选修2-3课件1.3.3《二项式定理的应用》
高中数学选修2-3优质课件：1.3.1 二项式定理
是整数的项.解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具
体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；
③对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非
负整数，求解方式与求有理项一致.
跟踪训练 3 (1)若x－ax9 的展开式中 x3 的系数是－84，则 a＝__1____. 解析 展开式的通项为 Tk＋1＝Ck9x9－k(－a)k1xk＝Ck9·(－a)kx9－2k(0≤k≤9， k∈N). 当9－2k＝3时，解得k＝3，代入得x3的系数，根据题意得C39 (－a)3＝－84， 解得a＝1.
题型探究
类型一 二项式定理的正用、逆用 例 1 (1)求(3 x＋ 1x)4 的展开式.
解答
(2)化简：C0n(x＋1)n－C1n(x＋1)n－1＋C2n(x＋1)n－2－…＋(－1)kCkn(x＋1)n－k＋ …＋(－1)nCnn. 解 原式＝C0n(x＋1)n＋C1n(x＋1)n－1(－1)＋C2n(x＋1)n－2(－1)2＋…＋Ckn (x＋1)n－k(－1)k＋…＋Cnn(－1)n ＝[(x＋1)＋(－1)]n＝xn.
解答
类型二 二项展开式通项的应用
命题角度1 二项式系数与项的系数 例 2 已知二项式(3 x－32x)10. (1)求展开式第4项的二项式系数； 解 (3 x－32x)10 的展开式的通项是
Tk＋1＝Ck10(3 x)10－k(－32x)k＝Ck10310－k(－23)k·x10－23k (k＝0,1,2，…，10).
解答
引申探究
将例1(1)改为求(2x－
1 x2
)5的展开式.
解 方法一 (2x－x12)5＝C05(2x)5－C15(2x)4·x12＋C25(2x)3·(x12)2－C35(2x)2·(x12)3＋
人教B版数学选修2-3课件：1.3.1 二项式定理
【做一做1-1】 (a+b)2n的二项展开式的项数是( )
A.2n
B.n+1
C.2n+1 D.2n-1 解析:因为(a+b)2n中的指数为2n,
所以展开式有2n+1项.
答案:C
【做一做 1-2】 化简:C���0��� (x+1)n-C���1��� (x+1)n-1+…+(-1)rC������������ (x+1)n-
(2)展开式中所有含x的有理项;
(3)展开式中系数最大的项.
分析根据前3项系数成等差数列可求出n值,应用二项展开式的通
项求特定项.
题型一 题型二
解:(1)由题意可知,������n0 + ������n2 ·212=2������n1 ·12,得 n=8.
Tr+1=������8r (
x)8-r·
题型一 题型二
题型一 二项式定理的应用
【例 1】
用二项式定理展开
3
������ +
1 ������
4
.
分析本题可以直接利用二项式定理展开再化简,也可以先化简再 展开.
题型一 题型二
解法一
3
������ +
1 ������
4 = C40
3
������)4 + C41(3
������
3
1 ������
题型一 题型二
(3)设第 k 项的系数 tk 最大, 则有 tk≥tk+1,且 tk≥tk-1,于是
C8������-1·2-������+1 ≥ C8������ ·2-������ , 解得 3≤k≤4. C8������-1·2-������+1 ≥ C8������-2·2-������+2,
人教A版高中数学选修2-3课件1.3.1《二项式定理》
（金戈铁骑 整理制作）
1.1.1 二项式定理 第一课时
1.理解二项式定理及其推导方法，识记二项展开式 的有关特征，并能运用二项式定理计算或证明一些 简单的问题。 2、能力目标：在学生对二项式定理形成过程的参与 探讨过程中，培养学生观察、猜想、归纳的能力， 以及学生的化归意识与知识迁移的能力。
(a+b)2＝(a+b) (a+b) 展开后其项的形式为：a2， ab， b2 这三项的系数为各项在展开式中出现的次数. 考虑b: 每个都不取b的情况有C20种,则a2前的系数为C20 恰有1个取b的情况有C21种，则ab前的系数为C21 恰有2个取b的情况有C22种，则b2前的系数为C22
(a+b)2 = a2 +2ab+b2 ＝C20a2 + C21ab+ C22 b2
a4 a3b a2b2 ab3 b4
C14
C24
C44
尝试二项式定理的发现:
将(a+b)n展开的结果是怎样呢？
每个都不取b的情况有1种,即Cn0 ,则an前的系数为Cn0 恰有1个取b的情况有Cn1种，则an-1b前的系数为Cn1 恰有2个取b的情况有Cn2种，则an-2b2前的系数为Cn2 ...... 恰有k个取b的情况有Cnk种，则an-kbk前的系数为Cnk ...... 恰有n个取b的情况有Cnn种，则bn前的系数为Cnn
Cn0、Cn1、Cn2、 、Cnn
3.指数规律： （1）各项的次数均为n；即为n次齐次式 （2）a的次数由n逐次降到0， b的次数由0逐次升到n.
