因式分解定理
因式分解定理
因式分解定理
因式分解定理是指将一个多项式分解成若干个因式相乘的形式的过程。
该定理是初中和高中数学中的基础内容，也是数学的重要组成部分之一。
在因式分解的过程中，我们需要使用一些基本的因式分解公式和技巧，例如提公因式、配方法、差平方公式、和差立方公式等。
这些公式和技巧在解决数学问题时非常实用，能够帮助我们简化计算，提高解题效率。
除了基本的因式分解公式和技巧之外，还有一些特殊的因式分解情况需要我们注意，例如二次三项式的因式分解、完全平方差的因式分解、分组分解等。
对于这些特殊情况，我们需要根据具体的情况采用不同的方法来解决。
因式分解定理在数学中应用广泛，能够帮助我们解决各种实际问题，例如求解方程、求极限、求导数等。
因此，熟练掌握因式分解技巧是非常重要的。
- 1 -。
第12讲 因式分解(四)
随 堂
练
习
1．求方程 xy−2x−2y+7=0 的整数解。 解：xy−2x−2y+4=−3，得到(x−2)(y−2)=−3，其中 x−2、y−2 都是整数，
所以有
x − 2 =1 x − 2 = −1 x − 2 = 3 x − 2 = −3 或 或 或 ， y − 2 = −3 y − 2 = 3 y − 2 = −1 y − 2 = 1
2 2 8 4 2 时，f( )= 3 + + − 2 =0，所以原式有因式为(3x−2)， 3 3 27 9 3
3x3+x2+x−2=(3x3−2x2)+(3x2−2x)+(3x−2) =x2(3x−2)+3x(x−2)+(3x−2)=(3x−2)(x2+3x+1)。 例 2． （1）分解因式：8x4+6x3−19x2+3x+2。 （2）分解因式：x6+2x5+3x4+4x3+3x2+2x+1。 解： （1）当 x=1 时，f(1)=8+6−19+3+2=0，所以原式有因式(x−1)， 8x4+6x3−19x2+3x+2=(8x4−8x3)+(14x3−14x2)−(5x2−5x)−(2x−2) =8x3(x−1)+14x2(x−1)−5x(x−1)−2(x−1)=(x−1)(8x3+14x2−5x−2) =(x−1)[(8x3−4x2)+(18x2−9x)+(4x−2)]=(x−1)(2x−1)(4x2+9x+2) =(x−1)(2x−1)(4x+1)(x+2)。 6 （2）x +2x5+3x4+4x3+3x2+2x+1=(x6+1)+(2x5+4x3+2x)+(3x4+3x2) =(x2+1)(x4−x2+1)+2x(x2+1)2+3x2(x2+1) =(x2+1)(x4+2x3+2x2+2x+1)=(x2+1)[(x4+2x2+1)+(2x3+2x)] =(x2+1)[(x2+1)2+2x(x2+1)]=(x2+1)4(x2+1+2x)=(x2+1)4(x+1)2。 例 3．阅读下列材料：已知二次三项式 2x2+5x+m 有一个因式是(x+3)，求另一个因式以及 m 的值。 解：设另一个因式为(2x+n)，得 2x2+5x+m=(x+3)(2x+n)， 展开得 2x2+5x+m=2x2+(n+6)x+3n，
初中数学 什么是因式定理
初中数学什么是因式定理因式定理是初中数学中的重要概念之一，它是解决多项式相关问题的关键方法之一。
因式定理也称为因式分解定理或综合除法定理，它是将多项式进行因式分解的基础。
首先，我们先来了解一下多项式的定义。
多项式是由常数、变量和它们的乘积以及它们的和或差构成的代数式。
例如，4x^2 - 3x + 2就是一个多项式，其中4、-3和2是常数，x是变量，x^2、x和1分别是变量的幂。
因式定理的表述如下：若多项式P(x)除以(x-a)的余数为0，则(x-a)是P(x)的一个因式。
这个定理的实质就是利用了多项式的因式分解特性。
如果一个多项式除以(x-a)的余数为0，那么(x-a)就是这个多项式的一个因子，也就是说，它可以整除这个多项式。
