）·g （b ）＞f （b ）·g （x ）
7. 数列{a n }是公差不为零的等差数列，并且a 5，a 8，a 13是等比数列{b n }相邻三项，若b 2=5，则b n 等于（ ）
A. 5·1
35-⎪
⎭
⎫
⎝⎛n B. 3·1
35-⎪
⎭
⎫
⎝⎛n C. 3·1
53-⎪
⎭
⎫
⎝⎛n D. 5·1
53-⎪
⎭
⎫
⎝⎛n
8. 已知a ＞0，a ≠1，函数y=a │x 2-x-2│的图象与函数y=│log a x │的图像的交点个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
9. 已知f （x ）=log 3x+2，x ∈[1，3]，则函数F （x ）=[f （x ）]2+f （x 2）的最大值为（ ） A. 13 B. 16 C. 18 D.
4
37
10.数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，5，5，5，5，6，……的第1000项的值是（ ） A. 42 B. 44 C. 45 D. 51 11. 某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物： ①如不超过200元，则不予优惠；
②如超过200元，但不超过500元，按9折优惠；
③如超过500元，其中500元的按9折给予优惠，超过500元的部分按8折给予优惠， 某人两次去购物，分别付款168元和423元，若他只去一次购买同样价值的商品，则应付款（ ）
A. 472.8
B. 510.4
C. 522.8
D. 560.4
12. 在任意两个正整数m ，n 间定义某种运算（用○×表示运算符号），当m ，n 都为正偶数或
都为正奇数时，m ○
×n=m+n ，如4○×6=4+6=10，3○×7=3+7=10，当m ，n 中一个为正奇数，另一个为偶数时，m ○
×n=mn ，如3○×4=3⨯4=10，4○×3=4⨯3=12则上述定义下，集合 M=（a ，b ）│a ○
×b=36，a ，b ∈N* 中元素个数为（ ） A. 24 B. 35 C. 41 D. 23 二、填空题：（每小题4分，共16分）
13. 函数f （x ）=log 3
1（x 2-5x+6）的单调递增区间为_________________.
14. 一个盒子装有8个红球和2个白球，从中每次取出一个球，取后放回，共取两次，若取
出红球的次数为ξ，且η=2ξ+1，则E η=_____________D η=_____________. 15. 在数列{a n }中，a n +s n =n （n ≥1），其中s n =a 1+a 2+…a n ， 则a n =_________________.
n n a ∞
→lim =_______________.
16. 设数集M= x │m ≤x ≤m+
43 ，N==x │n-3
1
≤x ≤n ，且M ，N 都有是集合
x │0≤x ≤1 的子集，如果把b-a 叫做集合x │a ≤x ≤b 的“长度”，那么集合M ∩N 的“长度”的最小值是________________. 三、解答题：（共74分）
17. （本题12分）一批零件有5个合格品及2个次品，安装机器后，从这批零件中任意取出1个，如果每次取出的次品不再放回去，已知取得合格品之前已取出的次品率为ξ， 求（Ⅰ）ξ的概率分布列； （Ⅱ）E ξ。

18.（本题12分）定义在R 上的单调函数f （x ）满足f （3）=log 23，且对任意x ，y ∈R 都有f （x+y ）=f （x ）+f （y ）, （1）求证f （x ）为奇函数；
（2）若f （k ·3x ）+f （3x -9x -2）＜0对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围。

19. （本题12分）这是一个计算机程序的操作说明： ①初始值x=1，y=1，z=0，n=0； ②n=n+1（将当前n+1的值赋予新的n ） ③x=x+2（将当前x+2的值赋予新的x ） ④y=2y （将当前2y 的值赋予新的y ） ⑤z=z+xy （将当前z+xy 的值赋予新的z ）
⑥如果z ＞7000则执行语句⑦，否则回到语句②继续进行：
⑦打印n ，z; ⑧程序终止。

由语句⑦打印出的数值为_____________、_______________ 并写出计算过程。

20.（本题12分）已知
3
1
≤a ≤1，若函数f （x ）=ax 2-2x+1在区间[1，3]上的最大值为M （a ），最小值为N （a ），令g （a ）=M （a ）-N （a ） （Ⅰ）求g （a ）的函数表达式； （Ⅱ）判断函数g （a ）在区间[
3
1
，1]上的单调性，并求出g （a ）的最小值。

