因式分解定理
因式分解定理
因式分解定理
因式分解定理是指将一个多项式分解成若干个因式相乘的形式的过程。
该定理是初中和高中数学中的基础内容，也是数学的重要组成部分之一。
在因式分解的过程中，我们需要使用一些基本的因式分解公式和技巧，例如提公因式、配方法、差平方公式、和差立方公式等。
这些公式和技巧在解决数学问题时非常实用，能够帮助我们简化计算，提高解题效率。
除了基本的因式分解公式和技巧之外，还有一些特殊的因式分解情况需要我们注意，例如二次三项式的因式分解、完全平方差的因式分解、分组分解等。
对于这些特殊情况，我们需要根据具体的情况采用不同的方法来解决。
因式分解定理在数学中应用广泛，能够帮助我们解决各种实际问题，例如求解方程、求极限、求导数等。
因此，熟练掌握因式分解技巧是非常重要的。
- 1 -。
第12讲 因式分解(四)
随 堂
练
习
1．求方程 xy−2x−2y+7=0 的整数解。 解：xy−2x−2y+4=−3，得到(x−2)(y−2)=−3，其中 x−2、y−2 都是整数，
所以有
x − 2 =1 x − 2 = −1 x − 2 = 3 x − 2 = −3 或 或 或 ， y − 2 = −3 y − 2 = 3 y − 2 = −1 y − 2 = 1
2 2 8 4 2 时，f( )= 3 + + − 2 =0，所以原式有因式为(3x−2)， 3 3 27 9 3
3x3+x2+x−2=(3x3−2x2)+(3x2−2x)+(3x−2) =x2(3x−2)+3x(x−2)+(3x−2)=(3x−2)(x2+3x+1)。 例 2． （1）分解因式：8x4+6x3−19x2+3x+2。 （2）分解因式：x6+2x5+3x4+4x3+3x2+2x+1。 解： （1）当 x=1 时，f(1)=8+6−19+3+2=0，所以原式有因式(x−1)， 8x4+6x3−19x2+3x+2=(8x4−8x3)+(14x3−14x2)−(5x2−5x)−(2x−2) =8x3(x−1)+14x2(x−1)−5x(x−1)−2(x−1)=(x−1)(8x3+14x2−5x−2) =(x−1)[(8x3−4x2)+(18x2−9x)+(4x−2)]=(x−1)(2x−1)(4x2+9x+2) =(x−1)(2x−1)(4x+1)(x+2)。 6 （2）x +2x5+3x4+4x3+3x2+2x+1=(x6+1)+(2x5+4x3+2x)+(3x4+3x2) =(x2+1)(x4−x2+1)+2x(x2+1)2+3x2(x2+1) =(x2+1)(x4+2x3+2x2+2x+1)=(x2+1)[(x4+2x2+1)+(2x3+2x)] =(x2+1)[(x2+1)2+2x(x2+1)]=(x2+1)4(x2+1+2x)=(x2+1)4(x+1)2。 例 3．阅读下列材料：已知二次三项式 2x2+5x+m 有一个因式是(x+3)，求另一个因式以及 m 的值。 解：设另一个因式为(2x+n)，得 2x2+5x+m=(x+3)(2x+n)， 展开得 2x2+5x+m=2x2+(n+6)x+3n，
初中数学 什么是因式定理
初中数学什么是因式定理因式定理是初中数学中的重要概念之一，它是解决多项式相关问题的关键方法之一。
因式定理也称为因式分解定理或综合除法定理，它是将多项式进行因式分解的基础。
首先，我们先来了解一下多项式的定义。
多项式是由常数、变量和它们的乘积以及它们的和或差构成的代数式。
例如，4x^2 - 3x + 2就是一个多项式，其中4、-3和2是常数，x是变量，x^2、x和1分别是变量的幂。
因式定理的表述如下：若多项式P(x)除以(x-a)的余数为0，则(x-a)是P(x)的一个因式。
这个定理的实质就是利用了多项式的因式分解特性。
如果一个多项式除以(x-a)的余数为0，那么(x-a)就是这个多项式的一个因子，也就是说，它可以整除这个多项式。
具体来说，如果我们有一个多项式P(x)，除以(x-a)的余数为0，即P(a)=0，那么(x-a)就是P(x)的一个因子，可以写成P(x)=(x-a)Q(x)，其中Q(x)是另一个多项式。
这个过程就是因式定理的核心思想。
因式定理的应用有很多，例如：1. 求多项式的根：如果我们已知一个多项式的根，可以利用因式定理将多项式因式分解，并找到其他的根。
2. 求多项式的因式：通过因式定理，我们可以将多项式进行因式分解，得到更简洁的形式，方便进行计算和研究。
3. 求多项式的最大公因式：利用因式定理，我们可以确定两个多项式的公因式，从而求得它们的最大公因式。
当然，因式定理并不仅限于一元多项式，它同样适用于多元多项式的因式分解。
在多元多项式的情况下，因式定理的应用更加广泛，可以帮助我们解决更复杂的问题。
总之，因式定理是初中数学中一个重要的概念，它为多项式的因式分解提供了一个重要的思路和方法。
通过掌握因式定理，我们可以更好地理解和运用多项式的相关知识。
因式分解法的公式
因式分解法的公式因式分解法是一种代数运算方法，用于将一个多项式分解为几个因式的乘积。
这种方法可以大大简化多项式的计算和分析过程，使问题求解更加方便。
本文将介绍因式分解法的基本原理、常见的因式分解公式以及一些应用示例。
一、因式分解法的基本原理因式分解法是基于多项式的乘法运算性质进行的，其基本原理可以概括为以下三点：1. 多项式乘法的分配律：对于任意三个数a、b、c，有(a+b)·c = a·c + b·c。
这个性质可以推广到多项式的情况，即(a+b)·c = a·c + b·c。
2. 公因式提取：如果一个多项式的每一项都有一个公共的因子，那么可以将这个公因式提取出来，得到一个因式和多项式。
3. 因式定理：如果一个多项式中的某一项可以整除该多项式，那么这个项是多项式的一个因式。
基于以上原理，我们可以通过因式分解法将一个多项式分解为多个因式的乘积。
二、常见的因式分解公式1. x² - a² = (x-a)(x+a)，其中a为任意常数。
这个公式是差平方公式，适用于多项式x²减去一个常数平方的情况。
例如，可以将x² - 4分解为(x-2)(x+2)。
2. a² - b² = (a-b)(a+b)，其中a、b为任意常数。
这个公式也是差平方公式，适用于多项式a²减去一个常数平方的情况。
例如，可以将9x² - 16分解为(3x-4)(3x+4)。
3. a³ + b³ = (a+b)(a² - ab + b²)，其中a、b为任意常数。
这个公式是和立方公式，适用于多项式a³加上b³的情况。
例如，可以将x³ + 8分解为(x+2)(x² - 2x + 4)。
4. a³ - b³ = (a-b)(a² + ab + b²)，其中a、b为任意常数。
-多项式的因式分解定理
§1-5多项式的因式分解定理多项式44-x 在有理数域、实数域、复数域上的因式分解 ][)2)(2)(2)(2(4][)2)(2)(2(4][)2)(2(4424224x C i x i x x x x x R x x x x x Q x x x +-+-=-++-=-+-=-（不能再分）（不能再分） 在不同的系数域上，具有不同形式的分解式什么叫不能再分？平凡因式：零次多项式（不等于零的常数）、多项式自身、前两个的乘积Definition8：（不可约多项式）令][)(x P x f 是的一个次数大于零的多项式，如果][)(x P x f 在中只有平凡因式，就称f(x )为数域P 上（或在P[x]中）的不可约多项式.（p(x)在数域P 上不能表示成两个次数低的多项式的乘积） 若)(x f 除平凡因式外，在P[x]中还有其它因式，f(x )就说是在数域P 上（或在P[x]中）是可约的.如果不是平凡因式)(,)()()(x g x h x g x f =，的次数显然和则)()(x h x g 都小于)(x f 的次数.反之，若)(x f 能写成两个这样多项式的乘积，那么)(x f有非平凡因式；如果P[x]的一个n 次多项式能够分解成P[x]中两个次数都 小于n 的多项式 的乘积和)()(x h x g 即 )()()(x h x g x f 那么)(x f 在P 上可约.