北京市宣武区2010届高三第一学期期末试题_理科数学
2010年北京高考理科数学试卷及答案
2
3
p
6 125
a
d
[来源:学科网]
24 125
(Ⅰ)求该生至少有 1 门课程取得优秀成绩的概率； (Ⅱ)求 p ， q 的 值； (Ⅲ)求数学期望 E ξ。
(18)(本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ln(1 x) x
k 2 x (k 0) 2
( xb a ) 为一次函数”的 （6 ） a、b 为非零向量.“ a b ”是“函数 f ( x) ( xa b)
（A）充分而不必要条件
[键入文字]
（B）必要而不充分条件
[键入文字]
（C）充分必要条件
（D）既不充分也不必要条件
x y 11 0 x （7）设不等式组 3 x y 3 0 表示的平面区域为 D，若指数函数 y a 的图像上存在区域 D 上的点， 5 x 3 y 9 0
mn 2(m 1)
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2010 年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理） （北京卷）
因为 cos x 1,1 ,
[来源:学科网]
所以，当 cos x 1 时 f ( x) 取最大值 6；当 cos x （16） （共 14 分） 证明： （Ⅰ）设 AC 与 BD 交于点 G. 因为 EF∥AG,且 EF=1，AG =
[键入文字]
(17)(本小题共 13 分) 某同学参加 3 门课程的考试.假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为
4 ，第二、第三门课程取得 5
优秀成绩的概率分别为 p ， 且不同课程是否取得优秀成绩相互独立.记 ξ 为该生取得优秀成绩 的 q ( p ＞ q )， 课程数，其分布列为 ξ 0 1
北京市宣武区2009-2010学年度第一学期期末质量检测高三数学文
北京市宣武区2009-2010学年度第一学期期末质量检测高 三 数 学（文科） 2010.1本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页.全卷满分150分. 考试时间为120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题（本大题共有8个小题，每小题5分，共40分；在每个小题给出的四个选项中，有且只有一个是符合题目要求的）1.设集合{}4,3,2,1=A ，{}5,4,3=B ，全集B A U ⋃=，则集合()B A C U ⋂中的元素个数为（ ）A ． 1个B ．2个C ．3个D ．4个2. “2=a ”是“直线03:21=+-y x a l 与直线14:2-=x y l 互相垂直”的 （ ）3. 在区间[1,9]上随机取一实数，则该实数在区间[4,7]上的概率为（ ）A ．94 B ．31 C ．21 D ．83 4. 若函数()y f x =是函数xy 2=的反函数，则)]2([f f 的值为 （ ）A ． 16B ． 0C ． 1D ．25. 下列结论正确的是( )6. 设m 为直线，γβα,,为三个不同的平面，下列命题正确的是 （ ） ① 若,,//β⊥ααm 则β⊥m ②若,,β⊥αα⊥m 则β//m ③若,//,βαα⊂m 则β//m ④若,,γ⊥αβ⊥α则γβ//7. 设斜率为k 的直线l 过抛物线x y 82=的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则实数k 的值为 ( ).A ． 2±B ．4±C ．2D ． 4A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A ．,R x ∈∃ 使0122<+-x x 成立B ．0>∀x ，都有2lg 1lg ≥+xx 成立 C ．函数⎪⎭⎫ ⎝⎛π+=2sin x y 是偶函数D ． 02x <≤时，函数xy 1-=无最大值8. 设函数()142cos 3sin 323-+θ+θ=x x x x f ，其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡π∈θ650，，则导数()1-'f 的取值范围是 （ ）A ． []63， B ．[]343+，C ．[]634，- D ． []3434+-，第Ⅱ卷 （非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分；把答案填在相应的位置上）。
北京市宣武区高三数学上学期期中考试(理)新人教版
北京市宣武区2009-2010学年度第一学期期中检测高三数学（理） 2009.11本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.第I 卷（选择题 共40分）一、选择题（本大题共有8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是符合题目要求的）1. 设R b a ∈,,则命题:p b a =是命题:q ab b a ≥+222成立的 （ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2. 定义在R 上的函数)(x f 最小正周期为5，且()11=f ，则()64log 2f 的值为 ( )A ．6B ． -1C ．-6D ．13. 函数13-=xy 的定义域为[]2,1-，则其值域为 （ ）A. []8,2B.[]8,1C. []8,0D. []8,1- 4. 设+∈R b a ,,若3是a3与b3的等比中项，则ba 11+的最小值为 （ ） A ．8B ．4C ．1D ．41 5.已知直线2+=x y 与曲线()a x y +=ln 相切，则a 的值为 ( )A ．1B ．2C ．3D ．46. △ABC 中，c b a ,,分别是内角C B A ,,的对边，且cos2B +3cos(C A +)02=+,b =3,则A a sin :的值为 （ ）A ．3:1B ．3:1C ．2:1D ．2:17.若*N n ,R x ∈∈，记符号()()()121-+++=n x ...x x x H nx ,例如：()()()2423434-=---=-H ，则函数()52-=x H x f （ ）A ．是奇函数不是偶函数B ．是偶函数不是奇函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数8.函数)(x f y =满足：对任意)1,0(1∈a ，由关系式)(1n n a f a =+得到的数列}{n a 都有)N (*1∈<+n a a n n ，则该函数)(x f y =的图象是 ( )第II 卷（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）9. 设函数⎩⎨⎧>≤=)0(ln )0()(x xx e x f x，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛32f f = . 10.含有三个实数的集合既可表示为}0,,{abb ，也可表示为{}1,,b a a +，则20102010b a + 的值为 .11. 函数()223a bx ax x x f +++=在1=x 时有极值为10，则b a +的值为 .12. 若实数y ,x 满足⎪⎩⎪⎨⎧-≥≥+-≤-20220x y x y x ，则22-+y x 的最小值是_ _.13. 在如图的表格中，每格填上一个数字之后，使每一横行各数组成等差数列，每一纵列各数组成等比数列， 则c b a ++的值为 . 14. 已知x x x f cos sin )(1+=,记===)(......,),()(),()('23'12x f x f x f x f x f n )('1x f n -,(2,≥∈+n N n ).则)4(1πf +)4(2πf +…+)4(2010πf =_____________.三、解答题（本大题共6个小题共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. （本题满分13分）设函数()()2cos sin 332cos 2x x x x f ++⎪⎭⎫ ⎝⎛π+=. （Ⅰ）求函数()x f 的最大值和最小正周期；（Ⅱ）设C B A ,,为ABC ∆的三个内角，若B cos =31， 2324=⎪⎭⎫ ⎝⎛+πC f ，且C 为锐角，求A sin 的值.16.（本题满分13分）设二次函数())a (bx ax x f 02≠+=满足条件：①()()x f x f --=2；②函数()x f 的图象与直线x y =相切.（I ）求()x f 的解析式；（II ）若不等式()txx f -⎪⎭⎫ ⎝⎛>21ππ在2≤t 时恒成立，求实数x 的取值范围.如图，函数π2cos()(0)2y x xωθθ=+∈R，≤≤的图象与y轴交于点(0，且在该点处切线的斜率为2-．（1）求θ和ω的值；（2）若点π2A⎛⎫⎪⎝⎭，，点P是该函数图象上一点，00()Q x y，是PA的中点，当y=ππ2x⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，求x的值．已知数列}{n a 的前n 项和为n n S 3=， 数列}{n b 满足)12(,111-+=-=+n b b b n n ()+∈N n ．（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式n a ； （Ⅱ）求数列}{n b 的通项公式n b ； （Ⅲ）若nb ac nn n ⋅=，求数列}{n c 的前n 项和n T ．有时可用函数()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>--≤-+=6,44.46,ln 151.0x x x x xa a x f 描述学习某学科知识的掌握程度.其中x 表示某学科知识的学习次数（*x N ∈），()f x 表示对该学科知识的掌握程度，正实数a 与学科知识有关. （Ⅰ）求()8f 的值；（Ⅱ）证明：当x ≥7时，掌握程度的增长量()()x f x f -+1总是下降；（Ⅲ）根据经验，学科甲、乙、丙对应的a 的取值区间分别为（115，121］,(121,127］, (127,133］.当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科.（≈04.0e1.04，≈05.0e 1.05，≈06.0e 1.06）已知函数)0.()1ln()(2≤++=a ax x x f . (Ⅰ)若)(x f 在0=x 处取得极值，求a 的值； (Ⅱ)讨论)(x f 的单调性； (Ⅲ)证明：）*2222()211...(811)411)(211(N n e n ∈<+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++.北京市宣武区2009-2010学年度第一学期期中检测高三数学（理）参考答案及评分标准2009．11一、选择题：（本大题共有8个小题，每小题5分，共40分）二、填空题：（本大题共有6个小题，每小题5分，共30分）三、解答题：本大题共有6个小题，共80分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15. （本题满分13分）解：（Ⅰ）()()2cos sin 332cos 2x x x x f ++⎪⎭⎫ ⎝⎛π+= ()32cos 2sin 133sin 2sin 23cos 2cos 2+=++π-π=x x x x 所以函数()x f 的最大值为31+,最小正周期π.-----------------------6分 （Ⅱ）233sin 32cos24=+-=+⎪⎭⎫⎝⎛+π=⎪⎭⎫⎝⎛+πC C C f , 所以sin C =, 因为C 为锐角, 所以3C π=,又因为在ABC ∆中, B cos =31, 所以 322sin =B , 所以11sin sin()sin cos cos sin 2326A B C B C B C =+=+=+⨯=. ---------------------------------13分16. （本题满分13分）解：（I ）∵由①知())a (bx ax x f 02≠+=的对称轴方程是1-=x ，∴ a b 2=； ∵函数()x f 的图象与直线x y =相切，∴方程组⎩⎨⎧=+=xy bx ax y 2有且只有一解， 即()012=-+x b ax 有两个相同的实根；∴ 211==a ,b . ∴函数()x f 的解析式为()x x x f +=221. -------------------------6分 （II ）∵1>π，∴()txx f -⎪⎭⎫ ⎝⎛>21ππ等价于()2->tx x f ，∵2212->+tx x x 在2≤t 时恒成立等价于 一次函数()02212<⎪⎭⎫⎝⎛++-=x x xt t g 在2≤t 时恒成立； ∴ ()()⎩⎨⎧<-<0202g g ，即⎪⎩⎪⎨⎧>++>+-04604222x x x x ，解得：53--<x 或53+->x ，实数x 的取值范围是()()∞++-⋃--∞-，，5353. --------------------13分17. （本题满分13分）解：（Ⅰ）将0x =，y =2cos()y x ωθ=+得cos θ=，因为02θπ≤≤，所以6θπ=．又因为2sin()y x ωωθ'=-+，02x y ='=-，6θπ=，所以2ω=，因此2cos 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭． --------------------------------------------------6分 （Ⅱ）因为点02A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，，00()Q x y ，是PA的中点，0y =，点P的坐标为022x π⎛- ⎝． 又因为点P 在2cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上，所以05cos 46x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 因为02x ππ≤≤，所以075194666x πππ-≤≤， 从而得0511466x ππ-=或0513466x ππ-=．即023x π=或034x π=． ------------------13分 18. （本题满分13分）解：（Ⅰ）∵n n S 3=,∴)2(,311≥=--n S n n ．∴()23233111≥⋅=-=-=---n S S a n n nn n n ．当1=n 时，32321111==≠=⋅-a S ，∴()()⎩⎨⎧≥⋅==-232131n n a n n ------------------------------4分（Ⅱ）∵)12(1-+=+n b b n n∴112=-b b ， 323=-b b ， 534=-b b ， ………321-=--n b b n n ， 以上各式相加得21)1(2)321)(1()32(531-=-+-=-+⋅⋅⋅+++=-n n n n b b n ．∵11-=b ， ∴n n b n 22-=． -----------------------9分（Ⅲ）由题意得()()()⎩⎨⎧≥-=-=-2322131n n n c n n 当2≥n 时，13213)2(23223123023-⨯-+⋅⋅⋅+⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅+-=n n n T ， ∴n n n T 3)2(232231230293432⨯-+⋅⋅⋅+⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅+-=， 相减得：n n n n T 3)2(232323262132⨯--⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅+=-- n T ()1323...3333)2(-++++-⨯-=n nn=2333)2(--⨯-n nn ()23352+-=n n . ∴()⎪⎩⎪⎨⎧≥+-=-=22335213n n n T n n ()23352+-=n n (+∈N n )． ------------13分19．（本题满分14分）解：（Ⅰ）()8f =0.9. ---------------------------------------------------2分 证明：（Ⅱ）当7x ≥时，0.4(1)()(3)(4)f x f x x x +-=--而当7x ≥时，函数(3)(4)y x x =--单调递增，且(3)(4)0x x -->故函数(1)()f x f x +-单调递减，当7x ≥时，掌握程度的增长量(1)()f x f x +-总是下降.-----------------------7分 （Ⅲ）有题意可知0.115ln 0.856a a +=-，整理得0.056a e a =- 解得()127,1211266216105.005.0∈=⨯≈⋅-=e e a 由此可知，该学科是乙学科. -------------------------------------------14分20. （本题满分14分）（Ⅰ）(),122a xx x f ++=' 因为()的是x f x 0=一个极值点， ∴()0,00=∴='a f ，验证知a=0符合条件. ----------------------------2分（Ⅱ）因为()2221212xa x ax a x x x f +++=++=' 1）若a=0时，()+∞∴,0)(在x f 单调递增，在()0,∞-单调递减；2）若()恒成立，对时，得，当R x x f a a ∈≤'-≤⎩⎨⎧≤∆<0100 R x f 在)(∴上单调递减；3）若()020012>++>'<<-a x ax x f a 得时，由 aa x a a 221111---<<-+-∴ 上单调递增，在)11,11()(22aa a a x f ----+-∴ 在上单调递减和),11()11,(22+∞----+--∞aa a a ； 综上所述，若),()(1+∞-∞-≤在时，x f a 上单调递减，若时，01<<-a 上单调递增，在)11,11()(22aa a a x f ----+-上单调递减和),11()11,(22+∞----+--∞aa a a . 若()()单调递减，单调递增，在在时，0,0)(0∞-+∞=x f a . ---------8分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知，当()单调递减，在时，∞+∞--=)(1x f a当()0)0()(,0=<+∞∈f x f x 时，由)211ln(......)411ln()211ln()]211...(811)411)(211ln[()1ln(22222222nn xx ++++++=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++∴<+∴ e n n n n <+++∴<⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++++<)211)...(411)(211(12112112112121......814121222 ---------------------------------------------14分。
