一、三角形的等积变形
三角形等积变形
三角形的等积变形是指保持三角形面积不变的情况下，通过改变其形状而产生的变化。
以下是一些常见的三角形等积变形：1.直角三角形的等积变形：可以通过改变直角三角形的两条直角边的长度来实现等积变形。
例如，将直角三角形的两条直角边同时缩放，或保持一个直角边不变，将另一条直角边拉长或缩短，以使面积保持不变。
2.等边三角形的等积变形：等边三角形的边长相等，可以通过改变等边三角形的边长来实现等积变形。
可以将等边三角形的边长同时拉长或缩短，使得面积保持不变。
3.锐角三角形的等积变形：对于锐角三角形，可以通过改变其两条边长和夹角的关系来实现等积变形。
可以保持其中一条边不变，改变另一条边的长度和夹角的大小，以使面积保持不变。
4.钝角三角形的等积变形：钝角三角形也可以通过改变边长和夹角的关系来进行等积变形。
可以保持其中一条边不变，改变另一条边的长度和夹角的大小，使面积保持不变。
这些是一些常见的三角形等积变形的示例。
以下是一些额外的例子：1.等腰三角形的等积变形：等腰三角形的两条边相等，可以通过改变等腰三角形的边长和顶角的大小来实现等积变形。
可以保持其中一条边不变，改变另一条边的长度和顶角的大小，使面积保持不变。
2.不等边三角形的等积变形：对于不等边三角形，可以通过同时改变三条边的长度来实现等积变形。
保持三条边的比例关系不变，但同时拉长或缩短三条边的长度，使面积保持不变。
3.相似三角形的等积变形：相似三角形具有相似的形状但尺寸不同，可以通过改变相似三角形的比例尺寸来实现等积变形。
保持两个相似三角形的比例关系不变，但同时缩放整个三角形的尺寸，使面积保持不变。
第十讲 等积变换
◆ 孩子的未来 ◆第十讲 等积变换知识要点1．等积形：面积相等的两个图形称为等积形。
2．三角形的等积变形：三角形的等积变形指的是使三角形面积相等的变换。
3．三角形面积计算公式： S △=底×高÷24．三角形等积变形中常用到的几个重要性质： ⑴ 平行线间的距离处处相等。
⑵等底等高的两个三角形面积相等。
⑶底在同一条直线上并且相等，它们所对的角的度数是同一个，这样的两个三角形面积相等。
⑷若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。
⑸若几个三角形的底边相等，并在两条平行线中的同一直线上，而且相等的底边所对的顶点在两条平行线中的另一条上，则这几个三角形面积相等。
5．解答三角形面积变形题目时常用到以下两条重要结论。
⑴等底等高的三角形面积相等。
⑵如果甲、乙两个三角形的高（底）相等，而甲的底（高）是乙的底（高）的几倍，则甲的面积一定是乙的面积的几倍。
典型例题例1 在三角形ABC 中（如图），3BD=DC ，阴影部分的面积是220dm 。
求三角形ABC 的面积。
ABC◆ 孩子的未来 我们的一切例2 在三角形ABC 中（如图），DC=2BD ，CE=3AE ，阴影部分的面积是20平方厘米。
求三角形ABC 的面积。
例3 △ABC 中，D 、E 为BC 边的三等分点，M 、N 分别为AE 、AC 的中点。
若22cm S MNC =∆，求=∆ABC S ？例4 下图长方形ABCD 的面积是32平方厘米，DE=3AE ，F 是CD 中点，求△BEF 的面积。
例5 已知三角形ABC 面积为8，2BD=AB ，BE=CE ，求三角形DBE 的面积。
图10-2D E C图10-3CFD 图10-4◆ 孩子的未来 我们的一切 ◆例6 右图中的三角形A ＇B ＇C ＇是把三角形ABC 的AB 延长1倍到B ＇，把BC 延长2倍到C ＇，把CA 延长3倍到A ＇，三角形A ＇B ＇C ＇的面积是三角形ABC 的多少倍？随堂小测1．求下列各图中阴影部分的面积。
【小升初专项训练】04 等积变形
第5讲等积变形第一关三角形的等积变形【例1】如图，在等腰直角三角形ABC中，已知AB的长是7厘米，那么这个直角三角形的面积为 平方厘米。