由不可约多项式的定义可知：任何一次多项式都是不可约多项式的.不可约多项式的重要性质：一个多项式是否不可约是依赖于系数域；1.如果多项式)(x f 不可约，那么P 中任意不为零的元素c 与)(x f 的乘积c )(x f 都不可约.2.设)(x f 是一个不可约多项式而P(x)是一个任意多项式，那么或者)(x f 与P(x)互素，或者)(x f 整除P(x).3.如果多项式)(x f 与)(x g 的乘积能被不可约多项式P(x)整除，那么至少有一个因式被P(x)整除.Theorem5.如果)(x p 是一个不可约多项式,P(x)整除一些多项式)(,),(),(21x f x f x f s 的乘积,那么)(x p 一定整除这些多项式之中的一个.证明:对被除多项式的个数s 用数学归纳法当s=1时,显然成立;假设s=n-1 时,结论成立;当s=n 时,令)()()()(),()(32211x f x f x f x g x f x g n ==, 如果)(|)(),(|)(11x f x p x g x p 则命题成立,如果1))(),((),(|)(11=/x g x p x g x p 则,从而)(|)(2x g x p ,即)(,),(),()(32x f x f x f x p n 整除 n-1 多项式的乘积,由归纳法假设)(x p 整除其中一个多项式,根据数学归纳法原理,命题得证. 因式分解及唯一性定理：多项式环P[x]的每一个)0(>n n 次多项式)(x f 都可以唯一分解成P[x]的不可约多项式的乘积；)()()()(21x p x p x p x f s =所谓唯一性是说，如果有两个分解式)()()()()()()(2121x q x q x q x p x p x p x f t s ==那么，必有s=t ，并且适当地排列因式的顺序后有),2,1()()(s i x cq x p i i ==标准分解式（典型分解式）：)()()()(2121x p x p x cp x f s r s rr =其中c 是f(x)的首项系数，)(),(),(21x p x p x p s 是不同的、首项系数为1的不可约多项式，而s r r r ,,21正整数.例1：在有理数域上分解多项式， 22)(23--+=x x x x f . )2)(1)(1()2)(1(22)(223+-+=-++=--+=x x x x x x x x x x f例2：求 的典型分解式内在][122)(2345x Q x x x x x x f -++--=. 23242345)1()1()12)(1(122)(+-=+--=-++--=x x x x x x x x x x x f 例3.求 的典型内在][6141616102)(2345x R x x x x x x f -+-+-= 分解式. )3()1)(1(2)(22--+=x x x x f例4：分别在有理数域、实数域和复数域上分解多项式 15-x 和16-x 为不可约多项式的乘积.解:)1)(1()1(2345++++-=-x x x x x x Q[x]][)154cos 2)(152cos 2)(1()1)(1()1(222345x R x x x x x x x x x +-+--=++++-=-ππ][)52sin 52cos ()1()1)(1()1(412345x C k i k x x x x x x x x k ππ---=++++-=-=在Q[x]上)1)(1)(1)(1()1)(1()1(22336+-+++-=+-=-x x x x x x x x x ; 在R[x]上)1)(1)(1)(1()1)(1()1(22336+-+++-=+-=-x x x x x x x x x ; 在C[x]上)2321)(2321)(1)(2321)(2321)(1(16i x i x x i x i x x x -++++--+--=-。
因式分解的基本性质及应用
因式分解的基本性质及应用因式分解是将一个多项式分解成较简单的乘积形式的过程。
因素分解的基本性质和应用包括以下几个方面：1. 唯一性：一个多项式的因式分解不是唯一的，但是当我们考虑整数多项式时，因式分解是唯一的。
这是因为整数多项式的因子只能是整数常数或次数为1的一次多项式，而这些多项式已经是不可再分解的。
2. 分解定理：分解定理表明，如果一个多项式P(x)在x=a处取值为0，则P(x)可以被x-a整除。
这意味着x-a是P(x)的一个因子，或者等价地说，P(x)可以分解成(x-a)乘以另一个多项式Q(x)。
3. 公因式提取：公因式提取是一种将多项式的各项提取出一个公因子的方法。
例如，在多项式2x^3+4x^2中，可以提取出2x^2，然后得到2x^2(x+2)。
这个方法在简化多项式计算、化简分式等方面非常有效。
4. 因式分解定理：因式分解定理表明，一个多项式P(x)可以分解成多个一次或者二次的因子。
这个定理对于计算多项式的根和化简复杂的多项式表达式非常有用。
5. 最大公因式：最大公因式是多个多项式的最高次的公因式。
最大公因式的求解可以通过因式分解的方法进行。
最大公因式在多项式的约分、分式的化简等方面扮演着重要的角色。
6. 应用方面：因式分解在数学和物理等方面有着广泛的应用。
在数学中，因式分解可以用于求解多项式方程的根，化简复杂的表达式，计算多项式的导函数等。
在物理中，因式分解可以用于分解物体的运动方程，分析物理过程等。
除此之外，因式分解还有其他的一些应用。
例如在数论中，因式分解可以用于分析质数和合数的性质，判断一个数的因子等。
在代数几何中，因式分解可以用于分析曲线的结构和性质。
在概率论中，因式分解可以用于计算事件的概率等。
因式分解是数学中一个非常重要和基础的概念，在数学和其他学科中都有着广泛而重要的应用。
因式分解 热门定理
因式分解热门定理
因式分解是指将一个多项式表示成几个乘积的形式。
这样做可以简化多项式的计算和研究，也可以帮助我们更好地理解多项式的性质和特点。
热门定理中的一个重要定理是因式定理（Factor Theorem）。
因式定理表述为：如果一个多项式P(x)中的数a满足P(a)=0，
则(x-a)是P(x)的一个因式。
通过因式定理，我们可以得到多项式的因式分解。
例如，对于多项式P(x)=(x-1)(x-2)(x-3)，我们可以通过因式定理推断出
P(1)=P(2)=P(3)=0，因此(x-1)(x-2)(x-3)是P(x)的因式分解。
另一个重要的热门定理是韦达定理（Vieta's Theorem）。
韦达
定理给出了一个多项式的根与系数之间的关系。
对于一个一元
n次多项式P(x)=a_n(x^n)+a_{n-1}(x^{n-1})+...+a_1x+a_0，韦
达定理表述如下：
- 第一个系数a_n等于多项式根的乘积的相反数，即a_n=(-
1)^n × r_1 × r_2 × ... × r_n
- 第二个系数a_{n-1}等于多项式根两两之和的乘积的相反数，即a_{n-1}=(-1)^{n-1} × (r_1r_2 + r_1r_3 + ... + r_{n-1}r_n)
- 依此类推，第i个系数a_{n-i}等于多项式根的i次幂之和的
乘积的相反数
通过韦达定理，我们可以根据多项式的根来确定多项式的系数。
这对于因式分解和求解多项式方程都非常有用。
什么是因式分解 因式分解的原则
什么是因式分解因式分解的原
则
因式分解的定义
定义：把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解（也叫作分解因式）。
因式分解的原则
分解要彻底（是否有公因式，是否可用公式）
最后结果只有小括号
最后结果中多项式首项系数为正
提公因式
公因式:各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的~.
