有理数的加减乘除法

一、有理数的加法法则是：
1、同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
2、绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小
的绝对值；
3、一个数同零相加，仍得这个数。

技巧：可以归纳为“一定二求三和差”。

即：首先定符号；然后求加数的绝对值；最后分析确定是绝对值相加还是相减。

二、运算定律
1、加法交换律：a ＋b ＝b ＋a
2、加法结合律：（a ＋b ）＋c ＝ a ＋（b ＋c ）
计算：
（1）（－51）＋（－37） （同号两数相加）
＝－（ ） （取相同的符号）
＝－（51＋37） （并把绝对值相加）
＝－88
（2）（＋15）＋（－18） （绝对值不相等的异号两数相加）
＝－（ ） （取绝对值较大的加数的符号）
＝－（18－15） （并用较大的绝对值减去较少的绝对值）
＝－3
（3）（－431）＋（＋231） （4）（－131）＋（＋22
1） ＝ ＝
＝ ＝
（5）（－3）＋（－9）＋（－）＋ （6）（－）＋＋21＋（－3
2）
（7）13＋（－16）＋9＋（－24） （8）（－7）＋3＋1＋（－3）＋7＋（－5）
（9）1＋（－
21）＋31＋（－61） （10）543＋（－353）＋441＋（－75
2）
一、有理数的减法法则是：减去一个数等于加上这个数的相反数。

即a －b ＝a ＋（－b ）
二、由减法法则可知：
（1） 减正数即加负数，减负数即加正数。

（2） 两数相减，当被减数大于减数时，差为正数；当被减数小于减数时，差为负数。

简记为“大数—小数=正数，小数—大数=负数”。

计算：
（1）0－（－3） （2）（－19）－（－12） （3）18－23 （4）25－（－25）
（3）有理数加减运算技巧点拨
1、把符号相同的数结合在一起
计算：（＋5）＋（－6）＋（+4）＋（＋9）＋（－7）＋（－8）
2、 把互为相反数的两数结合在一起
计算：8＋5＋（－4）－（－6）＋4 －（－2）＋3＋（－3）＋（－2）－9＋1
3、 把能凑成整数的数结合在一起
计算：－（－）＋－＋（－ ）
4、 把分母相同的分数或易通分的分数结合在一起
计算：（＋353）＋（＋443）＋（－152）＋（－34
3）
有理数的乘法法则为：
（1） 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。

（2） 任何数同0相乘，都得0.
运算步骤：先确定符号，再算绝对值。

注意：1、不要将有理数的乘法法则和有理数的加法法则相混淆，如（－2）×（－3）= 6而不是等于“－6”，这个要特别注意，注意区分。

2、法则中的“两数相乘，同号得正，异号得负”是专指两数相乘而言的。

计算：（技巧：先确定符号，再算绝对值。

）
（1）（－
1815）×（－10
9） （2）×（－8） （3）（－）×0
法则的推广：
（1） 几个不为0的数相乘，负因数的个数是奇数时，积是负数；负因数的个数是偶数
时，积是正数。

（2） 几个数相乘，有一个因数为0，积就为0. 总结：由此可见，进行多个有理数的乘法运算时，
（1） 要先看因数中是否有0，若有0因数，则积就为0.
（2） 若因数中没有0，首先要确定积的符号，再把各个因数的绝对值相乘。

例如：
（－2）×（－3）×（－8） （－2）×（－3）×（8）
计算：（1）（－1）×（－45）×（－32）×0×（－42
5） （2）（－9）×（－54）×27×（－21
5） （3）×（－154）×（－）×（－8
3） 技巧：先确定符号，再算绝对值。

如果出现小数，一般是将小数化为分数；如果出现带分数，
一般是化为假分数；这样转化的目的是便于在乘法中约分。

有理数的除法——符号在先值在后，紧扣法则少错误
除法是乘法的逆运算，根据这一内在联系，可以归纳出有理数的除法法则：
（1） 除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数。

（即：将除法运算转为乘法运算。

）
（2） 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。

0除以任何一个不等于0的数，都
得0.（即：先确定符号，再确定绝对值。

）
计算：
（1）（－64）÷（－4） （2）（＋332）÷（－521） （3）（－4
3）÷
技巧：两个有理数相除，先确定符号，再确定商的绝对值。

遇到带分数时，要先化成假分数；遇到小数时，如果不能整除，要先化为分数再计算，这样会比较简便。

（3）有理数乘除混合运算的技巧
技巧：最简便的方法是把除法转化为乘法，将算式化为连乘的形式再进行计算，再确定积的符号，最后求出结果。

注意：当算式中含有小数、带分数时，一般是先把小数化为分数，带分数化为假分数，然后再进行整体运算。

计算：
（1）（－5）×8×（－7）÷（－） （2）（－
32）×（－85）÷（－）
（3）（－
173）×（－45）÷9×（－352） （4）52÷（－252）－218×（－14
3）－
（4）倒数
1、 倒数的概念
乘积为1的两个数互为倒数。

如3和31，35和53，－72和－2
7分别互为倒数。

2、 0为什么没有倒数
0没有倒数，这是因为0不能作除数，0作除数无意义。

3、 倒数的求法
根据倒数的定义可知，一个数a （a ≠0）的倒数是
a
1，一个正数的倒数是正数，一个负数的倒数是负数，0没有倒数。

如，－97的倒数是－79 4、 倒数等于本身的数是±1
练习题：
1、－2的倒数是 ……………………………………………………………… （ ）
A 、－
21 B 、21 C 、－2 D 、2 2、－3
1的倒数是 ……………………………………………………………… （ ） A 、－3 B 、－31 C 、3
1 D 、3 3、∣－2
1∣的倒数是 ＿＿＿＿。

4、－2
3的倒数的绝对值是 ＿＿＿＿。

5、若m 、n 互为倒数，则mn 2 －（n －1）的值为＿＿＿＿。

（5）有理数乘除运算错题录
1、符号错误
计算：（－4）×（－）－120÷（－5）
2、运算顺序错误 计算：－81÷49×9
4÷（－16）
3、运用分配律错误 计算：（－60）×（－51＋21－121＋6
1）
（6）活用乘法分配律来解题 1、正向运用乘法分配律 2、逆向运用乘法分配律
（－24）×（43－87＋125） （－765）×6125＋765×（－5127）
3、先分组，再分别逆用乘法分配律计算
4、变形后运用乘法分配律 ×194＋243×（－17）＋×95＋41×（－17） 9916
15×（－8）
5、变形，提公因数，再逆用乘法分配律
6、正、逆向混合运用乘法分配律 ×37＋×＋×88 （1211－97－18
5）×36－6×＋×6
（1）有理数的乘方
一、正确理解乘方的意义。

1、n 个相同的因数a 相乘，记作a n ，读作a 的n 次方。

2、求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方；乘方的结果叫做幂。

即，乘方是一种运算，幂是运算的结果。

3、在a n 中，a 叫做底数，n 叫做指数。

注意：1、一个数可以看作这个数本身的一次方，例如7就是71，a 就是a 1，指数1通常省略不写。

2、当底数是负数或分数时，要先用括号把底数括上，以体现底数的整体性，再在其右上角写上指数，指数要写的小一点。

例如，（－5）×（－5）×（－5）应记作（－5）3，不能记作－53；
21的平方应记作（21）2，不能写成2
12。