【答案】12.25【例2】如图，E、F分别是梯形ABCD两腰上的中点，已知阴影部分的面积是43c㎡，那么梯形ABCD 的面积是多少？【答案】172【例3】如图：三条直线互相平行，l1与l3之间的距离是7厘米，l2上AB=4厘米．求阴影部分三角形的面积是多少平方厘米？ 【答案】14【例4】你能看出下面两个阴影部分A与B面积的大小关系吗？（两个长方形面积相等）【答案】A与B的面积相等【例5】如图，在斜边长为20cm的直角三角形ABC中去掉一个正方形EDFB，留下两个阴影部分直角三角形AED和DFC．若AD=8cm，CD=12cm，则阴影部分面积为多少？给出答案并说明你的计算依据．【答案】48【例6】如图，在直角三角形中有一个正方形，已知BD=10厘米，DC=7厘米，阴影部分的面积是多少？【答案】35平方厘米【例7】如图，梯形ABCD的面积是36，下底长是上底长的2倍，阴影三角形的面积是多少？【答案】16【例8】下图中阴影部分甲的面积与阴影部分乙的面积哪个大？【答案】图中甲乙的面积相等【例9】如图，在三角形ABC中，D是BC上靠近C的三等分点，E是AD中点，已知三角形ABC的面积为1，那么图中两个阴影三角形面积之和是多少？【答案】0.4【例10】已知△ABC面积为5，且BD=2DC，AE=ED，求阴影部分面积．要求写出关键的解题推理过程．【答案】2【例11】如图，将一个梯形分成四个三角形，其中两个三角形的面积分别为10与12．已知梯形的上底长度是下底的．请问：阴影部分的总面积是多少？【答案】23【例12】如图，已知梯形ABCD中，CD=10，梯形ABCD的高是4，那么阴影部分的面积是多少。
【答案】20【例13】（1）如图1，阴影部分的面积是多少？（2）如图2，一个长方形长4厘米，宽3厘米．A为长方形内的任意一点，阴影部分的面积是多少？【答案】（1）100；（2）6【例14】如图，在图中△ABE、ADF和四边形AECF面积相等．阴影部分的面积是多少？【答案】15【例15】如图，两个正方形（单位：厘米）中阴影部分的面积是多少平方厘米？【答案】8【例16】由面积为1，2，3，4的矩形拼成如图的长方形，图中阴影部分的面积为多少？【答案】【例17】如图所示，正方形ABCD的对角线BD长20厘米，BDFE是长方形．那么，五边形ABEFD的面积是多少平方厘米。
第十讲 等积变换
◆ 孩子的未来 ◆第十讲 等积变换知识要点1．等积形：面积相等的两个图形称为等积形。
2．三角形的等积变形：三角形的等积变形指的是使三角形面积相等的变换。
3．三角形面积计算公式： S △=底×高÷24．三角形等积变形中常用到的几个重要性质： ⑴ 平行线间的距离处处相等。
⑵等底等高的两个三角形面积相等。
⑶底在同一条直线上并且相等，它们所对的角的度数是同一个，这样的两个三角形面积相等。
⑷若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。
⑸若几个三角形的底边相等，并在两条平行线中的同一直线上，而且相等的底边所对的顶点在两条平行线中的另一条上，则这几个三角形面积相等。
5．解答三角形面积变形题目时常用到以下两条重要结论。
⑴等底等高的三角形面积相等。
⑵如果甲、乙两个三角形的高（底）相等，而甲的底（高）是乙的底（高）的几倍，则甲的面积一定是乙的面积的几倍。
典型例题例1 在三角形ABC 中（如图），3BD=DC ，阴影部分的面积是220dm 。
求三角形ABC 的面积。
ABC◆ 孩子的未来 我们的一切例2 在三角形ABC 中（如图），DC=2BD ，CE=3AE ，阴影部分的面积是20平方厘米。
求三角形ABC 的面积。
例3 △ABC 中，D 、E 为BC 边的三等分点，M 、N 分别为AE 、AC 的中点。
若22cm S MNC =∆，求=∆ABC S ？例4 下图长方形ABCD 的面积是32平方厘米，DE=3AE ，F 是CD 中点，求△BEF 的面积。