提公因式法:一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
am+bm+cm=m(a+b+c)
具体方法:当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数;字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的. 如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数是正的.。
因式定理法因式分解
因式定理法因式分解1. 引言在数学中，因式分解是将一个多项式表达式表示为若干个乘积的形式的过程。
因式分解是代数学中的重要概念，它可以帮助我们简化复杂的多项式，解决方程和不等式，以及理解更高级的数学概念。
因式定理法是一种常用的因式分解方法之一。
它基于代数基本定理，即任何一个次数大于1的多项式都可以被分解成一系列次数为1的一次多项式。
本文将详细介绍因式定理法以及如何使用它进行因式分解。
2. 因式定理法的原理因式定理法基于以下两个重要原理：2.1 代数基本定理代数基本定理（Fundamental Theorem of Algebra）表明任何一个非常数的次数大于1的多项式都可以在复数域内被完全分解为一次因子。
2.2 因子定理对于一个多项式f(x)，如果f(a)=0，则(x−a)是f(x)的一个因子。
这个原理称为因子定理（Factor Theorem）。
换句话说，如果我们找到了f(x)在某个点a处等于零，那么我们可以将f(x)除以(x−a)得到一个次数降低的多项式。
基于以上原理，因式定理法通过不断地使用因子定理和代数基本定理，将一个多项式逐步分解为一次因子的乘积。
3. 因式定理法的步骤下面是使用因式定理法进行因式分解的步骤：3.1 确定多项式的最高次数首先，我们需要确定给定多项式的最高次数。
最高次数决定了我们需要找到多少个一次因子来完全分解这个多项式。
3.2 寻找可能的一次因子接下来，我们需要寻找可能的一次因子。
一次因子是指形如(x−a)的表达式，其中a是一个实数。
常用的寻找一次因子的方法包括有理根定理、综合除法等。
有时候，我们也可以根据观察和猜测来找到可能的一次因子。
3.3 使用综合除法进行验证在找到可能的一次因子后，我们需要使用综合除法来验证这个表达式是否真正是多项式的一个因子。
如果余数为零，则说明找到了一个有效的一次因子。
3.4 迭代应用因子定理如果找到了一个有效的一次因子，我们可以使用因子定理将多项式除以这个因子，得到一个次数降低的多项式。
因式分解定理
因式分解定理定义（不可约多项式）：数域 P 上次数 \ge 1 的多项式p(x) ，若不能表示成数域 P 上的两个次数比 p(x) 要低的多项式的乘积，则称为数域 P 上的不可约多项式注：一个多项式是否不可约是依赖于系数域的（ x^{2}+1 ）命题：不可约多项式 p(x) 与任一多项式 f(x) 之间只可能有两种关系，或者 p(x)|f(x) 或者 (p(x),f(x))=1定理：如果 p(x) 是一个不可约多项式，那么对于任意的两个多项式 f(x),g(x) ，由 p(x)|f(x)g(x) 一定能推出p(x)|f(x) 或者 p(x)|g(x)证：若p(x)|f(x) ，那么结论已经成立. 若 p(x)\nmidf(x) ，则由不可约多项式的定义知 (p(x),f(x))=1 ，由定理如果 (f(x),g(x))=1 ，且 f(x)|g(x)h(x) ，则f(x)|h(x)推出 p(x)|g(x)注：利用数学归纳法，这个定理可推广为：若不可约多项式p(x) 整除一些多项式f_{1}(x),f_{2}(x),…,f_{s}(x)的乘积 f_{1}(x)f_{2}(x)…f_{s}(x)，那么 p(x) 一定整除这些多项式之中的一个定理（因式分解及唯一性定理）：数域 P 上每一个次数 \ge 1 的多项式 f(x) 都可以唯一地分解成数域 P 上一些不可约多项式的乘积，所谓唯一性是指，若有两个分解式 f(x)=p_{1}(x)p_{2}(x)…p_{s}(x)=q_{1}(x)q_{2}(x)…q_{s}(x)，那么必有 s=t ，并且适当排列因式的次序后有 p_{i}(x)=c_{i}q_{i}(x), \i=1,2,…,s，其中c_{i}(i=1,2,…,s)是一些非零常数证：先证分解式的存在，对 f(x) 的次数作数学归纳法.n=1时，一次多项式不可约，故结论成立设 \partial f(x)=n ，并设结论对于次数低于 n 的多项式已经成立若 f(x) 是不可约多项式，结论是显然的，不妨设 f(x) 不是不可约的，即有 f(x)=f_{1}(x)f_{2}(x) ，其中f_{1}(x),f_{2}(x) 的次数都低于 n . 由归纳假设 f_{1}(x) 和 f_{2}(x) 都可以分解到数域 P 上一些不可约多项式的乘积. 把 f_{1}(x),f_{2}(x) 的分解式合起来就得到 f(x) 的一个分解式由归纳法原理，结论普遍成立下证明唯一性. 设 f(x) 可以分解成不可约多项式的乘积f(x)=p_{1}(x)...p_{s}(x) . 若还有另一个分解式f(x)=q_{1}(x)...q_{t}(x) ，其中 q_{i}(x)(i=1,2,...,t) 都是不可约多项式，于是f(x)=p_{1}(x)...p_{s}(x)=f(x)=q_{1}(x)...q_{t}(x) \ \ \ \ \ (1)对 s 作归纳法. 当 s=1 ， f(x) 是不可约多项式，由定义必有 s=t=1 ，且 f(x)=p_{1}(x)=q_{1}(x) . 现设不可约因式的个数为 s-1 时已证，由 (1) ，p_{1}(x)|q_{1}(x)...q_{t}(x) ，因此 p_{1}(x) 必能除尽其中的一个，不妨设 p_{1}(x)|q_{1}(x) ，因为 q_{1}(x)也是不可约多项式，所以有 p_{1}(x)=c_{1}q_{1}(x) ，在(1) 式两边同时消去 q_{1}(x) ，就有p_{2}(x)...p_{s}(x)=f(x)=c_{1}^{-1}q_{2}(x)...q_{t}(x) . 由归纳假设，有 s-1=t-1 ，即s=t ，并且适当排列次序之后有 p_{2}(x)=c_{2}'c_{1}^{-1}q_{2}(x) ，即 p_{2}(x)=c_{2}q_{2}(x) ，p_{i}(x)=c_{i}(x)q_{i}(x), \ i=3,...,s ，这就证明了分解的唯一性定义（标准分解式）：在多项式 f(x) 的分解式中，可以把每一个不可约因式的首项系数提出来，使其成为首项系数为 1 的多项式，再把相同的不可约多项式合并. 于是 f(x) 的分解式成为f(x)=cp_{1}^{r_{1}}(x)p_{2}^{r_{2}}(x)...p_{s}^{r_{s}} (x) ，其中 c 是 f(x) 的首项系数，p_{1}(x),p_{2}(x),...,p_{s}(x) 是不同的首项系数为 1 的不可约多项式，而 r_{1},r_{2},...,r_{s} 是正整数，这种分解式称为标准分解式.。
多元多项式的因式分解定理证明方法
多元多项式的因式分解定理证明方法多元多项式的因式分解定理是多项式代数中的基本概念和重要定理之一。
它的证明方法可以通过多种途径来进行，本文将以详尽的方式探讨多元多项式的因式分解定理的证明方法，旨在帮助读者更深入地理解这一概念。
一、多元多项式的因式分解定理：定义和基本概念我们来回顾一下多元多项式的基本概念。
多元多项式是指由多个变量和它们对应的指数幂次构成的代数表达式。
一个三元多项式可以表示为：P(x, y, z) = aₙₙₙₒₙ + aₙₙₙₒₙ₋₁x + aₙₙₙ₋₁ₒₙy + aₙₙₙ₋₁ₒₙ₋₁x₂ + ... + a₀₀₀₀₃z³ + a₀₀₀₄z⁴其中，aₙₙₙₒₙ表示系数，x, y, z 表示变量，指数幂次表示变量的次数。
多元多项式的因式分解定理认为，任意一个多元多项式都可以被表示为若干个因式的乘积形式，其中每个因式是一个完全不可约的多项式，即无法再被进一步因式分解。
而证明这一定理的方法有多种，其中比较常见和基础的方法是使用代数学中的最小多项式和因式分解原则。
二、最小多项式的引入和应用为了证明多元多项式的因式分解定理，我们首先引入最小多项式的概念。
最小多项式是指一个多项式在某个域上的多项式环中的最小次数的首一多项式，且这个多项式的根就是所考虑的多元多项式。
我们假设有一个多元多项式P(x, y) = x²y + xy² + x + y，则它在域K[x, y] 上的最小多项式可以表示为：f(x, y) = (x - α)(y - β)(y - γ) - f(α, β)其中，α, β, γ 是多项式 P(x, y) 的根。
接下来，我们使用最小多项式的概念来推导多元多项式的因式分解。
我们注意到最小多项式根的一些性质：1. 最小多项式的次数是整数，且至少为1。
2. 最小多项式是唯一的，即对于同一个多元多项式，它在某个域上的最小多项式是唯一的。
根据这些性质，我们可以将多元多项式 P(x, y) 分解为若干个最小多项式的乘积形式。
笛卡尔因式分解定理
笛卡尔因式分解定理
笛卡尔因式分解定理又称为“笛卡尔因表达式分解定理”，是由法国数学家笛卡儿提出的一
种定理。
笛卡尔因式的分解是一种将一个多项式拆分成若干独立因子的方法，它可以将一
个多项式分成它的系数和指数两个部分。
笛卡儿因式分解定理的原理很简单，总的来说就是有一个多项式，它可以分解成若干独立
因子，从而完成一次多项式分解。
例如，一个多项式原来可以写成：X^4+X^3+X^2+X+1，它可以被笛卡儿因式分解为因数（X+1）*（X^3+X+1），其中“X+1”是因子1，“X^3+X+1”
是因子2，然后将这两个因子乘在一起就能得到原来的多项式：X^4+X^3+X^2+X+1。
笛卡儿因式分解这种技术主要是使用在多项式式子上的，例如，如果我们要算出一个多项式：Y^5+Y^2-3Y+27，要想求出它的因式，就可以用笛卡儿因式分解法，将原式从右向左
数起共有5项，从中可以找出它的两个因子，即（Y-3）*（Y^4+Y+27），然后将这两个
因数乘起来就可以求出原式：Y^5+Y^2-3Y+27.