宣武高三一模(数学理)有答案.doc
北京市宣武区2009—2010学年度高三第二学期第一次质量检测数 学 试 题（理）2010．4本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间为120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分；在每个小题给出的四个选项中，有且只有一个是符合题目要求的）1．设集合3.022},032|{=≤-=m x x x P ，则下列关系中正确的是（ ）A ．P m ⊂B ．P m ∉C ．P m ∈}{D ．}{m ≠⊄2．设平面向量|3|,//),,2(),2,1(b a y +-==则若b a b a 等于（ ）A ．5B ．6C ．17D ．26 3．若复数z 满足,21i iz=+ 则z 对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 4．设函数,)21()(23--=x x x f 则其零点所在的区间为（ ）A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（2，3）D ．（3，4）5．若}{n a 为等差数列，n S 是其前n 项和，且32211π=S ，则6tan a 的值为 （ ）A ．3B ．3-C ．3±D ．33-6．若椭圆122=+ny m x 与双曲线q p n m q y p x ,,,(122=-均为正数）有共同的焦点F 1，F 2，P 是两曲线的一个公共点，则||||21PF PF ⋅等于（ ）A ．2m p -2B ．m p -C ．p m -D ．22p m -7．某单位员工按年龄分为A ，B ，C 三级，其人数之比为5：4：1，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本，已知C 组中甲、乙二人均被抽到的概率是,451则该单位员工总数为（ ）A ．110B ．100C ．90 D80．8．设函数)(x f y =的定义域为R +，若对于给定的正数K ，定义函数⎩⎨⎧>≤=,)(),(,)(,)(K x f x f K x f K x f K ，则当函数1,1)(==K x x f 时，定积分⎰241)(dx x f k 的值为（ ）A ．2ln2+2B ．2ln2-1C ．2ln2D ．2ln2+1第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）9．把容量是100的样本分成8组，从第1组到第4组的频数分别是15，17，11，13，第5组到第7组的频率之和是0.32，那么第8组的频率是 .10．若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积是 cm 3.11．若A ，B ，C 是⊙O 上三点，PC 切⊙O 于点C ， ︒=∠︒=∠40,110BCP ABC ，则AOB∠的大小为 .12．若直线03:=-y x l 与曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+=ϕϕsin 2cos 2:y a x C（ϕ为参数，0>a ）有两个公共点A ，B ，且|AB|=2，则实数a 的值为 ；在此条件下，以直角坐标系的原点为极点，x 轴正方向为极轴建立坐标系，则曲线C 的极坐标方程为 .13．若A ，B ，C 为ABC ∆的三个内角，则CB A ++14的最小值为 . 14．有下列命题：①若)(x f 存在导函数，则;)]'2([)2('x f x f =②若函数;)]'2([)12(',sin cos )(44x f h x x x h =-=π则③若函数)2100)(2009()2)(1()(----=x x x x x g Λ，则;!2009)2010('=g ④若三次函数,)(23d cx bx ax x f +++=则"0"=++c b a 是“)(x f 有极值点”的充要条件.其中真命题的序号是 .三、解答题（本大题共6个小题，共80分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本小题共13分）已知函数.cos sin )32cos()(22x x x x f -+-=π（I ）求函数)(x f 的最小正周期及图象的对称轴方程； （II ）设函数),()]([)(2x f x f x g +=求)(x g 的值域.16．（本小题共13分） 如图，在四棱锥P —ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，E AD BC PB PA .21===为AB 中点，F 为PC 中点. （I ）求证：PE ⊥BC ；（II ）求二面角C —PE —A 的余弦值；（III ）若四棱锥P —ABCD 的体积为4，求AF 的长.17．（本小题共13分）某公司要将一批海鲜用汽车运往A 城，如果能按约定日期送到，则公司可获得销售收入30万元，每提前一天送到，或多获得1万元，每迟到一天送到，将少获得1万元，为保证海鲜新鲜，汽车只能在约定日期的前两天出发，且行驶路线只能选择公路1或公路2中的一条，运费由公司承担，其他信息如表所示.统计信息汽车行驶 路线 不堵车的情况下到达所需时间（天）堵车的情况下到达所需时间（天）堵车的概率运费（万元）公路1 2 3 101 1.6 公路21421 0.8（I ）记汽车走公路1时公司获得的毛利润为ξ（万元），求ξ的分布列和数学期望;ξE （II ）假设你是公司的决策者，你选择哪条公路运送海鲜有可能获得的毛利润更多？（注：毛利润=销售收入-运费）18．（本小题共13分）已知函数).,()1(31)(223R ∈+-+-=b a b x a ax x x f （I ）若x=1为)(x f 的极值点，求a 的值；（II ）若)(x f y =的图象在点（1，)1(f ）处的切线方程为03=-+y x ，（i ）求)(x f 在区间[-2，4]上的最大值； （ii ）求函数)(])2()('[)(R ∈+++=-m em x m x f x G x的单调区间.19．（本小题共14分）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为.36（I ）若原点到直线0=-+b y x 的距离为,2求椭圆的方程； （II ）设过椭圆的右焦点且倾斜角为︒45的直线l 和椭圆交于A ，B 两点. （i ）当3||=AB ，求b 的值；（ii ）对于椭圆上任一点M ，若OB OA OM μλ+=，求实数μλ,满足的关系式. 20．（本小题共14分）已知数列}{n a 满足11=a ，点),(1+n n a a 在直线12+=x y 上. （I ）求数列}{n a 的通项公式； （II ）若数列}{n b 满足),2(111,*12111N n n a a a a b a b n n n ∈≥+++==-且Λ 求11)1(+++-n n n n a b a b 的值；（III ）对于（II ）中的数列}{n b ，求证：n n b b b b b b ΛΛ2121310)1()1)(1(<+++ ).(*N n ∈参考答案一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分；在每个小题给出的四个选项中，有且仅有一个符合题目要求的） 1—4 DABB 5—8 CCBD二、填空题（本大题共有6个小题，每小题5分，共30分） 9．0.12 10．6 11．60°12．02cos 4,22=+-θρρ 13．π9 14．③三、解答题（本大题共6个小题，共80分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本题满分13分）解：（I ）x x x x x f 22cos sin 2sin 23221)(-++=)62sin(2cos 2sin 232cos 21π-=-+=x x x x ∴最小正周期ππ==22T 由)(262Z k k x ∈+=-πππ，得)(32Z k k x ∈+=ππ 函数图象的对称轴方程为).(32Z k k x ∈+=ππ …………7分（II ）.41]21)62[sin()62sin()62(sin )()]([)(222-+-=-+-=+=πππx x x x f x f x g 当21)62sin(-=-πx 时， )(x g 取得最小值41-，当1)62sin(=-πx 时，)(x g 取得最大值2，所以)(x g 的值域为].2,4[1-…………13分16．（本题满分13分）解：（I ）ABCD BC ABCD PA 平面平面⊂⊥,Θ ∴PA ⊥BC,90︒=∠ABC ΘAB BC ⊥∴∴BC ⊥平面PAB又E 是AB 中点，⊂∴PE 平面PAB∴BC ⊥PE.…………6分（II ）建立直角坐标系,1,=-AB xyz A 设则B （1，0，0），C （1，1，0），P （0，0，1），)0,0,21(E)0,1,21(),1,0,21(),0,1,0(=-==∴由（I ）知，BC ⊥平面PAE ，∴是平面PAE 的法向量.设平面PEC 的法向量为),,,(z y x n = 则00=⋅=⋅EP n EC n 且)1,1,2(,21,21-==-=∴n x z x y,66||cos ==∴θ 二面角C —PE —A 的余弦值为.66-…………10分（III ）连结BC ，设AB=a ，2,4222313=∴==⨯⨯+⨯=-a a a a a a V ABCDP PAC ∆Θ是直角三角形， .321==∴PC AF…………13分17．（本题满分13分）解：（I ）汽车走公路1时不堵车时获得的毛利润4.286.130=-=ξ万元 堵车时公司获得的毛利润4.2716.130=--=ξ万元 ∴汽车走公路1时获得的毛利润ξ的分布列为3.281014.271094.28=⨯+⨯=∴ξE 万元 …………6分（II ）设汽车走公路2时获得的毛利润为η万元不堵车时获得的毛利润2.3018.030=+-=η万元 堵车时的毛利润2.2728.030=--=μ万元 ∴汽车走公路2时获得的毛利润η的分布列为7.28212.27212.30=⨯+⨯=∴μE 万元 ηξE E <∴∴选择公路2可能获利更多. …………13分18．（本题洪分13分）解：（1）.12)(22-+-='a ax x x f 1=x Θ是极值点0)1(='∴f ，即022=-a a0=∴x 或2.…………………………………………………………3分 （2）))1(,1(f Θ在03=-+y x 上. 2)1(=∴f ∵（1，2）在)(x f y =上 b a a +-+-=∴13122 又11211)1(2-=-+-∴-=='a a k f38,10122===+-∴b a a a .2)(,3831)(222x x x f x x x f -='+-=∴ （i ）由0)(='x f 可知x =0和x =2是)(x f 的极值点. ,8)4(,4)2(,34)2(,38)0(=-=-==f f f f Θ )(x f ∴在区间[－2，4]上的最大值为8.…………………………8分 （ii ）xem mx x x G -++=)()(2])2([)()2()(22x m x e m mx x e em x x G x x x-+-=++-+='---令0)(='x G ，得m x x -==2,0当m =2时，0)(≤'x G ，此时)(x G 在),(+∞-∞单调递减当2<m 时：此时G （x ）在（－∞，0），（2－m+∞）单调递减，在（0，2－m ）单调递增，综上所述：当m=2时，G （x ）在（－∞，+∞）单调递减； 2>m 时，G （x ）在（－∞，2－m ），（0，+∞）单调递减，在（2－m ，0）单调递增； 2<m 时，G （x ）在（－∞，0），（2－m ，+∞）单调递减，在（0，2－m ）单调递增. ………………………………………………………………13分 19．（本题满份14分） 解：（1）222=∴==b b d Θ 323622=∴==ac a c e Θ22222324a a cb a =-∴=-Θ 解得.4,1222==b a 椭圆的方程为.141222=+y x …………………………………………4分 （2）（i ）.232,3,36222222b a c b a c ===∴=Θ椭圆的方程可化为： 22233b y x =+ ①易知右焦点)0,2(b F ，据题意有AB ：b x y 2-= ②由①，②有：0326422=+-b bx x ③ 设),(),,(2211y x B y x A ，33424244872)11()()(||222222212212==⋅=-+=-+-=b b b b y y x x AB1=∴b …………………………………………………………8分（2）（ii ）显然与可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量OM ，有且只有一对实数λ，μ，使得等OB OA OM μλ+=,成立.设M （x ，y ），,,),,(),(),(21212211y y y x x x y x y x y x μλμλμλ+=+=∴+=Θ 又点M 在椭圆上，22212213)(3)(b y y x x =+++∴μλμλ ④由③有：43,22322121b x x b x x ==+ 则22121212121216)(234)2)(2(33b x x b x x b x b x x x y y x x ++-=--+=+0693222=+-b b b ⑤又A ，B 在椭圆上，故有222222212133,33b y x b y x =+=+ ⑥ 将⑥，⑤代入④可得：.122=+μλ………………………………14分20．（本题满分14分）解：（1）∵点),(1+n n a a 在直线12+=x y 上，,121+=∴+n n a a}1{),1(211++=+∴+n n n a a a 是以2为首项，2为公比的等比数列，).(12*∈-=∴N n a n n ………………………………………………3分（2）2(111121≥+++=+n a a a a b n n n ΛΘ且)*∈N n ， nn n n n nn n n a a b a b a a a a a b 1,11111112111+=∴++++=∴++-++Λ 2(0)1(11≥=+-∴++n a b a b n n n n 且)*∈N n ；当n =1时，.3)1(2112-=+-a b a b …………………………7分 （3）由（2）知2211),2(1a b n a a b b n nn n =≥=+++)11()11)(11(21nb b b +++∴Λ 11132211221111111111++-⋅+⋅+⋅⋅+⋅+⋅=+⋅⋅+⋅+=n n n n n n n b b b b b b b b b b b b b b b b ΛΛ )111(221121111114332211nn n n n n n n a a a a b b a a a a a a a a b b b +++=⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅=++++-ΛΛ 2≥k Θ时，)121121(2)12)(12(2)12)(12(1212111111---=--<---=-+++++k k k k k k k k k 12131111121-+++=+++∴n n a a a ΛΛ 35)12131(21)]121121()121121[(211132<--+=---++---+<++n n n Λ， 310)11()11)(11(21<+++∴n b b b Λ， 即.310)1()1)(1(2121n n b b b b b b ΛΛ<+++…………………………14分。
数学理Z