例5 已知三角形ABC 面积为8，2BD=AB ，BE=CE ，求三角形DBE 的面积。
图10-2D E C图10-3CFD 图10-4◆ 孩子的未来 我们的一切 ◆例6 右图中的三角形A ＇B ＇C ＇是把三角形ABC 的AB 延长1倍到B ＇，把BC 延长2倍到C ＇，把CA 延长3倍到A ＇，三角形A ＇B ＇C ＇的面积是三角形ABC 的多少倍？随堂小测1．求下列各图中阴影部分的面积。
等积变形(附解答)
三角形的等积变形我们已经掌握了三角形面积的计算公式：三角形面积=底×高÷2这个公式告诉我们：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)．同样若三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)．这说明；当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．本讲即研究面积相同的三角形的各种形状以及它们之间的关系．为便于实际问题的研究，我们还会常常用到以下结论：①等底等高的两个三角形面积相等．②底在同一条直线上并且相等，该底所对的角的顶点是同一个点或在与底平行的直线上，这两个三角形面积相等．③若两个三角形的高(或底)相等，其中一个三角形的底(或高)是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍．它们所对的顶点同为A点，(也就是它们的高相等)那么这两个三角形的面积相等．同时也可以知道△ABC的面积是△ABD或△AEC面积的3倍．例如在图中，△ABC与△DBC的底相同(它们的底都是BC)，它所对的两个顶点A、D在与底BC平行的直线上，(也就是它们的高相等)，那么这两个三角形的面积相等．例如图中，△ABC与△DBC的底相同(它们的底都是BC)，△ABC的高是△DBC 高的2倍(D是AB中点，AB=2BD，有AH=2DE)，则△ABC的面积是△DBC面积的2倍．上述结论，是我们研究三角形等积变形的重要依据．例1、用三种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形．方法2：如右图，先将BC二等分，分点D、连结AD，得到两个等积三角形，即△ABD与△ADC等积．然后取AC、AB中点E、F，并连结DE、DF．以而得到四个等积三角形，即△ADF、△BDF、△DCE、△ADE等积．例2、用三种不同的方法将任意一个三角形分成三个小三角形，使它们的面积比为及1∶3∶4．方法 1：如下左图，将BC边八等分，取1∶3∶4的分点D、E，连结AD、AE，从而得到△ABD、△ADE、△AEC的面积比为1∶3∶4．DE，从而得到三个三角形：△ADE、△BDE、△ACD．其面积比为1∶3∶4．当然本题还有许多种其他分法，同学们可以自己寻找解决．例3、如图，在梯形ABCD中，AC与BD是对角线，其交点O，求证：△AOB与△COD面积相等．证明：∵△ABC与△DBC等底等高，∴S△ABC=S△DBC又∵ S△AOB=S△ABC—S△BOCS△DOC=S△DBC—S△BOC∴S△AOB=S△COD．例4、如图，把四边形ABCD改成一个等积的三角形．分析本题有两点要求，一是把四边形改成一个三角形，二是改成的三角形与原四边形面积相等．我们可以利用三角形等积变形的方法，如右图，把顶点A移到CB的延长线上的A′处，△A′BD与△ABD面积相等，从而△A′DC面积与原四边形ABCD面积也相等．这样就把四边形ABCD等积地改成了三角形△A′DC．问题是A′位置的选择是依据三角形等积变形原则．过A 作一条和DB平行的直线与CB的延长线交于A′点．解：①连结BD；②过A作BD的平行线，与CB的延长线交于A′．③连结A′D，则△A′CD与四边形ABCD等积．例5、如图，已知在△ABC中，BE=3AE，CD=2AD．若△ADE的面积为1平方厘米．求三角形ABC的面积．