依据笛卡尔因式分解定理，可以有效的分解多项式，它有助于我们更有效的分析多项式，
也是一种高效的求解多项式的方法。
笛卡尔因式分解是数学分析中的一个重要的技术，该
技术可以帮助我们研究和推理复合函数来解出不可解的非线性方程组。
研究者也可以用笛
卡尔因式分解来分析常数，特别是当求出多项式的值很困难时，使用笛卡尔因式分解法可
以有效解决问题。
综上所述，笛卡尔因式分解定理是一个重要的概念，尤其是当求解复杂的多项式方程时十分重要，它可以用来求出多项式的系数和指数，有助于我们做出更好的推理，从而更好的
解决函数方程中的复杂问题。
(完整版)因式分解公式大全
公式及方法大全待定系数法(因式分解)待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在因式分解中的应用．在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．常用的因式分解公式：例1 分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3．分析由于(x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y)，若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是x+2y+m和x+y+n的形式，应用待定系数法即可求出m和n，使问题得到解决．解设x2+3xy+2y2+4x+5y+3=(x+2y+m)(x+y+n)=x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn，比较两边对应项的系数，则有解之得m=3，n=1．所以原式=(x+2y+3)(x+y+1)．说明本题也可用双十字相乘法，请同学们自己解一下．例2 分解因式：x4-2x3-27x2-44x+7．分析本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能是±1，±7(7的约数)，经检验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集内，原式没有一次因式．如果原式能分解，只能分解为(x2+ax+b)(x2+cx+d)的形式．解设原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d)=x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd，所以有由bd=7，先考虑b=1，d=7有所以原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7)．说明由于因式分解的唯一性，所以对b=-1，d=-7等可以不加以考虑．本题如果b=1，d=7代入方程组后，无法确定a，c的值，就必须将bd=7的其他解代入方程组，直到求出待定系数为止．本题没有一次因式，因而无法运用求根法分解因式．但利用待定系数法，使我们找到了二次因式．由此可见，待定系数法在因式分解中也有用武之地．求根法(因式分解)我们把形如anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式，并用f(x)，g(x)，…等记号表示，如f(x)=x2-3x+2，g(x)=x5+x2+6，…，当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)表示．如对上面的多项式f(x) f(1)=12-3×我们把形如a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式，并用f(x)，g(x)，…等记号表示，如f(x)=x2-3x+2，g(x)=x5+x2+6，…，当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)表示．如对上面的多项式f(x)f(1)=12-3×1+2=0；f(-2)=(-2)2-3×(-2)+2=12．若f(a)=0，则称a为多项式f(x)的一个根．定理1(因式定理) 若a是一元多项式f(x)的根，即f(a)=0成立，则多项式f(x)有一个因式x-a．根据因式定理，找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根．对于任意多项式f(x)，要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f(x)的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根．定理2的根，则必有p是a0的约数，q是a n的约数．特别地，当a0=1时，整系数多项式f(x)的整数根均为a n的约数．我们根据上述定理，用求多项式的根来确定多项式的一次因式，从而对多项式进行因式分解．例2 分解因式：x3-4x2+6x-4．分析这是一个整系数一元多项式，原式若有整数根，必是-4的约数，逐个检验-4的约数：±1，±2，±4，只有f(2)=23-4×22+6×2-4=0，即x=2是原式的一个根，所以根据定理1，原式必有因式x-2．解法1 用分组分解法，使每组都有因式(x-2)．原式=(x3-2x2)-(2x2-4x)+(2x-4)=x2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)=(x-2)(x2-2x+2)．解法2 用多项式除法，将原式除以(x-2)，所以原式=(x-2)(x2-2x+2)．说明在上述解法中，特别要注意的是多项式的有理根一定是-4的约数，反之不成立，即-4的约数不一定是多项式的根．因此，必须对-4的约数逐个代入多项式进行验证．例3 分解因式：9x4-3x3+7x2-3x-2．分析因为9的约数有±1，±3，±9；-2的约数有±1，为：所以，原式有因式9x2-3x-2．解 9x4-3x3+7x2-3x-2=9x4-3x3-2x2+9x2-3x-2=x2(9x3-3x-2)+9x2-3x-2=(9x2-3x-2)(x2+1)=(3x+1)(3x-2)(x2+1)说明若整系数多项式有分数根，可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式，如上题中的因式可以化为9x2-3x-2，这样可以简化分解过程．总之，对一元高次多项式f(x)，如果能找到一个一次因式(x-a)，那么f(x)就可以分解为(x-a)g(x)，而g(x)是比f(x)低一次的一元多项式，这样，我们就可以继续对g(x)进行分解了．双十字相乘法(因式分解)分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式．例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列，并把y 当作常数，于是上式可变形为 2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，可分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式．例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，可以看作是关于x的二次三项式．对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为即-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解所以原式=［x+(2y-3)］［2x+(-11y+1)］=(x+2y-3)(2x-11y+1)．上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法．如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，可得到下图：它表示的是下面三个关系式：(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2；(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3；(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3．这就是所谓的双十字相乘法．用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一个十字相乘图(有两列)；(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．例1 分解因式：(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2；(2)x2-y2+5x+3y+4；(3)xy+y2+x-y-2；(4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2．