六年级奥数重叠问题

六年级奥数重叠问题标准化管理部编码-[99968T-6889628-J68568-1689N]

第十二讲重叠问题姓名

容斥原理就是：在计数时，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。

公式法：

运用容斥原理一：C＝A＋B－AB，这一公式可计算出两个集合圈的有关问题（C表示两个集合的并集，A、B表示两个集合，AB表示两个集合的交集）。

运用容斥原理二：D＝A＋B＋C－AB－AC－BC＋ABC，这一公式可计算出三个集合的有关问题。（D表示三个集合的并集，A、B、C表示三个不同的集合，AB、AC、BC表示两个不同集合的交集，ABC表示三个集合的交集）

图象法：

根据题意画图，并借助图形帮助分析，逐个地计算出各个部分，从而解答问题。

例1：某班40位同学在一次数学测验中，答对第一题的有23人，答对第二题的有27人，两题都答对的有17人，问有几个同学两题都不对

例2：某班有学生48人，其中21人参加数学竞赛，13人参加作文竞赛，有7人既参加数学竞赛又参加作文竞赛。那么

（1）只参加数学竞赛的有多少人

（2）参加竞赛的一共有多少人

（3）没有参加竞赛的一共有多少人

例3：某校有三个兴趣小组，体育、书法和美术。已知参加这三个兴趣小组的学生人数分别是25人、24人和30人。同时参加体育、书法兴趣小组的有5人，同时参加体育、美术兴趣小组的有2人，同时参加书法、美术兴趣小组的有4人，有1人同时参加了这三个兴趣小组，问：共有多少人参加兴趣小组

例4：某校对五年级100名同学进行学习兴趣调查，结果有58人喜欢语文，有38人喜欢数学，有52人喜欢外语。而且喜欢语文和数学(但不喜欢外语)的有6人，喜欢数学和外语(但不喜欢语文)的有4人，三科都喜欢的有12人，而且每人至少喜欢一科。问有多少同学只喜欢语文

例5：分母是1001的最简真分数有多少个它们的和是多少

例6：某商店调查该商店出售的A、B两种商品销售情况，在被调查的家庭对象中，有1/3不用A商品，有4/7不用B商品，另外有22家既用A商品也用B商品，有1/6的家庭则两种产品都没有用，问该商店共调查了多少户家庭

例7：某班学生中78%喜欢游泳，80%喜欢玩游戏机，84%喜欢下棋，88%喜欢看小说。该班学生中同时有四种爱好的学生所占的最小百分比应是多少

练习

1、一批教师中，会英语的有65人，会俄语的有58人，会日语的有51人，既会英语又会俄语的有21人，既会英语又会日语的有19人，既会俄语又会日语的有17人，三种都会的有5人，三种都不会的有8人。这批教师共有多少人

2、某班有36个同学，在一次测验中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人，那么两题都不对的有多少人

3、分母是105的最简真分数，共有多少个

4、在1～1000的自然数中，不能被5或7整除的数共有多少个

5、六年级100名学生，每人至少爱好体育、文艺和科学三项中的一项。其中，爱好体育的有55人，爱好文艺的56人，爱好科学的51人，三项都爱好的15人，只爱好体育和科学的 4人，只爱好体育和文艺的17人。问:有多少人只爱好科学和文艺两项?只爱好体育的有多少人?

6、某校举行数学竞赛，共A,B,C三道题。有110人参加竞赛，每个人至少答对一题,已知答对A题有52人,只答对A题的有16人；答对B题有61人,只答对B题有15人；答对C 题有63人,只答对C题有21人.三道题都答对的有多少人?