1.北京市宣武区高三第一次质量检测数学(理科)(本试卷满分150分，考试时间120分钟)第Ⅰ卷(选择题共40分)一、选择题(本大题共有8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知集合M＝{x|x2－2x－3≤0，x∈R}，N＝{x||x|<2，x∈R}，则M∩N等于( )A.∅B.{x|－1≤x<2}C.{x|－2≤x<－1}D.{x|2≤x<3}2.若a，b是空间两条不同的直线，α，β是空间的两个不同的平面，则a⊥α的一个充分不必要条件是( )A.a∥β，α⊥βB.a⊂β，α⊥βC.a⊥b，b∥αD.a⊥β，α∥β3.函数y＝3x＋1(－1≤x<0)的反函数是( )A.y＝1＋log3x(x>0)B.y＝－1＋log3x(x>0)C.y＝－1＋log3x(1≤x<3)D.y＝－1＋log3x(－1≤x<3)4.已知两个向量a＝(1,2)，b＝(x,1)，若(a＋2b)//(2a－2b)，则x 的值是( )A.1B.2C.12D.135.已知x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≤2，y ≤1，x ＋2y －2≥0，则x －y 的取值范围是( )A.[1,2]B.[－1,2]C.[－2,1]D.[－2，－1]6.一次演出，原计划要排4个节目，因临时有变化，拟再添加2个小品节目，若保持原有4个节目的相对顺序不变，则这6个节目不同的排列方法有( )A.30种B.25种C.24种D.20种7.已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n＋1(n ∈N )的取值范围是( )A.[12,16]B.[8，323]C.[8，323)D.[163，323]8.已知定义域是全体实数的函数y ＝f (x )满足f (x ＋2π)＝f (x )，且函数g (x )＝f (x )＋f (－x )2，函数h (x )＝f (x )－f (－x )2.现定义函数p (x )，q (x )为：p (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g (x )－g (x ＋π)2cos x (x ≠k π＋π2)0 (x ＝k π＋π2)，q (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧h (x )＋h (x ＋π)2sin2x (x ≠k π2)0 (x ＝k π2)，其中k ∈Z ，那么下列关于p (x )，q (x )叙述正确的是( )A.都是奇函数且周期为πB.都是偶函数且周期为πC.均无奇偶性但都有周期性D.均无周期性但都有奇偶性第Ⅱ卷(非选择题 共110分)二、填空题(本大题共6个小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中的横线上)9.设i 为虚数单位，则复数(1＋i)21－i＝ .10.若⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x n 展开式的二项式系数之和为256，则n ＝ ，其展开式的常数项等于 .(用数字作答)11.在等差数列{a n }中，已知a 1＋2a 8＋a 15＝96，则2a 9－a 10＝ .12.设函数y ＝2sin(2x ＋π3)的图象关于点P (x 0,0)成中心对称，若x 0∈[－π2，0]，则x 0＝ .13.以双曲线x 24－y 2m ＝1的离心率为半径，以右焦点为圆心的圆与该双曲线的渐近线相切，则m ＝ .14.连接球面上两点的线段称为球的弦，半径为4的球的两条弦AB 、CD 的长度分别为27和43，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，两条弦的两端都在球面上运动，有下面四个命题：①弦AB 、CD 可能相交于点M ； ②弦AB 、CD 可能相交于点N ； ③MN 的最大值是5； ④MN 的最小值是1；其中所有正确命题的序号为 .三、解答题(本大题共6个小题，共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分13分) 已知函数f (x )＝3sin ωx ·cos ωx －cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为π2. (Ⅰ)求ω的值；(Ⅱ)设△ABC 的三边a 、b 、c 满足b 2＝ac ，且边b 所对的角为x ，求此时f (x )的值域.16.(本小题满分13分)将3封不同的信投进A、B、C、D这4个不同的信箱、假设每封信投入每个信箱的可能性相等.(Ⅰ)求这3封信分别被投进3个信箱的概率；(Ⅱ)求恰有2个信箱没有信的概率；(Ⅲ)求A信箱中的信封数量的分布列和数学期望.17.(本小题满分13分)如图，已知四棱锥P－ABCD的底面是菱形，∠BCD＝60°，点E 是BC边的中点，AC与DE交于点O，PO⊥平面ABCD.(Ⅰ)求证：PD⊥BC；(Ⅱ)若AB＝63，PC＝62，求二面角P－AD－C的大小；(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，求异面直线PB与DE所成角的余弦值.18.(本小题满分13分)设定义在R 上的函数f (x )＝a 0x 4＋a 1x 3＋a 2x 2＋a 3x ＋a 4(a 0，a 1，a 2，a 3，a 4∈R)当x ＝－1时，f (x )取得极大值23，且函数y ＝f (x ＋1)的图象关于点(－1,0)对称.(Ⅰ)求函数f (x )的表达式；(Ⅱ)试在函数y ＝f (x )的图象上求两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间[－2，2]上；(Ⅲ)设x n ＝2n －12n，y m ＝2(1－3m )3m(m ，n ∈N )，求证：|f (x n )－f (y m )|<43.19.(本小题满分14分)已知F 1，F 2分别是椭圆x 24＋y 23＝1的左、右焦点，曲线C 是以坐标原点为顶点，以F 2为焦点的抛物线，自点F 1引直线交曲线C 于P 、Q 两个不同的交点，点P 关于x 轴的对称点记为M .设F 1P ＝λF 1Q .(Ⅰ)求曲线C 的方程；(Ⅱ)证明：F 2M ＝－λF 2Q ； (Ⅲ)若λ∈[2,3]，求|PQ |的取值范围.20.(本小题满分14分)已知数列{a n }中，a 1＝t (t ∈R ，且t ≠0,1)，a 2＝t 2，且当x ＝t 时， 函数f (x )＝12(a n －a n －1)x 2－(a n ＋1－a n )x (n ≥2，n ∈N )取得极值.(Ⅰ)求证：数列{a n ＋1－a n }是等比数列；(Ⅱ)若b n ＝a n ln|a n |(n ∈N )，求数列{b n }的前n 项和S n ； (Ⅲ)当t ＝－710时，数列{b n }中是否存在最大项？如果存在，说明是第几项；如果不存在，请说明理由.2.北京市顺义区高三第一次统练数学(理科)(本试卷满分150分，考试时间120分钟)第Ⅰ卷(选择题共40分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x －x 2>0，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－2<x <2，则( )A.M ∩N ＝ΦB.M ∪N ＝MC.M ∪N ＝RD.M ∩N ＝M 2.已知△ABC 中，AB ＝6＋22，AC ＝3，C ＝75°，那么角B等于( )A.120°B.60°C.45°D.30° 3.k ∈(33，＋∞)是“直线kx －y －4k ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝1无公共点”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 4.函数y ＝log 2x 的图象与函数y ＝－log 2(－x )的图象( ) A.关于x 轴对称 B.关于y 轴对称 C.关于坐标原点对称 D.关于直线y ＝x 对称 5.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 是双曲线右支上的一个动点，点Q 在线段F 1P 上，满足⎪⎪⎪⎪PQ ＝⎪⎪⎪⎪PF 2，那么动点Q 的轨迹是( )A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线6.若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0y －1≤0x ＋2y －2≥0，则z ＝2x －y 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，2C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4 D.⎣⎡⎦⎤2，4 7.设函数f (x )定义在实数集上，它的图象关于直线x ＝2对称，且当x ≥2时，f (x )＝3x －1，则有( )A.f (43)<f (52)<f (53)B.f (52)<f (53)<f (43)C.f (53)<f (43)<f (52)D.f (53)<f (52)<f (43)8.数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 中，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1n 2(1≤n ≤1 000)n2n 2－2n (n ≥1 001)则lim n →∞a n的值( ) A.等于0 B.等于1 C.等于0或1 D.不存在第Ⅱ卷(非选择题 共110分)二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上)9.已知(1＋a i)2＝2i ，其中i 是i 虚数单位，那么实数a ＝ .10.已知向量a 与b 的夹角为135°，且⎪⎪⎪⎪a ＝2，⎪⎪⎪⎪b ＝1.那么a·(a－b)的值为 .11.设α是第四象限的角，且tan α＝－43，则sin(α＋π4)＝ .12.已知等差数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫an 中，a 1＝3，a 4＝12，若b n ＝a2n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫bn 的前n 项的和S n ＝ .13.已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a ，f (bx )＝9x 2－6x ＋2，其中x ∈R ，a ，b 为常数，则方程f (ax ＋b )＝1的解集为 .14.已知点P 是抛物线x 2＝2y 上的一个动点，则点P 到点(2,0)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为 .三、解答题(本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分13分)已知函数f (x )＝3－2sin 2ωx －2cos(ωx ＋π2)cos ωx (0<ω≤2)的图象过点(π16，2＋2).(Ⅰ)求ω的值及使f (x )取得最小值的x 的集合； (Ⅱ)该函数的图象可由函数y ＝2sin4x (x ∈R)的图象经过怎样的变换得出？16.(本小题满分13分)某项考试按科目A 、科目B 依次进行，只有当科目A 成绩合格时，才可继续参加科目B 的考试.已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书，现某考生参加这项考试，科目A 每次考试成绩合格的概率为p ，科目B 每次考试成绩合格的概率为12.假设各次考试成绩合格与否均互不影响.若该考生不需要补考就可以获得证书的概率为13.(Ⅰ)求p 的值；(Ⅱ)在这项考试过程中，假设该考生不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为ξ，求ξ的数学期望Eξ.17.(本小题满分13分)直线l ：bx ＋ay ＝ab (a >0，b >0)与x 轴，y 轴的交点分别为A 、B ，O 为坐标原点，△OAB 的面积为233，直线l 的倾斜角为150°，A ，B 两点是中心在坐标原点的椭圆C 的两个顶点.(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)若直线l 1：y ＝x ＋m 与椭圆C 相交于M 、N 两点，求△OMN 面积的最大值.18.(本小题满分13分)已知函数f(x)＝ax3＋mx2＋nx－2在点x＝－2处取得极值，且曲线y＝f(x)在点x＝－1处的切线与直线3x＋y－3＝0平行，又函数g(x)＝f′(x)－6x是偶函数.(Ⅰ)求a、m、n的值及y＝f(x)的单调区间；(Ⅱ)若t<0，求函数y＝f(x)在区间(t－1，t＋1)内的极值.19.(本小题满分14分)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫an 满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＝(1＋q )a n －1－qa n －2(q ≠0，n＝3,4，…)(Ⅰ)设b n －1＝a n －a n －1(n≥2)，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n ，⎩⎨⎧⎭⎬⎫an 的通项公式；(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，设c n ＝b n ＋2－32b n ＋1，记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n ，⎩⎨⎧⎭⎬⎫c n 的前n项和分别为S n ，T n .当q >－1时，试比较S n 和T n 的大小.20.(本小题满分为14分)已知函数y ＝f (x )是函数y ＝log 4(1x－2)的反函数，点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)是函数y ＝f (x )图象上两点，且线段P 1P 2中点P 的纵坐标是14. (Ⅰ)求点P 的横坐标；(Ⅱ)若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫an 的通项公式是a n ＝f (nm)(m ∈N *，n ＝1,2，…，m )，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 的前m 项的和S m ；(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，若对任意的m ∈N *，不等式a m S m <a m ＋1S m ＋1恒成立，求实数a 的取值范围.3.北京市朝阳区高三统一练习(一)数学(理科)(本试卷满分150分，考试时间120分钟)第Ⅰ卷(选择题 共40分) 一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知集合P ＝{x ||x －2|≤1，x ∈R}，Q ＝{x |x ∈N}，则P ∩Q 等于( ) A.[1,3] B.{1,2} C.{2,3} D.{1,2,3}2.下列函数中，在区间(1，＋∞)上为增函数的是( ) A.y ＝－2x ＋1 B.y ＝x1－xC.y ＝－(x －1)2D.y ＝log 12(x －1)3.复数z ＝2－i1＋i (i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.从6名女生，4名男生中，按性别采用分层抽样的方法抽取5名学生组成课外小组，则不同的抽取方法种数为( )A.C 36·C 24B.C 26·C 34C.C 510D.A 36·A 24 5.用一平面去截体积为43π的球，所得截面的面积为π，则球心到截面的距离为( )A.2B.3 C.2 D.16.各项均不为零的等差数列{a n }中，若a 2n －a n －1－a n ＋1＝0(n ∈N *且n ≥2)，则S 2 009等于( )A.0B.2C.2 009D.4 018 7.已知函数f (x )＝|x －1|－|x ＋1| .如果f (f (a ))＝f (9)＋1，则实数a 等于( )A.－14B.－1C.1D.328.蔬菜价格随着季节的变化而有所变化.根据对农贸市场蔬菜价格的调查得知，购买2千克甲种蔬菜与1千克乙种蔬菜所需费用之和大于8元，而购买4千克甲种蔬菜与5千克乙种蔬菜所需费用之和小于22元.设购买2千克甲种蔬菜所需费用为A 元，购买3千克乙种蔬菜所需费用为B 元，则( )A.A ＞BB.A ＜BC.A ＝BD.A ，B 大小不确定第Ⅱ卷(非选择题 共110分)二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中的横线上)9.lim2x →- x 2＋3x ＋2x ＋2＝ .10.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若∠B ＝45°，b ＝2，a ＝1，则∠C 等于 .11.若(x 2＋1x)n 展开式中的二项式系数和为512，则n 等于 ；该展开式中的常数项为 .12.已知动直线l 平分圆C ：(x －2)2＋(y －1)2＝1，则直线l 与圆O ：⎩⎨⎧x ＝3cos θy ＝3sin θ(θ为参数)的位置关系是 .13.过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 作直线l ，交抛物线于A ，B 两点，交其准线于C 点.若CB ＝3BF ，则直线l 的斜率为 .14.定义映射f ：A →B ，其中A ＝{(m ，n )|m ，n ∈R}，B ＝R.已知对所有的有序正整数对(m ，n )满足下述条件：①f (m,1)＝1；②若m <n ，f (m ，n )＝0；③f (m ＋1，n )＝n [f (m ，n )＋f (m ，n －1)]，则f (3,2)的值是 ；f (n ，n )的表达式为 (用含n 的代数式表示).三、解答题(本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分13分) 已知函数f (x )＝sin x 2·cos x2＋3sin 2x2＋32.(Ⅰ)求函数f (x )的最小正周期，并写出函数f (x )图象的对称轴方程； (Ⅱ)若x ∈[0，π]，求函数f (x )的值域.16.(本小题满分13分)在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的搭配方案，需要对各种不同的搭配方式作比较.在试制某种牙膏新品种时，需要选用两种不同的添加剂.现在可供选用的不同添加剂有6种，其中芳香度为1的添加剂1种，芳香度为2的添加剂2种，芳香度为3的添加剂3种.根据试验设计原理，通常要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验.(Ⅰ)求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和为3的概率；(Ⅱ)求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和为偶数的概率；(Ⅲ)用ξ表示所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和，写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望Eξ.17.(本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABC－A′B′C′中，已知AA′＝4，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D是AB的中点.(Ⅰ)求证：CD⊥AB′；(Ⅱ)求二面角A′－AB′－C的大小；(Ⅲ)求直线B′D与平面AB′C所成角的正弦值.18.(本小题满分13分) 已知函数f (x )＝124－x 2.(Ⅰ)写出函数f (x )的定义域，并求函数f (x )的单调区间；(Ⅱ)设过曲线y ＝f (x )上的点P 的切线l 与x 轴、y 轴所围成的三角形的面积为S ，求S 的最小值，并求此时点P 的坐标.19.