对定理的再认识
特别地: 1、把b用-b代替
(a-b)n= Cna0n-Cna1n-1b+ … +(-1)rCnanr-rbr
人教版高中数学选修2-3二项式定理 (共16张PPT)教育课件
人
的
一
生
说
白
了
，
也
就
是
三
万
余
天
，
贫
穷
与
富
贵
，
都
是
一
种
生
活
境
遇
。
懂
得
爱
自
己
的
人
，
对
生
活
从
来
就
没
有
过
高
的
奢
望
，
只
是
对
生
存
的
现
状
欣
然
接
受
。
漠
漠
红
尘
，
芸
芸
众
生
皆
是
客
，
时
光
深
处
，
流
年
似
水
，
转
瞬
间
，
光
阴
就
会
老
去
，
留
在
心
头
的
，
只
是
弥
留
在
时
光
深
处
的
无
边
落
寞
。
轻
拥
沧
桑
，
淡
看
流
年
，
掬
一
捧
岁
月
，
握
一
份
懂
得
，
红
尘
口
罗
不
–■
① 项： a 3
a 2b ab 2 b 3
a3kbk
高中数学选修2-3课件1.3.1《二项式定理》课件
(a b)n ?
…
探究1、 (a+b)4展开后有哪些项？ 各项的系数分别是什么？
(a+b)4= (a+b) (a+b) (a+b) (a+b)
展开后的每一项形式有何提点？
（1）形如： a xb y
次数:各项的次数等于二项式的次数 项数:次数+1
对(a+b)2展开式的分析
(a+b)2＝ (a+b) (a+b) 展开后其项的形式为：a2 ， ab ， b2
这三项的系数为各项在展开式中出现的次数。考虑b
每个都不取b的情况有1种，即C20 ,则a2前的系 数为C20 恰有1个取b的情况有C21种，则ab前的系数为C21 恰有2个取b的情况有C22 种，则b2前的系数为C22
(a b)2
C 20a 2
C
1 2
ab
C
2 2
b2
(a b)3
C
0a
3
3
C
1 3
a
2b
C
2 3
ab2
C33 b3
(a
b)4
C 40a 4
C
1 4
a
3b
C 42a 2b2
C43ab3
C44b4
(a b)n ?
探究2：请分析(a b)n的展开过程
(a b)n (a b)( ab )(ab)
求a1+a3+a5+a7+…+a199 的值。
例7、若 ( x+ 1 )n 展开式中前三项系数成等差 24 x
高二数学,人教A版选修2-3,二项式定理 课件
1．能用计数原理证明二项式定理．
2．掌握二项式定理和二项展开式的通项公式．
3．能解决与二项式定理有关的简单问题．
[ 问题 1] [提示1]
我们在初中学习了 (a ＋ b)2 ＝ a2 ＋ 2ab ＋ b2 ，试用 (a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，(a＋b)4＝a4＋4a3b
1．在(x－ 3)10的展开式中，x6的系数是( A．－27C6 10 C．－9C6 10 B．27C6 10 D．9C6 10
)
4 4 6 解析： x6的系数为C4 · ( － 3) ＝ 9· C ＝ 9· C 10 10 10.