解 (1)原式=(x-5y+2)(x+2y-1)．(2)原式=(x+y+1)(x-y+4)．(3)原式中缺x2项，可把这一项的系数看成0来分解．原式=(y+1)(x+y-2)．(4)原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z)．说明 (4)中有三个字母，解法仍与前面的类似．笔算开平方对于一个数的开方，可以不用计算机，也不用查表，直接笔算出来，下面通过一个例子来说明如何笔算开平方，对于其它数只需模仿即可例求316.4841的平方根.第一步,先将被开方的数，从小数点位置向左右每隔两位用逗号，分段，如把数316.4841分段成3,16.48,41.第二步，找出第一段数字的初商，使初商的平方不超过第一段数字，而初商加1的平方则大于第一段数字，本例中第一段数字为3，初商为1，因为12=1<3，而(1+1)2=4>3.第三步，用第一段数字减去初商的平方，并移下第二段数字，组成第一余数，在本例中第一余数为216.第四步，找出试商，使(20×初商+试商)×试商不超过第一余数，而【20×初商+(试商+1)】×(试商+1)则大于第一余数.第五步，把第一余数减去(20×初商+试商)×试商，并移下第三段数字，组成第二余数，本例中试商为7，第二余数为2748.依此法继续做下去，直到移完所有的段数，若最后余数为零，则开方运算告结束.若余数永远不为零，则只能取某一精度的近似值.第六步，定小数点位置，平方根小数点位置应与被开方数的小数点位置对齐.本例的算式如下：根式的概念【方根与根式】数a的n次方根是指求一个数，它的n次方恰好等于a.a的n次方根记为(n为大于1的自然数).作为代数式，称为根式.n称为根指数，a称为根底数.在实数范围内，负数不能开偶次方，一个正数开偶次方有两个方根，其绝对值相同，符号相反.【算术根】正数的正方根称为算术根.零的算术根规定为零.【基本性质】由方根的定义，有根式运算【乘积的方根】乘积的方根等于各因子同次方根的乘积；反过来，同次方根的乘积等于乘积的同次方根，即≥0,b≥0)【分式的方根】分式的方根等于分子、分母同次方根相除，即≥0,b>0)【根式的乘方】≥0)【根式化简】≥0)≥0,d≥0)≥0,d≥0)【同类根式及其加减运算】根指数和根底数都相同的根式称为同类根式，只有同类根式才可用加减运算加以合并.进位制的基与数字任一正数可表为通常意义下的有限小数或无限小数，各数字的值与数字所在的位置有关，任何位置的数字当小数点向右移一位时其值扩大10倍，当小数点向左移一位时其值缩小10倍.例如一般地，任一正数a可表为这就是10进数，记作a(10)，数10称为进位制的基，式中ai在{0,1,2,L,9}中取值，称为10进数的数字，显然没有理由说进位制的基不可以取其他的数.现在取q为任意大于1的正整数当作进位制的基，于是就得到q进数表示(1)式中数字ai在{0,1,2,...,q-1}中取值，a n a n-1...a1a0称为q 进数a(q)的整数部分，记作[a(q)];a-1a-2 ...称为a(q)的分数部分，记作{a(q)}.常用进位制，除10进制外，还有2进制、8进制、16进制等，其数字如下2进制 0, 18进制 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 716进制 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9各种进位制的相互转换1 q→10转换适用通常的10进数四则运算规则，根据公式(1)，可以把q进数a(q)转换为10进数表示.例如2 10→q转换转换时必须分为整数部分和分数部分进行. 对于整数部分其步骤是：(1) 用q去除[a(10)]，得到商和余数.(2) 记下余数作为q进数的最后一个数字.(3) 用商替换[a(10)]的位置重复(1)和(2)两步，直到商等于零为止.对于分数部分其步骤是：(1)用q去乘{a(10)}.(2)记下乘积的整数部分作为q进数的分数部分第一个数字.(3)用乘积的分数部分替换{a(10)}的位置，重复(1)和(2)两步，直到乘积变为整数为止，或直到所需要的位数为止.例如：103.118(10)=147.074324 (8)整数部分的草式分数部分的草式3 p→q转换通常情况下其步骤是：a(p)→a(10)→a(q).如果p,q是同一数s 的不同次幂，其步骤是：a(p)→a(s)→a(q).例如，8进数127.653(8)转换为16进数时，由于8=23，16=24，所以s=2，其步骤是：首先把8进数的每个数字根据8-2转换表转换为2进数(三位一组)127.653(8)=001 010 111.110 101 011(2)然后把2进数的所有数字从小数点起(左和右)每四位一组分组，从16-2转换表中逐个记下对应的16进数的数字，即正多边形各量换算公式n为边数R为外接圆半径 a为边长爎为内切圆半径为圆心角 S为多边形面积重心G与外接圆心O重合正多边形各量换算公式表各量正三角形n为边数R为外接圆半径a为边长爎为内切圆半径为圆心角 S为多边形面积重心G与外接圆心O重合正多边形各量换算公式表各正三角正方形正五边形正六边正n边量形形形图形Sa RR ar或许你还对作图感兴趣：正多边形作图所谓初等几何作图问题，是指使用无刻度的直尺和圆规来作图.若使用尺规有限次能作出几何图形，则称为作图可能，或者说欧几里得作图法是可能的，否则称为作图不可能.很多平面图形可以用直尺和圆规作出，例如上面列举的正五边形、正六边形、正八边形、正十边形等.而另一些就不能作出，例如正七边形、正九边形、正十一边形等，这些多边形只能用近似作图法.如何判断哪些作图可能，哪些作图不可能呢？直到百余年前，用代数的方法彻底地解决了这个问题，即给出一个关于尺规作图可能性的准则：作图可能的充分必要条件是，这个作图问题中必需求出的未知量能够由若干已知量经过有限次有理运算及开平方运算而算出.几千年来许多数学家耗费了不少的精力，企图解决所谓“几何三大问题”：立方倍积问题，即作一个立方体，使它的体积二倍于一已知立方体的体积.三等分角问题，即三等分一已知角.化圆为方问题，即作一正方形，使它的面积等于一已知圆的面积.后来已严格证明了这三个问题不能用尺规作图.代数式的求值代数式的求值与代数式的恒等变形关系十分密切．许多代数式是先化简再求值，特别是有附加条件的代数式求值问题，往往需要利用乘法公式、绝对值与算术根的性质、分式的基本性质、通分、求值中的方法技巧主要是代数式恒等变形的技能、技巧和方法．下面结合例题逐一介绍．1．利用因式分解方法求值因式分解是重要的一种代数恒等变形，在代数式化简求值中，经常被采用．分析 x的值是通过一个一元二次方程给出的，若解出x 后，再求值，将会很麻烦．我们可以先将所求的代数式变形，看一看能否利用已知条件．解已知条件可变形为3x2+3x-1=0，所以6x4+15x3+10x2=(6x4+6x3-2x2)+(9x3+9x2-3x)+(3x2+3x-1)+1=(3x2+3x-1)(2z2+3x+1)+1=0+1=1．说明在求代数式的值时，若已知的是一个或几个代数式的值，这时要尽可能避免解方程(或方程组)，而要将所要求值的代数式适当变形，再将已知的代数式的值整体代入，会使问题得到简捷的解答．例2 已知a，b，c为实数，且满足下式：a2+b2+c2=1，①求a+b+c的值．解将②式因式分解变形如下即所以a+b+c=0或bc+ac+ab=0．若bc+ac+ab=0，则(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(bc+ac+ab)=a2+b2+c2=1，所以 a+b+c=±1．所以a+b+c的值为0，1，-1．说明本题也可以用如下方法对②式变形：即前一解法是加一项，再减去一项；这个解法是将3拆成1+1+1，最终都是将②式变形为两个式子之积等于零的形式．2．利用乘法公式求值例3 已知x+y=m，x3+y3=n，m≠0，求x2+y2的值．解因为x+y=m，所以m3=(x+y)3=x3+y3+3xy(x+y)=n+3m·xy，所以求x2+6xy+y2的值．分析将x，y的值直接代入计算较繁，观察发现，已知中x，y的值正好是一对共轭无理数，所以很容易计算出x+y 与xy的值，由此得到以下解法．解 x2+6xy+y2=x2+2xy+y2+4xy=(x+y)2+4xy3．设参数法与换元法求值如果代数式字母较多，式子较繁，为了使求值简便，有时可增设一些参数(也叫辅助未知数)，以便沟通数量关系，这叫作设参数法．有时也可把代数式中某一部分式子，用另外的一个字母来替换，这叫换元法．分析本题的已知条件是以连比形式出现，可引入参数k，用它表示连比的比值，以便把它们分割成几个等式．x＝(a-b)k，y＝(b-c)k，z＝(c-a)k．所以x+y+z=(a-b)k＋(b-c)k+(c-a)k=0．u+v+w=1，①由②有把①两边平方得u2+v2+w2+2(uv+vw+wu)=1，所以u2+v2+w2=1，即两边平方有所以4．利用非负数的性质求值若几个非负数的和为零，则每个非负数都为零，这个性质在代数式求值中经常被使用．