(本小题满分13分)已知△ABC的三边长|CB|，|AB|，|CA|成等差数列，若点A，B的坐标分别为(－1,0)，(1,0).(Ⅰ)求顶点C的轨迹W的方程；(Ⅱ)若线段CA的延长线交轨迹W于点D，当2≤|CB|＜52时，求线段CD的垂直平分线l与x轴交点的横坐标的取值范围.20.(本小题满分14分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n a n ＝12a n ＋1(n ∈N *)，其中a 1＝1，a n ≠0.(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)设数列{b n }满足(2a n －1)(2b n －1)＝1，T n 为{b n }的前n 项和，求证：2T n ＞log 2(2a n ＋1)，n ∈N *；(Ⅲ)是否存在正整数m ，d ，使得limn →∞ [(13)m ＋(13)m ＋d ＋(13)m ＋2d＋…＋(13)m ＋(n －1)d ]＝1a 8成立？若存在，请求出m 和d 的值；若不存在，请说明理由.4.湖北省八市3月高三调考数学(理科)(本试卷满分150分，考试时间120分钟)第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设集合M ＝{x |x ≥2}，P ＝{x |x ＞1}，那么“x ∈M ∪P ”是“x ∈M ∩P ”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.若(1＋5x )n 的展开式中各项系数之和为a n ，(7x 2＋1)n 的展开式中各项的二项式系数之和为b n ，则lim n →∞a n －2b n3a n ＋4b n的值是( )A.13B.14C.1D.－12 3.S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 9＝－36，S 13＝－104，等比数列{b n}中，b5＝a5，b7＝a7，则b6等于( )A.4 2B.±2 2C.±4 2D.324.给出下列四个命题：①若直线l⊥平面α，l∥平面β，则α⊥β；②各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱；③一个二面角的两个半平面所在平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面所在平面，则这两个二面角的平面角互为补角；④过空间任意一点一定可以作一个和两条异面直线都平行的平面.其中正确的命题的个数有( )A.1B.2C.3D.45.某一批袋装大米，质量服从正态分布N(10,0.01)(单位：kg)，任选一袋大米，它的质量是9.8～10.2 kg内的概率为(已知Φ(1)＝0.841 3，Φ(2)＝0.977 2)( )A.0.841 3B.0.954 4C.0.977 2D.0.682 66.已知正数x、y满足等式x＋y－2xy＋4＝0，则( )A.xy的最大值是2，且x＋y的最小值为4B.xy的最小值是4，且x＋y的最大值为4C.xy的最大值是2，且x＋y的最大值为4D.xy的最小值是4，且x＋y的最小值为47.在航天员进行的一项太空实验中，先后要实施6个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有( )A.24种B.48种C.96种D.144种8.已知函数f(x)＝x ln(ax)＋e x－1在点(1,0)处切线经过椭圆4x2＋my2＝4m的右焦点，则椭圆两准线间的距离为( )A.6B.8C.10D.18 9.已知点F 1、F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若A 、B 和双曲线的一个顶点构成的三角形为锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是( )A.(1,1＋2)B.(1，3)C.(2－1,1＋2) D.(1,2)10.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2－x －1(x ≤0)f (x －1)(x >0)，若方程f (x )＝x ＋a 有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是( )A.(－∞，1)B.(0,1)C.(－∞，1]D.[0，＋∞)第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中的横线上)11.已知复数z 1＝3－i ，z 2＝2i －1，z 是z 的共轭复数，则复数iz 1－z 24的虚部等于 .12.一个半径为1的球内切于正三棱柱，则该正三棱柱的体积为 .13.已知x 、y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≤x2x ＋y ＋k ≤0( k 为常数)，若z ＝x ＋3y 的最大值为8，则k ＝ .14.在三角形ABC 中，AB ·AC＝AB AC ＝6，M 为BC 边的中点，则中线AM 的长为 ，△ABC 的面积的最大值为 .15.在数列{a n }中，都有a 2n －a 2n －1＝p (n ≥2，n ∈N *)( p 为常数)，则称{a n }为“等方差数列”.下列是对“等方差数列”的判断：(1)数列{a n }是等方差数列，则数列{a 2n }是等差数列； (2)数列{(－1)n }是等方差数列；(3)若数列{a n }既是等方差数列，又是等差数列，则该数列必为常数列；(4)若数列{a n }是等方差数列，则数列{a kn }( k 为常数，k ∈N *)也是等方差数列，则正确命题序号为 .三、解答题(本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(本小题满分12分)已知向量a ＝(cos 32x ，sin 32x )，b ＝(cos x 2，－sin x 2)，且x ∈[0，π2]；(Ⅰ)求a ·b 及|a ＋b |； (Ⅱ)若f (x )＝a ·b －3a b +sin x ，求f (x )的最大值与最小值.17.(本小题满分12分)下面玩掷骰子放球游戏，若掷出1点或6点，甲盒放一球；若掷出2点，3点，4点或5点，乙盒放一球，设掷n 次后，甲、乙盒内的球数分别为x 、y .(Ⅰ)当n ＝3时，设x ＝3，y ＝0的概率；(Ⅱ)当n ＝4时，设⎪⎪⎪⎪x －y ＝ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ.18.(本小题满分12分)四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，PB ⊥BC ，PD ⊥CD ，且PA ＝2，E 点满足PE ＝13PD .(Ⅰ)求证：PA ⊥平面ABCD ； (Ⅱ)求二面角E －AC －D 的大小；(Ⅲ)在线段BC 上是否存在点F 使得PF ∥面EAC ？若存在，确定F 的位置；若不存在，请说明理由.19.(本小题满分12分)某种商品的成本为5元/件，开始按8元/件销售，销售量为50件，为了获取最大利润，商家先后采取了提价与降价两种措施进行试销.经试销发现：销售价每上涨1元每天销售量就减少10件；而降价后，日销售量Q (件)与实际销售价x (元)满足关系：Q ＝⎩⎪⎨⎪⎧39(2x 2－29x ＋107)(5<x <7)198－6xx －5(7≤x <8)(Ⅰ)求总利润(利润＝销售额－成本) y (元)与实际销售价x (件)的函数关系式；(Ⅱ)试问：当实际销售价为多少元时，总利润最大.20.(本小题满分13分)已知A (－1,0)、B (3,0)，M 、N 是圆O ：x 2＋y 2＝1上的两个动点，且M 、N 关于x 轴对称，直线AM 与BN 交于P 点.(Ⅰ)求P 点的轨迹C 的方程；(Ⅱ)设动直线l ：y ＝k (x ＋32)与曲线C 交于S 、T 两点.求证：无论k为何值时，以动弦ST 为直径的圆总与定直线x ＝－12相切.21.(本小题满分14分)已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝12a n ＋n2n ＋1(n ∈N *).(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式； (Ⅱ)证明：12n －1≤a n ≤1；(Ⅲ)设T n ＝2nn 2－n ＋4a n ，且k n ＝ln(1＋T n )＋12T 2n ，证明：2T n ＋2<T nk n .5.长沙市4月高考模拟考试数学(理科)(本试卷满分150分，考试时间120分钟)参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )； 如果事件A 、B 相互独立，那么P (A ·B )＝P (A )·P (B )；如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么它在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率P n (k )＝C k nP k (1－P )n －k ； 球的表面积公式S 球＝4πR 2，其中R 表示球的半径； 球的体积公式V 球＝43πR 3，其中R 表示球的半径.第Ⅰ卷(选择题 共40分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设复数z 满足1－2iz＝i ，则z 等于( )A.－2＋iB.－2－iC.2－iD.2＋i2.下列函数中既是奇函数，又在区间(0,1)上单调递减的是( )A.y ＝(12)x B.12log y x C.y ＝sin xD.y ＝1x3.已知sin(2π－α)＝45，α∈(3π2，2π)，则tan(π－α)等于( )A.34 B.－43 C.－34 D.434.设等差数列{a n }的公差d 不为零，a 1＝9d ，若a k 是a 1和a 2k 的等比中项，则k 的值为( ) A.2 B.4 C.6D.85.已知A 、B 为球面上的两点，O 为球心，且AB ＝3，∠AOB ＝120°，则球的体积为( )A.9π2B.43π C.36πD.323π6.从5种不同的水果和4种不同的糖果中各选出3种，放入如图所示的6个不同区域(用数字表示)中拼盘，每个区域只放一种，且水果不能放在有公共边的相邻区域内，则不同的放法有( )A.2 880种B.2 160种C.1 440种D.720种7.设点P 是△ABC 内一点(不包括边界)，且AP ＝m AB＋n AC (m ，n ∈R)，则(m －1)2＋(n －1)2的取值范围是( )A.(0,1)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2D.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，2 8.椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左准线为l ，左右焦点分别为F 1、F 2，抛物线C 2的准线为l ，一个焦点为F 2，C 1与C 2的一个交点为P ，则|F 1F 2||PF 1|－|PF 1||PF 2|等于( )A.－1B.12 C.－12D.1第Ⅱ卷(非选择题 共110分)二、填空题(本大题共7小题，每小题5分，共35分.把答案填在题中的横线上)9.已知公差不为0的等差数列{a n }中，有2a 3－a 27＋2a 11＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6b 8＝ .10.已知OA ＝(3,1)，OB ＝(2,4)，|BC|＝1，点C 在直线OA 上的射影为点D ，则|OD|的最大值为 .11.若(x 2＋1ax )6的二项展开式中x 3的系数为52，则a ＝ .(用数字作答).12.函数y ＝a x ＋1－2(a ＞0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中m 、n ＞0，则1m ＋2n的最小值为 .13.已知x 、y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≤x2x ＋y ＋k ≤0，(k 为常数)，若z ＝x ＋3y 的最大值为8，则k ＝ .14.关于x 的不等式2－x 2＞|x －a |至少有一个负数解，则a 的取值范围是 .15.在三角形ABC中，AB ·AC＝|AB AC - |＝6，M 为BC 边的中点，则中线AM 的长为 ，△ABC 的面积的最大值为 .三、解答题(本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(本小题满分12分)甲有一个放有3个红球、2个白球、1个黄球共6个球的箱子，乙也有一个放有3个红球、2个白球、1个黄球共6个球的箱子.(Ⅰ)若甲在自己的箱子里任意取球，取后不放回，每次只取一球，直到取得红球为止，求甲取球次数ξ的数学期望；(Ⅱ)若甲、乙两人各自从自己的箱子里任取一球比颜色，规定同色时为甲胜，异色时为乙胜，这个游戏规则公平吗？请说明理由.17.(本小题满分12分)设数列{x n }各项为正，且满足x 21＋x 22＋…＋x 2n ＝2n 2＋2n ， (Ⅰ)求x n ； (Ⅱ)已知1x 1＋x 2＋1x 2＋x 3＋…＋1x n ＋x n ＋1＝3，求n ；(Ⅲ)证明：x 1x 2＋x 2x 3＋…＋x n x n ＋1＜2[(n ＋1)2－1]18.(本小题满分12分)如图，四棱锥S －ABCD 的底面ABCD 是正方形，侧面SAB 是等腰三角形且垂直于底面，SA ＝SB ＝5，AB ＝2，E 、F 分别是AB 、SD 的中点.(Ⅰ)求证：EF ∥平面SBC ； (Ⅱ)求二面角F －CE －A 的大小.19.(本小题满分13分)为保增长、促发展，某地计划投资甲、乙两项目，市场调研得知，甲项目每投资100万元需要配套电能2万千瓦，可提供就业岗位24个，增加GDP260万元；乙项目每投资100万元需要配套电能4万千瓦，可提供就业岗位36个，增加GDP200万元，已知该地为甲、乙两项目最多可投资3 000万元，配套电能100万千瓦，并要求它们提供的就业岗位不少于840个.如何安排甲、乙两项目的投资额，增加的GDP最大？20.(本小题满分13分)已知定点A(a,0)(a＞0)，B为x轴负半轴上的动点.以AB为边作菱形ABCD，使其两对角线的交点恰好落在y轴上.(Ⅰ)求动点D的轨迹E的方程；(Ⅱ)过点A作直线l与轨迹E交于P、Q两点，设点R(－a,0)，问当l绕点A转动时，∠PRQ是否可以为钝角？请给出结论，并加以证明.21.(本小题满分13分)设函数f (x )＝x 2＋b ln(x ＋1)，其中b ≠0. (Ⅰ)若b ＝－12，求f (x )的单调递增区间；(Ⅱ)如果函数f (x )在定义域内既有极大值又有极小值，求实数b 的取值范围；(Ⅲ)求证对任意的n ∈N *，不等式ln n ＋1n＞n －1n3恒成立.6.山西省临汾市高中三年级第一次模拟测试数学(理科)(本试卷满分150分，时间120分钟)第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈Z ⎪⎪0≤x ≤5，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝k 2，k ∈A ，则A ∩B＝( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，1，2 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，1，2，3 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，1，3D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，2，3 2.已知向量a ＝(cos x ，－2)，b ＝(1，sin x )，且a ⊥b ，则tan(x －π4)＝( )A.3B.13C.－ 13 D.－33.若a,2a ＋2,3a ＋3，…为等比数列，则a ＋2＝( )A.1B.－2C.1或－2D.64.函数y ＝xx －2(x >2)的反函数是( ) A. y ＝2x x －1(x >1) B. y ＝x2x －1(x >1)C. y ＝2xx －1(0<x <1) D. y ＝x2x －1(0<x <1) 5.已知双曲线kx 2－y 2＝1的一条渐近线与直线2x ＋y －1＝0垂直，则双曲线的离心率是( )A.62 B. 52 C. 32D.56.已知函数f (x )＝x 3＋sin x ＋1(x ∈R)，若f (m )＝2，则f (－m )的值为( )A.3B.0C.－1D.－27.若直线ax ＋by ＝1与圆x 2＋y 2＝1相切，且M ＝a cos θ＋b sin θ，θ∈⎣⎡⎭⎫0，2π，则M 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤0，1B.(0,1)C. ⎣⎡⎦⎤－1，1D.(－1,1)8.如图，函数f (x )的图象是锯齿形折线段，f ′(x )是函数f (x )的导函数，则f (f ′(5))＝( )A.32 B.2 C.1D.749.把函数y ＝cos(x ＋4π3)的图象沿x 轴平移⎪⎪⎪⎪φ个单位，所得图象关于原点对称，则⎪⎪⎪⎪φ的最小值是( )A.π6B. 2π3C. 5π6 D. 4π310.关于x 的方程x 2－⎪⎪⎪⎪x －a ＝0有三个不同的实根，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，14B. ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，0∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14C. ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－14，14D. ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－14，0，14 11.已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2x －y ≤2x ≥03x －y ≤a表示的平面区域是四边形，则实数a 的取值范围是( )A.(－∞，－2)B.(2,6)C.(0,6)D.(0，＋∞)12.