一、三角形的等积变形

一、三角形的等积变形

①等底等高的两个三角形面积相等。

②底在同一条直线上并且相等，该底所对的角的顶点是同一个点或在与底平行的直线上，这两个

三角形面积相等。

③若两个三角形的高(或底)相等，其中一个三角形的底(或高)是另一个三角形的几倍，那么这个三

角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。

【例1】

如右图，已知在△ABC中，BE＝3AE，CD＝2AD。若△ADE的面积为1平方厘米。求三角形ABC的面积。

二、鸟头模型

在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点如图⑴(或D在BA的延长线上，E在AC上)，

则S△ABC∶S△ADE＝(AB×AC)∶(AD×AE)

【例2】

如图，三角形ABC的面积是308，D，E，F分别为三角形三边上的点。其中AD∶CD＝5∶3，BF∶CF＝4∶7，AE∶BE＝1∶6。问：阴影部分的小三角形的面积是多少

必备几何模型

【例3】

如图，三角形两边上的点都是各边上的五等分点。问：阴影部分与空白部分的面积比为多少

三、相似三角形性质(沙漏模型)：

①AD AE DE AF AB AC BC AG ===

②S△ADE∶S△ABC＝AF2∶AG2

所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：

⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；

⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；

【例4】

如图，在平行四边形ABCD中，直线CF交AB于E，交DA延长线于F，若S△ADE＝1，求△BEF的面积。

四、蝴蝶模型

任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)

①S1×S3＝S2×S4

②AO∶OC＝(S1＋S2)∶(S4＋S3)

①S1∶S3＝a2∶b2

②S1∶S2∶S3∶S4＝a2∶ab∶b2∶ab

③梯形面积S的对于份数是(a＋b)2

【例5】

如图面积为12平方厘米的正方形ABCD中，E、F是BC边上的三等分点，求阴影部分的面积。

【例6】

在直角梯形ABCD中，AB＝15厘米，AD＝12厘米，阴影部分的面积为15平方厘米。梯形ABCD的面

积是多少平方厘米

测试题

1．如右图，在平行四边形ABCD 中，直线CF 交AB 于E ，交DA 延长线于F ，若S △ADE ＝1，求△BEF 的面积。 A ． B ．1

C ．

D ．2

2．(北京市第八届“迎春杯”数学竞赛决赛第一题第4题)如右图BE ＝

31BC ，CD ＝4

1

AC ，那么三角形AED 的面积是三角形ABC 面积的______。

D

E

C

B

A

A ．1

2

B ．

45

C ．

23

D ．

13

3．如图，已知长方形ADEF 的面积是16，三角形ADB 的面积是3，三角形ACF 的面积是4，那么三角

形ABC 的面积是____。

A

B

C

D E

F A．3 B．C．D．8

4．如图，四边形ABCD中，AC和BD相交于O点，三角形ADO的面积＝5

，三角形DOC的面积＝4，三角形AOB的面积＝15，求三角形BOC的面积是多少

A．10 B．12 C．14 D．15

5．梯形ABCD的上底长为3厘米，下底长为9厘米，而三角形ABO的面积为12平方厘米。则整个梯形的面积为多少

A．56 B．60 C．64 D．72

6．如下图，一个长方形被一些直线分成了若干个小块，已知三角形ADG的面积是11，三角形BCH的面积是23，求四边形EGFH的面积。

A．12 B．32 C．34 D．40