例8 若x2-4x+|3x-y|=-4，求y x的值．分析与解x，y的值均未知，而题目却只给了一个方程，似乎无法求值，但仔细挖掘题中的隐含条件可知，可以利用非负数的性质求解．因为x2-4x+|3x-y|=-4，所以x2-4x＋4＋|3x-y|=0，即 (x-2)2+|3x-y|=0．所以 y x=62=36．例9 未知数x，y满足(x2＋y2)m2-2y(x+n)m+y2+n2=0，其中m，n表示非零已知数，求x，y的值．分析与解两个未知数，一个方程，对方程左边的代数式进行恒等变形，经过配方之后，看是否能化成非负数和为零的形式．将已知等式变形为m2x2+m2y2-2mxy-2mny+y2+n2=0，(m2x2-2mxy+y2)+(m2y2-2mny+n2)=0，即(mx-y)2+(my-n)2=0．5．利用分式、根式的性质求值分式与根式的化简求值问题，内容相当丰富，因此设有专门讲座介绍，这里只分别举一个例子略做说明．例10 已知xyzt=1，求下面代数式的值：分析直接通分是笨拙的解法，可以利用条件将某些项的形式变一变．解根据分式的基本性质，分子、分母可以同时乘以一个不为零的式子，分式的值不变．利用已知条件，可将前三个分式的分母变为与第四个相同．同理分析计算时应注意观察式子的特点，若先分母有理化，计算反而复杂．因为这样一来，原式的对称性就被破坏了．这里所言的对称性是分利用这种对称性，或称之为整齐性，来简化我们的计算．同样(但请注意算术根！)将①，②代入原式有练习六2．已知x+y=a，x2+y2=b2，求x4+y4的值．3．已知a-b+c=3，a2+b2+c2=29，a3+b3+c3=45，求ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)的值．5．设a+b+c=3m，求(m-a)3+(m-b)3+(m-c)3-3(m-a)(m-b)(m-c)的值．8．已知13x2-6xy+y2-4x+1=0，求(x+y)13·x10的值．。
因式分解定理
பைடு நூலகம்：
① 若已知两个多项式 f ( x), g( x) 的标准分解式,
则可直接写出 f ( x), g( x). f ( x), g( x) 就是那些同时在 f ( x), g( x) 的标准
分解式中出现的不可约多项式方幂的乘积，所带 方幂指数等于它在 f ( x), g( x) 中所带的方幂指数 中较小的一个．
即 d( x) a 或 d( x) cp( x)
( p( x), f ( x)) 1 p( x) f ( x)
定理5.7 设 p( x) 不可约. f ( x), g( x) P[x] ，若 p( x) f ( x)g( x), 则 p( x) f ( x) 或 p( x) g( x). 证：若 p( x) f ( x), 结论成立 .
f ( x) g( x) ri li , i 1,2, , s
② 虽然因式分解定理在理论有其基本重要性， 但并未给出一个具体的分解多项式的方法．
实际上，对于一般的情形，普通可行的分解多 项式的方法是不存在的．而且在有理数域上，多 项式的可约性的判定都是非常复杂的．
例5.5 设多项式 f ( x) 3x4 12,分别求 f (x)在
p( x) 的因式只有非零常数及其自身的非零常数倍.
引理 多项式 p( x)不可约，对 f ( x) P[x] 有
p( x) f ( x) 或 p( x), f ( x) 1.
证：设 ( p( x), f ( x)) d( x), 则 d( x) p( x)
d( x) a 0 或 d( x) cp( x), c 0
2、重因式的判别和求法
方法一： 若 f ( x)的标准分解式为： f ( x) cpr11( x) pr21( x) prs s ( x)
多项式的因式分解定理
§1-5多项式的因式分解定理多项式44-x 在有理数域、实数域、复数域上的因式分解 ][)2)(2)(2)(2(4][)2)(2)(2(4][)2)(2(4424224x C i x i x x x x x R x x x x x Q x x x +-+-=-++-=-+-=-（不能再分）（不能再分） 在不同的系数域上，具有不同形式的分解式什么叫不能再分平凡因式：零次多项式（不等于零的常数）、多项式自身、前两个的乘积Definition8：（不可约多项式）令][)(x P x f 是的一个次数大于零的多项式，如果][)(x P x f 在中只有平凡因式，就称f(x )为数域P 上（或在P[x]中）的不可约多项式.（p(x)在数域P 上不能表示成两个次数低的多项式的乘积） 若)(x f 除平凡因式外，在P[x]中还有其它因式，f(x )就说是在数域P 上（或在P[x]中）是可约的.如果不是平凡因式)(,)()()(x g x h x g x f =，的次数显然和则)()(x h x g 都小于)(x f 的次数.反之，若)(x f 能写成两个这样多项式的乘积，那么)(x f有非平凡因式；如果P[x]的一个n 次多项式能够分解成P[x]中两个次数都 小于n 的多项式 的乘积和)()(x h x g 即 )()()(x h x g x f 那么)(x f 在P 上可约.由不可约多项式的定义可知：任何一次多项式都是不可约多项式的.不可约多项式的重要性质：一个多项式是否不可约是依赖于系数域；1.如果多项式)(x f 不可约，那么P 中任意不为零的元素c 与)(x f 的乘积c )(x f 都不可约.2.设)(x f 是一个不可约多项式而P(x)是一个任意多项式，那么或者)(x f 与P(x)互素，或者)(x f 整除P(x).3.如果多项式)(x f 与)(x g 的乘积能被不可约多项式P(x)整除，那么至少有一个因式被P(x)整除.Theorem5.如果)(x p 是一个不可约多项式,P(x)整除一些多项式)(,),(),(21x f x f x f s 的乘积,那么)(x p 一定整除这些多项式之中的一个.证明:对被除多项式的个数s 用数学归纳法当s=1时,显然成立;假设s=n-1 时,结论成立;当s=n 时,令)()()()(),()(32211x f x f x f x g x f x g n ==, 如果)(|)(),(|)(11x f x p x g x p 则命题成立,如果1))(),((),(|)(11=/x g x p x g x p 则,从而)(|)(2x g x p ,即)(,),(),()(32x f x f x f x p n 整除 n-1 多项式的乘积,由归纳法假设)(x p 整除其中一个多项式,根据数学归纳法原理,命题得证. 因式分解及唯一性定理：多项式环P[x]的每一个)0(>n n 次多项式)(x f 都可以唯一分解成P[x]的不可约多项式的乘积；)()()()(21x p x p x p x f s =所谓唯一性是说，如果有两个分解式)()()()()()()(2121x q x q x q x p x p x p x f t s ==那么，必有s=t ，并且适当地排列因式的顺序后有),2,1()()(s i x cq x p i i ==标准分解式（典型分解式）：)()()()(2121x p x p x cp x f s r s r r = 其中c 是f(x)的首项系数，)(),(),(21x p x p x p s 是不同的、首项系数为1的不可约多项式，而s r r r ,,21正整数.例1：在有理数域上分解多项式， 22)(23--+=x x x x f . )2)(1)(1()2)(1(22)(223+-+=-++=--+=x x x x x x x x x x f例2：求 的典型分解式内在][122)(2345x Q x x x x x x f -++--=. 23242345)1()1()12)(1(122)(+-=+--=-++--=x x x x x x x x x x x f 例3.求 的典型内在][6141616102)(2345x R x x x x x x f -+-+-= 分解式. )3()1)(1(2)(22--+=x x x x f例4：分别在有理数域、实数域和复数域上分解多项式 15-x 和16-x 为不可约多项式的乘积.解:)1)(1()1(2345++++-=-x x x x x x Q[x]][)154cos 2)(152cos 2)(1()1)(1()1(222345x R x x x x x x x x x +-+--=++++-=-ππ][)52sin 52cos ()1()1)(1()1(412345x C k i k x x x x x x x x k ππ---=++++-=-=在Q[x]上)1)(1)(1)(1()1)(1()1(22336+-+++-=+-=-x x x x x x x x x ; 在R[x]上)1)(1)(1)(1()1)(1()1(22336+-+++-=+-=-x x x x x x x x x ; 在C[x]上)2321)(2321)(1)(2321)(2321)(1(16i x i x x i x i x x x -++++--+--=-。
