转子动力学基础

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两边对时间求两次导数得：
代入牛顿方程得 o点的运动微分方程
根据动量矩定理，可得圆盘绕重心c转动的微分方程：
I T k e ( x c o s y s i n )
对于稳态涡动， 0
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代入牛顿方程得 o点的运动微分方程
化为标准形式为：
为刚体对ox、oz 轴的惯性积
对一般具有圆截面的均质轴对称转子有
对均质薄圆盘有
式中：m——圆盘质量
R——圆盘半径
类似可得
于是
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如果oxyz为刚体对o点的主惯性轴，则各惯性积为零，即
于是有
I xy Iyz＝ Izx＝ 0
H o I x x i I y y j I z z k
当转子系统阻尼很小时，可近似认为： cr p 此时有
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ω＝p时，φ≡π/2，与阻尼系数ξ大小无关，利用这一特 点可测取转子系统的p，在小阻尼情况下可近似为临界转速。
当ξ＝0时，ω«p时，φ＝0，o、 o、 c三点在一条直线上
ω»p时，φ＝π，o、 o、 c三点在一条直线上
式中：
弹性轴无阻尼横向振动固有频率 相对阻尼系数
运动微分方程与线性阻尼系统强迫振动相同，可设解为
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代入运动微分方程解得:
arctan
2 p p2 2
ψ
o点作圆周运动，参照极坐标几何关系:
故运动半径为轴的动挠度r，ψ为动挠度r与偏心矩e间的相
位差，且有:
e2
rr
(p2 2)2 (2 p)2
为分析方便，建立如下坐标系：
(图1－16、图1－17）
1）定坐标系：oxyz
2）随o点平移坐标系：oxyz 3）固联于o动坐标系：o '
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其中：o 是轴挠度曲线的切线
o 、o 为两正交直径
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薄盘运动可以用xoz、yoz平面投影x(t)、y(t)表示。 采用第二种欧拉角定义有
右手法则
2)绕ox1轴转β角,到达 o x1 y 1 z
3)绕 oz转φ角——自转角，
到达 oxyz
α、β结合体现进动与方位角。
令n 1 o、 x1n 、2、 oyn 1、3oz1单位矢量为
则有
n2
•
n
＝
3
s in
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由此可导出欧拉角的三角函数表示的方向余弦：
不计轴质量时临界转速：
cr2 6 0m kD3 0 123 ..5 1 35 3 213 7 5 30 19.96 r6 /m 2 in
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计入弹性轴等效质量，按照振动理论，梁在中点的等效质 量为原质量的17/35，则临界转速为：
c r2 60 m D ＋ m k s 1/3 7 5 30 3 .1 1 3 0 2 ..7 5 7 3 8 5 1 1 2 3 5 /3 0 3 7 5 6 5 18 .3 r/5 m 3in
(t)t
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e2
rr
2
ep2
(p22)2(2p)2
(1p22)2(2p)2
2
arctan
2 p p2 2
arctan1(p)2
p
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/p
/p
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p re 0 低转速区 圆盘重边飞出
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p re 90
共振区
p re 180
高转速区
圆盘轻边飞出； 自动定心或质心转向
理论力学：刚体运动可分解成随基点的平动和绕基点的转 动。
平动运动规律与基点选择有关；
转动运动规律与基点选择无关。
§1.2.1 描述定点刚体位置的欧拉角
刚体球铰定点约束：约束三个平动自由度；
只有三个转动自由度。
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定坐标系oxyz与动坐标系的关系 oxyz见表1－1和图1－6
关系式为： (x,y,z) (x,y,z)
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各方向余弦存在关系：
