第五章 机器臂动力学

解：总动能 总势能为
（θ为广义坐标）
mg
z
代入Lagrange方程 果一致。这里I=IZ=IC+mL2C
得
，与前面的结
１.若1自由度机械手为匀质连
杆，质量为m，长度为L，结
果会怎样？
z
２.若1自由度机械手为集中质量连杆，长度为L，集中质量m在连 杆末端L处，结果会怎样？
动力学逆问题递推算法：
（根据关节位移、速度、加速度，求所需的关节力矩和力） 步骤：1）向外递推计算各连杆的速度和加速度（0系到6系）
若把这一运动看成是杆长为r，集中质量在末端为m的杆件绕z轴的 回转运动，则得到加速度和力的关系式为 和
式中， 和N是绕z轴回转的角加速度和转矩。 将它们代入前面的方程，得：
令
，则有：
上式为质点绕固定轴回转时的运动方程式。I相当于平移运
动时的质量，称为转动惯量 。
例：求图所示的质量为M，长度为L的匀质杆绕其一端回转时的 转动惯量I。
0 0 1 0
l1 0 0 1
1 0 2 3T 0 0
0 1 0 0
0 l 2 0 0 1 0 0 1
写成矩阵形式：
得力雅可比矩阵：
基础坐标系中表示的力雅可比矩阵：
4.3 机器人的动力学
4.3.1 转动惯量 根据牛顿第二定律
平移作为回转运动来分析
，惯
惯性张量
令｛c｝是以刚体的质心c为原点规定的
一个坐标系，相对于该坐标系｛c｝，惯性张 量 c I 定义为３×３的对称矩阵：
I xx c I I xy I xz I xy I yy I yz I xz I yz I zz
式中，对角线元素是刚体绕三坐标轴x，y，z的质量惯性矩，即Ixx，
d L L dt q q
或
d Ek dt q
E E k p q q
E k 表示动能，E p 表示势能。
例：平面RP机械手如图所示，连杆1和连杆2的质量分别为m1和
m2，质心的位置由l1和d2所规定，惯性张量为（z轴垂直纸面）：
解：连杆1，2的动能分别为：
机械手总的动能为
连杆1，2的势能分别为
机械手总的位能（势能）为
计算各偏导数
d Ek Ek E p 将以上结果代入Lagrange方程 dt q q q
得
附：就前面的1自由度机械手用Lagrange法求解如下：
操作运动-关节力矩方程：
机器人动力学最终是研究其关节输入力矩与其输出的 操作运动之司的关系。
Iyy，Izz，其余元素为惯性积。 惯性张量表示刚体质量分布的特征。其值与选取的参考坐标 系有关，若选取的坐标系使惯性积都为零，相应的质量惯性矩为 主惯性矩。
例：如图所示的1自由度机械手。
假定绕关节轴z的转动惯量为IZ，z 轴为垂直纸面的方向。 解：
mg
z
式中，g是重力常数，把上面三式代入欧拉方程且只提取z轴分量 得到： I z m gLc cos
在任意矢径P处引起的线速度为：
欧拉角描述的角速度
刚体的速度和加速度
对上式两边求导得：
旋转关节的连杆运动的传递
旋转关节的连杆运动的传递
移动关节的连杆速度传递
示例 平面2R机械手如图所．用 递椎法求出末端杆的速度 和角速度，雅可比，角加 速度和线加速度。 （1）建立如图坐标系
（2）写出D-H参数表
s i c i c i 1 c i s i 1 0
ai 1 d i s i 1 d i c i 1 1
c1 s1 s1 c1 0 1T 0 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
c 2 s 2 s2 c2 1 2T 0 0 0 0
操作臂的动力学
动力学研究的是物体的运动和受力之间的关系。
动力学正问题
度和加速度)；
根据关节驱动力矩或力，计算操作臂的运动(关节位移、速
动力学逆问题一一已知轨迹运动对应的关节位移、速度和加速度，求出所