从双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 引圆x 2＋y 2＝a 2的切线l ，切点为T ，且l 交双曲线的右支于P ，若点M 是线段FP 的中点，O 为坐标原点，则⎪⎪⎪⎪OM －⎪⎪⎪⎪TM ＝( )A.b －a2B.b －aC.a ＋b2D.a＋b2第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)13.等差数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫an 的前n 项和为S n ，若S 3＝－6，S 18－S 15＝18，则S 18＝ .14.在△AOB 中，M 是OB 中点，N 是AB 中点，ON ，AM 交于点P ，若AP＝m OA ＋n OB (m ，n ∈R)，则n －m ＝ .15.已知抛物线y 2＝mx (m ≠0)的准线与椭圆x 26＋y 22＝1的右准线重合，则实数m 的值是 .16.如图，宽度为1.5米的胡同有一直角拐角，有三个物体试图通过拐角到达目的地①长4米的铝合金杆②棱长为1.4米的正方体电视机包装箱 ③长为2.2米，宽为1米的平板车；请你算一算，哪些物体可以通过拐角： (写上序号即可) 三、解答题(本大题6个小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分) 解关于x 的不等式a x <a －1x －1(a >0)18.(本小题满分12分)设锐角三角形ABC 的角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，若m ＝(b,2c sin B )，n ＝(cos B ，sin C )，且m ∥n.(Ⅰ)求B 的大小；(Ⅱ)求sin A＋sin C的取值范围.19.(本小题满分12分)将圆x2＋y2＋2x－2y＝0按向量a平移得到圆O(O为坐标原点)，直线l与圆O相交于A、B两点，若在圆O上存在点C，使得OA＋OB＋OC＝0，且OC＝λa，求直线l的方程.20. (本小题满分12分)已知函数f(x)＝x2＋a ln x的图象与直线l：y＝－2x＋c相切，切点横坐标为1.(Ⅰ)求函数f(x)的解析式和直线l的方程；(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间；(Ⅲ)若不等式f(x)≥2x＋m对f(x)定义域内的任意x恒成立，求m 的取值范围.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝32，左、右焦点分别为F 1、F 2， ⎪⎪⎪⎪⎪⎪F 1F 2＝23，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)(x 1≠x 2)是椭圆上不同的两点，且x 1x 2＋4y 1y 2＝0.(Ⅰ)求椭圆C 的方程； (Ⅱ)证明：x 21 ＋ x 22 为常数；(Ⅲ)在x 轴上有一点P ，使得⎪⎪⎪⎪⎪⎪PM ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪PN ，求△PMN 面积的最大值.已知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫an 满足：首项a 1＝35，3a n ＝2a n a n ＋1＋a n ＋1(n ＝1,2,3，…).(Ⅰ)若b n ＝a n1－a n，证明数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n 为等比数列；(Ⅱ)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 的通项公式；(Ⅲ)证明n <a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＋1<n ＋1(n ＝1,2,3，…).。
北京市宣武区2010理科数学试卷
北京市宣武区2009-2010学年度第二学期第二次质量检测高 三 数 学（理科） 2010.5本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页.全卷满分150分， 考试时间为120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分；在每个小题给出的四个选项中，有且只有一个是符合题目要求的） 1. 集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈<<=+Z x xA x ,42211的元素个数有（ ）[来源:学科网ZXXK] A ． 1个B ． 2个C ．3个D ．无数个2. 若()014455513a x a x a x a x ++⋅⋅⋅++=+，则2a 的值为（ ）A ．270B ．2702xC ． 90D ．902x3. 若a a 3,4,为等差数列的连续三项，则921a a a a +⋅⋅⋅+++的值为（ ）A ． 1023B ．1025C ．1062D ． 20474. 已知直线m 、n 与平面α、β，下列命题正确的是 （ ）A ．βα//,//n m 且βα//，则n m //B ．βα//,n m ⊥且β⊥α，则n m ⊥C ．m n m ⊥=β⋂α,且βα⊥，则α⊥nD ．βα⊥⊥n m ,且βα⊥，则n m ⊥5.已知命题(1)∃α∈R ，使s i n c o s 1αα=成立；(2) ∃ α∈R ，使()β+α=β+αta n ta n ta n 成立；(3) ∀α，β∈R ，有()βα-β+α=β+αtan tan 1tan tan tan 成立； (4)若B A ,是ABC ∆的内角，则“B A >” 的充要条件是“B A sin sin >”．其中正确命题的个数是 （ ） A ． 1B ． 2C ． 3D ．46.已知函数的图像如右图所示，则其函数解析式可能是（ ）A ． ()x x x f ln 2+= B ． ()x x x f ln 2-=C ．()x x x f ln +=D ．()x x x f ln -=7. 抛掷一枚质地均匀的骰子，所得点数的样本空间为{}654321，，，，，=S .令事件{}5,3,2=A ,事件{}65421，，，，=B ，则()B A P 的值为（ ）A ． 53B ．21 C ．52 D ．518. 如图抛物线1C ： px y 22=和圆2C : 42222p y p x =+⎪⎭⎫ ⎝⎛-，其中0>p ，直线l 经过1C 的焦点，依次交1C ，2C 于,,,A B C D 四点，则⋅的值为 （ ）A ． 42pB ． 32pC ． 22pD ．2p第Ⅱ卷 （非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分） 9. 函数)4sin(cos )4cos(sin ππ+++=x x x x y 的值域是 .10. 若i 是虚数单位，则832i 8i 3i 2i +⋅⋅⋅+++= . 11.如图，D C B A ,,,为空间四点,ABC △是等腰三角形，且o 90=∠ACB ,∆ADB 是等边三角形.则AB 与CD 所成角的大小为 .12. 如图，PA 与圆O 相切于A ，不过圆心O 的割线PCB 与直径AE 相交于D 点.已知∠BPA =030，2=AD ，1=PC ，则圆O 的半径等于 ．13.数列721,,,a a a ⋅⋅⋅中，恰好有5个a ，2个b ()b a ≠，则不相同的数列共有 个.14. 以直角坐标系的原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，有下列命题： ①1cos =θρ与曲线y y x =+22无公共点； ②极坐标为 (23，π43)的点P 所对应的复数是-3+3i ； DBACAEOBCD③圆θ=ρsin2的圆心到直线01sincos2=+θρ-θρ5④()04>ρπ=θ与曲线{()3cos4sinxyθθπθθ≤≤==为参数，0相交于点P,则点P坐标是1212(,)55.其中假命题的序号是 .三、解答题（本大题共6个小题，共80分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.（本小题共13分）如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30 ，相距10海里C处的乙船.（Ⅰ）求处于C处的乙船和遇险渔船间的距离；（Ⅱ）设乙船沿直线CB方向前往B处救援，其方向与成θ角，求()xxxf coscossinsin22θ+θ=()Rx∈的值域.16.（本小题共13分）已知某个几何体的三视图如图（主视图的弧线是半圆），根据图中标出的数据，（Ⅰ）求这个组合体的表面积；（Ⅱ）若组合体的底部几何体记为1111DCBAABCD-，其中BABA11为正方形.（i）求证：DCABBA111平面⊥；（ii）设点P为棱11DA上一点，求直线AP与平面DCAB11所成角的正弦值的取值范围.北2010AB••C17. （本小题共13分）[来源:Z,xx,]在一次考试中共有8道选择题，每道选择题都有4个选项，其中有且只有一个选项是正确的.某考生有4道题已选对正确答案，其余题中有两道只能分别判断2个选项是错误的，还有两道题因不理解题意只好乱猜.(Ⅰ) 求该考生8道题全答对的概率；(Ⅱ)若评分标准规定：“每题只选一个选项，选对得5分，不选或选错得0分”，求该考生所得分数的分布列.18. （本小题共13分）设{}n a 是正数组成的数列，其前n 项和为n S ，且对于所有的正整数n ,有12+=n n a S ． (I) 求1a ，2a 的值；(II) 求数列{}n a 的通项公式；（III ）令11=b ，k k k a b )1(122-+=-，k k k a b 3212+=+（⋅⋅⋅=,3,2,1k ），求数列{}n b 的前12+n项和12+n T ． 19. （本小题共14分）已知函数()xxx f ln =. （I ）判断函数()x f 的单调性；（Ⅱ）若=y ()x xf +x1的图像总在直线a y =的上方，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）若函数()x f 与()3261+-=x m x x g 的图像有公共点，且在公共点处的切线相同，求实数m 的值.20.（本小题共14分）已知0>p ，动点M 到定点F ⎪⎭⎫⎝⎛0,2p 的距离比M 到定直线p x l -=:的距离小2p .[来源:Z&xx&]（I ）求动点M 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设B A ,是轨迹C 上异于原点O 的两个不同点，0=⋅,求AOB ∆面积的最小值； （Ⅲ）在轨迹C 上是否存在两点Q P ,关于直线()02:≠⎪⎭⎫⎝⎛-=k p x k y m 对称？若存在，求出直线m的方程，若不存在，说明理由.北京市宣武区2009~2010学年度第二学期第二次质量检测[来源:]高三数学（理）参考答案及评分标准2010.5一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分；在每个小题给出的四个选项中有且仅有一个是符合题目要求的.二、填空题：本大题共有6个小题，每小题5分，共30分.三、解答题：本大题共6个小题，共80分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）连接BC,由余弦定理得2BC =202+102－2×20×10COS120°=700.∴BC =107. ……………………………………5分（Ⅱ）∵710120sin 20sin ︒=θ， ∴sin θ =73 ∵θ是锐角，∴74cos =θ ()x x x f cos cos sin sin 22θ+θ==()ϕ+=+x x x sin 75cos 74sin 73∴()x f 的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-75,75. ……………………………………13分 16. （本题满分13分）(Ⅰ)=表面积S 104421210810828822⨯⨯π+⨯π⨯+⨯+⨯⨯+⨯⨯=π+56368. ………4分 (Ⅱ)（i ）∵长方体1111D C B A ABCD -∴BA B A AD 11平面⊥ ∵BA B A B A 111平面⊂∴B A AD 1⊥又∵BA B A 11是边长为8的正方形 ∴11AB B A ⊥ ∵A AD AB =⋂1∴D C AB B A 111平面⊥. …………………………9分（ii ）建立直角坐标系xyz D -，则()0,0,10A ,()8,0,m P∴()8,0,10-=m ∵D C AB B A 111平面⊥∴()8,8,01-=A 为平面D C AB 11的法向量()()64102428641064sin 2211+-=⋅+-=⋅⋅=θm m BA APB A AP∵[]10,0∈m ∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈θ22,41822sin . …………………………13分 17. （本题满分13分）解：(Ⅰ)说明另四道题也全答对，相互独立事件同时发生，即：64141412121=⨯⨯⨯.………5分 (Ⅱ)答对题的个数为4，5，6，7，8，其概率分别为：()649434321214=⨯⨯⨯==ξP ()64242434121212434321215=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯==ξP()64226==ξP ()6487==ξP ()==ξ8P 64141412121=⨯⨯⨯分布列为：……………………………13分18. （本题满分13分）解： (I) 当1=n 时，1211+=a a ，∴()0121=-a ，11=a当2=n 时，11222+=+a a ，∴212=+a ，32=a ； …………………3分 (II) ∵12+=n n a S ，∴()214+=n n a S()21114+=--n n a S ，相减得：()()0211=--+--n n n n a a a a∵{}n a 是正数组成的数列，∴21=--n n a a ，∴12-=n a n ； …………………8分 （Ⅲ）()[]()()[]()242312111123131++-++++-++=+a a a a b T n +⋅⋅⋅+()n n a 32+=1+()()()()[]nn n S 1113332122-+⋅⋅⋅+-+-++⋅⋅⋅+++=1+()()()()()()111113131322-----+--+nn n =()2182321nn n -++-+. …………………13分 19.（本题满分14分）[来源:学&科&网Z&X&X&K] 解：（Ⅰ）可得'21ln ()xf x x -=. 当0x e <<时,'()0f x >,()f x 为增函数;当e x <时,'()0f x <,()f x 为减函数.……4分 （Ⅱ）依题意， 转化为不等式xx a 1ln +<对于0>x 恒成立 令1()ln g x x x =+， 则21111()1g x x x x x ⎛⎫'=-=- ⎪⎝⎭当1x >时，因为11()10g x x x ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭，()g x 是(1)+∞，上的增函数， 当()1,0∈x 时，()0<'x g ，()g x 是()1,0上的减函数， 所以 ()g x 的最小值是(1)1g =，从而a 的取值范围是()1,∞-. …………………8分 （Ⅲ）转化为m x x x -+=3261ln 2，x y ln =与m x x y -+=32612在公共点00(,)x y 处的切线相同由题意知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-+=323113261ln 000200x x m x x x∴解得：01x =，或03x =-（舍去），代人第一式，即有65=m . (4)20.（本题满分14分） [来源:学科网] 解：（Ⅰ）∵动点M 到定点F 与到定直线2px -=的距离相等 ∴点M 的轨迹为抛物线，轨迹C 的方程为：px y 22=. ……………4分（Ⅱ）设()()2211,,,y x B y x A∵0=⋅∴02121=+y y x x [来源:Z,xx,]∵2221212,2px y px y ==∴2214p x x = ∴()()2222212124141y x y x OB OA SAOB++==∆ =()()2221212241px x px x ++ =()()[]21221212214241x x p x x x px x x +++ ≥()[]212212122142241x x p x x x px x x +⋅+=416p ∴当且仅当p x x 221==时取等号，AOB ∆面积最小值为24p . ……………9分[来源:学科网]（Ⅲ）设()()4433,,,y x Q y x P 关于直线m 对称，且PQ 中点()00,y x D∵ ()()4433,,,y x Q y x P 在轨迹C 上 ∴4243232,2px y px y ==两式相减得：()()()4343432x x p y y y y -=+-∴pk y y x x py y 22434343-=--=+∴pk y -=0∵()00,y x D 在()02:≠⎪⎭⎫⎝⎛-=k p x k y m 上 ∴020<-=px ，点()00,y x D 在抛物线外 ∴在轨迹C 上不存在两点Q P ,关于直线m 对称. ……………14分[来源:学_科_网Z_X_X_K]。
【数学练习】北京市宣武区高三第一学期期末质量检测(附答案)
北京市宣武区第一学期期末质量检测高三数学（理）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页。
全卷满分150分。
考试时间为120分钟。
第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题（本大题共有8个小题，每小题5分，共40分；在每个小题给出的四个选项中，有且只有一个是符合题目要求的）1、i是虚数单位，复数等于（）A、1+iB、C、D、2、已知，且，则的值为（）A、 B、 C、 D、3、设，则“”是“”的（）A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充分必要条件D、既不充分也不必要条件4、已知、是三个互不重合的平面，是一条直线，给出下列四个命题：①若，则；②若，则；③若上有两个点到的距离相等，则；④若，则。