因此，九个方向余弦中只有三个是独立的（自由度数）。 方向余弦求解复杂，采用夹角——欧拉角表示，多种定义。 1、第一种定义（图1－7）： 1)动坐标与静坐标重合，先绕oz轴转动ψ角——进动角； 到达oNN1z，oN称为节线，右手法则 2)绕oN轴转θ角——方位或挠曲角；
一般情况下的矢量关系如图1－9。
若刚体对动坐标系的惯性矩为常数
则有
式中：
•
Lx I x x (I x I y ) y z
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•
Ly I y y (I y I z )zx
•
Lz I z z (I z I x )zx
——欧拉动力学方程
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§1.2.4 刚体运动的动能 能量定理、拉个朗日方程——运动微分方程 设刚体质量为m，基点运动方程为x(t)、y(t)、z(t)，以基点
不平衡力引起的同步正进动分析
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第二节 Jeffcott转子涡动分析
Jeffcott转子：垂直安装等截面对称转子、不计重力影响。
一、Jeffcott转子运动微分方程
Jeffcott转子示意图
薄盘：h/D<0.1；偏心矩：e
定坐标系：oxyz；基点：o 设自转ω为常数，确定 o的运动：
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临界转速定义(ISO)：系统(位移)共振时主响应的特征转速。
主响应：轴颈运动或转子挠曲
对于Jeffcott转子，临界转速对应
常以ωcr或ωc表示，若以转/分或转/秒为单位，则有
或
将转子挠度表达式代入临界转速条件得
解得
可见，阻尼总使临界转速大于横向振动固有频率，与机械振 动中的阻尼使固有频率降低作用相反。
对有集中质量的刚体，动量矩为
刚体在绝对运动中对质心的动量矩 Hc，等于刚体随质心平
移动坐标系中运动的相对于质心的动量矩
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Hcr
。
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因为由速度合成定理：
vi
vc
vi
H c 则 刚r 体 i 相( m 对i v 质i ) 心 的绝r i 对 m 运i ( 动v c 动 v 量i ) 矩 为 ( m i r i ) v c r i ( m i v i )
支反力幅为：F=kr=235.68N 轴承力与重力之比为：(m s F m D)g(0.7283 .5 635 .1 6 83 ) 76.131
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第二节 刚体绕定点的转动
力学模型：连续质量模型——弹性体
集中质量模型——盘轴系统
本章以盘轴系统为分析模型
刚体在空间有六个自由度：沿三个垂直轴方向的平移和绕 这三个轴的转动。
ω＝p时，φ＝π/2，r→∞,不同转速下圆盘偏
心位置见图1－14
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ω=Ω，同步正涡动，或正协调进动； ω=-Ω，同步反涡动，或反协调进动； ω≠Ω，同方向，正涡动，或非协调正进动； ω≠Ω，反方向，反涡动，或非协调反进动。 当转子圆盘不在中间时，即使是无阻尼系统，其临界转速
及支反力幅值F。
解：弹性轴质量： m s ( 1 .5 2 )/4 5 7 .8 1－ 3 0 0 .78 kg 5
圆盘质量： m D ( 1 2 )/6 4 2 7 .8 1 － 3 0 3 .1k 3g 7
弹性轴中点刚度：
k 4 E / l 8 3 ( J 4 2 . 8 5 0 1 6 8 0 1 . 5 4 ) / 5 ( 3 6 7 ) 1 4 . 5 3 N / c 5 2
L'p
d dt
H
圆盘在轴上的反力矩： L p L'p
圆盘的回转力矩： LpH sinJp
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回转效应：由于高速旋转圆盘的偏摆运动而使临界转速变 化的现象（见图1－15）。
§1.3.1 单盘偏置转子运动微分方程
假设：无阻尼、无偏心
不计轴质量
如图1－15，圆盘的轴线在空间
画出的轨迹是个锥面。
x(t)、y(t) 或 r(t)、θ(t)
假设：扭转刚度无限大(不计扭振)
忽略轴向位移、刚性支承
轴的弯曲刚度为EJ
E：弹性模量 J：截面惯性矩
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轴的弹性恢复力在坐标轴上投影为： k—轴的刚度系数
对称简支梁中点刚度为： 粘性外阻尼力在坐标轴上投影为：
c—粘性阻尼系数
由牛顿定律可得： 由几何关系可知：
由因于此刚体对质心的H 质c 量矩r 等 i 于m 零iv ，i＝ 即H cr
若将固定点取在质心o上，则有
在相对随质心平移的动坐标系中，刚体对质心动量矩对时 间的导数等于外力系对质心的主矩——刚体相对质心的动 量矩定理。
因此，对质心动量矩的计算只需考虑相对转动。
刚体作定点转动时，有