因式分解方法：因式定理综合除法分解因式
因式分解方法：因式定理综合除法分解因式因式定理、综合除法分解因式
对于整系数一元多项式f(x)=anxn+an-1xn-1++a1x+a0
由因式定理可先判断它是否含有一次因式(x-)（其中p，q 互质），p为首项系数an的约数，q为末项系数a0的约数
若f（）=0,则一定会有（x-）再用综合除法，将多项式分解
例8分解因式x3-4x2+6x-4
解这是一个整系数一元多项式，因为4的正约数为1、2、4
可能出现的因式为x1,x2,x4
∵f(1)0,f(1)0
但f(2)=0,故(x-2)是这个多项式的因式，再用综合除法
21-46-4
2-44
1-220
所以原式=(x-2)(x2-2x+2)
当然此题也可拆项分解，如x3-4x2+4x+2x-4
=x(x-2)2+(x-2)
=(x-2)(x2-2x+2)
分解因式的方法是多样的，且其方法之间相互联系，一道题很可能要同时运用多种方法才可能完成，故在知晓这些方法之后，。
因式分解的万能公式是什么,分解因式公式有哪些例题二
因式分解的万能公式是什么，分解因式公式有哪些例题二初中数学因式分解公式全整理？因式分解是指把一个多项式变为哪些整式的积的形式，初中经常会用到的因式分解的方式有：1.提取公因式法，如：ax＋bx＝x（a＋b）2.公式法，a平方-b平方＝（a＋b）（a-b），a平方±2ab＋b平方＝（a±b）平方3.十字相乘法，x平方-（a＋b）x＋ab＝（x-a）（x-b）因式分解的公式？因式分解公式：平方差公式：(a+b)(a-b)=a²-b²完全平方公式：(a±b)²=a²±2ab+b²把式子倒过来： (a+b)(a-b)=a²-b² a²±2ab+b²= (a±b)²就变成了因式分解，因为这个原因，我们把用利用平方差公式和完全平方公式进行因式分解的方式称之为公式法。
例子：1、25-16x²=5²-(4x)²=(5+4x)(5-4x)2、p4-1 =(p²+1)(p²-1) =(p²+1)(p+1)(p-1)3、x²+14x+49 =x²+2·7·x+7² =(x+7)²4、(m-2n)²-2(2n-m)(m+n)+(m+n)² =(m-2n)²+2(m-2n)²(m+n)+(m+n)² =[(m-2n)+(m+n)]² =(2m-n)²因式分解万能公式？万能公式,只是针对一元二次因式的分解.ax^2 + b x +c =0先凑完全平方,再用平方差公式.x^2 +bx/a +c/a =0x^2 +bx/a +b^2/4a^2 - b^2/4a^2 + c/a = 0(x - b/2a)^2 - (b^2-4ac)/4a^2=0[ x - b/2a +根号 (b^2-4ac)/2a]*[x-b/2a-根号（b^2-4ac)/2a]=0经常会用到的因式分解公式还未确定系数法(因式分解)在因式分解时，一部分多项式经过分析，可以断定它能分解成某哪些因式，但这哪些因式中的某些系数暂时还没有确定，这时可以用一部分字母来表示还未确定的系数.因为该多项式等于这哪些因式的乘积，按照多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的哪些特殊值，列出有关还未确定系数的方程(或方程组)，解出还未确定字母系数的值，这样的因式分解的方式叫作还未确定系数法.求根法(因式分解)我们把形如anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为有关x的一元多项式，并用f(x)，g(x)，…等记号表示，如f(x)=x2-3x+2，g(x)=x5+x2+6，…，当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)表示.如对上面的多项式f(x) f(1)=12-3×我们把形如anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为有关x的一元多项式，并用f(x)，g(x)，…等记号表示，如f(x)=x2-3x+2，g(x)=x5+x2+6，…，当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)表示.如对上面的多项式f(x)f(1)=12-3×1+2=0；f(-2)=(-2)2-3×(-2)+2=12.若f(a)=0，则称a为多项式f(x)的一个根.定理1(因式定理) 若a是一元多项式f(x)的根，即f(a)=0成立，则多项式f(x)有一个因式x-a.按照因式定理，找出一元多项式f(x)的一次因式的重点是求多项式f(x)的根.针对任意多项式f(x)，要得出它的根是没有大多数情况下方式的，然而，当多项式f(x)的系数都是整数时，即整系数多项式时，常常用下面的定理来判断它是不是有有理根。
1-5因式分解定理
高等代数II 第一章多项式第5节. 因式分解定理教学大纲一．素因子的个数小学算术就学了正整数的因子分解, 学了质数合数. 初中学了多项式的因式分解. 因子分解是你们熟悉的. 很多人就认为因式分解很容易, 就凭那三招(提取公因子, 用乘法公式，分组分解法）就可以纵横天下。
其实，正整数的因子分解都是世界难题。
多项式就更不可能容易。
先别去碰难题。
还有些入门的小儿科都没有搞清楚。
比如, 1不能分解,为什么不是质数?学了负整数, 2=(-2)(-1)可以分解, 2还是质数吗?-6的分解式是3×(-2) 还是(-3)×2 还是(-1)×3×22x+4 在有理系数范围内能不能分解？2x+4=2(x+2) 不就分解了吗？还有一个被忽略的问题：书上要求因式分解到底。
你分到不知道怎么分就结束了。
为什么不想一下,你不知道怎么分,不能断定它就不能分。
有可能是它还能分，你水平不够没有发现它的分解式。
因此, 不但应该有方法教你怎样分，还应该教你判别分到什么时候就到底了。
最简单的情况: 全部因式都是一次，肯定到底了。
大部分时候不能分到一次，怎么知道它到底没有。
比如x10+x5+1, x12+x9+x6+x3+1在有理数范围内能不能分？1.正整数的分解：不能分解的正整数叫做质数(也叫素数), 能分解的叫合数.例1.1是质数还是合数?学生: 1不能分解, 是质数.老师: 1既不是合数, 也不是质数.学生: 既不是合数, 也不是质数, 是什么呢?老师: 它就是1.点评: 为什么不说“2 既不是合数, 也不是质数, 它就是2”？1 和2 都不能分解，它们有什么区别？例2. 如下正整数是多少个素因子的乘积？(1)24; (2) 24×2×1×3×1; (3) 24÷2÷1÷3÷1; (4) 23×32; (5) 210÷210。
因式分解八大公式
因式分解八大公式八大公式是数学中的基本知识，它们可以帮助我们更好地理解数学，提高我们的数学水平。
下面让我们来看看八大公式如何因式分解：一、勾股定理：a²+b²=c²这里的a、b、c是三条直角边的边长，其中c是斜边的边长。
勾股定理说明，在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。
二、平方和定理：a²+2ab+b²=(a+b)²这里的a、b是两个数，其中(a+b)是它们的和。
平方和定理指出，两个数的平方和等于它们的和的平方。
三、立方和定理：a³+b³+c³+3abc=(a+b+c)³这里的a、b、c是三个数，其中(a+b+c)是它们的和。
立方和定理表明，三个数的立方和等于它们的和的立方。
四、等差数列和公式：Sn=n/2(a1+an)这里的Sn是数列的和，n是数列的项数，a1是数列的第一项，an 是数列的最后一项。
等差数列和公式表明，数列的和等于项数乘以第一项和最后一项的一半。
五、等比数列和公式：Sn=a(1-rn)/1-r这里的Sn是数列的和，a是数列的第一项，r是数列的公比。
等比数列和公式表明，数列的和等于第一项乘以（1减去公比的n次方）除以（1减去公比）。
六、三角函数公式：sinα=a/c、cosα=b/c、tanα=a/b这里的α是角的角度，a、b、c是直角三角形的边长。
三角函数公式表明，求得角的正弦值、余弦值和正切值的关系。
七、二次函数公式：y=ax²+bx+c这里的a、b、c是系数，x是变量，y是函数值。
二次函数公式表明，变量x和函数值y之间的关系。
八、椭圆方程：Ax²+By²+Cx+Dy+E=0这里的A、B、C、D、E是五个系数，椭圆方程表明，定义了一个椭圆的方程式。
以上就是八大公式因式分解的介绍，仔细理解，这些公式在数学中的作用就不言而喻了。
希望本文能够帮助大家更好地理解数学。
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§5 因式分解定理 §6 重因式教学目的：把多项式分解为不可约因式的乘积教学重点：不可约多项式 重因式课时：4教学方式：讲授式教学内容：一、不可约多项式1、定义：数域P 上次数1≥的多项式)(x p 称为不可约多项式，如果)(x p 不能表成数域P 上的两个次数比)(x p 低的多项式的乘积。
