因式分解定理
§5 因式分解定理 §6 重因式
教学目的：把多项式分解为不可约因式的乘积
教学重点：不可约多项式 重因式
课时：4
教学方式：讲授式
教学内容：
一、不可约多项式
1、定义：数域P 上次数1≥的多项式)(x p 称为不可约多项式，如果)(x p 不能表成数域P 上的两个次数比)(x p 低的多项式的乘积。
问：为什么一定要强调数域P 呢
例：
上不可分了
在复数域上不可分了在实数域上不可分了
在有理数域C i x i x x x R x x x Q x x x )2)(2)(2)(2()2)(2)(2()2)(2(42224+-+-=++-=+-=-
注：1、不可约多项式)(x p ，的因式只有非零常数c 与自身的非零常数倍。 2、)(x p 与任意多项式)(x f 之间的关系只可能有两种关系：或者)(|)(x f x p ，或者1))(),((=x f x p 。事实上，若)())(),((x d x f x p =，那么)(|)(x p x d ，所以1)(=x d 或者)()(x cp x d =。
2、重要性质（定理5）：
（1）)()()()(),()()(],[)(),(,)(x g x p x f x p x g x f x p x P x g x f x p 或则若对不可约若∈?
（2）{}s i x f x p x f x f x f x p x p i s ,,2,1,)()(),()()()(,)(21 ∈对某个则若不可约
二、因式分解及唯一性定理
数域P 上每一个次数1≥的多项式)(x f 均可分解成数域P 上一些不可约多项式的乘积。所谓唯一性是指，如果)(x f 有两个分解式
)()()()()()()(2121x q x q x q x p x p x p x f t s ==
则必有t s =且适当排列因式的次序后有
s i c x q c x p i i i i ,,2,1,0),()( =≠=其中
证明：先证分解式的存在性。我们对)(x f 的次数作用数学归纳法。 01、因为一次多项式都是不可约的，所以1=n 时结论成立。
02、设n x f =?))((，并假设结论对于次数低于n 的多项式已经成立。 如果)(x f 是不可约多项式，结论是显然的，无妨设)(x f 不是不可约的，即有
)()()(21x f x f x f =，n x f
由归纳假设)(1x f 和)(2x f 都可以分解成数域P 上一些不可约多项式的乘积。把)(1x f ，)(2x f 的分解式和起来就得到)(x f 的一个分解式。
由归纳法原理，结论普遍成立。
再证唯一性。设)(x f 可以分解成不可约多项式的乘积 )()()()(21x p x p x p x f s =
如果)(x f 还有另一个分解式
)()()()(21x q x q x q x f t =
其中)(x q i ),...,2,1(t i =都是不可约多项式，于是
)()()()()()()(2121x q x q x q x p x p x p x f t s == )1(
我们对s 作归纳法。当1=s ，)(x f 是不可约多项式，由定义必有
t s =
且
)()()(11x q x p x f ==。 现在设不可约多项式的个数为1-s 时唯一性已证。
由)1(，)()()(|)(211x q x q x q x p t ，因此)(1x p 必能整除其中的一个，无妨设
)(|)(11x q x p
因为)(1x q 也是不可约多项式，所以
)()(11x cq x p = )2(
在)1(式两边消去)(1x q ，就有
)()()()()(21112x q x q x q c x p x p t s -=
由归纳法假设，有
11-=-t s ，即t s =， )3(
并且适当排列次序之后有
)()(21122x q c c x p -'=，即)()(222x q c x p = ),...,3)(()(s i x q c x p i i i == )4(
)4(),3(),2(合起来即为所要证的。
三、标准分解式，
1、标准分解式
把)(x f 的分解式中不可约多项式都化为首一不可约多项式，并且把相同因式的乘积写成幂的形式：
)()()()(2121x p x p x cp x f s r s r r =
+∈Z
r r r x p x p x p x f c s s ,,, 1 )(,),(),()(2121 多项式，的不可约是不同的首项系数为的首项次数，是其中
最小公倍式
定义：多项式)(x m 称为)(x f 与)(x g 的最小公倍式，如果
1、)(|)(x m x f ，)(|)(x m x g ；
2、若)(|)(x m x f '，)(|)(x m x g '，则有)(|)(x m x m '。