答案： D
2．二项式 x－
1 8 的展开式中的第6项为( x 1 B．28x2 1 D．56x2
方法二：
x－ 2
1
1 4 2x－14 4 ＝ ＝ (2 x － 1) 2 2 x 16x x
1 ＝16x2(16x4－32x3＋24x2－8x＋1) 3 1 1 ＝x －2x＋2－2x＋16x2.
2
[规律方法]
熟记二项式(a＋b)n的展开式，是解决此类问
对二项展开式的几点认识 (1)二项展开式的特点 ①项数：n＋1项； ②指数：字母a，b的指数和为n，字母a的指数由n递减到 0，同时，字母b的指数由0递增到n； ③二项式系数：下标为n，上标由0递增到n. (2)易错点
r n r r ①通项Tr＋1＝Cn a b 指的是第r＋1项，不是第r项；
－
②某项的二项式系数与该项的系数不是一个概念．
5 2
(2)方法一： 3
1 4 x＋ x
1 1 3 2 2 1 2 3 4 x) · ＋C4(3 x) ＋C4(3 x)· ＋ C 4 x x x
人教B版高中数学(选修2-3)1-3《二项式定理》ppt课件
代入， 令m (12 – r )+ nr = 0，将 n =﹣2m 代入，解得 r = 4 ， ﹣
故T5 为常数项，且系数最大。 为常数项，且系数最大。
T5的系数 ≥ T4的系数 ∴ T5的系数 ≥ T6的系数 4 3 C12 a 8 b 4 ≥ C12 a 9 b 3 即 4 8 4 5 C12 a b ≥ C12 a 7 b 5 8 a 9 解得 ≤ ≤ 5 b 4
相等且同时取得最大值
2 n r n n n n
(3)各二项式系数的和 各二项式系数的和
C + C + C +L + C +L + C = 2
0 n
例1.
在 (2x − 3y )
10
展开式中
1024 1
(1)求二项式系数的和 求二项式系数的和; 求二项式系数的和 (2)各项系数的和 各项系数的和; 各项系数的和
T4 = − C a b
3 4 7
3
系数最小
T =Cab
4 7 3 5
4
系数最大
三、例题讲解： 例题讲解：
3
(1 − x )(1 + x) 的展开式中， x 5 的系数 的展开式中， 例 1 ⑴在
10
是多少？ 是多少？
解：⑴原式= 原式
(1 + x) − x (1 + x) 3 10 5 10 可知 x 的系数是 (1 + x) 的第六项系数与 − x (1 + x)
3、特例： 特例： n 1 2 2 r r n n （1 + x） = 1 + Cn x + Cn x + L + Cn x + L + Cn x
高中数学人教A版选修2-3课件1.3.1 二项式定理ppt版本
题型一
题型二
题型三
题型四
典例透析
反思1.形式简单的二项式展开时可直接利用二项式定理展开,对于 形式较复杂的二项式,在展开之前可以根据二项式的结构特点进行 必要的变形,然后再展开,以使运算得到简化.记准、记熟二项式 (a+b)n的展开式是正确解答与二项式定理有关的问题的前提.
2.逆用二项式定理要注意二项展开式的结构特点,a的指数是从 高到低,b的指数是从低到高,a,b的指数和都相等,如果项的系数是 正负相间,那么是(a-b)n的形式.
⋯+(-1)������C������������ ·(x+1)n-r+…+(-1)������C������������ = [(������ + 1) − 1]������ = ������������.
(3)可设 Sn= C���1��� + 3C���2��� + 9C���3��� + ⋯+3n-1C������������ ,
1 2
8-������ C8������ ������8-43������ (0 ≤k≤8,k∈N).
令
8−
4 3
������
=
0,
得k=6,T7=(-1)6
1 2
8-6 C86
= 7.
(2)展开式的通项为 Tk+1= C9������ ������9 − ������(−������)������
(3)( x − 3 ������)9 展开式中含������的有理项共有_______项.
解析:(1)展开式的通项为 Tk+1= C8������
������ 2
8-������
高中数学选修2-3精品课件：1.3.1 二项式定理
2.二项式系数及通项 (1)(a＋b)n展开式共有 n＋1 项，其中 各项的系数Ckn (k∈{0, 1,2，…，n}) 叫做二项式系数 . (2)(a＋b)n展开式的第 k＋1 项叫做二项展开式的通项，记作 Tk＋1＝ Cknan－kbk .