问：为什么一定要强调数域P 呢例：上不可分了在复数域上不可分了在实数域上不可分了在有理数域C i x i x x x R x x x Q x x x )2)(2)(2)(2()2)(2)(2()2)(2(42224+-+-=++-=+-=-注：1、不可约多项式)(x p ，的因式只有非零常数c 与自身的非零常数倍。
2、)(x p 与任意多项式)(x f 之间的关系只可能有两种关系：或者)(|)(x f x p ，或者1))(),((=x f x p 。
事实上，若)())(),((x d x f x p =，那么)(|)(x p x d ，所以1)(=x d 或者)()(x cp x d =。
2、重要性质（定理5）：（1）)()()()(),()()(],[)(),(,)(x g x p x f x p x g x f x p x P x g x f x p 或则若对不可约若∈∀（2）{}s i x f x p x f x f x f x p x p i s ,,2,1,)()(),()()()(,)(21 ∈对某个则若不可约二、因式分解及唯一性定理数域P 上每一个次数1≥的多项式)(x f 均可分解成数域P 上一些不可约多项式的乘积。
所谓唯一性是指，如果)(x f 有两个分解式)()()()()()()(2121x q x q x q x p x p x p x f t s ==则必有t s =且适当排列因式的次序后有s i c x q c x p i i i i ,,2,1,0),()( =≠=其中证明：先证分解式的存在性。
我们对)(x f 的次数作用数学归纳法。
01、因为一次多项式都是不可约的，所以1=n 时结论成立。
02、设n x f =∂))((，并假设结论对于次数低于n 的多项式已经成立。
如果)(x f 是不可约多项式，结论是显然的，无妨设)(x f 不是不可约的，即有)()()(21x f x f x f =，n x f <∂))((1，n x f <∂))((2。
由归纳假设)(1x f 和)(2x f 都可以分解成数域P 上一些不可约多项式的乘积。
把)(1x f ，)(2x f 的分解式和起来就得到)(x f 的一个分解式。
由归纳法原理，结论普遍成立。
再证唯一性。
设)(x f 可以分解成不可约多项式的乘积 )()()()(21x p x p x p x f s =如果)(x f 还有另一个分解式)()()()(21x q x q x q x f t =其中)(x q i ),...,2,1(t i =都是不可约多项式，于是)()()()()()()(2121x q x q x q x p x p x p x f t s == )1(我们对s 作归纳法。
当1=s ，)(x f 是不可约多项式，由定义必有t s =且)()()(11x q x p x f ==。
现在设不可约多项式的个数为1-s 时唯一性已证。
由)1(，)()()(|)(211x q x q x q x p t ，因此)(1x p 必能整除其中的一个，无妨设)(|)(11x q x p因为)(1x q 也是不可约多项式，所以)()(11x cq x p = )2(在)1(式两边消去)(1x q ，就有)()()()()(21112x q x q x q c x p x p t s -=由归纳法假设，有11-=-t s ，即t s =， )3(并且适当排列次序之后有)()(21122x q c c x p -'=，即)()(222x q c x p = ),...,3)(()(s i x q c x p i i i == )4()4(),3(),2(合起来即为所要证的。
三、标准分解式，1、标准分解式把)(x f 的分解式中不可约多项式都化为首一不可约多项式，并且把相同因式的乘积写成幂的形式：)()()()(2121x p x p x cp x f s r s r r =+∈Zr r r x p x p x p x f c s s ,,, 1 )(,),(),()(2121 多项式，的不可约是不同的首项系数为的首项次数，是其中最小公倍式定义：多项式)(x m 称为)(x f 与)(x g 的最小公倍式，如果1、)(|)(x m x f ，)(|)(x m x g ；2、若)(|)(x m x f '，)(|)(x m x g '，则有)(|)(x m x m '。
命题：设)(),(x g x f 是两个非零多项式，则 )()())(),()]((),([x g x f x g x f x g x f =证明：设)())(),((x d x g x f =，则)()()(1x f x d x f =，)()()(1x g x d x g =，并且1))(),((=x g x f 。
于是)1()(|)(x m x f ，)(|)(x m x g ；（)()()(1x m x g x f =或)()()(1x m x f x g =）。
)2(若)(|)(),(|)(x m x g x m x f ''，我们证明)(|)(x m x m '。
)()()(),()()(21x q x g x m x q x f x m ='='可得)()()()(2111x q x g x q x f =，由于1))(),((=x g x f ，所以)(|)(11x q x g 。
设)()()(311x q x g x q =，则有)()()()()()()()(3313x q x m x q x g x f x q x f x m ==='于是)(x m 是)(x f 与)(x g 的最小公倍式。
2、多项式)(),(x g x f 的最大公因式的求法二把)(),(x g x f 写成标准分解式，())(),(x g x f 就是同时在)(),(x g x f 的标准分解式中出现的不可约多项式方幂的乘积，所带的方幂指数等于)(),(x g x f 中所带的方幂较小的那一个。
四、重因式1、定义：不可约多项式)(x p 称为多项式)(x f 的k 重因式，如果)(|)(x f x p k ，而)(1x p k +不能整除)(x f ，此时记作)(||)(x f x p k 。
注：当0=k 时，)(x p 根本不是)(x f 的因式；当1=k 时，)(x p 是)(x f 的单因式； 当1>k 时，称)(x p 是)(x f 的重因式。
2、如何判断一个多项式有无重因式方法一：可用标准分解式。
（不常用）方法二：用微商设有多项式0111......)(a x a x a x a x f n n n n ++++=--，我们规定它的微商是1211......)1()(a x a n x na x f n n n n ++-+='---。
微商的基本运算规则='+))()((x g x f )()(x g x f '+'；)())((x f c x cf '='；)()()()())()((x g x f x g x f x g x f '+'='； )()())((1x f x mf x f m m '='-。
其理论依据为定理6 如果不可约多项式()p x 是()f x 的k 重因式(1)k ≥ ，则()p x 是()f x '的1k -重因式。
推论 1 如果不可约多项式()p x 是()f x 的k 重因式(1)k ≥，则()p x 是(1)(),(),,()k f x f x f x -'的因式，但不是()()k f x 的因式。
推论2不可约多项式()p x 是()f x 的k 重因式(1)k ≥⇔()p x 是()f x 与()f x '的公因式。
推论3：()1)(),()()(='⇔'x f x f x f x f 没有重因式与3、去掉重因式的方法：若1212()()()()s r r r s f x cp x p x p x =，则()1211112(),()()()()s r r r s f x f x p x p x p x ---'=。
于是()12()()()()(),()s f x cp x p x p x f x f x ='例1 判断下列多项式在有理数域上是否有重因式，若有，则求出重因式并确定重数。
)1( 1)(24++=x x x f ；)2( 277251815)(2346+-++-=x x x x x x f . 解：)1( x x x f 24)(3+='，而1))(),((='x f x f ，所以)(x f 无重因式。
)2( 7210224606)(235-++-='x x x x x f ，由辗转相除法得 )3()1())(),((2+-='x x x f x f 从而1-x 是)(x f 的三重因式，3+x 是)(x f 的二重因式。
例2 求1)(24++=Bx Ax x f 有重因式的条件，并确定重数。
解：当0=A 时，多项式12+Bx 显然没有重因式。
不妨设0≠A 。
Bx Ax x f 24)(3+='对)(),(x g x f 作辗转相除法得12141)()(2++=Bx x x g x f x BA B x B A Bx x g 428)121()(22-++= 如果)(x f 有重因式，则必有042=-BA B ，重因式为22+Bx ，且重数为二。
作业：15、16（1）、17、18、23。