其中正确命题的序号是（）A、①②B、①④C、②④D、③④5、函数的图象与函数的图象关于（）A、点对称B、直线x=1对称C、点（1，0）对称D、直线对称6、在北纬45°的纬线圈上有A、B两地，A地在东经110°处，B地在西经160°处，设地球半径为R，则A、B两地的球面距离是（）A、 B、 C、 D、7、身穿兰、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿红色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法共有（）A、48种B、72种C、78种D、84种8、设定义在上的函数的反函数为，且对于任意的，都有，则等于（）A、0B、－2C、2D、第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分；把答案填在相应的位置上）。
9、_______________。
10、的展开式中常数项的值为_______________。
11、已知数列的前n项和为，且，则等于_______________。
12、已知向量满足，且，则与的夹角是__________。
13、函数的最小正周期为__________。
14、定义在上的函数，满足，且，则f(22)= __________。
2010年北京宣武区高三一模试题：数学(理)A
2010年北京宣武区高三一模试题：数学（理）A一、选择题（共2小题；共10分）1. 若椭圆与双曲线（均为正数）有共同的焦点，是两曲线的一个公共点，则等于______A. B. C. D.2. 设函数的定义域为，若对于给定的正数，定义函数则当函数，时，定积分的值为______A. B. C. D.二、填空题（共4小题；共20分）3. 把容量是的样本分成组，从第组到第组的频数分别是，，，，第组到第组的频率之和是，那么第组的频率是______．4. 若某几何体的三视图（单位：）如图所示，则此几何体的体积是______ ．5. 若，，是上三点，切于点，，，则的大小为______．6. 若直线与曲线（为参数，）有两个公共点，且，则实数的值为______；在此条件下，以直角坐标系的原点为极点，轴正方向为极轴建立坐标系，则曲线的极坐标方程为______．三、选择题（共6小题；共30分）7. 设集合，，则下列关系中正确的是______A. B. C. D.8. 设平面向量，，若，则等于______A. B. C. D.9. 若复数满足，则对应的点位于______A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限10. 设函数，则其零点所在的区间为______A. B. C. D.11. 若为等差数列，是其前项和，且，则的值为______A. B. C. D.12. 某单位员工按年龄分为，，三级，其人数之比为，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为的样本，已知组中甲、乙二人均被抽到的概率是，则该单位员工总数为______A. B. C. D.四、填空题（共2小题；共10分）13. 若，，为的三个内角，则的最小值为______．14. 有下列命题：①若存在导函数，则；②若函数，则；③若函数，则；④若三次函数，则" "是" 有极值点"的充要条件．其中真命题的序号是______．五、解答题（共6小题；共78分）15. 已知函数．（1）求函数的最小正周期及图象的对称轴方程；（2）设函数，求的值域．16. 如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，．为中点，为中点．（1）求证：；（2）求二面角的余弦值；（3）若四棱锥的体积为，求的长．17. 某公司要将一批海鲜用汽车运往 A 城，如果能按约定日期送到，则公司可获得销售收入万元，每提前一天送到，将多获得万元，每迟到一天送到，将少获得万元，为保证海鲜新鲜，汽车只能在约定日期的前两天出发，且行驶路线只能选择公路或公路中的一条，运费由公司承担，其他信息如表所示．（1）记汽车走公路时公司获得的毛利润为（万元），求的分布列和数学期望；（2）假设你是公司的决策者，你选择哪条公路运送海鲜有可能获得的毛利润更多?（注：毛利润销售收入运费）18. 已知函数．（1）若为的极值点，求的值；（2）若的图象在点处的切线方程为，①求在区间上的最大值；②求函数的单调区间．19. 已知椭圆的离心率为．（1）若原点到直线的距离为（2）设过椭圆的右焦点且倾斜角为的直线和椭圆交于两点．①当时，求的值；②对于椭圆上任一点，若，求实数满足的关系式．20. 已知数列满足，点在直线上．（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，．求的值；（3）对于（2）中的数列，求证：．答案第一部分1. C2. D第二部分3.4.5.6.第三部分7. D 8. A 9. B 10. B11. B 12. B第四部分13.14. ③第五部分15. （1）所以最小正周期．由得函数图象的对称轴方程为（2）当时，取得最小值；当时，取得最大值，故的值域为．16. （1）因为平面，平面，所以．因为，所以，又因为，所以平面．又是的中点，所以平面，所以．（2）如图，，设，则，，，．所以，，．由（1）知，平面，所以是平面的法向量．设平面的法向量为，则且，所以，，取，得．设二面角的平面角为，所以，故二面角的余弦值为．（3）如图，连接．，所以．因为是直角三角形，为中点．所以．17. （1）汽车走公路1时不堵车时获得的毛利润万元．堵车时公司获得的毛利润万元，汽车走公路1时获得的毛利润的分布列为所以万元．（2）设汽车走公路2时获得的毛利润为万元．不堵车时获得的毛利润万元，堵车时的毛利润万元，所以汽车走公路时获得的毛利润的分布列为所以万元，所以，故选择公路可能获利更多．18. （1）．因为是极值点，所以，即．解得或．经检验或满足为的极值点．（2）因为在上，所以．因为在上，所以．又，所以．所以，解得．所以①由可知和是的极值点．因为，所以在区间上的最大值为．②由已知得，则令，得．当时，，此时在上单调递减；当时，随的变化情况如下表：此时在，上单极小值极大值调递减，在上单调递增．当时，随的变化情况如下表：此时在，上单极小值极大值调递减，在上单调递增．综上所述：当时，在上单调递减；时，在，上单调递减，在上单调递增；时，在，上单调递减，在上单调递增．19. （1）因为，所以．因为，所以．因为，所以，解得．故椭圆的方程为．（2）①因为，所以，椭圆的方程可化为易知右焦点，据题意有由①，②得：设，则，．解得．②显然与可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量，有且只有一对实数，使得等式成立．设，因为，所以．又点在椭圆上，所以由③有：．则又在椭圆上，故有将⑥，⑤代入④可得：．20. （1）因为点在直线上，所以上式两端加，得则数列是以为首项，为公比的等比数列，从而所以．（2）因为所以两式相减，得于是当且时，因为，，，所以于是当时，（3）由（2）知所以因为时，所以于是故成立．。
2010年北京宣武区高三一模试题：数学(理)
2010年北京宣武区高三一模试题：数学（理）一、选择题（共5小题；共25分）1. 若复数满足，则对应的点位于______A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 设函数，则其零点所在的区间为______A. B. C. D.3. 若为等差数列，是其前项和，且，则的值为______A. B. C. D.4. 若椭圆与双曲线（均为正数）有共同的焦点，是两曲线的一个公共点，则等于______A. B. C. D.5. 某单位员工按年龄分为，，三级，其人数之比为，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为的样本，已知组中甲、乙二人均被抽到的概率是，则该单位员工总数为______A. B. C. D.二、填空题（共3小题；共15分）6. 把容量是的样本分成组，从第组到第组的频数分别是，，，，第组到第组的频率之和是，那么第组的频率是______．7. 若某几何体的三视图（单位：）如图所示，则此几何体的体积是______ ．8. 若，，为的三个内角，则的最小值为______．三、选择题（共3小题；共15分）9. 设集合，，则下列关系中正确的是______A. B. C. D.10. 设平面向量，，若，则等于A. B. C. D.11. 设函数的定义域为，若对于给定的正数，定义函数则当函数，时，定积分的值为______A. B. C. D.四、填空题（共3小题；共15分）12. 若，，是上三点，切于点，，，则的大小为______．13. 若直线与曲线（为参数，）有两个公共点，且，则实数的值为______；在此条件下，以直角坐标系的原点为极点，轴正方向为极轴建立坐标系，则曲线的极坐标方程为______．14. 有下列命题：①若存在导函数，则；②若函数，则；③若函数，则；④若三次函数，则" " 是" 有极值点"的充要条件．其中真命题的序号是______．五、解答题（共1小题；共13分）15. 已知椭圆的离心率为．（1）若原点到直线的距离为，求椭圆的方程；（2）设过椭圆的右焦点且倾斜角为的直线和椭圆交于两点．①当时，求的值；②对于椭圆上任一点，若，求实数满足的关系式．答案第一部分1. B2. B3. B4. C5. B第二部分6.7.8.第三部分9. C 10. A11. D第四部分12.13.14. ③第五部分15. （1）因为，所以．因为，所以．因为，所以，解得．故椭圆的方程为．（2）①因为，所以，椭圆的方程可化为易知右焦点，据题意有由①，②得：设，则，．解得．②显然与可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量，有且只有一对实数，使得等式成立．设，因为，所以．又点在椭圆上，所以由③有：．则又在椭圆上，故有将⑥，⑤代入④可得：．。
2010年北京宣武区高三一模试题：数学(理)B
北京市宣武区2009—2010学年度高三第二学期第一次质量检测数 学 试 题（理）2010．4本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间为120分钟．第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分；在每个小题给出的四个选项中，有且只有一个是符合题目要求的） 1．（宣武·理·题1）设集合20.3{|0},2P x x m =-=≤，则下列关系中正确的是（ ） A ．m P ⊂ B ．m P ∉C ．{}m P ∈D ．{}m P Þ【解析】 D ；{|0P x x =≤≤，0.3022m <=<<m P ∈，因此{}m P Þ2．（宣武·理·题2）设平面向量(1,2),(2,)y ==-a b ，若a b ∥，则|3|+a b 等于（ ）A B C D 【解析】 A ；a b ∥，则2(2)104y y ⨯--⋅=⇒=-，从而3(1,2)+=a b3．（宣武·理·题3）若复数z 满足2i 1iz=+，则z 对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解析】 B ；2i(1i)22i z =+=-+．4．（宣武·理·题4） 设函数231()2x f x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则其零点所在的区间为（ ） A ．（0，1） B ．（1，2）C ．（2，3）D ．（3，4）【解析】 B ；()f x 在R 上单调增，(1)10f =-<，(2)70f =>，故零点所在区间(1,2)．5．（宣武·理·题5）若{}n a 为等差数列，n S 是其前n 项和，且1122π3S =，则6tan a 的值为（ ） AB．C．D． 【解析】 B ；由1112105762a a a a a a a +=+==+=，可得11611S a =，∴62π3a =． 6．（宣武·理·题6）若椭圆221x y m n+=与双曲线221(,,,x y m n p q p q -=均为正数）有共同的焦点1F ，2F ，P 是两曲线的一个公共点，则12||||PF PF ⋅等于（ ） A ．22p m - B ．p m -C ．m p -D ．22m p -【解析】 C ；由题设可知m n >，再由椭圆和双曲线的定义有12||||PF PF +=及12||||PF PF -=±12||||PF PF m p =-．7．（宣武·理·题7）某单位员工按年龄分为,,A B C 三级，其人数之比为5:4:1，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本，已知C 组中甲、乙二人均被抽到的概率是145，则该单位员工总数为 （ ） A ．110 B ．100C ．90D ．80【解析】 B ；设员工总数为n ，则C 组人数为154110nn ⨯=++，由分层抽样知C 组中抽取的人数为120210⨯=，于是甲乙二人均被抽到的概率为2101C 45n =，解得100n =． 8．（宣武·理·题8）设函数()y f x =的定义域为+R ，若对于给定的正数K ，定义函数,()()(),()K K f x Kf x f x f x K ⎧=⎨>⎩≤， 则当函数1(),1f x K x ==时，定积分214()k f x dx ⎰的值为（ ）A ．2ln22+B ．2ln21-C ．2ln2D ．2ln21+【解析】 D ；由题设111,1()11,1xf x x x⎧⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩≤，于是定积分212121*********()1ln 2ln 21f x dx dx dx x x x =+=+=+⎰⎰⎰．第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）9．（宣武·理·题9）把容量是100的样本分成8组，从第1组到第4组的频数分别是15，17，11，13，第5组到第7组的频率之和是0.32，那么第8组的频率是．【解析】0.12；1517111310.320.12100100100100-----=．10．（宣武·理·题10）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是3cm．10题图俯视图左视图正视图【解析】6；几何体如图所示，正面为22⨯的正方形，侧面为直角梯形，两个底边长分别为1和2，因此不难算出体积为3122262+⨯⨯=cm．11．（宣武·理·题11）若,,A B C是O⊙上三点，PC切O⊙于点C，110,40ABC BCP∠=︒∠=︒，则A O B∠的大小为．60︒解析：如图，弦切角40PCB CAB∠=∠=︒，于是18030ACB CAB ABC∠=︒-∠-∠=︒，从而260AOB ACB ∠=∠=︒．POCBA12．（宣武·理·题12）若直线:0l x =与曲线:x a C y φφ⎧=⎪⎨⎪⎩（φ为参数，0a >）有两个公共点,A B ，且||2AB =，则实数a 的值为 ；在此条件下，以直角坐标系的原点为极点，x 轴正方向为极轴建立坐标系，则曲线C 的极坐标方程为 ． 【解析】 22,4cos 20ρρθ-+=；曲线C ：22()2x a y -+=，点C 到l 的距离为2a=，因此||22AB a ==⇒=；222(2cos )(2sin )ρθθ-+=，即24cos 20ρρθ-+=．13．（宣武·理·题13）若,,A B C 为ABC △的三个内角，则41A B C++的最小值为 ． 【解析】 9π；πA B C ++=，且41()5459B C A A B C A B C A B C +⎛⎫+++=+⋅++= ⎪++⎝⎭≥， 因此419πA B C ++≥，当且仅当4B C A A B C+⋅=+，即2()A B C =+时等号成立． 14．（宣武·理·题14） 有下列命题：①若()f x 存在导函数，则(2)[(2)]f x f x ''=； ②若函数44()cos sin h x x x =-，则π112h ⎛⎫'= ⎪⎝⎭；③若函数()(1)(2)(2009)(2010)g x x x x x =----，则(2010)2009!g '=；④若三次函数32()f x ax bx cx d =+++，则“0a b c ++=”是“()f x 有极值点”的充要条件． 其中真命题的序号是 ．【解析】 ③；[](2)(2)(2)2(2)f x f x x f x ''''==，①错误；33()4cos (sin )4sin cos 4sin cos 2sin 2h x x x x x x x x '=--=-=-，则π112h ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，②错；[][]()(1)(2)(2009)(2010)(1)(2)(2009)g x x x x x x x x ''=----+---，③正确；2()32f x ax bx c '=++，224124(3)b ac b ac ∆=-=-，只需230b ac ->即可，0a b c ++=是230b ac ->的充分不必要条件．三、解答题（本大题共6个小题，共80分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（宣武·理·题15） 已知函数22π()cos 2sin cos 3f x x x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭⑴求函数()f x 的最小正周期及图象的对称轴方程； ⑵设函数2()[()]()g x f x f x =+，求()g x 的值域．【解析】 ⑴221()cos 22sin cos 2f x x x x x =++-1πcos 22cos 2sin 226x x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， ∴最小正周期2ππ2T ==．由ππ2π()62x k k -=+∈Z ，得ππ()23k x k =+∈Z函数图象的对称轴方程为ππ()23k x k =+∈Z⑵222πππ11()[()]()sin 2sin 2sin 266624g x f x f x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+-=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦当π1sin 262x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭时，()g x 取得最小值14-；当πsin 216x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭时，()g x 取得最大值2，所以()g x 的值域为,241⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．