解法1：连结BD，在△ABD中∵ BE=3AE，∴ S△ABD=4S△ADE=4(平方厘米)．在△ABC中，∵CD=2AD，∴ S△ABC=3S△ABD=3×4=12(平方厘米)．解法2：连结CE，如右图所示，在△ACE中，∵ CD=2AD，∴ S△ACE=3S△ADE=3(平方厘米)．在△ABC中，∵BE=3AE∴ S△ABC=4S△ACE=4×3=12(平方厘米)．例6、如下图，在△ABC中，BD=2AD，AG=2CG，BE=EF=FC=解：连结BG，在△ABG中，∴ S△ADG+S△BDE+S△CFG例7、如右图，ABCD为平行四边形，EF平行AC，如果△ADE的面积为4平方厘米．求三角形CDF的面积．解：连结AF、CE，∴S△ADE=S△ACE；S△CDF=S△ACF；又∵AC与EF平行，∴S△ACE=S△ACF；∴ S△ADE=S△CDF=4(平方厘米)．例8、如右图，四边形ABCD面积为1，且AB=AE，BC=BF，DC=CG，AD=DH．求四边形EFGH的面积．解：连结BD，将四边形ABCD分成两个部分S1与S2．连结FD，有S△FBD=S △DBC=S1所以S△CGF=S△DFC=2S1．同理 S△AEH=2S2，因此S△AEH+S△CGF=2S1+2S2=2(S1+S2)=2×1=2．同理，连结AC之后，可求出S△HGD+S△EBF=2所以四边形EFGH的面积为2+2+1=5(平方单位)．例9、如右图，在平行四边形ABCD中，直线CF交AB于E，交DA延长线于F，若S△ADE=1，求△BEF的面积．解：连结AC，∵AB//CD，∴S△ADE=S△ACE又∵AD//BC，∴S△ACF=S△ABF而 S△ACF=S△ACE+S△AEF∶S△ABF=S△BEF+S△AEF∴ S△ACE=S△BEF∴S△BEF=S△ADE=1．。
三角形的等积变形
三角形的等积变形一、等积变形【例1】★★★三个正方形ABCD，BEFG，HKPF如图所示放置在一起，图中正方形BEFG 的周长等于14厘米。
求图中阴影部分的面积。
二、倍比关系【例2】★★★如图，有四个长方形的面积分别是1平方厘米、2平方厘米、3平方厘米和4平方厘米，组合成一个大的长方形，求图中阴影部分的面积。
【几个重要的模型】模型一：同一三角形中，相应面积与底的正比关系：即：两个三角形高相等，面积之比等于对应底边之比。
bS1︰S2 =a︰b ；模型一的拓展：等分点结论（“鸟头定理”）如图，三角形AED占三角形ABC面积的23×14=16模型二：任意四边形中的比例关系（“蝴蝶定理”）S 4S 3s 2s 1O DCBA①S 1︰S 2=S 4︰S 3 或者S 1×S 3=S 2×S 4 ②AO ︰OC=（S 1+S 2）︰（S 4+S 3） 模型三：梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理”）①S 1︰S 3=a 2︰b 2②S 1︰S 3︰S 2︰S 4= a 2︰b 2︰ab ︰ab ; ③S 的对应份数为（a+b ）2模型四：相似三角形性质hh H cb a CB Aac b HC BA①a b c hA B C H=== ; ②S 1︰S 2=a 2︰A 2模型五：燕尾定理S △ABG ：S △AGC ＝S △BGE ：S △GEC ＝BE ：EC ； S △BGA ：S △BGC ＝S △AGF ：S △GFC ＝AF ：FC ； S △AGC ：S △BCG ＝S △ADG ：S △DGB ＝AD ：DB ；F D CBAS 4S 3s 2s 1ba。
小学四年级奥数题三角形的等积变形及答案【三篇】