要点一 二项式定理的正用、逆用 例 1 (1)求(3 x＋ 1x)4 的展开式； 解 方法一 (3 x＋ 1x)4 ＝C04(3 x)4＋C14(3 x)3·1x＋C24(3 x)2·( 1x)2＋C34(3 x)·( 1x)3＋
－1，n为奇数时.
要点二 二项展开式通项的应用 例 2 若( x＋ 1 )n 展开式中前三项系数成等差数列，求：
4 2x (1)展开式中含x的一次项； 解 由已知可得 C0n＋C2n·212＝2C1n·12，即 n2－9n＋8＝0， 解得n＝8，或n＝1(舍去).
Tk＋1＝Ck8(
x)8－k·(
x
(1)求含x2的项的系数；
(2)求展开式中所有的有理项.
解
3
x－ 3 3
n
展开式的通项为Tr1
Cnr
nr
x3
(3)r
r
x3
n2r
Crn (3)r x 3 .
x
第6项为常数项，即r＝5，
n－2r 且 3 ＝0，∴n＝10.
n－2r (1)令 3 ＝2，得
r＝21(n－6)＝2.
故 x2 项的系数为 C210(－3)2＝405.
第一章——
1.3 二项式定理
1.3.1 二项式定理
[学习目标] 1.能用计数原理证明二项式定理. 2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式. 3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
1 预习导学 2 课堂讲义 3 当堂检测
人教A版高中数学选修2-3配套课件：1.3.1 二项式定理
课堂合作探究
KEQIAN YUXI DAOXUE
KETANG HEZUO TANJIU
当堂检测
例 4 试判断 7777-1 能否被 19 整除.
课堂合作探究
KEQIAN YUXI DAOXUE
KETANG HEZUO TANJIU
当堂检测
问题 2:根据问题 1 猜想(a+b)n 的展开式,并简要说明每一项的形成
过程.
提示:(a+b)n=C0 an+C1 an-1b+…+C an-kbk+…+C bn(n∈N*).
因为(a+b)n 由 n 个(a+b)相乘,每个(a+b)中的 a 或 b 都选定后,才能
5,则 a=(
A.-4
).
B.-3
C.-2
D.-1
答案:D
解析:因为(1+x)5 的二项展开式的通项为C5 xr(0≤r≤5,r∈Z),则含 x2
的项为C52 x2+ax·C51 x=(10+5a)x2,所以 10+5a=5,a=-1.
第十六页，编辑于星期日：六点 十五分。
1.3.1
问题导学
二项式定理
KETANG HEZUO TANJIU
预习导引
(2)(x+1)n 的展开式共有 11 项,则 n 等于(
A.9
B.10
C.11
).
D.12
提示:B
(3)
1 7
2的展开式中第
的系数为
提示:21
3 项的二项式系数为
,x 的次数为 5 的项为
-84
,第 6 项
.
-448x5
人教A版高中数学选修2-3课件：1.3.1《二项式定理》PPT(新-)
二项式定理(二)
复习引入
课前热身
赋值法再思考
项与系数 的思考
本课小结
思考三
二项式定理(二)
上节课，我们认识了二项式定理：
1.二项式定理：
(a b)n Cn0an Cn1an1b Cnranrbr Cnnbn
2.通项规律：Tr1 Cnranrbr , (r 0,1, 2, n)第(r+1)项
思考练习:
0 1. 1 3 32 32007 被 4 除所得余数是______.
2.求 (1.05)6 精确到 0.01的近似值. 1.34
3.将 ( x y z)10 展开后,则展开式 x5 y3z2 的项的
系数为(B )
(A) C150C130C120
(B)
C150C
53C
2 2
(C)
1 r
x
解：根据二项式定理，取a＝3x2，b＝－
1 x
∴ (3 x2 1 )10 的通项公式是
x
Tr1 C1r0
3x2
10 r
1 x
r
1
r
C1r0
310 r
20 5r
x2
由题意可知， 20 5r 0 r 8
2
常数项即 x0项.