16．（宣武·理·题16）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，90ABC BAD ∠=∠=︒，12PA AB BC AD ===．E 为AB 中点，F 为PC 中点．⑴求证：PE BC ⊥；⑵求二面角C PE A --的余弦值；⑶若四棱锥P ABCD -的体积为4，求AF 的长．FE DBA P【解析】 ⑴∵PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD∴PA BC ⊥ ∵90ABC ∠=︒ ∴BC AB ⊥ ∴BC ⊥平面PAB 又E 是AB 中点， ∴PE ⊂平面PAB ∴BC PE ⊥．⑵建立直角坐标系A xyz -，设1AB = 则1(1,0,0),(1,1,0),(0,0,1),,0,02B C P E ⎛⎫⎪⎝⎭∴11(0,1,0),,0,1,,1,022BC EP EC ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由⑴知，BC ⊥平面PAE ， ∴BC 是平面PAE 的法向量． 设平面PEC 的法向量为(,,)n x y z =， 则0n EC ⋅=且0n EP ⋅=，∴11,,(2,1,1)22y x z x n =-==-．∴6cos ||||n BC n BC θ⋅==⋅， 二面角C PE A --的余弦值为．⑶连结AC ，设AB a =，3124322P ABCD a a a V a a -+=⨯⨯⨯==，∴2a =．∵PAC △是直角三角形，∴12AF PC =17．（宣武·理·题17）某公司要将一批海鲜用汽车运往A 城，如果能按约定日期送到，则公司可获得销售收入30万元，每提前一天送到，或多获得1万元，每迟到一天送到，将少获得1万元，为保证海鲜新鲜，汽车只能在约定日期的前两天出发，且行驶路线只能选择公路1或公路2中的一条，运费由公司承担，其他信息⑴记汽车走公路1时公司获得的毛利润为ξ（万元），求ξ的分布列和数学期望E ξ； ⑵假设你是公司的决策者，你选择哪条公路运送海鲜有可能获得的毛利润更多？ （注：毛利润=销售收入-运费）【解析】 ⑴汽车走公路1时不堵车时获得的毛利润30 1.628.4ξ=-=万元堵车时公司获得的毛利润30 1.6127.4ξ=--=万元 ∴汽车走公路1时获得的毛利润ξ的分布列为∴9128.427.428.31010E ξ=⨯+⨯=万元⑵设汽车走公路2时获得的毛利润为η万元 不堵车时获得的毛利润300.8130.2η=-+=万元 堵车时的毛利润300.8227.2η=--=万元 ∴汽车走公路2时获得的毛利润的分布列为∴1130.227.228.722E η=⨯+⨯=万元∴E E ξη<∴选择公路2可能获利更多．18．（宣武·理·题18）已知函数3221()(1)(,)3f x x ax a x b a b =-+-+∈R⑴若1x =为()f x 的极值点，求a 的值；⑵若()y f x =的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为30x y +-=，①求()f x 在区间[2,4]-上的最大值；②求函数()[()(2)]()x G x f x m x m e m -'=+++∈R 的单调区间． 【解析】 ⑴22()21f x x ax a '=-+-．∵1x =是极值点，∴(1)0f '=，即220a a -=． ∴0a =或2．⑵∵(1,(1))f 在30x y +-=上．∴(1)2f =∵(1,2)在()y f x =上，∴21213a ab =-+-+又(1)1f '=-，∴21211a a -+-=-∴2210a a -+=，解得81,3a b ==∴22218(),()233f x x x f x x x '=-+=-①由()0f x '=可知0x =和2x =是()f x 的极值点．∵84(0),(2),(2)4,(4)833f f f f ==-=-=∴()f x 在区间[2,4]-上的最大值为8． ②2()()x G x x mx m e -=++22()(2)()[(2)]x x x G x x m e e x mx m e x m x ---'=+-++=-+-令()0G x '=，得0,2x x m ==-当2m =时，()0G x '≤，此时()G x 在(,)-∞+∞单调递减 当2m >时：此时()G x 在(,2)(0,)m -∞-+∞上单调递减，在(2,0)m -上单调递增．当2m <时：此时()G x 在(,0)(2,)m -∞-+∞上单调递减，在(0,2)m -上单调递增，综上所述：当2m =时，()G x 在(,)-∞+∞单调递减； 2m >时，()G x 在(,2)(0,)m -∞-+∞单调递减，在(2,0)m -单调递增；2m <时，()G x 在(,0)(2,)m -∞-+∞单调递减，在(0,2)m -单调递增．19．（宣武·理·题19）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>⑴若原点到直线0x y b +-= ⑵设过椭圆的右焦点且倾斜角为45︒的直线l 和椭圆交于,A B 两点．i)当||AB =b 的值；ii)对于椭圆上任一点M ，若OM OA OB λμ=+，求实数,λμ满足的关系式．【解析】 ⑴∵d 2b =．∵c e a ==2223c a =．∵222a b c -=，∴22243a a -=，解得2212,4ab ==．椭圆的方程为221124x y+=．⑵i)∵c a =2222223,23a b c a b ===，椭圆的方程可化为 22233x y b += …………①易知右焦点,0)F ，据题意有AB ：y x = ………②由①，②有：22430x b -+= …………③ 设1122(,),(,)A x y B x y ，||AB ===∴1b =ii)显然OA 与OB 可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量OM ，有且只有一对实数,λμ，使得等式OM OA OB λμ=+成立． 设(,)M x y ，∵1122(,)(,)(,)x y x y x y λμ=+，∴1212,x x x y y y λμλμ=+=+又点M 在椭圆上，∴2221212()3()3x x y y b λμλμ+++= ……………④由③有：2121234b x x x x +==则222212121212121233()()4()63960x x y y x x x x x x x x b b b b +=+=-++=-+=……………⑤又,A B 在椭圆上，故有222222112233,33x y b x y b +=+= …………⑥ 将⑥，⑤代入④可得：221λμ+=．20．（宣武·理·题20）已知数列{}n a 满足11a =，点1(,)n n a a +在直线21y x =+上． ⑴求数列{}n a 的通项公式； ⑵若数列{}n b 满足*11121111,(2,)n n n b b a n n a a a a -==+++∈N ≥，求11(1)n n n n b a b a ++-+的值； ⑶对于⑵中的数列{}n b ，求证：121210(1)(1)(1)3n n b b b b b b +++<*()n ∈N ．【解析】 ⑴∵点1(,)n n a a +在直线21y x =+上，∴121n n a a +=+∴112(1)n n a a ++=+，{1}n a +是以2为首项，2为公比的等比数列， ∴21()n n a n *=-∈N⑵∵121111(2n n n b n a a a a -=+++≥且)n *∈N ， ∴111211111n n n n b a a a a a ++-=++++，111n n n n nb b a a a ++=+ ∴11(1)0(2n n n n b a b a n ++-+=≥且)n *∈N ； 当1n =时，2112(1)3b a b a -+=-．⑶由⑵知22111(2),nnn n b a n b a b a +++==≥ ∴12111111n b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11212112123111111111n n n n n n n b b b b b b b b b b b b b b b b -+++++++++=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 311121123411121111122()n n n n n n n na a ab b a b b b a a a a a a a a -+++++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅=+++ ∵2k ≥时，111111212112()21(21)(21)(21)(21)2121k k kk k k k k k +++++-=<=-------- ∴12111111321n n a a a +++=+++- 231111111151212212121213213n n n ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+-++-=+-< ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， ∴12111101113nb b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 即121210(1)(1)(1)3n n b b b b b b +++<．。
《北京市宣武区理科》word版
北京市宣武区第一学期期末质量检测高三数学（理） 本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。
第I 卷（选择题 共40分）一、选择题（本大题共有8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是符合题目要求的）1. 已知复数，则复数在复平面内的对应点位于 （ ） A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限2.“极限 存在”是“函数f(x)在x=x 0处连续”的 （ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3．已知非零向量若且又知则实数k 的值为（ ）A. B. C. 3 D. 6 4. 关于直线a,b,c,以及平面M,N ，给出下列命题：（1）若a ∥M, b ∥M ,则a ∥b;（2）若a ∥M, b ⊥M, 则a ⊥b; （3）若a ∥b, b ∥M, 则a ∥M;（4）若a ⊥M, a ∥N, 则M ⊥N.其中正确命题的个数为 （ ） A.0 B. 1 C.2 D.35. 等比数列{a n }中，其公比q<0，且a 2=1-a 1,a 4=4-a 3,则a 4+a 5等于 （ ）A. 8B. -8C.16D.-166. △ABC 中，a,b,c 分别是内角A,B,C 的对边，且cos2B+3cos(A+C)+2=0,b=,则c:sinC= （ ） A. 3:1 B. :1 C. :1 D. 2:1 7.已知f(x)是R 上的偶函数，且f(1)=0，g(x)是R 上的奇函数，且对于x ∈R ，都有g(x)=f(x-1),则f(2009)的值是 （ ） A. 0 B. 1 C. -1 D. 28. 如图，在直三棱柱A 1B 1C 1-ABC中,,AB=AC=A 1A=1,已知G 与E 分别是棱A 1B 1和CC 1的中点，D 与F 分别是线段AC 与AB 上的动点（不包括端点）。
北京市宣武区高三第一学期期末质量检测(理)
2007-2008学年北京市宣武区高三第一学期期末质量检测数 学 试 题（理）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页．全卷满分150分．考试时间为120分钟．第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题（本大题共有8个小题，每小题5分，共40分；在每个小题给出的四个选项中，有且只有一个是符合题目要求的） 1．i 是虚数单位，复数ii-12等于 （ ）A ．1+iB ．1-iC ．-1+iD ．-1-i 2．已知53cos =θ，且⎪⎭⎫⎝⎛∈ππθ2,23，则θtan 的值为（ ）A ．43B ．43- C ．35D ．34- 3．“1>x ”是“11<x”成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知βα,、γ是三个互不重合的平面，l 是一条直线，给出下列四个命题： ①若ββα⊥⊥l ,，则α//l ；②若βα//,l l ⊥，则βα⊥；③若l 上有两个点到α的距离相等，则α//l ； ④若γαβα//,⊥，则βγ⊥． 其中正确命题的序号是（ ）A ．①②B ．①④C ．②④D ．③④ 5．函数xy 3=的图象与函数2)31(-=x y 的图象关于（ ）A ．点（-1，0）对称B ．直线x =1对称C ．点（1，0）对称D ．直线x =-1对称6．在北纬45°的纬线圈上有A 、B 两地，A 地在东经110°处，B 地在西经160°处，设地球半径为R ，则A 、B 两地的球面距离是（ ）A ．R 2πB ．R 3πC ．R 35π D ．R π7．身穿兰、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿红色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法共有 （ ）A ．48种B ．72种C ．78种D ．84种8．设定义在R 上的函数)(x f 的反函数为)(1x f -，且对于任意的R x ∈，都有3)()(=+-x f x f ，则)4()1(11x f x f -+---等于（ ）A ．0B ．-2C ．2D ．42-x第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分；把答案填在相应的位置上）．9．=+--→2422x x linx ____________________． 10．621⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中常数项的值为_______________．11．已知数列}{n a 的前n 项和为等于则且7),1(2,a a S S n n n -= .12．已知向量b a ,满足2||,1||==b a ，且2)(=+⋅b a a ，则a 与b 的夹角是__________． 13．函数3)sin 3)(cos cos 3(sin +--=x x x x y 的最小正周期为 .14．定义在*N 上的函数⎪⎩⎪⎨⎧=+=为奇数为偶数且满足n n f n n f n f f x f ),(),(21)1(,1)1(),(，则=)22(f ____________________．三、解答题（本大题共6个小题，共80分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本题满分13分）在ABC ∆中，43cos ,1,2===C BC AB ． （1）求A sin 的值； （2）求CA BC ⋅的值. 16．（本题满分13分）已知数列{}n a 是首项为41=a ，公比1≠q 的等比数列，n S 是其前n 项和，且3512,,4a a a -成等差数列．（1）求公比q 的值；（2）设n n S S S S A ++++= 321，求A n ． 17．（本题满分13分）如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 为AB 的中点. （1）求直线B 1C 与DE 所成角的余弦值； （2）求证：平面EB 1D ⊥平面B 1CD ； （3）求二面角E —B 1C —D 的余弦值.18．（本题满分13分）某公园有甲、乙两个相邻景点，原拟定甲景点内有2个A 班的同学和2个B 班的同学；乙景点内有2个A 班同学和3个B 班同学，后由于某种原因，甲乙两景点各有一个同学交换景点观光.（1）求交换后甲景点恰有2个A 班同学的概率； （2）求交换后甲景点A 班同学数ξ的分布列及期望. 19．（本题满分14分）已知函数e dx cx bx ax x f ++++=234)(（其中a 、b 、c 、d 、R e ∈）为偶函数，它的图象过点)1,0(-A ，且在1=x 处的切线方程为022=-+y x ． （1）求函数)(x f 的表达式；（2）若对任意R x ∈，不等式)1()(2+≤x t x f 总成立，求实数t 的取值范围． 20．（本题满分14分）已知集合},|1||{2R a x a a x x A ∈+≤+=. （1）求A ；（2）若以a 为首项，a 为公比的等比数列前n 项和记为S n ，问是否存在实数a 使得对于任意的A S N n n ∈∈*均有,.若存在，求出a 的取值范围.若不存在，说明理由.。
北京市宣武区2009—2010学年度第一学期期末质量检测
北京市宣武区2009—2010学年度第一学期期末质量检测高三物理 2010.1第I 卷 选择题 (每小题3分,共42分）本卷包括14个小题.在以下各题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的选项涂写在机读卡中的相应位置。
1. 关于电磁波，下列说法中不正确．．．的是 A 在传播过程中传递能量 B 其频率与传播波的介质有关C 它能产生干涉、衍射现象D 它能在真空中传播2．如图所示，内壁光滑绝缘的半球形容器固定在水平面上，O 为球心，一质量为m 、带电量为q 的小滑块，静止于P 点，整个装置处于沿水平方向的匀强电场中。
设滑块所受支持力为F N , OP 与水平方向的夹角为θ。
下列关系正确的是A ．θtan mgqE =B ．qE=mg tan θC ．θtan mgF N =D ．F N =mg tan θ3. 如图所示，三个完全相同的金属小球a 、b 、c 位于等边三角形的三个顶点上。
a 带负电，b 和c 带正电， a 所带电量大小比b 的要大。