小学四年级奥数题三角形的等积变形及答案【三篇】【第一篇】1. 三角形把一个等边三角形分别分成8块和9块形状、大小都一样的三角形.分析分成8块的方法是：先取各边的中点并把它们连接起来，得到4个大小、形状相同的三角形，然后再把每一个三角形分成一半，得到如下左图所示的图形.分成9块的方法是：先把每边三等分，然后再把分点彼此连接起来，得到加上右图所示的符合条件的图形.2.比较比较下面两个积的大小：A＝987654321×123456789，B＝987654322×123456788.分析经审题可知A的第一个因数的个位数字比B的第一个因数的个位数字小1，但A的第二个因数的个位数字比B的第二个因数的个位数字大1.所以不经计算，凭直接观察不容易知道A和B哪个大.但是无论是对A或是对B，直接把两个因数相乘求积又太繁，所以我们开动脑筋，将A和B先进行恒等变形，再作判断.解： A＝987654321×123456789＝987654321×（123456788＋1）＝987654321×123456788＋987654321.B＝987654322×123456788＝（987654321＋1）×123456788＝987654321×123456788＋123456788.因为 987654321＞123456788，所以 A＞B.【第二篇】如图，四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，已知三角形AFH的面积为6平方厘米，求三角形CDH的面积．三角形面积答案：通常求三角形的面积，都是先求它的底和高．题目中没有一条线段的长度是已知的，所以我们只能通过创造等积的方法来求．直接找三角形HDC 与三角形AFH 的关系还很难，而且也没有利用"四边形ABCD和四边形DEFG 是正方形"这一条件．我们不妨将它们都补上梯形DEFH 这一块．寻找新得到大三角形CEF 和大直角梯形DEFA 之间的关系．经过验算，可以知道它们的面积是相等的．从而得到三角形 HDC与三角形AFH面积相等，也是6平方厘米．【第三篇】如下图，BE=2AB，BC=CD。
三角形等积变形
例5 如右图，已知在△ABC中，BE=3AE，CD=2AD．若△ADE 的面积为1平方厘米．求三角形ABC的面积．
解法1：连结BD，在△ABD 中 ∵ BE=3AE， ∴ S△ABD=4S△ADE=4 （平方厘米）． 在△ABC中，∵CD=2AD， ∴ S△ABC=3S△ABD=3×4=12 （平方厘米）．
上述结论，是我们研究三角形等积变形的 重要依据．
方法2：如右图，先将BC二等分，分点D、连结AD， 得到两个等积三角形，即△ABD与△ADC等 积．然后取AC、AB中点E、F，并连结DE、DF．以 而得到四个等积三角形，即△ADF、△BDF、 △DCE、△ADE等积．
例2 用三种不同的方法将任意一个三角形分成 三个小三角形，使它们的面积比为及 1∶3∶4．
三角形等积变形
我们已经掌握了三角形面积的计算公式： 三角形面积=底×高÷2
这个公式告诉我们：三角形面积的大小，取决 于三角形底和高的乘积．
①等底等高的两个三角形面积相等．
例如在右图中，若△ABD与 △AEC的底边相等 （BD=DE=EC=BC） ，它们所对的顶点同为A点， （也就是它们的高相等） 那么这两个三角形的面积 相等． 同时也可以知道△ABC 的面积是△ABD或 △AEC面积的3倍．
证明：∵△ABC与△DBC等 底等高， ∴S△ABC=S△DBC 又∵ S△AOB=S△ABC—S△BOC S△DOC=S△DBC— S△BOC ∴S△AOB=S△COD．
例4 如右图，把四边形ABCD改成一个等积的三角形
分析 本题有两点要求，一是把四边形改成一个三角形，二 是改成的三角形与原四边形面积相等．我们可以利用三角 形等积变形的方法，如右图， 把顶点A移到CB的延长线上的A′处， △A′BD与△ABD面积相等，从而 △A′DC面积与原四边形ABCD面积也 相等．这样就把四边形ABCD等积地 改成了三角形△A′DC．问题是A′位 置的选择是依据三角形等积变形原 则．过A作一条和DB平行的直线与 CB的延长线交于A′点． 解：①连结BD； ②过A作BD的平行线，与CB的 延长线交于A′． ③连结A′D，则△A′CD与四边形 ABCD等积．