故存在常数项且为第9项，
常数项T9 1 8 C180 3108 x0 405
81 330 3.求(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)10展开式中x3的系数
4. 9192除以100的余数是＿＿＿＿.
5.若( x + 1 )n = xn +…+ ax3 + bx2 +…+1(n∈N*)，
人教版高中数学人教A版选修2-3第一章：1.3.3二项式定理的应用
探究三
(a b)n (a b)( ab )(ab)
n
①项： a n a n1b a nk bk bn
②系数：
C
0 n
C
1 n
C
k n
C
n n
个(a b)中选b
个(a b)相乘
C
k n
个(a b)中选a
二项式定理
①项数： 共有n＋1项
②次数：各项的次数都等于n， 字母a按降幂排列，次数由n递减到0 , 字母b按升幂排列，次数由0递增到n .
人教A版选修2-3 第一章
1.3.3 二项式定理的应用
探究
请按照乘法的运算律把下列式子展开
(a b)2 a?2 2ab b2
(a b)3 ?(a b)a b(a b)
a3 3a2b 3ab2 b3
(a b)4 (?a b)(a b)(a b)(a b) a4 4a3b 6a2b2 4ab3 b4
思考：
1.试求(x+2y+z)6 的展开式中含 xy2z3 项的系数.
2.若
(ax
1 x
)(2 x
1 x
)5
展开式中的常数项为－40，
则 a= (2016 年理科省质检第 15 题)
变式 1：求 1 2x7 的展开式的倒数第 4 项
题型二：求二项式展开式的特定项
变式 2：求 1 2x7 的展开式的中间两项； 变式 3：思考 1 2x7 展开式的第 4 项与 2x 17 展开式
的第 4 项相同吗？
课堂练习
书本第31页
6
6
书本第 8 项的二项式系数相等，
③二项式系数: ④二项展开式的通项: ⑤a与b之间用加号连接
人教B数学选修2-3课件：第1章1.31.3.1二项式定理
第—章1.31・3・1计数原理二项式定理二项式定理学习目标：1.会证明二项式定理. 的通项公式.（重点）教材整理二项式定理阅读教材P26〜P27例1以上部分，完成下列问题. 二项式定理及相关的概念0微体验0判断(正确的打“J”，错误的打“x”)(1)@+份"展开式中共有〃项.()(2)在公式中，交换°, b的顺序对各项没有影响.()(3)C严是(M 展开式中的第呗.()(4)(o—b)"与(。
+矿的二项式展开式的二项式系数相同.(【解析】(l)x因为(a+b)n展开式中共有〃+1项.(2)X因为二项式的第r+1项C旷H和e+川的展开式的第r+1 项cyv是不同的，其中的°, b是不能随便交换的.(3)X因为C r n a n-r b r是@+份"展开式中的第卄1项.(4)7因为(a-b)n与(a+b)n的二项式展开式的二项式系数都是C；【答案】(1)X (2)X (3)X (4)7啖型ly 二项式定理的正用、逆用(3〕5【例1】⑴用二项式定理展开杯一疋I;(2)化简:C…(x+1 )n—CJ(x+1 )n~1+C…(x+1 )w-2 --------- (—l)'C；Xr+l)n_r + ・・・+(T)"C；；.【精彩点拨】⑴二项式的指数为5,且为两项的和，可直接按二项式定理展开；(2)可先把x+1看成一个整体，分析结构形式，逆用二项式定理求解.=32八曲+讐字+器—話(2)原式=C*x+1)"+C掀+1)" 丫―1)+C偸+1)" ®(—1尸+…+ 0+1 厂(T)「+・・・+C；；(T)〃=心+/丿+(—M=f・规律方进1.展开二项式可以按照二项式定理进行.展开时注意二项式定理的结构特征，准确理解二项式的特点是展开二项式的前提条件.2.对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便.3.对于化简多个式子的和时，可以考虑二项式定理的逆用.对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点，项数，各项黑指数的规律以及各项的系数.…+a+;说+【：期他) 乍牡習胡伴+輿*(1) •【片I 丿3 s I: 3 务+窘H 8h 2+108x +54+l^+4・n r =4+ 10W +54T +12X+1)121岂2+10b +5444(2)JMH1+2C +22C +.:+2n ll (l +2)f 3=.