具体来说，如果我们有一个多项式P(x)，除以(x-a)的余数为0，即P(a)=0，那么(x-a)就是P(x)的一个因子，可以写成P(x)=(x-a)Q(x)，其中Q(x)是另一个多项式。
这个过程就是因式定理的核心思想。
因式定理的应用有很多，例如：1. 求多项式的根：如果我们已知一个多项式的根，可以利用因式定理将多项式因式分解，并找到其他的根。
2. 求多项式的因式：通过因式定理，我们可以将多项式进行因式分解，得到更简洁的形式，方便进行计算和研究。
3. 求多项式的最大公因式：利用因式定理，我们可以确定两个多项式的公因式，从而求得它们的最大公因式。
当然，因式定理并不仅限于一元多项式，它同样适用于多元多项式的因式分解。
在多元多项式的情况下，因式定理的应用更加广泛，可以帮助我们解决更复杂的问题。
总之，因式定理是初中数学中一个重要的概念，它为多项式的因式分解提供了一个重要的思路和方法。
通过掌握因式定理，我们可以更好地理解和运用多项式的相关知识。
因式分解法的公式
因式分解法的公式因式分解法是一种代数运算方法，用于将一个多项式分解为几个因式的乘积。
这种方法可以大大简化多项式的计算和分析过程，使问题求解更加方便。
本文将介绍因式分解法的基本原理、常见的因式分解公式以及一些应用示例。
一、因式分解法的基本原理因式分解法是基于多项式的乘法运算性质进行的，其基本原理可以概括为以下三点：1. 多项式乘法的分配律：对于任意三个数a、b、c，有(a+b)·c = a·c + b·c。
这个性质可以推广到多项式的情况，即(a+b)·c = a·c + b·c。
2. 公因式提取：如果一个多项式的每一项都有一个公共的因子，那么可以将这个公因式提取出来，得到一个因式和多项式。
3. 因式定理：如果一个多项式中的某一项可以整除该多项式，那么这个项是多项式的一个因式。
基于以上原理，我们可以通过因式分解法将一个多项式分解为多个因式的乘积。
二、常见的因式分解公式1. x² - a² = (x-a)(x+a)，其中a为任意常数。
这个公式是差平方公式，适用于多项式x²减去一个常数平方的情况。
例如，可以将x² - 4分解为(x-2)(x+2)。
2. a² - b² = (a-b)(a+b)，其中a、b为任意常数。
这个公式也是差平方公式，适用于多项式a²减去一个常数平方的情况。
例如，可以将9x² - 16分解为(3x-4)(3x+4)。
3. a³ + b³ = (a+b)(a² - ab + b²)，其中a、b为任意常数。
这个公式是和立方公式，适用于多项式a³加上b³的情况。
例如，可以将x³ + 8分解为(x+2)(x² - 2x + 4)。
4. a³ - b³ = (a-b)(a² + ab + b²)，其中a、b为任意常数。
-多项式的因式分解定理
§1-5多项式的因式分解定理多项式44-x 在有理数域、实数域、复数域上的因式分解 ][)2)(2)(2)(2(4][)2)(2)(2(4][)2)(2(4424224x C i x i x x x x x R x x x x x Q x x x +-+-=-++-=-+-=-（不能再分）（不能再分） 在不同的系数域上，具有不同形式的分解式什么叫不能再分？平凡因式：零次多项式（不等于零的常数）、多项式自身、前两个的乘积Definition8：（不可约多项式）令][)(x P x f 是的一个次数大于零的多项式，如果][)(x P x f 在中只有平凡因式，就称f(x )为数域P 上（或在P[x]中）的不可约多项式.（p(x)在数域P 上不能表示成两个次数低的多项式的乘积） 若)(x f 除平凡因式外，在P[x]中还有其它因式，f(x )就说是在数域P 上（或在P[x]中）是可约的.如果不是平凡因式)(,)()()(x g x h x g x f =，的次数显然和则)()(x h x g 都小于)(x f 的次数.反之，若)(x f 能写成两个这样多项式的乘积，那么)(x f有非平凡因式；如果P[x]的一个n 次多项式能够分解成P[x]中两个次数都 小于n 的多项式 的乘积和)()(x h x g 即 )()()(x h x g x f 那么)(x f 在P 上可约.