命题：设)(),(x g x f 是两个非零多项式，则 )()())(),()]((),([x g x f x g x f x g x f =
证明：设)())(),((x d x g x f =，则)()()(1x f x d x f =，)()()(1x g x d x g =，并且1))(),((=x g x f 。于是
)1()(|)(x m x f ，)(|)(x m x g ；（)()()(1x m x g x f =或)()()(1x m x f x g =）。
)2(若)(|)(),(|)(x m x g x m x f ''，我们证明)(|)(x m x m '。 )()()(),()()(21x q x g x m x q x f x m ='='
可得)()()()(2111x q x g x q x f =，由于1))(),((=x g x f ，所以)(|)(11x q x g 。设)()()(311x q x g x q =，则有
)()()()()()()()(3313x q x m x q x g x f x q x f x m ==='
于是)(x m 是)(x f 与)(x g 的最小公倍式。
2、多项式)(),(x g x f 的最大公因式的求法二
把)(),(x g x f 写成标准分解式，())(),(x g x f 就是同时在)(),(x g x f 的标准分解式中出现的不可约多项式方幂的乘积，所带的方幂指数等于)(),(x g x f 中所带的方幂较小的那一个。
四、重因式
1、定义：
不可约多项式)(x p 称为多项式)(x f 的k 重因式，如果)(|)(x f x p k ，而)(1x p k +不能整除)(x f ，此时记作)(||)(x f x p k 。
注：当0=k 时，)(x p 根本不是)(x f 的因式；
当1=k 时，)(x p 是)(x f 的单因式； 当1>k 时，称)(x p 是)(x f 的重因式。
2、如何判断一个多项式有无重因式
方法一：可用标准分解式。（不常用）
方法二：用微商
设有多项式
0111......)(a x a x a x a x f n n n n ++++=--，
我们规定它的微商是
1211......)1()(a x a n x na x f n n n n ++-+='---。
微商的基本运算规则
='+))()((x g x f )()(x g x f '+'；
)())((x f c x cf '='；
)()()()())()((x g x f x g x f x g x f '+'='； )()())((1x f x mf x f m m '='-。
其理论依据为
定理6 如果不可约多项式()p x 是()f x 的k 重因式(1)k ≥ ，则()p x 是()f x '的1k -重因式。
推论 1 如果不可约多项式()p x 是()f x 的k 重因式(1)k ≥，则()p x 是
(1)(),(),
,()k f x f x f x -'的因式，但不是()()k f x 的因式。 推论2不可约多项式()p x 是()f x 的k 重因式(1)k ≥?()p x 是()f x 与()f x '的公因式。
推论3：()1)(),()()(='?'x f x f x f x f 没有重因式与
3、去掉重因式的方法：
若1212()()()()s r r r s f x cp x p x p x =，则()1211112(),()()()()s r r r s f x f x p x p x p x ---'=。
于是
()12()()()()(),()s f x cp x p x p x f x f x ='
例1 判断下列多项式在有理数域上是否有重因式，若有，则求出重因式并确定重数。
)1( 1)(24++=x x x f ；
)2( 277251815)(2346+-++-=x x x x x x f . 解：)1( x x x f 24)(3+='，而1))(),((='x f x f ，所以)(x f 无重因式。
)2( 7210224606)(235-++-='x x x x x f ，由辗转相除法得 )3()1())(),((2+-='x x x f x f 从而1-x 是)(x f 的三重因式，3+x 是)(x f 的二重因式。
例2 求1)(24++=Bx Ax x f 有重因式的条件，并确定重数。
解：当0=A 时，多项式12+Bx 显然没有重因式。不妨设0≠A 。 Bx Ax x f 24)(3+='
对)(),(x g x f 作辗转相除法得
12141)()(2++=Bx x x g x f x B
A B x B A Bx x g 428)121()(22-++= 如果)(x f 有重因式，则必有042=-B
A B ，重因式为22+Bx ，且重数为二。 作业：15、16（1）、17、18、23。