逆??zL—式系数与项的系数问题_____________/ 讥【例2】⑴求二项式6的展开式中第6项的二项式系数和第< 儿丿6项的系数；(2)求”一/的展开式中『的系数.【精彩点拨】利用二项式定理求展开式中的某一项，可以通过二项展开式的通项公式进行求解.【解】⑴由己知得二项展开式的通项为人+1Z 3=(-l)G2f3®AT6=-12-X"\:•第6项的二项式系数为C6=6, 第6项的系数为C%(-1)・2=-12.⑵ 7V+LC旷• V =(-1)圈严「，\儿丿・・・9一2尸3,・••尸3,即展开式中第四项含「，其系-84.数为(-1)£=规律方进1.二项式系数都是组合数C,；(r=0,l,2, n),它与二项展开式中某一项的系数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二项式展开式中“项的系数”这两个概念.2.第厂+1项的系数是此项字母前的数连同符号，而此项的二项式系数为C；；.例如，在(l+2x)7的展开式中，第四项是T4=C^-3(2X)3,其二项式系数是C=35,而第四项的系数是C护=280.2. (l+2r)"的展开式中第六项与第七项的系数相等，求展开式中二项 式系数最大的项和系数最大的项.【解】r 6=CW ，T 7=d(2x)6,依题意有C 沖二C 防，・d=8. ・：(1+2浮的展开式中，二项式系数最大的项为T 5=Ci(2x)4=l 120x 4.设第卄i项系数最尢则有・：5水6.,・r=5 或r=6(Vr=0,1,2, •••：•:系数最大的项为丁6=1792x‘，T7=1792X6.寒型3/ 求展开式中的特定项—匚—一^上 ------- ——----------------（探究问题丿（1〕41.如何求x+f展开式中的常数项？< X）【提示】利用二项展开式的通项卅巾求解，令4—2厂A（山.4X3=0,贝lj r=2,所以*展开式中的常数项为C：=〒=6.2. (a+b)(c+d)展开式中的每一项是如何得到的？【提示】S+b)(c+d展开式中的各项都是由°+0中的每-项分别乘以c+d中的每一项而得到.3.如何求x+;(2x+l)3展开式中含x的项？V兀丿/ \【提示】x+; (2x+1)3展开式中含x的项是由中的x与£分别A) A A与(2x+l)3展开式中常数项C；=l及＜项C S22?=12?分别相乘再把积相加得x・C汁!C(2X)2=X+12X=13X.即|X+』2X+1)3展开式中含x的项为A A J 13x.3r 3 H【例3】已知在二的展开式中，第6项为常数项.⑴求M；(2)求含*项的系数；(3)求展开式中所有的有理项.【精彩点拨】|写出通项小卜隔匚5, x的指数为零T⑴求出〃值IT修正通项公式IT⑵求“项的系教 f考查X 指数为整数f分析求岀k值T(3)写岀有理项【解】通项公式为:T「+1=C；尸(―3 疗』c；；(—3)1 丁.(1)：•第6项为常数项,/I—2rAr=5 时，有=0,即〃=10・10—2丫 1(2)令一=2,得尸尹0—6)=2,・：所求的系数为C W(-3)2=405.•Ed7里SWGO^・霜黑规律方进1.求二项展开式的特定项的常见题型(1)求第P 项,7；=C：T厂+0T；(2)求含/•的项(或#护的项)；(3)求常数项;(4)求有理项.2.求二项展开式的特定项的常用方法⑴对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；(2)对于有理项，一般是先写岀通项公式,其所有的字母的指数恰好都是整数的项.解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；(3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致.3. (1)在(l-?)(l+x)10的展开式中，f 的系数是 _______(2)若L —专f 展开式的常数项为60,则常数a 的值为— k 兀丿【解析】⑴『应是(1+x)10中含f项、含『项分别与1, -X3相乘的结果，・••其系数为do+C?o(-l)=2O7.(2)|x-却的展开式的通项是7>1=G?Y(—胪9(—令6-3r=0,得尸2,即当尸2时，乃+1为常数项，即常数项是C紅根据已知得C]a=60,解得o=4.【答案】(1)207 (2)41.在(X-A/3)10的展开式中，含『的项的系数是(A. —27蘇B. 27CjoD. 9Cjo【解析】含【答案】DA. —28的展开式中常数项是(B. -7C. 7【解析】D. 288-rTr+1=G•另•------r 1 4 4材=(-l)g•护存,当8_严,即尸6时，丁7=(—1)6・C讣2=7.【答案】C3. (2019-全国卷皿)(1+2?)(l+x)4的展开式中x3的系数为()A. 12B. 16C. 20D. 24【解析】展开式中含F的项可以由“1与和“2*与*的乘积组成，则『的系数为C；+2C；=4+8=12.【答案】A4.在2f—$的展开式中，中间项是 _____ .k 兀丿【解析】由〃=6知中间一项是第4项，因2=C%2?)3. |一$=Q•(— 1)3-23.%3,所以T4=-160X3.【答案】-160f。