由不可约多项式的定义可知：任何一次多项式都是不可约多项式的.不可约多项式的重要性质：一个多项式是否不可约是依赖于系数域；1.如果多项式)(x f 不可约，那么P 中任意不为零的元素c 与)(x f 的乘积c )(x f 都不可约.2.设)(x f 是一个不可约多项式而P(x)是一个任意多项式，那么或者)(x f 与P(x)互素，或者)(x f 整除P(x).3.如果多项式)(x f 与)(x g 的乘积能被不可约多项式P(x)整除，那么至少有一个因式被P(x)整除.Theorem5.如果)(x p 是一个不可约多项式,P(x)整除一些多项式)(,),(),(21x f x f x f s 的乘积,那么)(x p 一定整除这些多项式之中的一个.证明:对被除多项式的个数s 用数学归纳法当s=1时,显然成立;假设s=n-1 时,结论成立;当s=n 时,令)()()()(),()(32211x f x f x f x g x f x g n ==, 如果)(|)(),(|)(11x f x p x g x p 则命题成立,如果1))(),((),(|)(11=/x g x p x g x p 则,从而)(|)(2x g x p ,即)(,),(),()(32x f x f x f x p n 整除 n-1 多项式的乘积,由归纳法假设)(x p 整除其中一个多项式,根据数学归纳法原理,命题得证. 因式分解及唯一性定理：多项式环P[x]的每一个)0(>n n 次多项式)(x f 都可以唯一分解成P[x]的不可约多项式的乘积；)()()()(21x p x p x p x f s =所谓唯一性是说，如果有两个分解式)()()()()()()(2121x q x q x q x p x p x p x f t s ==那么，必有s=t ，并且适当地排列因式的顺序后有),2,1()()(s i x cq x p i i ==标准分解式（典型分解式）：)()()()(2121x p x p x cp x f s r s rr =其中c 是f(x)的首项系数，)(),(),(21x p x p x p s 是不同的、首项系数为1的不可约多项式，而s r r r ,,21正整数.例1：在有理数域上分解多项式， 22)(23--+=x x x x f . )2)(1)(1()2)(1(22)(223+-+=-++=--+=x x x x x x x x x x f例2：求 的典型分解式内在][122)(2345x Q x x x x x x f -++--=. 23242345)1()1()12)(1(122)(+-=+--=-++--=x x x x x x x x x x x f 例3.求 的典型内在][6141616102)(2345x R x x x x x x f -+-+-= 分解式. )3()1)(1(2)(22--+=x x x x f例4：分别在有理数域、实数域和复数域上分解多项式 15-x 和16-x 为不可约多项式的乘积.解:)1)(1()1(2345++++-=-x x x x x x Q[x]][)154cos 2)(152cos 2)(1()1)(1()1(222345x R x x x x x x x x x +-+--=++++-=-ππ][)52sin 52cos ()1()1)(1()1(412345x C k i k x x x x x x x x k ππ---=++++-=-=在Q[x]上)1)(1)(1)(1()1)(1()1(22336+-+++-=+-=-x x x x x x x x x ; 在R[x]上)1)(1)(1)(1()1)(1()1(22336+-+++-=+-=-x x x x x x x x x ; 在C[x]上)2321)(2321)(1)(2321)(2321)(1(16i x i x x i x i x x x -++++--+--=-。