刚体动量矩为
类似，由第二种定义可得 向定坐标系和动坐标系的投影
刚体上任一点瞬时速度矢量为
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将速度向定坐标系和动坐标系投影得
vx
刚体上各点角加速度和加速度为
§1.2.3 刚体作定点转动时的动量矩定理 动量矩定理：刚体对定点 o的动量矩 Ho对时间t的导数，等
于外力系对该点的主矩 Lo 则有
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欧拉角表示的刚体绕定点转动的运动为
或
§1.2.2 刚体绕定点运动的角速度及速度分布 刚体的角速度为
所在的位置或称为刚体绕定点转动的瞬时转动轴，瞬时转
动第轴一时种刻定不义同法，得但到总矢通量过定向点定。坐标系投影得
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利用方向余弦关系得
向动坐标系投影得
为原点的动坐标系 oxyz是刚体的惯性主轴，惯性矩分别
是 Ix、Iy、Iz，则刚体的动能为
通常转子沿oz轴方向的运动为二阶小量，可忽略不计，即 有 z(t)=0
故转子的动能计算公式为
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第三节 单盘偏置转子的涡动、回转效应
转动惯量：反应刚体质量分布的力学参数。 中心极转动惯量：J p 绕通过执行的对称轴的转动惯量。 中心直径转动惯量：J d 绕通过质心的任一直径的转动惯量 均值等厚度圆盘，其转动惯量为：
故可以用x(t)、y(t)、φ(t)、α(t)、β(t)确定圆盘空间位置， 描述运动状态。
第一章 转子动力学基础
本章主要内容： 1. 涡动分析、临界转速 2. 重力影响 3. 弹性支承影响 4. 非轴对称转子影响、稳定性问题 5. 初始弯曲影响 6. 等加速过临界的特点
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第一节 转子的涡动
旋转的转子是具有质量和弹性的振动系统，这与其他振动 系统相同。
区别：转子是旋转的 涡动：既有自转，又有公转，是一种复合运动。
到达 o N N z
3)绕 oz转φ角——自转角；
到达 oxyz
引入坐标轴矢量 i、 j、 k、 i、 j、 k
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再引入oN、oN1及 oz的单位矢量 n 、 n 1、 n ，则有：
由于：
得到：
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2、第二种定义（图1－8）
1)动坐标与静坐标重合，先绕oy轴转动α角,到达ox1yz1；
ω≠p，主要是陀螺力矩影响。
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同步正进动轴的受力
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例：已知：轴长l=57cm，直径d=1.5cm，轴材料弹性模量
E2.5 0 8 160 N/c2 m ，圆盘厚度h=2cm，直径D=16cm,材
料密度 7.81－ 03kg/cm ，3 不计阻尼。
求：1）临界转速ωcr
2）e=0.1cm，ω＝0.6ωcr；ω＝0.8ωcr时的动挠度r
J
p
1 2
mr2
Jd
1mr2 4
1 ml2 12
圆盘的回转效应：转动的刚体有力图保持转轴方向不变的 特性。转动物体的惯性的体现。
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三个圆盘的动量矩：H J p
H 的方向沿轴线的切线方向。若转子以角速度
绕z轴转动，则动量矩的变化率：
d dt
H
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动量矩定理：
Hc
ri
m（i
vi
'
ri
ri
）
＝
m（i
ri
•ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
ri
）
－
m
i
r（i
•
ri）
＝
mi ( xi'2
y
' i
2
z
' i
2
)
miri (
x xi'
y
y
' i
z
z
' i
)
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向动坐标系投影得
式中：
为刚体对 ox轴的惯性矩
Ixy mixiyi 为刚体对ox、oy 轴的惯性积
ω＝0.6ωcr时挠度为：
r(cr/ e)21(1/00 .6 .1 )210.05c 6m 25
支反力幅为：F=kr=74.562N
轴承力与重力之比为： F 7.5 4621.940
(m sm D)g (0.78 53.1 63 ) 7
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ω＝0.8ωcr时挠度为：
r(cr/ e)21(1/00 .8 .1 )210.17c7m 8