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∴k能被2整除，且20－k能被3整除．
故k为偶数，20－k是3的倍数，0≤k≤20，
∴k＝2,8,14,20.
(2)Tk＋1＝Ck5(
x
)5－k－
1 3 x
k＝Ck5(－1)kx52－56k，令
52－
5k 6
＝0，
得k＝3，所以A＝－C35＝－10.
[答案] (1)A (2)－10
[类题通法]
1．在通项公式Tk＋1＝C
8－43k＝0，即k＝6时，T7＝(－1)6·C68·122＝7.
答案：C
3．在2x2－1x6的展开式中，中间项是________．
解析：由n＝6知中间一项是第4项，因T4＝C
3 6
(2x2)3·－1x
3
＝C36·(－1)3·23·x3，所以T4＝－160x3.
答案：－160x3
4.x2－21x9的展开式中，第4项的二项式系数是______，第4项
[对点训练](1)求ຫໍສະໝຸດ x－214
x
的展开式．
(2)化简(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)．
解：(1)法一：
x－2
1
x
4＝C
0 4
(
x
)4－C
1 4
(
x
)3·2
1
x
＋C
2 4
( x)2·2 1 x2－C34 x·2 1 x3＋C442 1 x4＝x2－2x＋32－21x＋161x2.
解：T3＝C
2 5
(x3)3
2 3x2
2＝C
2 5
4 ·9
x5，所以第三项的系数为
C52·49＝490.
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.(提示：二项式定理的逆用)
Thank you！
( x ∈ R), 则
例4、求证： 3
2n+2
− 8n − 9(n ∈ N )能被64整除。
*
今天是星期三， 练 、今天是星期三，那么 天是星期几？ 天是星期几？
100
8 天后的这一 1000
那么 天后 3
− r 100 r 100
100
8
= 7 +1） （
=C 7
0 100 100
是星期几？
1 99 100
精确到0.01的近似值。 的近似值。 例5、求 1.997 精确到 、 的近似值
5
课堂练习： 课堂练习：
1 2 3 n 1. C n + 2C n + 4C n + L + 2 n −1 C n 等于 （ ） n n n B. 3 n − 1 C. 3 − 1 D. 3 A. 3 −1
2 2 x 2 + 3 x + 2 的展开式中x的系数为（ 2．在 的展开式中x的系数为（ ） A．160 D．800 B．240 C．360
4 求(x2 + x −1)9 (2x +1）展开式中所有系数之和为
之和为
，所有x的偶次项系数之和为
。
n n
一般地， 一般地，对于多项式
g(x) = ( px+ q) = a0 + a1x +L+ an x
[g(1) -g(-1)]/2 [g(1) +g(-1)]/2
g(x)的常数项为 的常数项为g(0),各项系数和为 g（1） 的常数项为 各项系数和为 （ ） g(x)的奇次项系数之和为 的 g(x)的偶次项系数之和为 的
1
例1、若( x + 、
2 x
4
)n 展开式中前三项系数成等差
数列， 项及其二项式系数和系数； 数列，求（1）展开式中第 项及其二项式系数和系数； ）展开式中第3项及其二项式系数和系数 （2）展开式中含x的一次幂的项； ）展开式中含 的一次幂的项； 的一次幂的项 （3）展开式中是否存在常数项； ）展开式中是否存在常数项； （4）展开式中所有 的有理项； ）展开式中所有x 的有理项； 二项式系数最大的项 （5）展开式中二项式系数最大的项，以及 ）展开式中二项式系数最大的项， 系数最大的项。 系数最大的项。 最大的项
(
)
5
3.求 3.求(1+ x) + (1+ x)2 +L+ (1+ x)16 的展开式中 x3 项的系数. 项的系数.