需要的关节力矩或力。所采用的方法很多．有拉格朗日方法、牛顿—欧拉 方法方法、高斯(Gauss)方法、凯恩(Kane)方法、旋量对偶数方法、罗伯 逊—魏登堡方法等。 研究机器人动力学的目的是多方面的。动力学正问题与操作臂的仿真研 究有关、逆问题是为了实时控制的需要，利用动力学模型、实现最优控制， 以期达到良好的动态性能相最优指标。
操作空间动力学方程：
类似关节空间，在操作空间中，操作力F与末端加速 x 度 之间的关系可表示为：
F V( q) u(q, q) p(q) x
由雅可比矩阵得： J( q) q x
J( q) q J(q) q x J( q) q ar (q, q) 由力雅可比矩阵得： J T (q) F
4.3.3 Lagrange动力学
对于任何机械系统，拉格朗日函数L定义为系统总的动能K 与总的势能P之差，即L=K-P。这里，L是拉格朗日算子；k是动 能；P是势能。 利用Lagrange函数L，系统的动力学方程（称为第二类 Lagrange方程）为：（动能是关节变量和关节速度的函数，势能
是关节变量的函数）
由于动力学实时计算的复杂性，在实现控制时，都要作某些简化假设。机 器人动力学性能的最优控制和自适应控制至今还未用于机器人产品，仍是 个有待研究的课题。
连杆的速度 由（2－13）可以知道任一点p在两坐标系中的描述 Ap和BP之间的关系
两边求导：
旋转矩阵的导数
由旋转变换通式(2.58)可知：
角速度算子矩阵 上式两端除以t，并取极限
即平行轴定理：刚体对任一轴的转动惯量，等于刚体对过质心且 与该轴平行之轴的转动惯量加上刚体的质量与此两轴间距离平方 的乘积。
4.3.2 Newton-Euler递推动力学方程
如果将机械手的连杆看成刚体，它的质心加速度 、总质量
m与产生这一加速度的作用力f之间的关系满足牛顿第二运动定律:
当刚体绕过质心的轴线旋转时，角速度ω，角加速度 性张量 与作用力矩n之间满足欧拉方程：
2）向内递推计算各连杆相互作用的力和力矩，以及关节 的驱动力和力矩
自由端：
n1
f n1 n1 0
n1
考虑重力加速度：
0
v0 g
两种用途：数值计算；封闭形式动力学方程
例5.3假定平面2R机械手的两个连 杆的质量集中在连杆末端，分别 为m1和m2.机械手的运动参数和 动力学参数为：
i 1 2 αi-1 0 0 ai-1 0 l1 θi θ1 θ2 di 0 0
3
0
l2
0
0
示例 （3）写出连杆变换矩阵
示例 （4）速度递推
示例 （5）写出末端杆坐标系中表示的雅可比矩阵
（6）计算基础坐标系中表示的速度递推关系
由此可知
示例
写成矩阵形式：
（7）写出基础坐标系中表示的雅可比矩阵
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雅可比矩阵的四种求解方法：求导法；矢量积法；微分运动 法；速度递推法
利用递推公式得：
1）向外递推各连杆的速度和加速度
将1n1和2n2的z轴分量列出，即得到两关节力矩：
关节空间动力学方程：
可以改写为：
惯性矩阵 离心力+哥式力矢量
重力矢量
哥式力系数矩阵
离心力系数矩阵
操作臂在关节空间中的动力学方程封闭形式的一般结构式。 它反映了关节力矩与关节变量、速度、加速度的函数关系。
连杆静力学分析
忽略重力影响得：
力和力矩在自身坐标系中表示：
旋转关节：
移动关节：
关节
1 2 T
ai-1
0 l1 l2
α
0 0 0
i-1
θ i θ 1 θ 2 0
0 s i 1 c i 1 0
di
0 0 0
c i s c i 1 i 1 T i i s i s i 1 0
解：匀质杆的微段dx的质量用线密度ρ（=M/L）表示为 dm=ρdx 。 该微段产生的转动惯量为 。
因此，把dI在长度方向上积分，可得该杆的转动惯量I为：
例：试求上例中杆绕其重心回转时的转动惯量IC。
解：先就杆的一半来求解，然后加倍即可。假定x为离杆中心的 距离，则得到
设刚体对过质心C的Zc轴的转动惯量为IZC，对与Zc轴平行的 Z轴的转动惯量为IZ，该两轴间的距离为d，刚体的质量为M，则