因式分解的基本性质及应用
因式分解的基本性质及应用因式分解是将一个多项式分解成较简单的乘积形式的过程。
因素分解的基本性质和应用包括以下几个方面：1. 唯一性：一个多项式的因式分解不是唯一的，但是当我们考虑整数多项式时，因式分解是唯一的。
这是因为整数多项式的因子只能是整数常数或次数为1的一次多项式，而这些多项式已经是不可再分解的。
2. 分解定理：分解定理表明，如果一个多项式P(x)在x=a处取值为0，则P(x)可以被x-a整除。
这意味着x-a是P(x)的一个因子，或者等价地说，P(x)可以分解成(x-a)乘以另一个多项式Q(x)。
3. 公因式提取：公因式提取是一种将多项式的各项提取出一个公因子的方法。
例如，在多项式2x^3+4x^2中，可以提取出2x^2，然后得到2x^2(x+2)。
这个方法在简化多项式计算、化简分式等方面非常有效。
4. 因式分解定理：因式分解定理表明，一个多项式P(x)可以分解成多个一次或者二次的因子。
这个定理对于计算多项式的根和化简复杂的多项式表达式非常有用。
5. 最大公因式：最大公因式是多个多项式的最高次的公因式。
最大公因式的求解可以通过因式分解的方法进行。
最大公因式在多项式的约分、分式的化简等方面扮演着重要的角色。
6. 应用方面：因式分解在数学和物理等方面有着广泛的应用。
在数学中，因式分解可以用于求解多项式方程的根，化简复杂的表达式，计算多项式的导函数等。
在物理中，因式分解可以用于分解物体的运动方程，分析物理过程等。
除此之外，因式分解还有其他的一些应用。
例如在数论中，因式分解可以用于分析质数和合数的性质，判断一个数的因子等。
在代数几何中，因式分解可以用于分析曲线的结构和性质。
在概率论中，因式分解可以用于计算事件的概率等。
因式分解是数学中一个非常重要和基础的概念，在数学和其他学科中都有着广泛而重要的应用。
因式分解 热门定理
因式分解热门定理
因式分解是指将一个多项式表示成几个乘积的形式。
这样做可以简化多项式的计算和研究，也可以帮助我们更好地理解多项式的性质和特点。
热门定理中的一个重要定理是因式定理（Factor Theorem）。
因式定理表述为：如果一个多项式P(x)中的数a满足P(a)=0，
则(x-a)是P(x)的一个因式。
通过因式定理，我们可以得到多项式的因式分解。
例如，对于多项式P(x)=(x-1)(x-2)(x-3)，我们可以通过因式定理推断出
P(1)=P(2)=P(3)=0，因此(x-1)(x-2)(x-3)是P(x)的因式分解。
另一个重要的热门定理是韦达定理（Vieta's Theorem）。
韦达
定理给出了一个多项式的根与系数之间的关系。
对于一个一元
n次多项式P(x)=a_n(x^n)+a_{n-1}(x^{n-1})+...+a_1x+a_0，韦
达定理表述如下：
- 第一个系数a_n等于多项式根的乘积的相反数，即a_n=(-
1)^n × r_1 × r_2 × ... × r_n
- 第二个系数a_{n-1}等于多项式根两两之和的乘积的相反数，即a_{n-1}=(-1)^{n-1} × (r_1r_2 + r_1r_3 + ... + r_{n-1}r_n)
- 依此类推，第i个系数a_{n-i}等于多项式根的i次幂之和的
乘积的相反数
通过韦达定理，我们可以根据多项式的根来确定多项式的系数。
这对于因式分解和求解多项式方程都非常有用。
什么是因式分解 因式分解的原则
什么是因式分解因式分解的原
则
因式分解的定义
定义：把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解（也叫作分解因式）。
因式分解的原则
分解要彻底（是否有公因式，是否可用公式）
最后结果只有小括号
最后结果中多项式首项系数为正
提公因式
公因式:各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的~.