4.求值： 4.求值： 求值
(1)1+ C ⋅ 2 + C ⋅ 2 + C ⋅ 2 + C ⋅ 2 + C ⋅ 2
1 5 2 2 5 4 3 5
7
6
4 5
8
5 5
10
(2)3 − 3 C + 3 C − 3 C + 3 C − 3 C
n 1 2 3 4. 2Cn + 4Cn + 8Cn + L + 2n Cn = 1 3 5 1 + C5 ⋅ 22 + C52 ⋅ 24 + C5 ⋅ 26 + C54 ⋅ 28 + C5 ⋅ 210 = 1 2 3 4 5 6 310 − 39 C10 + 38 C10 − 37 C10 + 36 C10 − 35 C10 + 34 C10 7 8 9 − 33 C10 + 32 C10 − 3C10 =
100
+ C 7 +L+ C 7
99 1 100 100 100 99 100
+L+ C 7 + C 0 99 = （C1007 +L+ C ） 1 7 +
余数是1 所以是星期四 余数是1， 所以是星期四
变式引申： 变式引申：填空 1） 2 ）
30
55
除以 的余数是 − 3 除以7的余数是
； 。
2） ） 除以8的余数是 55 + 15 除以 的余数是
10 9 1 10 8 2 10 3 10 6 4 10 5
5 10
+ 3 C − 3 C + 3 C − 3C
4 6 10 3 7 10 2 8 10
9 10
作业： 作业：
1 1. 已知( + 3x) n的展开式中，末三项的二项式系数和等于22 x ①求第3项；②求常数项； ③求二项式系数最大的项和系数最大的项。 2.在(2 x − 3)3 (1 + x)5 展开式中x 4的系数为 3. 求证： 10 − 1能被1000整除. 99
变式练习： ①(1+x-2y) , 各项系数之和为 其中不含x的项系数之和为 不含y的项系数之和为 ②(1 − 2x)
2009 5
, ，
, .2Biblioteka 09既不含x也不含y的各项之和为 = a0 + a1x + L + a2009 x . a2009 a1 a2 + 2 + L+ 2009 = 2 2 2
C =C
m n
n− m n m −1 n
设Tr+1项的系数最大，则 Tr+1的系数 ≥ Tr的系数 Tr+1的系数 ≥ Tr+2的系数
r n n n n
C
m n +1
=C +C
m n
③增减性（最大二项式系数） 增减性（最大二项式系数） ④二项式系数之和
0 n 1 n 2 n
C + C + C +L+ C +L+ C = 2
变式：( x 1 24 x )n 展开式中系数绝对值最大的项为？
5 5 例2、 在（1 + 2 x） 1- x）的展开式中x3的系数是 、 （
变式：在 (1 + x 2 ) 2 (1 − x ) 5 的展开式中 x 5的系数是
赋值法
例3、 、
(1 + x)5 展开式中所有系数之和为 所有x的偶次项系数之和为 。 ，所有x的奇次项系数 ，所有x的奇次项系数之和为 ，
1.3.3二项式定理的 1.3.3二项式定理的 应用
二项定理
一般地，对于 一般地，对于n ∈N*有 有
(a + b) = C a + C a
n 0 n n 1 n
n−1
b+C a
2 n r
n−2
b +
2 n
L+ C a
r n
n−r
---------
b +L+ C b
n n
T r+1
二项系数性质
①对称性 ②递推性