21. （本题12分）已知f （x ）=
2)1(1++ax bx ，（x ≠-a
1
，a ＞0），f （1）=log 162，f （-2）=1,
（Ⅰ）求f （x ）得表达式；
（Ⅱ）若数列{x n }满足x n =[1-f （1）]·[1-f （2）]…[1-f （n ）]，试求x 1，x 2，x 3，x 4的值，并由此猜想出x n 的表达式，并证明你的结论。

22. （本题14分）已知f （x ）=x 3+bx 2+cx+d 在（-∞，0）上是增函数，在[0，2]上是减函数，且方程f （x ）=0有三个根，它们分别为α，2，β。

（Ⅰ）求c 的值； （Ⅱ）求证f （1）≥2;
（Ⅲ）求│α-β│的取值范围。

参考答案：
一、选择题：
二、填空题：13.（-∞，2）。

14. E η=21/5 ；D η=32/25。

15 a n =1-n 21
；.1lim =∞
→n n a 16. 1/12。

三、解答题：17. （Ⅰ） （Ⅱ）E ξ=
3
1
18. （Ⅰ）令x=y=0，得f （0）=0；令y= -x ，则f （x-x ）=f （x ）+f （-x ）=f （0）=0， 得函数f （x ）为奇函数；（Ⅱ）单调函数f （x ）满足f （3）=log 23＞0 = f （0），函数f （x ）为单调递增函数，f （k ·3x ）＜f （-3x +9x +2），k ·3x ＜9x -3x +2，k ＜3x +x 3
2
-1 设u （x ）=3x +x
32
-1≥22-1 得k ＜22-1 19.
设n=Ii 时，x ，y ，z 的值分别为x i ，y i ，z i ，依题意，x 0=1，x n =x n -1+2，所以{x n }是等差数列，且x n =2n+1，Y 0=1，y n =2y n-1，所以{y n }是等比数列，且y n =2n ，z 0=0，z n =z n-1+x n y n ， 所以z n =x 1y 1+x 2y 2+…+x n y n =3×2+5×22+7×23+…（2n+1）×2n 用错位相减法求和得：z n =（2n-1）2n+1+2
当z n =（2n-1）2n+1+2＞7000时，取n=8，此时z=7682。

20. （Ⅰ）f （x ）=a （x-
a 1）2+1-a 1，由于31≤a ≤1，所以1≤a
1
≤3，
y 小=N （a ）=1-
a 1，当21≤a ≤1，即1≤a
1
≤2时，y 大=f （3）=9a-5， 当31≤a ≤21，即2≤a 1≤3时，y 大=f （1）=a-1，g （a ）=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
≤≤+-≤≤+-)
121(169)2
131(12a a a a a a
（Ⅱ）g ＇（a ）=⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
≤〈〉-≤≤〈-)121(019)2
131(01122a a a a
a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,31时，g （a ）为减函数；a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,21时，g （a ）为增函数，（也可以利用函数y=x+
x 1
的图像及性质来判断此函数的单调性）。

当a=
21时，g （a ）的最小其值为2
1。

21. （Ⅰ）f （1）=log 162=
2)1(141++=a b f （-2）=2
)12(1
2+-+-a b =1，得a=1，b=0， f （x ）=
2
)
1(1
+x ，（x ≠-1）； （Ⅱ）x 1=3/4，x 2=4/6，x 3=5/8，x 4=6/10。

猜想x n =
)
1(22
++n n ，并用数学归纳法证明（略）
22. （Ⅰ）f ＇（x ）=3x 2+2bx+c │x=0=c=0；
（Ⅱ）f （2）=0，8+4b+d=0，d=-8-4b,f ＇（x ）=3x 2+2bx=x （3x+2b ） 因为f （x ）在（-∞，0）上是增函数，在[0，2]上是减函数，所以2≤-3
2b
，b ≤-3， f （1）=1+b-8-4b=-3b-7≥2。

（Ⅲ）f （x ）=x 3+bx 2-4b-8=（x-2）[x 2+（b+2）x+4+2b] │α-β│=
(),316)23(16)2()24(42222=---≥--=
+-+b b b
│α-β│的取值范围为[3，+∞）。