提公因式法:一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
am+bm+cm=m(a+b+c)
具体方法:当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数;字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的. 如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数是正的.。
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§5 因式分解定理 §6 重因式教学目的：把多项式分解为不可约因式的乘积教学重点：不可约多项式 重因式课时：4教学方式：讲授式教学内容：一、不可约多项式1、定义：数域P 上次数1≥的多项式)(x p 称为不可约多项式，如果)(x p 不能表成数域P 上的两个次数比)(x p 低的多项式的乘积。
问：为什么一定要强调数域P 呢例：上不可分了在复数域上不可分了在实数域上不可分了在有理数域C i x i x x x R x x x Q x x x )2)(2)(2)(2()2)(2)(2()2)(2(42224+-+-=++-=+-=-注：1、不可约多项式)(x p ，的因式只有非零常数c 与自身的非零常数倍。
2、)(x p 与任意多项式)(x f 之间的关系只可能有两种关系：或者)(|)(x f x p ，或者1))(),((=x f x p 。
事实上，若)())(),((x d x f x p =，那么)(|)(x p x d ，所以1)(=x d 或者)()(x cp x d =。
2、重要性质（定理5）：（1）)()()()(),()()(],[)(),(,)(x g x p x f x p x g x f x p x P x g x f x p 或则若对不可约若∈∀（2）{}s i x f x p x f x f x f x p x p i s ,,2,1,)()(),()()()(,)(21 ∈对某个则若不可约二、因式分解及唯一性定理数域P 上每一个次数1≥的多项式)(x f 均可分解成数域P 上一些不可约多项式的乘积。
所谓唯一性是指，如果)(x f 有两个分解式)()()()()()()(2121x q x q x q x p x p x p x f t s ==则必有t s =且适当排列因式的次序后有s i c x q c x p i i i i ,,2,1,0),()( =≠=其中证明：先证分解式的存在性。
我们对)(x f 的次数作用数学归纳法。
01、因为一次多项式都是不可约的，所以1=n 时结论成立。
02、设n x f =∂))((，并假设结论对于次数低于n 的多项式已经成立。
如果)(x f 是不可约多项式，结论是显然的，无妨设)(x f 不是不可约的，即有)()()(21x f x f x f =，n x f <∂))((1，n x f <∂))((2。
由归纳假设)(1x f 和)(2x f 都可以分解成数域P 上一些不可约多项式的乘积。
把)(1x f ，)(2x f 的分解式和起来就得到)(x f 的一个分解式。
由归纳法原理，结论普遍成立。
再证唯一性。
设)(x f 可以分解成不可约多项式的乘积 )()()()(21x p x p x p x f s =如果)(x f 还有另一个分解式)()()()(21x q x q x q x f t =其中)(x q i ),...,2,1(t i =都是不可约多项式，于是)()()()()()()(2121x q x q x q x p x p x p x f t s == )1(我们对s 作归纳法。
当1=s ，)(x f 是不可约多项式，由定义必有t s =且)()()(11x q x p x f ==。
现在设不可约多项式的个数为1-s 时唯一性已证。
由)1(，)()()(|)(211x q x q x q x p t ，因此)(1x p 必能整除其中的一个，无妨设)(|)(11x q x p因为)(1x q 也是不可约多项式，所以)()(11x cq x p = )2(在)1(式两边消去)(1x q ，就有)()()()()(21112x q x q x q c x p x p t s -=由归纳法假设，有11-=-t s ，即t s =， )3(并且适当排列次序之后有)()(21122x q c c x p -'=，即)()(222x q c x p = ),...,3)(()(s i x q c x p i i i == )4()4(),3(),2(合起来即为所要证的。
三、标准分解式，1、标准分解式把)(x f 的分解式中不可约多项式都化为首一不可约多项式，并且把相同因式的乘积写成幂的形式：)()()()(2121x p x p x cp x f s r s r r =+∈Zr r r x p x p x p x f c s s ,,, 1 )(,),(),()(2121 多项式，的不可约是不同的首项系数为的首项次数，是其中最小公倍式定义：多项式)(x m 称为)(x f 与)(x g 的最小公倍式，如果1、)(|)(x m x f ，)(|)(x m x g ；2、若)(|)(x m x f '，)(|)(x m x g '，则有)(|)(x m x m '。
