第三讲-多边形的面积(等积变形)

第三讲多边形的面积（等积变形）

知识概述

三角形面积的公式是底×高÷2，两个三角形只要是底和高分别相等，它们的面积就相等，而这两个三角形的形状不一定完全相同，例如，下面的两个三角形面积就是相等的。

在解答一些平面图形的面积时，我们可以2等底等高两个三角形面积相等的方法来解答。

例题精学

例1四边形ABCD中，M为AB的中点，N为CD的中点，如果四边形ABCD的面积时80平方厘米，求阴影部分的面积时多少平方厘米。

思路点拨图中阴影部分BNDM是一个不规则的四边形，不能直接求出它的面积。如果用一条对角线BD将四边形ABCD分成两个三角形。（如右图所示）。在△

ABD和△BDC中，由于M，N分别是AB，CD的中点，根据等底等高

三角形面积相等的道理，可知S△AMD=S△MBD，Ｓ△ＤＮＢ＝Ｓ△ＣＮＢ。所

以阴影部分的面积与空白部分的两个三角形的面积之和相等。

同步精练

１.如图，六边形ＡＢＣＤＥＦ的面积时１６平方厘米，Ｍ，Ｎ，Ｐ，Ｑ分别是ＡＢ，ＣＤ，ＤＥ，ＡＦ，的中点，求图中阴影部分的面积。

２.如图，平行四边形的面积为５０平方厘米，Ｐ是期中任意一点，求

阴影面积

３.如图，正方形的边长是６厘米，Ｅ，H是所在边的二等分点，F，G，L，M是所在边的三等分点，求阴影部分的面积和。

例2如下图，三角形ABC为等边三角形，D为AB边上的中点。已知三

角形BDF的面积为5平方厘米。求等边三角形ABC的面积。

思路点拨我们在三角形ABC的AC边上取中点F，BC边上取中点G，然后连接DF，FG，GD（如右图）。

我们看到，三角形ADF，BDG，FGC，GFD为四个完全一样的等边三角形。因为DE为△DBG底BG上的高，所以S△DBE=Ｓ△ＤＧＥ。由此，我们可以想到三角形ＡＢＣ的面积是三角形ＤＢＥ面积的８倍

同步精练

１.如图，平行四边形ＡＢＣＤ中，ＡＥ＝ＥＦ＝ＦＢ，ＡＧ＝２ＣＧ，三角形ＧＥＦ的面积是６平方厘米，平行四边形的面积

时多少平方厘米？

２.如图，已知长方形ＡＢＣＤ，三角形ＡＢＧ的面积为２０平方厘米，三角形ＣＤＱ的面积为３５平方厘米，求阴影部分的面

积时多少平方厘米？

３.如图，在一个等边三角形中任意取一点Ｐ，连接ＰＡ，ＰＢ，ＰＣ，过Ｐ点作三角形三边的垂线，Ｅ，Ｆ，Ｇ分别为垂足。三角

形ＡＢＣ被分成６个三角形。已知三角形ＡＢＣ的面积为４０平

方厘米，求图中阴影部分的面积。

例３下图中正方形ＡＢＣＤ的边长是４厘米，长方形ＤＥＦＧ的长ＤＧ＝５厘米，问长方形的宽ＤＥ为多少厘米？

思路点拨因为长方形面积＝长×宽，现在已知长方形ＤＥＦＧ的长

ＤＧ是５厘米，要求宽ＤＥ的长度，就要求出长方形ＤＥＦＧ的面积。而正方形的面积可以求出，长方形的面积与正方形的面积有什么关系呢？

观察长方形和正方形的重叠部分可以发现，如果连接ＡＧ，则三角形ＡＧＤ的面积既是正方形面积的一半，也是长方形面积的一半，这样就可以说明正方形的面积和长方形的面积相等。

同步精练

１.如图，两个相同的直角三角形叠放在一起，求阴影部分的面积。（单位：分米）

２.如图，ＡＢＣＤ为长方形，ＡＢ＝１０厘米，ＢＣ＝６厘米，Ｅ，Ｆ分别为ＡＢ，ＡＤ的中点，且ＦＧ＝２ＧＥ。求阴影部

分的面积。

３.如图，ＡＢＣＤ是直角梯形，其中ＡＤ＝１２厘米，ＡＢ＝８厘米，ＢＣ＝１５厘米，且三角形ＡＤＥ、四边形DEBF及三

角形CDF的面积相等，三角形EBF（阴影部分）的面积是多少

平方厘米？

例3下图是两个正方形拼成的图形，其中小正方形的边长是4厘米，求阴影部分的面积。

思路点拨在上一讲我们曾经做过已知大、小两个正方形的边长再求图中阴影部分面积的题目。而现在只知道小正方形的边长，又该如何求阴影部分的面积呢？

如上图，我们可以连接AC，S△AGC=GC×AB÷2，S△ACE=CE×AD÷2，GC和CE都是小正方形的边长，AB和AD都是大正方形的边长，所以S△AGC=S△ACE。而这两个三角形分别去掉它们的共同部分（△ACH），则它们剩下的部分也应相等，即S△AGH=S△CEH。这样原图中阴影部分就可以转化为△GCE的面积，而S△GCE等于小正方形面积的一半。

同步精练

１.如果下图中大正方形的边长是6分米，求阴影部分的面积。

２.如图，AD=2AB，CF=3AC，BE=4BC，已知△ABC的面积为5平方厘米，求△DEF的面积。

３.如图，AE=ED，AF=FC，已知△ABC的面积为90平方厘米，求阴影部分的面积。

练习卷

1. 如图，在平行四边形ABCD中，EF与AC平行，如果三角形BFC的面积是35平方厘米，那么三角形AEB的面积能不能确定？如果能，它的面积是多少？

2. 在三角形ABC中，AD垂直于BC，CE垂直于AB，AD=8厘米，CE=7厘米，AB+BC=21厘米，求三角形ABC的面积。

3. 如图，AB=6厘米，BC=4厘米，AC=2CD，BE=BD，求三角形ADE的面积。

4. 如图，三角形ABC的面积是30平方厘米，D是BC的中点，AE的长是ED的2倍，求三角形CDE的面积。

5. 三角形ABC的面积是180平方厘米，D是BC的中点，AD

的长是AE长的3倍，EF的长是BF的3倍，求三角形AEF的

面积。

6. 下图中，正方形ABCD的边长是12厘米，P是AB边上任意一点，M,N,I,H分别是BC，AD的三等分点，E,F,G是CD的四等分点，求图中阴影部分的面积。

7. 正三角形ABC的边长为12厘米，BD，DE，EF，FG四条线段把它的面积5等分，求AF，FD，DC，AG，GE，EB的长。

8. 下图中，BD=2DC，AE=BE，已知三角形ABC的面积是

18平方厘米，求四边形AEDC的面积等于多少平方厘米。