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一、三角形的等积变形
①等底等高的两个三角形面积相等。
②底在同一条直线上并且相等，该底所对的角的顶点是同一个点或在与底平行的直线上，这两个
三角形面积相等。
③若两个三角形的高(或底)相等，其中一个三角形的底(或高)是另一个三角形的几倍，那么这个三
角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。
【例1】
如右图，已知在△ABC中，BE＝3AE，CD＝2AD。
若△ADE的面积为1平方厘米。
求三角形ABC的面积。
二、鸟头模型
在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点如图⑴(或D在BA的延长线上，E在AC上)，
则S△ABC∶S△ADE＝(AB×AC)∶(AD×AE)
【例2】
如图，三角形ABC的面积是308，D，E，F分别为三角形三边上的点。
其中AD∶CD＝5∶3，BF∶CF＝4∶7，AE∶BE＝1∶6。
问：阴影部分的小三角形的面积是多少
必备几何模型
【例3】
如图，三角形两边上的点都是各边上的五等分点。
问：阴影部分与空白部分的面积比为多少
三、相似三角形性质(沙漏模型)：
①AD AE DE AF AB AC BC AG ===
②S△ADE∶S△ABC＝AF2∶AG2
所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：
⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；
⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；
【例4】
如图，在平行四边形ABCD中，直线CF交AB于E，交DA延长线于F，若S△ADE＝1，求△BEF的面积。
四、蝴蝶模型
任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)
①S1×S3＝S2×S4
②AO∶OC＝(S1＋S2)∶(S4＋S3)
①S1∶S3＝a2∶b2
②S1∶S2∶S3∶S4＝a2∶ab∶b2∶ab
③梯形面积S的对于份数是(a＋b)2
【例5】
如图面积为12平方厘米的正方形ABCD中，E、F是BC边上的三等分点，求阴影部分的面积。
【例6】
在直角梯形ABCD中，AB＝15厘米，AD＝12厘米，阴影部分的面积为15平方厘米。
梯形ABCD的面
积是多少平方厘米
测试题
1．如右图，在平行四边形ABCD 中，直线CF 交AB 于E ，交DA 延长线于F ，若S △ADE ＝1，求△BEF 的面积。
A ． B ．1
C ．
D ．2
2．(北京市第八届“迎春杯”数学竞赛决赛第一题第4题)如右图BE ＝
31BC ，CD ＝4
1
AC ，那么三角形AED 的面积是三角形ABC 面积的______。
D
E
C
B
A
A ．1
2
B ．
45
C ．
23
D ．
13
3．如图，已知长方形ADEF 的面积是16，三角形ADB 的面积是3，三角形ACF 的面积是4，那么三角
形ABC 的面积是____。
A
B
C
D E
F A．3 B．C．D．8
4．如图，四边形ABCD中，AC和BD相交于O点，三角形ADO的面积＝5
，三角形DOC的面积＝4，三角形AOB的面积＝15，求三角形BOC的面积是多少
A．10 B．12 C．14 D．15
5．梯形ABCD的上底长为3厘米，下底长为9厘米，而三角形ABO的面积为12平方厘米。
则整个梯形的面积为多少
A．56 B．60 C．64 D．72
6．如下图，一个长方形被一些直线分成了若干个小块，已知三角形ADG的面积是11，三角形BCH的面积是23，求四边形EGFH的面积。
A．12 B．32 C．34 D．40。