命题：设)(),(x g x f 是两个非零多项式，则 )()())(),()]((),([x g x f x g x f x g x f =证明：设)())(),((x d x g x f =，则)()()(1x f x d x f =，)()()(1x g x d x g =，并且1))(),((=x g x f 。
于是)1()(|)(x m x f ，)(|)(x m x g ；（)()()(1x m x g x f =或)()()(1x m x f x g =）。
)2(若)(|)(),(|)(x m x g x m x f ''，我们证明)(|)(x m x m '。
)()()(),()()(21x q x g x m x q x f x m ='='可得)()()()(2111x q x g x q x f =，由于1))(),((=x g x f ，所以)(|)(11x q x g 。
设)()()(311x q x g x q =，则有)()()()()()()()(3313x q x m x q x g x f x q x f x m ==='于是)(x m 是)(x f 与)(x g 的最小公倍式。
2、多项式)(),(x g x f 的最大公因式的求法二把)(),(x g x f 写成标准分解式，())(),(x g x f 就是同时在)(),(x g x f 的标准分解式中出现的不可约多项式方幂的乘积，所带的方幂指数等于)(),(x g x f 中所带的方幂较小的那一个。
四、重因式1、定义：不可约多项式)(x p 称为多项式)(x f 的k 重因式，如果)(|)(x f x p k ，而)(1x p k +不能整除)(x f ，此时记作)(||)(x f x p k 。
注：当0=k 时，)(x p 根本不是)(x f 的因式；当1=k 时，)(x p 是)(x f 的单因式； 当1>k 时，称)(x p 是)(x f 的重因式。
2、如何判断一个多项式有无重因式方法一：可用标准分解式。
（不常用）方法二：用微商设有多项式0111......)(a x a x a x a x f n n n n ++++=--，我们规定它的微商是1211......)1()(a x a n x na x f n n n n ++-+='---。
微商的基本运算规则='+))()((x g x f )()(x g x f '+'；)())((x f c x cf '='；)()()()())()((x g x f x g x f x g x f '+'='； )()())((1x f x mf x f m m '='-。
其理论依据为定理6 如果不可约多项式()p x 是()f x 的k 重因式(1)k ≥ ，则()p x 是()f x '的1k -重因式。
推论 1 如果不可约多项式()p x 是()f x 的k 重因式(1)k ≥，则()p x 是(1)(),(),,()k f x f x f x -'的因式，但不是()()k f x 的因式。
推论2不可约多项式()p x 是()f x 的k 重因式(1)k ≥⇔()p x 是()f x 与()f x '的公因式。
推论3：()1)(),()()(='⇔'x f x f x f x f 没有重因式与3、去掉重因式的方法：若1212()()()()s r r r s f x cp x p x p x =，则()1211112(),()()()()s r r r s f x f x p x p x p x ---'=。
于是()12()()()()(),()s f x cp x p x p x f x f x ='例1 判断下列多项式在有理数域上是否有重因式，若有，则求出重因式并确定重数。
)1( 1)(24++=x x x f ；)2( 277251815)(2346+-++-=x x x x x x f . 解：)1( x x x f 24)(3+='，而1))(),((='x f x f ，所以)(x f 无重因式。
)2( 7210224606)(235-++-='x x x x x f ，由辗转相除法得 )3()1())(),((2+-='x x x f x f 从而1-x 是)(x f 的三重因式，3+x 是)(x f 的二重因式。
例2 求1)(24++=Bx Ax x f 有重因式的条件，并确定重数。
解：当0=A 时，多项式12+Bx 显然没有重因式。
不妨设0≠A 。
Bx Ax x f 24)(3+='对)(),(x g x f 作辗转相除法得12141)()(2++=Bx x x g x f x BA B x B A Bx x g 428)121()(22-++= 如果)(x f 有重因式，则必有042=-BA B ，重因式为22+Bx ，且重数为二。
作业：15、16（1）、17、18、23。