已知c 受到a 和b 的静电力的合力可用图中四条有向线段中的一条来表示，那么它应是 A. F 1 B.F 2 C.F 3 D.F 44. 图示为沿x 轴正向传播的简谐横波在某时刻波形图，波速2.0m/s ，下列说法正确的是A ．该波的振动周期为4 sB ．质点P 此时刻的振动方向沿y 轴正方向C ．经过Δt=4 s ，质点P 将向右移动8.0 mD ．经过Δt=4 s ，质点Q 通过的路程是0.40 m5．一个质点以o 为中心做简谐运动，位移随时间变化的图象如图所示，a 、b 、c 、d 表示的是质点在不同时刻的相应位置。
下面说法正确的是A ．质点在位置b 比在位置d 时相位超前4π B ．质点通过位置b 时，相对平衡位置的位移为A /2 C ．质点从位置a 到c 和从位置b 到d 所用的时间相等 D ．质点从位置a 到b 和从b 到c 的过程中平均速度相等6. 个条形磁铁从导体环的右上方较高处突然向下移动，中正确的事A. 导体环向左运动；从上向下看，电流方向是顺时针方向B. 导体环向右运动；从上向下看，电流方向是顺时针方向C. 导体环向右运动；从上向下看，电流方向是逆时针方向D. 导体环向左运动；从上向下看，电流方向是逆时针方向7．如图所示，理想变压器副线圈通过导线接两个相同的灯泡L 1和L 2。
2010年北京市高考理科数学试卷与答案
2010 年普通高等学校招生全国统一考试数学（理） 第 I 卷选择题（共40 分） 一、 本大题共 8 小题，每小题5 分，共 40 分。
在每小题列出的4 个选项中，选出符合题目要求的一项。
1， 集合 P x Z | 0 x 3 , M x R | x29 ，则 P M（ A ） 1,2 （ B ） 0,1,2 （ C ） x | 0 x 3 （ D ） x |0x 32，在等比数列 a n中， a1 1，公比 q 1.若 a m a1a2 a3 a4 a5 ，则m（A ）9 （ B ）10 （ C ） 11 3，一个长方体去掉一个小长方体，所得集（ D ） 12 合体的正（主）视图与侧（左）视图分别如 右图所示，则该几何体的俯视图为正（主）视图侧（左）视图（ A ）（B ）（ C ） （D ）4，8 名学生和 2 位老师站成一排合影， 2 位老师不相邻的排法总数为（A ） A 88 A 92 （ B ） A 88C 92 （ C ） A 88A 72 （ D ） A 88 C 925，极坐标方程(1)( ) 0(0) 表示的图形是 （A ）两个圆 （ B ）两条直线（C ）一个圆和一条射线 （ D ）一条直线和一条射线6， a, b 为非零向量，“ a b ”是“函数 f( x) ( xa b) ( xb a) 为一次函数”的（A ）充分而不必要条件 （ B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件 （ D ）既不充分也不必要条件x y 11 0a x 的图象上7，设不等式组3x y 3 0 表示的平面区域为D，若指数函数y存在5x 3y9 0区域 D 上的点，则 a 的取值范围是（A） (1,3] （ B） 2,3 （ C） (1,2] （ D） [3, )8，如图，正方体ABCD A1 B1C1 D1的棱长D1C1为 2 ，动点 E， F 在棱 A1 B1上，动点P，Q E FB1分别在棱AD ,CD 上，若A1E F1 1, A E , x D ,（Qx, y, zy大 DP zQ CD于零），则四面体P EFQ 的体积（A）与 x, y, z 都有关（B）与 x 有关，与y, z 无关（C）与 y 有关，与x, z 无关（D）与 z 有关，与x, y 无关PA B第II 卷（共 110 分）二、填空题：本大题共6 小题，每题5 分，共30分。
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北京市宣武区2009-2010学年度第一学期期末质量检测高 三 数 学（理科） 2010.1本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页.全卷满分150分. 考试时间为120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题（本大题共有8个小题，每小题5分，共40分；在每个小题给出的四个选项中，有且只有一个是符合题目要求的）1.设集合{}4,3,2,1=A ，{}5,4,3=B ，全集B A U ⋃=，则集合()B A C U ⋂的元素个数有 （ ）A ． 1个B ．2个C ．3个D ．4个2. “2=a ”是“直线03:21=++y a x l 与直线14:2-=x y l 互相垂直”的 （ ）3.下列结论正确的是( )4.从45名男生和15名女生中按分层抽样的方法，选出8人参加国庆活动.若此8人站在同一排，则不同的排法种数为 （ ） A ．215645C C B ．88215645A C C C ．315545C C D ．88315545A C C5.如图，设D 是图中边长为4的正方形区域，E 是D 内函数2x y =图象下方的点构成的区域．向D 中随机投一点，则该点落入E 中的概率为 （ ）6.设函数()142cos 3sin 323-+θ+θ=x x x x f ，其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡π∈θ650，，则导数()1-'f 的取值范围是 （ ）A ． []63，B ．[]343+，C ．[]634，-D ． []3434+-，A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A ． ,R x ∈∃ 使0122<+-x x 成立B ． 0>∀x ，都有2lg 1lg ≥+xx 成立C ．函数22122y x x =+++的最小值为2D ．02x <≤时，函数=y 1x x-有最大值为23A ．51 B ．41 C ．31 D ．2112 题图7. 如图，正方体1111ABC D A B C D -的棱长为2，线段11B D 上有一个点E ，且11=ED ，则四棱锥D BED A 1-的体积为 ( )8. 已知函数)(x f 和()2+x f 都是定义在R 上的偶函数，当[]2,2-∈x 时，())(x g x f =.则当[]24,24+---∈n n x ∈n Z时，()x f 的解析式为（ ）A ． )(x gB ．)2(n x g +C ．)4(n x g +D ．)4(n x g -第Ⅱ卷 （非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分；把答案填在相应的位置上）。
9.已知()nx +3的展开式中二项式系数之和为16，则=n ；设i 为虚数单位，复数()ni +1的运算结果为 .10. 已知非零向量b a ,满足：b a 2=，且()b a b +⊥，则向量a 与向量b 的夹角θ= ___ .11.如果点P 在不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤-+≥+-01202022y y x y x 所确定的平面区域内,点Q 在圆()1)3(322=-+-y x 上，那么|PQ |的最小值为________. 12.执行如图程序框图，若输出的y 值为11，则输入的x 值为_________.A ．22B ． 2C ．24+D ．324+13 题图13.如图,已知ABC ∆和BCD ∆所在平面互相垂直，90=∠=∠BCD ABC ，a AB =，b BC =，c CD =，且1222=++c b a ，则三棱锥BCD A -的外接球的表面积为 .14.用γβα,,三个字母组成一个长度为1+n *)(N n ∈个字母的字符串，要求由α开始，相邻两个字母不同. 例如1=n 时，排出的字符串可能是αβ或αγ；2=n 时排出的字符串可能是αβγαβα，，αγβαγα，(如图).若记这种1+n 个字符串中，排在最后一个的字母仍是α的所有字符串的种数为n a ， 可知，2,021==a a ；则=4a ___ ；数列{}n a 的前n 2项之和=+⋅⋅⋅+++n a a a a 2321 .三、解答题（本大题共6个小题，共80分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.（本小题共13分）已知ABC ∆三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c , B a b sin 23⋅=，且0>⋅AC AB .（Ⅰ）求A ∠的度数； （Ⅱ）若()23cos cos =+-B C A ，6=a ，求ABC ∆的面积.16. （本小题共13分）如图正三棱柱111C B A ABC -，21=AA ,2=AB ，若N 为棱AB 中点.（Ⅰ）求证：1AC ∥平面C NB 1；（Ⅱ）求11C A 与平面C NB 1所成的角正弦值.17. （本小题共13分）某单位举办2010年上海世博会知识宣传活动，进行现场抽奖．盒中装有9张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“世博会会徽”或“海宝”（世博会吉祥物）图案；抽奖规则是：参加者从盒中抽取卡片两张，若抽到两张都是“海宝”卡即可获奖，否则，均为不获奖．卡片用后放回盒子，下一位参加者继续重复进行．（I）活动开始后，一位参加者问：盒中有几张“海宝”卡？主持人答：我只知道，从盒中抽取两张都是“世博会会徽”卡的概率是5，求抽奖者获奖的概率；18（Ⅱ）现有甲乙丙丁四人依次抽奖，用ξ表示获奖的人数，求ξ的分布列及,ξξ的值．E D18.（本小题共13分）已知二次函数)(x g 的图像经过坐标原点，且满足12)()1(++=+x x g x g ，设函数)1l n ()()(+-=x x mg x f ,其中m 为非零常数(I)求函数)(x g 的解析式；(II)当02<<-m 时，判断函数)(x f 的单调性并且说明理由； (III)证明：对任意的正整数n ,不等式23111ln(1)nnn+>-恒成立．19.（本小题共14分）已知直线l ：1+=kx y 与圆C ：1)3()2(22=-+-y x 相交于B A ,两点． （Ⅰ）求弦AB 的中点M 的轨迹方程；（Ⅱ）若O 为坐标原点，)(k S 表示OAB ∆的面积，13)]([)(22++=kk S k f ，求)(k f 的最大值.20. （本小题共14分）已知函数555)(+=xx f ，m 为正整数．（Ⅰ）求)0()1(f f +和)1()(x f x f -+的值； （Ⅱ）若数列}{n a 的通项公式为)(mn f a n =（m n ,,2,1 =），求数列}{n a 的前m 项和m S ； （Ⅲ）设数列}{n b 满足：211=b ，n n n b b b +=+21，设11111121++++++=n n b b b T ，若（Ⅱ）中的m S 满足对任意不小于3的正整数n ，57774+<n m T S 恒成立，试求m 的最大值.北京市宣武区2009~2010学年度第一学期期末质量检测高三数学（理）参考答案及评分标准2010.1一、选择题：本大题共有8个小题，每小题5分，共40分；在每个小题给出的四个选项中有且仅有一个是符合题目要求的.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案CADBCADC二、填空题：本大题共有6个小题，每小题5分，共30分；请把答案写在相应的位置上.题号 9101112 1314答案4,4-32π122-5π,6()3142-n三、解答题：本大题共有6个小题，共80分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）∵B a b sin 323⋅=，∴由正弦定理知：B A B sin sin 32sin 3⋅=, ∵B 是三角形内角， ∴0sin >B ,从而有23sin =A ，∵0>⋅AC AB ，∴A ∠= o60.……………………………………………………………………………6分（Ⅱ）将()B A C π=-+代入()23cos cos =+-B C A 得：()()23cos cos =+--C A C A ,利用两角和与差的余弦公式展开得：43sin sin =C A ；21sin =C ．相应的有：C ∠= o30,∴ABC ∆的面积为36.………………………………………………………………13分16. （本题满分13分）证明：（Ⅰ）连结1BC 和1CB 交于O 点，连ON ．∵111C B A ABC -是正三棱柱， ∴O 为1BC 的中点.又N 为棱AB 中点,∴在1ABC ∆中,1//AC NO ,又C NB 1平面⊂NO ,1AC ⊄平面C NB 1,∴1AC ∥平面C NB 1；…………………………………………………………………6分 （Ⅱ）建如图所示空间直角坐标系， ∵()0,0,0N ，()0,2,11B ，()3,0,0C ，()0,2,11-A ，)3,2,0(1C ，∴()3,0,0=NC ， ()0,2,11=NB 设平面C NB 1的法向量为n ),,(z y x =，∴⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅001n NB n NC ，即⎪⎩⎪⎨⎧=+=0203y x z ，令2-=y ，得n )0,2,2(-=，∵),3,0,1(11=C A ∴66262,cos 111111=⋅=⋅⋅=C A n C A n C A n ，∴11C A 与平面C NB 1所成的角正弦值为66.………………………………………13分17. （本题满分13分）解：（I ）设“世博会会徽”卡有n 张，由185292=C C n ，得5=n ，故“海宝”卡有4张，抽奖者获奖的概率为612924=C C ；…………………………………6分（Ⅱ）ξ～)61,4(B 的分布列为)4,3,2,1,0()65()61()(44===-k C k P kk k ξ；ξ0 1 2 3 4P4004)65()61(C3114)65()61(C2224)65()61(C1334)65()61(C444)65()61(C∴32614=⨯=ξE ，95)611(614=-⨯⨯=ξD ．…………………………………………13分18.（本题满分13分）解：（Ⅰ）设c bx ax x g ++=2)(，)(x g 的图象经过坐标原点，所以c=0.∵12)()1(++=+x x g x g ∴12)1()1(22+++=+++x bx ax x b x a即：1)2()2(22+++=++++x b ax b a x b a ax∴a=1,b=0, 2)(x x g =；…………………………………………………………………４分（Ⅱ）函数)1ln()(2+-=x mxx f 的定义域为()1,-+∞．1122112)(2'+-+=+-=x mx mxx mx x f ，令122)(2-+=mx mx x k ，12)21(2)(2--+=m x m x k ，12)21()(max --=-=m k x k ，∵02<<-m ，∴012)(max <--=m x k ，0122)(2<-+=mx mxx k 在()1,-+∞上恒成立，即0)('<x f ，当02<<-m 时,函数()f x 在定义域()1,-+∞上单调递减．………………９分 （III ）当1=m 时，2()ln(1).f x x x =-+，令332()()ln(1),h x x f x x x x =-=-++则32'3(1)()1x x h x x +-=+在[)0,+∞上恒正，∴)(x h 在[)0,+∞上单调递增，当()0,x ∈+∞时，恒有()(0)0h x h >=.， 即当()0,x ∈+∞时，有32ln(1)0,x x x -++>23ln(1)x x x +>-，对任意正整数n ，取1x n=得23111ln(1)nnn+>-．…………………………………………１３分19.（本题满分1４分）解：（Ⅰ）直线l 与y 轴的交点为N （0，1），圆心C （2，3），设M （x ，y ）， ∵MN 与MC 所在直线垂直，∴1231-=--⋅-x y xy ，（)20≠≠x x 且，当0=x 时不符合题意，当2=x 时，3=y 符合题意，∴AB 中点的轨迹方程为：034222=+--+y x y x ，477477+<<-x .……………6分（Ⅱ）设),(),,(2211y x B y x A ，∵ONA ONB OAB S S S ∆∆∆-=，且1=ON ，∴1221x x ON S OAB -⋅⋅=∆将1+=kx y 代入方程1)3()2(22=-+-y x 得07)1(4)1(22=++-+x k x k , ∵2211)1(4kk x x ++=+，22117kx x +=⋅∴42122121224)(x x x x x x S OAB⋅-+=-=∆=222)1(121232k kk +--，∴13)()(22++=kk S k f =22)1(8+kk ， 0∵由0)1()33)(33(24)('32=+-+-=k k k k f ，∴33±=k ，∵0>∆得374374+<<-k ,∴33=k 时，)(k f 的最大值为233 (4)20. （本题满分1４分） 解：（Ⅰ）515555)0()1(+++=+f f =1；)1()(x f x f -+=5555551+++-xx=xx x55555555⋅+⋅++=1；………………………………４分（Ⅱ）由（Ⅰ）得 )11( 1)1()(-≤≤=-+m k mk f mk f ,即,1 1)()(=+∴=-+-k m k a a , mk m f mk f由m 1m 321m a a a a a S +++++=- , ……………① 得,a a a a a S m 13m 2m 1m m +++++=--- …………②由①＋②, 得,21)1(2m m a m S +⨯-=∴45521)1()1(21)1(-+⨯-=+⨯-=m f m S m ，…10分（Ⅲ） ∵,211=b )1b (b b b b n n n 2n 1n +=+=+,∴对任意的0 *,>∈n b N n .∴,1b 1b 1)1b (b 1b 1n n n n 1n +-=+=+即1n nn b 1b 11b 1+-=+.∴111132211211)11()11()11(+++-=-=-++-+-=n n n nn b b b b b b b b b T .∵,b b ,0b b b n 1n 2n n 1n >∴>=-++ ∴数列}b {n 是单调递增数列. ∴n T 关于n 递增. 当3≥n , 且+∈N n 时, 3T T n ≥. ∵256777)11621(1621,1621)143(43 ,43)121(21,214321=+==+==+==b b b b∴.77725621243-=-=≥b T T n ∴,577743+<T S m ∴5.650<m .而m 为正整数，∴m 的最大值为650. …………………………………………………………………………………1４分。